Os métodos a seguir são usados ​​com mais frequência para encontrar o centro de gravidade de um corpo ou figura:

· método de simetria;

· método de particionamento;

· método de massa negativa.

Vejamos as técnicas usadas em cada um dos métodos listados.

Método de simetria

Vamos imaginar um corpo homogêneo que possui um plano de simetria. Vamos escolher um sistema de coordenadas tal que os eixos x E z coloque no plano de simetria (ver Figura 1).

Neste caso, cada partícula elementar por gravidade G eu com abscissa e eu = +uma corresponde à mesma partícula elementar com a abcissa e eu = -a , Então:

y C = Σ(G i x i)/ΣG i = 0.

Daí a conclusão: se um corpo homogêneo tem um plano de simetria, então o centro de gravidade do corpo está neste plano.

As seguintes proposições podem ser provadas de forma semelhante:

· Se um corpo homogêneo possui um eixo de simetria, então o centro de gravidade do corpo está neste eixo;

· Se um corpo homogêneo possui dois eixos de simetria, então o centro de gravidade do corpo está no ponto de intersecção deles;

· O centro de gravidade de um corpo homogêneo de rotação encontra-se no eixo de rotação.

Método de divisão

Este método consiste em dividir o corpo no menor número de partes, cujas forças de gravidade e a posição dos centros de gravidade são conhecidas, após o que as fórmulas anteriormente dadas são utilizadas para determinar o centro de gravidade global do corpo.

Digamos que destruímos o corpo com a gravidade G em três partes G" , G"" , G""" , abscissas dos centros de gravidade dessas partes x"C, x""C, x"""C conhecido.
Fórmula para determinar a abcissa do centro de gravidade de todo o corpo:

x C = Σ(G i x i)/ΣG i.

Vamos reescrevê-lo na seguinte forma:

x C ΣG i = Σ(G i x i) ou Gx C = Σ(G i x i) .

Escrevemos a última igualdade para cada uma das três partes do corpo separadamente:

G"x" C = Σ(G"x" i), G""x"" C = Σ(G"" i x"" i), G"""x""" C = Σ(G""" eu x""" eu).

Somando os lados esquerdo e direito dessas três igualdades, obtemos:

G"x" C + G"x"" C + G"""x""" C = Σ(G" i x" i) + Σ(G""x"" i) + Σ(G""" i x """ i) = Σ(G i x i).

Mas o lado direito da última igualdade é o produto GxC , porque

Gx C = Σ(G i x i),

Por isso, x C = (G"x" C + G"x"" C + G"""x""" C)/G , que era o que precisava ser comprovado.
As coordenadas do centro de gravidade nos eixos coordenados são determinadas de forma semelhante sim E z :

y C = (G"y" C + G""y"" C + G"""y""" C)/G ,
z C = (G"z" C + G""z"" C + G"""z""" C)/G .

As fórmulas resultantes são semelhantes às fórmulas para determinar as coordenadas do centro de gravidade derivadas acima. Portanto, não é possível substituir as forças gravitacionais das partículas elementares nas fórmulas originais G eu , e as forças gravitacionais das peças finais; sob coordenadas XI ,sim, eu ,z eu compreender as coordenadas dos centros de gravidade das partes em que o corpo está dividido.

Método de massa negativa

Este método baseia-se no fato de que um corpo com cavidades livres é considerado sólido e a massa das cavidades livres é considerada negativa. A forma das fórmulas para determinação das coordenadas do centro de gravidade do corpo não muda.

Assim, ao determinar o centro de gravidade de um corpo que possui cavidades livres, deve-se utilizar o método de particionamento, mas considerar a massa das cavidades negativa.

Métodos práticos para determinar o centro de gravidade dos corpos

Na prática, para determinar o centro de gravidade de corpos planos de formato complexo, eles são frequentemente usados método de suspensão , que consiste em pendurar um corpo plano em um fio em algum ponto. Uma linha é traçada ao longo do fio e o corpo é suspenso em outro ponto não localizado na linha resultante.
Em seguida, desenhe uma linha ao longo do fio novamente.
O ponto de intersecção das duas linhas será o centro de gravidade do corpo plano.

Outro método de determinação do centro de gravidade usado na prática é chamado método de pesagem . Este método é frequentemente usado para determinar o centro de gravidade de grandes máquinas e produtos - carros, aviões, tratores de rodas, etc., que possuem uma forma volumétrica complexa e apoio pontual no solo.
O método consiste em aplicar condições de equilíbrio, partindo do fato de que a soma dos momentos de todas as forças que atuam sobre um corpo estacionário é igual a zero.
Na prática, isso é feito pesando um dos suportes da máquina (as rodas traseiras ou dianteiras são montadas na balança), enquanto as leituras da balança são, na verdade, a reação do suporte, que é levada em consideração no desenho subir a equação de equilíbrio em relação ao segundo ponto de apoio (localizado fora da balança).
Com base na massa conhecida (respectivamente, peso) do corpo, na leitura da balança em um dos pontos de apoio e na distância entre os pontos de apoio, é possível determinar a distância de um dos pontos de apoio ao plano em que o centro de gravidade está localizado.
Para encontrar desta forma a linha (eixo) onde se encontra o centro de gravidade da máquina, é necessário realizar duas pesagens de acordo com o princípio descrito acima para o método de suspensão (ver Fig. 1a).

Pergunta 12

Momento de inércia do corpo.

MOMENTO DE INÉRCIA- uma quantidade que caracteriza a distribuição das massas no corpo e é, junto com a massa, uma medida da inércia do corpo quando parado. movimento. Na mecânica, existem M. e. axial e centrífuga. Osev M. e. corpo em relação ao eixo z é chamado. quantidade definida pela igualdade

Onde eu eu- massas de pontos do corpo, oi- suas distâncias do eixo z, r - densidade de massa, V- volume corporal. Magnitude Eu zé uma medida da inércia de um corpo durante sua rotação em torno de um eixo (ver Movimento rotacional ) . Axial M. e. também pode ser expresso através de uma quantidade linear r z, chamada. raio de giração em relação ao eixo z, de acordo com f-le Eu z = M r 2 z, onde M- massa corporal. Dimensão M. e.- eu 2 M; unidades de medida - kg. m 2.

Centrífuga M. e. em relação ao sistema retangular. eixos x, y, z, realizado no ponto SOBRE, chamado quantidades determinadas por igualdades

ou as integrais de volume correspondentes. Essas quantidades são características da dinâmica. desequilíbrio do corpo. Por exemplo, ao girar um corpo em torno do eixo z a partir dos valores Eu xz E eu sim As forças de pressão nos rolamentos nos quais o eixo é fixado dependem.

M. e. em relação aos eixos paralelos z e z" estão relacionados pela relação (teorema de Huygens)

onde z" é o eixo que passa pelo centro de massa do corpo, d- distância entre eixos.

M. e. em relação a qualquer passagem pela origem SOBRE eixos Ol com cossenos de direção a, b, g é encontrado pela fórmula

Conhecendo seis quantidades Eu x, eu y, eu z, eu xy, eu yz, eu zx, você pode sequencialmente, usando as fórmulas (4) e (3), calcular todo o conjunto de M. e. corpos em relação a quaisquer eixos. Essas seis quantidades determinam o chamado. tensor de inércia do corpo. Através de cada ponto do corpo você pode desenhar 3 eixos perpendiculares entre si, chamados. CH. eixos de inércia, para os quais eu xy = eu sim= eu zx= 0. Então M. e. corpos em relação a qualquer eixo podem ser determinados conhecendo Ch. eixo de inércia e M. e. em relação a esses eixos.

Antes de encontrar o centro de gravidade de figuras simples, como aquelas que possuem formato retangular, redondo, esférico ou cilíndrico, bem como quadrado, é necessário saber em que ponto está localizado o centro de simetria de uma determinada figura. Porque nestes casos o centro de gravidade coincidirá com o centro de simetria.

O centro de gravidade de uma haste homogênea está localizado no seu centro geométrico. Se você precisar determinar o centro de gravidade de um disco redondo de estrutura homogênea, primeiro encontre o ponto de intersecção dos diâmetros do círculo. Será o centro de gravidade deste corpo. Considerando figuras como uma bola, um aro e um paralelepípedo retangular uniforme, podemos dizer com segurança que o centro de gravidade do aro estará no centro da figura, mas fora de seus pontos, o centro de gravidade da bola é o centro geométrico da esfera e, neste último caso, o centro de gravidade é considerado a interseção das diagonais de um paralelepípedo retangular.

Centro de gravidade de corpos não homogêneos

Para encontrar as coordenadas do centro de gravidade, bem como do centro de gravidade do próprio corpo não homogêneo, é necessário descobrir em qual segmento de um determinado corpo está localizado o ponto onde todas as forças gravitacionais se cruzam, atuando sobre a figura se estiver virada. Na prática, para encontrar tal ponto, o corpo é suspenso por um fio, mudando gradativamente os pontos de fixação do fio ao corpo. No caso em que o corpo está em equilíbrio, o centro de gravidade do corpo ficará sobre uma linha que coincide com a linha do fio. Caso contrário, a gravidade faz com que o corpo se mova.

Pegue um lápis e uma régua, desenhe linhas retas verticais que coincidam visualmente com as direções dos fios (fios presos em vários pontos do corpo). Se o formato do corpo for bastante complexo, desenhe várias linhas que se cruzarão em um ponto. Ele se tornará o centro de gravidade do corpo no qual você realizou o experimento.

Centro de gravidade do triângulo

Para encontrar o centro de gravidade de um triângulo, você precisa desenhar um triângulo - uma figura que consiste em três segmentos conectados entre si em três pontos. Antes de encontrar o centro de gravidade da figura, você precisa usar uma régua para medir o comprimento de um lado do triângulo. Coloque uma marca no meio do lado e conecte o vértice oposto e o meio do segmento com uma linha chamada mediana. Repita o mesmo algoritmo com o segundo lado do triângulo e depois com o terceiro. O resultado do seu trabalho serão três medianas que se cruzam em um ponto, que será o centro de gravidade do triângulo.

Se você se depara com a tarefa de encontrar o centro de gravidade de um corpo na forma de um triângulo equilátero, então você precisa desenhar a altura de cada vértice usando uma régua retangular. O centro de gravidade em um triângulo equilátero estará na intersecção das alturas, medianas e bissetoras, pois os mesmos segmentos são simultaneamente alturas, medianas e bissetoras.

Coordenadas do centro de gravidade do triângulo

Antes de encontrar o centro de gravidade do triângulo e suas coordenadas, vamos dar uma olhada na própria figura. Trata-se de uma placa triangular homogênea, com vértices A, B, C e, consequentemente, coordenadas: para o vértice A - x1 e y1; para vértice B - x2 e y2; para o vértice C - x3 e y3. Ao encontrar as coordenadas do centro de gravidade, não levaremos em consideração a espessura da placa triangular. A figura mostra claramente que o centro de gravidade do triângulo é indicado pela letra E - para encontrá-lo, traçamos três medianas, na interseção das quais colocamos o ponto E. Ele possui coordenadas próprias: xE e yE.

Uma extremidade da mediana desenhada do vértice A ao segmento B tem coordenadas x 1 , y 1 (este é o ponto A), e as segundas coordenadas da mediana são obtidas com base no fato de que o ponto D (a segunda extremidade da mediana) está no meio do segmento BC. As extremidades deste segmento têm coordenadas que conhecemos: B(x 2, y 2) e C(x 3, y 3). As coordenadas do ponto D são denotadas por xD e yD. Com base nas seguintes fórmulas:

x=(X1+X2)/2; y=(U1+U2)/2

Determine as coordenadas do meio do segmento. Obtemos o seguinte resultado:

xd=(X2+X3)/2; уd=(У2+У3)/2;

D*((X2+X3)/2, (U2+U3)/2).

Sabemos quais coordenadas são típicas das extremidades do segmento AD. Conhecemos também as coordenadas do ponto E, ou seja, o centro de gravidade da placa triangular. Sabemos também que o centro de gravidade está localizado no meio do segmento AD. Agora, usando fórmulas e dados que conhecemos, podemos encontrar as coordenadas do centro de gravidade.

Assim, podemos encontrar as coordenadas do centro de gravidade do triângulo, ou melhor, as coordenadas do centro de gravidade da placa triangular, visto que a sua espessura nos é desconhecida. São iguais à média aritmética das coordenadas homogêneas dos vértices da placa triangular.

Retângulo. Como um retângulo tem dois eixos de simetria, seu centro de gravidade está na intersecção dos eixos de simetria, ou seja, no ponto de intersecção das diagonais do retângulo.

Triângulo. O centro de gravidade está no ponto de intersecção de suas medianas. Da geometria sabe-se que as medianas de um triângulo se cruzam em um ponto e são divididas na proporção de 1:2 a partir da base.

Círculo. Como um círculo tem dois eixos de simetria, seu centro de gravidade está na intersecção dos eixos de simetria.

Semicírculo. Um semicírculo tem um eixo de simetria, então o centro de gravidade fica nesse eixo. Outra coordenada do centro de gravidade é calculada pela fórmula: .

Muitos elementos estruturais são feitos de produtos laminados padrão - ângulos, vigas I, canais e outros. Todas as dimensões, bem como as características geométricas dos perfis laminados, são dados tabulares que podem ser encontrados na literatura de referência em tabelas de sortimento normal (GOST 8239-89, GOST 8240-89).

Exemplo 1. Determine a posição do centro de gravidade da figura mostrada na figura.

Solução:

Selecionamos os eixos coordenados de modo que o eixo Ox corra ao longo da dimensão geral mais inferior e o eixo Oy corra ao longo da dimensão geral mais à esquerda.

Dividimos uma figura complexa em um número mínimo de figuras simples:

retângulo 20x10;

triângulo 15x10;

círculo R=3 cm.

Calculamos a área de cada figura simples e suas coordenadas do centro de gravidade. Os resultados do cálculo são inseridos na tabela

Figura nº.	Área da figura A,	Coordenadas do centro de gravidade

Responder: C(14,5; 4,5)

Exemplo 2 . Determine as coordenadas do centro de gravidade de uma seção composta composta por uma chapa e seções laminadas.

Solução.

Selecionamos os eixos coordenados conforme mostrado na figura.

Vamos designar as figuras por números e anotar os dados necessários da tabela:

Figura nº.	Área da figura A,	Coordenadas do centro de gravidade

Calculamos as coordenadas do centro de gravidade da figura usando as fórmulas:

Responder: C(0; 10)

Trabalho de laboratório nº 1 “Determinação do centro de gravidade de figuras planas compostas”

Alvo: Determine o centro de gravidade de uma determinada figura plana e complexa usando métodos experimentais e analíticos e compare seus resultados.

Ordem de serviço

Desenhe sua figura plana em seus cadernos em tamanho, indicando os eixos coordenados.

Determine o centro de gravidade analiticamente.

1. Divida a figura no número mínimo de figuras cujos centros de gravidade sabemos determinar.

   Indique os números das áreas e as coordenadas do centro de gravidade de cada figura.

   Calcule as coordenadas do centro de gravidade de cada figura.

   Calcule a área de cada figura.

   Calcule as coordenadas do centro de gravidade de toda a figura usando fórmulas (a posição do centro de gravidade está traçada no desenho da figura):

A instalação para determinação experimental das coordenadas do centro de gravidade pelo método de suspensão consiste em um suporte vertical 1 (veja a figura) ao qual a agulha está fixada 2 . Figura plana 3 Feito de papelão, fácil de fazer furos. Buracos A E EM perfurados em pontos localizados aleatoriamente (de preferência na maior distância um do outro). Uma figura plana está suspensa em uma agulha, primeiro em um ponto A , e então no ponto EM . Usando um fio de prumo 4 , preso à mesma agulha, desenhe uma linha vertical na figura com um lápis correspondente ao fio do fio de prumo. Centro de gravidade COM a figura estará localizada na intersecção das linhas verticais desenhadas ao pendurar a figura nos pontos A E EM .

6.1. informações gerais

Centro de Forças Paralelas
Consideremos duas forças paralelas direcionadas em uma direção e aplicadas ao corpo em pontos A 1 e A 2 (Fig.6.1). Este sistema de forças tem uma resultante cuja linha de ação passa por um determinado ponto COM. Posição do ponto COM pode ser encontrado usando o teorema de Varignon:

Se você virar as forças e perto dos pontos A 1 e A 2 em uma direção e no mesmo ângulo, obtemos um novo sistema de salas paralelas com os mesmos módulos. Neste caso, sua resultante também passará pelo ponto COM. Este ponto é chamado de centro de forças paralelas.
Vamos considerar um sistema de forças paralelas e direcionadas de forma idêntica aplicadas a um corpo sólido em pontos. Este sistema tem uma resultante.
Se cada força do sistema for girada perto dos pontos de sua aplicação na mesma direção e no mesmo ângulo, serão obtidos novos sistemas de forças paralelas direcionadas de forma idêntica com os mesmos módulos e pontos de aplicação. A resultante de tais sistemas terá o mesmo módulo R, mas cada vez uma direção diferente. Tendo dobrado minha força F 1 e F 2 descobrimos que sua resultante R 1, que sempre passará pelo ponto COM 1, cuja posição é determinada pela igualdade. Dobrando ainda mais R 1 e F 3, encontramos sua resultante, que sempre passará pelo ponto COM 2 deitado em linha reta A 3 COM 2. Tendo completado o processo de adição de forças até o final, chegaremos à conclusão de que a resultante de todas as forças passará de fato sempre pelo mesmo ponto COM, cuja posição em relação aos pontos permanecerá inalterada.
Ponto COM, através do qual passa a linha de ação do sistema resultante de forças paralelas para qualquer rotação dessas forças próximo aos pontos de sua aplicação na mesma direção e no mesmo ângulo, é chamado de centro de forças paralelas (Fig. 6.2).

Figura 6.2

Vamos determinar as coordenadas do centro das forças paralelas. Como a posição do ponto COM em relação ao corpo permanece inalterado, então suas coordenadas não dependem da escolha do sistema de coordenadas. Vamos girar todas as forças em torno de sua aplicação para que fiquem paralelas ao eixo UO e aplicar o teorema de Varignon às forças rotacionadas. Porque R"é a resultante dessas forças, então, de acordo com o teorema de Varignon, temos , porque , , Nós temos

A partir daqui encontramos a coordenada do centro das forças paralelas zc:

Para determinar as coordenadas xc Vamos criar uma expressão para o momento das forças em torno do eixo onça.

Para determinar as coordenadas sim vamos girar todas as forças para que fiquem paralelas ao eixo onça.

A posição do centro de forças paralelas em relação à origem (Fig. 6.2) pode ser determinada pelo seu vetor raio:

6.2. Centro de gravidade de um corpo rígido

Centro de gravidade de um corpo rígido é um ponto invariavelmente associado a este corpo COM, por onde passa a linha de ação das forças resultantes da gravidade de um determinado corpo, para qualquer posição do corpo no espaço.
O centro de gravidade é utilizado no estudo da estabilidade das posições de equilíbrio de corpos e meios contínuos sob a influência da gravidade e em alguns outros casos, nomeadamente: na resistência dos materiais e na mecânica estrutural - quando se utiliza a regra de Vereshchagin.
Existem duas maneiras de determinar o centro de gravidade de um corpo: analítica e experimental. O método analítico para determinar o centro de gravidade decorre diretamente do conceito de centro de forças paralelas.
As coordenadas do centro de gravidade, como centro de forças paralelas, são determinadas pelas fórmulas:

Onde R- peso corporal total; pacote- peso das partículas corporais; xk, yk, zk- coordenadas das partículas do corpo.
Para um corpo homogêneo, o peso de todo o corpo e de qualquer parte dele é proporcional ao volume P=Vγ, pk =vk γ, Onde γ - peso por unidade de volume, V- volume corporal. Substituindo expressões P, pacote na fórmula para determinar as coordenadas do centro de gravidade e, reduzindo por um fator comum γ , Nós temos:

Ponto COM, cujas coordenadas são determinadas pelas fórmulas resultantes, é chamado centro de gravidade do volume.
Se o corpo for uma placa fina e homogênea, o centro de gravidade será determinado pelas fórmulas:

Onde S- área de toda a placa; sk- área da sua parte; xk, sim- coordenadas do centro de gravidade das peças da placa.
Ponto COM neste caso é chamado área do centro de gravidade.
Os numeradores das expressões que determinam as coordenadas do centro de gravidade das figuras planas são chamados com momentos estáticos da área em relação aos eixos no E X:

Então o centro de gravidade da área pode ser determinado pelas fórmulas:

Para corpos cujo comprimento é muitas vezes maior que as dimensões da seção transversal, determine o centro de gravidade da linha. As coordenadas do centro de gravidade da linha são determinadas pelas fórmulas:

Onde eu- comprimento da linha; haha- o comprimento de suas partes; xk, yk, zk- coordenada do centro de gravidade de partes da linha.

6.3. Métodos para determinar as coordenadas dos centros de gravidade dos corpos

Com base nas fórmulas obtidas, é possível propor métodos práticos para determinação dos centros de gravidade dos corpos.
1. Simetria. Se um corpo tem um centro de simetria, então o centro de gravidade está no centro de simetria.
Se o corpo tiver um plano de simetria. Por exemplo, o plano XOU, então o centro de gravidade está neste plano.
2. Divisão. Para corpos constituídos por corpos com formas simples, é utilizado o método de divisão. O corpo é dividido em partes, cujo centro de gravidade é determinado pelo método de simetria. O centro de gravidade de todo o corpo é determinado pelas fórmulas do centro de gravidade do volume (área).

Exemplo. Determine o centro de gravidade da placa mostrada na figura abaixo (Fig. 6.3). A placa pode ser dividida em retângulos de várias maneiras e as coordenadas do centro de gravidade de cada retângulo e sua área podem ser determinadas.

Figura 6.3

Responder: xc=17,0cm; simc=18,0cm.

3. Adição. Este método é um caso especial do método de particionamento. É utilizado quando o corpo possui recortes, fatias, etc., se forem conhecidas as coordenadas do centro de gravidade do corpo sem o recorte.

Exemplo. Determine o centro de gravidade de uma placa circular com raio de recorte R = 0,6 R(Fig. 6.4).

Figura 6.4

Uma placa redonda possui um centro de simetria. Vamos colocar a origem das coordenadas no centro da placa. Área da placa sem recorte, área recortada. Prato quadrado com recorte; .
A placa com recorte possui um eixo de simetria O1 x, por isso, sim=0.

4. Integração. Se o corpo não puder ser dividido em um número finito de partes, cujas posições dos centros de gravidade são conhecidas, o corpo é dividido em pequenos volumes arbitrários, para os quais a fórmula usando o método de partição assume a forma: .
Então eles vão até o limite, direcionando os volumes elementares para zero, ou seja, contratação de volumes em pontos. As somas são substituídas por integrais estendidas a todo o volume do corpo, então as fórmulas para determinar as coordenadas do centro de gravidade do volume assumem a forma:

Fórmulas para determinar as coordenadas do centro de gravidade de uma área:

As coordenadas do centro de gravidade da área devem ser determinadas no estudo do equilíbrio das placas, no cálculo da integral de Mohr na mecânica estrutural.

Exemplo. Determine o centro de gravidade de um arco circular de raio R com ângulo central AOB= 2α (Fig. 6.5).

Arroz. 6,5

O arco de um círculo é simétrico ao eixo Oh, portanto, o centro de gravidade do arco está no eixo Oh, sim = 0.
De acordo com a fórmula do centro de gravidade de uma linha:

6.Método experimental. Os centros de gravidade de corpos não homogêneos de configuração complexa podem ser determinados experimentalmente: pelo método de suspensão e pesagem. O primeiro método consiste em suspender o corpo por um cabo em vários pontos. A direção do cabo no qual o corpo está suspenso dará a direção da gravidade. O ponto de intersecção dessas direções determina o centro de gravidade do corpo.
O método de pesagem envolve primeiro determinar o peso de um corpo, como um carro. Em seguida, a pressão do eixo traseiro do veículo no suporte é determinada na balança. Ao traçar uma equação de equilíbrio em relação a um ponto, por exemplo, o eixo das rodas dianteiras, pode-se calcular a distância deste eixo ao centro de gravidade do carro (Fig. 6.6).

Figura 6.6

Às vezes, na resolução de problemas, é necessário utilizar simultaneamente diferentes métodos para determinar as coordenadas do centro de gravidade.

6.4. Centros de gravidade de algumas figuras geométricas simples

Para determinar os centros de gravidade de corpos de formas frequentes (triângulo, arco circular, setor, segmento), é conveniente utilizar dados de referência (Tabela 6.1).

Tabela 6.1

Coordenadas do centro de gravidade de alguns corpos homogêneos

№	Nome da figura	Desenho
	Arco de um círculo: o centro de gravidade de um arco de círculo uniforme está no eixo de simetria (coordenada uc=0). R- raio do círculo.
	Setor circular homogêneo uc=0). onde α é metade do ângulo central; R- raio do círculo.
	Segmento: o centro de gravidade está localizado no eixo de simetria (coordenada uc=0). onde α é metade do ângulo central; R- raio do círculo.
	Semicírculo:
	Triângulo: o centro de gravidade de um triângulo homogêneo está no ponto de intersecção de suas medianas. Onde x1, y1, x2, y2, x3, y3- coordenadas dos vértices do triângulo
	Cone: o centro de gravidade de um cone circular uniforme encontra-se em sua altura e a uma distância de 1/4 da altura da base do cone.

Como encontrar o centro de gravidade

Autor: Vamos pegar um corpo de forma arbitrária. É possível pendurá-lo em um fio para que depois de pendurado mantenha sua posição (ou seja, não comece a girar) quando qualquer orientação inicial (Fig. 27.1)?

Em outras palavras, existe um ponto em relação ao qual a soma dos momentos de gravidade atuando em várias partes do corpo seria igual a zero em qualquer orientação do corpo no espaço?

Leitor: Acho que sim. Este ponto é chamado centro de gravidade do corpo.

Prova. Para simplificar, consideremos um corpo na forma de uma placa plana de formato arbitrário, orientada arbitrariamente no espaço (Fig. 27.2). Vamos pegar o sistema de coordenadas X 0no com início no centro de massa - ponto COM, Então x C = 0, em C = 0.

Vamos imaginar este corpo como uma coleção de um grande número de massas pontuais eu eu, a posição de cada um deles é especificada pelo vetor de raio.

Por definição, o centro de massa é , e a coordenada x C = .

Como no sistema de coordenadas adotamos x C= 0, então . Vamos multiplicar essa igualdade por g e nós obtemos

Como pode ser visto a partir da fig. 27,2, | XI| - este é o ombro do poder. E se XI> 0, então o momento da força Eu> 0, e se x-j < 0, то Mj < 0, поэтому с учетом знака можно утверждать, что для любого XI o momento da força será igual M eu = m eu gx eu . Então a igualdade (1) é equivalente à igualdade, onde Eu– momento de gravidade. Isso significa que com uma orientação arbitrária do corpo, a soma dos momentos de gravidade que atuam sobre o corpo será igual a zero em relação ao seu centro de massa.

Para que o corpo que estamos considerando esteja em equilíbrio, é necessário aplicar a ele no ponto COM força T = mg, direcionado verticalmente para cima. O momento desta força em relação ao ponto COM igual a zero.

Como o nosso raciocínio não dependia de forma alguma da orientação exata do corpo no espaço, provamos que o centro de gravidade coincide com o centro de massa, que é o que precisávamos provar.

Problema 27.1. Encontre o centro de gravidade de uma barra de comprimento sem peso eu, em cujas extremidades são fixadas duas massas pontuais T 1 e T 2 .

T 1 T 2 eu	Solução. Não procuraremos o centro de gravidade, mas sim o centro de massa (já que são a mesma coisa). Vamos apresentar o eixo X(Fig. 27.3). Arroz. 27.3
x C =?

Responder: a uma distância da massa T 1 .

PARAR! Decida você mesmo: B1–B3.

Declaração 1 . Se um corpo plano homogêneo tem um eixo de simetria, o centro de gravidade está neste eixo.

Na verdade, para qualquer massa pontual eu eu, localizado à direita do eixo de simetria, existe a mesma massa pontual localizada simetricamente em relação ao primeiro (Fig. 27.4). Neste caso, a soma dos momentos das forças .

Como todo o corpo pode ser representado dividido em pares de pontos semelhantes, o momento de gravidade total em relação a qualquer ponto situado no eixo de simetria é igual a zero, o que significa que o centro de gravidade do corpo está localizado neste eixo . Isto leva a uma conclusão importante: se um corpo tem vários eixos de simetria, então o centro de gravidade está na intersecção desses eixos(Fig. 27.5).

Arroz. 27,5

Declaração 2. Se dois corpos têm massa T 1 e T 2 estão conectados em um, então o centro de gravidade de tal corpo ficará em um segmento de linha reta conectando os centros de gravidade do primeiro e do segundo corpo (Fig. 27.6).

Arroz. 27,6 Arroz. 27,7

Prova. Vamos posicionar o corpo composto de forma que o segmento que liga os centros de gravidade dos corpos seja vertical. Então a soma dos momentos de gravidade do primeiro corpo em relação ao ponto COM 1 é igual a zero, e a soma dos momentos de gravidade do segundo corpo em relação ao ponto COM 2 é igual a zero (Fig. 27.7).

notar que ombro gravidade de qualquer massa pontual eu o mesmo em relação a qualquer ponto situado no segmento COM 1 COM 2 e, portanto, o momento de gravidade em relação a qualquer ponto situado no segmento COM 1 COM 2, o mesmo. Consequentemente, a força gravitacional de todo o corpo é zero em relação a qualquer ponto do segmento COM 1 COM 2. Assim, o centro de gravidade do corpo composto encontra-se no segmento COM 1 COM 2 .

Uma importante conclusão prática decorre da Declaração 2, que é claramente formulada na forma de instruções.

Instruções,

como encontrar o centro de gravidade de um corpo sólido se ele puder ser quebrado

em partes, as posições dos centros de gravidade de cada uma delas são conhecidas

1. Cada peça deve ser substituída por uma massa localizada no centro de gravidade dessa peça.

2. Encontre Centro de massa(e este é o mesmo que o centro de gravidade) do sistema resultante de massas pontuais, escolhendo um sistema de coordenadas conveniente X 0no, de acordo com as fórmulas:

Na verdade, vamos organizar o corpo composto de modo que o segmento COM 1 COM 2 estava na horizontal e pendure-o em fios em pontos COM 1 e COM 2 (Fig. 27.8, A). É claro que o corpo estará em equilíbrio. E este equilíbrio não será perturbado se substituirmos cada corpo por massas pontuais T 1 e T 2 (Fig. 27.8, b).

Arroz. 27,8

PARAR! Decida por si mesmo: C3.

Problema 27.2. Bolas de massa são colocadas em dois vértices de um triângulo equilátero T todo. Uma bola de massa 2 é colocada no terceiro vértice T(Fig. 27.9, A). Lado do triângulo A. Determine o centro de gravidade deste sistema.

T 2T A	Arroz. 27,9
x C = ? em C = ?

Solução. Vamos apresentar o sistema de coordenadas X 0no(Fig. 27.9, b). Então

,

.

Responder: x C = A/2; ; centro de gravidade fica a meia altura DE ANÚNCIOS.