Que eram familiares para você em um grau ou outro. Observou-se também que o estoque de propriedades funcionais será gradativamente reabastecido. Duas novas propriedades serão discutidas nesta seção.

Definição 1.

A função y = f(x), x є X, é chamada mesmo que para qualquer valor x do conjunto X a igualdade f (-x) = f (x) seja válida.

Definição 2.

A função y = f(x), x є X, é chamada ímpar se para qualquer valor x do conjunto X a igualdade f (-x) = -f (x) for válida.

Prove que y = x 4 é uma função par.

Solução. Temos: f(x) = x 4, f(-x) = (-x) 4. Mas(-x) 4 = x 4. Isso significa que para qualquer x a igualdade f(-x) = f(x) é válida, ou seja, a função é par.

Da mesma forma, pode-se provar que as funções y - x 2, y = x 6, y - x 8 são pares.

Prove que y = x 3 ~ uma função ímpar.

Solução. Temos: f(x) = x 3, f(-x) = (-x) 3. Mas (-x) 3 = -x 3. Isso significa que para qualquer x a igualdade f (-x) = -f (x) é válida, ou seja, a função é estranha.

Da mesma forma, pode-se provar que as funções y = x, y = x 5, y = x 7 são ímpares.

Você e eu já estivemos convencidos mais de uma vez de que os novos termos em matemática geralmente têm uma origem “terrestre”, ou seja, eles podem ser explicados de alguma forma. Este é o caso de funções pares e ímpares. Veja: y - x 3, y = x 5, y = x 7 são funções ímpares, enquanto y = x 2, y = x 4, y = x 6 são funções pares. E em geral, para qualquer função da forma y = x" (a seguir estudaremos especificamente essas funções), onde n é um número natural, podemos concluir: se n é um número ímpar, então a função y = x" é chance; se n for um número par, então a função y = xn é par.

Existem também funções que não são pares nem ímpares. Tal é, por exemplo, a função y = 2x + 3. Na verdade, f(1) = 5, e f (-1) = 1. Como você pode ver, aqui, portanto, nem a identidade f(-x) = f ( x), nem a identidade f(-x) = -f(x).

Portanto, uma função pode ser par, ímpar ou nenhuma das duas.

O estudo sobre se uma determinada função é par ou ímpar é geralmente chamado de estudo da paridade.

As definições 1 e 2 referem-se aos valores da função nos pontos x e -x. Isso pressupõe que a função seja definida no ponto x e no ponto -x. Isso significa que o ponto -x pertence ao domínio de definição da função simultaneamente com o ponto x. Se um conjunto numérico X, juntamente com cada um de seus elementos x, também contém o elemento oposto -x, então X é chamado de conjunto simétrico. Digamos que (-2, 2), [-5, 5], (-oo, +oo) sejam conjuntos simétricos, enquanto: seja x 1a;b, A x 2a;b .

A dependência de uma variável y de uma variável x, na qual cada valor de x corresponde a um único valor de y é chamada de função. Para designação use a notação y=f(x). Cada função possui uma série de propriedades básicas, como monotonicidade, paridade, periodicidade e outras.

Dê uma olhada mais de perto na propriedade de paridade.

Uma função y=f(x) é chamada mesmo se satisfizer as duas condições a seguir:

2. O valor da função no ponto x, pertencente ao domínio de definição da função, deve ser igual ao valor da função no ponto -x. Ou seja, para qualquer ponto x, a seguinte igualdade deve ser satisfeita a partir do domínio de definição da função: f(x) = f(-x).

Gráfico de uma função par

Se você traçar um gráfico de uma função par, ele será simétrico em relação ao eixo Oy.

Por exemplo, a função y=x^2 é par. Vamos dar uma olhada. O domínio de definição é todo o eixo numérico, o que significa que é simétrico em relação ao ponto O.

Vamos pegar um x=3 arbitrário. f(x)=3^2=9.

f(-x)=(-3)^2=9. Portanto f(x) = f(-x). Assim, ambas as condições são atendidas, o que significa que a função é par. Abaixo está um gráfico da função y=x^2.

A figura mostra que o gráfico é simétrico em relação ao eixo Oy.

Gráfico de uma função ímpar

Uma função y=f(x) é chamada ímpar se satisfizer as duas condições a seguir:

1. O domínio de definição de uma determinada função deve ser simétrico em relação ao ponto O. Ou seja, se algum ponto a pertence ao domínio de definição da função, então o ponto correspondente -a também deve pertencer ao domínio de definição da função dada.

2. Para qualquer ponto x, a seguinte igualdade deve ser satisfeita a partir do domínio de definição da função: f(x) = -f(x).

O gráfico de uma função ímpar é simétrico em relação ao ponto O - a origem das coordenadas. Por exemplo, a função y=x^3 é ímpar. Vamos dar uma olhada. O domínio de definição é todo o eixo numérico, o que significa que é simétrico em relação ao ponto O.

Vamos pegar um x = 2 arbitrário. f(x)=2^3=8.

f(-x)=(-2)^3=-8. Portanto f(x) = -f(x). Assim, ambas as condições são atendidas, o que significa que a função é ímpar. Abaixo está um gráfico da função y=x^3.

A figura mostra claramente que a função ímpar y=x^3 é simétrica em relação à origem.