Neste artigo encontraremos respostas a perguntas sobre como criar uma projeção de um ponto em um plano e como determinar as coordenadas dessa projeção. Na parte teórica nos basearemos no conceito de projeção. Definiremos os termos e forneceremos informações com ilustrações. Vamos consolidar os conhecimentos adquiridos através da resolução de exemplos.

Yandex.RTB RA-339285-1

Projeção, tipos de projeção

Para facilitar a visualização de figuras espaciais, são utilizados desenhos que representam essas figuras.

Definição 1

Projeção de uma figura em um plano– desenho de uma figura espacial.

Obviamente, há uma série de regras usadas para construir uma projeção.

Definição 2

Projeção– o processo de construção de um desenho de uma figura espacial em um plano usando regras de construção.

Plano de projeção- este é o plano em que a imagem é construída.

O uso de certas regras determina o tipo de projeção: central ou paralelo.

Um caso especial de projeção paralela é a projeção perpendicular ou ortogonal: em geometria é usada principalmente. Por esta razão, o próprio adjetivo “perpendicular” é muitas vezes omitido na fala: em geometria eles simplesmente dizem “projeção de uma figura” e com isso significam construir uma projeção usando o método de projeção perpendicular. Em casos especiais, é claro, pode ser acordado algo mais.

Observemos o fato de que a projeção de uma figura em um plano é essencialmente uma projeção de todos os pontos desta figura. Portanto, para poder estudar uma figura espacial em um desenho, é necessário adquirir a habilidade básica de projetar um ponto em um plano. Sobre o que falaremos a seguir.

Lembremos que na maioria das vezes em geometria, quando se fala em projeção em um plano, eles se referem ao uso de uma projeção perpendicular.

Façamos construções que nos darão a oportunidade de obter uma definição da projeção de um ponto num plano.

Digamos que seja dado um espaço tridimensional e nele exista um plano α e um ponto M 1 que não pertence ao plano α. Desenhe uma linha reta através do ponto dado M UM perpendicular a um determinado plano α. Denotamos o ponto de intersecção da reta a e do plano α como H 1 por construção, ele servirá como base de uma perpendicular baixada do ponto M 1 ao plano α;

Se for dado um ponto M 2 pertencente a um determinado plano α, então M 2 servirá como uma projeção de si mesmo no plano α.

Definição 3

- este é o próprio ponto (se pertencer a um determinado plano) ou a base de uma perpendicular baixada de um determinado ponto para um determinado plano.

Encontrando as coordenadas da projeção de um ponto em um plano, exemplos

Seja dado o seguinte no espaço tridimensional: um sistema de coordenadas retangulares O x y z, um plano α, um ponto M 1 (x 1, y 1, z 1). É necessário encontrar as coordenadas da projeção do ponto M 1 em um determinado plano.

A solução decorre obviamente da definição dada acima da projeção de um ponto num plano.

Denotemos a projeção do ponto M 1 no plano α como H 1 . De acordo com a definição, H 1 é o ponto de intersecção de um determinado plano α e uma linha reta a traçada através do ponto M 1 (perpendicular ao plano). Aqueles. As coordenadas da projeção do ponto M 1 que precisamos são as coordenadas do ponto de intersecção da reta a e do plano α.

Assim, para encontrar as coordenadas da projeção de um ponto em um plano é necessário:

Obtenha a equação do plano α (se não for especificada). Um artigo sobre os tipos de equações planas irá ajudá-lo aqui;

Determine a equação de uma reta a passando por um ponto M 1 e perpendicular ao plano α (estude o tópico sobre a equação de uma reta que passa por um determinado ponto perpendicular a um determinado plano);

Encontre as coordenadas do ponto de intersecção da reta a e do plano α (artigo - encontrar as coordenadas do ponto de intersecção do plano e da reta). Os dados obtidos serão as coordenadas que necessitamos para a projeção do ponto M 1 no plano α.

Vejamos a teoria com exemplos práticos.

Exemplo 1

Determine as coordenadas da projeção do ponto M 1 (- 2, 4, 4) no plano 2 x – 3 y + z - 2 = 0.

Solução

Como vemos, a equação do plano nos é dada, ou seja, não há necessidade de compilá-lo.

Vamos escrever as equações canônicas de uma reta a passando pelo ponto M 1 e perpendicular ao plano dado. Para isso, determinamos as coordenadas do vetor diretor da reta a. Como a linha a é perpendicular a um determinado plano, o vetor diretor da linha a é o vetor normal do plano 2 x - 3 y + z - 2 = 0. Por isso, a → = (2, - 3, 1) – vetor diretor da reta a.

Agora vamos compor as equações canônicas de uma reta no espaço passando pelo ponto M 1 (- 2, 4, 4) e tendo um vetor diretor uma → = (2 , - 3 , 1) :

x + 2 2 = y - 4 - 3 = z - 4 1

Para encontrar as coordenadas necessárias, o próximo passo é determinar as coordenadas do ponto de intersecção da reta x + 2 2 = y - 4 - 3 = z - 4 1 e o plano 2 x - 3 y + z - 2 = 0 . Para esses propósitos, passamos das equações canônicas para as equações de dois planos que se cruzam:

x + 2 2 = y - 4 - 3 = z - 4 1 ⇔ - 3 · (x + 2) = 2 · (y - 4) 1 · (x + 2) = 2 · (z - 4) 1 · ( y - 4) = - 3 (z + 4) ⇔ 3 x + 2 y - 2 = 0 x - 2 z + 10 = 0

Vamos criar um sistema de equações:

3 x + 2 y - 2 = 0 x - 2 z + 10 = 0 2 x - 3 y + z - 2 = 0 ⇔ 3 x + 2 y = 2 x - 2 z = - 10 2 x - 3 y + z = 2

E vamos resolver usando o método de Cramer:

∆ = 3 2 0 1 0 - 2 2 - 3 1 = - 28 ∆ x = 2 2 0 - 10 0 - 2 2 - 3 1 = 0 ⇒ x = ∆ x ∆ = 0 - 28 = 0 ∆ y = 3 2 0 1 - 10 - 2 2 2 1 = - 28 ⇒ y = ∆ y ∆ = - 28 - 28 = 1 ∆ z = 3 2 2 1 0 - 10 2 - 3 2 = - 140 ⇒ z = ∆ z ∆ = - 140 - 28 = 5

Assim, as coordenadas necessárias de um determinado ponto M 1 em um determinado plano α serão: (0, 1, 5).

Responder: (0 , 1 , 5) .

Exemplo 2

Em um sistema de coordenadas retangulares O x y z do espaço tridimensional, os pontos A (0, 0, 2) são dados; B (2, -1, 0); C (4, 1, 1) e M 1 (-1, -2, 5). É necessário encontrar as coordenadas da projeção M 1 no plano A B C

Solução

Em primeiro lugar, escrevemos a equação de um plano que passa por três pontos dados:

x - 0 y - 0 z - 0 2 - 0 - 1 - 0 0 - 2 4 - 0 1 - 0 1 - 2 = 0 ⇔ x y z - 2 2 - 1 - 2 4 1 - 1 = 0 ⇔ ⇔ 3 x - 6 y + 6 z - 12 = 0 ⇔ x - 2 y + 2 z - 4 = 0

Vamos anotar as equações paramétricas da reta a, que passará pelo ponto M 1 perpendicular ao plano A B C. O plano x – 2 y + 2 z – 4 = 0 tem um vetor normal com coordenadas (1, - 2, 2), ou seja vetor a → = (1, - 2, 2) – vetor diretor da reta a.

Agora, tendo as coordenadas do ponto da reta M 1 e as coordenadas do vetor diretor desta reta, escrevemos as equações paramétricas da reta no espaço:

Em seguida, determinamos as coordenadas do ponto de intersecção do plano x – 2 y + 2 z – 4 = 0 e a linha reta

x = - 1 + λ y = - 2 - 2 λ z = 5 + 2 λ

Para fazer isso, substituímos na equação do plano:

x = - 1 + λ, y = - 2 - 2 λ, z = 5 + 2 λ

Agora, usando as equações paramétricas x = - 1 + λ y = - 2 - 2 · λ z = 5 + 2 · λ, encontramos os valores das variáveis ​​x, y e z para λ = - 1: x = - 1 + (- 1) y = - 2 - 2 · (- 1) z = 5 + 2 · (- 1) ⇔ x = - 2 y = 0 z = 3

Assim, a projeção do ponto M 1 no plano A B C terá coordenadas (- 2, 0, 3).

Responder: (- 2 , 0 , 3) .

Detenhamo-nos separadamente na questão de encontrar as coordenadas da projeção de um ponto em planos coordenados e planos paralelos aos planos coordenados.

Sejam dados os pontos M 1 (x 1, y 1, z 1) e os planos coordenados O x y, O x z e O y z. As coordenadas da projeção deste ponto nestes planos serão, respectivamente: (x 1, y 1, 0), (x 1, 0, z 1) e (0, y 1, z 1). Consideremos também planos paralelos aos planos coordenados dados:

C z + D = 0 ⇔ z = - D C , B y + D = 0 ⇔ y = - D B

E as projeções de um determinado ponto M 1 nesses planos serão pontos com coordenadas x 1, y 1, - D C, x 1, - D B, z 1 e - D A, y 1, z 1.

Vamos demonstrar como esse resultado foi obtido.

Como exemplo, vamos definir a projeção do ponto M 1 (x 1, y 1, z 1) no plano A x + D = 0. Os restantes casos são semelhantes.

O plano dado é paralelo ao plano coordenado O y z e i → = (1, 0, 0) é seu vetor normal. O mesmo vetor serve como vetor de direção da reta perpendicular ao plano O y z. Então as equações paramétricas de uma linha reta traçada através do ponto M 1 e perpendicular a um determinado plano terão a forma:

x = x 1 + λ y = y 1 z = z 1

Vamos encontrar as coordenadas do ponto de intersecção desta reta e do plano dado. Vamos primeiro substituir as igualdades na equação A x + D = 0: x = x 1 + λ , y = y 1 , z = z 1 e obter: A · (x 1 + λ) + D = 0 ⇒ λ = - DA - x 1

Em seguida, calculamos as coordenadas necessárias usando as equações paramétricas da linha reta com λ = - D A - x 1:

x = x 1 + - D A - x 1 y = y 1 z = z 1 ⇔ x = - D A y = y 1 z = z 1

Ou seja, a projeção do ponto M 1 (x 1, y 1, z 1) no plano será um ponto com coordenadas - D A, y 1, z 1.

Exemplo 2

É necessário determinar as coordenadas da projeção do ponto M 1 (- 6, 0, 1 2) no plano coordenado O x y e no plano 2 y - 3 = 0.

Solução

O plano coordenado O x y corresponderá à equação geral incompleta do plano z = 0. A projeção do ponto M 1 no plano z = 0 terá coordenadas (- 6, 0, 0).

A equação plana 2 y - 3 = 0 pode ser escrita como y = 3 2 2. Agora basta anotar as coordenadas da projeção do ponto M 1 (- 6, 0, 1 2) no plano y = 3 2 2:

6 , 3 2 2 , 1 2

Responder:(- 6 , 0 , 0) e - 6 , 3 2 2 , 1 2

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Projeção(lat. Projicio - lançar para frente) - o processo de obtenção da imagem de um objeto (objeto espacial) em qualquer superfície por meio de raios de luz ou visuais (raios que conectam condicionalmente o olho do observador com qualquer ponto do objeto espacial), que são chamados projetando.

Existem dois métodos de projeção conhecidos: central E paralelo .

Centralprojeção consiste em desenhar através de cada ponto ( A, B, C,...) do objeto representado e selecionado de uma determinada maneira centro de projeção (S) linha reta ( S.A., SB, >… — feixe de projeção).

Figura 1.1 – Projeção central

Vamos introduzir a seguinte notação (Figura 1.1):

S– centro de projeção (olho do observador);

π 1 – plano de projeção;

A, B, C

S.A., SB– projetar linhas retas (projetar raios).

Observação: usando o botão esquerdo do mouse você pode mover um ponto no plano horizontal; ao clicar em um ponto com o botão esquerdo do mouse, a direção do movimento mudará e você poderá movê-lo verticalmente;

Ponto central de projeção É chamado o ponto de intersecção da linha de projeção que passa pelo centro de projeção e o objeto de projeção (ponto) com o plano de projeção.

Propriedade 1. Cada ponto no espaço corresponde a uma única projeção, mas cada ponto no plano de projeção corresponde a muitos pontos no espaço situados na linha de projeção.

Vamos provar esta afirmação.

Na Figura 1.1: ponto UM 1 – projeção central do ponto A no plano de projeção π 1. Mas todos os pontos situados na linha de projeção podem ter a mesma projeção. Vamos assumir a linha de projeção S.A. apontar COM. Projeção central de um ponto COM(COM 1) no plano de projeção π 1 coincide com a projeção do ponto UM(UM 1):

1. COM∈ S.A.;
2. SC∩π 1 = C 1 →C 1 ≡ UM 1 .

Conclui-se que a partir da projeção de um ponto não se pode julgar inequivocamente sua posição no espaço.

Para eliminar esta incerteza, ou seja, faça um desenho reversível, introduzimos outro plano de projeção (π 2) e outro centro de projeção ( S 2) (Figura 1.2).

Figura 1.2 – Ilustração da 1ª e 2ª propriedades

Vamos construir as projeções do ponto UM no plano de projeção π 2. De todos os pontos do espaço, apenas um ponto UM tem suas projeções UM 1 para o plano π 1 e UM 2 por π 2 simultaneamente. Todos os outros pontos situados nos raios projetados terão pelo menos uma projeção diferente das projeções do ponto UM(por exemplo, ponto EM).

Propriedade 2. A projeção de uma linha reta é uma linha reta.

Vamos provar esta propriedade.

Vamos conectar os pontos UM E EM entre si (Figura 1.2). Obtemos o segmento AB, definindo uma linha reta. Triângulo Δ SAB define o plano denotado por σ. Sabe-se que dois planos se cruzam em linha reta: σ∩π 1 = UM 1 EM 1 onde UM 1 EM 1 – projeção central de uma reta definida por um segmento AB.

O método de projeção central é um modelo de percepção de imagem pelo olho, utilizado principalmente na confecção de imagens em perspectiva de canteiros de obras, interiores, bem como em tecnologia cinematográfica e óptica. O método de projeção central não resolve a principal tarefa do engenheiro - refletir com precisão a forma, o tamanho de um objeto e a proporção dos tamanhos de vários elementos.

1.2. Projeção paralela

Consideremos o método de projeção paralela. Imponhamos três restrições que nos permitirão, ainda que em detrimento da clareza da imagem, obter um desenho mais cómodo para a utilização na prática:

1. Vamos remover ambos os centros da projeção para o infinito. Assim, garantiremos que os raios projetados de cada centro fiquem paralelos e, conseqüentemente, a razão entre o comprimento real de qualquer segmento de reta e o comprimento de sua projeção dependerá apenas do ângulo de inclinação deste segmento em relação à projeção planos e não dependem da posição do centro das projeções;
2. Fixemos a direção da projeção em relação aos planos de projeção;
3. Vamos posicionar os planos de projeção perpendiculares entre si, o que facilitará a passagem da imagem nos planos de projeção para o objeto real no espaço.

Assim, tendo imposto estas restrições ao método de projeção central, chegamos ao seu caso especial - método de projeção paralela(Figura 1.3).Projeção, na qual os raios de projeção que passam por cada ponto do objeto são paralelos à direção de projeção selecionada P, chamado paralelo .

Figura 1.3 – Método de projeção paralela

Vamos introduzir a seguinte notação:

R– direção da projeção;

π 1 – plano de projeção horizontal;

UM,B– objetos de projeção – pontos;

UM 1 e EM 1 – projeções de pontos UM E EM no plano de projeção π 1.

Projeção paralela de um ponto é o ponto de intersecção da linha projetada paralela à direção de projeção dada R, com o plano de projeção π 1.

Vamos desenhar através dos pontos UM E EM projetando raios paralelos a uma determinada direção de projeção R. Feixe projetado passando por um ponto UM cruzará o plano de projeção π 1 no ponto UM 1. Da mesma forma, um raio projetado passou por um ponto EM cruza o plano de projeção no ponto EM 1. Conectando os pontos UM 1 e EM 1 , obtemos um segmento UM 1 EM 1 – projeção do segmento AB no plano π 1.

1.3. Projeção ortogonal. Método Monge

Se a direção da projeção R perpendicular ao plano de projeção p 1, então a projeção é chamada retangular (Figura 1.4),ou ortogonal (Grego ortopedia- direto, gônia– ângulo), se R não é perpendicular a π 1, então a projeção é chamada oblíquo .

Quadrilátero AA 1 EM 1 EM define o plano γ, que é chamado de projeção porque é perpendicular ao plano π 1 (γ⊥π 1). A seguir usaremos apenas projeção retangular.

Figura 1.4 – Projeção ortogonal Figura 1.5 – Monge, Gaspard (1746-1818)

O fundador da projeção ortogonal é considerado o cientista francês Gaspard Monge (Figura 1.5).

Antes de Monge, construtores, artistas e cientistas tinham informações bastante significativas sobre os métodos de projeção e, ainda assim, apenas Gaspard Monge é o criador da geometria descritiva como ciência.

Gaspard Monge nasceu em 9 de maio de 1746 na pequena cidade de Beaune (Borgonha), no leste da França, na família de um comerciante local. Ele era o mais velho de cinco filhos, para os quais seu pai, apesar das origens baixas e da relativa pobreza da família, tentou proporcionar a melhor educação disponível na época para as pessoas da classe baixa. Seu segundo filho, Louis, tornou-se professor de matemática e astronomia, o mais novo, Jean, também professor de matemática, hidrografia e navegação. Gaspard Monge recebeu sua educação inicial na escola municipal da Ordem Oratoriana. Depois de se formar em 1762 como melhor aluno, ingressou no colégio de Lyon, que também pertencia aos Oratorianos. Logo Gaspard é encarregado de ensinar física lá. No verão de 1764, Monge elaborou um plano extremamente preciso de sua cidade natal, Beaune. Os métodos e instrumentos necessários para medir ângulos e desenhar linhas foram inventados pelo próprio compilador.

Enquanto estudava em Lyon, recebeu uma oferta para ingressar na ordem e permanecer como professor universitário, porém, em vez disso, tendo demonstrado grandes habilidades em matemática, desenho e desenho, conseguiu ingressar na Escola de Engenheiros Militares de Mézières, mas (devido a sua origem) apenas como suboficial auxiliar do departamento e sem salário. No entanto, o sucesso nas ciências exatas e uma solução original para um dos importantes problemas da fortificação (a colocação de fortificações dependendo da localização da artilharia inimiga) permitiram-lhe em 1769 tornar-se assistente (professor assistente) em matemática, e depois em física, e com um salário decente de 1.800 libras por ano.

Em 1770, aos 24 anos, Monge ocupou o cargo de professor em dois departamentos simultaneamente - matemática e física, e, além disso, ministrava aulas de lapidação de pedras. Começando pela tarefa de cortar pedras com precisão de acordo com esboços dados em relação à arquitetura e fortificação, Monge chegou à criação de métodos que mais tarde generalizou numa nova ciência - a geometria descritiva, cujo criador é legitimamente considerado. Considerando a possibilidade de utilização dos métodos da geometria descritiva para fins militares na construção de fortificações, a direção da escola de Mézières não permitiu a publicação aberta até 1799, o livro foi publicado sob o título; Geometria descritiva (Geometria descritiva) (uma gravação taquigráfica dessas palestras foi feita em 1795). A abordagem para dar palestras sobre esta ciência e realizar os exercícios nela descritos sobreviveu até hoje. Outro trabalho significativo de Monge é Aplicação de análise à geometria (A aplicação de análise geométrica, 1795) - é um livro didático de geometria analítica, no qual é dada ênfase especial às relações diferenciais.

Em 1780 foi eleito membro da Academia de Ciências de Paris e em 1794 tornou-se diretor da École Polytechnique. Durante oito meses serviu como Ministro da Marinha no governo de Napoleão, foi responsável pelas fábricas de pólvora e canhões da república e acompanhou Napoleão em sua expedição ao Egito (1798-1801). Napoleão concedeu-lhe o título de conde e concedeu-lhe muitas outras honras.

O método Monge de representar objetos consiste em dois pontos principais:

1. Posição de um objeto geométrico no espaço, neste exemplo um ponto UM, é considerado em relação a dois planos perpendiculares entre si π 1 e π 2(Figura 1.6).

Eles convencionalmente dividem o espaço em quatro quadrantes. Ponto UM localizado no primeiro quadrante. O sistema de coordenadas cartesianas serviu de base para as projeções de Monge. Monge substituiu o conceito de eixos de projeção pela linha de intersecção dos planos de projeção (eixos coordenados) e propôs combinar os planos coordenados em um, girando-os em torno dos eixos coordenados.

Figura 1.6 – Modelo para construção de projeções pontuais

π 1 – plano de projeção horizontal (primeiro)

π 2 – plano de projeção frontal (segundo)

π 1 ∩π 2 - eixo de projeção (denota π 2 /π 1)

Vejamos um exemplo de projeção de ponto UM em dois planos de projeção mutuamente perpendiculares π 1 e π 2.

Vamos sair do ponto UM perpendiculares (raios projetados) nos planos π 1 e π 2 e marcam suas bases, ou seja, os pontos de intersecção dessas perpendiculares (raios projetados) com os planos de projeção. UM 1 – projeção horizontal (primeira) do ponto UM;UM 2 – projeção frontal (segunda) do ponto UM;AA 1 e AA 2 – projetando linhas retas. As setas mostram a direção da projeção nos planos de projeção π 1 e π 2. Tal sistema permite determinar inequivocamente a posição de um ponto em relação aos planos de projeção π 1 e π 2:

AA 1 ⊥π 1

UM 2 UM 0 ⊥π 2 /π 1 AA 1 = UM 2 UM 0 - distância do ponto A ao plano π 1

AA 2 ⊥π 2

UM 1 UM 0 ⊥π 2 /π 1 AA 2 = A 1 A 0 - distância do ponto A ao plano π 2

2. Vamos alinhar os planos de projeção em torno do eixo de projeção π 2 /π 1 em um plano(π 1 com π 2), mas para que as imagens não se sobreponham, (na direção α, Figura 1.6), obtemos uma imagem chamada desenho retangular (Figura 1.7):

Figura 1.7 – Desenho ortogonal

Retangular ou ortogonal é chamado Diagrama de Monge .

Direto UM 2 UM 1 é chamado linha de comunicação de projeção , que conecta projeções opostas do ponto ( UM 2 - frontal e UM 1 - horizontal) é sempre perpendicular ao eixo de projeção (eixo de coordenadas) UM 2 UM 1 ⊥π 2 /π 1 . No diagrama, os segmentos indicados entre chaves representam:

• UM 0 UM 1 – distância do ponto UM ao plano π 2, correspondente à coordenada y A;
• UM 0 UM 2 – distância do ponto UM ao plano π 1, correspondente à coordenada z A.

1.4. Projeções retangulares de um ponto. Propriedades do desenho ortográfico

1. Duas projeções retangulares de um ponto estão na mesma linha de conexão da projeção, perpendicular ao eixo das projeções.

2. Duas projeções retangulares de um ponto determinam exclusivamente sua posição no espaço em relação aos planos de projeção.

Vamos verificar a validade da última afirmação, para a qual giramos o plano π 1 para sua posição original (quando π 1 ⊥π 2). Para construir um ponto UM necessário de pontos UM 1 e UM 2 para restaurar os raios projetados e, de fato, perpendiculares aos planos π 1 e π 2, respectivamente. O ponto de intersecção dessas perpendiculares fixa o ponto desejado no espaço UM. Considere um desenho ortogonal de um ponto UM(Figura 1.8).

Figura 1.8 – Construindo um diagrama de um ponto

Vamos introduzir um terceiro plano (perfil) de projeções π 3 perpendicular a π 1 e π 2 (especificado pelo eixo de projeções π 2 /π 3).

Distância da projeção do perfil de um ponto ao eixo vertical das projeções UM‘ 0 UM 3 permite determinar a distância de um ponto UM ao plano frontal das projeções π 2. Sabe-se que a posição de um ponto no espaço pode ser fixada em relação ao sistema de coordenadas cartesianas por meio de três números (coordenadas) UM(X UM; S UM; Z A) ou em relação aos planos de projeção usando suas duas projeções ortogonais ( UM 1 =(X UM; S UM); UM 2 =(X UM; Z UM)). Em um desenho ortogonal, usando duas projeções de um ponto, você pode determinar suas três coordenadas e, inversamente, usando as três coordenadas de um ponto, construir suas projeções (Figura 1.9, a e b).

Figura 1.9 – Construindo um diagrama de um ponto usando suas coordenadas

Pela localização das projeções de um ponto no diagrama, pode-se julgar sua localização no espaço:

• UM — UM 1 está sob o eixo de coordenadas X, e o da frente - UM 2 – acima do eixo X, então podemos dizer que o ponto UM pertence ao 1º quadrante;
• se houver uma projeção horizontal de um ponto no diagrama UM — UM 1 está acima do eixo de coordenadas X, e o da frente - UM 2 – sob o eixo X, então aponte UM pertence ao 3º quadrante;
• UM — UM 1 e UM 2 ficam acima do eixo X, então aponte UM pertence ao 2º quadrante;
• se houver projeções horizontais e frontais de um ponto no diagrama UM — UM 1 e UM 2 ficam sob o eixo X, então aponte UM pertence ao 4º quadrante;
• se no diagrama a projeção de um ponto coincide com o próprio ponto, significa que o ponto pertence ao plano de projeção;
• um ponto pertencente ao plano de projeção ou eixo de projeção (eixo de coordenadas) é chamado ponto privado.

Para determinar em qual quadrante do espaço está localizado um ponto, basta determinar o sinal das coordenadas do ponto.

Dependências do quadrante da posição do ponto e sinais de coordenadas

	X	S	Z
EU	+	+	+
II	+	—	+
III	+	—	—
4	+	+	—

Exercício

Construir projeções ortogonais de um ponto com coordenadas UM(60, 20, 40) e determine em qual quadrante o ponto está localizado.

Solução para o problema: ao longo do eixo BOI reservar o valor da coordenada XA =60, então através deste ponto no eixo BOI restaurar a linha de conexão da projeção perpendicular a BOI, ao longo do qual o valor da coordenada é traçado para cima ZA =40 e para baixo – o valor da coordenada S A = 20(Figura 1.10). Todas as coordenadas são positivas, o que significa que o ponto está localizado no primeiro quadrante.

Figura 1.10 – Solução do problema

1.5. Problemas para resolver de forma independente

1. Usando o diagrama, determine a posição do ponto em relação aos planos de projeção (Figura 1.11).

Figura 1.11

2. Complete as projeções ortogonais dos pontos que faltam UM, EM, COM no plano de projeção π 1, π 2, π 3 (Figura 1.12).

Figura 1.12

3. Construa as projeções do ponto:

• E, ponto simétrico UM em relação ao plano de projeção π 1 ;
• F, ponto simétrico EM em relação ao plano de projeção π 2 ;
• G, ponto simétrico COM em relação ao eixo de projeção π 2 /π 1 ;
• H, ponto simétrico D em relação ao plano bissetriz do segundo e quarto quadrantes.

4. Construa projeções ortogonais do ponto PARA, localizado no segundo quadrante e distante dos planos de projeção π 1 por 40 mm, de π 2 por 15 mm.

PROJEÇÕES DE UM PONTO.

SISTEMA ORTOGONAL DE DOIS PLANOS DE PROJEÇÕES.

A essência do método de projeção ortogonal é que um objeto é projetado em dois planos perpendiculares entre si por raios ortogonais (perpendiculares) a esses planos.

Um dos planos de projeção H é colocado horizontalmente e o segundo V é colocado verticalmente. O plano H é chamado de plano horizontal de projeções, V é chamado de plano frontal. Os planos H e V são infinitos e opacos. A linha de intersecção dos planos de projeção é chamada de eixo de coordenadas e é designada BOI. Os planos de projeção dividem o espaço em quatro ângulos diédricos - quartos.

Ao considerar projeções ortogonais, assume-se que o observador está no primeiro quarto a uma distância infinitamente grande dos planos de projeção. Como esses planos são opacos, apenas os pontos, linhas e figuras localizados no mesmo primeiro quarto serão visíveis ao observador.

Ao construir projeções, é necessário lembrar que projeção ortogonal de um pontoa base de uma perpendicular traçada a partir de um determinado ponto é chamada de planopara este avião.

A figura mostra um ponto UM e suas projeções ortogonais um 1 E um 2.

Ponto final um 1 chamado projeção horizontal pontos UM, apontar um 2- dela projeção frontal. Cada um deles é a base de uma perpendicular traçada a partir de um ponto UM respectivamente no avião H E V.

Pode-se provar que projeção pontualsempre localizados em linhas retas, perpendiculareseixo ocularOH e cruzando este eixono mesmo ponto. Na verdade, projetando raios UMum 1 E UMum 2 definir um plano perpendicular aos planos de projeção e a linha de sua intersecção - o eixo OH. Este plano cruza H E V em linhas retas um 1 umx E um 1 umx, que se formam com o eixo BOI e entre si formam ângulos retos com o vértice no ponto UMx.

O oposto também é verdadeiro, ou seja, se os pontos são dados em planos de projeçãoum 1 E um 2 , localizado em linhas retas que se cruzam eixo BOIem um determinado ponto em um ângulo reto,então eles são projeções de algunsponto A. Este ponto é determinado pela intersecção de perpendiculares construídas a partir dos pontos um 1 E um 2 para aviões H E V.

Observe que a posição dos planos de projeção no espaço pode ser diferente. Por exemplo, ambos os planos, sendo mutuamente perpendiculares, podem ser verticais, mas mesmo neste caso, a suposição comprovada acima sobre a orientação das projeções opostas dos pontos em relação ao eixo permanece válida.

Para obter um desenho plano composto pelas projeções acima, o plano H combinados por rotação em torno de um eixo BOI com avião V, conforme mostrado pelas setas na figura. Como resultado, o semiplano frontal H estará alinhado com o semiplano inferior V, e o meio plano traseiro H- com semiplano superior V.

Um desenho de projeção em que os planos de projeção com tudo o que neles está representado são combinados de uma certa maneira entre si é denominado diagrama(do francês epure - desenho). A figura mostra um diagrama de um ponto UM.

Com este método de combinar planos H E V projeções um 1 E um 2 estará localizado na mesma perpendicular ao eixo BOI. Neste caso, a distância um 1 um x — da projeção horizontal de um ponto ao eixo BOI UM avião V, e a distância um 2 um x — da projeção frontal de um ponto ao eixo BOI igual à distância do próprio ponto UM avião H.

Vamos concordar em chamar as linhas retas que conectam as projeções opostas de um ponto em um diagrama linhas de comunicação de projeção.

A posição das projeções dos pontos no diagrama depende de em que trimestre o ponto determinado está localizado. Então, se o ponto EM está localizado no segundo trimestre, então, após combinar os planos, ambas as projeções parecerão estar acima do eixo BOI.

Se o ponto COM está no terceiro quarto, então sua projeção horizontal, após combinar os planos, ficará acima do eixo, e sua projeção frontal ficará abaixo do eixo BOI. Finalmente, se o ponto D está localizado no quarto trimestre, então ambas as projeções estarão sob o eixo BOI. A figura mostra os pontos M E N, situado nos planos de projeção. Nesta posição, o ponto coincide com uma de suas projeções, enquanto sua outra projeção está no eixo BOI. Essa característica também se reflete na designação: próximo à projeção com a qual o próprio ponto coincide, uma letra maiúscula é escrita sem índice.

Deve-se notar também que as duas projeções de um ponto coincidem. Isso acontecerá se o ponto estiver no segundo ou quarto quarto e à mesma distância dos planos de projeção. Ambas as projeções são combinadas com o próprio ponto se este estiver localizado no eixo BOI.

SISTEMA ORTOGONAL DE TRÊS PLANOS DE PROJEÇÕES.

Foi mostrado acima que duas projeções de um ponto determinam sua posição no espaço. Como cada figura ou corpo é um conjunto de pontos, pode-se argumentar que duas projeções ortogonais de um objeto (na presença de designações de letras) determinam completamente sua forma.

No entanto, na prática de representar estruturas de edifícios, máquinas e diversas estruturas de engenharia, surge a necessidade de criar projeções adicionais. Eles fazem isso com o único propósito de tornar o desenho da projeção mais claro e legível.

O modelo de três planos de projeção é mostrado na figura. O terceiro plano, perpendicular e H E V, denotado pela letra C e é chamado perfil.

As projeções de pontos neste plano também serão chamadas de perfil e são designadas por letras maiúsculas ou números com índice 3 (umh,bh,cz, ...1z, 2z, 3 3...).

Os planos de projeção, que se cruzam aos pares, definem três eixos: SOBREX, SOBRES E SOBREZ, que pode ser considerado como um sistema de coordenadas cartesianas retangulares no espaço com início no ponto O. O sistema de sinais indicado na figura corresponde ao “sistema destro” de coordenadas.

Três planos de projeção dividem o espaço em oito ângulos triédricos - estes são os chamados octantes. A numeração dos octantes é dada na figura.

Para obter um diagrama do plano H E C gire conforme mostrado na figura até ficar alinhado com o plano V. Como resultado da rotação, o semiplano frontal H acaba por ser combinado com o semiplano inferior V, e o meio plano traseiro H- com semiplano superior V. Quando girado 90° em torno de um eixo SOBREZ semiplano anterior C alinha com o semiplano direito V, e o meio plano traseiro C- com semiplano esquerdo V.

A visão final de todos os planos de projeção combinados é dada na figura. Neste desenho os eixos SOBREX E SOBREZ, deitado em um plano fixo V, são representados apenas uma vez, e o eixo SOBRES mostrado duas vezes. Isto é explicado pelo fato de que, girando com o plano H, eixo SOBRES no diagrama é combinado com o eixo SOBREZ, e girando com o avião C, o mesmo eixo está alinhado com o eixo SOBREX.

No futuro, ao designar eixos no diagrama, semi-eixos negativos (— SOBREX, — SOBRES, — SOBREZ) não será indicado.

TRÊS COORDENADAS E TRÊS PROJEÇÕES DE UM PONTO E SEU RAIO-VETOR.

Coordenadas são números quecombinar o ponto para determinarmudando sua posição no espaço ou emsuperfícies.

No espaço tridimensional, a posição de um ponto é determinada usando coordenadas cartesianas retangulares x, você E z.

Coordenada X chamado abscissa, no— ordenar E z — aplicar. Abscissa X determina a distância de um determinado ponto a um plano C, ordenar você- avião V e aplicar z - avião H. Tendo adotado o sistema mostrado na figura para medir as coordenadas de um ponto, comporemos uma tabela de sinais de coordenadas em todos os oito octantes. Qualquer ponto no espaço UM, dado por coordenadas será denotado da seguinte forma: UM(x, y,z).

Se x = 5, y = 4 e z = 6, então a entrada terá a seguinte forma UM(5, 4, 6). Este ponto UM, todas as coordenadas são positivas, está no primeiro octante

Coordenadas de ponto UM são ao mesmo tempo as coordenadas do seu vetor raio

OA em relação à origem. Se eu, j, k— vetores unitários direcionados respectivamente ao longo dos eixos coordenados x, y,z(foto), então

OA =SOBREUm x eu+OAsimj + OAzk , Onde OA X, OA U, OA g - coordenadas vetoriais OA

Recomenda-se construir uma imagem do próprio ponto e suas projeções em um modelo espacial (figura) utilizando um paralelepípedo retangular coordenado. Primeiro de tudo, nos eixos coordenados do ponto SOBRE estabelecer segmentos correspondentemente iguais 5, 4 e 6 unidades de comprimento. Nestes segmentos (SOBREum x , SOBREsim , SOBREuma z ), como nas bordas, constrói-se um paralelepípedo retangular. Seu vértice, oposto à origem, determinará o ponto dado UM.É fácil ver que para determinar um ponto UM basta construir apenas três arestas do paralelepípedo, por exemplo SOBREum x , um x um 1 E um 1 UM ou SOBREsim , sim, sim 1 E um 1 UM etc. Essas arestas formam uma polilinha coordenada, cujo comprimento de cada link é determinado pela coordenada correspondente do ponto.

No entanto, construir um paralelepípedo permite determinar não apenas o ponto UM, mas também todas as suas três projeções ortogonais.

Raios projetando um ponto em um plano H, V, C são aquelas três arestas do paralelepípedo que se cruzam no ponto UM.

Cada uma das projeções ortogonais de um ponto UM, estando localizado em um plano, é determinado por apenas duas coordenadas.

Então, projeção horizontal um 1 determinado por coordenadas X E sim, projeção frontal um 2 - coordenadas x ez, projeção de perfil um 3 — coordenadas no E z. Mas quaisquer duas projeções são determinadas por três coordenadas. É por isso que especificar um ponto com duas projeções equivale a especificar um ponto com três coordenadas.

No diagrama (figura), onde todos os planos de projeção são combinados, as projeções um 1 E um 2 estará na mesma perpendicular ao eixo SOBREX, e projeções um 2 E um 3 — em uma perpendicular ao eixo OZ.

Em relação às projeções um 1 E um 3 , então eles estão conectados por linhas retas um 1 sim E um 3 sim , perpendicular ao eixo SOBRES. Mas como este eixo no diagrama ocupa duas posições, então o segmento um 1 sim não pode ser uma continuação de um segmento um 3 sim .

Construindo projeções pontuais UMA (5, 4, 6) no diagrama de acordo com as coordenadas fornecidas, execute na seguinte sequência: primeiro, um segmento é traçado no eixo das abcissas a partir da origem das coordenadas SOBREum x =x(no nosso caso x =5), então através do ponto um x desenhar perpendicular ao eixo SOBREX, no qual, tendo em conta os sinais, traçamos os segmentos um x um 1 = você(obtemos um 1 ) E um x um 2 = z(obtemos um 2 ). Resta construir uma projeção de perfil do ponto um 3 . Como o perfil e as projeções frontais do ponto devem estar localizados na mesma perpendicular ao eixo OZ , então através um 3 realizar direto um 2 uma z ^ OZ.

Finalmente, surge a última questão: a que distância do eixo SOBREZ deveria ser um 3?

Considerando o paralelepípedo coordenado (ver figura), cujas arestas uma z uma 3 =O sim = um x um 1 = sim concluímos que a distância necessária uma z uma 3 é igual você. Segmento uma z uma 3 colocado à direita do eixo OZ se y>0, e à esquerda se y

Vamos ver quais mudanças ocorrerão no diagrama quando o ponto começar a mudar sua posição no espaço.

Deixe, por exemplo, um ponto UMA (5, 4, 6) se moverá em linha reta perpendicular ao plano V. Com tal movimento, apenas uma coordenada mudará sim, mostrando a distância de um ponto a um plano V. As coordenadas permanecerão constantes x ez , e a projeção do ponto determinado por essas coordenadas, ou seja, um 2 não mudará sua posição.

Em relação às projeções um 1 E um 3 , então o primeiro começará a se aproximar do eixo SOBREX, o segundo - para o eixo SOBREZ. Nas figuras, a nova posição do ponto corresponde à designação um 1 (um 1 1 um 2 1 um 3 1 ). No momento em que o ponto está no plano V(y = 0), duas das três projeções ( um 1 2 E um 3 2 ) ficará nos eixos.

Tendo mudado de EU octante em II, o ponto começará a se afastar do plano V, coordenar no torna-se negativo, seu valor absoluto aumentará. Projeção horizontal deste ponto, localizado no semiplano posterior H, no diagrama aparecerá acima do eixo SOBREX, e a projeção do perfil, estando no semiplano traseiro C, no diagrama estará à esquerda do eixo SOBREZ. Como sempre, um segmento uma zum 3 3 = você.

Nos diagramas subsequentes não indicaremos com letras os pontos de intersecção dos eixos coordenados com as linhas de conexão da projeção. Isso simplificará o desenho até certo ponto.

No futuro, haverá diagramas sem eixos coordenados. Isto é o que se faz na prática ao representar objetos, quando apenas a imagem em si é significativação do objeto, e não sua posição relativaespecificamente planos de projeção.

Os planos de projeção, neste caso, são determinados com precisão apenas até a translação paralela (figura). Eles geralmente são movidos paralelamente a si mesmos, de modo que todos os pontos do objeto fiquem acima do plano H e na frente do avião V. Como a posição do eixo X 12 é incerta, a formação do diagrama, neste caso, não precisa estar associada à rotação dos planos em torno do eixo coordenado. Ao passar para o diagrama plano H E V são combinados de modo que projeções opostas de pontos estejam localizadas em linhas verticais.

Diagrama sem eixo dos pontos A e B(desenho) Nãodetermina suas posições no espaço,mas permite julgar sua orientação relativa. Assim, o segmento △x caracteriza o deslocamento do ponto UM em relação ao ponto EM em uma direção paralela aos planos H e V Em outras palavras, △x indica a distância do ponto. UM localizado à esquerda do ponto EM. O deslocamento relativo de um ponto na direção perpendicular ao plano V é determinado pelo segmento △y, ou seja, o ponto E em em nosso exemplo mais próximo do observador do que o ponto EM, a uma distância igual a △y.

Finalmente, o segmento △z mostra o excesso do ponto UM acima do ponto EM.

Os defensores do estudo sem eixos de um curso de geometria descritiva apontam corretamente que, ao resolver muitos problemas, pode-se prescindir de eixos coordenados. No entanto, o seu abandono total não pode ser considerado aconselhável. A geometria descritiva visa preparar o futuro engenheiro não só para a execução competente de desenhos, mas também para a resolução de diversos problemas técnicos, entre os quais os problemas de estática espacial e mecânica não ocupam o último lugar. E para isso é necessário desenvolver a capacidade de orientar este ou aquele objeto em relação aos eixos coordenados cartesianos. Essas habilidades também serão necessárias ao estudar seções de geometria descritiva como perspectiva e axonometria. Portanto, em vários diagramas deste livro salvamos imagens de eixos coordenados. Tais desenhos determinam não apenas a forma do objeto, mas também sua localização em relação aos planos de projeção.

Curso de curta duração em geometria descritiva

As aulas teóricas destinam-se a estudantes de engenharia e especialidades técnicas

Método Monge

Se a informação sobre a distância de um ponto em relação ao plano de projeção for dada não por meio de uma marca numérica, mas por meio de uma segunda projeção do ponto construído no segundo plano de projeção, então o desenho é denominado de duas imagens ou complexo.
Os princípios básicos para a construção de tais desenhos são delineados por G. Monge.

O método delineado por Monge - o método de projeção ortogonal, onde duas projeções são feitas em dois planos de projeção perpendiculares entre si - garantindo expressividade, precisão e mensurabilidade das imagens de objetos em um plano, foi e continua sendo o principal método de elaboração de desenhos técnicos

O modelo de três planos de projeção é mostrado na Figura 1.1. O terceiro plano, perpendicular a P1 e P2, é designado pela letra P3 e é denominado perfil. As projeções dos pontos neste plano são indicadas por letras maiúsculas ou números com índice 3. Os planos de projeção, que se cruzam aos pares, definem três eixos 0x, 0y e 0z, que podem ser considerados como um sistema de coordenadas cartesianas no espaço com início em ponto 0. Os três planos de projeção dividem o espaço em oito ângulos triédricos - octantes. Como antes, assumiremos que o observador que olha para o objeto está no primeiro octante. Para obter um diagrama, pontos do sistema de três planos de projeção, planos P1 e P3, são girados até ficarem alinhados com o plano P2. Ao designar eixos em um diagrama, os semieixos negativos geralmente não são indicados. Se apenas a imagem do objeto em si for significativa, e não sua posição em relação aos planos de projeção, então os eixos não serão mostrados no diagrama. Coordenadas são números atribuídos a um ponto para determinar sua posição no espaço ou em uma superfície. No espaço tridimensional, a posição de um ponto é estabelecida por meio de coordenadas cartesianas retangulares x, y e z (abscissa, ordenada e aplicada).

Para determinar a posição de uma linha no espaço, existem os seguintes métodos: 1. Dois pontos (A e B).<; <; <.

Considere dois pontos no espaço A e B (Fig. 2.1). Através destes pontos podemos traçar uma reta e obter um segmento. Para encontrar as projeções deste segmento no plano de projeção, é necessário encontrar as projeções dos pontos A e B e conectá-las com uma linha reta. Cada uma das projeções de um segmento no plano de projeção é menor que o próprio segmento:

Figura 2.1 Determinando a posição de uma linha reta usando dois pontos

2. Dois planos (a; b).

Este método de configuração é determinado pelo fato de que dois planos não paralelos se cruzam no espaço em linha reta (este método é discutido em detalhes no curso de geometria elementar).

3. Ponto e ângulos de inclinação em relação aos planos de projeção.

2.1. As linhas retas paralelas ao plano horizontal das projeções são chamadas de horizontais ou horizontais (Fig. 3.2).

Figura 3.2 Linha horizontal

2.2. As linhas retas paralelas ao plano frontal das projeções são chamadas de frontais ou frontais (Fig. 3.3).

Figura 3.3 Reto frontal

2.3. As projeções diretas paralelas ao plano do perfil são chamadas de perfil (Fig. 3.4).

Figura 3.4 Perfil reto

3. As linhas perpendiculares aos planos de projeção são chamadas de linhas de projeção. Uma linha perpendicular a um plano de projeção é paralela aos outros dois. Dependendo de qual plano de projeção a linha em estudo é perpendicular, existem:

3.1. Linha reta projetada frontalmente - AB (Fig. 3.5).

Figura 3.5 Linha de projeção frontal

3.2. O perfil que projeta a linha reta é AB (Fig. 3.6).

Figura 3.6 Linha de projeção de perfil

3.3. Linha projetada horizontalmente - AB (Fig. 3.7).

Figura 3.7 Linha de projeção horizontal

Plano é um dos conceitos básicos da geometria. Numa apresentação sistemática da geometria, o conceito de plano é normalmente tomado como um dos conceitos iniciais, que só é determinado indiretamente pelos axiomas da geometria. Algumas propriedades características de um plano: 1. Um plano é uma superfície que contém completamente toda linha reta conectando qualquer um de seus pontos;

2. Um plano é um conjunto de pontos equidistantes de dois pontos dados.

Métodos para especificar planos graficamente A posição de um plano no espaço pode ser determinada:

1. Três pontos que não estão na mesma linha reta (Fig. 4.1).

Figura 4.1 Plano definido por três pontos que não estão na mesma linha

2. Uma reta e um ponto que não pertence a esta reta (Fig. 4.2).

Figura 4.2 Plano definido por uma reta e um ponto não pertencente a esta reta

3. Duas linhas retas que se cruzam (Fig. 4.3).

Figura 4.3 Plano definido por duas retas que se cruzam

4. Duas linhas paralelas (Fig. 4.4).

Figura 4.4 Plano definido por duas retas paralelas

Posição diferente do plano em relação aos planos de projeção

1. Um plano não perpendicular a qualquer plano de projeção é denominado plano geral. Tal plano cruza todos os planos de projeção (possui três traços: - horizontal S 1; - frontal S 2; - perfil S 3).

Os traços de um plano genérico se cruzam aos pares nos eixos nos pontos ax,ay,az. Esses pontos são chamados de pontos de fuga e podem ser considerados como os vértices dos ângulos triédricos formados por um determinado plano com dois dos três planos de projeção.

Cada um dos traços do plano coincide com sua projeção de mesmo nome, e duas outras projeções de nomes diferentes estão nos eixos (Fig. 5.1).

2. Planos perpendiculares aos planos de projeção - ocupam uma determinada posição no espaço e são chamados de projeção. Dependendo de qual plano de projeção o plano fornecido é perpendicular, existem:

2.1. O plano perpendicular ao plano de projeção horizontal (S ^П1) é chamado de plano de projeção horizontal. A projeção horizontal de tal plano é uma linha reta, que também é seu traço horizontal. As projeções horizontais de todos os pontos de quaisquer figuras neste plano coincidem com o traço horizontal (Fig. 5.2).

Figura 5.2 Plano de projeção horizontal

2.2. O plano perpendicular ao plano frontal de projeções (S ^П2) é o plano de projeção frontal. A projeção frontal do plano S é uma linha reta que coincide com o traço S 2 (Fig. 5.3).

Figura 5.3 Plano de projeção frontal

2.3. O plano perpendicular ao plano do perfil (S ^П3) é o plano de projeção do perfil. Um caso especial de tal plano é um plano bissetor (Fig. 5.4).

Figura 5.4 Plano de projeção de perfil

3. Os planos paralelos aos planos de projeção ocupam uma posição particular no espaço e são chamados de planos nivelados. Dependendo de qual plano o plano em estudo é paralelo, existem:

3.1. Plano horizontal - um plano paralelo ao plano horizontal de projeções (S //П1) - (S ^П2, S ^П3). Qualquer figura neste plano é projetada no plano P1 sem distorção, e nos planos P2 e P3 em linhas retas - traços do plano S 2 e S 3 (Fig. 5.5).

Figura 5.5 Plano horizontal

3.3. Plano de perfil - um plano paralelo ao plano de perfil das projeções (S //P3), (S ^P1, S ^P2). Qualquer figura neste plano é projetada no plano P3 sem distorção, e nos planos P1 e P2 em linhas retas - traços do plano S 1 e S 2 (Fig. 5.7).

Figura 5.7 Plano de perfil

Traços de avião

O traço de um plano é a linha de intersecção do plano com os planos de projeção. Dependendo de qual dos planos de projeção um determinado plano se cruza, existem: traços horizontais, frontais e de perfil do plano.

Cada traço do plano é uma reta, para construir a qual é necessário conhecer dois pontos, ou um ponto e a direção da reta (como para construir qualquer reta). A Figura 5.8 mostra a localização dos traços do plano S (ABC). O traço frontal do plano S 2 é construído como uma reta que liga dois pontos 12 e 22, que são os traços frontais das retas correspondentes pertencentes ao plano S. Traço horizontal S 1 – uma linha reta que passa pelo traço horizontal da linha reta AB e S x. Traço de perfil S 3 – reta que liga os pontos (S y e S z) de intersecção dos traços horizontal e frontal com os eixos.

Figura 5.8 Construção de traços planos

Determinar a posição relativa de uma linha reta e de um plano é um problema posicional, para cuja solução se utiliza o método dos planos auxiliares de corte. A essência do método é a seguinte: traçamos um plano de corte auxiliar Q através de uma linha reta e estabelecemos a posição relativa de duas linhas retas aeb, a última das quais é a linha de intersecção do plano de corte auxiliar Q e esta plano T (Fig. 6.1).

Figura 6.1 Método de planos auxiliares de corte

Cada um dos três casos possíveis da posição relativa destas linhas corresponde a um caso semelhante da posição relativa da linha e do plano. Assim, se ambas as retas coincidem, então a reta a está no plano T, o paralelismo das retas indicará o paralelismo da reta e do plano e, por fim, a intersecção das retas corresponde ao caso em que a reta a intercepta o plano T. Assim, são possíveis três casos de localização relativa da reta e do plano: A reta pertence ao plano;

Uma linha reta é paralela a um plano;

Uma linha reta cruza um plano; um caso especial é uma linha reta perpendicular ao plano.

Tarefa. Dado um plano (n,k) e uma projeção da reta m2.

É necessário encontrar as projeções que faltam da linha m se for conhecido que ela pertence ao plano definido pelas linhas que se cruzam n e k.

A projeção da reta m2 cruza as retas n e k nos pontos B2 e C2, para encontrar as projeções faltantes da reta, é necessário encontrar as projeções faltantes dos pontos B e C como pontos situados nas retas n e k, respectivamente;

Assim, os pontos B e C pertencem ao plano definido pelas retas que se cruzam n e k, e a reta m passa por esses pontos, o que significa, segundo o axioma, a reta pertence a este plano.

Axioma 2. Uma linha reta pertence a um plano se tiver um ponto comum com o plano e for paralela a qualquer linha reta localizada neste plano (Fig. 6.3).

Tarefa. Desenhe uma reta m passando pelo ponto B se for conhecido que ela pertence ao plano definido pelas retas que se cruzam n e k.

Seja B pertencente a uma reta n situada no plano dado pelas retas que se cruzam n e k. Através da projeção B2 traçamos a projeção da reta m2 paralela à reta k2, para encontrar as projeções que faltam da reta, é necessário construir uma projeção do ponto B1 como um ponto situado na projeção da reta n1 e através dela desenhar a projeção; da linha m1 paralela à projeção k1.

Assim, os pontos B pertencem ao plano definido pelas retas n e k que se cruzam, e a reta m passa por esse ponto e é paralela à reta k, o que significa, segundo o axioma, a reta pertence a esse plano.

Figura 6.3 A reta tem um ponto comum com o plano e é paralela à reta localizada neste plano

Principais linhas do avião

Dentre as retas pertencentes ao plano, um lugar especial é ocupado pelas retas que ocupam uma determinada posição no espaço:

1. Horizontais h - retas situadas em um determinado plano e paralelas ao plano horizontal de projeções (h//P1) (Fig. 6.4).

4. A linha da maior inclinação e sua projeção horizontal formam um ângulo linear j, que mede o ângulo diédrico formado por este plano e o plano horizontal de projeções (Fig. 6.7).

Obviamente, se uma linha reta não tem dois pontos comuns com um plano, então ela é paralela ao plano ou o intercepta.

Figura 6.7 Linha de maior inclinação

A posição relativa de um ponto e de um plano

Existem duas opções possíveis para a posição relativa de um ponto e de um plano: ou o ponto pertence ao plano ou não.

Se um ponto pertence a um plano, então das três projeções que determinam a posição do ponto no espaço, apenas uma pode ser especificada arbitrariamente.

Consideremos um exemplo (Fig. 6.8): Construção de uma projeção do ponto A pertencente a um plano de posição geral definido por duas retas paralelas a(a//b).

Tarefa. Dado: plano T(a,b) e projeção do ponto A2.

É necessário construir uma projeção A1 se for conhecido que o ponto A está no plano b,a.

2. Planos que se cruzam, um caso especial – planos mutuamente perpendiculares. A linha de intersecção de dois planos é uma linha reta, para construí-la basta determinar seus dois pontos comuns aos dois planos, ou um ponto e a direção da linha de intersecção dos planos.

Consideremos a construção da linha de intersecção de dois planos quando um deles está se projetando (Fig. 7.2).

Tarefa. Dado: o plano de posição geral é dado pelo triângulo ABC, e o segundo plano é o plano T que se projeta horizontalmente. É necessário construir uma linha de intersecção dos planos.

A solução para o problema é encontrar dois pontos comuns a esses planos através dos quais uma linha reta possa ser traçada. O plano definido pelo triângulo ABC pode ser representado como retas (AB), (AC), (BC). O ponto de intersecção da reta (AB) com o plano T é o ponto D, a reta (AC) é F. O segmento define a linha de intersecção dos planos. Como T é um plano que se projeta horizontalmente, a projeção D1F1 coincide com o traço do plano T1, então resta apenas construir as projeções que faltam em P2 e P3.

Figura 7.2. Intersecção de um plano de posição geral com um plano que se projeta horizontalmente

Passemos ao caso geral. Sejam dois planos genéricos a(m,n) eb (ABC) dados no espaço (Fig. 7.3).

Figura 7.3. Intersecção de planos genéricos

Planos mutuamente perpendiculares. Da estereometria sabe-se que dois planos são perpendiculares entre si se um deles passa pela perpendicular ao outro. Através do ponto A é possível traçar muitos planos perpendiculares a um determinado plano a(f,h). Esses planos formam um feixe de planos no espaço, cujo eixo é a perpendicular que desce do ponto A ao plano a. Para traçar um plano do ponto A perpendicular ao plano dado por duas retas que se cruzam hf, é necessário traçar uma reta n do ponto A perpendicular ao plano hf (a projeção horizontal n é perpendicular à projeção horizontal da linha horizontal h, a projeção frontal n é perpendicular à projeção frontal do frontal f). Qualquer plano que passe pela linha n será perpendicular ao plano hf, portanto, para definir um plano através dos pontos A, desenhe uma linha arbitrária m. O plano definido por duas retas que se cruzam mn será perpendicular ao plano hf (Fig. 7.4).

Figura 7.4. Planos mutuamente perpendiculares

Método de movimento plano-paralelo

A alteração da posição relativa do objeto projetado e dos planos de projeção usando o método de movimento plano-paralelo é realizada alterando a posição do objeto geométrico para que a trajetória de seus pontos fique em planos paralelos. Os planos portadores das trajetórias de movimento dos pontos são paralelos a qualquer plano de projeção (Fig. 8.1). A trajetória é uma linha arbitrária. Quando um objeto geométrico é transferido paralelamente em relação aos planos de projeção, a projeção da figura, embora mude de posição, permanece congruente com a projeção da figura em sua posição original.

Figura 8.1 Determinação do tamanho natural de um segmento usando o método de movimento plano-paralelo

Propriedades do movimento plano paralelo:

1. Sempre que os pontos se movem em um plano paralelo ao plano P1, sua projeção frontal se move ao longo de uma linha reta paralela ao eixo x.

2. No caso de movimento arbitrário de um ponto em um plano paralelo a P2, sua projeção horizontal se move ao longo de uma linha reta paralela ao eixo x.

Método de rotação em torno de um eixo perpendicular ao plano de projeção

Os planos portadores das trajetórias de movimento dos pontos são paralelos ao plano de projeção. A trajetória é um arco de círculo cujo centro está no eixo perpendicular ao plano de projeção. Para determinar o valor natural de um segmento de reta na posição geral AB (Fig. 8.2), selecionamos o eixo de rotação (i) perpendicular ao plano horizontal de projeções e passando por B1. Vamos girar o segmento para que fique paralelo ao plano frontal das projeções (a projeção horizontal do segmento é paralela ao eixo x). Neste caso, o ponto A1 se moverá para A"1, e o ponto B não mudará de posição. A posição do ponto A"2 está na intersecção da projeção frontal da trajetória do ponto A (reta paralela ao x -eixo) e a linha de conexão desenhada a partir de A"1. A projeção resultante B2 A"2 determina o tamanho natural do próprio segmento.

Figura 8.2 Determinação do tamanho natural de um segmento usando o método de rotação em torno de um eixo perpendicular ao plano horizontal de projeções

Método de rotação em torno de um eixo paralelo ao plano de projeção

Vamos considerar este método usando o exemplo de determinação do ângulo entre linhas que se cruzam (Fig. 8.3). Vamos considerar duas projeções de retas que se cruzam aeb, que se cruzam no ponto K. Para determinar o valor natural do ângulo entre essas retas, é necessário transformar as projeções ortogonais para que as retas fiquem paralelas ao plano de projeção. Vamos usar o método de rotação em torno da linha de nível - a horizontal. Desenhemos uma projeção frontal arbitrária da linha horizontal h2 paralela ao eixo do Boi, que cruza as linhas nos pontos 12 e 22. Tendo determinado as projeções 11 e 11, construiremos uma projeção horizontal da linha horizontal h1. A trajetória de movimento de todos os pontos ao girar em torno da horizontal é um círculo que se projeta no plano P1 na forma de uma linha reta perpendicular à projeção horizontal da horizontal.

Figura 8.3 Determinação do ângulo entre linhas que se cruzam girando em torno de um eixo paralelo ao plano de projeção horizontal

Assim, a trajetória do ponto K1 é determinada pela reta K1O1, o ponto O é o centro do círculo - a trajetória do ponto K. Para encontrar o raio deste círculo, usamos o método do triângulo para encontrar o natural valor do segmento KO Continuamos a reta K1O1 de modo que |O1K"1|=|KO|. O ponto K"1 corresponde ao ponto K quando as retas aeb estão em um plano paralelo a P1 e traçadas através da horizontal. - o eixo de rotação. Levando isso em consideração, através do ponto K"1 e dos pontos 11 e 21, traçamos retas que agora estão em um plano paralelo a P1 e, portanto, o ângulo phi é o valor natural do ângulo entre as retas a e b.

Método de substituição do plano de projeção

A alteração da posição relativa da figura projetada e dos planos de projeção, alterando os planos de projeção, é obtida substituindo os planos P1 e P2 pelos novos planos P4 (Fig. 8.4). Novos planos são selecionados perpendicularmente aos antigos. Algumas transformações de projeção requerem dupla substituição dos planos de projeção (Fig. 8.5). A transição consecutiva de um sistema de planos de projeção para outro deve ser realizada seguindo a seguinte regra: a distância da nova projeção de um ponto ao novo eixo deve ser igual à distância da projeção substituída do ponto ao eixo substituído .

Tarefa 1: Determine o tamanho natural de um segmento de reta AB em posições gerais (Fig. 8.4). Pela propriedade da projeção paralela sabe-se que um segmento é projetado em um plano em tamanho real se for paralelo a este plano.

Escolhamos um novo plano de projeção P4, paralelo ao segmento AB e perpendicular ao plano P1. Ao introduzir um novo plano, passamos do sistema de planos P1P2 para o sistema P1P4, e no novo sistema de planos a projeção do segmento A4B4 terá o tamanho natural do segmento AB.

Figura 8.4. Determinando o valor natural de um segmento de linha reta substituindo os planos de projeção

Tarefa 2: Determine a distância do ponto C à reta geral dada pelo segmento AB (Fig. 8.5).

Figura 8.5. Determinando o valor natural de um segmento de linha reta substituindo os planos de projeção

Capítulo 6. PROJEÇÕES DE UM PONTO. DESENHO COMPLEXO

§ 32. Desenho complexo de um ponto

As regras para construção de imagens em desenhos em gráficos de engenharia são baseadas no método de projeção. Uma imagem (projeção) de um corpo geométrico não nos permite julgar sua forma geométrica ou a forma das imagens geométricas mais simples que compõem essa imagem. Assim, não se pode julgar a posição de um ponto no espaço apenas pela sua projeção; sua posição no espaço é determinada por duas projeções.

Considere um exemplo de construção de uma projeção de um ponto UM, localizado no espaço de um ângulo diédrico (Fig. 60). Colocaremos um dos planos de projeção horizontalmente e o chamaremos plano de projeção horizontal e denotamos pela letra P 1. Projeções de elementos

espaços nele serão denotados com índice 1: Um 1, um 1, S 1 ... e ligue projeções horizontais(pontos, retas, planos).

Colocaremos o segundo plano verticalmente à frente do observador, perpendicular ao primeiro, vamos chamá-lo plano de projeção vertical e denotar P2. Denotaremos as projeções dos elementos do espaço nele com o índice 2: UM 2, 2 e ligue projeções frontais(pontos, retas, planos). Vamos chamar a linha de intersecção dos planos de projeção eixo de projeção.

Vamos projetar um ponto UM ortogonalmente em ambos os planos de projeção:

AA 1 _|_ P 1 ;AA 1 ^P 1 =A 1 ;

AA 2 _|_ P 2 ;AA 2 ^P 2 =A 2 ;

Raios de projeção AA 1 e AA 2 mutuamente perpendiculares e criam um plano de projeção no espaço AA 1 AA 2, perpendicular a ambos os lados das projeções. Este plano cruza os planos de projeção ao longo das linhas que passam pelas projeções do ponto UM.

Para obter um desenho plano, combine o plano horizontal das projeções P1 com o plano frontal P 2 girando em torno do eixo P 2 / P 1 (Fig. 61, a). Então ambas as projeções do ponto estarão na mesma linha perpendicular ao eixo P 2 / P 1. Direto Um 1 Um 2, conectando horizontalmente Um 1 e frontal Um 2 a projeção de um ponto é chamada linha de comunicação vertical.

O desenho plano resultante é chamado desenho complexo.É a imagem de um objeto em vários planos combinados. Um desenho complexo que consiste em duas projeções ortogonais interligadas é chamado de duas projeções. Neste desenho, as projeções horizontal e frontal dos pontos estão sempre na mesma linha de ligação vertical.

Duas projeções ortogonais interconectadas de um ponto determinam exclusivamente sua posição em relação aos planos de projeção. Se determinarmos a posição do ponto UM em relação a esses planos (Fig. 61, b) sua altura h (AA 1 =h) e profundidade f(AA 2 =f ), então estes quantidades em um desenho complexo existem como segmentos de uma linha de comunicação vertical. Esta circunstância permite reconstruir facilmente o desenho, ou seja, determinar a partir do desenho a posição do ponto em relação aos planos de projeção. Para isso, basta no ponto A 2 do desenho restaurar uma perpendicular ao plano do desenho (considerando-o frontal) com comprimento igual à profundidade f. O final desta perpendicular determinará a posição do ponto UM em relação ao plano de desenho.

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7. Perguntas de autoteste

PERGUNTAS DE AUTOTESTE

4. Qual é o nome da distância que determina a posição de um ponto em relação ao plano de projeção? P1, P2?

7. Como construir uma projeção adicional de um ponto em um plano P 4 _|_ P 2 , P 4 _|_ P 1 , P 5 _|_ P 4 ?

9. Como construir um desenho complexo de um ponto usando suas coordenadas?

33. Elementos de um desenho complexo de três projeções de um ponto

§ 33. Elementos de um desenho complexo de três projeções de um ponto

Para determinar a posição de um corpo geométrico no espaço e obter informações adicionais sobre suas imagens, pode ser necessária a construção de uma terceira projeção. Então o terceiro plano de projeção está localizado à direita do observador, perpendicular ao plano de projeção horizontal ao mesmo tempo P1 e o plano frontal das projeções P 2 (Fig. 62, a). Como resultado da intersecção do frontal P 2 e perfil P 3 planos de projeção obtemos um novo eixo P 2 / P 3 , que está localizado em um desenho complexo paralelo à linha de comunicação vertical Um 1 Um 2(Fig. 62, b). Projeção do terceiro ponto UM- perfil - parece estar associado à projeção frontal Um 2 uma nova linha de comunicação chamada horizontal

Arroz. 62

Noé. As projeções frontais e de perfil dos pontos sempre ficam na mesma linha de conexão horizontal. Além disso A 1 A 2 _|_ Um 2 Um 1 E A 2 A 3 , _| _P2/P3 .

A posição de um ponto no espaço, neste caso, é caracterizada por sua latitude- a distância dele ao plano do perfil das projeções P 3, que denotamos pela letra R.

O desenho complexo resultante de um ponto é chamado três projeções.

Num desenho de três projeções, a profundidade de um ponto AA 2é projetado sem distorção nos planos P 1 e P 2 (Fig. 62, UM). Esta circunstância permite construir uma terceira projeção frontal do ponto UM ao longo de sua horizontal Um 1 e frontal Um 2 projeções (Fig. 62, V). Para fazer isso, desenhe uma linha de comunicação horizontal através da projeção frontal do ponto A 2 A 3 _|_A 2 A 1 . Então, em qualquer lugar do desenho, desenhe o eixo de projeção P 2 / P 3 _|_ Um 2 Um 3, medir a profundidade f de um ponto na horizontal campo de projeção e coloque-o ao longo da linha de conexão horizontal do eixo de projeção P 2 / P 3. Vamos fazer uma projeção de perfil Um 3 pontos UM.

Assim, em um desenho complexo constituído por três projeções ortogonais de um ponto, duas projeções estão na mesma linha de conexão; as linhas de comunicação são perpendiculares aos eixos de projeção correspondentes; duas projeções de um ponto determinam completamente a posição de sua terceira projeção.

Deve-se notar que em desenhos complexos, via de regra, os planos de projeção não são limitados e sua posição é definida por eixos (Fig. 62, c). Nos casos em que as condições do problema não o exijam,

Acontece que as projeções de pontos podem ser dadas sem representar eixos (Fig. 63, a,b). Tal sistema é chamado de infundado. As linhas de comunicação também podem ser traçadas com interrupção (Fig. 63, b).

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34. Posição de um ponto no espaço angular tridimensional

§ 34. Posição de um ponto no espaço de um ângulo tridimensional

A localização das projeções dos pontos em um desenho complexo depende da posição do ponto no espaço de um ângulo tridimensional. Vejamos alguns casos:

• o ponto está localizado no espaço (ver Fig. 62). Neste caso possui profundidade, altura e largura;
• o ponto está localizado no plano de projeção P1- não tem altura, P 2 - não tem profundidade, Pz - não tem largura;
• o ponto está localizado no eixo das projeções, P 2 / P 1 não possui profundidade e altura, P 2 / P 3 não possui profundidade e latitude, e P 1 / P 3 não possui altura e latitude.

35. Pontos concorrentes

§ 35. Pontos concorrentes

Dois pontos no espaço podem estar localizados de maneiras diferentes. Em um caso separado, eles podem ser localizados de modo que suas projeções em algum plano de projeção coincidam. Tais pontos são chamados competindo. Na Fig. 64, UM um desenho abrangente dos pontos é fornecido UM E EM. Eles estão localizados de modo que suas projeções coincidam no plano P 1 [A 1 == B 1 ]. Tais pontos são chamados competir horizontalmente. Se as projeções dos pontos A e B coincidir no avião

P2(Fig. 64, b), eles são chamados competindo frontalmente. E se as projeções dos pontos UM E EM coincidem no plano P 3 [A 3 == B 3 ] (Fig. 64, c), eles são chamados concorrentes de perfil.

A visibilidade no desenho é determinada por pontos concorrentes. Para pontos concorrentes horizontalmente será visível aquele com maior altura, para pontos concorrentes frontalmente será visível aquele com maior profundidade e para pontos concorrentes de perfil será visível aquele com maior latitude.

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36. Substituindo planos de projeção

§ 36. Substituição de planos de projeção

As propriedades de um desenho de três projeções de um ponto permitem utilizar suas projeções horizontal e frontal para construir um terceiro sobre outros planos de projeção inseridos para substituir os dados.

Na Fig. 65, UM ponto de exibição UM e suas projeções são horizontais Um 1 e frontal Um 2. De acordo com as condições do problema, é necessária a substituição dos planos P 2. Vamos denotar o novo plano de projeção P 4 e colocá-lo perpendicularmente a P 1. Na intersecção de planos P1 e P 4 obtemos um novo eixo P 1 / P 4 . Projeção de novo ponto Um 4 estará localizado em linha de comunicação passando por um ponto Um 1 e perpendicular ao eixo P 1 / P 4 .

Desde o novo avião P4 substitui o plano de projeção frontal P 2, altura do ponto UMé representado igualmente em tamanho real tanto no plano P2 quanto no plano P4.

Esta circunstância nos permite determinar a posição da projeção Um 4, em um sistema de planos P1 _|_ P4(Fig. 65, b) em um desenho complexo. Para isso, basta medir a altura do ponto do plano que está sendo substituído

qualidade da projeção P 2, coloque-a em uma nova linha de conexão do novo eixo de projeções - e uma nova projeção do ponto Um 4 será construído.

Se um novo plano de projeção for introduzido em vez do plano de projeção horizontal, ou seja, P 4 _|_ P 2 (Fig. 66, UM), então no novo sistema de planos a nova projeção do ponto estará na mesma linha de comunicação com a projeção frontal, e A 2 A 4 _|_. Neste caso, a profundidade do ponto é a mesma no plano P1, e no avião P4. Nesta base eles constroem Um 4(Fig. 66, b) na linha de comunicação Um 2 Um 4 a tal distância do novo eixo P 1 / P 4 em que Um 1 localizado a partir do eixo P 2 / P 1.

Como já referido, a construção de novas projeções adicionais está sempre associada a tarefas específicas. No futuro, serão considerados vários problemas métricos e posicionais que podem ser resolvidos usando o método de substituição dos planos de projeção. Nos problemas em que a introdução de um plano adicional não dará o resultado desejado, é introduzido outro plano adicional, designado P 5. É colocado perpendicularmente ao plano já introduzido P 4 (Fig. 67, a), ou seja, P 5 P 4 e produzem uma construção semelhante às discutidas anteriormente. Agora as distâncias são medidas no segundo plano de projeção principal substituído (na Fig. 67, b no avião P1) e adiá-los em uma nova linha de comunicação Um 4 Um 5, do novo eixo de projeção P 5 / P 4. No novo sistema de planos P 4 P 5, obtém-se um novo desenho de duas projeções, constituído por projeções ortogonais Um 4 e A 5 , conectado por linha de comunicação