O que a lei de Bernoulli tem a ver com aviação? Acontece que é o mais direto. Com sua ajuda, é possível explicar o surgimento da força de sustentação da asa de uma aeronave e de outras forças aerodinâmicas.

Lei de Bernoulli

O autor desta lei é Físico, mecânico e matemático universal suíço. Daniel Bernoulli é filho do famoso matemático suíço Johann Bernoulli. EM 1838 ele publicou trabalho científico fundamental “Hidrodinâmica”, do qual derivou sua famosa lei.

Deve-se dizer que naquela época a aerodinâmica como ciência ainda não existia. E a lei de Bernoulli descreveu a dependência da vazão de um fluido ideal com a pressão. Mas no início do século XX, a aviação começou a surgir. E foi aqui que a lei de Bernoulli se tornou muito útil. Afinal, se considerarmos o fluxo de ar como um fluido incompressível, então esta lei também é válida para fluxos de ar. Com sua ajuda, eles conseguiram entender como levantar uma aeronave mais pesada que o ar. Esta é a lei mais importante da aerodinâmica, pois estabelece uma ligação entre a velocidade do movimento do ar e a pressão nele atuante, o que auxilia no cálculo das forças que atuam na aeronave.

A lei de Bernoulli é uma consequência da lei da conservação da energia para fluxo estacionário de fluido ideal e incompressível .

Na aerodinâmica, o ar é considerado como fluido incompressível , isto é, um meio cuja densidade não muda com as mudanças na pressão. UM estacionário É considerado um fluxo no qual as partículas se movem ao longo de trajetórias invariantes no tempo, que são chamadas de linhas de corrente. Nenhum vórtice é formado em tais fluxos.

Para entender a essência da lei de Bernoulli, vamos nos familiarizar com a equação da continuidade do jato.

Equação de continuidade do jato

É claro que quanto maior a velocidade do fluxo de fluido (e em aerodinâmica, a velocidade do fluxo de ar), menor a pressão, e vice-versa.

O efeito Bernoulli pode ser observado sentado junto à lareira. Durante fortes rajadas de vento, a velocidade do fluxo de ar aumenta e a pressão cai. A pressão do ar na sala é maior. E as chamas sobem pela chaminé.

Lei e Aviação de Bernoulli

Usando esta lei, é muito simples explicar como ocorre a sustentação de uma aeronave mais pesada que o ar.

Durante o vôo, a asa do avião parece cortar o fluxo de ar em duas partes. Uma parte flui ao redor da superfície superior da asa e a outra ao redor da superfície inferior. O formato da asa é tal que o fluxo superior deve percorrer uma distância maior para se conectar com o inferior em um ponto. Isso significa que ele está se movendo em uma velocidade maior. E como a velocidade é maior, a pressão acima da superfície superior da asa é menor do que sob a inferior. Devido à diferença nessas pressões, surge a força de sustentação da asa.

À medida que o avião ganha altitude, a diferença de pressão aumenta, o que significa que a força de sustentação também aumenta, o que permite que o avião suba.

Esclareçamos imediatamente que as leis descritas acima se aplicam se a velocidade do fluxo de ar não exceder a velocidade do som (até 340 m/s). Afinal, considerávamos o ar um fluido incompressível. Mas acontece que em velocidades acima da velocidade do som, o fluxo de ar se comporta de maneira diferente. A compressibilidade do ar não pode mais ser negligenciada. E nessas condições, o ar, como qualquer gás, tenta se expandir e ocupar um volume maior. Aparecem quedas de pressão significativas ou ondas de choque. E o fluxo de ar em si não se estreita, mas, pelo contrário, se expande. O problema do movimento dos fluxos de ar em velocidades próximas ou superiores à velocidade do som é tratado por dinâmica de gases , que surgiu como uma continuação da aerodinâmica.

Usando leis aerodinâmicas, a aerodinâmica teórica permite fazer cálculos das forças aerodinâmicas que atuam em uma aeronave. E a exatidão desses cálculos é verificada testando o modelo construído em instalações experimentais especiais, chamadas túneis de vento . Estas instalações permitem medir a magnitude das forças através de instrumentos especiais.

Além de estudar as forças que atuam nos modelos aerodinâmicos, as medições aerodinâmicas são utilizadas para estudar a distribuição da velocidade, densidade e temperatura do ar que flui ao redor do modelo.

Grande parte do mundo ao nosso redor obedece às leis da física. Isto não deveria ser surpreendente, porque o termo “física” vem da palavra grega, traduzida como “natureza”. E uma dessas leis que funciona constantemente ao nosso redor é a lei de Bernoulli.

A própria lei atua como consequência do princípio da conservação da energia. Esta interpretação permite-nos dar uma nova compreensão a muitos fenómenos anteriormente conhecidos. Para compreender a essência da lei, basta simplesmente lembrar o riacho que flui. Aqui flui, corre entre pedras, galhos e raízes. Em alguns lugares é mais largo, em outros é mais estreito. Você pode notar que onde o riacho é mais largo, a água flui mais devagar, e onde é mais estreito, a água flui mais rápido. Este é o princípio de Bernoulli, que estabelece a relação entre a pressão num fluxo de fluido e a velocidade de movimento desse fluxo.

É verdade que os livros de física formulam isso de maneira um pouco diferente e se refere à hidrodinâmica, e não a um fluxo. No bastante popular Bernoulli, pode-se afirmar desta forma: a pressão de um líquido que flui em um tubo é maior onde sua velocidade é menor, e vice-versa: onde a velocidade é maior, a pressão é menor.

Para confirmar isso, basta realizar um experimento simples. Você precisa pegar uma folha de papel e soprar. O papel subirá na direção em que o fluxo de ar passa.

É muito simples. Como diz a lei de Bernoulli, onde a velocidade é maior, a pressão é menor. Isto significa que ao longo da superfície da chapa, onde há menor fluxo de ar, e na parte inferior da chapa, onde não há fluxo de ar, a pressão é maior. Assim, a folha sobe na direção onde a pressão é menor, ou seja, por onde passa o fluxo de ar.

O efeito descrito é amplamente utilizado na vida cotidiana e na tecnologia. Por exemplo, você pode considerar uma pistola ou aerógrafo. Eles usam dois tubos, um com seção transversal maior e outro com seção transversal menor. O de maior diâmetro é fixado em um recipiente com tinta, enquanto o de menor seção transversal permite a passagem do ar em alta velocidade. Devido à diferença de pressão resultante, a tinta entra no fluxo de ar e é transferida por este fluxo para a superfície a ser pintada.

Uma bomba pode funcionar segundo o mesmo princípio. Na verdade, o que foi descrito acima é uma bomba.

Não menos interessante é a lei de Bernoulli quando aplicada à drenagem de pântanos. Como sempre, tudo é muito simples. A zona húmida está ligada por valas ao rio. Há corrente no rio, mas não no pântano. Novamente, surge uma diferença de pressão e o rio começa a sugar a água do pantanal. Há uma pura demonstração do funcionamento da lei da física.

O impacto deste efeito também pode ser destrutivo. Por exemplo, se dois navios passarem próximos um do outro, a velocidade da água entre eles será maior do que no outro lado. Como resultado, surgirá uma força adicional que puxará os navios uns contra os outros, e o desastre será inevitável.

Tudo o que foi dito pode ser apresentado na forma de fórmulas, mas não é necessário escrever as equações de Bernoulli para compreender a essência física deste fenômeno.

Para uma melhor compreensão, daremos outro exemplo de utilização da lei descrita. Todo mundo imagina um foguete. Em uma câmara especial, o combustível queima e um jato é formado. Para acelerá-lo, é usada uma seção especialmente estreita - o bico. Aqui ocorre a aceleração do fluxo de gás e, como resultado, o crescimento

Existem muitas outras opções diferentes para usar a lei de Bernoulli em tecnologia, mas é simplesmente impossível considerar todas elas no âmbito deste artigo.

Assim, foi formulada a lei de Bernoulli, foi dada uma explicação da essência física dos processos em curso e foram mostradas possíveis aplicações desta lei usando exemplos da natureza e da tecnologia.

Tópico 7

Análise e aplicação da equação de Bernoulli

1. Equação de continuidade em hidráulica. Consumo.

2. Análise da equação de Bernoulli.

3. Significado energético da equação de Bernoulli.

4. Limite de aplicabilidade da equação de Bernulia.

5. Exemplos de aplicação da equação de Bernoulli.

5.1. Medidor de vazão Venturi.

5.2. Medição de velocidade (tubo Pitot).

5.3. Cavitação.

5.4. Fórmula de Toricelli.

6. Equação de continuidade em hidráulica. Consumo.

7.1. Consumo. Equação de continuidade em hidráulica

Consideremos o fluxo constante entre as seções vivas 1,2 (Fig. 26).

onde é a área da seção transversal viva, é a velocidade média na seção transversal.

Durante este tempo, um volume de líquido flui através da seção viva 2

onde é a área da seção ativa 2, é a velocidade média na seção 2.

Como a forma do volume 1-2 não muda com o tempo, o líquido é incompressível, o volume do líquido deve ser igual ao volume que sai.

Portanto podemos escrever

Esta equação é chamada equação de continuidade.

Da equação de continuidade segue que

As velocidades médias são inversamente proporcionais às áreas das seções correspondentes.

7.2. Análise da equação de Bernoulli

Vamos escrever a equação de Bernoulli para o movimento estacionário de um fluido compressível ideal sob a condição de sua barotropia () no campo de forças de massa

,

tendo integrado temos

.

Para fluxo potencial, a constante da equação de Bernoulli é constante em toda a região de fluxo. No movimento de vórtice de um fluido ideal, a constante COM na integral de Bernoulli mantém um valor constante apenas para uma determinada linha de vórtice, e não para todo o espaço, como no caso do fluxo irrotacional.

A equação de Bernoulli é uma das principais da dinâmica dos fluidos, pois determina a mudança nos principais parâmetros do fluxo - pressão, velocidade e altura do fluido.

Vamos integrar a equação diferencial de Bernoulli para a seção final do riacho 1-2

.

A integral expressa o trabalho das forças de pressão para mover um quilograma de líquido da região 1 com pressão R 1 para a área 2 com pressão R 2 .

O valor da integral varia dependendo do tipo de processo (termodinâmico) que o líquido realiza, ou seja, do tipo de dependência.

Consideremos o processo isobárico (Fig. 27)

Em um processo isocórico

Para um fluido incompressível fluindo sem troca de trabalho mecânico com o ambiente externo, obtemos, a partir da equação de Bernoulli

,

ou multiplicando por R

,

ou dividindo por Rg

,

onde as constantes têm o seguinte significado físico:

COM- energia mecânica total de um quilograma de líquido ou pressão total, ,

Energia mecânica total de uma massa de líquido com volume de metro cúbico ou pressão total, ou Pai. ,

- energia mecânica total ou pressão total em metros de coluna de um determinado líquido.

Todas as três quantidades têm o mesmo significado físico e qualquer uma delas recebe um nome; cabeça cheia.

Os componentes da energia mecânica total de um líquido são mais claramente representados e medidos em metros da coluna de líquido,

g z,Rgz,z- energia potencial da posição do fluido, medida a partir de um plano de nivelamento horizontal selecionado arbitrariamente, ou cabeça geométrica, ,

Energia potencial da pressão do fluido ou cabeça piezométrica,,

-energia potencial do líquido ou cabeça hidrostática,,

- energia cinética do líquido ou expressar pressão, .

Cabeça piezométrica R pode ser medido a partir do vácuo total p = 0 ou, por exemplo, da pressão ambiental. A pressão absoluta ou sobrepressão deve ser substituída em ambos os lados das equações.

O ponto de partida para a energia é arbitrário, mas deve ser o mesmo para ambos os lados das equações.

7.3. Significado energético da equação de Bernoulli

Consiste em estabelecer a lei de conservação da energia mecânica total por unidade de massa de fluido incompressível

a) com fluxo potencial para qualquer ponto do espaço,

b) com vórtice - somente ao longo da linha de corrente do vórtice e do elementar

Esta lei às vezes é formulada como o teorema das três alturas.

Nas condições dadas, a soma das três alturas - geométrica, piezométrica e dinâmica - permanece inalterada.

Neste caso, os componentes da energia total podem ser interconvertidos.

Deve-se ter em mente que a mudança na energia cinética de um fluido incompressível ao longo de uma corrente elementar não pode ser especificada arbitrariamente: de acordo com a equação de continuidade, esta mudança é determinada exclusivamente pela mudança na área da seção transversal de o canal

O fluxo em jato horizontal é de grande importância prática, pois é realizado nos bicos do motor. Vamos escrever a equação de Bernoulli em z= const

.

Assim, um aumento na velocidade de um fluido incompressível em um fluxo elementar horizontal é sempre acompanhado por uma diminuição na pressão, e uma diminuição na velocidade é sempre acompanhada por um aumento na pressão até v = 0. Portanto, a pressão de alta velocidade é amplamente utilizada, por exemplo, para fornecer água ao sistema de refrigeração, quebrar rochas, etc.

Devido ao fato de que a velocidade de um fluido incompressível pode diminuir apenas devido a uma mudança na área da seção transversal, chegamos à importante conclusão de que o padrão das linhas de corrente durante o fluxo de um fluido incompressível determina exclusivamente não apenas a mudança na velocidade , mas também a pressão estática: quando as linhas de corrente ficam mais densas, a pressão diminui, com a expansão aumenta. Esta regra é amplamente utilizada na análise do movimento de fluidos e sua interação com os corpos.

7.4. Limite de aplicabilidade das equações de continuidade e de Bernoulli

Quando o fluido flui através de um canal com área constante e arbitrariamente variável 2. Parece que

.

No entanto, de acordo com a equação de Bernoulli em

,

pressão teria que assumir o valor menos infinito, o que não faz sentido: a pressão absoluta não pode ser menor que zero.

Assim, as equações de continuidade e de Bernoulli são válidas apenas enquanto a pressão mínima no fluxo permanecer maior que zero.

Assim como a lei da gravitação universal de Newton já estava em vigor muito antes do próprio Newton, também Equação de Bernoulli existia muito antes do próprio Bernoulli nascer. Ele só conseguiu colocar essa equação em forma visual, que é seu inegável e enorme mérito. Por que preciso da equação de Bernoulli, você pergunta, porque vivi muito bem sem ela. Sim, mas pode ser útil pelo menos para o exame de hidráulica! Como se costuma dizer, “não é tão ruim se você conhece e consegue formular a equação de Bernoulli”.

Quem é Bernoulli?

Daniel Bernoulli- filho de um famoso cientista Jacob Bernoulli, Matemático e físico suíço. Ele viveu de 1700 a 1782 e de 1725 a 1733 trabalhou na Academia de Ciências de São Petersburgo. Além de física e matemática, Bernoulli também estudou medicina junto com D'Alembert e Euler, considerado o pai fundador da física matemática. O sucesso deste homem permite-nos dizer com segurança que ele foi um verdadeiro “supercérebro”.

D. Bernoulli (1700-1782)

Fluido ideal e fluxo de fluido ideal

Além do ponto material e do gás ideal que conhecemos, também existe líquido ideal. Algum aluno, claro, pode pensar que esse líquido é sua cerveja ou café preferido, sem o qual é impossível viver. Mas não , líquido idealé um líquido absolutamente incompressível, desprovido de viscosidade e condutividade térmica. No entanto, tal idealização fornece uma descrição bastante boa do movimento de fluidos reais na hidrodinâmica.

Fluxo de fluido chamado de movimento de suas camadas em relação umas às outras ou em relação a todo o líquido.

Além disso, existem diferentes modos de fluxo de fluido. Estamos interessados ​​no caso em que a velocidade do fluxo em um determinado ponto não muda com o tempo. Tal fluxo é denominado estacionário. Neste caso, a velocidade do fluxo em diferentes pontos de um fluxo estacionário pode variar.

– uma coleção de partículas de um fluido em movimento.

Derivação da equação de Bernoulli

Mas como descrever o movimento do fluido? Para fazer isso, precisamos conhecer o vetor velocidade da partícula, ou melhor, sua dependência do tempo. A totalidade das velocidades em diferentes pontos do fluxo fornece o campo vetorial de velocidade.

Consideremos o fluxo estacionário de líquido através de um tubo. Em um local a seção transversal deste tubo é S1 e em outro - S2. Com um fluxo constante, a mesma quantidade de líquido passará pelas duas seções no mesmo período de tempo.

Esta equação é a equação da continuidade do jato.

Tendo reconhecido isso, Bernoulli decidiu estabelecer uma conexão entre pressão e velocidade do fluido em diferentes seções. A pressão total é a soma da pressão estatística (determinada pela energia potencial do fluido) e dinâmica (determinada pela energia cinética). Acontece que a soma das pressões estáticas e dinâmicas em qualquer seção do tubo é constante. A própria equação de Bernoulli tem a forma:

O significado da equação de Bernoulli

Significado físico da equação de Bernoulli. A equação de Bernoulli é uma consequência da lei da conservação da energia. O primeiro termo da equação de Bernoulli é a energia cinética, o segundo termo da equação de Bernoulli é a energia potencial no campo gravitacional, o terceiro é o trabalho da força de pressão quando o líquido sobe a uma altura h.

É isso, amigos, não é tão assustador. Só um pouco de tempo e você já conhece a equação de Bernoulli. Mesmo que você não saiba mais nada, ir a uma prova ou prova com esse conhecimento é muito melhor do que apenas fazer. E se precisar de ajuda para resolver problemas usando a equação de Bernoulli, não hesite e preencha um pedido. Depois que a solução da equação de Bernoulli for descrita com o máximo de detalhes possível, você não terá lacunas no conhecimento.

Uma equação diferencial da forma, onde, é chamada de equação de Bernoulli.

Supondo isso, dividimos ambos os lados da equação de Bernoulli por. Como resultado obtemos: (8.1) Vamos introduzir uma nova função. Então . Multipliquemos a equação (8.1) por e passemos para a função z(x): , ou seja para função z(x) obteve uma equação linear não homogênea de 1ª ordem. Esta equação é resolvida usando os métodos discutidos no parágrafo anterior. Vamos substituir em sua solução geral z(x) expressão, obtemos a integral geral da equação de Bernoulli, que é facilmente resolvida em relação a sim. Quando uma solução é adicionada y(x)=0. A equação de Bernoulli também pode ser resolvida sem fazer a transição para uma equação linear por substituição, mas usando o método de Bernoulli.

Equações diferenciais em diferenciais totais.

Definição. Se na Eq. M(x,y)dx+N(x,y)dy=0(9.1) o lado esquerdo é o diferencial total de alguma função você(x,y), então é chamada de equação diferencial total. Esta equação pode ser reescrita como du(x,y)=0, portanto, sua integral geral é você(x,y)=c.

Por exemplo, a equação xdy+ydx=0 existe uma equação em diferenciais totais, pois pode ser reescrita na forma d(xy)=0. A integral geral será xy=c.

Teorema. Suponhamos que as funções M E N definido e contínuo em algum domínio simplesmente conectado D e têm derivadas parciais contínuas, respectivamente, em relação a sim e por x. Então, para que a equação (9.1) seja uma equação diferencial total, é necessário e suficiente que a identidade (9.2) seja válida.

Prova. A prova da necessidade desta condição é óbvia. Portanto, provamos a suficiência da condição (9.2). Vamos mostrar que tal função pode ser encontrada você(x,y), isso e .

Na verdade, desde , então (9.3), onde é uma função diferenciável arbitrária. Vamos diferenciar (9.3) em relação a você: . Mas, portanto, vamos supor e então .Então, a função é construída , para o qual , um .

Fator integrador.

Se a equação M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 não é uma equação diferencial total e existe uma função µ = µ(x,y), tal que depois de multiplicar ambos os lados da equação por ele, obtemos a equação

µ(Mdx + Ndy) = 0 em diferenciais totais, ou seja, µ(Mdx + Ndy)du, então a função µ(x,y)é chamado de fator integrante da equação. No caso em que a equação já é uma equação em diferenciais totais, assumimos µ = 1.

Se o fator integrante for encontrado µ , então a integração desta equação se reduz à multiplicação de ambos os seus lados por µ e encontrar a integral geral da equação resultante em diferenciais totais.

Se µ é uma função continuamente diferenciável de x E sim, Que .

Segue-se que o fator integrante µ satisfaz a seguinte equação diferencial parcial de 1ª ordem: (10.1). Se for sabido de antemão que µ= µ(ω) , Onde ω – dada função de x E sim, então a equação (10.1) se reduz a uma equação ordinária (e, além disso, linear) com uma função desconhecida µ na variável independente ω : (10.2), onde , ou seja, a fração é uma função apenas de ω .

Resolvendo a equação (10.2), encontramos o fator integrante, Com= 1. Em particular, a equação M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 tem um fator integrante que depende apenas de x(ô = x) ou apenas de sim(ω = y), se as seguintes condições forem atendidas, respectivamente: , ou , .

10. Propriedades de soluções de LDEs de segunda ordem (com prova). A equação diferencial linear de 2ª ordem (LDE) tem a seguinte forma: , (2.1)

onde , e são funções contínuas no intervalo em que a solução é buscada. Supondo que a 0 (x) ≠ 0, dividimos (2.1) por e, após introduzir novas notações para os coeficientes, escrevemos a equação na forma: (2.2)

Aceitemos sem prova que (2.2) tem uma solução única em algum intervalo que satisfaz quaisquer condições iniciais, se no intervalo em consideração as funções e são contínuas. Se, então a equação (2.2) é chamada de homogênea, e a equação (2.2) é chamada de não homogênea. Consideremos as propriedades das soluções para o filão de 2ª ordem.

Definição. Uma combinação linear de funções é a expressão , onde estão números arbitrários.

Teorema. Se e é uma solução para Lod, (2.3), então a sua combinação linear também será uma solução para esta equação.