É quase difícil encontrar esse valor Com, em qual (ba) f (c) seria exatamente igual a . Para obter um valor mais preciso, a área de um trapézio curvilíneo é dividida em n retângulos cujas alturas são iguais y 0 , y 1 , y 2 , …, y n -1 e motivos.

Se somarmos as áreas dos retângulos que cobrem a área de um trapézio curvilíneo com desvantagem, a função não é decrescente, então em vez da fórmula usamos a fórmula

Se em excesso, então

Os valores são encontrados a partir de igualdades. Essas fórmulas são chamadas fórmulas retangulares e dê um resultado aproximado. Com aumento n o resultado se torna mais preciso.

Exemplo 1 . Calcular usando a fórmula do retângulo

Vamos dividir o intervalo de integração em 5 partes. Então . Usando uma calculadora ou tabela, encontraremos os valores do integrando (com precisão de 4 casas decimais):

De acordo com a fórmula dos retângulos (com desvantagem)

Por outro lado, de acordo com a fórmula de Newton-Leibniz

Vamos encontrar o erro de cálculo relativo usando a fórmula do retângulo:

Cálculo de integrais usando fórmulas trapezoidais. Estimativa de erro:

O significado geométrico do seguinte método de cálculo aproximado de integrais é encontrar a área de um trapézio “retilíneo” de tamanho aproximadamente igual.

Que seja necessário calcular a área A 1 AmBB 1 trapézio curvilíneo, expresso pela fórmula.

Vamos substituir o arco AmB acorde AB e em vez da área de um trapézio curvilíneo A 1 AmBB 1 calcular a área do trapézio A 1 ABB 1: , Onde AA 1 E BB 1 - as bases do trapézio, e A 1 B 1 – sua altura.

Vamos denotar f(a)=A 1 A,f(b)=B 1 B. altura do trapézio UMA 1 B 1 =ba, quadrado . Por isso, ou

Este é o chamado fórmula trapézio pequeno.

Yekaterinburgo

Cálculo da integral definida

Introdução

O problema de integração numérica de funções consiste em calcular o valor aproximado de uma determinada integral:

com base em uma série de valores do integrando.( f(x) |x=x k = f(x k) = y k ).

As fórmulas para o cálculo numérico de uma integral única são chamadas de fórmulas de quadratura, as duplas e mais múltiplas são chamadas de fórmulas de cubatura.

A técnica usual para construir fórmulas de quadratura é substituir a função integrando f(x) em um segmento por uma função de interpolação ou aproximação g(x) de uma forma relativamente simples, por exemplo, um polinômio, seguida de integração analítica. Isto leva à visão

Desprezando o termo restante R[f] obtemos a fórmula aproximada

Vamos denotar por y i = f(x i) o valor da função integrando em vários pontos

Como uma função aproximada g(x), consideramos um polinômio de interpolação em

Fórmula (1) dá

Na fórmula (2) as quantidades (

Resumir.

2. Em fórmulas de quadratura do tipo interpolação, o termo restante R n [f] pode ser representado como o valor de um operador diferencial específico na função f(x). Para

3. Para polinômios de ordem n inclusive, a fórmula de quadratura (2) é exata, ou seja,

Consideremos casos especiais das fórmulas (2) e (3): o método dos retângulos, trapézios, parábolas (método de Simpson). Os nomes desses métodos se devem à interpretação geométrica das fórmulas correspondentes.

Método retângulo

Integral definida da função f(x):

O método representado pela fórmula (4) é chamado de método do retângulo esquerdo, e o método representado pela fórmula (5) é chamado de método do retângulo direito:

Para encontrar a integral definida pelo método dos retângulos médios, a área delimitada pelas linhas a e b é dividida em n retângulos com bases idênticas h; as alturas dos retângulos serão os pontos de intersecção da função f(x) com o pontos médios dos retângulos (h/2). A integral será numericamente igual à soma das áreas de n retângulos (Figura 3).

n – número de partições do segmento.

Método trapézio

Para encontrar a integral definida pelo método trapezoidal, a área de um trapézio curvilíneo também é dividida em n trapézios retangulares com alturas h e bases 1, 2, 3,..у n, onde n é o número do trapézio retangular . A integral será numericamente igual à soma das áreas dos trapézios retangulares (Figura 4).

n – número de partições

O erro da fórmula trapezoidal é estimado pelo número

Erro da fórmula trapezoidal com crescimento

Fórmula de Simpson

Se para cada par de segmentos

Hoje conheceremos outro método de integração numérica, o método trapezoidal. Com sua ajuda, calcularemos integrais definidas com um determinado grau de precisão. No artigo iremos descrever a essência do método trapézio, analisar como a fórmula é derivada, comparar o método trapézio com o método do retângulo e escrever uma estimativa do erro absoluto do método. Ilustraremos cada seção com exemplos para uma compreensão mais profunda do material.

Yandex.RTB RA-339285-1

Suponha que precisemos calcular aproximadamente a integral definida ∫ a b f (x) d x , cujo integrando y = f (x) é contínuo no intervalo [ a ; b] . Para fazer isso, divida o segmento [a; b] em vários intervalos iguais de comprimento h com pontos a = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Обозначим количество полученных интервалов как n .

Vamos encontrar a etapa de partição: h = b - a n. Vamos determinar os nós a partir da igualdade x i = a + i · h, i = 0, 1, . . . , n.

Nos segmentos elementares consideramos a função integrando x i - 1 ; x eu, eu = 1, 2, . . , n.

À medida que n aumenta infinitamente, reduzimos todos os casos às quatro opções mais simples:

Selecionemos os segmentos x i - 1 ; x eu, eu = 1, 2, . . . , n. Vamos substituir a função y = f (x) em cada um dos gráficos por um segmento de reta que passa pelos pontos com coordenadas x i - 1 ; f x i - 1 e x i ; f x eu. Vamos marcá-los em azul nas fotos.

Tomemos a expressão f (x i - 1) + f (x i) 2 · h como um valor aproximado da integral ∫ x i - 1 x i f (x) d x. Aqueles. vamos pegar ∫ x i - 1 x i f (x) d x ≈ f (x i - 1) + f (x i) 2 h .

Vamos ver por que o método de integração numérica que estamos estudando é chamado de método trapezoidal. Para fazer isso, precisamos descobrir o que significa a igualdade aproximada escrita do ponto de vista geométrico.

Para calcular a área de um trapézio é necessário multiplicar as meias somas de suas bases pela sua altura. No primeiro caso, a área de um trapézio curvo é aproximadamente igual a um trapézio com bases f (x i - 1), f (x i) altura h. No quarto caso que estamos considerando, a integral dada ∫ x i - 1 x f (x) d x é aproximadamente igual à área do trapézio com bases - f (x i - 1), - f (x i) e altura h, que deve ser tomado com o sinal “-”. Para calcular o valor aproximado da integral definida ∫ x i - 1 x i f (x) d x no segundo e terceiro dos casos considerados, precisamos encontrar a diferença nas áreas das regiões vermelha e azul, que marcamos com hachura na figura abaixo.

Vamos resumir. A essência do método trapezoidal é a seguinte: podemos representar uma integral definida ∫ a b f (x) d x como uma soma de integrais da forma ∫ x i - 1 x i f (x) d x em cada segmento elementar e na subsequente substituição aproximada ∫ x i - 1 x i f (x) d x ≈ f (x i - 1) + f (x i) 2 · h.

Fórmula do método trapézio

Lembremos a quinta propriedade da integral definida: ∫ a b f (x) d x = ∑ i = 1 n ∫ x i - 1 x i f (x) d x . Para obter a fórmula do método trapezoidal, é necessário substituir seus valores aproximados em vez das integrais ∫ x i - 1 x i f (x) d x: ∫ x i - 1 x i f (x) d x = ∑ i = 1 n ∫ x i - 1 x i f (x) d x ≈ ∑ i = 1 n f (x i - 1) + f (x i) 2 h = = h 2 (f (x 0) + f (x 1) + f (x 1) + f (x 2) + f (x 2) + f (x 3) +. . . + f (x n)) = = h 2 f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n) ⇒ ∫ x i - 1 x i f (x) d x ≈ h 2 f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n)

Definição 1

Fórmula do método trapezoidal:∫ x i - 1 x i f (x) d x ≈ h 2 f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n)

Estimativa do erro absoluto do método trapezoidal

Vamos estimar o erro absoluto do método trapezoidal da seguinte forma:

Definição 2

δ n ≤ m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) · n · h 3 12 = m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) b - a 3 12 n 2

Uma ilustração gráfica do método trapezoidal é mostrada na figura:

Exemplos de cálculo

Vejamos exemplos de uso do método trapezoidal para cálculo aproximado de integrais definidas. Daremos especial atenção a dois tipos de tarefas:

• cálculo de uma integral definida pelo método trapezoidal para um determinado número de partição de um segmento n;
• encontrar um valor aproximado de uma integral definida com uma precisão especificada.

Para um determinado n, todos os cálculos intermediários devem ser realizados com um grau de precisão suficientemente elevado. A precisão dos cálculos deve ser maior quanto maior for n.

Se tivermos uma determinada precisão no cálculo de uma determinada integral, então todos os cálculos intermediários deverão ser realizados com duas ou mais ordens de grandeza com mais precisão. Por exemplo, se a precisão for definida como 0,01, realizamos cálculos intermediários com precisão de 0,0001 ou 0,00001. Para n grandes, os cálculos intermediários devem ser realizados com precisão ainda maior.

Vejamos a regra acima com um exemplo. Para isso, compare os valores da integral definida calculada pela fórmula de Newton-Leibniz e obtida pelo método trapezoidal.

Então, ∫ 0 5 7 d x x 2 + 1 = 7 a r c t g (x) 0 5 = 7 a r c t g 5 ≈ 9, 613805.

Exemplo 1

Usando o método trapezoidal, calculamos a integral definida ∫ 0 5 7 x 2 + 1 d x para n igual a 10.

Solução

A fórmula para o método trapezoidal é ∫ x i - 1 x i f (x) d x ≈ h 2 f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n)

Para aplicar a fórmula, precisamos calcular o passo h usando a fórmula h = b - a n, determinar os nós x i = a + i · h, i = 0, 1, . . . , n, calcule os valores da função integrando f (x) = 7 x 2 + 1.

A etapa de particionamento é calculada da seguinte forma: h = b - a n = 5 - 0 10 = 0. 5. Para calcular o integrando nos nós x i = a + i · h, i = 0, 1, . . . , n tomaremos quatro casas decimais:

eu = 0: x 0 = 0 + 0 0 . 5 = 0 ⇒ f (x 0) = f (0) = 7 0 2 + 1 = 7 eu = 1: x 1 = 0 + 1 0 . 5 = 0 . 5 ⇒ f (x 1) = f (0, 5) = 7 0, 5 2 + 1 = 5, 6. . . eu = 10: x 10 = 0 + 10 · 0. 5 = 5 ⇒ f (x 10) = f (5) = 7 5 2 + 1 ≈ 0, 2692

Vamos inserir os resultados do cálculo na tabela:

Vamos substituir os valores obtidos na fórmula do método trapezoidal: ∫ 0 5 7 d x x 2 + 1 ≈ h 2 f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n) = = 0, 5 2 7 + 2 5,6 + 3,5 + 2,1538 + 1,4 + 0,9655 + 0,7 + 0,5283 + 0,4117 + 0,3294 + 0,2692 = 9,6117

Vamos comparar nossos resultados com os resultados calculados pela fórmula de Newton-Leibniz. Os valores obtidos coincidem com centésimos.

Responder:∫ 0 5 7 d x x 2 + 1 = 9 , 6117

Exemplo 2

Usando o método trapezoidal, calculamos o valor da integral definida ∫ 1 2 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 d x com precisão de 0,01.

Solução

De acordo com a condição do problema a = 1; b = 2 , f (x) = 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 ; δn ≤ 0,01.

Encontremos n, que é igual ao número de pontos de partição do segmento de integração, utilizando a desigualdade para estimar o erro absoluto δ n ≤ m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) · (b - a) 3 12 n 2 . Faremos isso da seguinte forma: encontraremos os valores de n para os quais a desigualdade m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) · (b - a) 3 12 n 2 ≤ 0,01. Dado n, a fórmula trapezoidal nos dará um valor aproximado da integral definida com uma determinada precisão.

Primeiro, vamos encontrar o maior valor do módulo da segunda derivada da função no intervalo [ 1 ; 2].

f "(x) = 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60" = 1 3 x 3 + 1 3 ⇒ f "" (x) = 1 3 x 3 + 1 3 "= x 2

A segunda função derivada é uma parábola quadrática f "" (x) = x 2 . Pelas suas propriedades sabemos que é positivo e aumenta no intervalo [1; 2]. A este respeito, m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) = f "" (2) = 2 2 = 4 .

No exemplo dado, o processo de encontrar m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) acabou sendo bastante simples. Em casos complexos, você pode usar os maiores e menores valores da função para realizar cálculos. Depois de considerar este exemplo, apresentaremos um método alternativo para encontrar m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) .

Vamos substituir o valor resultante na desigualdade m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) · (b - a) 3 12 n 2 ≤ 0,01

4 (2 - 1) 3 12 n 2 ≤ 0,01 ⇒ n 2 ≥ 100 3 ⇒ n ≥ 5,7735

O número de intervalos elementares nos quais o segmento de integração n é dividido é um número natural. Para o comportamento de cálculo, consideramos n igual a seis. Este valor de n nos permitirá atingir a precisão especificada do método trapezoidal com um mínimo de cálculos.

Vamos calcular o passo: h = b - a n = 2 - 1 6 = 1 6 .

Vamos encontrar os nós x i = a + i · h, i = 1, 0, . . . , n , determinamos os valores do integrando nestes nós:

i = 0: x 0 = 1 + 0 1 6 = 1 ⇒ f (x 0) = f (1) = 1 12 1 4 + 1 3 1 - 1 60 = 0, 4 i = 1: x 1 = 1 + 1 1 6 = 7 6 ⇒ f (x 1) = f 7 6 = 1 12 7 6 4 + 1 3 7 6 - 1 60 ≈ 0,5266. . . i = 6: x 10 = 1 + 6 1 6 = 2 ⇒ f (x 6) = f (2) = 1 12 2 4 + 1 3 2 - 1 60 ≈ 1,9833

Escrevemos os resultados do cálculo na forma de uma tabela:

Vamos substituir os resultados obtidos na fórmula trapezoidal:

∫ 1 2 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 d x ≈ h 2 f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n) = = 1 12 0 , 4 + 2 0,5266 + 0,6911 + 0,9052 + 1,1819 + 1,5359 + 1,9833 ≈ 1,0054

Para fazer uma comparação, calculamos a integral original usando a fórmula de Newton-Leibniz:

∫ 1 2 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 d x = x 5 60 + x 2 6 - x 60 1 2 = 1

Como você pode ver, alcançamos a precisão do cálculo obtida.

Resposta: ∫ 1 2 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 d x ≈ 1,0054

Para integrandos de forma complexa, nem sempre é fácil encontrar o número n da desigualdade para estimar o erro absoluto. Neste caso, o método a seguir será apropriado.

Denotemos o valor aproximado da integral definida, obtida pelo método trapezoidal para n nós, como I n. Vamos escolher um número arbitrário n. Usando a fórmula do método trapezoidal, calculamos a integral inicial para um número único (n = 10) e duplo (n = 20) de nós e encontramos o valor absoluto da diferença entre os dois valores aproximados obtidos I 20 - Eu 10.

Se o valor absoluto da diferença entre os dois valores aproximados obtidos for menor que a precisão exigida I 20 - I 10< δ n , то мы прекращаем вычисления и выбираем значение I 20 , которое можно округлить до требуемого порядка точности.

Se o valor absoluto da diferença entre os dois valores aproximados obtidos for maior que a precisão necessária, é necessário repetir as etapas com o dobro do número de nós (n = 40).

Este método requer uma grande quantidade de cálculos, por isso é aconselhável usar tecnologia de informática para economizar tempo.

Vamos resolver o problema usando o algoritmo acima. Para economizar tempo, omitiremos os cálculos intermediários usando o método trapezoidal.

Exemplo 3

É necessário calcular a integral definida ∫ 0 2 x e x d x usando o método trapezoidal com precisão de 0,001.

Solução

Vamos considerar n igual a 10 e 20. Usando a fórmula trapezoidal, obtemos I 10 = 8,4595380, I 20 = 8,4066906.

I 20 - I 10 = 8, 4066906 - 8, 4595380 = 0, 0528474 > 0, 001, o que requer cálculos adicionais.

Tomemos n igual a 40: I 40 = 8, 3934656.

I 40 - I 20 = 8, 3934656 - 8, 4066906 = 0, 013225 > 0, 001, o que também requer cálculos contínuos.

Tomemos n igual a 80: I 80 = 8, 3901585.

I 80 - I 40 = 8,3901585 - 8,3934656 = 0,0033071 > 0,001, o que requer outra duplicação do número de nós.

Vamos considerar n igual a 160: I 160 = 8, 3893317.

160 - 80 = 8,3893317 - 8,3901585 = 0,0008268< 0 , 001

O valor aproximado da integral original pode ser obtido arredondando I 160 = 8,3893317 para milésimos: ∫ 0 2 x e x d x ≈ 8, 389.

Para comparação, vamos calcular a integral definida original usando a fórmula de Newton-Leibniz: ∫ 0 2 x e x d x = e x · (x - 1) 0 2 = e 2 + 1 ≈ 8, 3890561. A precisão necessária foi alcançada.

Resposta: ∫ 0 2 x e x d x ≈ 8, 389

Erros

Os cálculos intermediários para determinar o valor de uma integral definida são geralmente realizados de forma aproximada. Isso significa que à medida que n aumenta, o erro computacional começa a se acumular.

Vamos comparar as estimativas dos erros absolutos do método trapezoidal e do método do retângulo médio:

δ n ≤ m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) n · h 3 12 = m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) · b - a 3 12 n 2 δ n ≤ m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) n · h 3 24 = m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) · b - a 3 24 n 2 .

O método do retângulo para um determinado n com a mesma quantidade de trabalho computacional dá metade do erro. Isso torna o método mais preferível nos casos em que os valores da função nos segmentos intermediários dos segmentos elementares são conhecidos.

Nos casos em que as funções a serem integradas não são especificadas analiticamente, mas como um conjunto de valores em nós, podemos utilizar o método trapezoidal.

Se compararmos a precisão do método trapézio e do método dos retângulos direito e esquerdo, então o primeiro método é superior ao segundo na precisão do resultado.

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Método trapézioé um dos métodos de integração numérica. Ele permite calcular integrais definidas com um grau de precisão predeterminado.

Primeiro, descrevemos a essência do método trapezoidal e derivamos a fórmula trapezoidal. A seguir, anotaremos uma estimativa do erro absoluto do método e analisaremos detalhadamente a solução de exemplos típicos. Concluindo, vamos comparar o método trapézio com o método retângulo.

Navegação na página.

A essência do método trapézio.

Vamos nos propor a seguinte tarefa: precisamos calcular aproximadamente uma integral definida, onde a função integrando y=f(x) é contínua no segmento.

Vamos dividir o segmento em n intervalos iguais de comprimento h com pontos. Neste caso, encontramos a etapa de partição e também determinamos os nós a partir da igualdade.

Vamos considerar o integrando em segmentos elementares .

Existem quatro casos possíveis (a figura mostra o mais simples deles, ao qual tudo se resume à medida que n aumenta infinitamente):

Em cada segmento Vamos substituir a função y=f(x) por um segmento de reta que passa pelos pontos com coordenadas e . Vamos representá-los na figura com linhas azuis:

Como valor aproximado da integral, tomamos a expressão , ou seja, vamos aceitar .

Vamos descobrir o que significa a igualdade aproximada escrita no sentido geométrico. Isso permitirá entender por que o método de integração numérica em consideração é denominado método trapezoidal.

Sabemos que a área de um trapézio é o produto da metade da soma das bases pela altura. Portanto, no primeiro caso, a área de um trapézio curvo é aproximadamente igual à área de um trapézio com bases e altura h, neste último caso a integral definida é aproximadamente igual à área do trapézio com bases e altura h, tomada com sinal negativo. No segundo e terceiro casos, o valor aproximado da integral definida é igual à diferença nas áreas das regiões vermelha e azul mostradas na figura abaixo.

Assim chegamos a essência do método trapézio, que consiste em representar uma integral definida como uma soma de integrais da forma em cada segmento elementar e na posterior substituição aproximada .

Fórmula do método trapézio.

Em virtude da quinta propriedade da integral definida .

Se substituirmos seus valores aproximados em vez das integrais, obteremos:

Estimativa do erro absoluto do método trapezoidal.

Erro absoluto do método trapezoidalé estimado como
.

Ilustração gráfica do método trapézio.

Vamos dar ilustração gráfica do método trapézio:

Exemplos de cálculo aproximado de integrais definidas pelo método trapezoidal.

Vejamos exemplos do uso do método trapezoidal no cálculo aproximado de integrais definidas.

Existem basicamente dois tipos de tarefas:

• ou calcular uma integral definida usando o método trapezoidal para um determinado número de partições do segmento n,
• ou encontre o valor aproximado de uma determinada integral com a precisão necessária.

Deve-se notar que para um determinado n, os cálculos intermediários devem ser realizados com um grau de precisão suficiente, e quanto maior n, maior deve ser a precisão dos cálculos.

Se você precisar calcular uma integral definida com uma determinada precisão, por exemplo, até 0,01, recomendamos realizar cálculos intermediários com duas a três ordens de grandeza com mais precisão, ou seja, até 0,0001 - 0,00001. Se a precisão especificada for alcançada com n grande, os cálculos intermediários deverão ser realizados com precisão ainda maior.

Por exemplo, tomemos uma integral definida, cujo valor podemos calcular pela fórmula de Newton-Leibniz, para que possamos comparar esse resultado com o valor aproximado obtido pelo método trapezoidal.

Então, .

Exemplo.

Calcule a integral definida usando o método trapezoidal para n = 10.

Solução.

A fórmula do método trapezoidal tem a forma . Ou seja, para utilizá-lo basta calcular o passo h através da fórmula, determinar os nós e calcular os valores correspondentes do integrando.

Vamos calcular a etapa de partição: .

Definimos os nós e calculamos os valores do integrando neles (tomaremos quatro casas decimais):

Por conveniência, os resultados do cálculo são apresentados em forma de tabela:

Nós os substituímos na fórmula do método trapezoidal:

O valor resultante coincide em centésimos com o valor calculado pela fórmula de Newton-Leibniz.

Exemplo.

Calcular integral definida usando o método trapezoidal com precisão de 0,01.

Solução.

O que temos da condição: a = 1; b = 2; .

Neste caso, a primeira coisa que fazemos é encontrar o número de pontos de partição do segmento de integração, ou seja, n. Podemos fazer isso usando a desigualdade para estimar o erro absoluto . Assim, se encontrarmos n para o qual a desigualdade será válida , então a fórmula trapezoidal para dado n nos dará um valor aproximado de uma certa integral com a precisão necessária.

Vamos primeiro encontrar o maior valor do módulo da segunda derivada da função no intervalo.

A segunda derivada da função é uma parábola quadrática, sabemos pelas suas propriedades que ela é positiva e crescente no intervalo, portanto . Como você pode ver, em nosso exemplo o processo de localização é bastante simples. Em casos mais complexos, consulte a seção. Se for muito difícil de encontrar, depois deste exemplo daremos um método alternativo de ação.

Vamos voltar à nossa desigualdade e substitua o valor resultante nele:

Porque n é um número natural (n é o número de intervalos elementares em que o segmento de integração é dividido), então podemos considerar n = 6, 7, 8, ... Vamos considerar n = 6. Isso nos permitirá alcançar a precisão necessária do método trapezoidal com um mínimo de cálculos (embora no nosso caso com n = 10 seja mais conveniente realizar cálculos manualmente).

Então, n for encontrado, agora procedemos como no exemplo anterior.

Calcule o passo: .

Encontramos os nós da grade e os valores do integrando neles:

Vamos inserir os resultados do cálculo na tabela:

Substituímos os resultados obtidos na fórmula trapezoidal:

Vamos calcular a integral original usando a fórmula de Newton-Leibniz para comparar os valores:

Portanto, a precisão necessária foi alcançada.

Deve-se notar que encontrar o número n da desigualdade para estimar o erro absoluto não é um procedimento muito simples, especialmente para integrandos de forma complexa. Portanto, é lógico recorrer ao seguinte método.

O valor aproximado da integral definida obtida pelo método trapezoidal para n nós será denotado por .

Escolhemos um número arbitrário n, por exemplo n = 10. Utilizando a fórmula do método trapezoidal, calculamos a integral original para n = 10 e para o dobro do número de nós, ou seja, para n = 20. Encontramos o valor absoluto da diferença entre os dois valores aproximados obtidos. Se for menor que a precisão necessária , então paramos os cálculos e tomamos o valor como um valor aproximado da integral definida, arredondando-o primeiro para a ordem de precisão exigida. Caso contrário, duplicamos o número de nós (consideramos n = 40) e repetimos os passos.

Tarefas educacionais:

• Finalidade didática. Apresente aos alunos métodos de cálculo aproximado de uma integral definida.
• Finalidade educacional. O tema desta lição é de grande importância prática e educacional. A maneira mais simples de abordar a ideia de integração numérica é confiar na definição de uma integral definida como o limite das somas integrais. Por exemplo, se tomarmos qualquer partição suficientemente pequena do segmento [ a; b] e construir uma soma integral para ele, então seu valor pode ser considerado aproximadamente como o valor da integral correspondente. Ao mesmo tempo, é importante realizar cálculos de forma rápida e correta por meio da tecnologia informática.

Conhecimentos e habilidades básicas. Compreender os métodos aproximados para calcular uma integral definida usando as fórmulas de retângulos e trapézios.

Oferecendo aulas

• Folheto. Cartões-tarefas para trabalho independente.
• TSO. Multiprojetor, PC, laptops.
• Equipamento TSO. Apresentações: “Significado geométrico das derivadas”, “Método dos retângulos”, “Método dos trapézios”. (As apresentações podem ser obtidas com o autor).
• Equipamentos de informática: PC, microcalculadoras.
• Diretrizes

Tipo de aula. Prático integrado.

Motivação da atividade cognitiva dos alunos. Muitas vezes é necessário calcular integrais definidas para as quais é impossível encontrar uma antiderivada. Neste caso, são utilizados métodos aproximados para cálculo de integrais definidas. Às vezes, o método aproximado também é usado para integrais “tomadas”, se o cálculo usando a fórmula de Newton-Leibniz não for racional. A ideia do cálculo aproximado da integral é que a curva seja substituída por uma nova curva suficientemente “próxima” dela. Dependendo da escolha da nova curva, uma ou outra fórmula de integração aproximada pode ser utilizada.

Sequência da aula.

1. Fórmula retangular.
2. Fórmula trapezoidal.
3. Solução de exercícios.

Plano de aula

1. Repetição dos conhecimentos básicos dos alunos.

Repita com os alunos: as fórmulas básicas de integração, a essência dos métodos de integração estudados, o significado geométrico de uma integral definida.

1. Fazendo trabalhos práticos.

A solução de muitos problemas técnicos resume-se ao cálculo de certas integrais, cuja expressão exata é complexa, requer cálculos demorados e nem sempre justificada na prática. Aqui seu valor aproximado é suficiente.

Deixe, por exemplo, você precisar calcular a área delimitada por uma reta cuja equação é desconhecida. Neste caso, você pode substituir esta reta por uma mais simples, cuja equação é conhecida. A área do trapézio curvilíneo assim obtida é tomada como um valor aproximado da integral desejada.

O método aproximado mais simples é o método do retângulo. Geometricamente, a ideia do método de cálculo da integral definida pela fórmula do retângulo é que a área de um trapézio curvilíneo ABCDé substituído pela soma das áreas dos retângulos, um lado dos quais é igual a e o outro -.

Se somarmos as áreas dos retângulos que mostram a área de um trapézio curvo com desvantagem [Figura 1], obtemos a fórmula:

[Imagem 1]

então obtemos a fórmula:

Se em excesso

[Figura 2],

Que

Valores s 0, s 1,..., s n encontrado a partir de igualdades , k = 0, 1..., n.Essas fórmulas são chamadas fórmulas retangulares e dê um resultado aproximado. Com aumento n o resultado se torna mais preciso.

Então, para encontrar o valor aproximado da integral, você precisa:

Para encontrar o erro de cálculo, você precisa usar as fórmulas:

Exemplo 1. Calcule usando a fórmula do retângulo. Encontre os erros absolutos e relativos dos cálculos.

Vamos dividir o segmento [ a, b] em várias (por exemplo, 6) partes iguais. Então uma = 0, b = 3 ,

x k = a + k x
X 0 = 2 + 0 = 2
X 1 = 2 + 1 = 2,5
X 2 = 2 + 2 =3
X 3 = 2 + 3 = 3
X 4 = 2 + 4 = 4
X 5 = 2 + 5 = 4,5

f(x 0) = 2 2 = 4
f (x 1) = 2 ,5 2 = 6,25
f (x 2) = 3 2 = 9
f (x 3) = 3,5 2 = 12,25
f (x 4) = 4 2 = 16
f (x 5) = 4,5 2 = 20,25.

De acordo com a fórmula (1):

Para calcular o erro relativo dos cálculos, é necessário encontrar o valor exato da integral:

Os cálculos demoraram muito e acabamos com um arredondamento bastante aproximado. Para calcular esta integral com uma aproximação menor, você pode usar os recursos técnicos de um computador.

Para encontrar a integral definida usando o método do retângulo, você deve inserir os valores do integrando f(x) para planilha do Excel no intervalo X com um determinado passo X= 0,1.

1. Fazendo uma tabela de dados (X E f(x)). X f(x). Argumento, e na célula B1 - a palavra Função2 2,1 ). A seguir, selecionando o bloco de células A2:A3, utilizando o preenchimento automático obtemos todos os valores do argumento (arrastamos o canto inferior direito do bloco para a célula A32, para o valor x=5).
2. A seguir, inserimos os valores do integrando. Na célula B2 você precisa anotar sua equação. Para fazer isso, coloque o cursor da tabela na célula B2 e insira a fórmula no teclado =A2^2(com layout de teclado em inglês). Pressione a tecla Digitar. Na célula B2 aparece 4 . Agora você precisa copiar a função da célula B2. Usando o preenchimento automático, copie esta fórmula para o intervalo B2:B32.
   O resultado deve ser uma tabela de dados para encontrar a integral.
3. Agora na célula B33 pode ser encontrado o valor aproximado da integral. Para fazer isso, insira a fórmula na célula B33 = 0,1*, depois chame o Assistente de Funções (clicando no botão Inserir Função na barra de ferramentas (f(x)). Na caixa de diálogo que aparece, Assistente de Função - etapa 1 de 2, à esquerda no campo Categoria, selecione Matemático. À direita do campo Função está a função Soma. aperte o botão OK. A caixa de diálogo Valores é exibida. Usando o mouse, insira o intervalo de soma B2:B31 no campo de trabalho. aperte o botão OK. Na célula B33, aparece um valor aproximado da integral desejada com uma desvantagem ( 37,955 ) .

Comparando o valor aproximado obtido com o valor verdadeiro da integral ( 39 ), pode-se ver que o erro de aproximação do método do retângulo neste caso é igual a

= |39 - 37 , 955| = 1 ,045

Exemplo 2. Usando o método do retângulo, calcule com uma determinada etapa X = 0,05.

Comparando o valor aproximado obtido com o valor verdadeiro da integral , pode-se ver que o erro de aproximação do método do retângulo neste caso é igual a

O método trapezoidal geralmente fornece um valor integral mais preciso do que o método retangular. O trapézio curvo é substituído pela soma de vários trapézios e o valor aproximado da integral definida é encontrado como a soma das áreas dos trapézios

[Figura 3]

Exemplo 3. Encontre usando o método trapezoidal em etapas X = 0,1.

1. Abra uma planilha em branco.
2. Fazendo uma tabela de dados (X E f(x)). Deixe a primeira coluna ser os valores X, e o segundo com os indicadores correspondentes f(x). Para fazer isso, insira a palavra na célula A1 Argumento, e na célula B1 - a palavra Função. O primeiro valor do argumento é inserido na célula A2 - a borda esquerda do intervalo ( 0 ). O segundo valor do argumento é inserido na célula A3 - o limite esquerdo do intervalo mais a etapa de construção ( 0,1 ). A seguir, selecionando o bloco de células A2:A3, utilizando o preenchimento automático obtemos todos os valores do argumento (arrastamos o canto inferior direito do bloco para a célula A33, para o valor x=3,1).
3. A seguir, inserimos os valores do integrando. Na célula B2 você precisa anotar sua equação (no exemplo do seno). Para fazer isso, o cursor da tabela deve ser colocado na célula B2. Aqui deve haver um valor seno correspondente ao valor do argumento na célula A2. Para obter o valor do seno, usaremos uma função especial: clique no botão Inserir Função na barra de ferramentas f(x). Na caixa de diálogo que aparece, Assistente de Função - etapa 1 de 2, à esquerda no campo Categoria, selecione Matemático. À direita no campo Função - função PECADO. aperte o botão OK. Uma caixa de diálogo aparece PECADO. Colocando o ponteiro do mouse sobre o campo cinza da janela, com o botão esquerdo pressionado, mova o campo para a direita para abrir a coluna de dados ( A). Indicamos o valor do argumento seno clicando na célula A2. aperte o botão OK. Um 0 aparece na célula B2. Agora você precisa copiar a função da célula B2. Usando o preenchimento automático, copie esta fórmula para o intervalo B2:B33. O resultado deve ser uma tabela de dados para encontrar a integral.
4. Agora na célula B34 o valor aproximado da integral pode ser encontrado usando o método trapezoidal. Para fazer isso, insira a fórmula na célula B34 = 0,1*((B2+B33)/2+, depois chame o Assistente de Funções (clicando no botão Inserir Função na barra de ferramentas (f(x)). Na caixa de diálogo que aparece, Assistente de Função - etapa 1 de 2, à esquerda no campo Categoria, selecione Matemático. À direita do campo Função está a função Soma. aperte o botão OK. A caixa de diálogo Valores é exibida. Insira o intervalo de soma B3:B32 no campo de trabalho com o mouse. aperte o botão OK outra vez OK. Na célula B34, aparece um valor aproximado da integral desejada com uma desvantagem ( 1,997 ) .

Comparando o valor aproximado obtido com o valor real da integral, pode-se perceber que o erro de aproximação do método do retângulo neste caso é bastante aceitável para a prática.

1. Solução de exercícios.