Seja R uma relação binária no conjunto X. A relação R é chamada reflexivo , se (x, x) О R para todo x О X; simétrico – se de (x, y) О R segue (y, x) О R; o número transitivo 23 corresponde à opção 24 se (x, y) О R e (y, z) О R implicam (x, z) О R.

Exemplo 1

Diremos que x О X tem em comum com elemento y О X, se o conjunto
x Ç y não está vazio. A relação ter em comum será reflexiva e simétrica, mas não transitiva.

Relação de equivalência em X é uma relação reflexiva, transitiva e simétrica. É fácil ver que R Í X ´ X será uma relação de equivalência se e somente se as inclusões forem válidas:

Id X Í R (reflexividade),

R -1 Í R (simetria),

R ° R Í R (transitividade).

Na realidade, estas três condições são equivalentes ao seguinte:

Id X Í R, R -1 = R, R ° R = R.

Ao dividir de um conjunto X é o conjunto A de subconjuntos disjuntos aos pares a Í X tais que UA = X. Com cada partição A podemos associar uma relação de equivalência ~ em X, colocando x ~ y se x e y são elementos de algum a Î A .

Cada relação de equivalência ~ em X corresponde a uma partição A, cujos elementos são subconjuntos, cada um dos quais consiste naqueles na relação ~. Esses subconjuntos são chamados classes de equivalência . Esta partição A é chamada de conjunto de fatores do conjunto X em relação a ~ e é denotada: X/~.

Vamos definir a relação ~ no conjunto w dos números naturais, colocando x ~ y se os restos da divisão de xey por 3 forem iguais. Então w/~ consiste em três classes de equivalência correspondentes aos restos 0, 1 e 2.

Relação de pedido

Uma relação binária R em um conjunto X é chamada antisimétrico , se de x R y e y R x segue: x = y. Uma relação binária R em um conjunto X é chamada relação de ordem , se for reflexivo, antissimétrico e transitivo. É fácil ver que isso é equivalente às seguintes condições:

1) Id X Í R (reflexividade),

2) R Ç R -1 (antisimetria),

3) R ° R Í R (transitividade).

Um par ordenado (X, R) que consiste em um conjunto X e uma relação de ordem R em X é chamado conjunto parcialmente ordenado .

Exemplo 1

Seja X = (0, 1, 2, 3), R = ((0, 0), (0, 1), (0, 2), (0, 3), (1, 1), (1, 2 ), (1, 3), (2, 2), (3, 3)).

Como R satisfaz as condições 1 – 3, então (X, R) é um conjunto parcialmente ordenado. Para os elementos x = 2, y = 3, nem x R y nem y R x são verdadeiros. Tais elementos são chamados incomparável . Normalmente a relação de ordem é denotada por £. No exemplo dado, 0 £ 1 e 2 £ 2, mas não é verdade que 2 £ 3.

Exemplo 2

Deixar< – бинарное отношение строгого неравенства на множестве w натуральных чисел, рассмотренное в разд. 1.2. Тогда объединение отношений = и < является отношением порядка £ на w и превращает w в частично упорядоченное множество.

Os elementos x, y О X de um conjunto parcialmente ordenado (X, £) são chamados comparável , se x £ y ou y £ x.

Um conjunto parcialmente ordenado (X, £) é chamado ordenado linearmente ou corrente , se quaisquer dois de seus elementos forem comparáveis. O conjunto do exemplo 2 será ordenado linearmente, mas o conjunto do exemplo 1 não.

Um subconjunto A Í X de um conjunto parcialmente ordenado (X, £) é chamado limitado acima , se existe um elemento x О X tal que a £ x para todo a О A. O elemento x О X é chamado o maior em X se y £ x para todo y О X. Um elemento x О X é chamado maximal se não houver elementos y О X diferentes de x para os quais x £ y. No exemplo 1, os elementos 2 e 3 serão os máximos, mas não os maiores. Definido de forma semelhante limite inferior subconjuntos, elementos menores e mínimos. No exemplo 1, o elemento 0 será o menor e o mínimo. No Exemplo 2, 0 também possui essas propriedades, mas (w, £) não possui o elemento maior nem o elemento máximo.

Seja (X, £) um conjunto parcialmente ordenado, A Í X um subconjunto. Uma relação em A, consistindo em pares (a, b) de elementos a, b О A, para os quais a £ b, será uma relação de ordem em A. Esta relação é denotada pelo mesmo símbolo: £. Assim, (A, £) é um conjunto parcialmente ordenado. Se for ordenado linearmente, diremos que A é corrente em (X, £).

Princípio máximo

Algumas afirmações matemáticas não podem ser provadas sem o axioma da escolha. Diz-se que estas declarações são depende do axioma da escolha ou válido na teoria ZFC , na prática, em vez do axioma da escolha, o axioma de Zermelo, ou o lema de Kuratowski-Zorn, ou qualquer outra afirmação equivalente ao axioma da escolha é geralmente usado para prova.

Lema de Kuratowski-Zorn. Se cada cadeia em um conjunto parcialmente ordenado(X,£) é limitado de cima, então em X existe pelo menos um elemento máximo.

Este lema é equivalente ao axioma da escolha e, portanto, pode ser aceito como um axioma.

Teorema.Para qualquer conjunto parcialmente ordenado(X,£) existe uma relação contendo a relação£ e transformando X em um conjunto linearmente ordenado.

Prova. O conjunto de todas as relações de ordem contendo a relação £ é ordenado pela relação de inclusão U. Visto que a união de uma cadeia de relações de ordem será uma relação de ordem, então pelo lema de Kuratowski-Zorn existe uma relação máxima R tal que x £ y implica x R y. Vamos provar que R é uma relação ordenando X linearmente. Suponhamos o oposto: exista a, b О X tal que nem (a, b) nem (b, a) pertençam a R. Considere a relação:

R¢ = R È ((x, y): x R a e b R y).

É obtido somando o par (a, b) a R e os pares (x, y), que devem ser somados a R¢ a partir da condição de que R¢ seja uma relação de ordem. É fácil perceber que R¢ é reflexivo, antissimétrico e transitivo. Obtemos R Ì R¢, o que contradiz a maximidade de R, portanto, R é a relação de ordem linear desejada.

Um conjunto linearmente ordenado X é chamado de bem ordenado se todo subconjunto não vazio A Í X dele contém o menor elemento a Î A. O lema de Kuratowski-Zorn e o axioma da escolha também são equivalentes à seguinte afirmação:

Axioma de Zermelo. Para cada conjunto existe uma relação de ordem que o transforma em um conjunto completamente ordenado.

Por exemplo, o conjunto w dos números naturais é completamente ordenado. O princípio da indutância é resumido da seguinte forma:

Indução transfinita. Se(X,£) é um conjunto completamente ordenado e F(x) é uma propriedade de seus elementos, verdadeiro para o menor elemento x 0 О X e tal que da verdade de F(y) para todo y < z следует истинность F(z), то F(x) verdade para todos x O X .

Aqui y< z означает, что у £ z, но y ¹ z. Действительно, в противном случае среди x Î X, не обладающих свойством F(x), можно выбрать наименьший элемент x 1 , и выполнение F(y) для всех y < x 1 приводит к выполнению F(x 1), противоречащему предположению.

Conceito de poder

Sejam f: X à Y e g: Y à Z mapas de conjuntos. Como f e g são relações, sua composição é definida g ° f(x) = g(f(x)). Se h:Z à T é um mapa de conjuntos, então h°(g°f)=(h°g)°f. As relações Id X e Id Y são funções, portanto, estão definidas as composições Id Y ° f = f ° Id x = f. Para X = Y, definimos f 2 = f ° f, f 3 = f 2 ° f, ..., f n+1 = f n ° f.

O mapeamento f: X àY é chamado por injeção , se para quaisquer elementos x 1 ¹ x 2 do conjunto X, f(x 1) ¹ f(x 2) é verdadeiro. O mapeamento f é chamado sobreposição , se para cada y ОY existe um x О X tal que f(x) = y. Se f é ao mesmo tempo uma sobrejeção e uma injeção, então f é chamada bijeção . É fácil ver que f é uma bijeção se e somente se a relação inversa f -1 Í Y ´ X for uma função.

Diremos que a igualdade |X| = |Y|, se existe uma bijeção entre X e Y. Seja |X| £ |Y|, se houver injeção f: X à Y.

Teorema de Cantor-Schroeder-Bernstein. Se|X| £ |S| E|S| £ |X| , Que|X| = |S|.

Prova. Por condição, existem injeções f: X à Y e g: Y à X. Seja A = g¢¢Y = Img a imagem do conjunto Y em relação ao mapeamento g. Então

(X \ A) Ç (gf)¢¢(X \ A) = Æ,

(gf)¢¢(X \ A) Ç (gf) 2 ¢¢(X \ A) = Æ, …,

(gf) n ¢¢(X \ A) Ç (gf) n+1 ¢¢(X \ A) = Æ, …

Considere o mapeamento j: X à A, dado como j(x) = gf(x), com

x Î (X \ A) È (gf)¢¢(X \ A) È (gf) 2 ¢¢(X \ A) È …, e j(x) = x em outros casos. É fácil ver que j é uma bijeção. A bijeção necessária entre X e Y será igual a g -1°j.

Antinomia de Cantor

Seja |X|< |Y|, если |X| £ |Y| и не существует биекции между X и Y.

Teorema de Cantor. Para qualquer conjunto X, |X|< |P(X)|, где P(X) – множество всех подмножеств множества X.

(isto é, que possui as seguintes propriedades: cada elemento do conjunto é equivalente a si mesmo; se x equivalente sim, Que sim equivalente x; Se x equivalente sim, A sim equivalente z, Que x equivalente z ).

Então o conjunto de todas as classes de equivalência é chamado conjunto de fatores e é designado. Particionar um conjunto em classes de elementos equivalentes é chamado de fatoração.

Exibir de X no conjunto de classes de equivalência é chamado mapeamento de fatores.

Exemplos

É razoável usar a fatoração de conjuntos para obter espaços normados a partir de espaços seminormados, espaços com produto interno de espaços com produto quase interno, etc. Para isso, introduzimos, respectivamente, a norma de uma classe, igual ao norma de um elemento arbitrário e o produto interno de classes como um produto interno de elementos arbitrários de classes. Por sua vez, a relação de equivalência é introduzida da seguinte forma (por exemplo, para formar um espaço quociente normalizado): é introduzido um subconjunto do espaço seminormado original, constituído por elementos com seminorma zero (aliás, é linear, ou seja, é um subespaço) e considera-se que dois elementos são equivalentes se a sua diferença pertencer a este mesmo subespaço.

Se, para fatorar um espaço linear, um determinado subespaço for introduzido e for assumido que se a diferença de dois elementos do espaço original pertence a este subespaço, então esses elementos são equivalentes, então o conjunto de fatores é um espaço linear e é chamado um espaço de fator.

Exemplos

Veja também

Fundação Wikimedia. 2010.

Veja o que é “Conjunto de fatores” em outros dicionários:

O princípio lógico subjacente às definições por meio de abstração (ver Definição por meio de abstração): qualquer relação do tipo de igualdade, definida em algum conjunto inicial de elementos, divide (divide, classifica) o original... ...

Uma forma de pensamento que reflete as propriedades essenciais, conexões e relações de objetos e fenômenos em sua contradição e desenvolvimento; um pensamento ou sistema de pensamentos que generaliza, distingue objetos de uma determinada classe de acordo com certos gerais e no agregado... ... Grande Enciclopédia Soviética

Cohomologia do grupo de Galois. Se M é um grupo Abeliano e um grupo de Galois de uma extensão agindo em M, então os grupos de cohomologia de Galois são grupos de cohomologia definidos por um complexo que consiste em todos os mapas, e d é um operador co-limite (ver Cohomologia de grupos).... . .. Enciclopédia Matemática

A construção do paraíso apareceu pela primeira vez na teoria dos conjuntos e depois tornou-se amplamente utilizada em álgebra, topologia e outras áreas da matemática. Um caso especial importante de um IP é um IP de uma família dirigida de estruturas matemáticas do mesmo tipo. Deixe ser … Enciclopédia Matemática

Embora pontos relativos ao grupo G atuando no conjunto X (à esquerda), o conjunto Conjunto é um subgrupo de G e é chamado. estabilizador, ou subgrupo estacionário de um ponto em relação a G. O mapeamento induz uma bijeção entre G/Gx e a órbita G(x). SOBRE.… … Enciclopédia Matemática

Este artigo tem uma introdução muito curta. Por favor, adicione uma seção introdutória que introduza brevemente o tópico do artigo e resuma seu conteúdo... Wikipedia

Este artigo é sobre o sistema algébrico. Para o ramo da lógica matemática que estuda declarações e operações sobre elas, consulte Álgebra da Lógica. A álgebra booleana é um conjunto não vazio A com duas operações binárias (análogas a uma conjunção), ... ... Wikipedia

Seja dada uma relação de equivalência em um conjunto. Então o conjunto de todas as classes de equivalência é chamado de conjunto de fatores e é denotado. Particionar um conjunto em classes de elementos equivalentes é chamado de fatoração. Mapeando de para... ... Wikipedia

Em geometria, um segmento direcionado é entendido como um par ordenado de pontos, sendo o primeiro, ponto A, chamado de início, e o segundo, B, de fim. Conteúdo 1 Definição ... Wikipedia

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Fonte de trabalho: Tarefa 10_20. Exame Estadual Unificado 2018 Estudos Sociais. Solução

Tarefa 20. Leia o texto abaixo, no qual faltam algumas palavras (frases). Selecione na lista de palavras (frases) que precisam ser inseridas no lugar das lacunas.

“A qualidade de vida depende de muitos factores, que vão desde o local de residência de uma pessoa à situação socioeconómica geral e (A), bem como à situação política do país. A qualidade de vida, de uma forma ou de outra, pode ser influenciada pela situação demográfica, pelas condições de habitação e produção, pelo volume e qualidade de _____(B), etc. Dependendo do grau de satisfação das necessidades da economia, é é habitual distinguir diferentes níveis de vida da população: riqueza - utilização (B) garantindo o desenvolvimento humano integral; nível normal de _____(G) de acordo com padrões com base científica, proporcionando à pessoa a restauração de sua força física e intelectual; pobreza - consumo de bens ao nível da manutenção da capacidade de trabalho como limite inferior de reprodução _____(D); A pobreza é o consumo do conjunto mínimo aceitável de bens e serviços de acordo com critérios biológicos, que apenas permite manter a viabilidade humana.

A população, adaptando-se às condições de mercado, utiliza diversas fontes adicionais de rendimento, incluindo rendimentos de terrenos particulares, lucro de _____(E).”

As palavras (frases) da lista são fornecidas no caso nominativo. Cada palavra (frase) pode ser usada apenas uma vez.

Selecione uma palavra (frase) após a outra, preenchendo mentalmente cada lacuna. Observe que há mais palavras (frases) na lista do que você precisa para preencher as lacunas.

Lista de termos:

1) capital

2) ambiental

3) consumo racional

4) bens de consumo

5) meios de produção

7) trabalho

8) atividade empreendedora

9) mobilidade social

Solução.

Vamos inserir os termos no texto.

“A qualidade de vida depende de muitos factores, que vão desde o local de residência de uma pessoa à situação socioeconómica e ambiental geral (2) (A), bem como à situação política do país. A qualidade de vida, de uma forma ou de outra, pode ser influenciada pela situação demográfica, pelas condições de habitação e produção, pelo volume e qualidade dos bens de consumo (4) (B), etc. economia, costuma-se distinguir diferentes níveis de vida da população : riqueza - utilização de benefícios (6) (B) que garantem o desenvolvimento integral de uma pessoa; nível normal de consumo racional (3) (D) de acordo com padrões com base científica, proporcionando à pessoa a restauração de sua força física e intelectual; pobreza - consumo de bens ao nível da manutenção da capacidade de trabalho como limite inferior da reprodução da força de trabalho (7) (D); A pobreza é o consumo do conjunto mínimo aceitável de bens e serviços de acordo com critérios biológicos, que apenas permite manter a viabilidade humana.

Se a atitude R tem as seguintes propriedades: reflexivo transitivo simétrico, ou seja, é uma relação de equivalência (~ ou ≡ ou E) no conjunto M , então o conjunto de classes de equivalência é chamado de conjunto de fatores do conjunto M em relação à equivalência R e é designado SENHOR

Existe um subconjunto de elementos do conjunto M equivalente x , chamado classe de equivalência.

Da definição de um conjunto de fatores segue-se que ele é um subconjunto de um booleano: .

A função é chamada identificação e é definido da seguinte forma:

Teorema.Álgebra de fator F n /~ é isomórfico à álgebra das funções booleanas B n

Prova.

O isomorfismo necessário ξ : F n / ~ → B n é determinado pela seguinte regra: classe de equivalência ~(φ) função é correspondida fφ , ter uma tabela verdade para uma fórmula arbitrária do conjunto ~(φ) . Como diferentes classes de equivalência correspondem a diferentes tabelas verdade, o mapeamento ξ injetivo, e já que para qualquer função booleana f de Em p existe uma fórmula que representa a função f, então o mapeamento ξ sobrejetivo. Armazenar operações, 0, 1 quando exibido ξ é verificado diretamente. CTD.

Pelo teorema da completude funcional de toda função que não é uma constante 0 , corresponde a algum SDNF ψ , pertencente à classe ~(φ) = ξ -1 (f) fórmulas que representam uma função f . O problema de estar na sala de aula surge ~(φ) forma normal disjuntiva, que possui a estrutura mais simples.

Fim do trabalho -

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Curso de palestras sobre a disciplina matemática discreta

Universidade Estadual de Engenharia Civil de Moscou.. Instituto de Economia de Gestão e Sistemas de Informação na Construção.. IEEE..

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Todos os tópicos nesta seção:

Assunto de matemática discreta
O assunto da matemática discreta (finita, finita) é um ramo da matemática que estuda as propriedades de estruturas discretas, enquanto a matemática clássica (contínua) estuda as propriedades dos objetos

Isomorfismo
A ciência que estuda as operações algébricas é chamada álgebra. Este conceito se tornará mais específico e se aprofundará à medida que você estuda o curso. A álgebra está interessada apenas na questão de COMO agir

Exercícios
1. Prove que uma aplicação isomórfica é sempre isótona e que o inverso não é verdadeiro. 2. Escreva seu grupo na linguagem dos conjuntos. 3. Escreva na linguagem dos conjuntos os objetos que

Conjunto e elementos do conjunto
Atualmente, as teorias de conjuntos existentes diferem na paradigmática (sistema de visões) da base conceitual e nos meios lógicos. Então, como exemplo, podemos citar dois opostos

Conjuntos finitos e infinitos
Aquilo em que consiste o conjunto, ou seja, Os objetos que compõem um conjunto são chamados de seus elementos. Os elementos de um conjunto são distintos e distintos entre si. Como pode ser visto no exemplo dado

Poder do conjunto
A cardinalidade de um conjunto finito é igual ao número de seus elementos. Por exemplo, a cardinalidade do universo B(A) de um conjunto A de cardinalidade n

A1A2A3| + … + |A1A2A3| + … + |A1A2An| + … + |Аn-2An-1An| + (-1)n-1 |А1A2A3…An|
Um conjunto finito A tem cardinalidade k se for igual ao segmento 1.. k;:

Subconjunto, subconjunto próprio
Após a introdução do conceito de conjunto, surge a tarefa de construir novos conjuntos a partir dos existentes, ou seja, definir operações sobre conjuntos. Conjunto de M",

Linguagem simbólica de teorias de conjuntos significativos
No processo de estudo do curso, distinguiremos entre a linguagem objeto da teoria dos conjuntos e a metalinguagem, por meio da qual a linguagem objeto é estudada. Pela linguagem da teoria dos conjuntos entendemos

Prova
O conjunto B é infinito, o que significa

Adicionando e removendo elementos
Se A é um conjunto e x é um elemento, então o elemento

Conjuntos limitados. Definir limites
Seja dada uma função numérica f(x) em algum conjunto X. O limite superior (limite) da função f(x) é um número

Limite superior (inferior) exato
O conjunto de todos os limites superiores E é denotado por Es, e todos os limites inferiores por Ei. Em caso

O limite superior (inferior) exato do conjunto
Se um elemento z pertence à intersecção do conjunto E e do conjunto de todos os seus limites superiores Es (respectivamente r inferior

Propriedades básicas dos limites superior e inferior
Seja X um conjunto parcialmente ordenado. 1. Se, então

Definir de um ponto de vista atributivo
O ponto de vista agregado, ao contrário do ponto de vista atributivo, é logicamente insustentável no sentido de que leva a paradoxos do tipo de Russell e Cantor (ver abaixo). No âmbito do t atributivo

Estrutura
Um conjunto parcialmente ordenado X é chamado de estrutura se contém qualquer conjunto de dois elementos

Conjuntos de cobertura e particionamento
Uma partição de um conjunto A é uma família Ai

Relações binárias
Uma sequência de comprimento n, cujos termos são a1, .... an, será denotada por (a1, .... a

Propriedades das relações binárias
Uma relação binária R no conjunto Ho tem as seguintes propriedades: (a) reflexiva se xRx

Relações ternárias
Produto cartesiano XY

Relações N-árias
Por analogia com o produto cartesiano de dois conjuntos X,Y, podemos construir o produto cartesiano X

Exibições
Mapeamentos são algumas conexões entre elementos de conjuntos. Os exemplos mais simples de relações são as relações de adesão x

Correspondência
Um subconjunto S de um produto cartesiano é chamado de correspondência n-ária de elementos dos conjuntos Mi. Formalmente

Função
Todos os ramos da matemática discreta são baseados no conceito de função. Deixe X -

Representando uma função em termos de relações
Uma relação binária f é chamada de função se de e

Injeção, sobrejeção, bijeção
Ao usar o termo “mapeamento”, é feita uma distinção entre o mapeamento XbY e o mapeamento X em Y

Função inversa
Para arbitrários, definimos

Conjuntos parcialmente ordenados
Um conjunto S é chamado parcialmente ordenado (PUM) se for dada uma relação de ordem parcial binária reflexiva, transitiva e antissimétrica

Definir minimização de representação
Usando essas leis, consideramos o problema de minimizar a representação do conjunto M usando as operações

Reorganizações
Dado um conjunto A. Seja A um conjunto finito composto por n elementos A = (a1, a2,…, a

Permutações com repetições
Deixe o conjunto A ter elementos idênticos (repetidos). Permutação com repetições de composição (n1, n2,…,nk

Canais
Tuplas de comprimento k (1≤k≤n), consistindo em diferentes elementos do conjunto de n elementos A (as tuplas diferem em

Colocações com repetições
Deixe o conjunto A ter elementos idênticos (repetidos). Posicionamentos com repetições de n elementos de k nomes

Colocação ordenada
Coloquemos n objetos em m caixas de modo que cada caixa contenha uma sequência, e não, como antes, um conjunto de objetos colocados nela. Dois

Combinações
A partir de um conjunto A de m elementos construímos um conjunto ordenado de comprimento n, cujos elementos são arranjos com os mesmos temas

Combinações com repetições
As fórmulas resultantes são válidas apenas quando não existem elementos idênticos no conjunto A. Sejam elementos de n tipos e deles uma tupla de

Método de geração de função
Este método é usado para enumerar números combinatórios e estabelecer identidades combinatórias. O ponto de partida é o combinador de sequência (ai)

Sistema algébrico
Um sistema algébrico A é uma coleção ‹M,O,R›, o primeiro componente do qual M é um conjunto não vazio, o segundo componente O é um conjunto

Fechamento e subálgebras
Um subconjunto é dito fechado sob a operação φ se

Álgebras com uma operação binária
Seja dada uma operação binária no conjunto M. Consideremos as álgebras que ele gera, mas primeiro consideraremos algumas propriedades das operações binárias. Binário o

Grupoide
Álgebra da forma<М, f2>chamado de grupóide. Se f2 é uma operação como multiplicação (

Módulo inteiro m
Dado um anel de inteiros . Deixe-nos lembrá-lo. Álgebra<М,

Congruências
Congruência na álgebra A = (Σ – a assinatura da álgebra consiste apenas em símbolos de função) tal relação de equivalência é chamada

Elementos da teoria dos grafos
Gráficos são objetos matemáticos. A teoria dos grafos é usada em áreas como física, química, teoria da comunicação, design de computadores, engenharia elétrica, engenharia mecânica, arquitetura, pesquisa em

Gráfico, vértice, aresta
Por um gráfico não direcionado (ou, em suma, um gráfico) queremos dizer um par arbitrário G = , O que

Correspondência
Outra descrição de um grafo direcionado G, mais frequentemente usada, consiste em especificar um conjunto de vértices X e uma correspondência Г, para

Gráfico não direcionado
Se as arestas não tiverem orientação, então o gráfico é chamado não direcionado (duplicado não direcionado ou não orientado

Incidência, gráfico misto
Se a aresta e tiver a forma (u, v) ou<и, v>, então diremos que a aresta e é incidente ver

Correspondência reversa
Uma vez que representa um conjunto de tais vértices

Isomorfismo de gráfico
Dois gráficos G1 = e G2 = são isomórficos (G

Rota orientada por caminho
Um caminho (ou rota direcionada) de um grafo direcionado é uma sequência de arcos nos quais

Arcos adjacentes, vértices adjacentes, grau de vértice
Arcos a = (xi, xj), xi ≠ xj, tendo vértices finais comuns, n

Conectividade
Dois vértices em um grafo são chamados de conectados se houver um caminho simples conectando-os. Um grafo é dito conectado se todos os seus vértices estiverem conectados. Teorema.

Gráfico de arco ponderado
Um gráfico G = (N, A) é chamado ponderado se alguma função l: A → R for definida no conjunto de arcos A tal que

Matriz de conectividade forte
Matriz de conectividade forte: coloque 1 na diagonal; preencha a linha X1 - se o vértice for acessível de X1 e X1 d

Árvores
As árvores são importantes não apenas porque encontram aplicações em diversos campos do conhecimento, mas também porque ocupam uma posição especial na própria teoria dos grafos. Este último é causado pela extrema simplicidade da estrutura da árvore

Qualquer árvore não trivial tem pelo menos dois vértices suspensos
Prova Considere a árvore G(V, E). Uma árvore é um grafo conexo, portanto

Teorema
O centro de uma árvore livre consiste em um vértice ou dois vértices adjacentes: Z(G) = 0&k(G) = 1 → C(G) = K1

Árvores direcionadas, ordenadas e binárias
Árvores direcionadas (ordenadas) são uma abstração de relacionamentos hierárquicos que são frequentemente encontrados tanto na vida prática quanto na matemática e na programação. Árvore (orientação)

Prova
1. Cada arco entra em algum nó. Da cláusula 2 da definição 9.2.1 temos: v

Árvores ordenadas
Os conjuntos T1,..., Tk na definição equivalente de orderev são subárvores. Se a ordem relativa das subárvores T1,...,

Árvores binárias
Uma árvore binária (ou binária) é um conjunto finito de nós que está vazio ou consiste em uma raiz e duas árvores binárias disjuntas - esquerda e direita. Árvore binária não em java

Representação de árvore gratuita
Para representar árvores, você pode usar as mesmas técnicas usadas para representar grafos gerais - matrizes de adjacência e incidência, listas de adjacência e outras. Mas usando as propriedades especiais de

Fim para
Fundamentação O código Prüfer é de facto uma representação em árvore livre. Para ver isso, vamos mostrar que se T" é uma árvore

Representação de árvores binárias
Qualquer árvore livre pode ser orientada designando um de seus nós como raiz. Qualquer pedido pode ser ordenado arbitrariamente. Para descendentes de um nó (irmãos) de uma ordem ordenada, é definido relativo

Funções lógicas básicas
Denotemos por E2 = (0, 1) um conjunto composto por dois números. Os números 0 e 1 são básicos em um tapete discreto

Função booleana
Uma função booleana de n argumentos x1, x2,…,xn é uma função f da enésima potência do conjunto

Álgebra booleana de dois elementos
Vamos considerar o conjunto Во = (0,1) e definir as operações sobre ele, de acordo com as tabelas das fontes

Tabelas de funções booleanas
Uma função booleana de n variáveis ​​pode ser especificada por uma tabela que consiste em duas colunas e 2n linhas. A primeira coluna lista todos os conjuntos de B

F5 – repetir em y
f6 – soma módulo 2 f7

Ordem de operações
Se não houver parênteses em uma expressão complexa, as operações deverão ser realizadas na seguinte ordem: conjunção, disjunção, implicação, equivalência, negação. Convenções sobre o arranjo do primeiro teorema de Shannon
Para resolver o problema de encontrar o SDNF e o SCNF equivalentes à fórmula original φ, primeiro consideramos as expansões da função booleana f(x1, x2

Segundo teorema de Shannon
Em virtude do princípio da dualidade, o Teorema 6.4.3 (segundo teorema de Shannon) vale para álgebras booleanas. Qualquer função booleana f(x1, x2,...

Completude funcional
Teorema (sobre completude funcional). Para qualquer função booleana f existe uma fórmula φ representando a função f

Algoritmo para encontrar sdnf
Para encontrar o SDNF, esta fórmula deve primeiro ser reduzida ao DNF, e depois transformar seus conjuntos em constituintes da unidade usando as seguintes ações: a) se o conjunto inclui alguns

Método de Quine
Considere o método de Quine para encontrar o MDNF que representa uma determinada função booleana. Definamos as três operações seguintes: - operação completa de colagem -

Representação canônica de funções lógicas
Formas canônicas de funções lógicas (fórmulas) são expressões que possuem a forma padrão de uma fórmula booleana, de modo que representam exclusivamente uma função lógica. Em álgebra

Sistemas de funções booleanas
Sejam funções booleanas f(g1, g2,…, gm) e g1(x1, x2,…, xn), g2(x1

Base Zhegalkin
Vamos experimentar. Vamos dar uma olhada no sistema. Está completo, pois qualquer função da base padrão é expressa em termos

Teorema de Post
O teorema de Post estabelece condições necessárias e suficientes para a completude de um sistema de funções booleanas. (Post EL Os sistemas interativos de dois valores da lógica matemática. – Annals of Math. Stu

Prova
Necessidade. Pelo contrário. Deixe estar

Álgebra de Zhegalkin
A soma módulo 2, a conjunção e as constantes 0 e 1 formam um sistema funcionalmente completo, ou seja, formar uma álgebra - álgebra de Zhegalkin. UMA =

Lógica proposicional
A lógica matemática estuda os conceitos básicos de sintaxe (forma) e semântica (conteúdo) da linguagem natural. Consideremos três áreas principais de pesquisa em lógica matemática - lógica

Definição de um predicado
Sejam X1, X2, ..., Xn variáveis ​​arbitrárias. Chamaremos essas variáveis ​​de variáveis ​​de assunto. Deixe a variável definir você

Aplicação de predicados em álgebra
Vamos considerar predicados nos quais apenas uma variável é livre, que denotamos por x, e discutir o uso de predicados em álgebra. Um exemplo típico

Álgebra de predicados booleanos
Como as operações lógicas podem ser aplicadas a predicados, as leis básicas da álgebra booleana são válidas para eles. Teorema. (Propriedades de operações lógicas para predicados). Mn

F↔G=(F→G)(G→F), F→G=não FG
2. Use a lei não não F=F, leis de Morgan: não (F

Cálculo de predicados
O cálculo de predicados também é chamado de teoria de primeira ordem. No cálculo de predicados, assim como no cálculo proposicional, o primeiro lugar mais importante é o problema da solubilidade.

Seguimento e equivalência
A forma proposicional Q2 segue da forma proposicional Q1 se a implicação Q1 → Q2 se tornar verdadeira

Notações aceitas
Símbolos de “não peça mais”. Ao comparar a taxa de crescimento de duas funções f(n) e g(n) (com valores não negativos), o seguinte é muito conveniente

Metadesignações
Exemplo de conteúdo de símbolos OU

Os seguintes teoremas podem ser provados.

Teorema 1.4. Uma função f tem uma função inversa f -1 se e somente se f for bijetiva.

Teorema 1.5. A composição de funções bijetivas é uma função bijetiva.

Arroz. 1.12 mostra vários relacionamentos, todos eles, exceto o primeiro, são funções.

atitude, mas

injeção, mas

sujeição, mas

não é uma função

não é uma suposição

não é uma injeção

Seja f : A→B uma função, e os conjuntos A e B sejam conjuntos finitos, coloquemos A = n, B = m. O princípio de Dirichlet afirma que se n > m, então pelo menos um valor de f ocorre mais de uma vez. Em outras palavras, existe um par de elementos a i ≠ a j , a i , a j A para os quais f(a i )= f(a j ).

O princípio de Dirichlet é fácil de provar, por isso deixamos isso para o leitor como um exercício trivial. Vejamos um exemplo. Deixe que haja mais de 12 alunos em um grupo. Então é óbvio que pelo menos dois deles fazem aniversário no mesmo mês.

§ 7. Relação de equivalência. Fator - conjunto

Uma relação binária R em um conjunto A é chamada de relação de equivalência se R for reflexiva, simétrica e transitiva.

Uma relação de igualdade em um conjunto de números possui as propriedades indicadas e, portanto, é uma relação de equivalência.

A relação de similaridade triangular é obviamente uma relação de equivalência.

A relação de desigualdade não estrita (≤ ) no conjunto dos números reais não será uma relação de equivalência, porque não é simétrica: de 3≤ 5 não segue que 5≤ 3.

Uma classe de equivalência (coset) gerada por um elemento a para uma dada relação de equivalência R é o subconjunto daqueles x A que estão na relação R com a. A classe de equivalência indicada é denotada por [a]R, portanto, temos:

[a] R = (x A: a, x R).

Vejamos um exemplo. Uma relação de similaridade é introduzida no conjunto de triângulos. É claro que todos os triângulos equiláteros se enquadram em um coset, uma vez que cada um deles é semelhante, por exemplo, a um triângulo, cujos lados têm comprimento unitário.

Teorema 1.6. Seja R uma relação de equivalência no conjunto A e [a] R um coset, ou seja, [a] R = (x A: a, x R), então:

1) para qualquer a: [a] R ≠, em particular, a [a] R;

2) diferentes cosets não se cruzam;

3) a união de todos os cosets coincide com todo o conjunto A;

4) um conjunto de cosets diferentes forma uma partição do conjunto A.

Prova. 1) Devido à reflexividade de R, obtemos que para qualquer a, a A, temos a,a R, portanto a [ a] R e [ a] R ≠ ;

2) vamos supor que [ a] R ∩ [b] R ≠ , ou seja, existe um elemento c de A e c [a]R ∩ [b]R. Então de (cRa)&(cRb) devido à simetria de R obtemos que (aR c)&(cRb), e da transitividade de R temos aRb.

Para qualquer x [a] R temos: (xRa)&(aRb), então devido à transitividade de R obtemos xRb, ou seja, x [b] R, portanto [a] R [b] R. Da mesma forma, para qualquer y, y [b] R, temos: (yRb)&(aRb), e devido à simetria de R obtemos que (yRb)&(bR a), então, devido à transitividade de R , obtemos que yR a , ou seja, y [a]R e

portanto [b] R [a] R . De [ a ] ​​​​R [ b ] R e [ b ] R [ a ] ​​​​R obtemos [ a ] ​​​​R = [ b ] R , ou seja, se cosets se cruzam, então eles coincidem;

3) para qualquer a, a A, como comprovado, temos um [a] R, então, obviamente, a união de todos os cosets coincide com o conjunto A.

A afirmação 4) do Teorema 1.6 segue de 1)-3). O teorema foi provado. O seguinte teorema pode ser provado.

Teorema 1.7. Diferentes relações de equivalência no conjunto A geram diferentes partições de A.

Teorema 1.8. Cada partição do conjunto A gera uma relação de equivalência no conjunto A, e diferentes partições geram diferentes relações de equivalência.

Prova. Seja dada uma partição B = (B i ) do conjunto A. Vamos definir a relação R : a,b R se e somente se existe um B i tal que a e b pertencem ambos a este B i . É óbvio que a relação introduzida é reflexiva, simétrica e transitiva, portanto, R é uma relação de equivalência. Pode-se mostrar que se as partições são diferentes, então as relações de equivalência por elas geradas também são diferentes.

O conjunto de todos os cosets de um conjunto A em relação a uma dada relação de equivalência R é chamado de conjunto de fatores e é denotado por A/R. Os elementos de um conjunto de fatores são cosets. A classe coset [a]R, como se sabe, consiste em elementos A que estão em relação entre si R.

Vamos considerar um exemplo de relação de equivalência no conjunto de inteiros Z = (..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...).

Dois inteiros a e b são chamados de módulo m comparável (congruente) se m for um divisor do número a-b, ou seja, se tivermos:

a=b+km , k=…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,….

Neste caso, escreva a≡ b(mod m) .

Teorema 1.9. Para quaisquer números a, b, c e m>0, temos:

1) uma ≡ uma(mod m);

2) se a ≡ b(mod m), então b ≡ a(mod m);

3) se a ≡ b(mod m) e b ≡ c(mod m), então a ≡ c(mod m).

Prova. As afirmações 1) e 2) são óbvias. Vamos provar 3). Seja a=b+k 1 m, b=c+k 2 m, então a=c+(k 1 +k 2)m, ou seja, uma ≡ c(mod m) . O teorema foi provado.

Assim, a relação de comparabilidade módulo m é uma relação de equivalência e divide o conjunto de inteiros em classes disjuntas de números.

Vamos construir uma espiral que se desenrola infinitamente, mostrada na Fig. 1.13 é mostrado como uma linha sólida, e uma espiral com torção infinita é mostrada como uma linha tracejada. Seja dado um número inteiro não negativo m. Colocaremos todos os inteiros (elementos do conjunto Z) nos pontos de intersecção dessas espirais com os raios m, conforme mostrado na Fig. 1.13.

Para uma relação de comparabilidade módulo m (em particular, para m =8), a classe de equivalência são os números que estão no raio. Obviamente, cada número se enquadra em uma e apenas uma classe. Pode-se obter que para m= 8 temos:

[ 0] ={…, -8, 0, 8, 16, …};
[ 1] ={…, -7, 1, 9, 17, …};
[ 2] ={…, -6, 2, 10, 18, …};
[ 7] ={…, -9, -1, 7, 15, …}.

O conjunto de fatores do conjunto Z em relação à relação de comparação módulo m é denotado como Z/m ou como Z m. Para o caso em consideração m =8

obtemos que Z/8 = Z8 = ( , , , …, ) .

Teorema 1.10. Para quaisquer inteiros a, b, a*, b*, k e m:

1) se a ≡ b(mod m), então ka ≡ kb(mod m);

2) se a ≡ b(mod m) e a* ≡ b* (mod m), então:

a) a+a * ≡ b+b* (mod m); b) aa * ≡ bb* (mod m).

Apresentamos a prova para o caso 2b). Seja a ≡ b(mod m) e a * ≡ b * (mod m), então a=b+sm e a * =b * +tm para alguns inteiros s e t. Multiplicando

obtemos: aa* =bb* + btm+ b* sm+ stm2 =bb* +(bt+ b* s+ stm)m. Por isso,

aa* ≡ bb* (mod m).

Assim, as comparações de módulo podem ser adicionadas e multiplicadas termo por termo, ou seja, funcionam exatamente da mesma maneira que com as igualdades. Por exemplo,