Em matemática, existem técnicas especiais com as quais muitas equações quadráticas podem ser resolvidas muito rapidamente e sem discriminantes. Além disso, com treinamento adequado, muitos começam a resolver equações quadráticas oralmente, literalmente “à primeira vista”.

Infelizmente, no curso moderno de matemática escolar, tais tecnologias quase não são estudadas. Mas você precisa saber! E hoje veremos uma dessas técnicas - o teorema de Vieta. Primeiro, vamos apresentar uma nova definição.

Uma equação quadrática da forma x 2 + bx + c = 0 é chamada reduzida. Observe que o coeficiente para x 2 é 1. Não há outras restrições aos coeficientes.

1. x 2 + 7x + 12 = 0 é uma equação quadrática reduzida;
2. x 2 − 5x + 6 = 0 – também reduzido;
3. 2x 2 − 6x + 8 = 0 - mas isso não é dado, pois o coeficiente de x 2 é igual a 2.

Claro, qualquer equação quadrática da forma ax 2 + bx + c = 0 pode ser reduzida - basta dividir todos os coeficientes pelo número a. Sempre podemos fazer isso, pois a definição de uma equação quadrática implica que a ≠ 0.

É verdade que essas transformações nem sempre serão úteis para encontrar raízes. A seguir teremos certeza de que isso deve ser feito somente quando na equação final dada pelo quadrado todos os coeficientes forem inteiros. Por enquanto, vejamos os exemplos mais simples:

Tarefa. Converta a equação quadrática em equação reduzida:

1. 3x 2 − 12x + 18 = 0;
2. −4x 2 + 32x + 16 = 0;
3. 1,5x2 + 7,5x + 3 = 0;
4. 2x 2 + 7x − 11 = 0.

Vamos dividir cada equação pelo coeficiente da variável x 2. Nós temos:

1. 3x 2 − 12x + 18 = 0 ⇒ x 2 − 4x + 6 = 0 - dividiu tudo por 3;
2. −4x 2 + 32x + 16 = 0 ⇒ x 2 − 8x − 4 = 0 - dividido por −4;
3. 1,5x 2 + 7,5x + 3 = 0 ⇒ x 2 + 5x + 2 = 0 - dividido por 1,5, todos os coeficientes tornaram-se inteiros;
4. 2x 2 + 7x − 11 = 0 ⇒ x 2 + 3,5x − 5,5 = 0 - dividido por 2. Nesse caso, surgiram coeficientes fracionários.

Como você pode ver, as equações quadráticas acima podem ter coeficientes inteiros mesmo que a equação original contivesse frações.

Agora formulemos o teorema principal, para o qual, de fato, foi introduzido o conceito de equação quadrática reduzida:

Teorema de Vieta. Considere a equação quadrática reduzida da forma x 2 + bx + c = 0. Suponha que esta equação tenha raízes reais x 1 e x 2. Neste caso, as seguintes afirmações são verdadeiras:

1. x 1 + x 2 = −b. Em outras palavras, a soma das raízes da equação quadrática dada é igual ao coeficiente da variável x, tomado com sinal oposto;
2. x 1 x 2 = c. O produto das raízes de uma equação quadrática é igual ao coeficiente livre.

Exemplos. Para simplificar, consideraremos apenas as equações quadráticas acima que não requerem transformações adicionais:

1. x 2 − 9x + 20 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = − (−9) = 9; x1x2 = 20; raízes: x 1 = 4; x 2 = 5;
2. x 2 + 2x − 15 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = −2; x 1 x 2 = −15; raízes: x 1 = 3; x2 = −5;
3. x 2 + 5x + 4 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = −5; x1x2 = 4; raízes: x 1 = −1; x2 = −4.

O teorema de Vieta nos dá informações adicionais sobre as raízes de uma equação quadrática. À primeira vista, isso pode parecer difícil, mas mesmo com um treinamento mínimo você aprenderá a “ver” as raízes e literalmente adivinhá-las em questão de segundos.

Tarefa. Resolva a equação quadrática:

1. x 2 − 9x + 14 = 0;
2. x 2 − 12x + 27 = 0;
3. 3x 2 + 33x + 30 = 0;
4. −7x 2 + 77x − 210 = 0.

Vamos tentar escrever os coeficientes usando o teorema de Vieta e “adivinhar” as raízes:

1. x 2 − 9x + 14 = 0 é uma equação quadrática reduzida.
   Pelo teorema de Vieta temos: x 1 + x 2 = −(−9) = 9; x 1 · x 2 = 14. É fácil ver que as raízes são os números 2 e 7;
2. x 2 − 12x + 27 = 0 - também reduzido.
   Pelo teorema de Vieta: x 1 + x 2 = −(−12) = 12; x 1 x 2 = 27. Daí as raízes: 3 e 9;
3. 3x 2 + 33x + 30 = 0 - esta equação não é reduzida. Mas vamos corrigir isso agora dividindo ambos os lados da equação pelo coeficiente a = 3. Obtemos: x 2 + 11x + 10 = 0.
   Resolvemos usando o teorema de Vieta: x 1 + x 2 = −11; x 1 x 2 = 10 ⇒ raízes: −10 e −1;
4. −7x 2 + 77x − 210 = 0 - novamente o coeficiente para x 2 não é igual a 1, ou seja, equação não dada. Dividimos tudo pelo número a = −7. Obtemos: x 2 − 11x + 30 = 0.
   Pelo teorema de Vieta: x 1 + x 2 = −(−11) = 11; x1x2 = 30; A partir dessas equações é fácil adivinhar as raízes: 5 e 6.

Do raciocínio acima fica claro como o teorema de Vieta simplifica a solução de equações quadráticas. Sem cálculos complicados, sem raízes aritméticas e frações. E nem precisávamos de um discriminante (veja a lição “Resolvendo equações quadráticas”).

É claro que em todas as nossas reflexões partimos de dois pressupostos importantes, que, de um modo geral, nem sempre são atendidos em problemas reais:

1. A equação quadrática é reduzida, ou seja, o coeficiente para x 2 é 1;
2. A equação tem duas raízes diferentes. Do ponto de vista algébrico, neste caso o discriminante é D > 0 - na verdade, inicialmente assumimos que esta desigualdade é verdadeira.

Contudo, em problemas matemáticos típicos estas condições são satisfeitas. Se o cálculo resultar em uma equação quadrática “ruim” (o coeficiente x 2 é diferente de 1), isso pode ser facilmente corrigido - veja os exemplos no início da lição. Geralmente fico calado sobre raízes: que tipo de problema é esse que não tem resposta? Claro que haverá raízes.

Assim, o esquema geral para resolução de equações quadráticas utilizando o teorema de Vieta é o seguinte:

1. Reduza a equação quadrática à dada, se isso ainda não tiver sido feito na definição do problema;
2. Se os coeficientes da equação quadrática acima forem fracionários, resolvemos usando o discriminante. Você pode até voltar à equação original para trabalhar com números mais “úteis”;
3. No caso de coeficientes inteiros, resolvemos a equação utilizando o teorema de Vieta;
4. Se você não conseguir adivinhar as raízes em alguns segundos, esqueça o teorema de Vieta e resolva usando o discriminante.

Tarefa. Resolva a equação: 5x 2 − 35x + 50 = 0.

Então, temos diante de nós uma equação que não é reduzida, porque coeficiente a = 5. Divida tudo por 5, obtemos: x 2 − 7x + 10 = 0.

Todos os coeficientes da equação quadrática são inteiros - vamos tentar resolvê-los usando o teorema de Vieta. Temos: x 1 + x 2 = −(−7) = 7; x 1 · x 2 = 10. Neste caso, as raízes são fáceis de adivinhar - são 2 e 5. Não há necessidade de contar usando o discriminante.

Tarefa. Resolva a equação: −5x 2 + 8x − 2,4 = 0.

Vejamos: −5x 2 + 8x − 2,4 = 0 - esta equação não é reduzida, vamos dividir ambos os lados pelo coeficiente a = −5. Obtemos: x 2 − 1,6x + 0,48 = 0 - uma equação com coeficientes fracionários.

É melhor retornar à equação original e contar através do discriminante: −5x 2 + 8x − 2,4 = 0 ⇒ D = 8 2 − 4 · (−5) · (−2,4) = 16 ⇒ ... ⇒ x 1 = 1,2; x 2 = 0,4.

Tarefa. Resolva a equação: 2x 2 + 10x − 600 = 0.

Primeiro, vamos dividir tudo pelo coeficiente a = 2. Obtemos a equação x 2 + 5x − 300 = 0.

Esta é a equação reduzida, segundo o teorema de Vieta temos: x 1 + x 2 = −5; x 1 x 2 = −300. É difícil adivinhar as raízes da equação quadrática neste caso - pessoalmente, fiquei seriamente preso ao resolver esse problema.

Você terá que procurar raízes através do discriminante: D = 5 2 − 4 · 1 · (−300) = 1225 = 35 2 . Se você não se lembra da raiz do discriminante, observarei apenas que 1225: 25 = 49. Portanto, 1225 = 25 49 = 5 2 7 2 = 35 2.

Agora que a raiz do discriminante é conhecida, resolver a equação não é difícil. Obtemos: x 1 = 15; x2 = −20.

Nesta aula conheceremos as curiosas relações entre as raízes de uma equação quadrática e seus coeficientes. Estas relações foram descobertas pela primeira vez pelo matemático francês François Viète (1540-1603).

Por exemplo, para a equação 3x 2 - 8x - 6 = 0, sem encontrar suas raízes, você pode, usando o teorema de Vieta, dizer imediatamente que a soma das raízes é igual a , e o produto das raízes é igual a
ou seja, - 2. E para a equação x 2 - 6x + 8 = 0 concluímos: a soma das raízes é 6, o produto das raízes é 8; A propósito, não é difícil adivinhar a que são iguais as raízes: 4 e 2.
Prova do teorema de Vieta. As raízes x 1 e x 2 da equação quadrática ax 2 + bx + c = 0 são encontradas usando as fórmulas

Onde D = b 2 - 4ac é o discriminante da equação. Tendo juntado essas raízes,
Nós temos

Agora vamos calcular o produto das raízes x 1 ex 2. Temos

A segunda relação foi comprovada:
Comente. O teorema de Vieta também é válido no caso em que a equação quadrática tem uma raiz (ou seja, quando D = 0), neste caso simplesmente assume-se que a equação tem duas raízes idênticas, às quais se aplicam as relações acima.
As relações provadas para a equação quadrática reduzida x 2 + px + q = 0 assumem uma forma particularmente simples. Neste caso, obtemos:

x 1 = x 2 = -p, x 1 x 2 =q
aqueles. a soma das raízes da equação quadrática reduzida é igual ao segundo coeficiente tomado com sinal oposto, e o produto das raízes é igual ao termo livre.
Usando o teorema de Vieta, outras relações entre as raízes e os coeficientes de uma equação quadrática podem ser obtidas. Sejam, por exemplo, x 1 e x 2 as raízes da equação quadrática reduzida x 2 + px + q = 0. Então

No entanto, o objetivo principal do teorema de Vieta não é expressar algumas relações entre as raízes e os coeficientes de uma equação quadrática. Muito mais importante é que, usando o teorema de Vieta, se deriva uma fórmula para fatorar um trinômio quadrático, da qual não poderemos prescindir no futuro.

Prova. Nós temos

Exemplo 1. Fatore o trinômio quadrático 3x 2 - 10x + 3.
Solução. Tendo resolvido a equação 3x 2 - 10x + 3 = 0, encontramos as raízes do trinômio quadrado 3x 2 - 10x + 3: x 1 = 3, x2 = .
Usando o Teorema 2, obtemos

Em vez disso, faz sentido escrever 3x - 1. Então finalmente obtemos 3x 2 - 10x + 3 = (x - 3)(3x - 1).
Observe que um determinado trinômio quadrático pode ser fatorado sem aplicar o Teorema 2, usando o método de agrupamento:

3x 2 - 10x + 3 = 3x 2 - 9x - x + 3 =
= 3x (x - 3) - (x - 3) = (x - 3) (3x - 1).

Mas, como você pode ver, com este método o sucesso depende de conseguirmos encontrar um agrupamento bem-sucedido ou não, enquanto com o primeiro método o sucesso é garantido.
Exemplo 1. Reduzir fração

Solução. Da equação 2x 2 + 5x + 2 = 0 encontramos x 1 = - 2,

Da equação x2 - 4x - 12 = 0 encontramos x 1 = 6, x 2 = -2. É por isso
x 2 - 4x - 12 = (x - 6) (x - (- 2)) = (x - 6) (x + 2).
Agora vamos reduzir a fração dada:

Exemplo 3. Fatore as expressões:
a)x4 + 5x 2 +6; b)2x+-3
Solução. a) Vamos introduzir uma nova variável y = x2. Isso permitirá que você reescreva a expressão dada na forma de um trinômio quadrático em relação à variável y, ou seja, na forma y 2 + bу + 6.
Tendo resolvido a equação y 2 + bу + 6 = 0, encontramos as raízes do trinômio quadrático y 2 + 5у + 6: y 1 = - 2, y 2 = -3. Agora vamos usar o Teorema 2; Nós temos

y 2 + 5y + 6 = (y + 2) (y + 3).
Resta lembrar que y = x 2, ou seja, retorne à expressão dada. Então,
x 4 + 5x 2 + 6 = (x 2 + 2)(x 2 + 3).
b) Vamos introduzir uma nova variável y = . Isso permitirá que você reescreva a expressão dada na forma de um trinômio quadrático em relação à variável y, ou seja, na forma 2y 2 + y - 3. Depois de resolver a equação
2y 2 + y - 3 = 0, encontre as raízes do trinômio quadrado 2y 2 + y - 3:
y 1 = 1, y 2 = . A seguir, usando o Teorema 2, obtemos:

Resta lembrar que y = , ou seja, retorne à expressão dada. Então,

No final da seção - alguns raciocínios, novamente relacionados ao teorema de Vieta, ou melhor, à afirmação inversa:
se os números x 1, x 2 são tais que x 1 + x 2 = - p, x 1 x 2 = q, então esses números são as raízes da equação
Usando esta afirmação, você pode resolver muitas equações quadráticas oralmente, sem usar fórmulas de raiz complicadas, e também compor equações quadráticas com raízes dadas. Vamos dar exemplos.

1) x 2 - 11x + 24 = 0. Aqui x 1 + x 2 = 11, x 1 x 2 = 24. É fácil adivinhar que x 1 = 8, x 2 = 3.

2) x 2 + 11x + 30 = 0. Aqui x 1 + x 2 = -11, x 1 x 2 = 30. É fácil adivinhar que x 1 = -5, x 2 = -6.
Observe que se o termo fictício da equação for um número positivo, então ambas as raízes serão positivas ou negativas; É importante considerar isso ao selecionar raízes.

3) x 2 + x - 12 = 0. Aqui x 1 + x 2 = -1, x 1 x 2 = -12. É fácil adivinhar que x 1 = 3, x2 = -4.
Observação: se o termo livre da equação for um número negativo, então as raízes terão sinais diferentes; É importante considerar isso ao selecionar raízes.

4) 5x 2 + 17x - 22 = 0. É fácil ver que x = 1 satisfaz a equação, ou seja, x 1 = 1 é a raiz da equação. Como x 1 x 2 = - e x 1 = 1, obtemos que x 2 = -.

5) x 2 - 293x + 2830 = 0. Aqui x 1 + x 2 = 293, x 1 x 2 = 2830. Se você prestar atenção ao fato de que 2830 = 283. 10 e 293 = 283 + 10, então fica claro que x 1 = 283, x 2 = 10 (agora imagine quais cálculos teriam que ser realizados para resolver esta equação quadrática usando fórmulas padrão).

6) Vamos compor uma equação quadrática de modo que suas raízes sejam os números x 1 = 8, x 2 = - 4. Normalmente, nesses casos, compomos a equação quadrática reduzida x 2 + px + q = 0.
Temos x 1 + x 2 = -p, então 8 - 4 = -p, ou seja, p = -4. Em seguida, x 1 x 2 = q, ou seja, 8 «(-4) = q, de onde obtemos q = -32. Portanto, p = -4, q = -32, o que significa que a equação quadrática necessária tem a forma x 2 -4x-32 = 0.

Qualquer equação quadrática completa machado 2 + bx + c = 0 pode ser trazido à mente x 2 + (b/a)x + (c/a) = 0, se você primeiro dividir cada termo pelo coeficiente a antes x 2. E se introduzirmos novas notações (b/uma) = p E (c/a) = q, então teremos a equação x 2 + px + q = 0, que em matemática é chamado dada equação quadrática.

Raízes da equação quadrática reduzida e coeficientes p E q conectados entre si. Está confirmada Teorema de Vieta, em homenagem ao matemático francês François Vieta, que viveu no final do século XVI.

Teorema. Soma das raízes da equação quadrática reduzida x 2 + px + q = 0 igual ao segundo coeficiente p, tomado com sinal oposto, e o produto das raízes - ao termo livre q.

Vamos escrever essas relações da seguinte forma:

Deixar x 1 E x 2 diferentes raízes da equação dada x 2 + px + q = 0. De acordo com o teorema de Vieta x 1 + x 2 = -p E x 1 x 2 = q.

Para provar isso, vamos substituir cada uma das raízes x 1 e x 2 na equação. Obtemos duas igualdades verdadeiras:

x 1 2 + px 1 + q = 0

x 2 2 + px 2 + q = 0

Vamos subtrair a segunda da primeira igualdade. Nós temos:

x 1 2 – x 2 2 + p(x 1 – x 2) = 0

Expandimos os dois primeiros termos usando a fórmula da diferença de quadrados:

(x 1 – x 2)(x 1 – x 2) + p(x 1 – x 2) = 0

Por condição, as raízes x 1 e x 2 são diferentes. Portanto, podemos reduzir a igualdade para (x 1 – x 2) ≠ 0 e expressar p.

(x 1 + x 2) + p = 0;

(x 1 + x 2) = -p.

A primeira igualdade foi provada.

Para provar a segunda igualdade, substituímos na primeira equação

x 1 2 + px 1 + q = 0 em vez do coeficiente p, um número igual é (x 1 + x 2):

x 1 2 – (x 1 + x 2) x 1 + q = 0

Transformando o lado esquerdo da equação, obtemos:

x 1 2 – x 2 2 – x 1 x 2 + q = 0;

x 1 x 2 = q, que é o que precisava ser provado.

O teorema de Vieta é bom porque Mesmo sem conhecer as raízes de uma equação quadrática, podemos calcular sua soma e produto .

O teorema de Vieta ajuda a determinar as raízes inteiras de uma determinada equação quadrática. Mas para muitos alunos isso causa dificuldades pelo fato de não conhecerem um algoritmo de ação claro, principalmente se as raízes da equação tiverem sinais diferentes.

Portanto, a equação quadrática acima tem a forma x 2 + px + q = 0, onde x 1 e x 2 são suas raízes. De acordo com o teorema de Vieta, x 1 + x 2 = -p e x 1 · x 2 = q.

A seguinte conclusão pode ser tirada.

Se o último termo da equação for precedido por um sinal de menos, então as raízes x 1 e x 2 terão sinais diferentes. Além disso, o sinal da raiz menor coincide com o sinal do segundo coeficiente da equação.

Partindo do fato de que ao somar números com sinais diferentes, seus módulos são subtraídos, e o resultado resultante é precedido pelo sinal do número maior em valor absoluto, deve-se proceder da seguinte forma:

1. determine os fatores do número q tais que sua diferença seja igual ao número p;
2. coloque o sinal do segundo coeficiente da equação antes do menor dos números resultantes; a segunda raiz terá o sinal oposto.

Vejamos alguns exemplos.

Exemplo 1.

Resolva a equação x 2 – 2x – 15 = 0.

Solução.

Vamos tentar resolver esta equação usando as regras propostas acima. Então podemos dizer com certeza que esta equação terá duas raízes diferentes, porque D = b 2 – 4ac = 4 – 4 · (-15) = 64 > 0.

Agora, de todos os fatores do número 15 (1 e 15, 3 e 5), selecionamos aqueles cuja diferença é 2. Esses serão os números 3 e 5. Colocamos um sinal de menos na frente do número menor, ou seja, sinal do segundo coeficiente da equação. Assim, obtemos as raízes da equação x 1 = -3 ex 2 = 5.

Responder. x 1 = -3 e x 2 = 5.

Exemplo 2.

Resolva a equação x 2 + 5x – 6 = 0.

Solução.

Vamos verificar se esta equação tem raízes. Para fazer isso, encontramos um discriminante:

D = b 2 – 4ac = 25 + 24 = 49 > 0. A equação tem duas raízes diferentes.

Os possíveis fatores do número 6 são 2 e 3, 6 e 1. A diferença é 5 para o par 6 e 1. Neste exemplo, o coeficiente do segundo termo tem sinal de mais, então o número menor terá o mesmo sinal . Mas antes do segundo número haverá um sinal de menos.

Resposta: x 1 = -6 e x 2 = 1.

O teorema de Vieta também pode ser escrito para uma equação quadrática completa. Então, se a equação quadrática machado 2 + bx + c = 0 tem raízes x 1 e x 2, então as igualdades são válidas para eles

x 1 + x 2 = -(b/uma) E x 1 x 2 = (c/a). Contudo, a aplicação deste teorema numa equação quadrática completa é bastante problemática, porque se existem raízes, pelo menos uma delas é um número fracionário. E trabalhar com seleção de frações é bastante difícil. Mas ainda há uma saída.

Considere a equação quadrática completa ax 2 + bx + c = 0. Multiplique seus lados esquerdo e direito pelo coeficiente a. A equação terá a forma (ax) 2 + b(ax) + ac = 0. Agora vamos introduzir uma nova variável, por exemplo t = ax.

Neste caso, a equação resultante se transformará em uma equação quadrática reduzida da forma t 2 + bt + ac = 0, cujas raízes t 1 e t 2 (se houver) podem ser determinadas pelo teorema de Vieta.

Neste caso, as raízes da equação quadrática original serão

x 1 = (t 1 / a) e x 2 = (t 2 / a).

Exemplo 3.

Resolva a equação 15x 2 – 11x + 2 = 0.

Solução.

Vamos criar uma equação auxiliar. Vamos multiplicar cada termo da equação por 15:

15 2 x 2 – 11 15x + 15 2 = 0.

Fazemos a substituição t = 15x. Nós temos:

t2 – 11t + 30 = 0.

De acordo com o teorema de Vieta, as raízes desta equação serão t 1 = 5 e t 2 = 6.

Voltamos à substituição t = 15x:

5 = 15x ou 6 = 15x. Portanto, x 1 = 5/15 e x 2 = 6/15. Reduzimos e obtemos a resposta final: x 1 = 1/3 e x 2 = 2/5.

Responder. x 1 = 1/3 e x 2 = 2/5.

Para dominar a resolução de equações quadráticas usando o teorema de Vieta, os alunos precisam praticar tanto quanto possível. Este é precisamente o segredo do sucesso.

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2.5 Fórmula Vieta para polinômios (equações) de graus superiores

As fórmulas derivadas por Viète para equações quadráticas também são verdadeiras para polinômios de graus superiores.

Deixe o polinômio

P(x) = a 0 x n + a 1 x n -1 +… +a n

Tem n raízes diferentes x 1, x 2..., x n.

Neste caso, possui uma fatoração da forma:

a 0 x n + a 1 x n-1 +…+ a n = a 0 (x – x 1)(x – x 2)…(x – x n)

Vamos dividir os dois lados dessa igualdade por 0 ≠ 0 e abrir os colchetes na primeira parte. Obtemos a igualdade:

x n + ()x n -1 + … + () = x n – (x 1 + x 2 + … + x n) x n -1 + (x 1 x 2 + x 2 x 3 + … + x n -1 x n)x n - 2 +… +(-1) n x 1 x 2 … x n

Mas dois polinômios são identicamente iguais se e somente se os coeficientes das mesmas potências forem iguais. Segue-se que a igualdade

x 1 + x 2 + … + x n = -

x 1 x 2 + x 2 x 3 + … + x n -1 x n =

x 1 x 2 … x n = (-1) n

Por exemplo, para polinômios de terceiro grau

a 0 x³ + a 1 x² + a 2 x + a 3

Nós temos identidades

x 1 + x 2 + x 3 = -

x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 =

x1x2x3 = -

Quanto às equações quadráticas, esta fórmula é chamada de fórmula de Vieta. Os lados esquerdos dessas fórmulas são polinômios simétricos das raízes x 1, x 2 ..., x n desta equação, e os lados direitos são expressos através do coeficiente do polinômio.

2.6 Equações redutíveis a quadráticas (biquadráticas)

As equações do quarto grau são reduzidas a equações quadráticas:

machado 4 + bx 2 + c = 0,

chamado biquadrático e a ≠ 0.

Basta colocar x 2 = y nesta equação, portanto,

ay² + por + c = 0

vamos encontrar as raízes da equação quadrática resultante

e 1,2 =

Para encontrar imediatamente as raízes x 1, x 2, x 3, x 4, substitua y por x e obtenha

x² =

x1,2,3,4 = .

Se uma equação do quarto grau tem x 1, então ela também tem uma raiz x 2 = -x 1,

Se tem x 3, então x 4 = - x 3. A soma das raízes dessa equação é zero.

2x 4 - 9x² + 4 = 0

Vamos substituir a equação na fórmula das raízes das equações biquadráticas:

x1,2,3,4 = ,

sabendo que x 1 = -x 2 e x 3 = -x 4, então:

x 3,4 =

Resposta: x 1,2 = ±2; x 1,2 =

2.7 Estudo de equações biquadráticas

Vamos pegar a equação biquadrática

machado 4 + bx 2 + c = 0,

onde a, b, c são números reais e a > 0. Ao introduzir a incógnita auxiliar y = x², examinamos as raízes desta equação e inserimos os resultados na tabela (ver Apêndice No. 1)

2.8 Fórmula Cardano

Se usarmos o simbolismo moderno, a derivação da fórmula de Cardano pode ser assim:

x =

Esta fórmula determina as raízes de uma equação geral de terceiro grau:

machado 3 + 3bx 2 + 3cx + d = 0.

Esta fórmula é muito complicada e complexa (contém vários radicais complexos). Nem sempre se aplica, porque... muito difícil de preencher.

F ¢(x®) = 0, >0 (<0), то точка xоявляется точкой локального минимума (максимума) функции f(x). Если же =0, то нужно либо пользоваться первым достаточным условием, либо привлекать высшие производные. На отрезке функция y = f(x) может достигать наименьшего или наибольшего значения либо в критических точках, либо на концах отрезка . Пример 3.22. Найти экстремумы функции f(x) ...

Liste ou selecione os lugares mais interessantes de 2 a 3 textos. Assim, examinamos as disposições gerais para a criação e realização de disciplinas optativas, que serão levadas em consideração no desenvolvimento de uma disciplina optativa de álgebra para o 9º ano “Equações quadráticas e desigualdades com parâmetro”. Capítulo II. Metodologia de realização da disciplina optativa “Equações quadráticas e inequações com parâmetro” 1.1. São comuns...

Soluções a partir de métodos de cálculo numérico. Para determinar as raízes de uma equação, não é necessário o conhecimento das teorias dos grupos de Abel, Galois, Lie, etc. e o uso de terminologia matemática especial: anéis, campos, ideais, isomorfismos, etc. Para resolver uma equação algébrica de enésimo grau, você só precisa saber resolver equações quadráticas e extrair raízes de um número complexo. As raízes podem ser determinadas por...

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O teorema de Vieta (mais precisamente, o teorema inverso ao teorema de Vieta) permite reduzir o tempo de resolução de equações quadráticas. Você só precisa saber como usá-lo. Como aprender a resolver equações quadráticas usando o teorema de Vieta? Não é difícil se você pensar um pouco.

Agora falaremos apenas sobre como resolver a equação quadrática reduzida usando o teorema de Vieta. Uma equação quadrática reduzida é uma equação em que a, ou seja, o coeficiente de x², é ​​igual a um. Também é possível resolver equações quadráticas que não são dadas usando o teorema de Vieta, mas pelo menos uma das raízes não é um número inteiro. Eles são mais difíceis de adivinhar.

O teorema inverso do teorema de Vieta afirma: se os números x1 e x2 são tais que

então x1 e x2 são as raízes da equação quadrática

Ao resolver uma equação quadrática usando o teorema de Vieta, apenas 4 opções são possíveis. Se você se lembrar da linha de raciocínio, poderá aprender a encontrar raízes inteiras muito rapidamente.

I. Se q for um número positivo,

isso significa que as raízes x1 e x2 são números do mesmo sinal (já que apenas a multiplicação de números com os mesmos sinais produz um número positivo).

I a. Se -p for um número positivo, (respectivamente, pág.<0), то оба корня x1 и x2 — положительные числа (поскольку складывали числа одного знака и получили положительное число).

Eu.b. Se -p for um número negativo, (respectivamente, p>0), então ambas as raízes são números negativos (somamos números do mesmo sinal e obtivemos um número negativo).

II. Se q for um número negativo,

isso significa que as raízes x1 e x2 têm sinais diferentes (na multiplicação de números, um número negativo é obtido apenas quando os sinais dos fatores são diferentes). Nesse caso, x1 + x2 não é mais uma soma, mas sim uma diferença (afinal, ao somar números com sinais diferentes, subtraímos o menor do maior em valor absoluto). Portanto, x1+x2 mostra o quanto as raízes x1 e x2 diferem, ou seja, o quanto uma raiz é maior que a outra (em valor absoluto).

II.a. Se -p for um número positivo, (ou seja, p<0), то больший (по модулю) корень — положительное число.

II.b. Se -p for um número negativo, (p>0), então a raiz maior (módulo) é um número negativo.

Vamos considerar a resolução de equações quadráticas usando o teorema de Vieta usando exemplos.

Resolva a equação quadrática dada usando o teorema de Vieta:

Aqui q=12>0, então as raízes x1 e x2 são números do mesmo sinal. A soma deles é -p=7>0, então ambas as raízes são números positivos. Selecionamos inteiros cujo produto é igual a 12. São 1 e 12, 2 e 6, 3 e 4. A soma é 7 para o par 3 e 4. Isso significa que 3 e 4 são as raízes da equação.

Neste exemplo, q=16>0, o que significa que as raízes x1 e x2 são números do mesmo sinal. A soma deles é -p=-10<0, поэтому оба корня — отрицательные числа. Подбираем числа, произведение которых равно 16. Это 1 и 16, 2 и 8, 4 и 4. Сумма 2 и 8 равна 10, а раз нужны отрицательные числа, то искомые корни — это -2 и -8.

Aqui q=-15<0, что означает, что корни x1 и x2 — числа разных знаков. Поэтому 2 — это уже не их сумма, а разность, то есть числа отличаются на 2. Подбираем числа, произведение которых равно 15, отличающиеся на 2. Произведение равно 15 у 1 и 15, 3 и 5. Отличаются на 2 числа в паре 3 и 5. Поскольку -p=2>0, então o número maior é positivo. Então as raízes são 5 e -3.

q=-36<0, значит, корни x1 и x2 имеют разные знаки. Тогда 5 — это то, насколько отличаются x1 и x2 (по модулю, то есть пока что без учета знака). Среди чисел, произведение которых равно 36: 1 и 36, 2 и 18, 3 и 12, 4 и 9 — выбираем пару, в которой числа отличаются на 5. Это 4 и 9. Осталось определить их знаки. Поскольку -p=-5<0, бОльшее число имеет знак минус. Поэтому корни данного уравнения равны -9 и 4.