Hoje, no mundo moderno, é impossível prescindir de juros. Ainda na escola, a partir da 5ª série, as crianças aprendem esse conceito e resolvem problemas com essa quantidade. Os interesses são encontrados em todas as áreas das estruturas modernas. Vejamos os bancos, por exemplo: o valor do pagamento a maior do empréstimo depende do valor especificado no contrato; o tamanho do lucro também é afetado. Portanto, é de vital importância saber qual é a porcentagem.
Conceito de interesse
Segundo uma lenda, a porcentagem apareceu devido a um erro de digitação estúpido. O tipógrafo deveria definir o número 100, mas ele se confundiu e definiu assim: 010. Isso fez com que o primeiro zero subisse ligeiramente e o segundo caísse. Aquele se transformou em uma barra invertida. Tais manipulações resultaram no aparecimento do sinal de porcentagem. Claro, existem outras lendas sobre a origem desta quantidade.
Os hindus sabiam do interesse já no século V. Na Europa, com a qual o nosso conceito está intimamente interligado, surgiram um milénio depois. Pela primeira vez no Velho Mundo, a ideia do que é interesse foi introduzida por um cientista belga, Simon Stevin. Em 1584, uma tabela de quantidades foi publicada pela primeira vez pelo mesmo cientista.
A palavra "porcentagem" tem origem no latim como pro centum. Se você traduzir a frase, obterá “de cem”. Portanto, por porcentagem queremos dizer um centésimo de qualquer valor ou número. Este valor é indicado pelo sinal %.
Graças às porcentagens, foi possível comparar partes de um todo sem muita dificuldade. O surgimento das ações simplificou muito os cálculos, por isso se tornaram tão comuns.
Convertendo frações em porcentagens
Para converter uma fração decimal em porcentagem, você pode precisar da chamada fórmula percentual: a fração é multiplicada por 100 e% é adicionado ao resultado.
Se você precisar converter uma fração comum em uma porcentagem, primeiro você precisa torná-la decimal e, em seguida, usar a fórmula acima.
Convertendo porcentagens em frações
Como tal, a fórmula percentual é bastante arbitrária. Mas você precisa saber como converter esse valor em uma expressão fracionária. Para converter frações (porcentagens) em decimais, é necessário remover o sinal % e dividir o indicador por 100.
Fórmula para calcular a porcentagem de um número
1) 40 x 30 = 1200.
2) 1200: 100 = 12 (alunos).
Resposta: 12 alunos escreveram o teste para “5”.
Você pode usar uma tabela pronta que mostra algumas frações e as porcentagens que correspondem a elas.
Acontece que a fórmula para porcentagens de um número é assim: C = (A∙B) / 100, onde A é o número original (neste exemplo específico, igual a 40); B - número de percentagens (neste problema B = 30%); C é o resultado desejado.
Fórmula para calcular um número a partir de uma porcentagem
O problema a seguir demonstrará o que é uma porcentagem e como encontrar um número usando uma porcentagem.
A fábrica de confecções produziu 1.200 vestidos, dos quais 32% eram vestidos de um novo estilo. Quantos vestidos do novo estilo a fábrica de roupas produziu?
1. 1200: 100 = 12 (vestidos) - 1% de todos os produtos lançados.
2. 12 x 32 = 384 (vestidos).
Resposta: a fábrica produziu 384 vestidos do novo estilo.
Se precisar encontrar um número pela sua porcentagem, você pode usar a seguinte fórmula: C = (A∙100) / B, onde A é o número total de itens (neste caso A = 1200); B - número de percentagens (em uma tarefa específica B = 32%); C é o valor desejado.
Aumentar ou diminuir um número em uma porcentagem especificada
Os alunos devem aprender o que são porcentagens, como contá-las e resolver uma variedade de problemas. Para fazer isso, você precisa entender como um número aumenta ou diminui em N%.
Muitas vezes as tarefas são dadas, e na vida você precisa descobrir a que número será igual quando aumentado em uma determinada porcentagem. Por exemplo, dado o número X. Você precisa descobrir qual será o valor de X se for aumentado, digamos, em 40%. Primeiro você precisa converter 40% em fração (40/100). Portanto, o resultado do aumento do número X será: X + 40% ∙ X = (1+40/100) ∙ X = 1,4 ∙ X. Se você substituir qualquer número em vez de X, pegue, por exemplo, 100, então toda a expressão será igual: 1,4 ∙ X = 1,4 ∙ 100 = 140.
Aproximadamente o mesmo princípio é usado ao reduzir um número em uma determinada porcentagem. É necessário realizar cálculos: X - X ∙ 40% = X ∙ (1-40 / 100) = 0,6 ∙ X. Se o valor for 100, então 0,6 ∙ X = 0,6. 100 = 60.
Existem tarefas em que você precisa descobrir em que porcentagem um número aumentou.
Por exemplo, dada a tarefa: O motorista dirigia em um trecho da pista a uma velocidade de 80 km/h. Em outro trecho, a velocidade do trem aumentou para 100 km/h. Em que porcentagem a velocidade do trem aumentou?
Digamos 80 km/h - 100%. Depois fazemos cálculos: (100% ∙ 100 km/h) / 80 km/h = 1000: 8 = 125%. Acontece que 100 km/h são 125%. Para saber quanto a velocidade aumentou, você precisa calcular: 125% - 100% = 25%.
Resposta: a velocidade do trem no segundo trecho aumentou 25%.
Proporção
Muitas vezes há casos em que é necessário resolver problemas envolvendo porcentagens utilizando proporções. Na verdade, este método de encontrar o resultado simplifica muito a tarefa para alunos, professores e outros.
Então, o que é proporção? Este termo refere-se à igualdade de duas proporções, que pode ser expressa da seguinte forma: A/B = C/D.
Nos livros didáticos de matemática existe uma regra: o produto dos termos extremos é igual ao produto dos termos médios. Isso é expresso pela seguinte fórmula: A x D = B x C.
Graças a esta formulação, qualquer número pode ser calculado se os outros três termos da proporção forem conhecidos. Por exemplo, A é um número desconhecido. Para encontrá-lo você precisa
Ao resolver problemas usando o método de proporção, você precisa entender de qual número obter porcentagens. Há casos em que as ações precisam ser retiradas de valores diferentes. Comparar:
1. Após o término da venda na loja, o custo da camiseta aumentou 25% e chegou a 200 rublos. Qual foi o preço durante a venda?
Neste caso, o valor exigido é de 200 rublos, o que corresponde a 125% do preço original (de venda) da camiseta. Então, para saber seu custo durante a venda, você precisa (200 x 100): 125. O resultado é 160 rublos.
2. No planeta Vicencia existem 200.000 habitantes: pessoas e representantes da raça humanóide Naavi. Os Na'avi representam 80% de toda a população de Vicencia. Das pessoas, 40% estão envolvidas na manutenção da mina, o restante extrai tétano. Quantas pessoas extraem tetânio?
Em primeiro lugar, é necessário encontrar em forma numérica o número de pessoas e o número de Naavi. Portanto, 80% de 200.000 equivaleriam a 160.000. É quantos representantes da raça humanóide vivem em Vicencia. O número de pessoas, portanto, é de 40 mil. Destas, 40%, ou seja, 16 mil, atendem a mina. Isto significa que 24.000 pessoas estão envolvidas na mineração de tétano.
Alteração repetida de um número em uma certa porcentagem
Quando já está claro o que é percentual, é preciso estudar o conceito de mudança absoluta e relativa. Uma conversão absoluta significa aumentar um número em um número específico. Portanto, X aumentou em 100. Não importa o que substituamos por X, esse número ainda aumentará em 100: 15 + 100; 99,9 + 100; um + 100, etc.
Uma mudança relativa é entendida como um aumento de um valor em um determinado número percentual. Digamos que X aumentou 20%. Isso significa que X será igual a: X+X∙20%. A mudança relativa está implícita sempre que falamos de um aumento de metade ou de um terço, de uma diminuição de um quarto, de um aumento de 15%, etc.
Há outro ponto importante: se o valor de X for aumentado em 20% e depois em mais 20%, o aumento total resultante será de 44%, mas não de 40%. Isso pode ser visto nos seguintes cálculos:
1. X + 20% ∙ X = 1,2 ∙ X
2. 1,2 ∙ X + 20% ∙ 1,2 ∙ X = 1,2 ∙ X + 0,24 ∙ X = 1,44 ∙ X
Isso mostra que X aumentou 44%.
Exemplos de problemas envolvendo porcentagens
1. Qual porcentagem do número 36 é o número 9?
De acordo com a fórmula para encontrar a porcentagem de um número, você precisa multiplicar 9 por 100 e dividir por 36.
Resposta: O número 9 é 25% de 36.
2. Calcule o número C, que é 10% de 40.
De acordo com a fórmula para encontrar um número por sua porcentagem, você precisa multiplicar 40 por 10 e dividir o resultado por 100.
Resposta: O número 4 é 10% de 40.
3. O primeiro sócio investiu 4.500 rublos no negócio, o segundo - 3.500 rublos, o terceiro - 2.000 rublos. Eles obtiveram um lucro de 2.400 rublos. Eles dividiram os lucros igualmente. Quanto em rublos o primeiro sócio perdeu, em comparação com quanto ele teria recebido se tivessem dividido a renda de acordo com a porcentagem dos fundos investidos?
Então, juntos, eles investiram 10.000 rublos. A renda de cada um era igual a 800 rublos. Para saber quanto o primeiro sócio deveria ter recebido e quanto ele, consequentemente, perdeu, é preciso saber o percentual dos recursos investidos. Então você precisa descobrir quanto lucro essa contribuição gera em rublos. E a última coisa é subtrair 800 rublos do resultado obtido.
Resposta: o primeiro sócio perdeu 280 rublos ao dividir os lucros.
Um pouco de economia
Hoje, uma questão bastante popular é solicitar um empréstimo por um determinado período. Mas como escolher um empréstimo rentável para não pagar a mais? Primeiro, você precisa observar a taxa de juros. É desejável que este valor seja o mais baixo possível. Deve então ser aplicado contra o empréstimo.
Via de regra, o valor do pagamento a maior é afetado pelo valor da dívida, pela taxa de juros e pela forma de reembolso. Existem anuidades e. No primeiro caso, o empréstimo é pago em parcelas iguais todos os meses. Imediatamente, o valor que cobre o empréstimo principal aumenta e o custo dos juros diminui gradativamente. No segundo caso, o mutuário paga valores constantes para reembolsar o empréstimo, aos quais são acrescidos juros sobre o saldo da dívida principal. O valor total do pagamento diminuirá mensalmente.
Agora é preciso considerar os dois métodos. Assim, com a opção de anuidade, o valor do pagamento a maior será maior, e com a opção diferencial, o valor dos primeiros pagamentos será maior. Naturalmente, as condições do empréstimo são as mesmas em ambos os casos.
Conclusão
Então, porcentagens. Como contá-los? Simples o suficiente. No entanto, às vezes podem causar dificuldades. Este tema começa a ser estudado na escola, mas atinge todos na área de empréstimos, depósitos, impostos, etc. Se você ainda não consegue fazer os cálculos, existem várias calculadoras online que o ajudarão a realizar a tarefa.
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1% é um centésimo de um número.1% = 0,01.
Encontrar porcentagens de um número.
Para encontrar a porcentagem de um número, você pode expressar a porcentagem como uma fração decimal e multiplicar o número pela fração decimal resultante.
Encontrar um número por sua porcentagem.
Para encontrar um número pela sua porcentagem, você pode representar a porcentagem como uma fração decimal e dividir o número fornecido pela fração decimal resultante.
Para descobrir qual é a porcentagem de um número em relação a outro, você pode dividir um número por outro e multiplicar o produto resultante por 100.
Como resolver problemas envolvendo porcentagens. Exemplos.
Encontrar a porcentagem de um número está relacionado a encontrar a fração de um número. A porcentagem é uma forma especial de escrever uma fração comum, portanto, você deve começar a revelar o significado do conceito de porcentagem entendendo o conceito de fração comum.
Tomemos algumas frações comuns, por exemplo. Qual é o significado de cada uma dessas entradas?
- Estes são exemplos de frações ordinárias próprias. O denominador de cada um deles mostra em quantas partes iguais um determinado objeto real ou abstrato precisa ser dividido, o numerador mostra em quantas dessas partes você precisa pegar. Tomemos uma fração adequada como exemplo. Por exemplo. O significado desta expressão pode ser revelado da seguinte forma. Um certo objeto real foi dividido em 3 partes iguais e delas foram retiradas 2 partes.
Como objeto real, você pode pegar, por exemplo, um retângulo.
Esta expressão é o quociente de a e b, onde b não é igual a 0.
Esta é a proporção dos números a e b, onde b não é igual a 0.
Esta é uma fração ordinária. a é o numerador, b é o denominador (b não é igual a 0).
Exemplo 1. A capacidade do barril de 200 litros foi preenchida com água. Qual é o significado desta proposta?
- esta fração significa que um determinado objeto foi dividido em 5 partes iguais e delas foram retiradas 2 partes. O objeto neste problema é o volume de um barril igual a 200 l, portanto,
200:5 = 40,
402 = 80.
80 litros de água foram despejados em um barril.
O exemplo acima é um exemplo típico de como encontrar uma fração de um número.
Para encontrar a fração de um número, você precisa multiplicar o número por essa fração.
Agora podemos passar para as porcentagens.
O conceito de porcentagem é definido da seguinte forma: 1% de um número é a centésima parte de um número, ou seja, 1% = 0,01.
Então o significado da frase a% do número b pode ser explicado desta forma. Um certo objeto (um valor cujo valor é igual a b unidades) dividido em 100 partes iguais e retirado delas a peças.
Exemplo 2. Masha tinha 400 rublos. Ela gastou 24% desse valor. Qual é o significado desta afirmação?
Já que 24% = 0,24, e 0,24 significa que um determinado objeto foi dividido em 100 partes iguais e delas foram retiradas 24 partes. Neste caso, o objeto é uma quantia em dinheiro igual a 400 rublos, portanto,
400: 100 =4,
424 = 96.
Masha gastou 96 rublos.
O exemplo acima é um exemplo típico de como encontrar porcentagens de um número.
Exemplo 3. Precisa encontrar R%
do número b
.
Seja x o número que precisamos encontrar.
p%
= 0,01p,
x =b
0,01p
Para encontrar a porcentagem de um número, você precisa representar a porcentagem como uma fração decimal e multiplicar esse número por essa fração decimal.
Outra abordagem para este problema. Você pode usar o conceito e as propriedades de proporção. Se lembrarmos que uma proporção é a igualdade de duas razões, e a razão de dois números é uma fração ordinária, então este método também está associado ao conceito de fração ordinária.
b - 100%,
x - р%,
Temos a proporção:
b: 100 = x: p, (b está para 100 assim como x está para p) de onde,
Exemplo 4. Que haja números a E b , e a >b Então o número a mais número b sobre %.
Vamos abordar esse problema de maneira um pouco diferente. Consideraremos um caso especial simples, por exemplo este: “Em que percentagem o número 10 é maior que o número 2?”
1. Subtraia o número menor do número maior. 10 - 2 = 8. Então 10 é maior que 2 por 8.
2. Encontre a razão entre o número encontrado e o número menor. 8: 2 = 4 é a proporção de dois números!
3 Expresse a proporção como uma porcentagem 4100 = 400%.
O número 10 é 400% maior que o número 2.
Se dividirmos 8 por 10, encontraremos uma razão que mostra qual parte de 10 2 é menor que 10 (aqui a comparação é com o número 10.
O número 2 é 80% menor que o número 10.
Exemplo 5. O tratorista arou 6 hectares, que é o campo inteiro. Qual é a área de todo o campo?
Este é um problema típico de encontrar um número a partir de sua fração. Deixe a área de todo o campo ser igual x,
então temos a equação x= 6. Onde x = 6:; x = 26. A área do campo é de 26 hectares.
Para encontrar um número por sua fração, você precisa dividir o número correspondente à fração dada pela fração.
Exemplo 6. Dado um número b, o que equivale a p% do número a. Encontre o número A.
p%
= 0,01p
b
= 0,01pai
uma = b: (0,01p)
Dado um número b , qual é p% do número a .
Encontre o número A .
um - 100%
b-p%
uma: 100 = b: p
Fórmula de juros compostos.
Se o valor depositado for a unidades monetárias e os encargos bancários R%
por ano, depois através n
anos, o valor depositado será em unidades monetárias, ou
uma(1+0,01p)n
unidades monetárias.
Exemplo 7. A construção da casa custou 9.800 rublos, dos quais 35% foram pagos pela mão de obra e o restante pelos materiais. Quantos rublos custaram os materiais?
Pago pelo trabalho:
0,359800 = 3430.
Portanto, os materiais custam: 9.800 - 3.430 = 6.370.
Resposta: 6370 rublos.
Exemplo 8. Foram despejadas 37,4 toneladas de gasolina no tanque, após o que 6,5% da capacidade do tanque permaneceu vazia. Quanta gasolina você precisa adicionar ao tanque para enchê-lo?
Se a parte não preenchida do tanque tiver 6,5% da capacidade, então a parte cheia será: 100% - 6,5% = 93,5%. Então, se x é a massa de gasolina que falta adicionar ao tanque, então temos a proporção
onde 
.
Resposta: 2,6 toneladas.
Exemplo 9. Encontre o número sabendo que 25% dele é igual a 45% de 640.
Seja x o número desejado. Nós temos
0,25x = 0,45640.
Resposta: 1152.
Exemplo 10. O número a é 92% do número b. Se o número b for aumentado em 700, o novo número será 9% maior que o número a. Encontre os números a e b.
A partir das condições do problema, temos um sistema de equações:
Resolvendo o sistema resultante, encontramos a = 230.000, b = 250.000.
Resposta: 230.000; 250.000.
Exemplo 11. O primeiro número é 50% do segundo. Qual porcentagem do primeiro é o segundo?
Vamos denotar o segundo número por x, então o primeiro número é igual a 0,5x. Para descobrir qual é a porcentagem do número x em relação ao número 0,5x; Vamos fazer uma proporção:
a partir do qual encontramos
Resposta: 200%.
Exemplo 12. O liceu tem 260 alunos, dos quais 10% não têm aproveitamento. Após a expulsão de um determinado número de alunos reprovados, a sua percentagem caiu para 6,4%. Quantos alunos foram expulsos?
Antes da expulsão, o número de alunos reprovados antes da expulsão era
Deixe x pessoas serem expulsas. Restavam então apenas 260 alunos no liceu, dos quais 26 não tiveram sucesso. Temos uma proporção
260 –x - 100%,
(260 – x)0,064=(26 - x)100,
Resolvendo a equação resultante, encontramos x = 10.
Exemplo 13. Em que porcentagem o número 250 é maior que o número 200?
Vamos fazer duas coisas.
1) Descubra qual é a porcentagem do número 250 t em relação ao número 200:
2) Como o número 200 neste exemplo é 100%, então o número 250 é maior que o número 200 em 125% -100% = 25%.
Resposta: 25%.
Exemplo 14. Em que porcentagem o número 200 é menor que o número 250?
1) Descubra qual é a porcentagem do número 200 em relação ao número 250 (ao contrário do exemplo anterior, aqui você precisa considerar o número 250 como 100%!):
2) O número 200 é 100% menor que o número 250 - 80% = 20%.
Resposta: 20%.
Exemplo 15. O comprimento do tijolo foi aumentado em 30%, a largura em 20% e a altura reduzida em 40%. Isto aumentou ou diminuiu o volume do tijolo e em que percentagem?
Seja o comprimento inicial do tijolo x, a largura y e a altura z. Então o volume inicial do tijolo: V 1 = xyz. Novos tamanhos de tijolos: 1,3x; 1,2у; 0,6z e novo volume: V 2 = 1,3x1,2y0,6z = 0,936xyz. Desde V 2< V 1 , объем кирпича уменьшился. Уменьшение V 2 - V 1 = 0,064xyz и составляет 6,4% от V 1.
Resposta: diminuiu 6,4%.
Exemplo 16. O preço do produto caiu 40% e depois mais 25%. Em que porcentagem o preço do produto diminuiu em relação ao preço original?
Vamos denotar o preço original do produto por x. Após a primeira diminuição o preço será igual a
x - 0,4x = 0,6x.
A segunda redução de preço é de 25% do novo preço de 0,6x, então após a segunda redução teremos um preço
0,6x - 0,250,6x = 0,45x;.
Após duas reduções, a variação total do preço é:
x - 0,45x = 0,55x.
Como o valor é 0,55x; é 55% do valor x, então o preço do produto diminuiu 55%.
Resposta: 55%.
Exemplo 17. O custo inicial por unidade de produção foi de 75 rublos. Durante o primeiro ano de produção aumentou um certo número percentual e durante o segundo ano diminuiu (em relação ao aumento do custo) o mesmo número percentual, como resultado tornou-se igual a 72 rublos. Determine o aumento percentual e a diminuição no custo unitário.
Seja x% o aumento (e diminuição) percentual no custo unitário. Por definição, x% de 75 é 750,01x. Então, após o primeiro aumento, o preço será de 75 + 0,75x.
Durante o segundo ano, o preço diminuirá em
0,01x(75+0,75x) = 0,75x + 0,0075x 2.
Agora podemos escrever a equação para o preço final
(75 + 0,75x) - (0,75x + 0,0075x 2) = 72;
x2 = 400; portanto, x 1 = - 20, x 2 = 20.
Apenas uma raiz desta equação é adequada: x 2 = 20.
Resposta: 20%.
Exemplo 18. 10 mil rublos foram depositados na conta bancária. Depois que o dinheiro ficou ali por um ano, 1 mil rublos foram retirados da conta. Um ano depois, havia 11 mil rublos na conta. Determine qual porcentagem por ano o banco cobra.
Deixe o banco cobrar p% ao ano.
1) O valor de 10.000 rublos depositados em uma conta bancária a p% ao ano aumentará em um ano para o valor
10.000 + 0,01p10000 = 10.000 + 100 rublos.
Quando 1.000 rublos forem retirados da conta, 9.000 + 100 rublos permanecerão lá.
2) Em outro ano, o último valor, devido ao acúmulo de juros, aumentará para o valor de 9.000 + 100 rublos + 0,01p (9.000 + 100 rublos) = p 2 + 190 rublos + 9.000 rublos.
De acordo com a condição, esse valor é igual a 11.000 rublos, portanto temos uma equação quadrática.
р 2 + 190 р + 9.000 = 11.000;
р 2 + 190 р - 2000 = 0
, vamos resolver esta equação quadrática usando o teorema de Viette, p 1 = 10, p 2 = -200.
Uma raiz negativa não é adequada.
Resposta: 10%.
Exemplo 19. A cidade tem atualmente 48.400 habitantes. Sabe-se que a população desta cidade aumenta anualmente em 10%. Quantos habitantes havia na cidade há dois anos?
Suponha que há dois anos o número de habitantes da cidade fosse x pessoas, então o número de habitantes atualmente é expresso em termos de x usando a fórmula de juros compostos:
x(1+0,1)2 = 1,21x.
Da declaração do problema:
Resposta: 40.000 pessoas.
A porcentagem é uma das ferramentas interessantes e frequentemente utilizadas na prática. As porcentagens são utilizadas parcial ou totalmente em qualquer ciência, em qualquer trabalho e até mesmo na comunicação cotidiana. Uma pessoa que conhece bem as porcentagens cria a impressão de ser inteligente e educada. Nesta lição aprenderemos o que é uma porcentagem e quais ações você pode realizar com ela.
Conteúdo da liçãoO que é porcentagem?
As frações são mais comuns na vida cotidiana. Eles ainda ganharam nomes próprios: metade, terceiro e quarto, respectivamente.
Mas há outra fração que também ocorre com frequência. Isto é uma fração (um centésimo). Essa fração é chamada por cento. O que significa a fração centésimo? Essa fração significa que algo é dividido em cem partes e daí é retirada uma parte. Portanto, uma porcentagem é um centésimo de alguma coisa.
Uma porcentagem é um centésimo de algo
Por exemplo, um metro equivale a 1 cm. Um metro é dividido em cem partes e uma parte é retirada (lembre-se que 1 metro equivale a 100 cm). E uma parte dessas cem partes equivale a 1 cm. Isso significa que um por cento de um metro equivale a 1 cm.
Um metro já equivale a 2 centímetros. Desta vez, um metro foi dividido em cem partes e daí foram retiradas não uma, mas duas partes. E duas partes em cem equivalem a dois centímetros. Portanto, dois por cento de um metro equivalem a 2 centímetros.
Outro exemplo: um rublo equivale a um copeque. O rublo foi dividido em cem partes e uma parte foi retirada daí. E uma parte dessas cem partes é um copeque. Isso significa que um por cento de um rublo equivale a um copeque.
As porcentagens eram tão comuns que as pessoas substituíram a fração por um ícone especial parecido com este:
Esta entrada diz “um por cento”. Ele substitui uma fração. Também substitui a fração decimal 0,01 porque se convertermos uma fração regular em uma fração decimal, obteremos 0,01. Portanto, entre estas três expressões podemos colocar um sinal de igual:
1% = = 0,01
Dois por cento na forma fracionária serão escritos como , na forma decimal como 0,02 e, usando um ícone especial, dois por cento serão escritos como 2%.
2% = = 0,02
Como encontrar a porcentagem?
O princípio de encontrar uma porcentagem é o mesmo da descoberta usual de uma fração de um número. Para encontrar a porcentagem de algo, você precisa dividi-la em 100 partes e multiplicar o número resultante pela porcentagem desejada.
Por exemplo, encontre 2% de 10 cm.
O que significa a entrada 2%? A entrada de 2% substitui o . Se traduzirmos esta tarefa para uma linguagem mais compreensível, ficará assim:
Encontre a partir de 10 cm
E já sabemos como resolver tais problemas. Esta é a maneira usual de encontrar uma fração de um número. Para encontrar a fração de um número, você precisa dividir esse número pelo denominador da fração e multiplicar o resultado resultante pelo numerador da fração.
Então, divida o número 10 pelo denominador da fração
Obtivemos 0,1. Agora multiplicamos 0,1 pelo numerador da fração
0,1 × 2 = 0,2
Recebemos uma resposta de 0,2. Isso significa que 2% de 10 cm são 0,2 cm. E se , obtemos 2 milímetros:
0,2cm = 2mm
Isso significa que 2% de 10 cm equivalem a 2 mm.
Exemplo 2. Encontre 50% de 300 rublos.
Para encontrar 50% de 300 rublos, você precisa dividir esses 300 rublos por 100 e multiplicar o resultado resultante por 50.
Então, divida 300 rublos por 100
300: 100 = 3
Agora multiplique o resultado por 50
3 × 50 = 150 rublos.
Isso significa que 50% de 300 rublos equivalem a 150 rublos.
Se a princípio for difícil se acostumar com a notação com o sinal %, você pode substituir essa notação por uma notação fracionária regular.
Por exemplo, os mesmos 50% podem ser substituídos pela entrada . Então a tarefa ficará assim: Encontre a partir de 300 rublos, mas resolver esses problemas ainda é mais fácil para nós
300: 100 = 3
3 × 50 = 150
Em princípio, não há nada complicado aqui. Se surgirem dificuldades, aconselhamos parar e reexaminar e.
Exemplo 3. A fábrica de roupas produziu 1.200 ternos. Destes, 32% são ternos de novo estilo. Quantos ternos novos a fábrica produziu?
Aqui você precisa encontrar 32% de 1200. O número encontrado será a resposta para o problema. Vamos usar a regra para encontrar a porcentagem. Vamos dividir 1200 por 100 e multiplicar o resultado resultante pela porcentagem desejada, ou seja, aos 32
1200: 100 = 12
12 × 32 = 384
Resposta: A fábrica produziu 384 ternos de um novo estilo.
Segunda maneira de encontrar a porcentagem
O segundo método para encontrar uma porcentagem é muito mais simples e conveniente. Está no fato de que o número a partir do qual se busca o percentual será imediatamente multiplicado pelo percentual desejado, expresso em fração decimal.
Por exemplo, vamos resolver o problema anterior usando este método. Encontre 50% de 300 rublos.
A entrada 50% substitui a entrada e, se convertermos para uma fração decimal, obtemos 0,5
Agora, para encontrar 50% de 300, bastará multiplicar o número 300 pela fração decimal 0,5
300 × 0,5 = 150
A propósito, o mecanismo para encontrar porcentagens em calculadoras funciona com o mesmo princípio. Para encontrar uma porcentagem usando uma calculadora, você precisa inserir na calculadora o número a partir do qual a porcentagem está sendo buscada, pressionar a tecla de multiplicação e inserir a porcentagem desejada. Em seguida, pressione a tecla de porcentagem%
Encontrar um número por sua porcentagem
Conhecendo a porcentagem de um número, você pode descobrir o número inteiro. Por exemplo, uma empresa nos pagou 60.000 rublos pelo trabalho, e isso equivale a 2% do lucro total recebido pela empresa. Conhecendo a nossa participação e qual é o seu percentual, podemos saber o lucro total.
Primeiro você precisa descobrir quantos rublos representam um por cento. Como fazer isso? Tente adivinhar estudando cuidadosamente a seguinte figura:
Se dois por cento do lucro total equivale a 60 mil rublos, é fácil adivinhar que um por cento equivale a 30 mil rublos. E para obter esses 30 mil rublos, você precisa dividir 60 mil por 2
60 000: 2 = 30 000
Encontramos um por cento do lucro total, ou seja, . Se uma parte equivale a 30 mil, então para determinar cem partes, você precisa multiplicar 30 mil por 100
30.000 × 100 = 3.000.000
Encontramos o lucro total. São três milhões.
Vamos tentar formular uma regra para encontrar um número por sua porcentagem.
Para encontrar um número pela sua porcentagem, você precisa dividir o número conhecido pela porcentagem dada e multiplicar o resultado resultante por 100.
Exemplo 2. O número 35 é 7% de algum número desconhecido. Encontre este número desconhecido.
Vamos ler a primeira parte da regra:
Para encontrar um número pela sua porcentagem, você precisa dividir o número conhecido pela porcentagem dada.
Nosso número conhecido é 35 e a porcentagem dada é 7. Divida 35 por 7
35: 7 = 5
Leia a segunda parte da regra:
e multiplique o resultado por 100
Nosso resultado é o número 5. Multiplique 5 por 100
5 × 100 = 500
500 é um número desconhecido que precisava ser encontrado. Você pode fazer uma verificação. Para fazer isso, encontramos 7% de 500. Se fizéssemos tudo corretamente, deveríamos obter 35
500: 100 = 5
5 × 7 = 35
Conseguimos 35. Então o problema foi resolvido corretamente.
O princípio de encontrar um número por sua porcentagem é o mesmo que encontrar um número inteiro por sua fração. Se as porcentagens forem inicialmente confusas e confusas, a entrada percentual poderá ser substituída por uma entrada fracionária.
Por exemplo, o problema anterior pode ser expresso da seguinte forma: o número 35 vem de algum número desconhecido. Encontre este número desconhecido. Já sabemos como resolver esses problemas. Isso é encontrar um número usando uma fração. Para encontrar um número usando uma fração, dividimos esse número pelo numerador da fração e multiplicamos o resultado resultante pelo denominador da fração. No nosso exemplo, o número 35 deve ser dividido por 7 e o resultado resultante multiplicado por 100
35: 7 = 5
5 × 100 = 500
No futuro resolveremos problemas envolvendo percentagens, alguns dos quais serão difíceis. Para não complicar o aprendizado a princípio, basta saber a porcentagem de um número, e o número por porcentagem.
Tarefas para solução independente
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O número anônimo A é 56% menor que o número B, que é 2,2 vezes menor que o número C. Qual porcentagem do número C é relativa ao número A? NMitra A = B - 0,56 ⋅ B = B ⋅ (1 - 0,56) = 0,44 ⋅ B B = A: 0,44 C = 2,2 ⋅ B = 2,2 ⋅ A: 0,44 = 5 ⋅ A C é 5 vezes mais A C é 400% mais A Anônimo Ajuda. Em 2001, as receitas aumentaram 2 por cento em comparação com 2000, embora se planeasse duplicar. Em que percentagem o plano foi mal cumprido? NMitra A - 2000 B - 2001 B = A + 0,02A = A ⋅ (1 + 0,02) = 1,02 ⋅ AB = 2 ⋅ A (plano) 2 - 100% 1,02 - x% x = 1,02 ⋅ 100: 2 = 51% (plano cumprido) 100 - 51 = 49% (plano não cumprido) Anônimo Ajude a responder a pergunta. A melancia contém 99% de umidade, mas após a secagem (colocar ao sol por vários dias), seu teor de umidade é de 98%. Em que% o PESO da melancia mudará após a secagem? Se você calcular matematicamente, minha melancia secou completamente. Por exemplo: com peso de 20 kg, a água representa 99% da massa, ou seja, o peso seco é 1% = 0,2 kg. Aqui a melancia perde líquido e já está 98%, portanto, o peso seco é 2%. Mas o peso seco não pode mudar devido à perda de água, por isso permanece igual a 0,2 kg. 2%=0,2 => 100%=10 kg. Anônimo Por favor, diga-me como calcular a porcentagem no intervalo de 2 valores? Digamos que porcentagem o número 37 tem na faixa de valores 22-63? Preciso de uma fórmula para um aplicativo; costumava resolver esses problemas em alguns minutos, mas agora meu cérebro encolheu). Ajudar.
| 0 | 10 | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 | 70 | 80 | 90 | 100 |
| 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| 35 | 50% | 10 | 45 |
| 16 | 23% | 4,6 | 20,6 |
| 18 | 26% | 5,2 | 23,2 |
| 1 | 1% | 0,2 | 1,2 |
| 70 | 100% | 20 | 90 |
| 35 | 50% | 10 | 45 | 67,5 |
| 16 | 23% | 4,6 | 20,6 | 30,9 |
| 18 | 26% | 5,2 | 23,2 | 34,8 |
| 1 | 1% | 0,2 | 1,2 | 1,8 |
| 70 | 100% | 20 | 90 | 135 |
