Consideremos o sistema mais simples no qual é possível a implementação de vibrações mecânicas. Suponhamos que uma carga de massa $m$ esteja suspensa em uma mola elástica cuja rigidez é igual a $k,$. A carga se move sob a influência da gravidade e da elasticidade se o sistema for tirado do equilíbrio e deixado por conta própria. Consideramos que a massa da mola é pequena em comparação com a massa da carga.

A equação para o movimento da carga durante tais oscilações tem a forma:

\[\ddot(x)+(\omega )^2_0x=0\esquerda(1\direita),\]

onde $(\omega )^2_0=\frac(k)(m)$ é a frequência cíclica de oscilações do pêndulo de mola. A solução para a equação (1) é a função:

onde $(\omega )_0=\sqrt(\frac(k)(m))>0$ é a frequência cíclica das oscilações do pêndulo, $A$ e $B$ são a amplitude das oscilações; $((\omega )_0t+\varphi)$ - fase de oscilação; $\varphi $ e $(\varphi )_1$ são as fases iniciais das oscilações.

Frequência e período de oscilação de um pêndulo de mola

Cosseno (seno) é uma função periódica, o deslocamento $x$ assumirá os mesmos valores em certos intervalos de tempo iguais, que são chamados de período de oscilação. O período é designado pela letra T.

Outra quantidade que caracteriza as oscilações é o recíproco do período de oscilação, é chamado de frequência ($\nu $):

O período está relacionado à frequência cíclica de oscilações como:

Sabendo que para um pêndulo de mola $(\omega )_0=\sqrt(\frac(k)(m))$, definimos seu período de oscilação como:

Pela expressão (5) vemos que o período de oscilação de um pêndulo de mola depende da massa da carga localizada na mola e do coeficiente de elasticidade da mola, mas não depende da amplitude das oscilações (A). Esta propriedade das oscilações é chamada de isocronia. A isocronia é válida enquanto a lei de Hooke for válida. Em grandes trechos da mola, a lei de Hooke é violada e surge uma dependência das oscilações com a amplitude. Observe que a fórmula (5) para cálculo do período de oscilação de um pêndulo de mola é válida para pequenas oscilações.

A unidade de medida de um período é o tempo, no Sistema Internacional de Unidades são segundos:

\[\esquerda=с.\]

Exemplos de problemas para o período de oscilação de um pêndulo de mola

Exemplo 1

Exercício. Uma pequena carga foi presa a uma mola elástica, e a mola foi esticada em $\Delta x$=0,09 m. Qual será o período de oscilação deste pêndulo de mola se ele for desequilibrado?

Solução. Vamos fazer um desenho.

Consideremos o estado de equilíbrio de um pêndulo de mola. O peso é preso, após o que a mola é esticada na quantidade $\Delta x$, o pêndulo fica em estado de equilíbrio. Existem duas forças atuando sobre a carga: gravidade e força elástica. Vamos escrever a segunda lei de Newton para o estado de equilíbrio da carga:

Vamos escrever a projeção da equação (1.1) no eixo Y:

Como a carga de acordo com as condições do problema é pequena, a mola não esticou muito, portanto a lei de Hooke é satisfeita, encontramos a magnitude da força elástica como:

Usando as expressões (1.2) e (1.3) encontramos a razão $\frac(m)(k)$:

O período de oscilação de um pêndulo de mola para pequenas oscilações pode ser encontrado pela expressão:

Substituindo a relação entre a massa da carga e a rigidez da mola pelo lado direito da expressão (1.4), obtemos:

Vamos calcular o período de oscilação do nosso pêndulo se $g=9,8\ \frac(m)(s^2)$:

Responder.$T$=0,6s

Exemplo 2

Exercício. Duas molas com rigidez $k_1$ e $k_2$ são conectadas em série (Fig. 2), uma carga de massa $m$ é fixada na extremidade da segunda mola Qual é o período de oscilação deste pêndulo de mola, se. as massas das molas podem ser desprezadas, a força elástica que atua sobre a carga obedece à lei de Hooke.

Solução. O período de oscilação de um pêndulo de mola é igual a:

Se duas molas são conectadas em série, então a rigidez resultante ($k$) é encontrada como:

\[\frac(1)(k)=\frac(1)(k_1)+\frac(1)(k_2)\to k=\frac(k_1k_2)(k_1(+k)_2)\left(2.2\ certo).\]

Em vez de $k$ na fórmula de cálculo do período de um pêndulo de mola, substituímos o lado direito da expressão (2.2), temos:

Responder.$T=2\pi \sqrt(\frac(m(k_1(+k)_2))(k_1k_2))$

Vibrações de um corpo maciço causadas pela ação da força elástica

Animação

Descrição

Quando uma força elástica atua sobre um corpo massivo, retornando-o à posição de equilíbrio, ele oscila em torno dessa posição.

Esse corpo é chamado de pêndulo de mola. As oscilações ocorrem sob a influência de uma força externa. As oscilações que continuam após a força externa parar de agir são chamadas de livres. As oscilações causadas pela ação de uma força externa são chamadas de forçadas. Neste caso, a própria força é chamada de forçamento.

No caso mais simples, um pêndulo de mola é um corpo rígido que se move ao longo de um plano horizontal, preso por uma mola a uma parede (Fig. 1).

Pêndulo de mola

Arroz. 1

O movimento retilíneo de um corpo é descrito pela dependência de suas coordenadas com o tempo:

x = x(t). (1)

Se todas as forças que atuam no corpo em questão forem conhecidas, então esta dependência pode ser estabelecida usando a segunda lei de Newton:

md 2 x /dt 2 = S F , (2)

onde m é a massa corporal.

O lado direito da equação (2) é a soma das projeções no eixo x de todas as forças que atuam no corpo.

No caso em consideração, o papel principal é desempenhado pela força elástica, que é conservativa e pode ser representada na forma:

F(x) = -dU(x)/dx, (3)

onde U = U (x) é a energia potencial da mola deformada.

Seja x a extensão da mola. Foi estabelecido experimentalmente que em pequenos valores do alongamento relativo da mola, ou seja, desde que:

½ x ½<< l ,

onde l é o comprimento da mola indeformada.

A seguinte relação é aproximadamente verdadeira:

você (x) = k x 2 /2, (4)

onde o coeficiente k é chamado de rigidez da mola.

Desta fórmula segue a seguinte expressão para a força elástica:

F(x)=-kx. (5)

Essa relação é chamada de lei de Hooke.

Além da força elástica, uma força de atrito pode atuar sobre um corpo que se move ao longo de um plano, o que é descrito satisfatoriamente pela fórmula empírica:

F tr = - r dx /dt , (6)

onde r é o coeficiente de atrito.

Levando em consideração as fórmulas (5) e (6), a equação (2) pode ser escrita da seguinte forma:

md 2 x /dt 2 + rdx /dt + kx = F (t), (7)

onde F(t) é a força externa.

Se apenas a força de Hooke (5) atuar sobre o corpo, então as vibrações livres do corpo serão harmônicas. Tal corpo é chamado de pêndulo de mola harmônica.

A segunda lei de Newton, neste caso, leva à equação:

d 2 x /dt 2 + C 0 2 x = 0, (8)

w 0 = quadrado(k/m) (9)

Frequência de oscilação.

A solução geral da equação (8) tem a forma:

x (t) = A cos (w 0 t + a), (10)

onde a amplitude A e a fase inicial a são determinadas pelas condições iniciais.

Quando o corpo em questão sofre a ação apenas da força elástica (5), sua energia mecânica total não muda com o tempo:

mv 2/2 + k x 2 /2 = const. (11)

Esta afirmação constitui o conteúdo da lei de conservação da energia de um pêndulo de mola harmônica.

Suponha que, além da força elástica que o retorna à posição de equilíbrio, uma força de atrito atue sobre um corpo massivo. Neste caso, as vibrações livres do corpo excitado em algum momento irão decair com o tempo e o corpo tenderá a uma posição de equilíbrio.

Neste caso, a segunda lei de Newton (7) pode ser escrita da seguinte forma:

m d 2 x /dt 2 + rdx /dt + kx = 0, (12)

onde m é a massa corporal.

A solução geral da equação (12) tem a forma:

x(t) = a exp(- b t )cos (w t + a ), (13)

w = sqrt(w o 2 - b 2 ) (14)

Frequência de oscilação

b=r/2 m (15)

O coeficiente de amortecimento de oscilação, amplitude a e fase inicial a são determinados pelas condições iniciais. A função (13) descreve as chamadas oscilações amortecidas.

A energia mecânica total do pêndulo de mola, ou seja, a soma de suas energias cinética e potencial

E = m v 2/2 + kx 2/2 (16)

muda ao longo do tempo de acordo com a lei:

dE/dt = P, (17)

onde P = - rv 2 - a potência da força de atrito, ou seja, energia convertida em calor por unidade de tempo.

Características de tempo

Tempo de inicialização (log de -3 a -1);

Tempo de vida (log tc de 1 a 15);

Tempo de degradação (log td de -3 a 3);

Tempo de desenvolvimento ideal (log tk de -3 a -2).

Definição

Pêndulo de mola chamado de sistema que consiste em uma mola elástica à qual uma carga está fixada.

Suponhamos que a massa da carga seja $m$ e o coeficiente de elasticidade da mola seja $k$. A massa da mola nesse pêndulo geralmente não é levada em consideração. Se considerarmos os movimentos verticais da carga (Fig. 1), então ela se move sob a influência da gravidade e da força elástica se o sistema for desequilibrado e deixado por conta própria.

Equações de oscilações de um pêndulo de mola

Um pêndulo de mola que oscila livremente é um exemplo de oscilador harmônico. Suponhamos que o pêndulo oscila ao longo do eixo X. Se as oscilações forem pequenas, a lei de Hooke é satisfeita, então a equação de movimento da carga tem a forma:

\[\ddot(x)+(\omega )^2_0x=0\esquerda(1\direita),\]

onde $(nu)^2_0=\frac(k)(m)$ é a frequência cíclica de oscilações do pêndulo de mola. A solução para a equação (1) é a função:

onde $(\omega )_0=\sqrt(\frac(k)(m))>0$ é a frequência cíclica das oscilações do pêndulo, $A$ é a amplitude das oscilações; $((\omega )_0t+\varphi)$ - fase de oscilação; $\varphi $ e $(\varphi )_1$ são as fases iniciais das oscilações.

Na forma exponencial, as oscilações de um pêndulo de mola podem ser escritas como:

Fórmulas para o período e frequência de oscilação de um pêndulo de mola

Se a lei de Hooke for satisfeita em vibrações elásticas, então o período de oscilação de um pêndulo de mola é calculado usando a fórmula:

Como a frequência de oscilação ($\nu $) é a recíproca do período, então:

\[\nu =\frac(1)(T)=\frac(1)(2\pi )\sqrt(\frac(k)(m))\left(5\right).\]

Fórmulas para amplitude e fase inicial de um pêndulo de mola

Conhecendo a equação das oscilações de um pêndulo de mola (1 ou 2) e as condições iniciais, pode-se descrever completamente as oscilações harmônicas de um pêndulo de mola. As condições iniciais são determinadas pela amplitude ($A$) e pela fase inicial das oscilações ($\varphi $).

A amplitude pode ser encontrada como:

a fase inicial neste caso:

onde $v_0$ é a velocidade da carga em $t=0\ c$, quando a coordenada da carga é $x_0$.

Energia vibratória de um pêndulo de mola

No movimento unidimensional de um pêndulo de mola, existe apenas um caminho entre dois pontos de seu movimento, portanto, a condição de potencialidade da força é satisfeita (qualquer força pode ser considerada potencial se depender apenas das coordenadas). Como as forças que atuam num pêndulo de mola são potenciais, podemos falar de energia potencial.

Deixe o pêndulo da mola oscilar no plano horizontal (Fig. 2). Tomemos a posição de seu equilíbrio como a energia potencial zero do pêndulo, onde colocamos a origem das coordenadas. Não levamos em consideração as forças de atrito. Usando a fórmula que relaciona força potencial e energia potencial para o caso unidimensional:

levando em consideração que para um pêndulo de mola $F=-kx$,

então a energia potencial ($E_p$) do pêndulo de mola é igual a:

Escrevemos a lei da conservação de energia para um pêndulo de mola como:

\[\frac(m(\dot(x))^2)(2)+\frac(m((\omega )_0)^2x^2)(2)=const\ \left(10\right), \]

onde $\dot(x)=v$ é a velocidade da carga; $E_k=\frac(m(\dot(x))^2)(2)$ é a energia cinética do pêndulo.

Da fórmula (10) podem ser tiradas as seguintes conclusões:

• A energia cinética máxima de um pêndulo é igual à sua energia potencial máxima.
• A energia cinética média no tempo do oscilador é igual à sua energia potencial média no tempo.

Exemplos de problemas com soluções

Exemplo 1

Exercício. Uma pequena bola com massa de $m=0,36$ kg está presa a uma mola horizontal cujo coeficiente de elasticidade é igual a $k=1600\ \frac(N)(m)$. Qual foi o deslocamento inicial da bola a partir da posição de equilíbrio ($x_0$), se durante as oscilações ela passa por ela com uma velocidade de $v=1\ \frac(m)(s)$?

Solução. Vamos fazer um desenho.

De acordo com a lei da conservação da energia mecânica (já que assumimos que não existem forças de atrito), escrevemos:

onde $E_(pmax)$ é a energia potencial da bola no seu deslocamento máximo da posição de equilíbrio; $E_(kmax\ )$ é a energia cinética da bola no momento de passar pela posição de equilíbrio.

A energia potencial é igual a:

De acordo com (1.1), igualamos os lados direitos de (1.2) e (1.3), temos:

\[\frac(mv^2)(2)=\frac(k(x_0)^2)(2)\esquerda(1,4\direita).\]

De (1.4) expressamos o valor requerido:

Vamos calcular o deslocamento inicial (máximo) da carga da posição de equilíbrio:

Responder.$x_0=1,5$mm

Exemplo 2

Exercício. Um pêndulo de mola oscila de acordo com a lei: $x=A(\cos \left(\omega t\right),\ \ )\ $onde $A$ e $\omega $ são constantes. Quando a força restauradora atinge $F_0 pela primeira vez,$ a energia potencial da carga é $E_(p0)$. Em que momento isso acontecerá?

Solução. A força restauradora para um pêndulo de mola é a força elástica igual a:

Encontramos a energia potencial de vibração da carga como:

No momento isso deve ser encontrado $F=F_0$; $E_p=E_(p0)$, significa:

\[\frac(E_(p0))(F_0)=-\frac(A)(2)(\cos \left(\omega t\right)\ )\to t=\frac(1)(\omega ) \arc(\cos \left(-\frac(2E_(p0))(AF_0)\right)\ ).\]

Responder.$t=\frac(1)(\omega )\ arc(\cos \left(-\frac(2E_(p0))(AF_0)\right)\ )$

A operação da maioria dos mecanismos é baseada nas leis mais simples da física e da matemática. O conceito de pêndulo de mola tornou-se bastante difundido. Tal mecanismo tornou-se muito difundido, uma vez que a mola fornece a funcionalidade necessária e pode ser um elemento de dispositivos automáticos. Vamos dar uma olhada em tal dispositivo, seu princípio de operação e muitos outros pontos com mais detalhes.

Definições de um pêndulo de mola

Como observado anteriormente, o pêndulo de mola tornou-se muito difundido. Entre os recursos estão os seguintes:

1. O dispositivo é representado por uma combinação de peso e mola, cuja massa não pode ser levada em consideração. Uma variedade de objetos pode atuar como carga. Ao mesmo tempo, pode ser influenciado por uma força externa. Um exemplo comum é a criação de uma válvula de segurança instalada em um sistema de tubulação. A carga é fixada à mola de várias maneiras. Neste caso, utiliza-se exclusivamente a versão clássica do parafuso, a mais utilizada. As propriedades básicas dependem em grande parte do tipo de material utilizado na fabricação, do diâmetro da bobina, do alinhamento correto e de muitos outros pontos. As voltas externas geralmente são feitas de forma que possam suportar uma grande carga durante a operação.
2. Antes do início da deformação, não há energia mecânica total. Neste caso, o corpo não é afetado pela força elástica. Cada mola possui uma posição inicial, que mantém por um longo período. Porém, devido a uma certa rigidez, o corpo fica fixado na posição inicial. É importante como a força é aplicada. Um exemplo é que ela deve ser direcionada ao longo do eixo da mola, caso contrário existe a possibilidade de deformação e muitos outros problemas. Cada mola tem seus próprios limites específicos de compressão e extensão. Neste caso, a compressão máxima é representada pela ausência de folga entre as voltas individuais durante a tração, ocorre um momento em que ocorre a deformação irreversível do produto; Se o fio for muito alongado, ocorre uma alteração nas propriedades básicas, após a qual o produto não retorna à sua posição original.
3. No caso em consideração, as vibrações ocorrem devido à ação da força elástica. É caracterizado por um grande número de características que devem ser levadas em consideração. O efeito de elasticidade é alcançado devido a um determinado arranjo de voltas e ao tipo de material utilizado na fabricação. Neste caso, a força elástica pode atuar em ambas as direções. Na maioria das vezes ocorre compressão, mas também pode ser realizado alongamento - tudo depende das características do caso específico.
4. A velocidade de movimento de um corpo pode variar bastante, tudo depende do impacto. Por exemplo, um pêndulo de mola pode mover uma carga suspensa nos planos horizontal e vertical. O efeito da força direcionada depende em grande parte da instalação vertical ou horizontal.

Em geral, podemos dizer que a definição de pêndulo de mola é bastante geral. Neste caso, a velocidade de movimento do objeto depende de vários parâmetros, por exemplo, a magnitude da força aplicada e outros momentos. Antes de realizar os cálculos propriamente ditos, é criado um diagrama:

1. É indicado o suporte ao qual a mola está fixada. Freqüentemente, uma linha hachurada é desenhada para mostrá-lo.
2. A mola é mostrada esquematicamente. Muitas vezes é representado por uma linha ondulada. Numa visualização esquemática, o comprimento e o indicador diametral não importam.
3. O corpo também está representado. Não precisa corresponder às dimensões, mas a localização da fixação direta é importante.

É necessário um diagrama para mostrar esquematicamente todas as forças que influenciam o dispositivo. Só neste caso podemos levar em conta tudo o que afeta a velocidade do movimento, a inércia e muitos outros aspectos.

Os pêndulos de mola são usados ​​não apenas em cálculos ou na resolução de vários problemas, mas também na prática. Contudo, nem todas as propriedades de tal mecanismo são aplicáveis.

Um exemplo é o caso quando os movimentos oscilatórios não são necessários:

1. Criação de elementos de bloqueio.
2. Mecanismos de mola associados ao transporte de diversos materiais e objetos.

Os cálculos do pêndulo de mola permitem selecionar o peso corporal mais adequado, bem como o tipo de mola. É caracterizado pelos seguintes recursos:

1. Diâmetro das voltas. Pode ser muito diferente. O diâmetro determina em grande parte quanto material é necessário para a produção. O diâmetro das bobinas também determina quanta força deve ser aplicada para obter compressão total ou extensão parcial. Porém, aumentar o tamanho pode criar dificuldades significativas na instalação do produto.
2. Diâmetro do fio. Outro parâmetro importante é o tamanho diametral do fio. Pode variar em uma ampla faixa, dependendo da resistência e do grau de elasticidade.
3. Comprimento do produto. Este indicador determina quanta força é necessária para a compressão completa, bem como qual elasticidade o produto pode ter.
4. O tipo de material utilizado também determina as propriedades básicas. Na maioria das vezes, a mola é feita com uma liga especial que possui as propriedades apropriadas.

Nos cálculos matemáticos, muitos pontos não são levados em consideração. A força elástica e muitos outros indicadores são determinados por cálculo.

Tipos de pêndulo de mola

Existem vários tipos diferentes de pêndulo de mola. Vale considerar que a classificação pode ser realizada de acordo com o tipo de mola instalada. Entre as características destacamos:

1. As vibrações verticais tornaram-se bastante difundidas, pois neste caso não há força de atrito ou outra influência na carga. Quando a carga é posicionada verticalmente, o grau de influência da gravidade aumenta significativamente. Esta opção de execução é comum ao realizar uma ampla variedade de cálculos. Devido à força da gravidade, existe a possibilidade de o corpo no ponto inicial realizar um grande número de movimentos inerciais. Isso também é facilitado pela elasticidade e inércia do corpo no final do curso.
2. Um pêndulo de mola horizontal também é usado. Neste caso, a carga está na superfície de apoio e o atrito também ocorre no momento do movimento. Quando posicionada horizontalmente, a gravidade funciona de maneira um pouco diferente. A posição horizontal do corpo tornou-se difundida em diversas tarefas.

O movimento de um pêndulo de mola pode ser calculado usando um número suficientemente grande de fórmulas diferentes, que devem levar em conta a influência de todas as forças. Na maioria dos casos, uma mola clássica é instalada. Entre as características destacamos o seguinte:

1. A clássica mola de compressão em espiral tornou-se muito difundida hoje. Neste caso, existe um espaço entre as voltas, que é chamado de passo. A mola de compressão pode esticar, mas muitas vezes não é instalada para isso. Uma característica distintiva é que as últimas voltas são feitas em forma de plano, o que garante uma distribuição uniforme da força.
2. Uma versão extensível pode ser instalada. Foi concebido para instalação nos casos em que a força aplicada provoca um aumento no comprimento. Para fixação, são colocados ganchos.

O resultado é uma oscilação que pode durar um longo período. A fórmula acima permite realizar um cálculo levando em consideração todos os pontos.

Fórmulas para o período e frequência de oscilação de um pêndulo de mola

Ao projetar e calcular os principais indicadores, também é dada muita atenção à frequência e ao período de oscilação. Cosseno é uma função periódica que utiliza um valor que não muda após um determinado período de tempo. Este indicador é denominado período de oscilação de um pêndulo de mola. A letra T é utilizada para denotar este indicador; o conceito que caracteriza o valor inverso ao período de oscilação (v) também é frequentemente utilizado. Na maioria dos casos, a fórmula T=1/v é usada nos cálculos.

O período de oscilação é calculado usando uma fórmula um tanto complicada. É o seguinte: T=2п√m/k. Para determinar a frequência de oscilação, utiliza-se a fórmula: v=1/2п√k/m.

A frequência cíclica considerada de oscilação de um pêndulo de mola depende dos seguintes pontos:

1. A massa de uma carga que está presa a uma mola. Este indicador é considerado o mais importante, pois afeta diversos parâmetros. A força de inércia, velocidade e muitos outros indicadores dependem da massa. Além disso, a massa da carga é uma quantidade cuja medição não apresenta problemas devido à presença de equipamentos especiais de medição.
2. Coeficiente de elasticidade. Para cada primavera este indicador é significativamente diferente. O coeficiente de elasticidade é indicado para determinar os principais parâmetros da mola. Este parâmetro depende do número de voltas, do comprimento do produto, da distância entre as voltas, do seu diâmetro e muito mais. É determinado de várias maneiras, geralmente usando equipamentos especiais.

Não se esqueça que quando a mola está fortemente esticada, a lei de Hooke deixa de ser aplicada. Neste caso, o período de oscilação da mola passa a depender da amplitude.

A unidade universal de tempo, na maioria dos casos segundos, é usada para medir o período. Na maioria dos casos, a amplitude das oscilações é calculada ao resolver uma variedade de problemas. Para simplificar o processo, é construído um diagrama simplificado que mostra as forças principais.

Fórmulas para amplitude e fase inicial de um pêndulo de mola

Decididas as características dos processos envolvidos e conhecendo a equação de oscilação do pêndulo de mola, bem como os valores iniciais, pode-se calcular a amplitude e a fase inicial do pêndulo de mola. O valor de f é usado para determinar a fase inicial, e a amplitude é indicada pelo símbolo A.

Para determinar a amplitude, a fórmula pode ser usada: A = √x 2 +v 2 /w 2. A fase inicial é calculada usando a fórmula: tgf=-v/xw.

Usando essas fórmulas, você pode determinar os principais parâmetros usados ​​nos cálculos.

Energia de vibração de um pêndulo de mola

Ao considerar a oscilação de uma carga sobre uma mola, deve-se levar em consideração o fato de que o movimento do pêndulo pode ser descrito por dois pontos, ou seja, é de natureza retilínea. Este momento determina o cumprimento das condições relativas à força em causa. Podemos dizer que a energia total é potencial.

É possível calcular a energia de oscilação de um pêndulo de mola levando em consideração todas as características. Os pontos principais são os seguintes:

1. As oscilações podem ocorrer no plano horizontal e vertical.
2. A energia potencial zero é escolhida como a posição de equilíbrio. É neste local que se estabelece a origem das coordenadas. Via de regra, nesta posição a mola mantém a sua forma desde que não haja força de deformação.
3. No caso em consideração, a energia calculada do pêndulo da mola não leva em consideração a força de atrito. Quando a carga é vertical, a força de atrito é insignificante; quando a carga é horizontal, o corpo está na superfície e pode ocorrer atrito durante o movimento;
4. Para calcular a energia vibratória, utiliza-se a seguinte fórmula: E=-dF/dx.

As informações acima indicam que a lei de conservação de energia é a seguinte: mx 2 /2+mw 2 x 2 /2=const. A fórmula usada diz o seguinte:

A energia de oscilação de um pêndulo de mola pode ser determinada ao resolver uma variedade de problemas.

Oscilações livres de um pêndulo de mola

Ao considerar o que causa as vibrações livres de um pêndulo de mola, deve-se prestar atenção à ação das forças internas. Eles começam a se formar quase imediatamente após o movimento ser transferido para o corpo. As características das oscilações harmônicas incluem os seguintes pontos:

1. Também podem surgir outros tipos de forças de natureza influenciadora, que satisfaçam todas as normas da lei, denominadas quase elásticas.
2. As principais razões para a ação da lei podem ser forças internas que se formam imediatamente no momento da mudança na posição do corpo no espaço. Neste caso, a carga tem uma certa massa, a força é criada fixando uma extremidade a um objeto estacionário com resistência suficiente, a segunda à própria carga. Na ausência de atrito, o corpo pode realizar movimentos oscilatórios. Neste caso, a carga fixa é chamada linear.

Não devemos esquecer que existe simplesmente um grande número de diferentes tipos de sistemas nos quais ocorre movimento oscilatório. Neles também ocorre deformação elástica, o que torna a sua utilização para a realização de qualquer trabalho.

Qualquer movimento que se repita periodicamente é chamado oscilatório. Portanto, as dependências das coordenadas e da velocidade de um corpo com o tempo durante as oscilações são descritas por funções periódicas do tempo. No curso de física escolar, são consideradas vibrações nas quais as dependências e velocidades do corpo são funções trigonométricas , ou uma combinação destes, onde é um determinado número. Tais oscilações são chamadas harmônicas (funções E frequentemente chamadas de funções harmônicas). Para resolver problemas de oscilações incluídos no programa do exame estadual unificado de física, é necessário conhecer as definições das principais características do movimento oscilatório: amplitude, período, frequência, frequência circular (ou cíclica) e fase das oscilações. Vamos dar essas definições e relacionar as grandezas listadas com os parâmetros de dependência das coordenadas do corpo com o tempo, que no caso de oscilações harmônicas sempre podem ser representados na forma

onde e são alguns números.

A amplitude das oscilações é o desvio máximo de um corpo oscilante de sua posição de equilíbrio. Como os valores máximo e mínimo do cosseno em (11.1) são iguais a ±1, a amplitude das oscilações do corpo oscilante (11.1) é igual a . O período de oscilação é o tempo mínimo após o qual o movimento de um corpo se repete. Para dependência (11.1), o período pode ser definido a partir das seguintes considerações. Cosseno é uma função periódica com período. Portanto, o movimento é completamente repetido através de um valor tal que . A partir daqui obtemos

A frequência circular (ou cíclica) das oscilações é o número de oscilações realizadas por unidade de tempo. Da fórmula (11.3) concluímos que a frequência circular é a quantidade da fórmula (11.1).

A fase de oscilação é o argumento de uma função trigonométrica que descreve a dependência da coordenada no tempo. Da fórmula (11.1) vemos que a fase das oscilações do corpo, cujo movimento é descrito pela dependência (11.1), é igual a . O valor da fase de oscilação no tempo = 0 é chamado de fase inicial. Para dependência (11.1), a fase inicial das oscilações é igual a . Obviamente, a fase inicial das oscilações depende da escolha do ponto de referência temporal (momento = 0), que é sempre condicional. Ao alterar a origem do tempo, a fase inicial das oscilações pode sempre ser “tornada” igual a zero, e o seno na fórmula (11.1) pode ser “transformado” em cosseno ou vice-versa.

O programa do exame estadual unificado também inclui o conhecimento de fórmulas de frequência de oscilações de molas e pêndulos matemáticos. Um pêndulo de mola é geralmente chamado de corpo que pode oscilar em uma superfície horizontal lisa sob a ação de uma mola, cuja segunda extremidade é fixa (figura à esquerda). Um pêndulo matemático é um corpo maciço, cujas dimensões podem ser desprezadas, oscilando sobre um fio longo, leve e inextensível (figura à direita). O nome deste sistema – “pêndulo matemático” – deve-se ao facto de representar um matemático modelo de real ( físico) pêndulo. É necessário lembrar as fórmulas para o período (ou frequência) das oscilações da mola e dos pêndulos matemáticos. Para um pêndulo de mola

onde está o comprimento do fio, é a aceleração da gravidade. Consideremos a aplicação dessas definições e leis usando o exemplo da resolução de problemas.

Para encontrar a frequência cíclica de oscilações da carga em tarefa 11.1.1 Vamos primeiro encontrar o período de oscilação e depois usar a fórmula (11.2). Como 10 m 28 s equivalem a 628 s, e durante esse tempo a carga oscila 100 vezes, o período de oscilação da carga é de 6,28 s. Portanto, a frequência cíclica das oscilações é 1 s -1 (resposta 2 ). EM problema 11.1.2 a carga fez 60 oscilações em 600 s, então a frequência de oscilação é 0,1 s -1 (resposta 1 ).

Para entender a distância que a carga percorrerá em 2,5 períodos ( problema 11.1.3), vamos acompanhar seu movimento. Após um período, a carga retornará ao ponto de deflexão máxima, completando uma oscilação completa. Portanto, durante esse tempo, a carga percorrerá uma distância igual a quatro amplitudes: até a posição de equilíbrio - uma amplitude, da posição de equilíbrio até o ponto de desvio máximo na outra direção - a segunda, de volta à posição de equilíbrio - a terceiro, da posição de equilíbrio ao ponto inicial - o quarto. Durante o segundo período, a carga passará novamente por quatro amplitudes, e durante a metade restante do período - duas amplitudes. Portanto, a distância percorrida é igual a dez amplitudes (resposta 4 ).

A quantidade de movimento do corpo é a distância do ponto inicial ao ponto final. Mais de 2,5 períodos em tarefa 11.1.4 o corpo terá tempo para completar duas oscilações completas e meio completas, ou seja, estará no desvio máximo, mas do outro lado da posição de equilíbrio. Portanto, a magnitude do deslocamento é igual a duas amplitudes (resposta 3 ).

Por definição, a fase de oscilação é o argumento de uma função trigonométrica que descreve a dependência das coordenadas de um corpo oscilante com o tempo. Portanto a resposta correta é problema 11.1.5 - 3 .

Um período é o tempo de oscilação completa. Isso significa que o retorno de um corpo ao mesmo ponto a partir do qual o corpo começou a se mover não significa que um período tenha passado: o corpo deve retornar ao mesmo ponto com a mesma velocidade. Por exemplo, um corpo, tendo iniciado oscilações a partir de uma posição de equilíbrio, terá tempo para se desviar no máximo em uma direção, retornar, desviar no máximo na outra direção e retornar novamente. Portanto, durante o período o corpo terá tempo para se desviar duas vezes da posição de equilíbrio no valor máximo e retornar. Consequentemente, a passagem da posição de equilíbrio para o ponto de desvio máximo ( problema 11.1.6) o corpo passa um quarto do período (resposta 3 ).

Oscilações harmônicas são aquelas em que a dependência das coordenadas do corpo oscilante com o tempo é descrita por uma função trigonométrica (seno ou cosseno) do tempo. EM tarefa 11.1.7 estas são as funções e , apesar dos parâmetros nelas incluídos serem designados como 2 e 2 . A função é uma função trigonométrica do quadrado do tempo. Portanto, vibrações apenas de quantidades e são harmônicas (resposta 4 ).

Durante as vibrações harmônicas, a velocidade do corpo muda de acordo com a lei , onde é a amplitude das oscilações de velocidade (o ponto de referência de tempo é escolhido de forma que a fase inicial das oscilações seja igual a zero). A partir daqui encontramos a dependência da energia cinética do corpo com o tempo
(problema 11.1.8). Usando ainda a conhecida fórmula trigonométrica, obtemos

Desta fórmula segue-se que a energia cinética de um corpo muda durante as oscilações harmônicas também de acordo com a lei harmônica, mas com o dobro da frequência (resposta 2 ).

Por trás da relação entre a energia cinética da carga e a energia potencial da mola ( problema 11.1.9) é fácil de seguir a partir das seguintes considerações. Quando o corpo é desviado ao máximo da posição de equilíbrio, a velocidade do corpo é zero e, portanto, a energia potencial da mola é maior que a energia cinética da carga. Pelo contrário, quando o corpo passa pela posição de equilíbrio, a energia potencial da mola é zero e, portanto, a energia cinética é maior que a energia potencial. Portanto, entre a passagem da posição de equilíbrio e a deflexão máxima, as energias cinética e potencial são comparadas uma vez. E como durante um período o corpo passa quatro vezes da posição de equilíbrio para a deflexão máxima ou para trás, então durante o período a energia cinética da carga e a energia potencial da mola são comparadas entre si quatro vezes (resposta 2 ).

Amplitude das flutuações de velocidade ( tarefa 11.1.10) é mais fácil de encontrar usando a lei da conservação da energia. No ponto de deflexão máxima, a energia do sistema oscilatório é igual à energia potencial da mola , onde está o coeficiente de rigidez da mola, é a amplitude de vibração. Ao passar pela posição de equilíbrio, a energia do corpo é igual à energia cinética , onde é a massa do corpo, é a velocidade do corpo ao passar pela posição de equilíbrio, que é a velocidade máxima do corpo durante o processo de oscilação e, portanto, representa a amplitude das oscilações da velocidade. Equacionando essas energias, encontramos

(responder 4 ).

Da fórmula (11.5) concluímos ( problema 11.2.2), que seu período não depende da massa de um pêndulo matemático, e com um aumento de 4 vezes no comprimento, o período de oscilações aumenta 2 vezes (resposta 1 ).

Um relógio é um processo oscilatório usado para medir intervalos de tempo ( problema 11.2.3). As palavras “o relógio está com pressa” significam que o período desse processo é menor do que deveria ser. Portanto, para esclarecer o andamento desses relógios, é necessário aumentar o período do processo. Segundo a fórmula (11.5), para aumentar o período de oscilação de um pêndulo matemático é necessário aumentar seu comprimento (resposta 3 ).

Para encontrar a amplitude das oscilações em problema 11.2.4, é necessário representar a dependência das coordenadas do corpo com o tempo na forma de uma única função trigonométrica. Para a função dada na condição, isso pode ser feito introduzindo um ângulo adicional. Multiplicando e dividindo esta função por e usando a fórmula para adicionar funções trigonométricas, obtemos

onde está o ângulo tal que . Desta fórmula segue-se que a amplitude das oscilações do corpo é (responder 4 ).