Hoje será uma lição muito fácil. Consideraremos apenas um objeto - a bissetriz do ângulo - e provaremos sua propriedade mais importante, que nos será muito útil no futuro.

Só não relaxe: às vezes os alunos que desejam obter uma pontuação alta no mesmo Exame Estadual Unificado ou Exame Estadual Unificado não conseguem nem mesmo formular com precisão a definição de bissetriz na primeira aula.

E em vez de fazermos tarefas realmente interessantes, perdemos tempo com coisas tão simples. Então leia, assista e adote. :)

Para começar, uma pergunta um pouco estranha: o que é um ângulo? É isso mesmo: um ângulo são simplesmente dois raios que emanam do mesmo ponto. Por exemplo:

Exemplos de ângulos: agudo, obtuso e reto

Como você pode ver na imagem, os ângulos podem ser agudos, obtusos, retos - isso não importa agora. Muitas vezes, por conveniência, um ponto adicional é marcado em cada raio e dizem que à nossa frente está o ângulo $AOB$ (escrito como $\ângulo AOB$).

O Capitão Obviedade parece estar sugerindo que além dos raios $OA$ e $OB$, é sempre possível desenhar mais raios a partir do ponto $O$. Mas entre eles haverá um especial - é chamado de bissetriz.

Definição. A bissetriz de um ângulo é o raio que sai do vértice desse ângulo e divide o ângulo ao meio.

Para os ângulos acima, as bissetrizes ficarão assim:

Exemplos de bissetrizes para ângulos agudos, obtusos e retos

Como em desenhos reais nem sempre é óbvio que um determinado raio (no nosso caso é o raio $OM$) divide o ângulo original em dois iguais, em geometria é costume marcar ângulos iguais com o mesmo número de arcos ( em nosso desenho é 1 arco para um ângulo agudo, dois para um ângulo obtuso, três para um ângulo reto).

Ok, resolvemos a definição. Agora você precisa entender quais propriedades a bissetriz possui.

A principal propriedade de uma bissetriz de ângulo

Na verdade, a bissetriz tem muitas propriedades. E com certeza iremos examiná-los na próxima lição. Mas há um truque que você precisa entender agora:

Teorema. A bissetriz de um ângulo é o lugar geométrico dos pontos equidistantes dos lados de um determinado ângulo.

Traduzido do matemático para o russo, isso significa dois fatos ao mesmo tempo:

1. Qualquer ponto situado na bissetriz de um determinado ângulo está à mesma distância dos lados desse ângulo.
2. E vice-versa: se um ponto estiver à mesma distância dos lados de um determinado ângulo, então é garantido que ele esteja na bissetriz desse ângulo.

Antes de provar essas afirmações, vamos esclarecer um ponto: como exatamente se chama a distância de um ponto ao lado de um ângulo? Aqui nos ajudará a boa e velha determinação da distância de um ponto a uma linha:

Definição. A distância de um ponto a uma reta é o comprimento da perpendicular traçada de um determinado ponto a essa reta.

Por exemplo, considere uma linha $l$ e um ponto $A$ que não está nesta linha. Vamos traçar uma perpendicular a $AH$, onde $H\in l$. Então o comprimento desta perpendicular será a distância do ponto $A$ à linha reta $l$.

Representação gráfica da distância de um ponto a uma linha

Como um ângulo consiste simplesmente em dois raios e cada raio é um pedaço de linha reta, é fácil determinar a distância de um ponto aos lados de um ângulo. Estas são apenas duas perpendiculares:

Determine a distância do ponto aos lados do ângulo

Isso é tudo! Agora sabemos o que é uma distância e o que é uma bissetriz. Portanto, podemos provar a propriedade principal.

Conforme prometido, dividiremos a prova em duas partes:

1. As distâncias do ponto da bissetriz aos lados do ângulo são as mesmas

Considere um ângulo arbitrário com vértice $O$ e bissetriz $OM$:

Vamos provar que este mesmo ponto $M$ está à mesma distância dos lados do ângulo.

Prova. Vamos traçar perpendiculares do ponto $M$ aos lados do ângulo. Vamos chamá-los de $M((H)_(1))$ e $M((H)_(2))$:

Desenhe perpendiculares aos lados do ângulo

Obtivemos dois triângulos retângulos: $\vartriangle OM((H)_(1))$ e $\vartriangle OM((H)_(2))$. Eles têm uma hipotenusa comum $OM$ e ângulos iguais:

1. $\angle MO((H)_(1))=\angle MO((H)_(2))$ por condição (já que $OM$ é uma bissetriz);
2. $\angle M((H)_(1))O=\angle M((H)_(2))O=90()^\circ $ por construção;
3. $\angle OM((H)_(1))=\angle OM((H)_(2))=90()^\circ -\angle MO((H)_(1))$, já que o soma Os ângulos agudos de um triângulo retângulo são sempre 90 graus.

Consequentemente, os triângulos são iguais em lados e dois ângulos adjacentes (ver sinais de igualdade de triângulos). Portanto, em particular, $M((H)_(2))=M((H)_(1))$, ou seja, as distâncias do ponto $O$ aos lados do ângulo são de fato iguais. Q.E.D.:)

2. Se as distâncias forem iguais, então o ponto está na bissetriz

Agora a situação se inverteu. Seja dado um ângulo $O$ e um ponto $M$ equidistante dos lados deste ângulo:

Vamos provar que o raio $OM$ é uma bissetriz, ou seja, $\ângulo MO((H)_(1))=\ângulo MO((H)_(2))$.

Prova. Primeiro, vamos desenhar este mesmo raio $OM$, caso contrário não haverá nada a provar:

Conduziu feixe $OM$ dentro do canto

Novamente obtemos dois triângulos retângulos: $\vartriangle OM((H)_(1))$ e $\vartriangle OM((H)_(2))$. Obviamente eles são iguais porque:

1. Hipotenusa $OM$ - geral;
2. Pernas $M((H)_(1))=M((H)_(2))$ por condição (afinal, o ponto $M$ é equidistante dos lados do ângulo);
3. As pernas restantes também são iguais, porque pelo teorema de Pitágoras $OH_(1)^(2)=OH_(2)^(2)=O((M)^(2))-MH_(1)^(2)$.

Portanto, os triângulos $\vartriangle OM((H)_(1))$ e $\vartriangle OM((H)_(2))$ em três lados. Em particular, seus ângulos são iguais: $\angle MO((H)_(1))=\angle MO((H)_(2))$. E isso significa apenas que $OM$ é uma bissetriz.

Para concluir a prova, marcamos os ângulos iguais resultantes com arcos vermelhos:

A bissetriz divide o ângulo $\angle ((H)_(1))O((H)_(2))$ em dois iguais

Como você pode ver, nada complicado. Provamos que a bissetriz de um ângulo é o lugar geométrico dos pontos equidistantes dos lados desse ângulo. :)

Agora que decidimos mais ou menos a terminologia, é hora de passar para o próximo nível. Na próxima lição veremos propriedades mais complexas da bissetriz e aprenderemos como aplicá-las para resolver problemas reais.

Bissetriz de um triângulo – um segmento da bissetriz de um ângulo de um triângulo, delimitado entre o vértice do triângulo e o lado oposto a ele.

Propriedades da bissetriz

1. A bissetriz de um triângulo divide o ângulo ao meio.

2. A bissetriz de um ângulo de um triângulo divide o lado oposto em uma proporção igual à proporção dos dois lados adjacentes ()

3. Os pontos bissetores de um ângulo de um triângulo são equidistantes dos lados desse ângulo.

4. As bissetrizes dos ângulos internos de um triângulo se cruzam em um ponto - o centro do círculo inscrito neste triângulo.

Algumas fórmulas relacionadas à bissetriz de um triângulo

(prova da fórmula –)
, Onde
- o comprimento da bissetriz desenhada para o lado,
- os lados do triângulo são opostos aos vértices, respectivamente,
- os comprimentos dos segmentos em que a bissetriz divide o lado,

Te convido a assistir vídeo tutorial, que demonstra a aplicação de todas as propriedades acima da bissetriz.

Tarefas abordadas no vídeo:
1. No triângulo ABC com lados AB = 2 cm, BC = 3 cm, AC = 3 cm, desenha-se uma bissetriz VM. Encontre os comprimentos dos segmentos AM e MC
2. A bissetriz do ângulo interno no vértice A e a bissetriz do ângulo externo no vértice C do triângulo ABC se cruzam no ponto M. Encontre o ângulo BMC se o ângulo B for 40 graus, o ângulo C for 80 graus
3. Encontre o raio de um círculo inscrito em um triângulo, considerando os lados das células quadradas iguais a 1

Você também pode estar interessado em um breve tutorial em vídeo onde uma das propriedades da bissetriz é aplicada

Você sabe qual é o ponto médio de um segmento? Claro que você faz. E o centro do círculo? Mesmo.

Qual é o ponto médio de um ângulo?

Você pode dizer que isso não acontece. Mas por que um segmento pode ser dividido ao meio e um ângulo não? É bem possível - apenas não um ponto, mas…. linha.

Você se lembra da piada: uma bissetriz é um rato que corre pelos cantos e divide o canto ao meio. Então, a verdadeira definição de bissetriz é muito semelhante a esta piada:

Bissetriz de um triângulo- este é o segmento bissetriz de um ângulo de um triângulo conectando o vértice desse ângulo com um ponto no lado oposto.

Era uma vez, antigos astrônomos e matemáticos descobriram muitas propriedades interessantes da bissetriz. Esse conhecimento simplificou muito a vida das pessoas.

O primeiro conhecimento que vai ajudar nisso é...

A propósito, você se lembra de todos esses termos? Você se lembra de como eles diferem um do outro? Não? Não assustador. Vamos descobrir agora.

• Base de um triângulo isósceles- este é o lado que não é igual a nenhum outro. Olhe a foto, de que lado você acha que está? Isso mesmo - este é o lado.
• A mediana é uma linha traçada a partir do vértice de um triângulo e dividindo o lado oposto (é isso de novo) ao meio. Observe que não dizemos “Mediana de um triângulo isósceles”. Você sabe por quê? Porque uma mediana desenhada a partir de um vértice de um triângulo divide ao meio o lado oposto em QUALQUER triângulo.
• A altura é uma linha traçada do topo e perpendicular à base. Você percebeu? Estamos novamente falando de qualquer triângulo, não apenas de um triângulo isósceles. A altura em QUALQUER triângulo é sempre perpendicular à base.

Então, você descobriu? Quase.

Para entender ainda melhor e lembrar para sempre o que são bissetriz, mediana e altura, você precisa delas comparar um com o outro e entender como eles são semelhantes e como diferem entre si.

Ao mesmo tempo, para lembrar melhor, é melhor descrever tudo em “linguagem humana”.

Aí você vai operar facilmente na linguagem da matemática, mas no começo você não entende essa linguagem e precisa compreender tudo em seu próprio idioma.

Então, como eles são semelhantes?

A bissetriz, a mediana e a altitude - todas “sai” do vértice do triângulo e repousam no lado oposto e “fazem alguma coisa” seja com o ângulo de onde saem, ou com o lado oposto.

Acho que é simples, não?

Como eles são diferentes?

• A bissetriz divide o ângulo de onde emerge pela metade.
• A mediana divide o lado oposto ao meio.
• A altura é sempre perpendicular ao lado oposto.

É isso. É fácil de entender. E uma vez que você entende, você pode lembrar.

Agora a próxima pergunta.

Por que, no caso de um triângulo isósceles, a bissetriz é a mediana e a altitude?

Você pode simplesmente olhar para a figura e ter certeza de que a mediana se divide em dois triângulos absolutamente iguais.

Isso é tudo! Mas os matemáticos não gostam de acreditar no que veem. Eles precisam provar tudo.

Palavra assustadora?

Nada disso - é simples! Veja: ambos têm lados iguais e, geralmente têm um lado comum e. (- bissetriz!) E acontece que dois triângulos têm dois lados iguais e um ângulo entre eles.

Lembramos o primeiro sinal de igualdade dos triângulos (se não lembra, veja o tópico) e concluímos que, e portanto = e.

Isso já é bom - significa que acabou sendo a mediana.

Mas o que é isso?

Vejamos a foto - . E nós conseguimos. Assim também! Finalmente, viva! E.

Você achou essa prova um pouco pesada? Olhe para a imagem - dois triângulos idênticos falam por si.

Em qualquer caso, lembre-se com firmeza:

Agora é mais difícil: vamos contar ângulo entre bissetrizes em qualquer triângulo! Não tenha medo, não é tão complicado. Olha a foto:

Vamos contar. Lembras-te daquilo a soma dos ângulos de um triângulo é?

Vamos aplicar esse fato surpreendente.

Por um lado, de:

Aquilo é.

Agora vamos dar uma olhada:

Mas bissetrizes, bissetrizes!

Vamos lembrar sobre:

Agora através das cartas

Não é surpreendente?

Acontece que o ângulo entre as bissetoras de dois ângulos depende apenas do terceiro ângulo!

Bem, olhamos para duas bissetoras. E se houver três deles??!! Todos eles se cruzarão em um ponto?

Ou será assim?

Como você pensa? Então os matemáticos pensaram e pensaram e provaram:

Não é ótimo?

Você quer saber por que isso acontece?

Passe para o próximo nível - você está pronto para conquistar novos patamares de conhecimento sobre a bissetriz!

BISSECTOR. NÍVEL MÉDIO

Você se lembra o que é uma bissetriz?

Uma bissetriz é uma linha que corta um ângulo ao meio.

Você encontrou uma bissetriz no problema? Tente aplicar uma (ou às vezes várias) das seguintes propriedades incríveis.

1. Bissetriz de um triângulo isósceles.

Você não tem medo da palavra "teorema"? Se você está com medo, é em vão. Os matemáticos estão acostumados a chamar de teorema qualquer afirmação que possa de alguma forma ser deduzida de outras afirmações mais simples.

Então, atenção, teorema!

Vamos provar esse teorema, ou seja, vamos entender por que isso acontece? Observe os isósceles.

Vamos examiná-los com atenção. E então veremos isso

1. - em geral.

E isso significa (lembre-se rapidamente do primeiro sinal de igualdade dos triângulos!) isso.

E daí? Você quer dizer isso? E o fato é que ainda não olhamos para os terceiros lados e os ângulos restantes desses triângulos.

Agora vamos ver. Uma vez, então absolutamente, e mesmo além disso, .

Então aconteceu que

1. dividiu o lado ao meio, ou seja, acabou sendo a mediana
2. , o que significa que ambos são iguais (olhe novamente para a imagem).

Então acabou sendo uma bissetriz e uma altura também!

Viva! Provamos o teorema. Mas adivinhe, isso não é tudo. Também fiel teorema inverso:

Prova? Você está realmente interessado? Leia o próximo nível de teoria!

E se você não estiver interessado, então lembre-se com firmeza:

Por que lembrar disso com firmeza? Como isso pode ajudar? Mas imagine que você tem uma tarefa:

Dado: .

Encontrar: .

Você percebe imediatamente, bissetriz e, vejam só, ela dividiu o lado ao meio! (por condição…). Se você lembrar firmemente que isso acontece apenas em um triângulo isósceles, então você tira uma conclusão, ou seja, você escreve a resposta: . Ótimo, certo? É claro que nem todas as tarefas serão tão fáceis, mas o conhecimento certamente ajudará!

E agora a próxima propriedade. Preparar?

2. A bissetriz de um ângulo é o lugar geométrico dos pontos equidistantes dos lados do ângulo.

Assustado? Realmente não é grande coisa. Matemáticos preguiçosos esconderam quatro em duas linhas. Então, o que significa, “Bissector - lugar dos pontos"? Isso significa que eles são executados imediatamente doisdeclarações:

1. Se um ponto estiver em uma bissetriz, então as distâncias dele aos lados do ângulo são iguais.
2. Se em algum ponto as distâncias aos lados do ângulo forem iguais, então este ponto Necessariamente está na bissetriz.

Você vê a diferença entre as afirmações 1 e 2? Se não muito, lembre-se do Chapeleiro de “Alice no País das Maravilhas”: “Então, o que mais você dirá, como se “eu vejo o que como” e “eu como o que vejo” fossem a mesma coisa!

Portanto, precisamos provar as afirmações 1 e 2 e, em seguida, a afirmação: “uma bissetriz é o lugar geométrico dos pontos equidistantes dos lados de um ângulo” será provado!

Por que 1 é verdadeiro?

Vamos pegar qualquer ponto da bissetriz e chamá-lo de .

Vamos deixar cair perpendiculares deste ponto aos lados do ângulo.

E agora... prepare-se para lembrar os sinais de igualdade dos triângulos retângulos! Se você os esqueceu, dê uma olhada na seção.

Então...dois triângulos retângulos: e. Eles têm:

• Hipotenusa geral.
• (porque é uma bissetriz!)

Isso significa - por ângulo e hipotenusa. Portanto, os catetos correspondentes desses triângulos são iguais! Aquilo é.

Provamos que o ponto está igualmente (ou igualmente) distante dos lados do ângulo. O ponto 1 é tratado. Agora vamos passar para o ponto 2.

Por que 2 é verdade?

E vamos conectar os pontos e.

Isso significa que está na bissetriz!

Isso é tudo!

Como tudo isso pode ser aplicado na resolução de problemas? Por exemplo, em problemas há frequentemente a seguinte frase: “Um círculo toca os lados de um ângulo...”. Bem, você precisa encontrar algo.

Então você rapidamente percebe que

E você pode usar a igualdade.

3. Três bissetoras em um triângulo se cruzam em um ponto

Da propriedade de uma bissetriz ser o lugar geométrico dos pontos equidistantes dos lados de um ângulo, segue-se a seguinte afirmação:

Como exatamente isso acontece? Mas veja: duas bissetoras certamente se cruzarão, certo?

E a terceira bissetriz poderia ser assim:

Mas na realidade tudo é muito melhor!

Vejamos o ponto de intersecção de duas bissetoras. Vamos chamá-lo.

O que usamos aqui nas duas vezes? Sim parágrafo 1, claro! Se um ponto estiver em uma bissetriz, ele estará igualmente distante dos lados do ângulo.

E assim aconteceu.

Mas observe atentamente essas duas igualdades! Afinal, segue-se deles que e, portanto, .

E agora isso entrará em jogo ponto 2: se as distâncias aos lados de um ângulo são iguais, então o ponto está na bissetriz...que ângulo? Veja a foto novamente:

e são as distâncias aos lados do ângulo e são iguais, o que significa que o ponto está na bissetriz do ângulo. A terceira bissetriz passou pelo mesmo ponto! Todas as três bissetrizes se cruzam em um ponto! E como presente adicional -

Raios inscrito círculos.

(Para ter certeza, veja outro tópico).

Bem, agora você nunca esquecerá:

O ponto de intersecção das bissetrizes de um triângulo é o centro do círculo nele inscrito.

Vamos para a próxima propriedade... Nossa, a bissetriz tem muitas propriedades, né? E isso é ótimo, porque quanto mais propriedades, mais ferramentas para resolver problemas de bissetrizes.

4. Bissetriz e paralelismo, bissetrizes de ângulos adjacentes

O fato de a bissetriz dividir o ângulo ao meio em alguns casos leva a resultados completamente inesperados. Por exemplo,

Caso 1

Ótimo, certo? Vamos entender por que isso acontece.

Por um lado, desenhamos uma bissetriz!

Mas, por outro lado, existem ângulos que ficam transversalmente (lembre-se do tema).

E agora acontece isso; jogue fora o meio: ! - isósceles!

Caso 2

Imagine um triângulo (ou olhe a imagem)

Vamos continuar o lado além do ponto. Agora temos dois ângulos:

• - canto interno
• - o canto externo fica do lado de fora, certo?

Então, e agora alguém queria desenhar não uma, mas duas bissetrizes ao mesmo tempo: para e para. O que vai acontecer?

Será que vai dar certo? retangular!

Surpreendentemente, este é exatamente o caso.

Vamos descobrir.

Qual você acha que é o valor?

Claro, afinal, todos juntos formam um ângulo tal que acaba sendo uma linha reta.

Agora lembre-se disso e são bissetrizes e veja que dentro do ângulo há exatamente metade da soma de todos os quatro ângulos: e - - isto é, exatamente. Você também pode escrevê-lo como uma equação:

Então, incrível, mas é verdade:

O ângulo entre as bissetrizes dos ângulos internos e externos de um triângulo é igual.

Caso 3

Você vê que aqui tudo é igual nos cantos internos e externos?

Ou vamos pensar novamente por que isso acontece?

Novamente, como para cantos adjacentes,

(como correspondente a bases paralelas).

E novamente, eles compõem exatamente metade da soma

Conclusão: Se o problema contiver bissetoras adjacenteângulos ou bissetrizes relevanteângulos de um paralelogramo ou trapézio, então neste problema certamente um triângulo retângulo está envolvido, ou talvez até um retângulo inteiro.

5. Bissetriz e lado oposto

Acontece que a bissetriz de um ângulo de um triângulo divide o lado oposto não apenas de alguma forma, mas de uma forma especial e muito interessante:

Aquilo é:

Um fato incrível, não é?

Agora vamos comprovar esse fato, mas prepare-se: será um pouco mais difícil do que antes.

Novamente - saída para o “espaço” - formação adicional!

Vamos direto.

Para que? Veremos agora.

Vamos continuar a bissetriz até que ela cruze com a linha.

Esta é uma imagem familiar? Sim, sim, sim, exatamente igual ao ponto 4, caso 1 - acontece que (- bissetriz)

Deitado transversalmente

Então, isso também.

Agora vamos dar uma olhada nos triângulos e.

O que você pode dizer sobre eles?

Eles são iguais. Bem, sim, seus ângulos são iguais aos verticais. Então, em dois cantos.

Agora temos o direito de escrever as relações das partes relevantes.

E agora em breve notação:

Oh! Me lembra alguma coisa, certo? Não é isso que queríamos provar? Sim, sim, exatamente isso!

Você vê quão grande foi a “caminhada no espaço” - a construção de uma linha reta adicional - sem ela nada teria acontecido! E assim, provamos que

Agora você pode usá-lo com segurança! Vejamos mais uma propriedade das bissetoras dos ângulos de um triângulo - não se assuste, agora que a parte mais difícil já passou - será mais fácil.

Nós entendemos isso

Teorema 1:

Teorema 2:

Teorema 3:

Teorema 4:

Teorema 5:

Teorema 6:

Bem, o assunto acabou. Se você está lendo estas linhas, significa que você é muito legal.

Porque apenas 5% das pessoas conseguem dominar algo sozinhas. E se você ler até o fim, você está nesses 5%!

Agora o mais importante.

Você entendeu a teoria sobre este tópico. E, repito, isso... isso é simplesmente fantástico! Você já é melhor do que a grande maioria de seus colegas.

O problema é que isso pode não ser suficiente...

Para que?

Por passar com sucesso no Exame Estadual Unificado, por entrar na faculdade com orçamento limitado e, O MAIS IMPORTANTE, para o resto da vida.

Não vou te convencer de nada, só vou dizer uma coisa...

As pessoas que receberam uma boa educação ganham muito mais do que aquelas que não a receberam. Isto são estatísticas.

Mas isto não é o principal.

O principal é que eles fiquem MAIS FELIZES (existem estudos desse tipo). Talvez porque muito mais oportunidades se abram diante deles e a vida se torne mais brilhante? Não sei...

Mas pense por si mesmo...

O que é necessário para ser melhor do que os outros no Exame de Estado Unificado e, em última análise, ser... mais feliz?

GANHE SUA MÃO RESOLVENDO PROBLEMAS NESTE TÓPICO.

Não será solicitada teoria durante o exame.

Você vai precisar resolver problemas contra o tempo.

E, se você não os resolveu (MUITO!), com certeza cometerá um erro estúpido em algum lugar ou simplesmente não terá tempo.

É como nos esportes: você precisa repetir muitas vezes para vencer com certeza.

Encontre a coleção onde quiser, necessariamente com soluções, análise detalhada e decida, decida, decida!

Você pode usar nossas tarefas (opcionais) e nós, claro, as recomendamos.

Para melhorar o uso de nossas tarefas, você precisa ajudar a prolongar a vida útil do livro YouClever que está lendo atualmente.

Como? Existem duas opções:

1. Desbloqueie todas as tarefas ocultas neste artigo –
2. Desbloqueie o acesso a todas as tarefas ocultas em todos os 99 artigos do livro - Compre um livro didático - 899 RUR

Sim, temos 99 desses artigos em nosso livro e o acesso a todas as tarefas e todos os textos ocultos nelas podem ser abertos imediatamente.

O acesso a todas as tarefas ocultas é fornecido durante TODA a vida do site.

Para concluir...

Se você não gosta de nossas tarefas, encontre outras. Só não pare na teoria.

“Entendido” e “Posso resolver” são habilidades completamente diferentes. Você precisa de ambos.

Encontre problemas e resolva-os!

Nesta lição, vamos relembrar o conceito de bissetriz de um ângulo, formular e provar teoremas diretos e inversos sobre as propriedades de uma bissetriz de ângulo e generalizá-los. Vamos resolver um problema no qual, além dos fatos sobre a bissetriz, aplicamos outros fatos geométricos.

Tópico: Círculo

Lição: Propriedades de uma bissetriz de ângulo. Tarefas

O triângulo é a figura central de toda geometria e, brincando, diz-se que é inesgotável, como um átomo. Suas propriedades são numerosas, interessantes e divertidas. Vemos algumas dessas propriedades.

Qualquer triângulo é, antes de tudo, três ângulos e três segmentos (ver Fig. 1).

Arroz. 1

Considere um ângulo com vértice A e lados B e ângulo C.

Em qualquer ângulo, incluindo o ângulo de um triângulo, você pode desenhar uma bissetriz - ou seja, uma linha reta que divide o ângulo ao meio (ver Fig. 2).

Arroz. 2

Vamos considerar as propriedades de um ponto situado na bissetriz de um ângulo (ver Fig. 3).

Considere o ponto M situado na bissetriz do ângulo.

Lembre-se de que a distância de um ponto a uma reta é o comprimento da perpendicular traçada deste ponto à reta.

Arroz. 3

Obviamente, se tomarmos um ponto que não está na bissetriz, então as distâncias desse ponto aos lados do ângulo serão diferentes. A distância do ponto M aos lados do ângulo é a mesma.

Teorema

Cada ponto da bissetriz de um ângulo não desenvolvido é equidistante dos lados do ângulo, ou seja, as distâncias do ponto M ao AC e ao BC dos lados do ângulo são iguais.

O ângulo é dado, sua bissetriz é AL, o ponto M está na bissetriz (ver Fig. 4).

Prove isso.

Arroz. 4

Prova:

Considere triângulos e . São triângulos retângulos e são iguais porque têm uma hipotenusa comum AM, e os ângulos são iguais, pois AL é a bissetriz do ângulo. Assim, os triângulos retângulos são iguais na hipotenusa e no ângulo agudo, segue-se que , que é o que precisava ser provado. Assim, um ponto na bissetriz de um ângulo é equidistante dos lados desse ângulo.

O teorema inverso é verdadeiro.

Teorema

Se um ponto é equidistante dos lados de um ângulo não desenvolvido, então ele está em sua bissetriz.

É dado um ângulo não desenvolvido, ponto M, tal que a distância dele aos lados do ângulo é a mesma.

Prove que o ponto M está na bissetriz do ângulo (ver Fig. 5).

Arroz. 5

Prova:

A distância de um ponto a uma reta é o comprimento da perpendicular. Do ponto M traçamos perpendiculares MK ao lado AB e MR ao lado AC.

Considere triângulos e . Estes são triângulos retângulos e são iguais, porque têm uma hipotenusa comum AM, as pernas MK e MR são iguais por condição. Assim, os triângulos retângulos são iguais na hipotenusa e na perna. Da igualdade dos triângulos segue-se a igualdade dos elementos correspondentes; ângulos iguais ficam opostos a lados iguais, portanto, Portanto, o ponto M encontra-se na bissetriz do ângulo dado.

Às vezes, os teoremas direto e inverso são combinados da seguinte forma:

Teorema

Um ponto é equidistante dos lados de um ângulo se e somente se estiver na bissetriz desse ângulo.

A equidistância dos pontos bissetores dos lados de um ângulo é amplamente utilizada em vários problemas.

Problema nº 674 do livro didático de Atanasyan, geometria, 7ª a 9ª série:

Do ponto M da bissetriz de um ângulo não desenvolvido, as perpendiculares MA e MB são traçadas aos lados desse ângulo (ver Fig. 6). Prove isso.

Dado: ângulo, bissetriz OM, perpendiculares MA e MB aos lados do ângulo.

Arroz. 6

Prove que:

Prova:

De acordo com o teorema direto, o ponto M é equidistante dos lados do ângulo, pois por condição está em sua bissetriz. .

Considere triângulos retângulos e (ver Fig. 7). Eles têm uma hipotenusa comum OM, as pernas MA e MB são iguais, como provamos anteriormente. Assim, dois retângulos

Arroz. 7

os triângulos são iguais em cateto e hipotenusa. Da igualdade dos triângulos segue-se a igualdade de seus elementos correspondentes, daí a igualdade dos ângulos e igualdade das outras pernas.

Da igualdade dos catetos OA e OB segue-se que o triângulo é isósceles e AB é sua base. A linha reta OM é a bissetriz de um triângulo. De acordo com a propriedade de um triângulo isósceles, esta bissetriz também é uma altitude, o que significa que as linhas OM e AB se cruzam em ângulos retos, o que precisava ser provado.

Assim, examinamos os teoremas direto e inverso sobre a propriedade de um ponto situado na bissetriz de um ângulo, generalizamos e resolvemos o problema usando vários fatos geométricos, incluindo este teorema.

Bibliografia

1. Alexandrov A.D. e outros Geometria, 8º ano. - M.: Educação, 2006.
2. Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolov V.V. Geometria, 8º ano. - M.: Educação, 2011.
3. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir S.M. Geometria, 8º ano. - M.: VENTANA-GRAF, 2009.

1. Pormath.net().
2. Oldskola1.narod.ru().

Trabalho de casa

1. Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B. e outros Geometria, 7-9, nº 676-678, art. 180.

Nesta lição, veremos em detalhes as propriedades dos pontos situados na bissetriz de um ângulo e dos pontos situados na bissetriz perpendicular a um segmento.

Tópico: Círculo

Lição: Propriedades da bissetriz de um ângulo e da bissetriz perpendicular de um segmento

Consideremos as propriedades de um ponto situado na bissetriz de um ângulo (ver Fig. 1).

Arroz. 1

O ângulo é dado, sua bissetriz é AL, o ponto M está na bissetriz.

Teorema:

Se o ponto M estiver na bissetriz de um ângulo, então ele é equidistante dos lados do ângulo, ou seja, as distâncias do ponto M ao AC e ao BC dos lados do ângulo são iguais.

Prova:

Considere triângulos e . Estes são triângulos retângulos e são iguais porque... têm uma hipotenusa comum AM, e os ângulos são iguais, pois AL é a bissetriz do ângulo. Assim, os triângulos retângulos são iguais na hipotenusa e no ângulo agudo, segue-se que , que é o que precisava ser provado. Assim, um ponto na bissetriz de um ângulo é equidistante dos lados desse ângulo.

O teorema inverso é verdadeiro.

Se um ponto é equidistante dos lados de um ângulo não desenvolvido, então ele está em sua bissetriz.

Arroz. 2

É dado um ângulo não desenvolvido, ponto M, tal que a distância dele até os lados do ângulo seja a mesma (ver Fig. 2).

Prove que o ponto M está na bissetriz do ângulo.

Prova:

A distância de um ponto a uma reta é o comprimento da perpendicular. Do ponto M traçamos perpendiculares MK ao lado AB e MR ao lado AC.

Considere triângulos e . Estes são triângulos retângulos e são iguais porque... têm uma hipotenusa AM comum, as pernas MK e MR são iguais por condição. Assim, os triângulos retângulos são iguais na hipotenusa e na perna. Da igualdade dos triângulos segue-se a igualdade dos elementos correspondentes; ângulos iguais ficam opostos a lados iguais, portanto, Portanto, o ponto M encontra-se na bissetriz do ângulo dado.

Os teoremas direto e inverso podem ser combinados.

Teorema

A bissetriz de um ângulo não desenvolvido é o lugar geométrico dos pontos equidistantes dos lados de um determinado ângulo.

Teorema

As bissetoras AA 1, BB 1, СС 1 do triângulo se cruzam em um ponto O (ver Fig. 3).

Arroz. 3

Prova:

Consideremos primeiro duas bissetrizes BB 1 e CC 1. Eles se cruzam, o ponto de intersecção O existe. Para provar isso, vamos supor o contrário - mesmo que essas bissetrizes não se cruzem, caso em que são paralelas. Então a linha reta BC é uma secante e a soma dos ângulos , isso contradiz o fato de que em todo o triângulo a soma dos ângulos é .

Portanto, existe o ponto O da intersecção de duas bissetoras. Vamos considerar suas propriedades:

O ponto O está na bissetriz do ângulo, o que significa que é equidistante de seus lados BA e BC. Se OK é perpendicular a BC, OL é perpendicular a BA, então os comprimentos dessas perpendiculares são iguais -. Além disso, o ponto O encontra-se na bissetriz do ângulo e é equidistante de seus lados CB e CA, as perpendiculares OM e OK são iguais.

Obtivemos as seguintes igualdades:

, isto é, todas as três perpendiculares lançadas do ponto O aos lados do triângulo são iguais entre si.

Estamos interessados ​​na igualdade das perpendiculares OL e OM. Esta igualdade diz que o ponto O é equidistante dos lados do ângulo, segue-se que está na sua bissetriz AA 1.

Assim, provamos que todas as três bissetoras de um triângulo se cruzam em um ponto.

Vamos considerar o segmento, sua bissetriz perpendicular e as propriedades do ponto que está na bissetriz perpendicular.

Um segmento AB é dado, p é a bissetriz perpendicular. Isso significa que a reta p passa pelo meio do segmento AB e é perpendicular a ele.

Teorema

Arroz. 4

Qualquer ponto situado na bissetriz perpendicular é equidistante das extremidades do segmento (ver Fig. 4).

Prove isso

Prova:

Considere triângulos e . Eles são retangulares e iguais, porque. temos uma perna comum OM, e as pernas AO e OB são iguais por condição, portanto, temos dois triângulos retângulos, iguais em duas pernas. Segue-se que as hipotenusas dos triângulos também são iguais, ou seja, o que era necessário provar.

Observe que o segmento AB é uma corda comum para muitos círculos.

Por exemplo, o primeiro círculo com centro no ponto M e raio MA e MB; segundo círculo com centro no ponto N, raio NA e NB.

Assim, provamos que se um ponto estiver na bissetriz perpendicular de um segmento, ele é equidistante das extremidades do segmento (ver Fig. 5).

Arroz. 5

O teorema inverso é verdadeiro.

Teorema

Se um certo ponto M é equidistante das extremidades de um segmento, então ele está na bissetriz perpendicular a esse segmento.

Dado um segmento AB, uma bissetriz perpendicular a ele p, um ponto M equidistante das extremidades do segmento (ver Fig. 6).

Prove que o ponto M está na bissetriz perpendicular do segmento.

Arroz. 6

Prova:

Considere um triângulo. É isósceles, conforme a condição. Considere a mediana de um triângulo: o ponto O é o meio da base AB, OM é a mediana. De acordo com a propriedade de um triângulo isósceles, a mediana traçada até sua base é uma altura e uma bissetriz. Segue que . Mas a linha p também é perpendicular a AB. Sabemos que no ponto O é possível traçar uma única perpendicular ao segmento AB, o que significa que as retas OM e p coincidem, segue-se que o ponto M pertence à reta p, que é o que precisávamos provar.

Os teoremas direto e inverso podem ser generalizados.

Teorema

A bissetriz perpendicular de um segmento é o lugar geométrico dos pontos equidistantes de suas extremidades.

Um triângulo, como você sabe, consiste em três segmentos, o que significa que nele podem ser desenhadas três bissetoras perpendiculares. Acontece que eles se cruzam em um ponto.

As bissetoras perpendiculares de um triângulo se cruzam em um ponto.

Um triângulo é dado. Perpendiculares aos seus lados: P 1 ao lado BC, P 2 ao lado AC, P 3 ao lado AB (ver Fig. 7).

Prove que as perpendiculares P 1, P 2 e P 3 se cruzam no ponto O.