O método gaussiano tem uma série de desvantagens: é impossível saber se o sistema é consistente ou não até que todas as transformações necessárias no método gaussiano tenham sido realizadas; O método de Gauss não é adequado para sistemas com coeficientes alfabéticos.

Consideremos outros métodos para resolver sistemas de equações lineares. Esses métodos usam o conceito de classificação matricial e reduzem a solução de qualquer sistema consistente à solução de um sistema ao qual a regra de Cramer se aplica.

Exemplo 1. Encontre uma solução geral para o seguinte sistema de equações lineares usando o sistema fundamental de soluções para o sistema homogêneo reduzido e uma solução particular para o sistema não homogêneo.

1. Fazendo uma matriz A e matriz de sistema estendida (1)

2. Explore o sistema (1) para união. Para fazer isso, encontramos as fileiras das matrizes A e https://pandia.ru/text/78/176/images/image006_90.gif" width="17" height="26 src=">). Se isso acontecer, então o sistema (1) incompatível. Se conseguirmos isso , então este sistema é consistente e iremos resolvê-lo. (O estudo de compatibilidade é baseado no teorema de Kronecker-Capelli).

a. Nós achamos RA.

Encontrar RA, consideraremos sequencialmente menores diferentes de zero da primeira, segunda, etc. ordens da matriz A e os menores que os cercam.

M1=1≠0 (pegamos 1 do canto superior esquerdo da matriz A).

Nós fazemos fronteira M1 a segunda linha e a segunda coluna desta matriz. . Continuamos na fronteira M1 a segunda linha e a terceira coluna..gif" width="37" height="20 src=">. Agora limitamos o menor diferente de zero M2' segunda ordem.

Nós temos: (já que as duas primeiras colunas são iguais)

(já que a segunda e a terceira linhas são proporcionais).

Nós vemos que ra=2, a é a base menor da matriz A.

b. Nós achamos.

Menor bastante básico M2' matrizes A borda com uma coluna de termos livres e todas as linhas (temos apenas a última linha).

. Segue que M3'' continua sendo o menor básico da matriz https://pandia.ru/text/78/176/images/image019_33.gif" width="168 height=75" height="75"> (2)

Porque M2'- base menor da matriz A sistemas (2) , então este sistema é equivalente ao sistema (3) , consistindo nas duas primeiras equações do sistema (2) (para M2' está nas duas primeiras linhas da matriz A).

(3)

Desde o menor básico https://pandia.ru/text/78/176/images/image021_29.gif" width="153" height="51"> (4)

Neste sistema existem duas incógnitas livres ( x2 E x4 ). É por isso FSR sistemas (4) consiste em duas soluções. Para encontrá-los, atribuímos incógnitas livres em (4) valores primeiro x2=1 , x4=0 , e então - x2=0 , x4=1 .

No x2=1 , x4=0 Nós temos:

.

Este sistema já possui a única coisa solução (pode ser encontrada usando a regra de Cramer ou qualquer outro método). Subtraindo a primeira da segunda equação, obtemos:

A solução dela será x1 = -1 , x3=0 . Dados os valores x2 E x4 , que adicionamos, obtemos a primeira solução fundamental do sistema (2) : .

Agora acreditamos em (4) x2=0 , x4=1 . Nós temos:

.

Resolvemos este sistema usando o teorema de Cramer:

.

Obtemos a segunda solução fundamental do sistema (2) : .

Soluções β1 , β2 e fazer as pazes FSR sistemas (2) . Então sua solução geral será

γ= C1 β1+С2β2=С1(‑1, 1, 0, 0)+С2(5, 0, 4, 1)=(‑С1+5С2, С1, 4С2, С2)

Aqui C1 , C2 – constantes arbitrárias.

4. Vamos encontrar um privado solução sistema heterogêneo(1) . Como no parágrafo 3 , em vez do sistema (1) Vamos considerar um sistema equivalente (5) , consistindo nas duas primeiras equações do sistema (1) .

(5)

Vamos mover as incógnitas livres para o lado direito x2 E x4.

(6)

Vamos dar incógnitas de graça x2 E x4 valores arbitrários, por exemplo, x2=2 , x4=1 e coloque-os (6) . Vamos pegar o sistema

Este sistema tem uma solução única (já que seu determinante M2'0). Resolvendo-o (usando o teorema de Cramer ou o método de Gauss), obtemos x1=3 , x3=3 . Dados os valores das incógnitas livres x2 E x4 , Nós temos solução particular de um sistema não homogêneo(1)α1=(3,2,3,1).

5. Agora só falta anotar solução geral α de um sistema não homogêneo(1) : é igual à soma solução privada este sistema e solução geral do seu sistema homogêneo reduzido (2) :

α=α1+γ=(3, 2, 3, 1)+(‑С1+5С2, С1, 4С2, С2).

Isso significa: (7)

6. Exame. Para verificar se você resolveu o sistema corretamente (1) , precisamos de uma solução geral (7) substituir em (1) . Se cada equação se transformar na identidade ( C1 E C2 deve ser destruído), então a solução foi encontrada corretamente.

Nós vamos substituir (7) por exemplo, apenas a última equação do sistema (1) (x1 + x2 + x3 ‑9 x4 =‑1) .

Obtemos: (3–С1+5С2)+(2+С1)+(3+4С2)–9(1+С2)=–1

(С1–С1)+(5С2+4С2–9С2)+(3+2+3–9)=–1

Onde –1=–1. Temos uma identidade. Fazemos isso com todas as outras equações do sistema (1) .

Comente. A verificação geralmente é bastante complicada. A seguinte “verificação parcial” pode ser recomendada: na solução geral do sistema (1) atribua alguns valores a constantes arbitrárias e substitua a solução parcial resultante apenas nas equações descartadas (ou seja, nas equações de (1) , que não foram incluídos (5) ). Se você conseguir identidades, então mais provável, solução do sistema (1) encontrado corretamente (mas tal verificação não fornece uma garantia completa de correção!). Por exemplo, se em (7) colocar C2=- 1 , C1=1, então obtemos: x1=-3, x2=3, x3=-1, x4=0. Substituindo na última equação do sistema (1), temos: - 3+3 - 1 - 9∙0= - 1 , ou seja, –1=–1. Temos uma identidade.

Exemplo 2. Encontre uma solução geral para um sistema de equações lineares (1) , expressando as incógnitas básicas em termos de incógnitas livres.

Solução. Como em Exemplo 1, compor matrizes A e https://pandia.ru/text/78/176/images/image010_57.gif" width="156" height="50"> dessas matrizes. Agora deixamos apenas essas equações do sistema (1) , cujos coeficientes estão incluídos neste menor básico (ou seja, temos as duas primeiras equações) e consideramos um sistema composto por eles, equivalente ao sistema (1).

Vamos transferir as incógnitas livres para o lado direito dessas equações.

sistema (9) Resolvemos pelo método gaussiano, considerando os lados direitos como termos livres.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image035_21.gif" width="202 height=106" height="106">

Opção 2.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image039_16.gif" width="192" height="106 src=">

Opção 4.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image042_14.gif" width="172" height="80">

Opção 5.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image044_12.gif" width="179 height=106" height="106">

Opção 6.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image046_11.gif" largura="195" altura="106">

Sistema homogêneo de equações lineares sobre um campo

DEFINIÇÃO. Um sistema fundamental de soluções para um sistema de equações (1) é um sistema linearmente independente não vazio de suas soluções, cujo vão linear coincide com o conjunto de todas as soluções do sistema (1).

Observe que um sistema homogêneo de equações lineares que possui apenas uma solução zero não possui um sistema fundamental de soluções.

PROPOSTA 3.11. Quaisquer dois sistemas fundamentais de soluções para um sistema homogêneo de equações lineares consistem no mesmo número de soluções.

Prova. Na verdade, quaisquer dois sistemas fundamentais de soluções para o sistema homogêneo de equações (1) são equivalentes e linearmente independentes. Portanto, pela Proposição 1.12, suas classificações são iguais. Consequentemente, o número de soluções incluídas num sistema fundamental é igual ao número de soluções incluídas em qualquer outro sistema fundamental de soluções.

Se a matriz principal A do sistema homogêneo de equações (1) for zero, então qualquer vetor de é uma solução para o sistema (1); neste caso, qualquer conjunto de vetores linearmente independentes é um sistema fundamental de soluções. Se a classificação da coluna da matriz A for igual a, então o sistema (1) tem apenas uma solução - zero; portanto, neste caso, o sistema de equações (1) não possui um sistema fundamental de soluções.

TEOREMA 3.12. Se a classificação da matriz principal de um sistema homogêneo de equações lineares (1) for menor que o número de variáveis ​​, então o sistema (1) possui um sistema de solução fundamental que consiste em soluções.

Prova. Se a classificação da matriz principal A do sistema homogêneo (1) for igual a zero ou , então foi mostrado acima que o teorema é verdadeiro. Portanto, a seguir assume-se que Assumindo, assumiremos que as primeiras colunas da matriz A são linearmente independentes. Neste caso, a matriz A é equivalente em linhas a uma matriz escalonada reduzida, e o sistema (1) é equivalente ao seguinte sistema de equações escalonado reduzido:

É fácil verificar que qualquer sistema de valores de variáveis ​​​​livres do sistema (2) corresponde a uma e apenas uma solução do sistema (2) e, portanto, do sistema (1). Em particular, apenas a solução zero do sistema (2) e do sistema (1) corresponde a um sistema de valores zero.

No sistema (2) atribuiremos a uma das variáveis ​​livres um valor igual a 1, e às demais variáveis ​​- valores zero. Como resultado, obtemos soluções para o sistema de equações (2), que escrevemos na forma de linhas da seguinte matriz C:

O sistema de linhas desta matriz é linearmente independente. Na verdade, para quaisquer escalares da igualdade

igualdade segue

e, portanto, igualdade

Provemos que o vão linear do sistema de linhas da matriz C coincide com o conjunto de todas as soluções do sistema (1).

Solução arbitrária do sistema (1). Então o vetor

também é uma solução para o sistema (1), e

Um sistema de equações lineares em que todos os termos livres são iguais a zero é chamado homogêneo :

Qualquer sistema homogêneo é sempre consistente, pois sempre tem zero (trivial ) solução. Surge a questão em que condições um sistema homogêneo terá uma solução não trivial.

Teorema 5.2.Um sistema homogêneo tem uma solução não trivial se e somente se a classificação da matriz subjacente for menor que o número de suas incógnitas.

Consequência. Um sistema quadrado homogêneo tem uma solução não trivial se e somente se o determinante da matriz principal do sistema não for igual a zero.

Exemplo 5.6. Determine os valores do parâmetro l nos quais o sistema tem soluções não triviais e encontre estas soluções:

Solução. Este sistema terá uma solução não trivial quando o determinante da matriz principal for igual a zero:

Assim, o sistema não é trivial quando l=3 ou l=2. Para l=3, o posto da matriz principal do sistema é 1. Então, deixando apenas uma equação e assumindo que sim=a E z=b, Nós temos x = b-a, ou seja

Para l=2, o posto da matriz principal do sistema é 2. Então, escolhendo a menor como base:

obtemos um sistema simplificado

A partir daqui descobrimos que x=z/4, y=z/2. Acreditar z=4a, Nós temos

O conjunto de todas as soluções de um sistema homogêneo tem uma função muito importante propriedade linear : se colunas X 1 e X 2 - soluções para um sistema homogêneo AX = 0, então qualquer combinação linear deles a X 1 + b X 2 também será uma solução para este sistema. Na verdade, desde MACHADO 1 = 0 E MACHADO 2 = 0 , Que A(a X 1 + b X 2) = uma MACHADO 1 + b MACHADO 2 = a · 0 + b · 0 = 0. É por causa desta propriedade que se um sistema linear tiver mais de uma solução, então haverá um número infinito dessas soluções.

Colunas linearmente independentes E 1 , E 2 , Ek, que são soluções de um sistema homogêneo, são chamados sistema fundamental de soluções sistema homogêneo de equações lineares se a solução geral deste sistema puder ser escrita como uma combinação linear destas colunas:

Se um sistema homogêneo tiver n variáveis, e a classificação da matriz principal do sistema é igual a R, Que k = n-r.

Exemplo 5.7. Encontre o sistema fundamental de soluções para o seguinte sistema de equações lineares:

Solução. Vamos encontrar a classificação da matriz principal do sistema:

Assim, o conjunto de soluções para este sistema de equações forma um subespaço linear de dimensão n-r= 5 - 2 = 3. Vamos escolher o menor como base

.

Então, deixando apenas as equações básicas (o resto será uma combinação linear dessas equações) e as variáveis ​​​​básicas (movemos o resto, as chamadas variáveis ​​​​livres para a direita), obtemos um sistema de equações simplificado:

Acreditar x 3 = a, x 4 = b, x 5 = c, nós achamos

, .

Acreditar a= 1, b = c= 0, obtemos a primeira solução básica; acreditando b= 1, uma = c= 0, obtemos a segunda solução básica; acreditando c= 1, uma = b= 0, obtemos a terceira solução básica. Como resultado, o sistema fundamental normal de soluções assumirá a forma

Usando o sistema fundamental, a solução geral de um sistema homogêneo pode ser escrita como

X = aE 1 + ser 2 + cE 3. a

Observemos algumas propriedades das soluções para um sistema não homogêneo de equações lineares AX=B e sua relação com o sistema homogêneo de equações correspondente AX = 0.

Solução geral de um sistema não homogêneoé igual à soma da solução geral do sistema homogêneo correspondente AX = 0 e uma solução particular arbitrária do sistema não homogêneo. Na verdade, deixe S 0 é uma solução particular arbitrária de um sistema não homogêneo, ou seja, Sim 0 = B, E S- solução geral de um sistema heterogêneo, ou seja, AY=B. Subtraindo uma igualdade da outra, obtemos
A(AAA 0) = 0, ou seja AAA 0 é a solução geral do sistema homogêneo correspondente MACHADO=0. Por isso, AAA 0 = X, ou S=S 0 + X. Q.E.D.

Deixe o sistema não homogêneo ter a forma AX = B 1 + B 2 . Então a solução geral de tal sistema pode ser escrita como X = X 1 + X 2 , onde AX 1 = B 1 e machado 2 = B 2. Esta propriedade expressa uma propriedade universal de quaisquer sistemas lineares em geral (algébrico, diferencial, funcional, etc.). Na física esta propriedade é chamada princípio de superposição, em engenharia elétrica e de rádio - princípio da superposição. Por exemplo, na teoria dos circuitos elétricos lineares, a corrente em qualquer circuito pode ser obtida como a soma algébrica das correntes causadas por cada fonte de energia separadamente.

Um sistema homogêneo é sempre consistente e tem uma solução trivial
. Para que exista uma solução não trivial, é necessário que o posto da matriz foi menor que o número de incógnitas:

.

Sistema fundamental de soluções sistema homogêneo
chame um sistema de soluções na forma de vetores coluna
, que correspondem à base canônica, ou seja, base na qual constantes arbitrárias
são alternadamente definidos como iguais a um, enquanto o restante é definido como zero.

Então a solução geral do sistema homogêneo tem a forma:

Onde
- constantes arbitrárias. Em outras palavras, a solução global é uma combinação linear do sistema fundamental de soluções.

Assim, soluções básicas podem ser obtidas a partir da solução geral se às incógnitas livres for dado o valor de um por vez, igualando todas as outras a zero.

Exemplo. Vamos encontrar uma solução para o sistema

Vamos aceitar, então obtemos uma solução na forma:

Vamos agora construir um sistema fundamental de soluções:

.

A solução geral será escrita como:

As soluções de um sistema de equações lineares homogêneas têm as seguintes propriedades:

Em outras palavras, qualquer combinação linear de soluções para um sistema homogêneo é novamente uma solução.

Resolvendo sistemas de equações lineares usando o método de Gauss

A resolução de sistemas de equações lineares interessa aos matemáticos há vários séculos. Os primeiros resultados foram obtidos no século XVIII. Em 1750, G. Kramer (1704–1752) publicou seus trabalhos sobre os determinantes de matrizes quadradas e propôs um algoritmo para encontrar a matriz inversa. Em 1809, Gauss delineou um novo método de solução conhecido como método de eliminação.

O método de Gauss, ou método de eliminação sequencial de incógnitas, consiste no fato de que, por meio de transformações elementares, um sistema de equações é reduzido a um sistema equivalente de forma escalonada (ou triangular). Tais sistemas permitem encontrar sequencialmente todas as incógnitas em uma determinada ordem.

Suponhamos que no sistema (1)
(o que é sempre possível).

(1)

Multiplicando a primeira equação uma por uma pela chamada números adequados

e somando o resultado da multiplicação com as equações correspondentes do sistema, obtemos um sistema equivalente no qual em todas as equações exceto a primeira não haverá incógnita X 1

(2)

Vamos agora multiplicar a segunda equação do sistema (2) por números adequados, assumindo que

,

e somando com os inferiores, eliminamos a variável de todas as equações, começando pela terceira.

Continuando esse processo, após
passo obtemos:

(3)

Se pelo menos um dos números
não é igual a zero, então a igualdade correspondente é contraditória e o sistema (1) é inconsistente. Por outro lado, para qualquer sistema numérico conjunto
são iguais a zero. Número nada mais é do que o posto da matriz do sistema (1).

A transição do sistema (1) para (3) é chamada direto em frente Método de Gauss e determinação das incógnitas de (3) – ao contrário .

Comente : É mais conveniente realizar transformações não com as próprias equações, mas com a matriz estendida do sistema (1).

Exemplo. Vamos encontrar uma solução para o sistema

.

Vamos escrever a matriz estendida do sistema:

.

Vamos adicionar o primeiro às linhas 2,3,4, multiplicado por (-2), (-3), (-2) respectivamente:

.

Vamos trocar as linhas 2 e 3 e, na matriz resultante, adicionar a linha 2 à linha 4, multiplicada por :

.

Adicione à linha 4 a linha 3 multiplicada por
:

.

É óbvio que
, portanto, o sistema é consistente. Do sistema de equações resultante

encontramos a solução por substituição reversa:

,
,
,
.

Exemplo 2. Encontre uma solução para o sistema:

.

É óbvio que o sistema é inconsistente, porque
, A
.

Vantagens do método Gauss :

Menos trabalhoso que o método de Cramer.

Estabelece inequivocamente a compatibilidade do sistema e permite encontrar uma solução.

Torna possível determinar a classificação de quaisquer matrizes.

Deixar M 0 – conjunto de soluções para um sistema homogêneo (4) de equações lineares.

Definição 6.12. Vetores Com 1 ,Com 2 , …, com p, que são soluções de um sistema homogêneo de equações lineares são chamados conjunto fundamental de soluções(abreviado FNR), se

1) vetores Com 1 ,Com 2 , …, com p linearmente independentes (ou seja, nenhum deles pode ser expresso em termos dos outros);

2) qualquer outra solução para um sistema homogêneo de equações lineares pode ser expressa em termos de soluções Com 1 ,Com 2 , …, com p.

Observe que se Com 1 ,Com 2 , …, com p– qualquer f.n.r., então a expressão k 1× Com 1 + k 2× Com 2 + … + k p× com p você pode descrever todo o conjunto M 0 soluções para o sistema (4), por isso é chamado visão geral da solução do sistema (4).

Teorema 6.6. Qualquer sistema homogêneo indeterminado de equações lineares possui um conjunto fundamental de soluções.

A maneira de encontrar o conjunto fundamental de soluções é a seguinte:

Encontre uma solução geral para um sistema homogêneo de equações lineares;

Construir ( n – R) soluções parciais deste sistema, enquanto os valores das incógnitas livres devem formar uma matriz identidade;

Escreva a forma geral da solução incluída em M 0 .

Exemplo 6.5. Encontre um conjunto fundamental de soluções para o seguinte sistema:

Solução. Vamos encontrar uma solução geral para este sistema.

~ ~ ~ ~ Þ Þ Þ Existem cinco incógnitas neste sistema ( n= 5), dos quais existem duas incógnitas principais ( R= 2), existem três incógnitas livres ( n – R), ou seja, o conjunto solução fundamental contém três vetores solução. Vamos construí-los. Nós temos x 1 e x 3 – principais incógnitas, x 2 , x 4 , x 5 – incógnitas livres

Valores de incógnitas livres x 2 , x 4 , x 5 formam a matriz identidade E terceira ordem. Tenho esses vetores Com 1 ,Com 2 , Com 3 forma f.n.r. deste sistema. Então o conjunto de soluções deste sistema homogêneo será M 0 = {k 1× Com 1 + k 2× Com 2 + k 3× Com 3 , k 1 , k 2 , k 3 O R).

Descubramos agora as condições para a existência de soluções diferentes de zero de um sistema homogêneo de equações lineares, ou seja, as condições para a existência de um conjunto fundamental de soluções.

Um sistema homogêneo de equações lineares possui soluções diferentes de zero, ou seja, é incerto se

1) o posto da matriz principal do sistema é menor que o número de incógnitas;

2) em um sistema homogêneo de equações lineares, o número de equações é menor que o número de incógnitas;

3) se em um sistema homogêneo de equações lineares o número de equações for igual ao número de incógnitas e o determinante da matriz principal for igual a zero (ou seja, | A| = 0).

Exemplo 6.6. Em qual valor do parâmetro a sistema homogêneo de equações lineares tem soluções diferentes de zero?

Solução. Vamos compor a matriz principal deste sistema e encontrar seu determinante: = = 1×(–1) 1+1 × = – A– 4. O determinante desta matriz é igual a zero em a = –4.

Responder: –4.

7. Aritmética n espaço vetorial tridimensional

Conceitos Básicos

Nas seções anteriores já encontramos o conceito de conjunto de números reais organizados em uma determinada ordem. Esta é uma matriz linha (ou matriz coluna) e uma solução para um sistema de equações lineares com n desconhecido. Esta informação pode ser resumida.

Definição 7.1. n-vetor aritmético dimensional chamado de conjunto ordenado de n numeros reais.

Significa A= (uma 1 , uma 2 , …, uma n), onde um euÓ R, eu = 1, 2, …, n– visão geral do vetor. Número n chamado dimensão vetores e números a eu são chamados de seus coordenadas.

Por exemplo: A= (1, –8, 7, 4, ) – vetor pentadimensional.

Tudo pronto n vetores -dimensionais são geralmente denotados como Rn.

Definição 7.2. Dois vetores A= (uma 1 , uma 2 , …, uma n) E b= (b 1 , b 2 , …, b n) da mesma dimensão igual se e somente se suas coordenadas correspondentes forem iguais, ou seja, a 1 = b 1 , a 2 = b 2 , …, a n=b n.

Definição 7.3.Quantia dois n vetores dimensionais A= (uma 1 , uma 2 , …, uma n) E b= (b 1 , b 2 , …, b n) é chamado de vetor a + b= (a 1 + b 1, a 2 + b 2, …, a n+b n).

Definição 7.4. O trabalho número real k para vetorizar A= (uma 1 , uma 2 , …, uma n) é chamado de vetor k× A = (k×a 1, k×a 2 , …, k×uma n)

Definição 7.5. Vetor Ó= (0, 0,…, 0) é chamado zero(ou vetor nulo).

É fácil verificar que as ações (operações) de somar vetores e multiplicá-los por um número real possuem as seguintes propriedades: “ a, b, c Î Rn, " k, eu Sobre R:

1) a + b = b + a;

2) a + (b+ c) = (a + b) + c;

3) a + Ó = a;

4) a+ (–a) = Ó;

5) 1× a = a, 1 O R;

6) k×( eu× a) = eu×( k× a) = (eu× k)× a;

7) (k + eu)× a = k× a + eu× a;

8) k×( a + b) = k× a + k× b.

Definição 7.6. Um monte de Rn com as operações de adicionar vetores e multiplicá-los por um número real dado nele é chamado espaço vetorial aritmético n-dimensional.