Esta é a soma vetorial de todas as forças que atuam no corpo.

O ciclista se inclina para a curva. A força da gravidade e a força de reação do suporte da Terra fornecem uma força resultante que transmite a aceleração centrípeta necessária para o movimento em círculo.

Relação com a segunda lei de Newton

Vamos lembrar a lei de Newton:

A força resultante pode ser igual a zero no caso em que uma força é compensada por outra, a mesma força, mas de direção oposta. Neste caso, o corpo está em repouso ou movendo-se uniformemente.

Se a força resultante NÃO for zero, então o corpo se move com aceleração uniforme. Na verdade, é esta força que provoca o movimento desigual. Direção da força resultante Sempre coincide na direção com o vetor aceleração.

Quando é necessário representar as forças que atuam sobre um corpo, enquanto o corpo se move com aceleração uniforme, significa que na direção da aceleração a força atuante é maior que a oposta. Se o corpo se move uniformemente ou está em repouso, o comprimento dos vetores de força é o mesmo.

Encontrando a força resultante

Para encontrar a força resultante é necessário: primeiro, designar corretamente todas as forças que atuam no corpo; em seguida, desenhe eixos coordenados, selecione suas direções; na terceira etapa é necessário determinar as projeções dos vetores nos eixos; anote as equações. Resumidamente: 1) identificar as forças; 2) selecione os eixos e suas direções; 3) encontrar as projeções das forças no eixo; 4) anote as equações.

Como escrever equações? Se em uma determinada direção o corpo se move uniformemente ou está em repouso, então a soma algébrica (levando em conta os sinais) das projeções de forças é igual a zero. Se um corpo se move uniformemente acelerado em uma determinada direção, então a soma algébrica das projeções de forças é igual ao produto da massa pela aceleração, de acordo com a segunda lei de Newton.

Exemplos

Um corpo que se move uniformemente sobre uma superfície horizontal está sujeito à força da gravidade, à força de reação do suporte, à força de atrito e à força sob a qual o corpo se move.

Vamos denotar as forças, escolher os eixos coordenados

Vamos encontrar as projeções

Escrevendo as equações

Um corpo pressionado contra uma parede vertical move-se para baixo com aceleração uniforme. O corpo é influenciado pela força da gravidade, pela força de atrito, pela reação do suporte e pela força com que o corpo é pressionado. O vetor aceleração é direcionado verticalmente para baixo. A força resultante é direcionada verticalmente para baixo.

O corpo se move uniformemente ao longo de uma cunha cuja inclinação é alfa. O corpo sofre a ação da força da gravidade, da força de reação do suporte e da força de atrito.

A principal coisa a lembrar

1) Se o corpo estiver em repouso ou em movimento uniforme, então a força resultante é zero e a aceleração é zero;
2) Se o corpo se move com aceleração uniforme, então a força resultante não é zero;
3) A direção do vetor força resultante sempre coincide com a direção da aceleração;
4) Ser capaz de escrever equações de projeções de forças que atuam sobre um corpo

Um bloco é um dispositivo mecânico, uma roda que gira em torno de seu eixo. Os blocos podem ser móvel E imóvel.

Bloco fixo usado apenas para mudar a direção da força.

Corpos conectados por um fio inextensível têm acelerações iguais.

Bloco móvel projetado para alterar a quantidade de esforço aplicado. Se as pontas da corda que prende o bloco fizerem ângulos iguais com o horizonte, então levantar a carga exigirá uma força que é metade do peso da carga. A força que atua sobre uma carga está relacionada ao seu peso assim como o raio de um bloco está relacionado à corda de um arco circundado por uma corda.

A aceleração do corpo A é metade da aceleração do corpo B.

Na verdade, qualquer bloco é braço de alavanca, no caso de bloco fixo - braços iguais, no caso de móvel - com proporção de ombros de 1 para 2. Como para qualquer outra alavanca, aplica-se ao bloco a seguinte regra: o número de vezes que ganhamos em esforço, o mesmo número de vezes que perdemos em distância

Também é utilizado um sistema composto por uma combinação de vários blocos móveis e fixos. Este sistema é chamado de polispasto.

Como ocorre a adição de vetores nem sempre é claro para os alunos. As crianças não têm ideia do que está escondido atrás delas. Basta lembrar as regras e não pensar na essência. Portanto, trata-se dos princípios de adição e subtração grandezas vetoriais requer muito conhecimento.

A adição de dois ou mais vetores sempre resulta em mais um. Além disso, será sempre o mesmo, independentemente de como for encontrado.

Na maioria das vezes, em um curso escolar de geometria, a adição de dois vetores é considerada. Pode ser realizado de acordo com a regra do triângulo ou do paralelogramo. Esses desenhos parecem diferentes, mas o resultado da ação é o mesmo.

Como ocorre a adição usando a regra do triângulo?

É usado quando os vetores não são colineares. Ou seja, eles não estão na mesma linha reta ou em linhas paralelas.

Neste caso, o primeiro vetor deve ser traçado a partir de algum ponto arbitrário. Do seu final é necessário traçar um paralelo e igual ao segundo. O resultado será um vetor começando no início do primeiro e terminando no final do segundo. O padrão se assemelha a um triângulo. Daí o nome da regra.

Se os vetores forem colineares, esta regra também poderá ser aplicada. Apenas o desenho ficará localizado ao longo de uma linha.

Como a adição é realizada usando a regra do paralelogramo?

Ainda denovo? aplica-se apenas a vetores não colineares. A construção é realizada de acordo com um princípio diferente. Embora o começo seja o mesmo. Precisamos deixar de lado o primeiro vetor. E desde o seu início - o segundo. Com base neles, complete o paralelogramo e desenhe uma diagonal desde o início de ambos os vetores. Este será o resultado. É assim que a adição de vetores é realizada de acordo com a regra do paralelogramo.

Até agora foram dois. Mas e se houver 3 ou 10 deles? Use a seguinte técnica.

Como e quando a regra do polígono se aplica?

Se você precisar realizar a adição de vetores cujo número seja maior que dois, não tenha medo. Basta colocar todos de lado sequencialmente e conectar o início da corrente ao seu fim. Este vetor será a soma necessária.

Quais propriedades são válidas para operações com vetores?

Sobre o vetor zero. O que afirma que quando adicionado a ele, o original é obtido.

Sobre o vetor oposto. Ou seja, cerca de aquele que tem direção oposta e magnitude igual. A soma deles será zero.

Sobre a comutatividade da adição. Algo que é conhecido desde o ensino fundamental. Alterar as posições dos termos não altera o resultado. Em outras palavras, não importa qual vetor adiar primeiro. A resposta ainda será correta e única.

Sobre a associatividade da adição. Esta lei permite adicionar quaisquer vetores de um triplo aos pares e adicionar um terço a eles. Se você escrever isso usando símbolos, obterá o seguinte:

primeiro + (segundo + terceiro) = segundo + (primeiro + terceiro) = terceiro + (primeiro + segundo).

O que se sabe sobre a diferença vetorial?

Não há operação de subtração separada. Isto se deve ao fato de ser essencialmente uma adição. Apenas o segundo deles recebe a direção oposta. E então tudo é feito como se fosse considerada a adição de vetores. Portanto, praticamente não se fala em sua diferença.

Para simplificar o trabalho com sua subtração, a regra do triângulo é modificada. Agora (ao subtrair) o segundo vetor deve ser separado do início do primeiro. A resposta será aquela que conecta o ponto final do minuendo com o mesmo do subtraendo. Embora você possa adiá-lo conforme descrito anteriormente, simplesmente mudando a direção do segundo.

Como encontrar a soma e a diferença dos vetores nas coordenadas?

O problema fornece as coordenadas dos vetores e exige a descoberta de seus valores para o resultado final. Neste caso, não há necessidade de realizar construções. Ou seja, você pode usar fórmulas simples que descrevem a regra para adicionar vetores. Eles se parecem com isto:

a (x, y, z) + b (k, l, m) = c (x + k, y + l, z + m);

a (x, y, z) -b (k, l, m) = c (xk, yl, zm).

É fácil ver que as coordenadas simplesmente precisam ser adicionadas ou subtraídas dependendo da tarefa específica.

Primeiro exemplo com solução

Doença. Dado um retângulo ABCD. Seus lados são iguais a 6 e 8 cm e o ponto de intersecção das diagonais é indicado pela letra O. É necessário calcular a diferença entre os vetores AO e VO.

Solução. Primeiro você precisa desenhar esses vetores. Eles são direcionados dos vértices do retângulo até o ponto de intersecção das diagonais.

Se você olhar atentamente o desenho, verá que os vetores já estão combinados de forma que o segundo deles está em contato com o final do primeiro. Só que a direção dele está errada. Deve começar deste ponto. Isso ocorre se os vetores forem somados, mas o problema envolver subtração. Parar. Esta ação significa que você precisa adicionar o vetor de direção oposta. Isto significa que VO precisa ser substituído por OV. E acontece que os dois vetores já formaram um par de lados a partir da regra do triângulo. Portanto, o resultado de sua adição, ou seja, a diferença desejada, é o vetor AB.

E coincide com o lado do retângulo. Para anotar sua resposta numérica, você precisará do seguinte. Desenhe um retângulo longitudinalmente para que o lado maior fique na horizontal. Comece a numerar os vértices no canto inferior esquerdo e siga no sentido anti-horário. Então o comprimento do vetor AB será de 8 cm.

Responder. A diferença entre AO e VO é de 8 cm.

Segundo exemplo e sua solução detalhada

Doença. As diagonais do losango ABCD têm 12 e 16 cm e o ponto de sua intersecção é indicado pela letra O. Calcule o comprimento do vetor formado pela diferença entre os vetores AO e BO.

Solução. Seja a designação dos vértices do losango a mesma do problema anterior. Semelhante à solução do primeiro exemplo, verifica-se que a diferença necessária é igual ao vetor AB. E seu comprimento é desconhecido. A solução do problema se resumiu a calcular um dos lados do losango.

Para tanto, será necessário considerar o triângulo ABO. É retangular porque as diagonais de um losango se cruzam em um ângulo de 90 graus. E suas pernas são iguais a metade das diagonais. Ou seja, 6 e 8 cm, o lado procurado no problema coincide com a hipotenusa deste triângulo.

Para encontrá-lo você precisará do teorema de Pitágoras. O quadrado da hipotenusa será igual à soma dos números 6 2 e 8 2. Após a quadratura, os valores obtidos são: 36 e 64. Sua soma é 100. Segue-se que a hipotenusa é igual a 10 cm.

Responder. A diferença entre os vetores AO e VO é de 10 cm.

Terceiro exemplo com solução detalhada

Doença. Calcule a diferença e a soma de dois vetores. Suas coordenadas são conhecidas: a primeira tem 1 e 2, a segunda tem 4 e 8.

Solução. Para encontrar a soma, você precisará somar a primeira e a segunda coordenadas aos pares. O resultado serão os números 5 e 10. A resposta será um vetor com coordenadas (5; 10).

Para a diferença, você precisa subtrair as coordenadas. Após realizar esta ação, serão obtidos os números -3 e -6. Serão as coordenadas do vetor desejado.

Responder. A soma dos vetores é (5; 10), sua diferença é (-3; -6).

Quarto exemplo

Doença. O comprimento do vetor AB é 6 cm, BC é 8 cm e o segundo é separado do final do primeiro em um ângulo de 90 graus. Calcule: a) a diferença entre os módulos dos vetores VA e BC e o módulo da diferença entre VA e BC; b) a soma dos mesmos módulos e o módulo da soma.

Solução: a) Os comprimentos dos vetores já estão dados no problema. Portanto, calcular a diferença não é difícil. 6 - 8 = -2. A situação com o módulo diferencial é um pouco mais complicada. Primeiro você precisa descobrir qual vetor será o resultado da subtração. Para tanto, deve-se deixar de lado o vetor BA, que tem direção oposta a AB. Em seguida, desenhe o vetor BC a partir de sua extremidade, direcionando-o na direção oposta ao original. O resultado da subtração é o vetor CA. Seu módulo pode ser calculado usando o teorema de Pitágoras. Cálculos simples levam a um valor de 10 cm.

b) A soma dos módulos dos vetores é igual a 14 cm. Para encontrar a segunda resposta será necessária alguma transformação. O vetor BA tem direção oposta ao dado - AB. Ambos os vetores são direcionados do mesmo ponto. Nesta situação, você pode usar a regra do paralelogramo. O resultado da adição será uma diagonal, e não apenas um paralelogramo, mas um retângulo. Suas diagonais são iguais, o que significa que o módulo da soma é o mesmo do parágrafo anterior.

Resposta: a) -2 e 10 cm; b) 14 e 10 cm.

A ação mecânica dos corpos uns sobre os outros é sempre a sua interação.

Se o corpo 1 atua sobre o corpo 2, então o corpo 2 necessariamente atua sobre o corpo 1.

Por exemplo,as rodas motrizes de uma locomotiva elétrica (Fig. 2.3) são acionadas por forças de atrito estático dos trilhos, direcionadas ao movimento da locomotiva elétrica. A soma dessas forças é a força de tração da locomotiva elétrica. Por sua vez, as rodas motrizes atuam sobre os trilhos por forças de atrito estático direcionadas na direção oposta.

Uma descrição quantitativa da interação mecânica foi dada por Newton em seu terceira lei da dinâmica.

Para pontos materiais esta lei é formulado Então:

Dois pontos materiais atuam um sobre o outro com forças iguais em magnitude e direcionadas de forma oposta ao longo de uma linha reta que conecta esses pontos(Fig.2.4):
.

A terceira lei nem sempre é verdadeira.

Realizado estritamente

no caso de interações de contato,

durante a interação de corpos em repouso a alguma distância um do outro.

Passemos da dinâmica de um ponto material individual para a dinâmica de um sistema mecânico que consiste em pontos materiais.

Para -desse ponto material do sistema, segundo a segunda lei de Newton (2.5), temos:

. (2.6)

Aqui E - massa e velocidade -aquele ponto material, - a soma de todas as forças que atuam sobre ele.

As forças que atuam em um sistema mecânico são divididas em externas e internas. Forças externas atuam em pontos de um sistema mecânico de outros corpos externos.

Forças internas atuar entre pontos do próprio sistema.

Então força na expressão (2.6) pode ser representado como a soma das forças externas e internas:

, (2.7)

Onde
– a resultante de todas as forças externas que atuam sobre -aquele ponto do sistema; - força interna agindo neste ponto do lado º.

Vamos substituir a expressão (2.7) em (2.6):

, (2.8)

somando os lados esquerdo e direito das equações (2.8), escritas para todos pontos materiais do sistema, obtemos

. (2.9)

De acordo com a terceira lei de Newton, as forças de interação -isso e -os pontos do sistema são iguais em magnitude e opostos em direção
.

Portanto, a soma de todas as forças internas na equação (2.9) é igual a zero:

. (2.10)

A soma vetorial de todas as forças externas que atuam no sistema é chamada o principal vetor de forças externas

. (2.11)

Invertendo as operações de soma e diferenciação na expressão (2.9) e tendo em conta os resultados (2.10) e (2.11), bem como a definição do momento do sistema mecânico (2.3), obtemos

- equação básica para a dinâmica do movimento translacional de um corpo rígido.

Esta equação expressa lei da mudança de momento de um sistema mecânico: a derivada temporal do momento de um sistema mecânico é igual ao vetor principal de forças externas que atuam no sistema.

2.6. Centro de massa e a lei do seu movimento.

Centro de massa(inércia) de um sistema mecânico é chamada ponto , cujo vetor raio é igual à razão entre a soma dos produtos das massas de todos os pontos materiais do sistema por seus vetores de raio e a massa de todo o sistema:

(2.12)

Onde E - vetor de massa e raio -aquele ponto material, -o número total desses pontos,
–massa total do sistema.

Se os vetores de raio forem desenhados a partir do centro de massa , Que
.

Por isso, o centro de massa é um ponto geométrico , para o qual a soma dos produtos das massas de todos os pontos materiais que formam um sistema mecânico por seus vetores de raio traçados a partir deste ponto é igual a zero.

No caso de distribuição contínua de massa no sistema (no caso de um corpo estendido), o vetor raio do centro de massa do sistema é:

,

Onde R– vetor raio de um pequeno elemento do sistema, cuja massa é igual aDM, a integração é realizada em todos os elementos do sistema, ou seja, em toda a massa m.

Diferenciando a fórmula (2.12) em relação ao tempo, obtemos

expressão para velocidade do centro de massa:

Velocidade do centro de massa de um sistema mecânico é igual à razão entre o momento desse sistema e sua massa.

Então impulso do sistemaé igual ao produto de sua massa pela velocidade do centro de massa:

.

Substituindo esta expressão na equação básica da dinâmica do movimento translacional de um corpo rígido, temos:

(2.13)

- o centro de massa de um sistema mecânico se move como um ponto material, cuja massa é igual à massa de todo o sistema e sobre o qual atua uma força igual ao vetor principal de forças externas aplicadas ao sistema.

A Equação (2.13) mostra que para alterar a velocidade do centro de massa do sistema é necessário que uma força externa atue sobre o sistema. As forças internas de interação entre partes do sistema podem causar mudanças nas velocidades dessas partes, mas não podem afetar o momento total do sistema e a velocidade do seu centro de massa.

Se o sistema mecânico estiver fechado, então
e a velocidade do centro de massa não muda com o tempo.

Por isso, centro de massa de um sistema fechado em repouso ou movendo-se a uma velocidade constante em relação a um referencial inercial. Isto significa que um sistema de referência pode ser associado ao centro de massa, e este sistema será inercial.

Quando várias forças atuam simultaneamente sobre um corpo, o corpo se move com aceleração, que é a soma vetorial das acelerações que surgiriam sob a ação de cada força separadamente. As forças que atuam em um corpo e aplicadas a um ponto são somadas de acordo com a regra de adição vetorial.

A soma vetorial de todas as forças que atuam simultaneamente em um corpo é chamada de força resultante e é determinada pela regra de adição vetorial de forças: $\overrightarrow(R)=(\overrightarrow(F))_1+(\overrightarrow(F)) _2+(\overrightarrow(F)) _3+\dots +(\overrightarrow(F))_n=\sum^n_(i=1)((\overrightarrow(F))_i)$.

A força resultante tem o mesmo efeito sobre um corpo que a soma de todas as forças aplicadas a ele.

Para adicionar duas forças, utiliza-se a regra do paralelogramo (Fig. 1):

Figura 1. Adição de duas forças de acordo com a regra do paralelogramo

Neste caso, encontramos o módulo da soma de duas forças usando o teorema do cosseno:

\[\left|\overrightarrow(R)\right|=\sqrt((\left|(\overrightarrow(F))_1\right|)^2+(\left|(\overrightarrow(F))_2\right |)^2+2(\left|(\overrightarrow(F))_1\right|)^2(\left|(\overrightarrow(F))_2\right|)^2(cos \alpha \ ))\ ]

Se você precisar adicionar mais de duas forças aplicadas em um ponto, use a regra do polígono: ~ a partir do final da primeira força desenhe um vetor igual e paralelo à segunda força; do final da segunda força - um vetor igual e paralelo à terceira força e assim por diante.

Figura 2. Adição de forças de acordo com a regra do polígono

O vetor de fechamento traçado do ponto de aplicação das forças até o final da última força é igual em magnitude e direção à resultante. Na Fig. 2, esta regra é ilustrada pelo exemplo de encontrar a resultante de quatro forças $(\overrightarrow(F))_1,\ (\overrightarrow(F))_2,(\overrightarrow(F))_3,(\overrightarrow (F) )_4$. Observe que os vetores adicionados não pertencem necessariamente ao mesmo plano.

O resultado de uma força que atua sobre um ponto material depende apenas de seu módulo e direção. Um corpo sólido possui certas dimensões. Portanto, forças de igual magnitude e direção causam diferentes movimentos de um corpo rígido dependendo do ponto de aplicação. A linha reta que passa pelo vetor força é chamada de linha de ação da força.

Figura 3. Soma de forças aplicadas em diferentes pontos do corpo

Se as forças são aplicadas em diferentes pontos do corpo e não atuam paralelamente entre si, então a resultante é aplicada no ponto de intersecção das linhas de ação das forças (Fig. 3).

Um ponto está em equilíbrio se a soma vetorial de todas as forças que atuam sobre ele for igual a zero: $\sum^n_(i=1)((\overrightarrow(F))_i)=\overrightarrow(0)$. Neste caso, a soma das projeções dessas forças em qualquer eixo de coordenadas também é zero.

A substituição de uma força por duas, aplicadas no mesmo ponto e produzindo no corpo o mesmo efeito que essa força, é chamada de decomposição de forças. A decomposição das forças é realizada, assim como a sua adição, de acordo com a regra do paralelogramo.

O problema de decompor uma força (cujo módulo e direção são conhecidos) em duas, aplicadas em um ponto e agindo em ângulo entre si, tem uma solução única nos seguintes casos, se conhecidos:

1. direções de ambos os componentes das forças;
2. módulo e direção de uma das forças componentes;
3. módulos de ambos os componentes de forças.

Suponhamos, por exemplo, que queiramos decompor a força $F$ em duas componentes situadas no mesmo plano com F e direcionadas ao longo das retas a e b (Fig. 4). Para isso, basta traçar duas retas paralelas a a e b a partir do final do vetor que representa F. Os segmentos $F_A$ e $F_B$ representarão as forças necessárias.

Figura 4. Decomposição do vetor força por direções

Outra versão deste problema é encontrar uma das projeções do vetor força dados os vetores força e a segunda projeção. (Fig. 5a).

Figura 5. Encontrando a projeção do vetor de força usando determinados vetores

O problema se resume em construir um paralelogramo ao longo da diagonal e de um dos lados, conhecido da planimetria. 5b, tal paralelogramo é construído e a componente necessária $(\overrightarrow(F))_2$ da força $(\overrightarrow(F))$ é indicada.

A segunda solução é adicionar à força uma força igual a - $(\overrightarrow(F))_1$ (Fig. 5c).Como resultado, obtemos a força desejada $(\overrightarrow(F))_2$.

Três forças~$(\overrightarrow(F))_1=1\ N;;\ (\overrightarrow(F))_2=2\ N;;\ (\overrightarrow(F))_3=3\ N$ aplicadas a uma ponto, fique no mesmo plano (Fig. 6 a) e faça ângulos ~ com a horizontal $\alpha =0()^\circ ;;\beta =60()^\circ ;;\gamma =30()^ \ circ $respectivamente. Encontre a resultante dessas forças.

Vamos desenhar dois eixos mutuamente perpendiculares OX e OY de modo que o eixo OX coincida com a horizontal ao longo da qual a força $(\overrightarrow(F))_1$ é direcionada. Vamos projetar essas forças nos eixos coordenados (Fig. 6 b). As projeções $F_(2y)$ e $F_(2x)$ são negativas. A soma das projeções das forças no eixo OX é igual à projeção neste eixo da resultante: $F_1+F_2(cos \beta \ )-F_3(cos \gamma \ )=F_x=\frac(4-3 \sqrt(3))(2)\ aproximadamente -0,6\ H$. Da mesma forma, para projeções no eixo OY: $-F_2(sin \beta \ )+F_3(sin \gamma =F_y=\ )\frac(3-2\sqrt(3))(2)\approx -0.2\ H $. O módulo da resultante é determinado pelo teorema de Pitágoras: $F=\sqrt(F^2_x+F^2_y)=\sqrt(0,36+0,04)\approx 0,64\ Н$. A direção da resultante é determinada usando o ângulo entre a resultante e o eixo (Fig. 6 c): $tg\varphi =\frac(F_y)(F_x)=\ \frac(3-2\sqrt(3)) (4-3\quadrado (3))\aproximadamente 0,4$

A força $F = 1kH$ é aplicada no ponto B do suporte e é direcionada verticalmente para baixo (Fig. 7a). Encontre as componentes desta força nas direções das hastes do suporte. Os dados necessários são mostrados na figura.

F = 1kN = 1000N

$(\mathbf \beta )$ = $30^(\circ)$

$(\overrightarrow(F))_1,\ (\overrightarrow(F))_2$ - ?

Deixe as hastes serem fixadas à parede nos pontos A e C. A decomposição da força $(\overrightarrow(F))$ em componentes ao longo das direções AB e BC é mostrada na Fig. Isso mostra que $\left|(\overrightarrow(F))_1\right|=Ftg\beta \approx 577\ H;\ \ $

\[\left|(\overrightarrow(F))_2\right|=F(cos \beta \ )\aprox 1155\ H. \]

Resposta: $\left|(\overrightarrow(F))_1\right|$=577 N; $\esquerda|(\overrightarrow(F))_2\direita|=1155\ Н$