Função primitiva e integral indefinida

Fato 1. A integração é a ação inversa da diferenciação, ou seja, a restauração de uma função a partir da derivada conhecida dessa função. A função assim restaurada F(x) é chamado antiderivada para função f(x).

Definição 1. Função F(x f(x) em algum intervalo X, se para todos os valores x deste intervalo a igualdade é válida F "(x)=f(x), ou seja, esta função f(x) é a derivada da função antiderivada F(x). .

Por exemplo, a função F(x) = pecado x é uma antiderivada da função f(x) = porque x em toda a reta numérica, pois para qualquer valor de x (pecado x)" = (porque x) .

Definição 2. Integral indefinida de uma função f(x) é o conjunto de todas as suas antiderivadas. Neste caso, a notação é usada

∫

f(x)dx

,

onde está o sinal ∫ chamado de sinal integral, a função f(x) – função integrando, e f(x)dx – expressão do integrando.

Assim, se F(x) – alguma antiderivada para f(x) , Que

∫

f(x)dx = F(x) +C

Onde C - constante arbitrária (constante).

Para compreender o significado do conjunto de primitivas de uma função como integral indefinida, a seguinte analogia é apropriada. Que haja uma porta (porta tradicional de madeira). Sua função é “ser uma porta”. Do que é feita a porta? Feito de madeira. Isso significa que o conjunto de antiderivadas do integrando da função “ser uma porta”, ou seja, sua integral indefinida, é a função “ser uma árvore + C”, onde C é uma constante, que neste contexto pode denotam, por exemplo, o tipo de árvore. Assim como uma porta é feita de madeira com algumas ferramentas, uma derivada de uma função é “feita” a partir de uma função antiderivada usando fórmulas que aprendemos enquanto estudava a derivada .

Então a tabela de funções de objetos comuns e suas antiderivadas correspondentes (“ser uma porta” - “ser uma árvore”, “ser uma colher” - “ser metal”, etc.) é semelhante à tabela de funções básicas integrais indefinidas, que serão fornecidas a seguir. A tabela de integrais indefinidas lista funções comuns, indicando as antiderivadas das quais essas funções são “feitas”. Em parte dos problemas de localização da integral indefinida, são dados integrandos que podem ser integrados diretamente sem muito esforço, ou seja, utilizando a tabela de integrais indefinidas. Em problemas mais complexos, o integrando deve primeiro ser transformado para que as integrais de tabela possam ser utilizadas.

Fato 2. Ao restaurar uma função como antiderivada, devemos levar em consideração uma constante arbitrária (constante) C, e para não escrever uma lista de antiderivadas com várias constantes de 1 ao infinito, você precisa escrever um conjunto de antiderivadas com uma constante arbitrária C, por exemplo, assim: 5 x³+C. Assim, uma constante arbitrária (constante) está incluída na expressão da antiderivada, uma vez que a antiderivada pode ser uma função, por exemplo, 5 x³+4 ou 5 x³+3 e quando diferenciado, 4 ou 3, ou qualquer outra constante vai para zero.

Vamos colocar o problema de integração: para esta função f(x) encontre essa função F(x), cuja derivada igual a f(x).

Exemplo 1. Encontre o conjunto de primitivas de uma função

Solução. Para esta função, a antiderivada é a função

Função F(x) é chamada de antiderivada para a função f(x), se a derivada F(x) é igual a f(x), ou, o que dá no mesmo, diferencial F(x) é igual f(x) dx, ou seja

(2)

Portanto, a função é uma antiderivada da função. No entanto, não é a única antiderivada para. Eles também servem como funções

Onde COM– constante arbitrária. Isso pode ser verificado por diferenciação.

Assim, se existe uma antiderivada para uma função, então para ela existe um número infinito de antiderivadas que diferem por um termo constante. Todas as antiderivadas para uma função são escritas na forma acima. Isso segue do seguinte teorema.

Teorema (declaração formal do fato 2). Se F(x) – antiderivada para a função f(x) em algum intervalo X, então qualquer outra antiderivada para f(x) no mesmo intervalo pode ser representado na forma F(x) + C, Onde COM– constante arbitrária.

No próximo exemplo, voltamo-nos para a tabela de integrais, que será dada no parágrafo 3, após as propriedades da integral indefinida. Fazemos isso antes de ler a tabela inteira para que a essência do que foi dito acima fique clara. E depois da tabela e das propriedades, iremos utilizá-las na íntegra durante a integração.

Exemplo 2. Encontre conjuntos de funções antiderivadas:

Solução. Encontramos conjuntos de funções antiderivadas a partir das quais essas funções são “feitas”. Ao mencionar fórmulas da tabela de integrais, por enquanto basta aceitar que tais fórmulas existem ali, e estudaremos um pouco mais a própria tabela de integrais indefinidas.

1) Aplicando a fórmula (7) da tabela de integrais para n= 3, obtemos

2) Usando a fórmula (10) da tabela de integrais para n= 1/3, temos

3) Desde

então de acordo com a fórmula (7) com n= -1/4 encontramos

Não é a função em si que está escrita sob o sinal de integral. f, e seu produto pelo diferencial dx. Isto é feito principalmente para indicar por qual variável a antiderivada é procurada. Por exemplo,

, ;

aqui em ambos os casos o integrando é igual a , mas suas integrais indefinidas nos casos considerados acabam sendo diferentes. No primeiro caso, esta função é considerada como uma função da variável x, e no segundo - em função de z .

O processo de encontrar a integral indefinida de uma função é chamado de integração dessa função.

Significado geométrico da integral indefinida

Suponha que precisamos encontrar uma curva y=F(x) e já sabemos que a tangente do ângulo tangente em cada um dos seus pontos é uma determinada função f(x) abscissa deste ponto.

De acordo com o significado geométrico da derivada, a tangente do ângulo de inclinação da tangente em um determinado ponto da curva y=F(x) igual ao valor da derivada F"(x). Então precisamos encontrar tal função F(x), para qual F"(x)=f(x). Função necessária na tarefa F(x)é uma antiderivada de f(x). As condições do problema são satisfeitas não por uma curva, mas por uma família de curvas. y=F(x)- uma dessas curvas, e qualquer outra curva pode ser obtida a partir dela por translação paralela ao longo do eixo Oi.

Vamos chamar o gráfico da função antiderivada de f(x) curva integral. Se F"(x)=f(x), então o gráfico da função y=F(x) existe uma curva integral.

Fato 3. A integral indefinida é representada geometricamente pela família de todas as curvas integrais , como na imagem abaixo. A distância de cada curva da origem das coordenadas é determinada por uma constante de integração arbitrária C.

Propriedades da integral indefinida

Fato 4. Teorema 1. A derivada de uma integral indefinida é igual ao integrando, e seu diferencial é igual ao integrando.

Fato 5. Teorema 2. Integral indefinida da diferencial de uma função f(x) é igual à função f(x) até um termo constante , ou seja

(3)

Os teoremas 1 e 2 mostram que diferenciação e integração são operações mutuamente inversas.

Fato 6. Teorema 3. O fator constante no integrando pode ser retirado do sinal da integral indefinida , ou seja

Lição 2. Cálculo integral

A integral indefinida e seu significado geométrico. Propriedades básicas da integral indefinida.

Métodos básicos de integração da integral indefinida.

Integral definida e seu significado geométrico.

Fórmula de Newton-Leibniz. Métodos de cálculo da integral definida.

Conhecendo a derivada ou diferencial de uma função, você pode encontrar a própria função (restaurar a função). Esta ação, o inverso da diferenciação, é chamada de integração.

Função antiderivada em relação a uma determinada função, a seguinte função é chamada
, cuja derivada é igual à função dada, ou seja,

Para esta função Há um número infinito de funções antiderivadas, porque qualquer uma das funções
, também é uma antiderivada de.

O conjunto de todas as antiderivadas para uma determinada função é chamado de integral indefinidaé indicado pelo símbolo:

, Onde

chamado de integrando, a função
- função integrando.

Significado geométrico da integral indefinida. Geometricamente, uma integral indefinida é uma família de curvas integrais em um plano obtidas pela transferência paralela do gráfico de uma função
ao longo do eixo das ordenadas (Fig. 3).

Propriedades básicas da integral indefinida

Propriedade 1. A derivada da integral indefinida é igual ao integrando:

Propriedade 2. O diferencial de uma integral indefinida é igual ao integrando:

Propriedade 3. A integral da diferencial de uma função é igual a esta função mais const:

Propriedade 4. Linearidade da integral.

Tabela de integrais básicas

	Integrante
poder
indicativo
trigonométrico
reverter trigonométrico

Métodos básicos de integração

Método de integração por partesé um método que envolve o uso da fórmula:

.

Este método é usado se a integral
é mais fácil de resolver do que
. Via de regra, este método resolve integrais da forma
, Onde
é um polinômio e é uma das seguintes funções:
,
,
, , ,
,
.

Vamos considerar alguma função
, definido no intervalo
, arroz. 4. Vamos realizar 5 operações.

1. Vamos dividir o intervalo com pontos de forma arbitrária em peças. Vamos denotar
, e o maior dos comprimentos dessas seções parciais será denotado por , chamaremos isso de classificação esmagadora.

2. Em cada parcela parcial
vamos pegar um ponto arbitrário e calcule o valor da função nele
.

3. Vamos compor uma obra

4. Vamos fazer uma soma
. Essa soma é chamada de soma integral ou soma de Riemann.

5. Reduzindo a britagem (aumentando o número de pontos de britagem) e ao mesmo tempo direcionando a classificação de britagem para zero (
) ou seja (aumentando o número de pontos de esmagamento, garantimos que o comprimento de todas as seções parciais diminui e tende a zero
), encontraremos o limite da sequência de somas integrais

Se este limite existe e não depende do método de divisão e escolha dos pontos, então é denominado integral definida de uma função ao longo de um intervalo e é denotado da seguinte forma:
.

Significado geométrico de uma integral definida. Suponhamos que a função seja contínua e positiva no intervalo. Considere um trapézio curvo ABCD(Fig. 4). Soma cumulativa
nos dá a soma das áreas dos retângulos com bases
e alturas
. Pode ser tomado como um valor aproximado da área de um trapézio curvo ABCD , ou seja

,

Além disso, esta igualdade será tanto mais precisa quanto mais fina for a britagem, e no limite em n→+∞ E λ → 0 nós conseguiremos:

.

Este é o significado geométrico da integral definida.

Propriedades básicas da integral definida

Propriedade 1. Uma integral definida com limites iguais é igual a zero.

Propriedade 2. Quando os limites de integração são trocados, a integral definida muda de sinal para a oposta.

Propriedade 3. Linearidade da integral.

Propriedade 4. Quaisquer que sejam os números, se a função
integrável em cada intervalo
,
,
(Fig. 5), então:

Teorema. Se uma função é contínua no intervalo, então a integral definida desta função no intervalo é igual à diferença nos valores de qualquer antiderivada desta função nos limites superior e inferior de integração, ou seja,

(fórmula de Newton-Leibniz) .

Esta fórmula reduz a localização de integrais definidas à localização de integrais indefinidas. Diferença
é chamado de incremento da antiderivada e é denotado
.

Consideremos as principais formas de calcular uma integral definida: mudança de variáveis ​​​​(substituição) e integração por partes.

Substituição (mudança de variável) em uma integral definida - você precisa fazer o seguinte:

E
;

Comente. Ao avaliar integrais definidas usando substituição, não há necessidade de retornar ao argumento original.

2. Integração por partes numa integral definida se resume a usar a fórmula:

.

Exemplos de resolução de problemas

Exercício 1. Encontre a integral indefinida por integração direta.

1.
. Usando a propriedade da integral indefinida, consideramos um fator constante além do sinal da integral. Então, realizando transformações matemáticas elementares, reduzimos a função integrando à forma de potência:

.

Tarefa 2. Encontre a integral indefinida usando o método de mudança de variável.

1.
. Vamos fazer uma mudança de variável
, Então . A integral original terá a forma:

Assim, obtivemos uma integral indefinida em forma tabular: uma função potência. Usando a regra para encontrar a integral indefinida de uma função potência, encontramos:

Feita a substituição inversa, obtemos a resposta final:

Tarefa 3. Encontre a integral indefinida usando o método de integração por partes.

1.
. Vamos introduzir a seguinte notação: significado ... básico conceito integrante cálculo- conceito incerto integrante ... incerto integrante Básico propriedades incerto integrante Usar tabela principal incerto ...

Programa de trabalho da disciplina acadêmica Ciclo “Matemática Superior”

Programa de trabalho

... básico leis... Integrante cálculo funções de uma variável Antiderivada. Incerto integrante E dele propriedades ... integrante E dele geométrico significado. Integrante... coordenadas. Incerto integrante e... e prático Aulas". Petrushko I. M., ...

Uma função que pode ser restaurada a partir de sua derivada ou diferencial é chamada antiderivada.

Definição. Função F(x) chamado antiderivada para função

f(x) em algum intervalo, se em cada ponto deste intervalo

F"(x) = f(x)

ou, o que também é,

dF(x) = f(x)dx

Por exemplo, F(x) = pecado xé uma antiderivada para f(x) = cos x em toda a reta numérica ÓX, porque

(sen x)" = cos x

Se a função F(x) existe uma antiderivada para a função f(x) sobre [ a; b], então a função F(x) +C, Onde C qualquer número real também é antiderivada para f(x) a qualquer valor C. Realmente ( F(x) + C)" = F"(x) + C" = f(x).

Exemplo.

Definição. Se F(x) uma das antiderivadas para a função f(x) sobre [ a; b], então a expressão F(x) + C, Onde C uma constante arbitrária chamada integral indefinida da função f(x) e é denotado pelo símbolo ʃ f(x)dx(leia-se: integral indefinida de f(x) sobre dx). Então,

ʃ f (x ) dx = F (x ) +C ,

Onde f(x) chamada de função integrando, f(x)dx- expressão do integrando, xé a variável de integração, e o símbolo ʃ é o sinal da integral indefinida.

Propriedades da integral indefinida e suas propriedades geométricas.

Da definição da integral indefinida segue-se que:

1. A derivada da integral indefinida é igual ao integrando:

Realmente, F"(x) = f(x) e ʃ f(x)dx = F(x)+C. Então

2. O diferencial da integral indefinida é igual ao integrando

Realmente,

3. A integral indefinida da derivada é igual à própria função mais uma constante arbitrária:

Realmente, F"(x) = f(x). Então,

4. A integral indefinida do diferencial é igual à função diferenciável mais uma constante arbitrária:

Realmente, . Então,

5. Multiplicador constante k(k≠ 0) pode ser retirado como sinal da integral indefinida:

6. A integral indefinida da soma algébrica de um número finito de uma função é igual à soma algébrica das integrais dessas funções:

Vamos chamar o gráfico de antiderivada F(x) da curva integral. Gráfico de qualquer outra antiderivada F(x) + C obtido por transferência paralela da curva integral F(x) ao longo do eixo OI.

Exemplo.

Tabela de integrais básicas

Técnicas básicas de integração

1. Integração direta (tabular).

A integração direta (tabular) é a redução da integral à forma tabular usando as propriedades e fórmulas básicas da matemática elementar.

Exemplo 1.

Solução:

Exemplo2 .

Solução:

Exemplo3 .

Solução:

2. Método de redução do diferencial.

Exemplo 1.

Solução:

Exemplo2 .

Solução:

Exemplo3 .

Solução:

Exemplo4 .

Solução:

Exemplo5 .

Solução:

Exemplo6 .

Solução:

Exemplo7 .

Solução:

Exemplo8 .

Solução:

Exemplo9 .

Solução:

Exemplo10 .

Solução:

3. O segundo método de conexão ao diferencial.

Exemplo 1.

Solução:

Exemplo2 .

Solução:

4. Método de substituição (substituição) de variáveis.

Exemplo.

Solução:

5. Método de integração por partes.

Usando esta fórmula, os seguintes tipos de integrais são obtidos:

1 tipo

, fórmula se aplica n- uma vez, o resto dv.

2 tipo.

, A fórmula é aplicada uma vez.

Exemplo1 .

Solução:

Exemplo 2.

Solução:

Exemplo3 .

Solução:

Exemplo4 .

Solução:

INTEGRAÇÃO DE FRAÇÕES RACIONAIS.

Uma fração racional é a razão entre dois polinômios - graus eu e - graus n,

Os seguintes casos são possíveis:

1. Se , use o método de divisão de ângulo para eliminar a peça inteira.

2. Se o denominador também tiver um trinômio quadrado, então é usado o método de adição a um quadrado perfeito.

Exemplo 1.

Solução:

Exemplo2 .

Solução:

3. O método dos coeficientes indefinidos ao decompor uma fração racional própria em uma soma de frações simples.

Qualquer fração racional adequada, onde, pode ser representada como uma soma de frações simples:

Onde A, B, C, D, E, F, M, N,…‒ coeficientes incertos.

Para encontrar os coeficientes indeterminados, o lado direito deve ser reduzido a um denominador comum. Como o denominador coincide com o denominador da fração do lado direito, eles podem ser descartados e os numeradores igualados. Então, igualando os coeficientes nos mesmos graus x nos lados esquerdo e direito, obtemos um sistema de equações lineares com n- desconhecido. Tendo resolvido este sistema, encontramos os coeficientes necessários A, B, C, D e assim por diante. E, portanto, decomporemos uma fração racional adequada em frações mais simples.

Vejamos as opções possíveis usando exemplos:

1. Se os fatores denominadores forem lineares e diferentes:

2. Se entre os fatores denominadores houver fatores curtos:

3. Se entre os fatores do denominador houver um trinômio quadrado que não possa ser fatorado:

Exemplos: Decomponha uma fração racional na soma das mais simples. Integrar.

Exemplo 1.

Como os denominadores das frações são iguais, os numeradores também devem ser iguais, ou seja,

Exemplo 2.

Exemplo3 .

O conceito de integral indefinida. diferenciação é a ação pela qual, dada uma determinada função, se encontra sua derivada ou diferencial. Por exemplo, se F(x) = x 10, então F" (x) = 10x 9, dF (x) = 10x 9 dx.

Integração - Isto é o oposto da diferenciação. Usando a integração sobre uma determinada derivada ou diferencial de uma função, a própria função é encontrada. Por exemplo, se F" (x) = 7x 6, então F (x) == x 7, já que (x 7)" = 7x 6.

Função diferenciável F(x), xЄ]a; b[é chamado antiderivada para a função f (x) no intervalo ]а; b[, se F" (x) = f (x) para cada xЄ]a; b[.

Assim, para a função f(x) = 1/cos 3 x a antiderivada é a função F(x)= tan x, já que (tg x)"= 1/cos 2 x.

O conjunto de todas as funções antiderivadas f(x) no intervalo ]а; b[é chamado integral indefinida da função f(x) neste intervalo e escreva f (x)dx = F(x) + C. Aqui f(x)dx é o integrando;

F(x)-função integral; variável x de integração: C é uma constante arbitrária.

Por exemplo, 5x 4 dx = x 5 + C, já que (x 3 + C)" = 5x 4.

Vamos dar propriedades básicas da integral indefinida. 1. O diferencial da integral indefinida é igual ao integrando:

Df(x)dx=f(x)dx.

2. A integral indefinida do diferencial de uma função é igual a esta função adicionada a uma constante arbitrária, ou seja,

3. O fator constante pode ser retirado do sinal da integral indefinida:

af(x)dx = af(x)dx

4. A integral indefinida da soma algébrica das funções é igual à soma algébrica das integrais indefinidas de cada função:

(f 1 (x) ±f 2 (x))dx = f 1 (x)dx ± f 2 (x)dx.

Fórmulas básicas de integração

(integrais tabulares).

6.

Exemplo 1. Encontrar

Solução. Vamos fazer a substituição 2 - 3x 2 = t então -6xdx =dt, xdx = -(1/6)dt. A seguir, obtemos

Exemplo 3. Encontrar

Solução. Vamos colocar 10x = t; então 10dx = dt, de onde dx=(1/10)dt.

3.

Portanto, ao encontrar sinl0xdx, você pode usar a fórmula sinkxdx = - (1/k) cos kx+C, onde k=10.

Então sinl0xdx = -(1/10) сos10х+С.

Perguntas e exercícios de autoteste

1. Que ação se chama integração?

2. Qual função é chamada de antiderivada da função f(x)?

3. Defina uma integral indefinida.

4. Liste as principais propriedades da integral indefinida.

5. Como você pode verificar a integração?

6. Escreva as fórmulas básicas de integração (integrais tabulares).

7. Encontre as integrais: a) b) c)

onde a é o limite inferior, b é o limite superior, F (x) é alguma antiderivada da função f (x).

A partir desta fórmula pode-se ver o procedimento de cálculo de uma determinada integral: 1) encontrar uma das antiderivadas F (x) de uma determinada função; 2) encontre o valor de F (x) para x = a e x = b; 3) calcule a diferença F (b) - F (a).

Exemplo 1. Calcular integral

Solução. Vamos usar a definição de uma potência com expoente fracionário e negativo e calcular a integral definida:

2. O segmento de integração pode ser dividido em partes:

3. O fator constante pode ser retirado do sinal integral:

4. A integral da soma das funções é igual à soma das integrais de todos os termos:

2) Determinemos os limites de integração para a variável t. Para x=1 obtemos tn =1 3 +2=3, para x=2 obtemos tb =2 3 +2=10.

Exemplo 3. Calcular integral

Solução. 1) coloque cos x=t; então – sinxdx =dt e

sinxdx = -dt. 2) Determinemos os limites de integração da variável t: t n =cos0=1:t in =cos (π/2)=0.

3) Expressando o integrando em termos de t e dt e passando para novos limites, obtemos

Vamos calcular cada integral separadamente:

Exemplo 5. Calcule a área da figura delimitada pela parábola y = x 2, retas x = - 1, x = 2 e eixo das abcissas (Fig. 47).

Solução. Aplicando a fórmula (1), obtemos

aqueles. S = 3 m² unidades

A área da figura ABCD (Fig. 48), limitada pelos gráficos de funções contínuas y = f 1 (x) e y f 2 = (x), onde x Є[a, b], segmentos de linha x = a e x = b, é calculado pela fórmula

		O volume de um corpo formado pela rotação em torno do eixo Oy de um trapézio curvilíneo aAB, limitado por uma curva contínua x=f(y), onde y Є [a, b], segmento [a, b] do eixo Oy, segmentos de linha y = a e y = b ( Fig. 53), calculado pela fórmula Caminho percorrido por um ponto. Se um ponto se move retilínea e sua velocidade v=f(t) é uma função conhecida do tempo t, então o caminho percorrido pelo ponto em um período de tempo é calculado pela fórmula Perguntas de autoteste 1. Dê a definição de integral definida. 2. Liste as principais propriedades da integral definida. 3. Qual é o significado geométrico de uma integral definida? 4. Escreva fórmulas para determinar a área de uma figura plana usando uma integral definida. 5. Quais fórmulas são usadas para encontrar o volume de um corpo em rotação? 6. Escreva uma fórmula para calcular a distância percorrida pelo corpo. 7. Escreva uma fórmula para calcular o trabalho realizado por uma força variável. 8. Qual fórmula é usada para calcular a força da pressão do líquido sobre uma placa?

Cálculo integral.

Função antiderivada.

Definição: A função F(x) é chamada função antiderivada função f(x) no segmento se a igualdade for verdadeira em qualquer ponto deste segmento:

Deve-se notar que pode haver infinitas primitivas para a mesma função. Eles diferirão um do outro por algum número constante.

F 1 (x) = F 2 (x) + C.

Integral indefinida.

Definição: Integral indefinida função f(x) é um conjunto de funções antiderivadas que são definidas pela relação:

Escreva:

A condição para a existência de uma integral indefinida em um determinado segmento é a continuidade da função neste segmento.

Propriedades:

1.

2.

3.

4.

Exemplo:

Encontrar o valor da integral indefinida está associado principalmente a encontrar a antiderivada da função. Para algumas funções esta é uma tarefa bastante difícil. A seguir consideraremos métodos para encontrar integrais indefinidas para as principais classes de funções - racionais, irracionais, trigonométricas, exponenciais, etc.

Por conveniência, os valores das integrais indefinidas da maioria das funções elementares são coletados em tabelas especiais de integrais, que às vezes são bastante volumosas. Eles incluem várias combinações de funções comumente usadas. Mas a maioria das fórmulas apresentadas nestas tabelas são consequências umas das outras, por isso apresentamos a seguir uma tabela de integrais básicas, com a qual você pode obter os valores de integrais indefinidas de várias funções.

Integrante		Significado	Integrante		Significado
		lnsinx+ C
		Em

Métodos de integração.

Vamos considerar três métodos principais de integração.

Integração direta.

O método de integração direta baseia-se na suposição do valor possível da função antiderivada com posterior verificação deste valor por diferenciação. Em geral, notamos que a diferenciação é uma ferramenta poderosa para verificar os resultados da integração.

Vejamos a aplicação deste método usando um exemplo:

Precisamos encontrar o valor da integral . Com base na conhecida fórmula de diferenciação
podemos concluir que a integral procurada é igual a
, onde C é algum número constante. Porém, por outro lado
. Assim, podemos finalmente concluir:

Observe que, ao contrário da diferenciação, onde foram utilizadas técnicas e métodos claros para encontrar a derivada, regras para encontrar a derivada e, finalmente, a definição da derivada, tais métodos não estão disponíveis para integração. Se, ao encontrar a derivada, utilizamos, por assim dizer, métodos construtivos, que, com base em certas regras, levaram ao resultado, então, ao encontrar a antiderivada, temos que confiar principalmente no conhecimento de tabelas de derivadas e antiderivadas.

Quanto ao método de integração direta, ele é aplicável apenas a algumas classes de funções muito limitadas. Existem muito poucas funções para as quais você pode encontrar imediatamente uma antiderivada. Portanto, na maioria dos casos, são utilizados os métodos descritos abaixo.

Método de substituição (substituindo variáveis).

Teorema: Se você precisar encontrar a integral
, mas é difícil encontrar a antiderivada, então usando a substituição x = (t) e dx = (t)dt obtemos:

Prova : Vamos diferenciar a igualdade proposta:

De acordo com a propriedade nº 2 da integral indefinida discutida acima:

f(x) dx = f[  (t)]  (t) dt

o que, tendo em conta a notação introduzida, é o pressuposto inicial. O teorema está provado.

Exemplo. Encontre a integral indefinida
.

Vamos fazer uma substituição t = sinx, dt = cosxdt.

Exemplo.

Substituição
Nós temos:

A seguir consideraremos outros exemplos de uso do método de substituição para vários tipos de funções.

Integração por partes.

O método é baseado na conhecida fórmula para a derivada de um produto:

(uv) = uv + vu

onde uev são algumas funções de x.

Na forma diferencial: d(uv) = udv + vdu

Integrando, obtemos:
, e de acordo com as propriedades acima da integral indefinida:

ou
;

Obtivemos uma fórmula de integração por partes, que nos permite encontrar as integrais de muitas funções elementares.

Exemplo.

Como você pode ver, a aplicação consistente da fórmula de integração por partes permite simplificar gradualmente a função e transformar a integral em tabular.

Exemplo.

Pode-se observar que como resultado da aplicação repetida da integração por partes, a função não pôde ser simplificada para a forma tabular. Porém, a última integral obtida não difere da original. Portanto, movemo-lo para o lado esquerdo da igualdade.

Assim, a integral foi encontrada sem o uso de tabelas de integrais.

Antes de considerar detalhadamente os métodos de integração de várias classes de funções, daremos mais alguns exemplos de como encontrar integrais indefinidas, reduzindo-as a integrais tabulares.

Exemplo.

Exemplo.

Exemplo.

Exemplo.

Exemplo.

Exemplo.

Exemplo.

Exemplo.

Exemplo.

Exemplo.

Integração de frações elementares.

Definição: Elementar Os seguintes quatro tipos de frações são chamados:

EU.
III.

II.
4.

m, n – números naturais (m  2, n  2) e b 2 – 4ac<0.

Os primeiros dois tipos de integrais de frações elementares podem ser simplesmente trazidos para a tabela pela substituição t = ax + b.

Consideremos o método de integração de frações elementares do tipo III.

A integral fracionária do tipo III pode ser representada como:

Aqui, de forma geral, é mostrada a redução de uma integral fracionária do tipo III a duas integrais tabulares.

Vejamos a aplicação da fórmula acima usando exemplos.

Exemplo.

De modo geral, se o trinômio ax 2 + bx + c tem a expressão b 2 – 4ac >0, então a fração, por definição, não é elementar, porém pode, no entanto, ser integrada da maneira indicada acima.

Exemplo.

Exemplo.

Consideremos agora métodos para integrar frações simples do tipo IV.

Primeiro, vamos considerar um caso especial com M = 0, N = 1.

Então a integral da forma
pode ser representado na forma selecionando o quadrado completo no denominador
. Vamos fazer a seguinte transformação:

Tomaremos a segunda integral incluída nesta igualdade por partes.

Vamos denotar:

Para a integral original obtemos:

A fórmula resultante é chamada recorrente. Se você aplicar n-1 vezes, obterá uma integral de tabela
.

Voltemos agora à integral de uma fração elementar do tipo IV no caso geral.

Na igualdade resultante, a primeira integral usando a substituição t = você 2 + é reduzido a tabular , e a fórmula de recorrência discutida acima é aplicada à segunda integral.

Apesar da aparente complexidade de integração de uma fração elementar do tipo IV, na prática é bastante fácil de usar para frações com grau pequeno n, e a universalidade e generalidade da abordagem tornam possível uma implementação muito simples deste método num computador.

Exemplo:

Integração de funções racionais.

Integrando frações racionais.

Para integrar uma fração racional é necessário decompô-la em frações elementares.

Teorema: Se
- uma fração racional própria, cujo denominador P(x) é representado como um produto de fatores lineares e quadráticos (observe que qualquer polinômio com coeficientes reais pode ser representado desta forma: P(x) = (x - a)  …(x - b)  (x 2 + pixels + q)  …(x 2 + RX + é)  ), então esta fração pode ser decomposta em frações elementares de acordo com o seguinte esquema:

onde A i, B i, M i, N i, R i, S i são algumas quantidades constantes.

Ao integrar frações racionais, recorrem à decomposição da fração original em frações elementares. Para encontrar as quantidades A i, B i, M i, N i, R i, S i, os chamados método de coeficientes incertos, cuja essência é que para que dois polinômios sejam identicamente iguais, é necessário e suficiente que os coeficientes nas mesmas potências de x sejam iguais.

Considere o uso deste método usando um exemplo específico.

Exemplo.

Reduzindo a um denominador comum e igualando os numeradores correspondentes, obtemos:

Exemplo.

Porque Se a fração for imprópria, você deve primeiro selecionar sua parte inteira:

6x 5 – 8x 4 – 25x 3 + 20x 2 – 76x – 7 3x 3 – 4x 2 – 17x + 6

6x 5 – 8x 4 – 34x 3 + 12x 2 2x 2 + 3

9x 3 + 8x 2 – 76x - 7

9x 3 – 12x 2 – 51x +18

20x 2 – 25x – 25

Vamos fatorar o denominador da fração resultante. Pode-se ver que em x = 3 o denominador da fração chega a zero. Então:

3x 3 – 4x 2 – 17x + 6x - 3

3x 3 – 9x 2 3x 2 + 5x - 2

Então 3x 3 – 4x 2 – 17x + 6 = (x – 3)(3x 2 + 5x – 2) = (x – 3)(x + 2)(3x – 1). Então:

Para evitar abrir colchetes, agrupar e resolver um sistema de equações (que em alguns casos pode ser bastante grande) ao encontrar coeficientes incertos, os chamados método de valor arbitrário. A essência do método é que vários valores arbitrários de x (de acordo com o número de coeficientes indeterminados) são substituídos na expressão acima. Para simplificar os cálculos, costuma-se tomar como valores arbitrários os pontos em que o denominador da fração é igual a zero, ou seja, no nosso caso – 3, -2, 1/3. Nós temos:

Finalmente obtemos:

=

Exemplo.

Vamos encontrar os coeficientes indeterminados:

Então o valor da integral dada:

Integração de alguma trigonometria

funções.

Pode haver um número infinito de integrais de funções trigonométricas. A maioria dessas integrais não pode ser calculada analiticamente, por isso consideraremos alguns dos tipos mais importantes de funções que sempre podem ser integradas.

Integral da forma
.

Aqui R é a designação de alguma função racional das variáveis ​​sinx e cosx.

Integrais deste tipo são calculadas usando substituição
. Esta substituição permite converter uma função trigonométrica em uma função racional.

,

Então

Por isso:

A transformação descrita acima é chamada substituição trigonométrica universal.

Exemplo.

A vantagem indiscutível desta substituição é que com sua ajuda você sempre pode transformar uma função trigonométrica em uma função racional e calcular a integral correspondente. As desvantagens incluem o fato de que a transformação pode resultar em uma função racional bastante complexa, cuja integração exigirá muito tempo e esforço.

Porém, se for impossível aplicar uma substituição mais racional da variável, este método é o único eficaz.

Exemplo.

Integral da forma
Se

funçãoRcosx.

Apesar da possibilidade de calcular tal integral usando a substituição trigonométrica universal, é mais racional usar a substituição t = sinx.

Função
pode conter cosx apenas em potências pares e, portanto, pode ser convertido em uma função racional em relação a senx.

Exemplo.

De modo geral, para aplicar este método, é necessária apenas a estranheza da função em relação ao cosseno, e o grau do seno incluído na função pode ser qualquer, tanto inteiro quanto fracionário.

Integral da forma
Se

funçãoRé estranho em relação asinx.

Por analogia com o caso considerado acima, a substituição é feita t = cosx.

Exemplo.

Integral da forma

funçãoRmesmo relativamentesinxEcosx.

Para transformar a função R em racional, use a substituição

t = tgx.

Exemplo.

Integral do produto de senos e cossenos

vários argumentos.

Dependendo do tipo de trabalho, será aplicada uma das três fórmulas:

Exemplo.

Exemplo.

Às vezes, ao integrar funções trigonométricas, é conveniente usar fórmulas trigonométricas bem conhecidas para reduzir a ordem das funções.

Exemplo.

Exemplo.

Às vezes, algumas técnicas não padronizadas são usadas.

Exemplo.

Integração de algumas funções irracionais.

Nem toda função irracional pode ter uma integral expressa por funções elementares. Para encontrar a integral de uma função irracional, deve-se usar uma substituição que lhe permitirá transformar a função em uma função racional, cuja integral sempre pode ser encontrada, como sempre se sabe.

Vejamos algumas técnicas para integrar vários tipos de funções irracionais.

Integral da forma
Onden- número natural.

Usando substituição
a função é racionalizada.

Exemplo.

Se a função irracional inclui raízes de vários graus, então, como nova variável, é racional obter a raiz de um grau igual ao mínimo múltiplo comum dos graus das raízes incluídas na expressão.

Vamos ilustrar isso com um exemplo.

Exemplo.

Integração de diferenciais binomiais.