1 . A soma das diagonais de um quadrilátero convexo é maior que a soma dos seus dois lados opostos.

2 . Se os segmentos que conectam os pontos médios dos lados opostos quadrilátero

a) são iguais, então as diagonais do quadrilátero são perpendiculares;

b) são perpendiculares, então as diagonais do quadrilátero são iguais.

3 . As bissetrizes dos ângulos na lateral do trapézio se cruzam em sua linha média.

4 . Os lados do paralelogramo são iguais e . Então o quadrilátero formado pelas intersecções das bissetoras dos ângulos do paralelogramo é um retângulo cujas diagonais são iguais a .

5 . Se a soma dos ângulos em uma das bases do trapézio for 90°, então o segmento que conecta os pontos médios das bases do trapézio é igual à sua meia diferença.

6 . Dos lados AB E DE ANÚNCIOS paralelogramo ABCD pontos obtidos M E N tão direto EM E NC divida o paralelogramo em três partes iguais. Encontrar MN, Se BD=d.

7 . Um segmento de reta paralelo às bases de um trapézio, encerrado dentro do trapézio, é dividido por suas diagonais em três partes. Então os segmentos adjacentes aos lados são iguais entre si.

8 . Através do ponto de intersecção das diagonais do trapézio com as bases, traça-se uma linha reta paralela às bases. O segmento desta linha encerrado entre as laterais do trapézio é igual a .

9 . Um trapézio é dividido por uma reta paralela às suas bases, igual e , em dois trapézios iguais. Então o segmento desta reta delimitado entre os lados é igual a .

10 . Se uma das seguintes condições for verdadeira, então os quatro pontos A, B, C E D deitar no mesmo círculo.

A) CAD=CBD= 90°.

b) pontos A E EM deitar de um lado de uma linha reta CD e ângulo cafajeste igual ao ângulo CDB.

c) direto AC E BD cruzar em um ponto SOBRE E O A OS = OV OD.

11 . Linha reta conectando um ponto R interseção das diagonais de um quadrilátero ABCD com ponto P interseções de linha AB E CD, divide o lado DE ANÚNCIOS ao meio. Aí ela divide ao meio e de lado Sol.

12 . Cada lado de um quadrilátero convexo é dividido em três partes iguais. Os pontos de divisão correspondentes em lados opostos são conectados por segmentos. Então esses segmentos se dividem em três partes iguais.

13 . Duas linhas retas dividem cada um dos dois lados opostos de um quadrilátero convexo em três partes iguais. Então, entre essas linhas está um terço da área do quadrilátero.

14 . Se um círculo pode ser inscrito em um quadrilátero, então o segmento que conecta os pontos nos quais o círculo inscrito toca os lados opostos do quadrilátero passa pelo ponto de intersecção das diagonais.

15 . Se as somas dos lados opostos de um quadrilátero forem iguais, então um círculo pode ser inscrito nesse quadrilátero.

16. Propriedades de um quadrilátero inscrito com diagonais mutuamente perpendiculares. Quadrilátero ABCD inscrito em um círculo de raio R. Suas diagonais AC E BD mutuamente perpendiculares e se cruzam em um ponto R. Então

a) mediana de um triângulo ARV perpendicular ao lado CD;

b) linha quebrada COA divide um quadrilátero ABCD em duas figuras de tamanhos iguais;

V) AB 2 + CD 2=4R 2 ;

G) AR 2 +BP 2 +CP 2 +DP 2 = 4R 2 e AB 2 +BC 2 +CD 2 +AD 2 =8R 2;

e) a distância do centro do círculo ao lado do quadrilátero é a metade do lado oposto.

f) se as perpendiculares caíram para o lado DE ANÚNCIOS dos topos EM E COM, cruzar as diagonais AC E BD em pontos E E F, Que BCFE- losango;

g) um quadrilátero cujos vértices são projeções de um ponto R nos lados do quadrilátero ABCD,- inscrito e descrito;

h) um quadrilátero formado por tangentes à circunferência circunscrita ao quadrilátero ABCD, desenhado em seus vértices, pode ser inscrito em um círculo.

17 . Se a, b, c, d- lados sucessivos de um quadrilátero, Sé sua área, então, e a igualdade vale apenas para um quadrilátero inscrito cujas diagonais são mutuamente perpendiculares.

18 . Fórmula de Brahmagupta. Se os lados de um quadrilátero cíclico são iguais a, b, c E d, então sua área S pode ser calculado usando a fórmula,

Onde - semiperímetro de um quadrilátero.

19 . Se um quadrilátero com lados A, b, c, d pode ser inscrito e um círculo pode ser descrito em torno dele, então sua área é igual a .

20 . O ponto P está localizado dentro do quadrado ABCD, e o ângulo PAB igual ao ângulo RVA e é igual 15°. Então o triângulo DPC- equilátero.

21 . Se para um quadrilátero cíclico ABCD a igualdade é satisfeita CD=AD+BC, então as bissetrizes de seus ângulos A E EM cruzar ao lado CD.

22 . Continuações de lados opostos AB E CD quadrilátero cíclico ABCD cruzar em um ponto M, e as partes DE ANÚNCIOS E Sol- no ponto N. Então

a) bissetrizes do ângulo AMD E D.N.C. mutuamente perpendiculares;

b) direto QM E QN cruze os lados do quadrilátero nos vértices do losango;

c) ponto de intersecção P dessas bissetoras está no segmento que conecta os pontos médios das diagonais do quadrilátero ABCD.

23 . Teorema de Ptolomeu. A soma dos produtos de dois pares de lados opostos de um quadrilátero cíclico é igual ao produto de suas diagonais.

24 . Teorema de Newton. Em qualquer quadrilátero circunscrito, os pontos médios das diagonais e o centro do círculo inscrito estão localizados na mesma linha reta.

25 . Teorema de Monge. As linhas traçadas através dos pontos médios dos lados de um quadrilátero inscrito perpendicularmente aos lados opostos se cruzam em um ponto.

27 . Quatro círculos construídos nas laterais de um quadrilátero convexo como diâmetros cobrem todo o quadrilátero.

29 . Dois ângulos opostos de um quadrilátero convexo são obtusos. Então a diagonal que conecta os vértices desses ângulos é menor que a outra diagonal.

30. Os centros dos quadrados construídos nas laterais de um paralelogramo fora dele formam eles próprios um quadrado.

Um quadrilátero está inscrito em uma circunferência se todos os seus vértices estiverem na circunferência. Tal círculo está circunscrito a um quadrilátero.

Assim como nem todo quadrilátero pode ser descrito em torno de um círculo, nem todo quadrilátero pode ser inscrito em um círculo.

Um quadrilátero convexo inscrito em um círculo tem a propriedade de que seus ângulos opostos somam 180°. Portanto, se for dado um quadrilátero ABCD, no qual o ângulo A é oposto ao ângulo C, e o ângulo B é oposto ao ângulo D, então ∠A + ∠C = 180° e ∠B + ∠D = 180°.

Em geral, se um par de ângulos opostos de um quadrilátero soma 180°, então o outro par terá a mesma soma. Isto decorre do fato de que em um quadrilátero convexo a soma dos ângulos é sempre igual a 360°. Por sua vez, este fato decorre do fato de que para polígonos convexos a soma dos ângulos é determinada pela fórmula 180° * (n – 2), onde n é o número de ângulos (ou lados).

Você pode provar a propriedade do quadrilátero cíclico da seguinte maneira. Seja um quadrilátero ABCD inscrito no círculo O. Precisamos provar que ∠B + ∠D = 180°.

O ângulo B está inscrito numa circunferência. Como você sabe, esse ângulo é igual à metade do arco sobre o qual ele repousa. Neste caso, o ângulo B é suportado pelo arco ADC, o que significa ∠B = ½◡ADC. (Como o arco é igual ao ângulo entre os raios que o formam, podemos escrever que ∠B = ½∠AOC, cuja região interna contém o ponto D.)

Por outro lado, o ângulo D do quadrilátero repousa sobre o arco ABC, ou seja, ∠D = ½◡ABC.

Como os lados dos ângulos B e D cruzam o círculo nos mesmos pontos (A e C), eles dividem o círculo em apenas dois arcos - ◡ADC e ◡ABC. Como um círculo completo soma 360°, então ◡ADC + ◡ABC = 360°.

Assim, foram obtidas as seguintes igualdades:

∠B = ½◡ADC
∠D = ½◡ABC
◡ADC + ◡ABC = 360°

Vamos expressar a soma dos ângulos:

∠B + ∠D = ½◡ADC + ½◡ABC

Vamos colocar ½ entre colchetes:

∠B + ∠D = ½(◡ADC + ◡ABC)

Vamos substituir a soma dos arcos pelo seu valor numérico:

∠B + ∠D = ½ * 360° = 180°

Descobrimos que a soma dos ângulos opostos de um quadrilátero inscrito é 180°. Era isso que precisava ser comprovado.

O fato de um quadrilátero inscrito ter esta propriedade (a soma dos ângulos opostos é 180°) não significa que qualquer quadrilátero cuja soma dos ângulos opostos seja 180° possa ser inscrito em um círculo. Embora na realidade isso seja verdade. Este fato é chamado teste de quadrilátero inscrito e é formulado da seguinte forma: se a soma dos ângulos opostos de um quadrilátero convexo for 180°, então um círculo pode ser descrito em torno dele (ou inscrito em um círculo).

Você pode provar o teste para um quadrilátero inscrito por contradição. Seja dado um quadrilátero ABCD cujos ângulos opostos B e D somam 180°. Neste caso, o ângulo D não pertence ao círculo. Em seguida, tome um ponto E na reta que contém o segmento CD, de modo que ele fique na circunferência. O resultado é um quadrilátero cíclico ABCE. Este quadrilátero tem ângulos opostos B e E, o que significa que somam 180°. Isso decorre da propriedade de um quadrilátero inscrito.

Acontece que ∠B + ∠D = 180° e ∠B + ∠E = 180°. No entanto, o ângulo D do quadrilátero ABCD em relação ao triângulo AED é externo e, portanto, maior que o ângulo E deste triângulo. Assim, chegamos a uma contradição. Isso significa que se a soma dos ângulos opostos de um quadrilátero soma 180°, então ele sempre pode ser inscrito em um círculo.

Este artigo contém o conjunto mínimo de informações sobre o círculo necessário para passar com sucesso no Exame Estadual Unificado em matemática.

Circunferência é um conjunto de pontos localizados à mesma distância de um determinado ponto, que é chamado de centro do círculo.

Para qualquer ponto do círculo, a igualdade é satisfeita (o comprimento do segmento é igual ao raio do círculo.

Um segmento de reta que conecta dois pontos de uma circunferência é chamado acorde.

Uma corda que passa pelo centro de uma circunferência é chamada diâmetro círculo() .

Circunferência:

Área de um círculo:

Arco de um círculo:

A parte de um círculo delimitada entre dois pontos é chamada arco círculos. Dois pontos em um círculo definem dois arcos. O acorde subtende dois arcos: e . Acordes iguais subtendem arcos iguais.

O ângulo entre dois raios é chamado ângulo central :

Para encontrar o comprimento do arco, fazemos uma proporção:

a) o ângulo é dado em graus:

b) o ângulo é dado em radianos:

Diâmetro perpendicular à corda , divide este acorde e os arcos que ele subentende pela metade:

Se acordes E círculos se cruzam em um ponto , então os produtos dos segmentos de corda nos quais eles são divididos por um ponto são iguais entre si:

Tangente a um círculo.

Uma linha reta que tem um ponto comum com um círculo é chamada tangente para o círculo. Uma linha reta que tem dois pontos em comum com um círculo é chamada secante

Uma tangente a um círculo é perpendicular ao raio traçado até o ponto de tangência.

Se duas tangentes são traçadas de um determinado ponto a um círculo, então segmentos tangentes são iguais entre si e o centro do círculo está na bissetriz do ângulo com o vértice neste ponto:

Se uma tangente e uma secante forem traçadas de um determinado ponto a um círculo, então o quadrado do comprimento de um segmento tangente é igual ao produto de todo o segmento secante e sua parte externa :

Consequência: o produto de todo o segmento de uma secante e sua parte externa é igual ao produto de todo o segmento de outra secante e sua parte externa:

Ângulos em um círculo.

A medida em grau do ângulo central é igual à medida em grau do arco sobre o qual ele repousa:

Um ângulo cujo vértice está em um círculo e cujos lados contêm cordas é chamado ângulo inscrito . Um ângulo inscrito é medido pela metade do arco sobre o qual ele repousa:

∠∠

O ângulo inscrito subtendido pelo diâmetro é reto:

∠∠∠

Ângulos inscritos subtendidos por um arco são iguais :

Os ângulos inscritos que subtendem uma corda são iguais ou sua soma é igual

∠∠

Os vértices de triângulos com uma determinada base e ângulos de vértices iguais estão no mesmo círculo:

Ângulo entre dois acordes (um ângulo com um vértice dentro de um círculo) é igual à metade da soma dos valores angulares dos arcos de um círculo contidos dentro de um determinado ângulo e dentro de um ângulo vertical.

∠ ∠∠(⌣ ⌣ )

Ângulo entre duas secantes (um ângulo com um vértice fora do círculo) é igual à meia diferença dos valores angulares dos arcos do círculo contidos dentro do ângulo.

∠ ∠∠(⌣ ⌣ )

Círculo inscrito.

O círculo é chamado inscrito em um polígono , se tocar nas laterais. Centro do círculo inscrito encontra-se no ponto de intersecção das bissetoras dos ângulos do polígono.

Nem todo polígono cabe em um círculo.

Área de um polígono no qual um círculo está inscrito pode ser encontrado usando a fórmula

aqui está o semiperímetro do polígono e é o raio do círculo inscrito.

Daqui raio do círculo inscrito é igual a

Se um círculo está inscrito em um quadrilátero convexo, então as somas dos comprimentos dos lados opostos são iguais . E vice-versa: se em um quadrilátero convexo as somas dos comprimentos dos lados opostos são iguais, então um círculo pode ser inscrito no quadrilátero:

Você pode inscrever um círculo em qualquer triângulo, e apenas em um. O centro do círculo interno está no ponto de intersecção das bissetoras dos ângulos internos do triângulo.

Raio do círculo inscrito igual a . Aqui

Círculo circunscrito.

O círculo é chamado descrito sobre um polígono , se passar por todos os vértices do polígono. O centro da circunferência circunscrita encontra-se no ponto de intersecção das bissetoras perpendiculares dos lados do polígono. O raio é calculado como o raio do círculo circunscrito pelo triângulo definido por quaisquer três vértices do polígono dado:

Um círculo pode ser descrito em torno de um quadrilátero se e somente se a soma de seus ângulos opostos for igual a .

Em torno de qualquer triângulo você pode descrever um círculo, e apenas um. Seu centro está no ponto de intersecção das bissetrizes perpendiculares dos lados do triângulo:

Circunradius calculado usando as fórmulas:

Onde estão os comprimentos dos lados do triângulo e é sua área.

Teorema de Ptolomeu

Num quadrilátero cíclico, o produto das diagonais é igual à soma dos produtos dos seus lados opostos:

Material da Wikipedia – a enciclopédia gratuita

• Na geometria euclidiana, quadrilátero inscritoé um quadrilátero cujos vértices estão todos no mesmo círculo. Este círculo é chamado círculo circunscrito quadrilátero, e diz-se que os vértices estão no mesmo círculo. O centro deste círculo e seu raio são chamados respectivamente Centro E raio círculo circunscrito. Outros termos para este quadrilátero: um quadrilátero está em um círculo, os lados do último quadrilátero são cordas do círculo. Um quadrilátero convexo é geralmente considerado um quadrilátero convexo. As fórmulas e propriedades fornecidas abaixo são válidas no caso convexo.
• Eles dizem que se um círculo pode ser desenhado em torno de um quadrilátero, Que o quadrilátero está inscrito nesta circunferência, e vice versa.

Critérios gerais para a inscrição de um quadrilátero

• Em torno de um quadrilátero convexo $\backslash pi$ radianos), isto é:

$\backslash ângulo\; A+\backslash ângulo\; C\; =\; \backslash ângulo\; B\; +\; \backslash ângulo\; D\; =\; 180^\backslash circ$

ou na notação de figura:

$\backslash alfa\; +\; \backslash gamma\; =\; \backslash beta\; +\; \backslash delta\; =\; \backslash pi\; =\; 180^(\backslash circ).$

• É possível descrever um círculo em torno de qualquer quadrilátero no qual as quatro mediatrizes de seus lados se cruzam em um ponto (ou as mediatrizes de seus lados, isto é, as perpendiculares aos lados que passam por seus pontos médios).
• Você pode descrever um círculo em torno de qualquer quadrilátero que tenha um ângulo externo adjacente a dado ângulo interno, é exatamente igual ao outro ângulo interno oposto dado canto interno. Em essência, esta condição é a condição de antiparalelismo de dois lados opostos do quadrilátero. Na Fig. Abaixo estão os cantos externos e internos adjacentes de um pentágono verde.

$\backslash displaystyle\; AX\backslash cdot\; XC\; =\; BX\backslash cdot\; XD.$

• Interseção X pode ser interno ou externo ao círculo. No primeiro caso, obtemos que o quadrilátero cíclico é ABCD, e no último caso obtemos um quadrilátero inscrito ABDC. Ao cruzar dentro de um círculo, a igualdade afirma que o produto dos comprimentos dos segmentos em que o ponto X divide uma diagonal, é igual ao produto dos comprimentos dos segmentos em que o ponto X divide outra diagonal. Esta condição é conhecida como "teorema dos acordes de interseção". No nosso caso, as diagonais do quadrilátero inscrito são as cordas do círculo.
• Outro critério de inclusão. Quadrilátero convexo ABCD um círculo é inscrito se e somente se

$\backslash tan(\backslash frac(\backslash alpha)(2))\backslash tan(\backslash frac(\backslash gamma)(2))=\backslash tan(\backslash frac(\backslash beta)(2))\backslash tan(\backslash frac(\backslash delta)(\; 2))=1.$

Critérios particulares para a inscrição de um quadrilátero

Um quadrilátero inscrito simples (sem autointerseção) é convexo. Um círculo pode ser descrito em torno de um quadrilátero convexo se e somente se a soma de seus ângulos opostos for igual a 180° ( $\backslash pi$ radiano). Você pode descrever um círculo ao redor:

• qualquer antiparalelogramo
• qualquer retângulo (um caso especial é um quadrado)
• qualquer trapézio isósceles
• qualquer quadrilátero que tenha dois ângulos retos opostos.

Propriedades

Fórmulas com diagonais

$ef=ac+bd$; $\backslash frac(e)(f)\; =\; \backslash frac(a\backslash cdot\; d+b\backslash cdot\; c)(a\backslash cdot\; b+c\backslash cdot\; d).$

Na última fórmula do par de lados adjacentes do numerador a E d, b E c apoie suas extremidades em um comprimento diagonal e. Uma afirmação semelhante vale para o denominador.

• Fórmulas para comprimentos diagonais(consequências ):

$e\; =\; \backslash sqrt(\backslash frac((ac+bd)(ad+bc))(ab+cd))$ E $f\; =\; \backslash sqrt(\backslash frac((ac+bd)(ab+cd))(ad+bc))$

Fórmulas com ângulos

Para um quadrilátero cíclico com uma sequência de lados a , b , c , d, com semiperímetro p e ângulo A entre as partes a E d, funções de ângulo trigonométrico A são dados por fórmulas

$\backslash cos\; A\; =\; \backslash frac(a^2\; +\; d^2\; -\; b^2\; -\; c^2)(2(ad\; +\; bc)),$ $\backslash sin\; A\; =\; \backslash frac(2\backslash sqrt((p-a)(p-b)(p-c)(p-d)))((ad+bc)),$ $\backslash tan\; \backslash frac(A)(2)\; =\; \backslash sqrt(\backslash frac((p-a)(p-d))((p-b)(p-c))).$

Canto θ entre as diagonais há:p.26

$\backslash tan\; \backslash frac(\backslash theta)(2)\; =\; \backslash sqrt(\backslash frac((p-b)(p-d))((p-a)(p-c))).$

• Se lados opostos a E c cruzam em um ângulo φ , então é igual

$\backslash cos(\backslash frac(\backslash varphi)(2))=\backslash sqrt(\backslash frac((p-b)(p-d)(b+d)^2)((ab+cd)(ad+bc))),$

Onde p existe um semi-perímetro. :p.31

Raio de um círculo circunscrito a um quadrilátero

Fórmula Parameshvara

Se um quadrilátero com lados consecutivos a , b , c , d e semi-perímetro p inscrito em um círculo, então seu raio é igual a Fórmula de Parameshwar:p. 84

$R=\; \backslash frac(1)(4)\; \backslash sqrt(\backslash frac((ab+cd)(ad+bc)(ac+bd))((p-a)(p-b)(p-c)(p-d))).$

Foi derivado pelo matemático indiano Parameshwar no século 15 (c. 1380–1460)

• Quadrilátero convexo (ver figura à direita) formado por quatro dados As linhas retas de Mikel, está inscrito em um círculo se e somente se o ponto Mikel M de um quadrilátero está em uma linha que conecta dois dos seis pontos de intersecção das linhas (aqueles que não são os vértices do quadrilátero). Ou seja, quando M mente E.F..

Um critério de que um quadrilátero composto por dois triângulos está inscrito em um certo círculo

$f^2\; =\; \backslash frac((ac+bd)(ad+bc))((ab+cd)).$

• A última condição fornece a expressão para a diagonal f um quadrilátero inscrito em um círculo através dos comprimentos de seus quatro lados ( a, b, c, d). Esta fórmula segue imediatamente ao multiplicar e ao igualar entre si as partes esquerda e direita das fórmulas que expressam a essência O primeiro e o segundo teoremas de Ptolomeu(Veja acima).

Um critério de que um quadrilátero cortado por uma linha reta de um triângulo está inscrito em um certo círculo

• Uma linha reta, antiparalela ao lado do triângulo e cruzando-o, corta dele um quadrilátero, em torno do qual um círculo sempre pode ser descrito.
• Consequência. Em torno de um antiparalelogramo, em que dois lados opostos são antiparalelos, é sempre possível descrever um círculo.

Área de um quadrilátero inscrito em um círculo

Variações da fórmula de Brahmagupta

$S=\backslash sqrt((p-a)(p-b)(p-c)(p-d)),$ onde p é o semiperímetro do quadrilátero. $S=\; \backslash frac(1)(4)\; \backslash sqrt(-\; \backslash begin(vmatrix)$

a & b & c & -d \\ b & a & -d & c \\ c & -d & a & b \\ -d & c & b & a \end(vmatrix))

Outras fórmulas de área

$S\; =\; \backslash tfrac(1)(2)(ab+cd)\backslash sin(B)$ $S\; =\; \backslash tfrac(1)(2)(ac+bd)\backslash sin(\backslash teta),$

Onde θ qualquer um dos ângulos entre as diagonais. Desde que o ângulo A não é uma linha reta, a área também pode ser expressa como :p.26

$S\; =\; \backslash tfrac(1)(4)(a^2-b^2-c^2+d^2)\backslash tan(A).$ $\backslash \; displaystyle\; S\; =\; 2R\; ^\; 2\; \backslash \; pecado\; (A)\; \backslash \; pecado\; (B)\; \backslash \; pecado\; (\backslash \; theta),$

Onde Ré o raio do círculo circunscrito. Como consequência direta temos a desigualdade

$S\backslash le\; 2R^2,$

onde a igualdade é possível se e somente se este quadrilátero for um quadrado.

Quadrângulos de Brahmagupta

Quadrilátero de Brahmaguptaé um quadrilátero inscrito em um círculo com lados inteiros, diagonais inteiras e área inteira. Todos os quadriláteros de Brahmagupta possíveis com lados a , b , c , d, com diagonais e , f, com área S, e o raio do círculo circunscrito R pode ser obtido removendo os denominadores das seguintes expressões envolvendo parâmetros racionais t , você, E v :

$uma\; =$ $b=(1+u^2)(vt)(1+tv)$ $c\; =\; t\; (1\; +\; você\; ^\; 2)\; (1\; +\; v\; ^\; 2)$ $d=(1+v^2)(u-t)(1+tu)$ $e\; =\; você\; (1\; +\; t\; ^\; 2)\; (1\; +\; v\; ^\; 2)$ $f\; =\; v\; (1\; +\; t\; ^\; 2)\; (1\; +\; você\; ^\; 2)$ $S=uv$ $4R=(1+u^2)(1+v^2)(1+t^2).$

Exemplos

• Quadriláteros particulares inscritos em um círculo são: retângulo, quadrado, isósceles ou trapézio isósceles, antiparalelogramo.

Quadriláteros inscritos em um círculo com diagonais perpendiculares (quadriláteros ortodiagonais inscritos)

Propriedades de quadriláteros inscritos em um círculo com diagonais perpendiculares

Circunradius e área

Para um quadrilátero inscrito em um círculo com diagonais perpendiculares, suponha que a intersecção das diagonais divide uma diagonal em segmentos de comprimento p 1 e p 2, e divide a outra diagonal em segmentos de comprimento q 1 e q 2. Então (A primeira igualdade é a Proposição 11 de Arquimedes" Livro dos Lemas)

$D\; ^\; 2\; =\; p\_1\; ^\; 2\; +\; p\_2\; ^\; 2\; +\; q\_1\; ^\; 2\; +\; q\_2\; ^\; 2\; =\; a\; ^\; 2\; +\; c\; ^\; 2\; =\; b\; ^\; 2\; +\; d\; ^\; 2,$

Onde D- diâmetro do círculo. Isso é verdade porque as diagonais são perpendiculares à corda do círculo. Destas equações segue-se que o raio do círculo circunscrito R pode ser escrito como

$R=\backslash tfrac(1)(2)\backslash sqrt(p\_1^2+p\_2^2+q\_1^2+q\_2^2)$

ou em termos dos lados de um quadrilátero na forma

$R=\backslash tfrac(1)(2)\backslash sqrt(a^2+c^2)=\backslash tfrac(1)(2)\backslash sqrt(b^2+d^2).$

Segue-se também que

$a^2+b^2+c^2+d^2=8R^2.$

• Para quadriláteros ordiagonais inscritos, o teorema de Brahmagupta é válido:

Se um quadrilátero cíclico tem diagonais perpendiculares que se cruzam em um ponto $M$, então dois pares dele antimediatris passar por um ponto $M$.

Comente. Neste teorema abaixo antimediatriz entenda o segmento $F.E.$ quadrilátero na figura à direita (por analogia com a bissetriz perpendicular (mediatriz) ao lado do triângulo). É perpendicular a um lado e ao mesmo tempo passa pelo meio do lado oposto do quadrilátero.

Escreva uma resenha sobre o artigo "Quadriláteros inscritos em um círculo"

Notas

1. Bradley, Christopher J. (2007), A Álgebra da Geometria: Coordenadas Cartesianas, Areais e Projetivas, Alta percepção, p. 179, ISBN 1906338000, OCLC
2. . Quadriláteros inscritos.
3. Siddons, AW & Hughes, RT (1929) Trigonometria, Cambridge University Press, pág. 202, O.C.L.C.
4. Durell, CV e Robson, A. (2003), , Correio Dover, ISBN 978-0-486-43229-8 ,
5. Alsina, Claudi & Nelsen, Roger B. (2007), "", Fórum Geométrico T. 7: 147–9 ,
6. Johnson, Rogério A., Geometria Euclidiana Avançada, Dover Publ., 2007 (orig. 1929).
7. Hoehn, Larry (março de 2000), "Circunradius de um quadrilátero cíclico", Gazeta Matemática T. 84 (499): 69–70
8. .
9. Altshiller-Court, Nathan (2007), Geometria universitária: uma introdução à geometria moderna do triângulo e do círculo(2ª ed.), Courier Dover, pp. 131, 137–8, ISBN 978-0-486-45805-2, OCLC
10. Honsberger, Ross (1995), , Episódios da geometria euclidiana dos séculos XIX e XX, vol. 37, Nova Biblioteca Matemática, Cambridge University Press, pp. 35–39, ISBN 978-0-88385-639-0
11. Weistein, Eric W.(Inglês) no site Wolfram MathWorld.
12. Bradley, Christopher (2011), ,
13. .
14. Coxeter, Harold Scott MacDonald & Greitzer, Samuel L. (1967),, Geometria revisitada, Associação Matemática da América, pp. 57, 60, ISBN 978-0-88385-619-2
15. .
16. Andreescu, Titu & Enescu, Bogdan (2004), , Tesouros das Olimpíadas de Matemática, Springer, pp. 44–46, 50, ISBN 978-0-8176-4305-8
17. .
18. Buchholz, RH & MacDougall, JA (1999), "", Boletim da Sociedade Matemática Australiana T. 59 (2): 263–9 , DOI 10.1017/S0004972700032883
19. .
20. Johnson, Rogério A., Geometria Euclidiana Avançada, Dover Publ. Companhia, 2007
21. , Com. 74.
22. .
23. .
24. .
25. Peter, Thomas (setembro de 2003), "Maximizando a área de um quadrilátero", O Jornal de Matemática da Faculdade T. 34 (4): 315–6
26. Prasolov, Viktor, ,
27. Alsina, Claudi & Nelsen, Roger (2009), , , Associação Matemática da América, p. 64, ISBN 978-0-88385-342-9 ,
28. Sastry, K.R.S. (2002). "" (PDF). Fórum Geométrico 2 : 167–173.
29. Posamentier, Alfred S. & Salkind, Charles T. (1970), , Problemas desafiadores em geometria(2ª ed.), Courier Dover, pp. 104–5, ISBN 978-0-486-69154-1
30. .
31. .
32. .

Veja também

Por número de lados Correto Triângulos Quadriláteros Veja também

O artigo contém referências curtas (“Harvard”) a publicações que não estão listadas ou descritas incorretamente na seção bibliográfica. Lista de links quebrados: , , , , , , , , , – Bem, o quê, meu cossaco? (Marya Dmitrievna chamou Natasha de cossaca) - disse ela, acariciando Natasha com a mão, que se aproximou de sua mão sem medo e com alegria. – Eu sei que a poção é uma menina, mas eu a amo. Ela tirou brincos de yakhon em formato de pêra de sua enorme bolsa e, entregando-os a Natasha radiante e corada, imediatamente se afastou dela e se virou para Pierre. - Ei, ei! tipo! “Venha aqui”, ela disse com uma voz fingidamente baixa e fina. - Vamos, meu querido... E ela arregaçou ameaçadoramente as mangas ainda mais alto. Pierre se aproximou, olhando ingenuamente para ela através dos óculos. - Venha, venha, meu querido! Fui o único que contou a verdade ao seu pai quando ele teve oportunidade, mas Deus ordena isso a você. Ela fez uma pausa. Todos ficaram em silêncio, esperando o que aconteceria e sentindo que havia apenas um prefácio. - Bom, nada a dizer! bom menino!... O pai está deitado na cama, e se diverte, colocando o policial em cima de um urso. É uma pena, pai, é uma pena! Seria melhor ir para a guerra. Ela se virou e ofereceu a mão ao conde, que mal conseguiu conter o riso. - Bem, venha para a mesa, tenho chá, está na hora? - disse Marya Dmitrievna. O conde seguiu em frente com Marya Dmitrievna; depois a condessa, liderada por um coronel hussardo, a pessoa certa com quem Nikolai deveria alcançar o regimento. Anna Mikhailovna - com Shinshin. Berg apertou a mão de Vera. A sorridente Julie Karagina foi com Nikolai até a mesa. Atrás deles vinham outros casais, espalhando-se por todo o salão, e atrás deles, um por um, estavam crianças, tutores e governantas. Os garçons começaram a se mexer, as cadeiras chacoalharam, a música começou a tocar no coral e os convidados ocuparam seus lugares. Os sons da música caseira do conde foram substituídos pelos sons de facas e garfos, pela conversa dos convidados e pelos passos silenciosos dos garçons. Numa das extremidades da mesa, a condessa estava sentada à cabeceira. À direita está Marya Dmitrievna, à esquerda está Anna Mikhailovna e outros convidados. Do outro lado estava o conde, à esquerda o coronel hussardos, à direita Shinshin e outros convidados do sexo masculino. De um lado da longa mesa estão jovens mais velhos: Vera ao lado de Berg, Pierre ao lado de Boris; por outro lado - crianças, tutores e governantas. Por trás dos cristais, garrafas e vasos de frutas, o conde olhou para a esposa e seu boné alto com fitas azuis e serviu diligentemente vinho para os vizinhos, sem se esquecer de si mesmo. A condessa também, por trás dos abacaxis, sem esquecer seus deveres de dona de casa, lançou olhares significativos para o marido, cuja calva e rosto, ao que parecia, diferiam mais nitidamente dos cabelos grisalhos em sua vermelhidão. Houve um murmúrio constante do lado das mulheres; no banheiro masculino ouviam-se vozes cada vez mais altas, principalmente do coronel hussardo, que comia e bebia tanto, corando cada vez mais, que o conde já o colocava como exemplo para os demais convidados. Berg, com um sorriso gentil, disse a Vera que o amor não é um sentimento terreno, mas sim celestial. Boris nomeou seu novo amigo Pierre como convidados da mesa e trocou olhares com Natasha, que estava sentada à sua frente. Pierre falava pouco, via rostos novos e comia muito. Partindo de duas sopas, das quais escolheu a la tortue, [tartaruga], e kulebyaki e à perdiz avelã, não lhe faltou um só prato e nem um só vinho, que o mordomo misteriosamente colocou numa garrafa embrulhada num guardanapo por trás do ombro do vizinho, dizendo ou “madeira seca”, ou “húngaro”, ou “vinho do Reno”. Colocou a primeira das quatro taças de cristal com o monograma do conde que ficavam diante de cada aparelho e bebeu com prazer, olhando para os convidados com uma expressão cada vez mais agradável. Natasha, sentada à sua frente, olhou para Boris como as meninas de treze anos olham para um menino por quem acabaram de se beijar pela primeira vez e por quem estão apaixonadas. Esse mesmo olhar dela às vezes se voltava para Pierre, e sob o olhar daquela garota engraçada e animada ele mesmo tinha vontade de rir, sem saber por quê. Nikolai sentou-se longe de Sonya, ao lado de Julie Karagina, e novamente com o mesmo sorriso involuntário falou com ela. Sonya sorriu grandiosamente, mas aparentemente foi atormentada pelo ciúme: ela empalideceu, depois corou e ouviu com todas as forças o que Nikolai e Julie diziam um ao outro. A governanta olhou em volta inquieta, como se estivesse se preparando para revidar caso alguém decidisse ofender as crianças. O tutor alemão tentou memorizar todos os tipos de pratos, sobremesas e vinhos para descrever tudo detalhadamente numa carta à sua família na Alemanha, e ficou muito ofendido pelo facto de o mordomo, com uma garrafa enrolada num guardanapo, carregar ele por perto. O alemão franziu a testa, tentou mostrar que não queria receber aquele vinho, mas ficou ofendido porque ninguém queria entender que ele precisava do vinho não para matar a sede, não por ganância, mas por curiosidade conscienciosa. Na ponta masculina da mesa a conversa tornou-se cada vez mais animada. O coronel disse que o manifesto de guerra já havia sido publicado em São Petersburgo e que a cópia que ele próprio vira havia sido entregue por correio ao comandante-em-chefe. - E por que é difícil lutar contra Bonaparte? - disse Shinshin. – II a deja rabattu le caquet a l "Autriche. Je crins, que cette fois ce ne soit notre tour. [Ele já derrubou a arrogância da Áustria. Receio que a nossa vez não chegue agora.] O coronel era um alemão atarracado, alto e otimista, obviamente um criado e um patriota. Ele ficou ofendido com as palavras de Shinshin. “E então, somos um bom soberano”, disse ele, pronunciando e em vez de e e ъ em vez de ü. “Então o imperador sabe disso. Ele disse em seu manifesto que pode olhar com indiferença para os perigos que ameaçam a Rússia e que a segurança do império, sua dignidade e a santidade das alianças”, disse ele, por algum motivo enfatizando especialmente a questão. palavra “sindicatos”, como se esta fosse toda a essência da questão. E com a sua característica memória infalível e oficial, repetiu as palavras iniciais do manifesto... “e o desejo, o único e indispensável objectivo do soberano: estabelecer a paz na Europa sobre bases sólidas - decidiram agora enviar parte do o exército no exterior e fazer novos esforços para alcançar esta intenção”. “É por isso que somos um bom soberano”, concluiu ele, bebendo edificantemente uma taça de vinho e olhando para o conde em busca de encorajamento. – Connaissez vous le proverbe: [Você conhece o provérbio:] “Erema, Erema, você deveria sentar em casa, afiar seus fusos”, disse Shinshin, estremecendo e sorrindo. – Cela nous convient a merveille. [Isso é útil para nós.] Por que Suvorov - eles o cortaram em pedaços, um prato de alta costura, [em sua cabeça], e onde estão nossos Suvorovs agora? Je vous demande un peu, [eu te pergunto] - disse ele, pulando constantemente do russo para o francês. “Devemos lutar até a última gota de sangue”, disse o coronel, batendo na mesa, “e morrer pelo nosso imperador, e então tudo ficará bem”. E discutir o máximo possível (ele prolongou especialmente a voz na palavra “possível”), o mínimo possível”, finalizou, voltando-se novamente para o conde. “É assim que julgamos os velhos hussardos, só isso.” Como você julga, jovem e jovem hussardo? - acrescentou, voltando-se para Nikolai, que, ao ouvir que se tratava de guerra, deixou o interlocutor e olhou com todos os olhos e ouviu com todos os ouvidos o coronel. “Concordo plenamente com você”, respondeu Nikolai, todo corado, girando o prato e reorganizando os copos com um olhar tão decidido e desesperado, como se no momento estivesse exposto a grande perigo, “estou convencido de que os russos devem morrer ou vencer”, disse ele, sentindo-se da mesma forma que os outros, depois de a palavra já ter sido dita, que era demasiado entusiasmado e pomposo para a presente ocasião e, portanto, estranho. “C"est bien beau ce que vous venez de dire, [Maravilhoso! O que você disse é maravilhoso]”, disse Julie, que estava sentada ao lado dele, suspirando. Sonya tremeu toda e corou até as orelhas, atrás das orelhas e no pescoço e nos ombros, enquanto Nikolai falava, Pierre ouvia os discursos do coronel e acenava com a cabeça em aprovação. “Isso é bom”, disse ele. “Um verdadeiro hussardo, meu jovem”, gritou o coronel, batendo novamente na mesa. -Por que você está fazendo barulho aí? – A voz baixa de Marya Dmitrievna foi ouvida de repente do outro lado da mesa. -Por que você está batendo na mesa? - ela se virou para o hussardo, - com quem você está animado? certo, você acha que os franceses estão na sua frente? “Estou dizendo a verdade”, disse o hussardo, sorrindo. “Tudo sobre a guerra”, gritou o conde do outro lado da mesa. - Afinal meu filho está vindo, Marya Dmitrievna, meu filho está vindo. - E tenho quatro filhos no exército, mas não me incomodo. Tudo é a vontade de Deus: você morrerá deitado no fogão, e na batalha Deus terá misericórdia”, a voz grossa de Marya Dmitrievna soou sem nenhum esforço do outro lado da mesa. - Isto é verdade. E a conversa se concentrou novamente - as mulheres na ponta da mesa, os homens na dele. “Mas você não vai perguntar”, disse o irmão mais novo para Natasha, “mas você não vai perguntar!” “Vou perguntar”, respondeu Natasha. Seu rosto corou de repente, expressando uma determinação desesperada e alegre. Ela se levantou, convidando Pierre, que estava sentado à sua frente, a ouvir, e voltou-se para a mãe: - Mãe! – sua voz infantil e rouca soou do outro lado da mesa. - O que você quer? – perguntou a condessa com medo, mas, vendo pelo rosto da filha que se tratava de uma brincadeira, acenou severamente com a mão, fazendo um gesto ameaçador e negativo com a cabeça. A conversa morreu. - Mãe! que tipo de bolo será? – A voz de Natasha soou ainda mais decidida, sem quebrar. A condessa quis franzir a testa, mas não conseguiu. Marya Dmitrievna balançou o dedo grosso. “Cossaco”, ela disse ameaçadoramente. A maioria dos convidados olhou para os mais velhos, sem saber como fazer esse truque. - Aqui estou! - disse a condessa. - Mãe! que tipo de bolo será? - Natasha gritou com ousadia e caprichosa alegria, confiante de antemão que sua pegadinha seria bem recebida. Sonya e o gordo Petya estavam se escondendo do riso. “Foi por isso que perguntei”, sussurrou Natasha para o irmão mais novo e para Pierre, para quem ela olhou novamente. “Sorvete, mas eles não vão dar para você”, disse Marya Dmitrievna. Natasha viu que não havia nada a temer e, portanto, não tinha medo de Marya Dmitrievna. - Maria Dmitrievna? que sorvete! Eu não gosto de creme. - Cenoura. - Não, qual? Marya Dmitrievna, qual? – ela quase gritou. - Eu quero saber! Marya Dmitrievna e a condessa riram e todos os convidados os seguiram. Todos riram não da resposta de Marya Dmitrievna, mas da incompreensível coragem e destreza dessa garota, que sabia e ousou tratar Marya Dmitrievna assim. Natasha só ficou para trás quando lhe disseram que haveria abacaxi. O champanhe foi servido antes do sorvete. A música recomeçou a tocar, o conde beijou a condessa e os convidados se levantaram e parabenizaram a condessa, tilintando de taças na mesa com o conde, as crianças e uns aos outros. Os garçons voltaram correndo, as cadeiras chacoalharam e, na mesma ordem, mas com os rostos mais vermelhos, os convidados voltaram para a sala e para o escritório do conde. As mesas de Boston foram afastadas, as festas foram organizadas e os convidados do conde instalaram-se em duas salas, uma sala de sofás e uma biblioteca. O conde, espalhando as cartas, mal resistia ao hábito de tirar uma soneca à tarde e ria de tudo. Os jovens, incitados pela condessa, reuniram-se em torno do clavicórdio e da harpa. Julie foi a primeira, a pedido de todos, a tocar uma peça com variações na harpa e, junto com outras meninas, começou a pedir a Natasha e Nikolai, conhecidos pela musicalidade, que cantassem alguma coisa. Natasha, que era chamada de menina crescida, aparentemente tinha muito orgulho disso, mas ao mesmo tempo era tímida. - O que vamos cantar? - ela perguntou. “A chave”, respondeu Nikolai. - Bem, vamos nos apressar. Boris, venha aqui”, disse Natasha. - Onde está Sônia? Ela olhou em volta e, vendo que a amiga não estava na sala, correu atrás dela. Correndo para o quarto de Sonya e não encontrando a amiga lá, Natasha correu para o berçário - e Sonya não estava lá. Natasha percebeu que Sonya estava no corredor no baú. O baú do corredor era o lugar das tristezas da geração feminina mais jovem da casa de Rostov. Na verdade, Sonya em seu vestido rosa arejado, amassando-o, deitou-se de bruços no colchão de penas listrado e sujo de sua babá, no peito e, cobrindo o rosto com os dedos, chorou amargamente, sacudindo os ombros nus. O rosto de Natasha, animado, com aniversário o dia todo, mudou repentinamente: seus olhos pararam, depois seu pescoço largo estremeceu, os cantos dos lábios caíram. - Sônia! o que é você?... O que, o que há de errado com você? Uau uau!… E Natasha, abrindo a boca grande e ficando completamente burra, começou a rugir como uma criança, sem saber o motivo e só porque Sonya estava chorando. Sonya teve vontade de levantar a cabeça, quis responder, mas não conseguiu e se escondeu ainda mais. Natasha chorou, sentando-se no colchão de penas azuis e abraçando a amiga. Reunidas as forças, Sonya se levantou, começou a enxugar as lágrimas e a contar a história. - Nikolenka vai embora daqui a uma semana, o... papel dele... saiu... ele mesmo me disse... Sim, eu ainda não choraria... (ela mostrou o pedaço de papel que segurava a mão dela: era poesia escrita por Nikolai) Eu ainda não choraria, mas você não chorou... ninguém consegue entender... que tipo de alma ele tem. E ela novamente começou a chorar porque a alma dele era tão boa. “Você se sente bem... eu não tenho inveja de você... eu amo você, e Boris também”, disse ela, reunindo um pouco de força, “ele é fofo... não há obstáculos para você”. E Nikolai é meu primo... eu preciso... do próprio metropolita... e isso é impossível. E então, se mamãe... (Sonya considerou a condessa e ligou para a mãe), ela vai dizer que estou arruinando a carreira de Nikolai, não tenho coração, que sou ingrata, mas sério... pelo amor de Deus... (fez o sinal da cruz) Eu também a amo muito, e vocês todos, só a Vera... Pra quê? O que eu fiz com ela? Estou tão grato a você que ficaria feliz em sacrificar tudo, mas não tenho nada... Sonya não conseguia mais falar e novamente escondeu a cabeça entre as mãos e o colchão de penas. Natasha começou a se acalmar, mas seu rosto mostrava que ela entendia a importância do luto da amiga. - Sônia! - ela disse de repente, como se tivesse adivinhado o verdadeiro motivo da dor do primo. – Isso mesmo, Vera conversou com você depois do jantar? Sim? – Sim, o próprio Nikolai escreveu esses poemas e eu copiei outros; Ela os encontrou na minha mesa e disse que iria mostrá-los para mamãe, e também disse que eu era ingrato, que mamãe nunca permitiria que ele se casasse comigo e que ele se casaria com Julie. Você vê como ele fica com ela o dia todo... Natasha! Para que?… E novamente ela chorou mais amargamente do que antes. Natasha levantou-a, abraçou-a e, sorrindo em meio às lágrimas, começou a acalmá-la. - Sonya, não acredite nela, querida, não acredite nela. Você se lembra de como nós três conversamos com Nikolenka no sofá da sala; lembra depois do jantar? Afinal, decidimos tudo como seria. Não me lembro como, mas você lembra como tudo era bom e tudo era possível. O irmão do tio Shinshin é casado com uma prima e nós somos primos de segundo grau. E Boris disse que isso é muito possível. Você sabe, eu contei tudo a ele. E ele é tão inteligente e tão bom”, disse Natasha... “Você, Sonya, não chore, minha querida, Sonya.” - E ela a beijou, rindo. - A fé é má, Deus a abençoe! Mas tudo ficará bem e ela não contará à mamãe; O próprio Nikolenka dirá isso e nem pensou em Julie. E ela a beijou na cabeça. Sonya se levantou e o gatinho se animou, seus olhos brilharam e ele parecia pronto para balançar o rabo, pular sobre suas patas macias e brincar novamente com a bola, como lhe convinha. - Você pensa? Certo? Por Deus? – disse ela, ajeitando rapidamente o vestido e o cabelo. - Realmente, por Deus! – respondeu Natasha, ajeitando uma mecha de cabelo áspero sob a trança da amiga. E os dois riram. - Bem, vamos cantar "The Key". - Vamos para. “Sabe, esse Pierre gordo que estava sentado à minha frente é tão engraçado!” – Natasha disse de repente, parando. - Estou me divertindo muito! E Natasha correu pelo corredor. Sonya, sacudindo a penugem e escondendo os poemas no peito, até o pescoço com os ossos do peito salientes, com passos leves e alegres, com o rosto vermelho, correu atrás de Natasha pelo corredor até o sofá. A pedido dos convidados, os jovens cantaram o quarteto “Key”, que todos gostaram muito; então Nikolai cantou novamente a música que havia aprendido. Numa noite agradável, ao luar, Imagine-se feliz Que ainda existe alguém no mundo, Quem pensa em você também! Como ela, com sua linda mão, Caminhando ao longo da harpa dourada, Com sua harmonia apaixonada Chamando para si mesmo, chamando você! Mais um ou dois dias e o céu chegará... Mas ah! seu amigo não viverá! E ainda não tinha terminado de cantar as últimas palavras quando os jovens do salão se preparavam para dançar e no coro os músicos começaram a bater os pés e a tossir. Pierre estava sentado na sala, onde Shinshin, como se fosse um visitante estrangeiro, iniciou com ele uma conversa política que era entediante para Pierre, à qual outros se juntaram. Quando a música começou a tocar, Natasha entrou na sala e, indo direto até Pierre, rindo e corando, disse: - Mamãe me disse para te convidar para dançar. “Tenho medo de confundir os números”, disse Pierre, “mas se você quiser ser meu professor...” E ele ofereceu sua mão grossa, baixando-a, para a garota magra. Enquanto os casais se acomodavam e os músicos se preparavam, Pierre sentou-se com sua mocinha. Natasha estava completamente feliz; ela dançou com um grande, com alguém que veio de fora. Ela sentou-se na frente de todos e conversou com ele como uma menina crescida. Ela tinha um leque na mão, que uma jovem lhe deu para segurar. E, assumindo a pose mais secular (sabe Deus onde e quando ela aprendeu isso), ela, abanando-se e sorrindo através do leque, falou com seu cavalheiro. - O que é isso, o que é isso? Olha, olha”, disse a velha condessa, passando pelo corredor e apontando para Natasha. Natasha corou e riu. - Bem, e você, mãe? Bem, que tipo de caça você está procurando? O que é surpreendente aqui? No meio da terceira eco-sessão, as cadeiras da sala, onde brincavam o conde e Marya Dmitrievna, começaram a se mover, e a maioria dos convidados de honra e idosos, espreguiçando-se após uma longa sessão e guardando carteiras e bolsas nos bolsos, saíram pelas portas do corredor. Marya Dmitrievna seguiu na frente com o conde - ambos com rostos alegres. O conde, com uma polidez lúdica, como num balé, ofereceu a mão arredondada a Marya Dmitrievna. Ele se endireitou e seu rosto se iluminou com um sorriso particularmente corajoso e astuto, e assim que a última figura do ecosaise foi dançada, ele bateu palmas para os músicos e gritou para o coro, dirigindo-se ao primeiro violino: - Semyon! Você conhece Danila Kupor? Essa era a dança preferida do conde, dançada por ele na juventude. (Danilo Kupor era na verdade uma figura dos Anglos.) “Olhem para o papai”, Natasha gritou para todo o salão (esquecendo completamente que estava dançando com um grande), inclinando a cabeça encaracolada até os joelhos e explodindo em gargalhadas por todo o corredor. Na verdade, todos no salão olharam com um sorriso de alegria para o velho alegre, que, ao lado de sua digna senhora, Marya Dmitrievna, que era mais alta que ele, dobrou os braços, sacudindo-os a tempo, endireitou os ombros, torceu os braços pernas, batendo levemente os pés e com um sorriso cada vez mais florescente no rosto redondo, ele preparava o público para o que estava por vir. Assim que os sons alegres e desafiadores de Danila Kupor, semelhantes a uma tagarela alegre, foram ouvidos, todas as portas do salão foram subitamente preenchidas com rostos de homens de um lado e rostos sorridentes de mulheres de servos do outro, que saíram para olhe para o mestre alegre. - Pai é nosso! Águia! – a babá disse em voz alta de uma porta. O conde dançava bem e sabia disso, mas sua senhora não sabia e não queria dançar bem. Seu enorme corpo permanecia ereto com os braços poderosos pendurados (ela entregou a bolsa à condessa); apenas seu rosto severo, mas lindo, dançava. O que foi expresso em toda a figura redonda do conde, em Marya Dmitrievna foi expresso apenas em um rosto cada vez mais sorridente e um nariz contorcido. Mas se o conde, cada vez mais insatisfeito, cativava o público com a surpresa das hábeis torções e leves saltos de suas pernas macias, Marya Dmitrievna, com o menor zelo em mover os ombros ou arredondar os braços em voltas e bater os pés, não fez nada. menos uma impressão de mérito, de que todos apreciavam sua obesidade e severidade sempre presente. A dança tornou-se cada vez mais animada. As contrapartes não conseguiram atrair a atenção para si por um minuto e nem sequer tentaram fazê-lo. Tudo foi ocupado pelo conde e Marya Dmitrievna. Natasha puxou as mangas e os vestidos de todos os presentes, que já estavam de olho nos dançarinos, e exigiu que olhassem para o papai. Nos intervalos da dança, o Conde respirava fundo, acenava e gritava para os músicos tocarem rápido. Mais rápido, mais rápido e mais rápido, mais rápido e mais rápido e mais rápido, o conde se desdobrou, ora na ponta dos pés, ora nos calcanhares, contornando Marya Dmitrievna e, por fim, virando sua senhora para seu lugar, deu o último passo, levantando a perna macia de atrás, inclinando a cabeça suada com um rosto sorridente e balançando a mão direita em meio ao estrondo de aplausos e risadas, especialmente de Natasha. Os dois dançarinos pararam, respiraram fundo e se enxugaram com lenços de cambraia. “É assim que dançavam no nosso tempo, ma chère”, disse o conde. - Ah, sim, Danila Kupor! - disse Marya Dmitrievna, soltando o ânimo pesadamente e por muito tempo, arregaçando as mangas. Enquanto os Rostovs dançavam o sexto inglês no salão ao som de músicos cansados ​​e desafinados, e garçons e cozinheiros cansados ​​​​preparavam o jantar, o sexto golpe atingiu o conde Bezukhy. Os médicos declararam que não havia esperança de recuperação; o paciente recebeu confissão silenciosa e comunhão; faziam os preparativos para a unção e na casa havia o alvoroço e a ansiedade da expectativa, comuns nesses momentos. Do lado de fora da casa, atrás dos portões, os agentes funerários aglomeravam-se, escondendo-se das carruagens que se aproximavam, aguardando uma rica ordem para o funeral do conde. O comandante-chefe de Moscou, que constantemente enviava ajudantes para perguntar sobre a posição do conde, naquela noite veio se despedir do famoso nobre de Catarina, o conde Bezukhim. A magnífica sala de recepção estava lotada. Todos se levantaram respeitosamente quando o comandante-em-chefe, depois de ficar sozinho com o paciente por cerca de meia hora, saiu dali, retribuindo levemente as reverências e tentando o mais rápido possível passar pelos olhares de médicos, clérigos e parentes fixado nele. O príncipe Vasily, que havia perdido peso e empalidecido durante esses dias, despediu-se do comandante-chefe e repetiu-lhe algo silenciosamente várias vezes. Depois de se despedir do comandante-chefe, o Príncipe Vasily sentou-se sozinho em uma cadeira no corredor, cruzando as pernas, apoiando o cotovelo no joelho e fechando os olhos com a mão. Depois de ficar sentado assim por algum tempo, ele se levantou e com passos incomumente apressados, olhando em volta com olhos assustados, caminhou pelo longo corredor até a metade de trás da casa, até a princesa mais velha. Os que estavam na sala mal iluminada falavam uns com os outros em um sussurro irregular e ficavam em silêncio a cada vez e, com os olhos cheios de perguntas e expectativas, olhavam para a porta que levava aos aposentos do moribundo e faziam um som fraco quando alguém saía. dele ou entrou nele. “O limite humano”, disse o velho, um clérigo, à senhora que se sentou ao lado dele e o ouviu ingenuamente, “o limite foi estabelecido, mas você não pode ultrapassá-lo”. “Estou me perguntando se é tarde demais para realizar a unção?” - acrescentando o título espiritual, a senhora perguntou, como se não tivesse opinião própria sobre o assunto.

POLÍGONOS INSCRITOS E CIRCULARES,

§ 106. PROPRIEDADES DOS QUADRÍÁGONOS INSCRITOS E DESCRITOS.

Teorema 1. A soma dos ângulos opostos de um quadrilátero cíclico é 180°.

Seja um quadrilátero ABCD inscrito em um círculo com centro O (Fig. 412). É necessário provar que / UM+ / C = 180° e / B + / D = 180°.

/ A, inscrito no círculo O, mede 1/2 BCD.
/ C, inscrito no mesmo círculo, mede 1/2 RUIM.

Consequentemente, a soma dos ângulos A e C é medida pela meia soma dos arcos BCD e BAD em soma, esses arcos formam um círculo, ou seja, têm 360°;
Daqui / UM+ / C = 360°: 2 = 180°.

Da mesma forma, está provado que / B + / D = 180°. No entanto, isso pode ser deduzido de outra forma. Sabemos que a soma dos ângulos internos de um quadrilátero convexo é 360°. A soma dos ângulos A e C é igual a 180°, o que significa que a soma dos outros dois ângulos do quadrilátero também permanece 180°.

Teorema 2(reverter). Se num quadrilátero a soma de dois ângulos opostos for igual 180° , então um círculo pode ser descrito em torno desse quadrilátero.

Seja a soma dos ângulos opostos do quadrilátero ABCD igual a 180°, ou seja
/ UM+ / C = 180° e / B + / D = 180° (desenho 412).

Vamos provar que um círculo pode ser descrito em torno de tal quadrilátero.

Prova. Através de quaisquer 3 vértices deste quadrilátero você pode desenhar um círculo, por exemplo, através dos pontos A, B e C. Onde estará localizado o ponto D?

O ponto D só pode assumir uma das três posições seguintes: estar dentro do círculo, estar fora do círculo, estar na circunferência do círculo.

Suponhamos que o vértice esteja dentro do círculo e tome a posição D" (Fig. 413). Então no quadrilátero ABCD" teremos:

/ B + / D" = 2 d.

Continuando o lado AD" até a intersecção com o círculo no ponto E e conectando os pontos E e C, obtemos o quadrilátero cíclico ABCE, no qual, pelo teorema direto

/ B+ / E = 2 d.

Dessas duas igualdades segue:

/ D" = 2 d - / B;
/ E=2 d - / B;

/ D" = / E,

mas isso não pode ser, porque / D", sendo externo em relação ao triângulo CD"E, deve ser maior que o ângulo E. Portanto, o ponto D não pode estar dentro do círculo.

Também está provado que o vértice D não pode assumir a posição D" fora do círculo (Fig. 414).

Resta reconhecer que o vértice D deve estar na circunferência do círculo, ou seja, coincidir com o ponto E, o que significa que um círculo pode ser descrito em torno do quadrilátero ABCD.

Consequências. 1. Um círculo pode ser descrito em torno de qualquer retângulo.

2. Um círculo pode ser descrito em torno de um trapézio isósceles.

Em ambos os casos, a soma dos ângulos opostos é 180°.

Teorema 3. Num quadrilátero circunscrito, as somas dos lados opostos são iguais. Seja descrito o quadrilátero ABCD em torno de uma circunferência (Desenho 415), ou seja, seus lados AB, BC, CD e DA são tangentes a esta circunferência.

É necessário provar que AB + CD = AD + BC. Denotemos os pontos de tangência pelas letras M, N, K, P. Com base nas propriedades das tangentes traçadas a um círculo a partir de um ponto (§ 75), temos:

AR = AK;
VR = VM;
DN = DK;
CN = CM.

Vamos adicionar essas igualdades termo por termo. Nós temos:

AR + BP + DN + CN = AK + VM + DK + SM,

ou seja, AB + CD = AD + BC, que é o que precisava ser provado.

Exercícios.

1. Em um quadrilátero cíclico, dois ângulos opostos estão na proporção de 3:5,
e os outros dois estão na proporção 4:5 Determine a magnitude desses ângulos.

2. No quadrilátero descrito, a soma de dois lados opostos é 45 cm. Os dois lados restantes estão na proporção de 0,2: 0,3. Encontre o comprimento desses lados.