Exemplos de como resolver extremos de uma função. Extremo da função

Esta é uma seção bastante interessante da matemática, que é encontrada por absolutamente todos os estudantes de pós-graduação e estudantes. No entanto, nem todo mundo gosta de matan. Alguns não conseguem entender nem mesmo coisas básicas, como um estudo de função aparentemente padrão. Este artigo pretende corrigir tal descuido. Quer saber mais sobre análise de funções? Gostaria de saber o que são pontos extremos e como encontrá-los? Então esse artigo é para você.

Estudando o gráfico de uma função

Primeiro, vale a pena entender por que é necessário analisar o gráfico. Existem funções simples que não são difíceis de desenhar. Um exemplo notável de tal função é uma parábola. Não será difícil desenhar um gráfico. Basta, por meio de uma transformação simples, encontrar os números nos quais a função assume o valor 0. E, em princípio, isso é tudo que você precisa saber para desenhar o gráfico de uma parábola.

Mas e se a função que precisamos representar graficamente for muito mais complexa? Como as propriedades das funções complexas não são totalmente óbvias, é necessário realizar uma análise completa. Somente depois disso a função pode ser representada graficamente. Como fazer isso? Você pode encontrar a resposta a esta pergunta neste artigo.

Plano de Análise de Função

A primeira coisa que precisamos fazer é realizar um estudo superficial da função, durante o qual encontramos o domínio de definição. Então, vamos começar em ordem. O domínio de definição é o conjunto de valores pelos quais a função é definida. Simplificando, estes são os números que podem ser usados ​​em uma função em vez de x. Para determinar o escopo, basta olhar o registro. Por exemplo, é óbvio que a função y (x) = x 3 + x 2 - x + 43 tem um domínio de definição que é o conjunto dos números reais. Bem, com uma função como (x 2 - 2x)/x tudo é um pouco diferente. Como o número no denominador não deve ser igual a 0, o domínio de definição desta função serão todos os números reais diferentes de zero.

Em seguida, você precisa encontrar os chamados zeros da função. Estes são os valores dos argumentos nos quais toda a função assume o valor zero. Para isso, é necessário igualar a função a zero, considerá-la detalhadamente e realizar algumas transformações. Tomemos a já familiar função y(x) = (x 2 - 2x)/x. Pelo curso escolar sabemos que uma fração é igual a 0 quando o numerador é igual a zero. Portanto, descartamos o denominador e passamos a trabalhar com o numerador, igualando-o a zero. Obtemos x 2 - 2x = 0 e colocamos x fora dos colchetes. Portanto, x (x - 2) = 0. Como resultado, descobrimos que nossa função é igual a zero quando x é igual a 0 ou 2.

Ao estudar o gráfico de uma função, muitas pessoas encontram problemas na forma de pontos extremos. E é estranho. Afinal, os extremos são um tema bastante simples. Não acredite em mim? Veja você mesmo lendo esta parte do artigo, onde falaremos sobre pontos mínimos e máximos.

Primeiro, vale a pena entender o que é um extremo. Um extremo é o valor limite que uma função atinge em um gráfico. Acontece que existem dois valores extremos - máximo e mínimo. Para maior clareza, você pode olhar a imagem acima. Na área estudada, o ponto -1 é o máximo da função y (x) = x 5 - 5x, e o ponto 1, respectivamente, é o mínimo.

Além disso, não confunda os conceitos. Os pontos extremos de uma função são aqueles argumentos nos quais uma determinada função adquire valores extremos. Por sua vez, o extremo é o valor dos mínimos e máximos de uma função. Por exemplo, considere novamente a figura acima. -1 e 1 são os pontos extremos da função e 4 e -4 são os próprios extremos.

Encontrando pontos extremos

Mas como você encontra os pontos extremos de uma função? Tudo é bem simples. A primeira coisa a fazer é encontrar a derivada da equação. Digamos que recebemos a tarefa: “Encontre os pontos extremos da função y (x), x é o argumento, para maior clareza, tomemos a função y (x) = x 3 + 2x 2 + x + 54. Vamos diferenciar e. obtenha a seguinte equação: 3x 2 + 4x + 1. Como resultado, temos uma equação quadrática padrão. Tudo o que precisa ser feito a seguir é igualá-la a zero e encontrar as raízes, pois o discriminante é maior que zero (D. = 16 - 12 = 4), esta equação é determinada por duas raízes e obtemos dois valores: 1/3 e -1. é quem? Qual ponto é o máximo e qual é o mínimo Para fazer isso, você precisa pegar o ponto vizinho e descobrir seu valor , pegue o número -2, que está localizado à esquerda ao longo da linha de coordenadas de -. 1. Substitua este valor em nossa equação y(-2) = 12 - 8 + 1 = 5. Como resultado, obtemos um número positivo. Isso significa que no intervalo de 1/3 a -1 a função aumenta. Isso, por sua vez, significa que nos intervalos de menos infinito a 1/3 e de -1 a mais infinito a função diminui. Assim, podemos concluir que o número 1/3 é o ponto mínimo da função no intervalo estudado, e -1 é o ponto máximo.

Vale ressaltar também que o Exame de Estado Unificado exige não apenas encontrar pontos extremos, mas também realizar algum tipo de operação com eles (somar, multiplicar, etc.). É por isso que vale a pena prestar atenção especial às condições do problema. Afinal, por desatenção você pode perder pontos.

A partir deste artigo o leitor aprenderá o que é um extremo de valor funcional, bem como as características de sua utilização em atividades práticas. Estudar tal conceito é extremamente importante para a compreensão dos fundamentos da matemática superior. Este tema é fundamental para um estudo mais aprofundado do curso.

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O que é um extremo?

No curso escolar, são dadas muitas definições do conceito “extremo”. Este artigo tem como objetivo fornecer a compreensão mais profunda e clara do termo para aqueles que não conhecem o assunto. Assim, o termo significa até que ponto o intervalo funcional adquire um valor mínimo ou máximo em um determinado conjunto.

Um extremo é o valor mínimo e o máximo de uma função ao mesmo tempo. Existe um ponto mínimo e um ponto máximo, ou seja, os valores extremos do argumento no gráfico. As principais ciências que utilizam este conceito são:

  • Estatisticas;
  • controle de máquina;
  • econometria.

Os pontos extremos desempenham um papel importante na determinação da sequência de uma determinada função. O sistema de coordenadas no gráfico mostra melhor a mudança na posição extrema dependendo da mudança na funcionalidade.

Extremos da função derivada

Existe também um fenômeno chamado “derivado”. É necessário determinar o ponto extremo. É importante não confundir os pontos mínimos ou máximos com os valores mais altos e mais baixos. São conceitos diferentes, embora possam parecer semelhantes.

O valor da função é o principal fator para determinar como encontrar o ponto máximo. A derivada não é formada por valores, mas exclusivamente por sua posição extrema em uma ou outra ordem.

A própria derivada é determinada com base nesses pontos extremos, e não no maior ou menor valor. Nas escolas russas, a linha entre esses dois conceitos não é claramente traçada, o que afeta a compreensão deste tópico em geral.

Consideremos agora um conceito como “extremo agudo”. Hoje, existe um valor mínimo agudo e um valor máximo agudo. A definição é dada de acordo com a classificação russa dos pontos críticos de uma função. O conceito de ponto extremo é a base para encontrar pontos críticos em um gráfico.

Para definir tal conceito, recorrem ao teorema de Fermat. É o mais importante no estudo dos pontos extremos e dá uma ideia clara da sua existência de uma forma ou de outra. Para garantir o extremo, é importante criar certas condições para uma diminuição ou aumento no gráfico.

Para responder com precisão à pergunta “como encontrar o ponto máximo”, você deve seguir estas orientações:

  1. Encontrar o domínio exato de definição no gráfico.
  2. Procure a derivada de uma função e o ponto extremo.
  3. Resolva desigualdades padrão para o domínio onde o argumento é encontrado.
  4. Ser capaz de provar em quais funções um ponto de um gráfico é definido e contínuo.

Atenção! A busca pelo ponto crítico de uma função só é possível se houver uma derivada de pelo menos segunda ordem, o que é garantido por uma alta proporção da presença de um ponto extremo.

Condição necessária para o extremo de uma função

Para que exista um extremo, é importante que existam pontos mínimos e máximos. Se esta regra for observada apenas parcialmente, então a condição para a existência de um extremo é violada.

Cada função em qualquer posição deve ser diferenciada para identificar seus novos significados. É importante entender que o caso de um ponto indo para zero não é o princípio fundamental para encontrar um ponto diferenciável.

Um extremo agudo, assim como um mínimo de uma função, é um aspecto extremamente importante na resolução de um problema matemático usando valores extremos. Para melhor compreender este componente, é importante consultar os valores tabulares para especificação da funcionalidade.

Pesquisa de significado completo Traçando um gráfico de valor
1. Determinação de pontos de valores crescentes e decrescentes.

2. Encontrar pontos de descontinuidade, extremos e intersecção com eixos coordenados.

3. O processo de determinação de mudanças de posição em um gráfico.

4. Determinação do indicador e direção da convexidade e convexidade, levando em consideração a presença de assíntotas.

5. Criação de um quadro resumo da pesquisa do ponto de vista da determinação de suas coordenadas.

6. Encontrar os intervalos de pontos extremos e agudos crescentes e decrescentes.

7. Determinação da convexidade e concavidade de uma curva.

8. Traçar um gráfico levando em consideração a pesquisa permite encontrar o mínimo ou o máximo.

 O principal elemento quando é necessário trabalhar com pontos extremos é a construção precisa do seu gráfico.

Os professores das escolas nem sempre prestam a máxima atenção a um aspecto tão importante, o que constitui uma violação grosseira do processo educativo.

A construção de um gráfico ocorre apenas com base nos resultados do estudo dos dados funcionais, identificando extremos agudos, bem como pontos do gráfico.

Os extremos agudos da função derivada são exibidos em um gráfico de valores exatos, usando um procedimento padrão para determinar assíntotas.

Os pontos máximo e mínimo da função são acompanhados por construções gráficas mais complexas. Isto se deve a uma necessidade mais profunda de resolver o problema do extremo agudo.

Também é necessário encontrar a derivada de uma função complexa e simples, pois este é um dos conceitos mais importantes no problema do extremo.

Extremo do funcional

Para encontrar o valor acima, você deve seguir as seguintes regras:

  • determinar a condição necessária para uma relação extrema;
  • leve em consideração a condição suficiente dos pontos extremos do gráfico;
  • realizar o cálculo do extremo agudo.

Conceitos como mínimo fraco e mínimo forte também são utilizados. Isso deve ser levado em consideração na determinação do extremo e no seu cálculo preciso. Ao mesmo tempo, funcionalidade aguda é a busca e criação de todas as condições necessárias para trabalhar com o gráfico de uma função.

Introdução

Em muitas áreas da ciência e em atividades práticas, muitas vezes é preciso lidar com o problema de encontrar o extremo de uma função. O fato é que muitos processos técnicos, econômicos, etc. os processos são modelados por uma função ou diversas funções que dependem de variáveis ​​​​- fatores que influenciam o estado do fenômeno que está sendo modelado. É necessário encontrar os extremos de tais funções para determinar o estado ideal (racional) e o controle do processo. Assim, em economia, os problemas de minimização de custos ou maximização de lucros são frequentemente resolvidos - o problema microeconômico da empresa. Neste trabalho não consideramos questões de modelagem, mas consideramos apenas algoritmos para busca de extremos de funções na versão mais simples, quando nenhuma restrição é imposta às variáveis ​​(otimização incondicional), e o extremo é buscado para apenas uma função objetivo.


EXTREMA DA FUNÇÃO

Considere o gráfico de uma função contínua y=f(x) mostrado na figura. Valor da função em um ponto x 1 será maior que os valores da função em todos os pontos vizinhos à esquerda e à direita de x 1. Neste caso dizemos que a função tem no ponto x 1 máximo. No ponto x A função 3 obviamente também tem um máximo. Se considerarmos o ponto x 2, então o valor da função nele é menor que todos os valores vizinhos. Neste caso dizemos que a função tem no ponto x 2 mínimo. Da mesma forma para o ponto x 4 .

Função y=f(x) no ponto x 0 tem máximo, se o valor da função neste ponto for maior que seus valores em todos os pontos de algum intervalo que contém o ponto x 0, ou seja se existe tal vizinhança de um ponto x 0, que é para todos x≠x 0 , pertencente a este bairro, a desigualdade se mantém f(x)<f(x 0 ) .

Função y=f(x) Tem mínimo no ponto x 0 , se existe tal vizinhança de um ponto x 0 , isso é para todos x≠x 0 pertencente a esta vizinhança, a desigualdade é válida f(x)>f(x 0.

Os pontos nos quais a função atinge seu máximo e mínimo são chamados de pontos extremos, e os valores da função nesses pontos são chamados de extremos da função.

Prestemos atenção ao fato de que uma função definida em um segmento pode atingir seu máximo e mínimo apenas em pontos contidos no segmento em consideração.

Observe que se uma função tem um máximo num ponto, isso não significa que nesse ponto a função tenha o maior valor em todo o domínio de definição. Na figura discutida acima, a função no ponto x 1 tem máximo, embora existam pontos em que os valores da função são maiores do que no ponto x 1 . Em particular, f(x 1) < f(x 4) ou seja o mínimo da função é maior que o máximo. Da definição de máximo segue-se apenas que este é o maior valor da função em pontos suficientemente próximos do ponto máximo.

Teorema 1. (Uma condição necessária para a existência de um extremo.) Se a função diferenciável y=f(x) tem no ponto x=x 0 extremo, então sua derivada neste ponto se torna zero.

Prova. Deixe, por definição, no ponto x A função 0 tem um máximo. Então, para incrementos suficientemente pequenos Δ x Nós temos f(x 0 + Δ x) 0 ) , ou seja

Mas então

Passando essas desigualdades ao limite em Δ x→ 0 e levando em consideração que a derivada f "(x 0) existe e, portanto, o limite à esquerda não depende de como Δ x→ 0, obtemos: em Δ x → 0 – 0 f"(x 0) ≥ 0 a em Δ x → 0 + 0 f"(x 0) ≤ 0. Desde f"(x 0) define um número, então essas duas desigualdades são compatíveis apenas se f"(x 0) = 0.

O teorema comprovado afirma que os pontos máximo e mínimo só podem ser encontrados entre os valores do argumento em que a derivada se torna zero.

Consideramos o caso em que uma função possui uma derivada em todos os pontos de um determinado segmento. Qual é a situação nos casos em que a derivada não existe? Vejamos exemplos.

sim=|x|.

A função não tem derivada no ponto x=0 (neste ponto o gráfico da função não tem tangente definida), mas neste ponto a função tem um mínimo, pois sim(0)=0, e para todos x≠ 0sim > 0.

não tem derivada em x=0, pois vai para o infinito em x=0. Mas neste ponto a função tem um máximo. não tem derivada em x=0, desde quando x→0. Neste ponto a função não tem máximo nem mínimo. Realmente, f(x)=0 e em x<0f(x)<0, а при x>0f(x)>0.

Assim, pelos exemplos dados e pelo teorema formulado, fica claro que uma função pode ter extremo apenas em dois casos: 1) nos pontos onde a derivada existe e é igual a zero; 2) no ponto onde a derivada não existe.

Contudo, se em algum momento x 0 nós sabemos disso f"(x 0 ) =0, então não se pode concluir disso que no ponto x 0 a função tem um extremo.

Por exemplo.

.

Mas ponto final x=0 não é um ponto extremo, pois à esquerda deste ponto os valores da função estão localizados abaixo do eixo Boi e à direita acima.

Os valores de um argumento do domínio de uma função em que a derivada da função desaparece ou não existe são chamados Pontos críticos.

Do exposto segue-se que os pontos extremos da função estão entre os pontos críticos e, no entanto, nem todo ponto crítico é um ponto extremo. Portanto, para encontrar o extremo de uma função, você precisa encontrar todos os pontos críticos da função e, em seguida, examinar cada um desses pontos separadamente para máximo e mínimo. O teorema a seguir serve a esse propósito.

Teorema 2. (Uma condição suficiente para a existência de um extremo.) Seja a função contínua em algum intervalo contendo o ponto crítico x 0, e é diferenciável em todos os pontos deste intervalo (exceto, talvez, o próprio ponto x 0). Se, ao passar da esquerda para a direita através deste ponto, a derivada muda de sinal de mais para menos, então no ponto x = x A função 0 tem um máximo. Se, ao passar x 0 da esquerda para a direita, a derivada muda de sinal de menos para mais, então a função tem um mínimo neste ponto.

Assim, se

f"(x)>0 em x<x 0 e f"(x)< 0 em x > x 0, então x 0 – ponto máximo;

no x<x 0 e f "(x)> 0 em x > x 0, então x 0 – ponto mínimo.

Prova. Vamos primeiro supor que ao passar por x 0 a derivada muda o sinal de mais para menos, ou seja, na frente de todos x, perto do ponto x 0 f "(x)> 0 para x< x 0 , f"(x)< 0 para x > x 0. Vamos aplicar o teorema de Lagrange à diferença f(x) - f(x 0 ) = f "(c)(x- x 0), onde c encontra-se entre x E x 0 .

Deixar x< x 0. Então c< x 0 e f "(c)> 0. É por isso f "(c)(x- x 0)< 0 e portanto

f(x) - f(x 0 )< 0, ou seja f(x)< f(x 0 ).

Deixar x > x 0. Então c>x 0 e f "(c)< 0. Significa f "(c)(x- x 0)< 0. É por isso f(x) - f(x 0 ) <0,т.е.f(x)< f(x 0 ) .

Assim, para todos os valores x perto o suficiente para x 0 f(x)< f(x 0 ) . E isso significa que no ponto x A função 0 tem um máximo.

A segunda parte do teorema mínimo é provada de maneira semelhante.

Vamos ilustrar o significado deste teorema na figura. Deixar f"(x 1 ) =0 e para qualquer x, perto o suficiente para x 1, as desigualdades são satisfeitas

f"(x)< 0 em x< x 1 , f "(x)> 0 em x > x 1 .

Então à esquerda do ponto x 1 a função aumenta e diminui à direita, portanto, quando x = x 1 função vai de crescente a decrescente, ou seja, tem máximo.

Da mesma forma, podemos considerar pontos x 2 e x 3 .

Todos os itens acima podem ser representados esquematicamente na imagem:

Regra para estudar a função y=f(x) para extremo

Encontre o domínio de uma função f(x).

Encontre a primeira derivada de uma função f"(x).

Determine pontos críticos para isso:

encontre as raízes reais da equação f"(x)=0;

encontrar todos os valores x para o qual a derivada f"(x) não existe.

Determine o sinal da derivada à esquerda e à direita do ponto crítico. Como o sinal da derivada permanece constante entre dois pontos críticos, é suficiente determinar o sinal da derivada num ponto à esquerda e num ponto à direita do ponto crítico.

Calcule o valor da função nos pontos extremos.

Encontre o maior valor da função y=(7x^2-56x+56)e^x no segmento [-3; 2].

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Solução

Vamos encontrar a derivada da função original usando a fórmula da derivada do produto você"=(7x^2-56x+56)"e^x\,+ (7x^2-56x+56)\esquerda(e^x\direita)"= (14x-56)e^x+(7x^2-56x+56)e^x= (7x^2-42x)e^x= 7x(x-6)e^x. Vamos calcular os zeros da derivada: y"=0;

7x(x-6)e^x=0,

x_1=0, x_2=6.

Vamos organizar os sinais da derivada e determinar os intervalos de monotonicidade da função original em um determinado segmento.

Pela figura fica claro que no segmento [-3; 0] a função original aumenta e no segmento diminui. Assim, o maior valor do segmento [-3; 2] é alcançado em x = 0 e é igual a y(0)= 7\cponto 0^2-56\cponto 0+56=56.

Responder

Doença

Encontre o maior valor da função y=12x-12tg x-18 no segmento \esquerda.

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Solução

você"= (12x)"-12(tg x)"-(18)"= 12-\frac(12)(\cos ^2x)= \frac(12\cos ^2x-12)(\cos ^2x)\leqslant0. Isso significa que a função original não é crescente no intervalo em consideração e assume o maior valor na extremidade esquerda do intervalo, ou seja, em x=0. O maior valor é y(0)= 12\cponto 0-12 tg (0)-18= -18.

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Fonte: “Matemática. Preparação para o Exame Estadual Unificado 2017. Nível do perfil." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu.

Doença

Encontre o ponto mínimo da função y=(x+8)^2e^(x+52).

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Solução

Encontraremos o ponto mínimo da função usando a derivada. Vamos encontrar a derivada de uma determinada função usando as fórmulas para a derivada do produto, a derivada de x^\alpha e e^x:

você"(x)= \esquerda((x+8)^2\direita)"e^(x+52)+(x+8)^2\esquerda(e^(x+52)\direita)"= 2(x+8)e^(x+52)+(x+8)^2e^(x+52)= (x+8)e^(x+52)(2+x+8)= (x+8)(x+10)e^(x+52).

Vamos organizar os sinais da derivada e determinar os intervalos de monotonicidade da função original. e^(x+52)>0 para qualquer x. y"=0 em x=-8, x=-10.

A figura mostra que a função y=(x+8)^2e^(x+52) tem um único ponto mínimo x=-8.

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Fonte: “Matemática. Preparação para o Exame Estadual Unificado 2017. Nível do perfil." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu.

Doença

Encontre o ponto máximo da função y=8x-\frac23x^\tfrac32-106.

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Solução

ODZ: x \geqslant 0. Vamos encontrar a derivada da função original:

y"=8-\frac23\cdot\frac32x^\tfrac12=8-\sqrt x.

Vamos calcular os zeros da derivada:

8-\sqrt x=0;

\sqrtx=8;

x=64.

Vamos organizar os sinais da derivada e determinar os intervalos de monotonicidade da função original.

A figura mostra que o ponto x=64 é o único ponto máximo da função dada.

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Fonte: “Matemática. Preparação para o Exame Estadual Unificado 2017. Nível do perfil." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu.

Doença

Encontre o menor valor da função y=5x^2-12x+2\ln x+37 no segmento \esquerda[\frac35; \frac75\direita].

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Solução

ODZ: x>0.

Vamos encontrar a derivada da função original:

você"(x)= 10x-12+\frac(2)(x)= \frac(10x^2-12x+2)(x).

Vamos definir os zeros da derivada: y"(x)=0;

\frac(10x^2-12x+2)(x)=0,

5x^2-6x+1=0,

x_(1,2)= \frac(3\pm\sqrt(3^2-5\cdot1))(5)= \frac(3\pm2)(5),

x_1=\frac15\notin\esquerda[\frac35; \frac75\direita],

x_2=1\in\esquerda[\frac35; \frac75\direita].

Vamos organizar os sinais da derivada e determinar os intervalos de monotonicidade da função original no intervalo em consideração.

Pela figura fica claro que no segmento \esquerda[\frac35; 1\direita] a função original diminui e no segmento \esquerda aumenta. Assim, o menor valor no segmento \esquerda[\frac35; \frac75\direita]é alcançado em x = 1 e é igual a y(1)= 5\cponto 1^2-12\cponto 1+2 \ln 1+37= 30.

Responder

Fonte: “Matemática. Preparação para o Exame Estadual Unificado 2017. Nível do perfil." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu.

Doença

Encontre o maior valor da função y=(x+4)^2(x+1)+19 no segmento [-5; -3].

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Solução

Vamos encontrar a derivada da função original usando a fórmula da derivada do produto.

Podemos dizer também que nestes pontos muda a direção do movimento da função: se a função para de cair e começa a crescer, este é o ponto de mínimo, pelo contrário, é o ponto de máximo.

Mínimos e máximos são chamados coletivamente extremos da função.

Em outras palavras, todos os cinco pontos destacados no gráfico acima são extremos.


Graças a isso, encontrar esses pontos não é problema, mesmo que você não tenha um gráfico da função.

Atenção! Quando eles escrevem extremos ou máximos/mínimos significam o valor da função, ou seja, \(s\). Quando eles escrevem pontos extremos ou pontos de máximos/mínimos significam os Xs nos quais os máximos/mínimos são alcançados. Por exemplo, na figura acima, \(-5\) é o ponto mínimo (ou ponto extremo) e \(1\) é o mínimo (ou extremo).

Como encontrar os pontos extremos de uma função no gráfico da derivada (tarefa 7 do Exame de Estado Unificado)?

Vamos encontrar juntos o número de pontos extremos de uma função usando o gráfico da derivada usando um exemplo:


Recebemos um gráfico, o que significa que estamos procurando em quais pontos do gráfico a derivada é igual a zero. Obviamente, estes são os pontos \(-13\), \(-11\), \(-9\), \(-7\) e \(3\). O número de pontos extremos da função é \(5\).

Atenção! Se um cronograma for fornecido derivado funções, mas você precisa encontrar pontos extremos da função, não contamos os máximos e mínimos da derivada! Contamos os pontos em que a derivada da função desaparece (ou seja, intercepta o eixo \(x\)).


Como encontrar os pontos máximo ou mínimo de uma função no gráfico da derivada (tarefa 7 do Exame de Estado Unificado)?

Para responder a esta pergunta, você precisa se lembrar de mais duas regras importantes:

- A derivada é positiva onde a função é crescente.
- A derivada é negativa onde a função diminui.

Usando essas regras, vamos encontrar os pontos mínimo e máximo da função no gráfico da derivada.


É claro que mínimos e máximos devem ser buscados entre os pontos extremos, ou seja, entre \(-13\), \(-11\), \(-9\), \(-7\) e \(3\).

Para facilitar a resolução do problema, vamos primeiro colocar os sinais de mais e menos na figura, indicando o sinal da derivada. Em seguida, setas - indicando funções crescentes e decrescentes.


Vamos começar com \(-13\): até \(-13\) a derivada é positiva, ou seja, a função cresce, então a derivada é negativa, ou seja, a função falha. Se você imaginar isso, fica claro que \(-13\) é o ponto máximo.

\(-11\): a derivada é primeiro positiva e depois negativa, o que significa que a função aumenta e depois diminui. Novamente, tente desenhar isso mentalmente e ficará óbvio para você que \(-11\) é o mínimo.

\(- 9\): a função aumenta e depois diminui - máximo.

\(-7\): mínimo.

\(3\): máximo.


Todos os itens acima podem ser resumidos pelas seguintes conclusões:

- A função tem um máximo onde a derivada é zero e muda o sinal de mais para menos.
- A função tem um mínimo onde a derivada é zero e muda de sinal de menos para mais.

Como encontrar os pontos máximo e mínimo se a fórmula da função for conhecida (12 tarefas do Exame Estadual Unificado)?

Para responder a esta pergunta, você precisa fazer o mesmo que no parágrafo anterior: descobrir onde a derivada é positiva, onde é negativa e onde é zero. Para deixar mais claro, escreverei um algoritmo com um exemplo de solução:

  1. Encontre a derivada da função \(f"(x)\).
  2. Encontre as raízes da equação \(f"(x)=0\).
  3. Desenhe um eixo \(x\) e marque nele os pontos obtidos no passo 2, desenhe com arcos os intervalos em que o eixo está dividido. Etiqueta acima do eixo \(f"(x)\) e abaixo do eixo \(f(x)\).
  4. Determine o sinal da derivada em cada intervalo (usando o método do intervalo).
  5. Coloque o sinal da derivada em cada intervalo (acima do eixo) e use uma seta para indicar o aumento (↗) ou diminuição (↘) da função (abaixo do eixo).
  6. Determine como o sinal da derivada mudou ao passar pelos pontos obtidos na etapa 2:
    - se \(f’(x)\) mudou de sinal de “\(+\)” para “\(-\)”, então \(x_1\) é o ponto máximo;
    - se \(f’(x)\) mudou de sinal de “\(-\)” para “\(+\)”, então \(x_3\) é o ponto mínimo;
    - se \(f’(x)\) não mudou de sinal, então \(x_2\) pode ser um ponto de inflexão.

Todos! Os pontos máximo e mínimo foram encontrados.


Ao representar pontos no eixo nos quais a derivada é igual a zero, a escala pode ser ignorada. O comportamento da função pode ser mostrado conforme mostrado na figura abaixo. Dessa forma, ficará mais óbvio onde está o máximo e onde está o mínimo.

Exemplo(USAR). Encontre o ponto máximo da função \(y=3x^5-20x^3-54\).
Solução:
1. Encontre a derivada da função: \(y"=15x^4-60x^2\).
2. Vamos igualar a zero e resolver a equação:

\(15x^4-60x^2=0\) \(|:15\)
\(x^4-4x^2=0\)
\(x^2 (x^2-4)=0\)
\(x=0\) \(x^2-4=0\)
\(x=±2\)

3. – 6. Vamos representar graficamente os pontos na reta numérica e determinar como o sinal da derivada muda e como a função se move:


Agora é óbvio que o ponto máximo é \(-2\).

Responder. \(-2\).

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