Assim que pude ministrar palestras após a operação, a primeira pergunta que os alunos fizeram foi:

Quando você nos desenhará um cubo quadridimensional? Ilyas Abdulkhaevich nos prometeu!

Lembro que meus queridos amigos às vezes gostam de um momento de atividades educativas matemáticas. Portanto, escreverei aqui uma parte da minha palestra para matemáticos. E vou tentar sem ser chato. Em alguns momentos li a palestra com mais rigor, é claro.

Vamos concordar primeiro. O espaço quadridimensional, e mais ainda o espaço 5-6-7 e geralmente k-dimensional, não nos é dado nas sensações sensoriais.
“Somos miseráveis ​​porque somos apenas tridimensionais”, como disse meu professor de escola dominical, que foi o primeiro a me dizer o que é um cubo quadridimensional. A escola dominical era, naturalmente, extremamente religiosa – matemática. Naquela época estávamos estudando hipercubos. Uma semana antes disso, indução matemática, uma semana depois, ciclos hamiltonianos em gráficos - respectivamente, esta é a 7ª série.

Não podemos tocar, cheirar, ouvir ou ver um cubo quadridimensional. O que podemos fazer com isso? Podemos imaginar isso! Porque nosso cérebro é muito mais complexo que nossos olhos e mãos.

Então, para entender o que é um cubo quadridimensional, vamos primeiro entender o que está disponível para nós. O que é um cubo tridimensional?

OK, OK! Não estou pedindo uma definição matemática clara. Imagine o cubo tridimensional mais simples e comum. Introduzido?

Multar.
Para entender como generalizar um cubo tridimensional em um espaço quadridimensional, vamos descobrir o que é um cubo bidimensional. É tão simples – é um quadrado!

Um quadrado tem 2 coordenadas. O cubo tem três. Pontos quadrados são pontos com duas coordenadas. O primeiro é de 0 a 1. E o segundo é de 0 a 1. Os pontos do cubo possuem três coordenadas. E cada um é qualquer número de 0 a 1.

É lógico imaginar que um cubo quadridimensional é algo que possui 4 coordenadas e tudo vai de 0 a 1.

/* É imediatamente lógico imaginar um cubo unidimensional, que nada mais é do que um simples segmento de 0 a 1. */

Então, espere, como você desenha um cubo quadridimensional? Afinal, não podemos desenhar um espaço quadridimensional num plano!
Mas também não desenhamos espaço tridimensional num plano, desenhamos projeção em um plano de desenho bidimensional. Colocamos a terceira coordenada (z) em ângulo, imaginando que o eixo do plano de desenho vai “em nossa direção”.

Agora está completamente claro como desenhar um cubo quadridimensional. Da mesma forma que posicionamos o terceiro eixo em um determinado ângulo, vamos pegar o quarto eixo e também posicioná-lo em um determinado ângulo.
E - voilá! - projeção de um cubo quadridimensional em um plano.

O que? Afinal, o que é isso? Sempre ouço sussurros vindos das mesas dos fundos. Deixe-me explicar com mais detalhes o que é esse amontoado de linhas.
Olhe primeiro para o cubo tridimensional. O que nos fizemos? Pegamos o quadrado e arrastamos ao longo do terceiro eixo (z). É como muitos quadrados de papel colados em uma pilha.
É o mesmo com um cubo quadridimensional. Vamos chamar o quarto eixo, por conveniência e para ficção científica, de “eixo do tempo”. Precisamos pegar um cubo tridimensional comum e arrastá-lo através do tempo, do momento “agora” até o momento “dentro de uma hora”.

Temos um cubo "agora". Na foto é rosa.

E agora arrastamos ao longo do quarto eixo - ao longo do eixo do tempo (mostrei em verde). E temos o cubo do futuro - azul.

Cada vértice do “cubo agora” deixa um rastro no tempo - um segmento. Conectando seu presente com seu futuro.

Resumindo, sem letra: desenhamos dois cubos tridimensionais idênticos e conectamos os vértices correspondentes.
Exatamente o mesmo que fizeram com um cubo tridimensional (desenhe 2 cubos bidimensionais idênticos e conecte os vértices).

Para desenhar um cubo de 5 dimensões, você terá que desenhar duas cópias de um cubo de 4 dimensões (um cubo de 4 dimensões com quinta coordenada 0 e um cubo de 4 dimensões com quinta coordenada 1) e conectar os vértices correspondentes com arestas. É verdade que haverá uma confusão tão grande de arestas no avião que será quase impossível entender alguma coisa.

Depois de imaginarmos um cubo quadridimensional e até conseguirmos desenhá-lo, podemos explorá-lo de diferentes maneiras. Lembrando-se de explorá-lo tanto mentalmente quanto a partir da imagem.
Por exemplo. Um cubo bidimensional é limitado em 4 lados por cubos unidimensionais. Isto é lógico: para cada uma das 2 coordenadas tem um começo e um fim.
Um cubo tridimensional é limitado em 6 lados por cubos bidimensionais. Para cada uma das três coordenadas tem um começo e um fim.
Isto significa que um cubo quadridimensional deve ser limitado por oito cubos tridimensionais. Para cada uma das 4 coordenadas - em ambos os lados. Na figura acima vemos claramente 2 faces que a limitam ao longo da coordenada “tempo”.

Aqui estão dois cubos (são ligeiramente oblíquos porque têm 2 dimensões projetadas no plano em ângulo), limitando nosso hipercubo à esquerda e à direita.

Também é fácil perceber “superior” e “inferior”.

O mais difícil é entender visualmente onde estão “dianteiro” e “traseiro”. O frontal começa na borda frontal do “cubo agora” e até a borda frontal do “cubo do futuro” - é vermelho. O traseiro é roxo.

Eles são os mais difíceis de notar porque outros cubos estão emaranhados sob os pés, o que limita o hipercubo em uma coordenada projetada diferente. Mas observe que os cubos ainda são diferentes! Aqui está novamente a imagem, onde estão destacados o “cubo de agora” e o “cubo do futuro”.

Claro, é possível projetar um cubo quadridimensional no espaço tridimensional.
O primeiro modelo espacial possível é claro: você precisa pegar 2 quadros de cubo e conectar seus vértices correspondentes com uma nova aresta.
Não tenho esse modelo em estoque no momento. Na palestra, mostro aos alunos um modelo tridimensional ligeiramente diferente de um cubo quadridimensional.

Você sabe como um cubo é projetado em um plano como este.
É como se estivéssemos olhando para um cubo de cima.

A borda próxima é, obviamente, grande. E a borda mais distante parece menor, vemos através da próxima.

É assim que você pode projetar um cubo quadridimensional. O cubo é maior agora, vemos o cubo do futuro à distância, então parece menor.

Por outro lado. Do lado superior.

Diretamente exatamente do lado da borda:

Do lado da costela:

E o último ângulo, assimétrico. Da seção “diga-me que olhei entre as costelas”.

Bem, então você pode inventar qualquer coisa. Por exemplo, assim como há o desenvolvimento de um cubo tridimensional em um plano (é como recortar uma folha de papel para que quando dobrada você obtenha um cubo), o mesmo acontece com o desenvolvimento de um cubo quadridimensional em espaço. É como recortar um pedaço de madeira para que, dobrando-o no espaço quadridimensional, obtenhamos um tesseract.

Você pode estudar não apenas um cubo quadridimensional, mas cubos n-dimensionais em geral. Por exemplo, é verdade que o raio de uma esfera circunscrita em torno de um cubo n-dimensional é menor que o comprimento da aresta deste cubo? Ou aqui está uma pergunta mais simples: quantos vértices tem um cubo n-dimensional? Quantas arestas (faces unidimensionais)?

Vamos começar explicando o que é o espaço quadridimensional.

Este é um espaço unidimensional, ou seja, simplesmente o eixo OX. Qualquer ponto nele é caracterizado por uma coordenada.

Agora vamos desenhar o eixo OY perpendicular ao eixo OX. Assim obtemos um espaço bidimensional, ou seja, o plano XOY. Qualquer ponto é caracterizado por duas coordenadas - abscissa e ordenada.

Vamos desenhar o eixo OZ perpendicular aos eixos OX e OY. O resultado é um espaço tridimensional no qual qualquer ponto possui abcissa, ordenada e aplicada.

É lógico que o quarto eixo, OQ, seja perpendicular aos eixos OX, OY e OZ ao mesmo tempo. Mas não podemos construir tal eixo com precisão e, portanto, só podemos tentar imaginá-lo. Cada ponto no espaço quadridimensional tem quatro coordenadas: x, y, z e q.

Agora vamos ver como apareceu o cubo quadridimensional.

A imagem mostra uma figura em um espaço unidimensional - uma linha.

Se você fizer uma translação paralela desta linha ao longo do eixo OY e, em seguida, conectar as extremidades correspondentes das duas linhas resultantes, obterá um quadrado.

Da mesma forma, se você fizer uma translação paralela do quadrado ao longo do eixo OZ e conectar os vértices correspondentes, obterá um cubo.

E se fizermos uma translação paralela do cubo ao longo do eixo OQ e conectarmos os vértices desses dois cubos, obteremos um cubo quadridimensional. A propósito, é chamado tesserato.

Para desenhar um cubo em um avião, você precisa dele projeto. Visualmente fica assim:

Vamos imaginar que ele está suspenso no ar acima da superfície modelo de estrutura de arame cubo, isto é, como se fosse “feito de arame”, e acima dele há uma lâmpada. Se você acender uma lâmpada, traçar a sombra do cubo com um lápis e depois desligar a lâmpada, uma projeção do cubo será representada na superfície.

Vamos passar para algo um pouco mais complexo. Observe novamente o desenho com a lâmpada: como você pode ver, todos os raios convergem em um ponto. É chamado ponto de fuga e é usado para construir projeção em perspectiva(e também acontece paralelo, quando todos os raios são paralelos entre si. O resultado é que a sensação de volume não é criada, mas é mais leve e, além disso, se o ponto de fuga estiver muito distante do objeto projetado, então a diferença entre essas duas projeções é pouco perceptível). Para projetar um determinado ponto em um determinado plano usando um ponto de fuga, você precisa traçar uma linha reta através do ponto de fuga e do ponto dado e, em seguida, encontrar o ponto de intersecção da linha reta resultante e do plano. E para projetar uma figura mais complexa, digamos, um cubo, você precisa projetar cada um de seus vértices e depois conectar os pontos correspondentes. Deve-se notar que algoritmo para projetar espaço no subespaço pode ser generalizado para o caso de 4D->3D, não apenas 3D->2D.

Como eu disse, não podemos imaginar exatamente como é o eixo OQ, assim como o tesseract. Mas podemos ter uma ideia limitada se projetarmos em um volume e depois desenharmos na tela de um computador!

Agora vamos falar sobre a projeção do tesserato.

À esquerda está a projeção do cubo no plano e à direita está o tesseract no volume. São bastante semelhantes: a projeção de um cubo se assemelha a dois quadrados, pequenos e grandes, um dentro do outro, e cujos vértices correspondentes estão conectados por linhas. E a projeção do tesseract se parece com dois cubos, pequenos e grandes, um dentro do outro, e cujos vértices correspondentes estão conectados. Mas todos nós vimos o cubo e podemos dizer com segurança que tanto o quadrado pequeno quanto o grande, e os quatro trapézios acima, abaixo, à direita e à esquerda do quadrado pequeno, são na verdade quadrados e são iguais . E o tesseract tem a mesma coisa. E um cubo grande, um cubo pequeno e seis pirâmides truncadas nas laterais de um cubo pequeno - todos são cubos e são iguais.

Meu programa pode não apenas desenhar a projeção de um tesseract em um volume, mas também girá-lo. Vejamos como isso é feito.

Primeiro vou te contar o que é rotação paralela ao plano.

Imagine que o cubo gira em torno do eixo OZ. Então cada um dos seus vértices descreve um círculo em torno do eixo OZ.

Um círculo é uma figura plana. E os planos de cada um destes círculos são paralelos entre si e, neste caso, paralelos ao plano XOY. Ou seja, podemos falar não apenas de rotação em torno do eixo OZ, mas também de rotação paralela ao plano XOY. Como vemos, para pontos que giram paralelamente ao eixo XOY, apenas a abcissa e a ordenada mudam, enquanto o aplicado permanece inalterado. E, de fato, só podemos falar sobre rotação em torno de uma linha reta quando estamos lidando com espaço tridimensional. No espaço bidimensional tudo gira em torno de um ponto, no espaço quadridimensional tudo gira em torno de um plano, no espaço pentadimensional falamos de rotação em torno de um volume. E se pudermos imaginar a rotação em torno de um ponto, então a rotação em torno de um plano e de um volume é algo impensável. E se falamos de rotação paralela ao plano, então em qualquer espaço n-dimensional um ponto pode girar paralelamente ao plano.

Muitos de vocês provavelmente já ouviram falar da matriz de rotação. Multiplicando o ponto por ele, obtemos um ponto girado paralelamente ao plano por um ângulo phi. Para o espaço bidimensional, fica assim:

Como multiplicar: x de um ponto girado por um ângulo phi = cosseno do ângulo phi*ix do ponto original menos seno do ângulo phi*ig do ponto original;
ig de um ponto girado por um ângulo phi = seno do ângulo phi * ix do ponto original mais cosseno do ângulo phi * ig do ponto original.
Xa`=cosф*Xa - sinф*Ya
Ya`= sinф*Xa + cosф*Ya
, onde Xa e Ya são a abcissa e a ordenada do ponto a ser girado, Xa` e Ya` são a abcissa e a ordenada do ponto já girado

Para o espaço tridimensional, esta matriz é generalizada da seguinte forma:

Rotação paralela ao plano XOY. Como você pode ver, a coordenada Z não muda, mas apenas X e Y mudam
Xa`=cosф*Xa - sinф*Ya + Za*0
Ya`=sinф*Xa +cosф*Ya + Za*0
Za`=Xa*0 + Ya*0 + Za*1 (essencialmente, Za`=Za)

Rotação paralela ao plano XOZ. Nada de novo,
Xa`=cosф*Xa + Ya*0 - sinф*Za
Ya`=Xa*0 + Ya*1 + Za*0 (essencialmente, Ya`=Ya)
Za`=sinф*Xa + Ya*0 + cosф*Za

E a terceira matriz.
Xa`=Xa*1 + Ya*0 + Za*0 (essencialmente, Xa`=Xa)
Ya`=Xa*0 + cosф*Ya - sinф*Za
Za`=Xa*0 + sinф*Ya + cosф*Za

E para a quarta dimensão eles ficam assim:


Acho que você já sabe por que multiplicar, então não entrarei em detalhes novamente. Mas observo que ela faz a mesma coisa que uma matriz para rotação paralela a um plano no espaço tridimensional! Ambos alteram apenas a ordenada e o aplicado, e não tocam nas demais coordenadas, portanto pode ser utilizado no caso tridimensional, simplesmente não prestando atenção na quarta coordenada.

Mas com a fórmula de projeção nem tudo é tão simples. Não importa quantos fóruns eu leia, nenhum dos métodos de projeção funcionou para mim. O paralelo não me convinha, pois a projeção não ficaria tridimensional. Em algumas fórmulas de projeção, para encontrar um ponto é preciso resolver um sistema de equações (e não sei ensinar um computador a resolvê-las), outras eu simplesmente não entendi... Em geral, decidi inventar meu próprio caminho. Para este propósito, considere a projeção 2D->1D.

pov significa “Ponto de vista”, ptp significa “Ponto a projetar” (o ponto a ser projetado) e ptp` é o ponto desejado no eixo OX.

Os ângulos povptpB e ptpptp`A são iguais como correspondentes (a linha pontilhada é paralela ao eixo OX, a linha reta povptp é uma secante).
O x do ponto ptp` é igual ao x do ponto ptp menos o comprimento do segmento ptp`A. Este segmento pode ser encontrado a partir do triângulo ptpptp`A: ptp`A = ptpA/tangente do ângulo ptpptp`A. Podemos encontrar esta tangente a partir do triângulo povptpB: tangente ptpptp`A = (Ypov-Yptp)(Xpov-Xptp).
Resposta: Xptp`=Xptp-Yptp/tangente do ângulo ptpptp`A.

Não descrevi esse algoritmo em detalhes aqui, pois há muitos casos especiais em que a fórmula muda um pouco. Se alguém tiver interesse, veja o código fonte do programa, está tudo descrito lá nos comentários.

Para projetar um ponto no espaço tridimensional em um plano, simplesmente consideramos dois planos - XOZ e YOZ, e resolvemos este problema para cada um deles. No caso do espaço quadridimensional, é necessário considerar três planos: XOQ, YOQ e ZOQ.

E finalmente, sobre o programa. Funciona assim: inicialize dezesseis vértices do tesseract -> dependendo dos comandos digitados pelo usuário, gire-o -> projete-o no volume -> dependendo dos comandos digitados pelo usuário, gire sua projeção -> projete no volume avião -> desenhar.

Eu mesmo escrevi as projeções e rotações. Eles funcionam de acordo com as fórmulas que acabei de descrever. A biblioteca OpenGL desenha linhas e também lida com a mistura de cores. E as coordenadas dos vértices do tesserato são calculadas desta forma:

Coordenadas dos vértices de uma reta centrada na origem e comprimento 2 - (1) e (-1);
- " - " - quadrado - " - " - e uma aresta de comprimento 2:
(1; 1), (-1; 1), (1; -1) e (-1; -1);
- " - " - cubo - " - " -:
(1; 1; 1), (-1; 1; 1), (1; -1; 1), (-1; -1; 1), (1; 1; -1), (-1; 1; -1), (1; -1; -1), (-1; -1; -1);
Como você pode ver, um quadrado está uma linha acima do eixo OY e uma linha abaixo do eixo OY; um cubo é um quadrado na frente do plano XOY e um atrás dele; O tesseract é um cubo do outro lado do volume XOYZ e outro deste lado. Mas é muito mais fácil perceber essa alternância de uns e menos se eles estiverem escritos em uma coluna

1; 1; 1
-1; 1; 1
1; -1; 1
-1; -1; 1
1; 1; -1
-1; 1; -1
1; -1; -1
-1; -1; -1

Na primeira coluna, um e menos um se alternam. Na segunda coluna, primeiro há dois pontos positivos e depois dois pontos negativos. No terceiro - quatro mais e depois quatro menos. Esses eram os vértices do cubo. O tesserato possui o dobro deles e, portanto, foi necessário escrever um loop para declará-los, caso contrário é muito fácil se confundir.

Meu programa também pode desenhar anáglifo. Felizes proprietários de óculos 3D podem observar uma imagem estereoscópica. Não há nada complicado em fazer um desenho; você simplesmente desenha duas projeções no plano, para os olhos direito e esquerdo. Mas o programa se torna muito mais visual e interessante e, o mais importante, dá uma ideia melhor do mundo quadridimensional.

Funções menos significativas são a iluminação de uma das bordas em vermelho para que as curvas possam ser melhor visualizadas, além de pequenas conveniências - regulação das coordenadas dos pontos “olhos”, aumentando e diminuindo a velocidade de rotação.

Arquivo com o programa, código fonte e instruções de uso.

Se um incidente incomum aconteceu com você, você viu uma criatura estranha ou um fenômeno incompreensível, você pode nos enviar sua história e ela será publicada em nosso site ===> .

A doutrina dos espaços multidimensionais começou a surgir em meados do século XIX. A ideia de espaço quadridimensional foi emprestada dos cientistas por escritores de ficção científica. Em suas obras eles contaram ao mundo sobre as maravilhas surpreendentes da quarta dimensão.

Os heróis de suas obras, usando as propriedades do espaço quadridimensional, podiam comer o conteúdo de um ovo sem danificar a casca e beber uma bebida sem abrir a tampa da garrafa. Os ladrões retiraram o tesouro do cofre através da quarta dimensão. Os cirurgiões realizaram operações em órgãos internos sem cortar o tecido corporal do paciente.

Tesserato

Em geometria, um hipercubo é uma analogia n-dimensional de um quadrado (n = 2) e um cubo (n = 3). O análogo quadridimensional do nosso cubo tridimensional usual é conhecido como tesseract. O tesserato está para o cubo assim como o cubo está para o quadrado. Mais formalmente, um tesserato pode ser descrito como um poliedro quadridimensional convexo regular cujo limite consiste em oito células cúbicas.

Cada par de faces 3D não paralelas se cruzam para formar faces 2D (quadrados) e assim por diante. Finalmente, o tesseract possui 8 faces 3D, 24 faces 2D, 32 arestas e 16 vértices.
A propósito, de acordo com o Dicionário Oxford, a palavra tesseract foi cunhada e usada em 1888 por Charles Howard Hinton (1853-1907) em seu livro A New Age of Thought. Mais tarde, algumas pessoas chamaram a mesma figura de tetracubo (grego tetra - quatro) - um cubo quadridimensional.

Construção e descrição

Vamos tentar imaginar como seria um hipercubo sem sair do espaço tridimensional.
Em um “espaço” unidimensional - em uma linha reta - selecionamos um segmento AB de comprimento L. Em um plano bidimensional a uma distância L de AB, desenhamos um segmento DC paralelo a ele e conectamos suas extremidades. O resultado é um CDBA quadrado. Repetindo esta operação com o plano, obtemos um cubo tridimensional CDBAGHFE. E deslocando o cubo na quarta dimensão (perpendicular às três primeiras) por uma distância L, obtemos o hipercubo CDBAGHFEKLJIOPNM.

De maneira semelhante, podemos continuar nosso raciocínio para hipercubos com um número maior de dimensões, mas é muito mais interessante ver como será um hipercubo quadridimensional para nós, residentes do espaço tridimensional.

Vamos pegar o cubo de arame ABCDHEFG e observá-lo com um olho pela lateral da borda. Veremos e podemos desenhar dois quadrados no plano (suas bordas próximas e distantes), conectados por quatro linhas - bordas laterais. Da mesma forma, um hipercubo quadridimensional no espaço tridimensional se parecerá com duas “caixas” cúbicas inseridas uma na outra e conectadas por oito arestas. Nesse caso, as próprias “caixas” - faces tridimensionais - serão projetadas no “nosso” espaço, e as linhas que as conectam se estenderão na direção do quarto eixo. Você também pode tentar imaginar o cubo não em projeção, mas em uma imagem espacial.

Assim como um cubo tridimensional é formado por um quadrado deslocado pelo comprimento de sua face, um cubo deslocado para a quarta dimensão formará um hipercubo. É limitado por oito cubos, que em perspectiva parecerão uma figura bastante complexa. O próprio hipercubo quadridimensional pode ser dividido em um número infinito de cubos, assim como um cubo tridimensional pode ser “cortado” em um número infinito de quadrados planos.

Ao cortar as seis faces de um cubo tridimensional, você pode decompô-lo em uma figura plana - um desenvolvimento. Terá um quadrado de cada lado da face original e mais um - a face oposta a ela. E o desenvolvimento tridimensional de um hipercubo quadridimensional consistirá no cubo original, seis cubos “crescendo” dele, mais um - a “hiperface” final.

Hipercubo na arte

O Tesseract é uma figura tão interessante que atraiu repetidamente a atenção de escritores e cineastas.
Robert E. Heinlein mencionou hipercubos várias vezes. Em The House That Teal Built (1940), ele descreveu uma casa construída como um tesseract desembrulhado e então, devido a um terremoto, "dobrada" na quarta dimensão para se tornar um tesseract "real". O romance Glory Road de Heinlein descreve uma caixa hiperdimensionada que era maior por dentro do que por fora.

A história de Henry Kuttner "All Tenali Borogov" descreve um brinquedo educativo para crianças de um futuro distante, semelhante em estrutura a um tesseract.

A trama de Cube 2: Hypercube gira em torno de oito estranhos presos em um "hipercubo", ou rede de cubos conectados.

Um mundo paralelo

As abstrações matemáticas deram origem à ideia da existência de mundos paralelos. Estas são entendidas como realidades que existem simultaneamente com a nossa, mas independentemente dela. Um mundo paralelo pode ter diferentes tamanhos: desde uma pequena área geográfica até um universo inteiro. Num mundo paralelo, os acontecimentos ocorrem à sua maneira, pode diferir do nosso mundo, tanto nos detalhes individuais como em quase tudo. Além disso, as leis físicas de um mundo paralelo não são necessariamente semelhantes às leis do nosso Universo.

Este tópico é um terreno fértil para escritores de ficção científica.

A pintura "A Crucificação" de Salvador Dali retrata um tesseract. “Crucificação ou Corpo Hipercúbico” é uma pintura do artista espanhol Salvador Dali, pintada em 1954. Retrata Jesus Cristo crucificado em uma varredura de tesserato. A pintura é mantida no Metropolitan Museum of Art de Nova York

Tudo começou em 1895, quando H.G. Wells, com sua história “The Door in the Wall”, abriu a existência de mundos paralelos à ficção científica. Em 1923, Wells voltou à ideia de mundos paralelos e colocou em um deles um país utópico para onde vão os personagens do romance Men Like Gods.

O romance não passou despercebido. Em 1926, apareceu a história de G. Dent “O Imperador do País “Se”". Na história de Dent, pela primeira vez, surgiu a ideia de que poderia haver países (mundos) cuja história poderia ser diferente da história dos países reais em nosso mundo. E esses mundos não são menos reais que o nosso.

Em 1944, Jorge Luis Borges publicou o conto “O Jardim dos Caminhos que se Bifurcam” em seu livro Histórias Fictícias. Aqui a ideia de ramificação do tempo foi finalmente expressa com a maior clareza.
Apesar do surgimento dos trabalhos listados acima, a ideia de muitos mundos começou a se desenvolver seriamente na ficção científica apenas no final dos anos 40 do século 20, aproximadamente na mesma época em que uma ideia semelhante surgiu na física.

Um dos pioneiros da nova direção na ficção científica foi John Bixby, que sugeriu na história “One Way Street” (1954) que entre os mundos você só pode se mover em uma direção - uma vez que você passa do seu mundo para um paralelo, você não retornará, mas passará de um mundo para o outro. Porém, o retorno ao próprio mundo também não está excluído - para isso é necessário que o sistema de mundos seja fechado.

O romance de Clifford Simak, A Ring Around the Sun (1982), descreve vários planetas Terra, cada um existindo em seu próprio mundo, mas na mesma órbita, e esses mundos e esses planetas diferem uns dos outros apenas por uma ligeira mudança (microssegundos) no tempo. As numerosas Terras que o herói do romance visita formam um único sistema de mundos.

Alfred Bester expressou uma visão interessante da ramificação dos mundos em sua história “The Man Who Killed Mohammed” (1958). “Ao mudar o passado”, argumentou o herói da história, “você o muda apenas para si mesmo”. Em outras palavras, após uma mudança no passado, surge um ramo da história em que somente para o personagem que fez a mudança essa mudança existe.

A história dos irmãos Strugatsky “Monday Begins on Saturday” (1962) descreve as viagens dos personagens para diferentes versões do futuro descritas por escritores de ficção científica - em contraste com as viagens para diferentes versões do passado que já existiam na ficção científica.

Porém, mesmo uma simples listagem de todas as obras que abordam o tema dos mundos paralelos levaria muito tempo. E embora os escritores de ficção científica, via de regra, não fundamentem cientificamente o postulado da multidimensionalidade, eles estão certos sobre uma coisa - esta é uma hipótese que tem o direito de existir.
A quarta dimensão do tesseract ainda está esperando por nossa visita.

Victor Savinov

Se você é fã dos filmes dos Vingadores, a primeira coisa que pode vir à mente ao ouvir a palavra “Tesseract” é o recipiente transparente em forma de cubo da Pedra do Infinito contendo poder ilimitado.

Para os fãs do Universo Marvel, o Tesseract é um cubo azul brilhante que faz as pessoas não só da Terra, mas também de outros planetas enlouquecerem. É por isso que todos os Vingadores se uniram para proteger os terráqueos dos poderes extremamente destrutivos do Tesseract.

No entanto, isto precisa ser dito: O Tesseract é um conceito geométrico real, ou mais especificamente, uma forma que existe em 4D. Não é apenas um cubo azul dos Vingadores... é um conceito real.

O Tesseract é um objeto em 4 dimensões. Mas antes de explicarmos em detalhes, vamos começar do início.

O que é “medição”?

Toda pessoa já ouviu os termos 2D e 3D, representando respectivamente objetos bidimensionais ou tridimensionais no espaço. Mas quais são essas medidas?

A dimensão é simplesmente uma direção que você pode seguir. Por exemplo, se você estiver desenhando uma linha em um pedaço de papel, poderá ir para a esquerda/direita (eixo x) ou para cima/baixo (eixo y). Então dizemos que o papel é bidimensional porque só podemos ir em duas direções.

Há uma sensação de profundidade em 3D.

Agora, no mundo real, além das duas direções mencionadas acima (esquerda/direita e cima/baixo), você também pode ir "para/de". Consequentemente, uma sensação de profundidade é adicionada ao espaço 3D. É por isso que dizemos que a vida real é tridimensional.

Um ponto pode representar 0 dimensões (já que não se move em nenhuma direção), uma linha representa 1 dimensão (comprimento), um quadrado representa 2 dimensões (comprimento e largura) e um cubo representa 3 dimensões (comprimento, largura e altura). ).

Pegue um cubo 3D e substitua cada uma de suas faces (que atualmente são quadradas) por um cubo. E assim! A forma que você obtém é o tesseract.

O que é um tesserato?

Simplificando, um tesseract é um cubo no espaço quadridimensional. Você também pode dizer que é um análogo 4D de um cubo. Esta é uma forma 4D onde cada face é um cubo.

Uma projeção 3D de um tesseract realizando uma rotação dupla em torno de dois planos ortogonais.
Imagem: Jason Hise

Aqui está uma maneira simples de conceituar dimensões: um quadrado é bidimensional; portanto, cada um de seus cantos tem 2 linhas que se estendem a partir dele em um ângulo de 90 graus entre si. O cubo é 3D, então cada um de seus cantos possui 3 linhas saindo dele. Da mesma forma, o tesseract tem uma forma 4D, então cada canto tem 4 linhas que se estendem a partir dele.

Por que é difícil imaginar um tesserato?

Como nós, como humanos, evoluímos para visualizar objetos em três dimensões, qualquer coisa que vá para dimensões extras como 4D, 5D, 6D, etc. não faz muito sentido para nós porque não podemos introduzi-los. Nosso cérebro não consegue compreender a 4ª dimensão do espaço. Nós simplesmente não podemos pensar sobre isso.

No entanto, só porque não conseguimos visualizar o conceito de espaços multidimensionais não significa que ele não possa existir.

Matematicamente, o tesseract tem uma forma perfeitamente precisa. Da mesma forma, todas as formas em dimensões superiores, ou seja, 5D e 6D, também são matematicamente plausíveis.

Assim como um cubo pode ser expandido em 6 quadrados no espaço 2D, um tesseract pode ser expandido em 8 cubos no espaço 3D.

Surpreendente e incompreensível, não é?

Portanto, o tesserato é um “conceito real” absolutamente matematicamente plausível, não apenas o cubo azul brilhante pelo qual se disputa nos filmes dos Vingadores.

Sólidos hipercubo e platônicos

Modele um icosaedro truncado (“bola de futebol”) no sistema “Vetor”
em que cada pentágono é delimitado por hexágonos

Icosaedro truncado pode ser obtido cortando 12 vértices para formar faces na forma de pentágonos regulares. Neste caso, o número de vértices do novo poliedro aumenta 5 vezes (12×5=60), 20 faces triangulares se transformam em hexágonos regulares (no total faces tornam-se 20+12=32), A o número de arestas aumenta para 30+12×5=90.

Etapas para construir um icosaedro truncado no sistema vetorial

Figuras no espaço quadridimensional.

--à

--à ?

Por exemplo, dado um cubo e um hipercubo. Um hipercubo tem 24 faces. Isso significa que um octaedro quadridimensional terá 24 vértices. Embora não, um hipercubo possui 8 faces de cubos - cada uma tem um centro em seu vértice. Isso significa que um octaedro quadridimensional terá 8 vértices, o que é ainda mais leve.

Octaedro quadridimensional. Consiste em oito tetraedros equiláteros e iguais,
conectados por quatro em cada vértice.

Arroz. Uma tentativa de simular
hiperesfera-hiperesfera no sistema vetorial

Frente - faces traseiras - bolas sem distorção. Outras seis bolas podem ser definidas através de elipsóides ou superfícies quadráticas (através de 4 curvas de nível como geradores) ou através de faces (primeiramente definidas através de geradores).

Mais técnicas para “construir” uma hiperesfera
- a mesma “bola de futebol” no espaço quadridimensional

Apêndice 2

Para poliedros convexos, existe uma propriedade que relaciona o número de seus vértices, arestas e faces, comprovada em 1752 por Leonhard Euler, e chamada de teorema de Euler.

Antes de formulá-lo, considere os poliedros que conhecemos e preencha a seguinte tabela, na qual B é o número de vértices, P - arestas e G - faces de um determinado poliedro:

Nome do poliedro
Pirâmide triangular
Pirâmide quadrangular
Prisma triangular
Prisma quadrangular
n-pirâmide de carvão	n+1	2n	n+1
n-prisma de carbono	2n	3n	n+2
n-carvão truncado pirâmide	2n	3n	n+2

A partir desta tabela, fica imediatamente claro que para todos os poliedros selecionados vale a igualdade B - P + G = 2. Acontece que esta igualdade é válida não apenas para esses poliedros, mas também para um poliedro convexo arbitrário.

Teorema de Euler. Para qualquer poliedro convexo a igualdade é válida

B - P + G = 2,

onde B é o número de vértices, P é o número de arestas e G é o número de faces de um determinado poliedro.

Prova. Para provar esta igualdade, imagine a superfície deste poliedro feita de um material elástico. Vamos remover (recortar) uma de suas faces e esticar a superfície restante em um plano. Obtemos um polígono (formado pelas arestas da face removida do poliedro), dividido em polígonos menores (formados pelas faces restantes do poliedro).

Observe que os polígonos podem ter seus lados deformados, ampliados, reduzidos ou até curvados, desde que não haja lacunas nas laterais. O número de vértices, arestas e faces não mudará.

Vamos provar que a partição resultante do polígono em polígonos menores satisfaz a igualdade

(*)B - P + G " = 1,

onde B é o número total de vértices, P é o número total de arestas e Г " é o número de polígonos incluídos na partição. É claro que Г " = Г - 1, onde Г é o número de faces de um determinado poliedro.

Vamos provar que a igualdade (*) não muda se uma diagonal for desenhada em algum polígono de uma determinada partição (Fig. 5, a). Na verdade, depois de desenhar tal diagonal, a nova partição terá B vértices, P+1 arestas e o número de polígonos aumentará em um. Portanto, temos

B - (P + 1) + (G "+1) = B - P + G" .

Usando esta propriedade, desenhamos diagonais que dividem os polígonos recebidos em triângulos, e para a partição resultante mostramos a viabilidade da igualdade (*) (Fig. 5, b). Para fazer isso, removeremos sequencialmente as arestas externas, reduzindo o número de triângulos. Neste caso, dois casos são possíveis:

a) para remover um triângulo abcé necessário retirar duas costelas, no nosso caso AB E a.C.;

b) para remover um triânguloMKNé necessário retirar uma aresta, no nosso casoMinnesota.

Em ambos os casos, a igualdade (*) não mudará. Por exemplo, no primeiro caso, após a remoção do triângulo, o gráfico consistirá em B - 1 vértices, P - 2 arestas e G " - 1 polígono:

(B - 1) - (P + 2) + (G "- 1) = B - P + G".

Considere você mesmo o segundo caso.

Assim, remover um triângulo não altera a igualdade (*). Continuando este processo de remoção de triângulos, chegaremos eventualmente a uma partição que consiste num único triângulo. Para tal partição, B = 3, P = 3, Г " = 1 e, portanto, B – Р + Г " = 1. Isso significa que a igualdade (*) também vale para a partição original, da qual finalmente obtemos que para esta partição do polígono a igualdade (*) é verdadeira. Assim, para o poliedro convexo original a igualdade B - P + G = 2 é verdadeira.

Um exemplo de poliedro para o qual a relação de Euler não é válida, mostrado na Figura 6. Este poliedro possui 16 vértices, 32 arestas e 16 faces. Assim, para este poliedro a igualdade B – P + G = 0 é válida.

Apêndice 3.

Film Cube 2: Hypercube é um filme de ficção científica, uma sequência do filme Cube.

Oito estranhos acordam em quartos em forma de cubo. As salas estão localizadas dentro de um hipercubo quadridimensional. As salas estão em constante movimento por meio de “teletransporte quântico” e, se você subir para a próxima sala, é improvável que retorne à anterior. Mundos paralelos se cruzam no hipercubo, o tempo flui de maneira diferente em algumas salas e algumas salas são armadilhas mortais.

O enredo do filme repete em grande parte a história da primeira parte, o que também se reflete nas imagens de alguns personagens. O ganhador do Nobel Rosenzweig, que calculou o momento exato da destruição do hipercubo, morre nas salas do hipercubo..

Crítica

Se na primeira parte as pessoas presas num labirinto tentavam ajudar-se, neste filme é cada um por si. Existem muitos efeitos especiais desnecessários (também conhecidos como armadilhas) que de forma alguma conectam logicamente esta parte do filme com a anterior. Ou seja, verifica-se que o filme Cubo 2 é uma espécie de labirinto do futuro 2020-2030, mas não 2000. Na primeira parte, todos os tipos de armadilhas podem, teoricamente, ser criados por uma pessoa. Na segunda parte, essas armadilhas são uma espécie de programa de computador, a chamada “Realidade Virtual”.