Quase todo o curso de matemática é baseado em operações com números positivos e negativos. Afinal, assim que começamos a estudar a reta coordenada, números com sinais de mais e menos começam a aparecer em todos os lugares, em cada novo tópico. Não há nada mais fácil do que somar números positivos comuns; não é difícil subtrair um do outro. Mesmo a aritmética com dois números negativos raramente é um problema.
No entanto, muitas pessoas ficam confusas ao adicionar e subtrair números com sinais diferentes. Vamos relembrar as regras pelas quais essas ações ocorrem.
Adicionando números com sinais diferentes
Se para resolver um problema precisamos adicionar um número negativo “-b” a algum número “a”, então precisamos agir da seguinte forma.
- Vamos pegar os módulos de ambos os números - |a| e |b| - e compare esses valores absolutos entre si.
- Observemos qual módulo é maior e qual é menor, e subtraia o valor menor do valor maior.
- Coloquemos antes do número resultante o sinal do número cujo módulo é maior.
Esta será a resposta. Podemos simplificar: se na expressão a + (-b) o módulo do número “b” for maior que o módulo de “a”, então subtraímos “a” de “b” e colocamos um “menos ”na frente do resultado. Se o módulo “a” for maior, então “b” é subtraído de “a” - e a solução é obtida com sinal de “mais”.
Acontece também que os módulos são iguais. Se sim, então podemos parar neste ponto - estamos falando de números opostos, e sua soma será sempre igual a zero.
Subtraindo números com sinais diferentes
Já tratamos da adição, agora vamos dar uma olhada na regra da subtração. Também é bastante simples - e além disso, repete completamente uma regra semelhante para subtrair dois números negativos.
Para subtrair de um determinado número “a” - arbitrário, ou seja, com qualquer sinal - um número negativo “c”, é necessário adicionar ao nosso número arbitrário “a” o número oposto a “c”. Por exemplo:
- Se “a” for um número positivo e “c” for negativo, e você precisar subtrair “c” de “a”, então escrevemos assim: a – (-c) = a + c.
- Se “a” for um número negativo e “c” for positivo e “c” precisar ser subtraído de “a”, então escrevemos da seguinte forma: (- a)– c = - a+ (-c).
Assim, ao subtrair números com sinais diferentes, acabamos voltando às regras de adição, e ao somar números com sinais diferentes, voltamos às regras de subtração. Memorizar essas regras permite resolver problemas com rapidez e facilidade.
Regra para adicionar números negativos
Se você se lembra da aula de matemática e do tópico “Adição e subtração de números com sinais diferentes”, então para somar dois números negativos você precisa:
- realizar a adição de seus módulos;
- adicione um sinal “-” ao valor recebido.
Pela regra da adição, podemos escrever:
$(−a)+(−b)=−(a+b)$.
A regra para adicionar números negativos se aplica a inteiros negativos, números racionais e números reais.
Exemplo 1
Adicione os números negativos $−185$ e $−23\789.$
Solução.
Vamos usar a regra para somar números negativos.
Vamos encontrar os módulos desses números:
$|-23 \ 789|=23 \ 789$.
Vamos adicionar os números resultantes:
$185+23 \ 789=23 \ 974$.
Vamos colocar o sinal $“–”$ na frente do número encontrado e obter $−23\974$.
Breve solução: $(−185)+(−23\789)=−(185+23\789)=−23\974$.
Responder: $−23 \ 974$.
Ao somar números racionais negativos, eles devem ser convertidos para a forma de números naturais, frações ordinárias ou decimais.
Exemplo 2
Adicione os números negativos $-\frac(1)(4)$ e $−7,15$.
Solução.
De acordo com a regra para somar números negativos, primeiro você precisa encontrar a soma dos módulos:
$|-\frac(1)(4)|=\frac(1)(4)$;
É conveniente reduzir os valores obtidos a frações decimais e realizar sua adição:
$\frac(1)(4)=0,25$;
$0,25+7,15=7,40$.
Vamos colocar o sinal $“–”$ na frente do valor resultante e obter $–7,4$.
Breve resumo da solução:
$(-\frac(1)(4))+(−7,15)=−(\frac(1)(4)+7,15)=–(0,25+7,15)=−7, $4.
Para adicionar um número positivo e negativo você precisa:
- calcular os módulos de números;
- se forem iguais, então os números originais são opostos e sua soma é zero;
- se não forem iguais, é preciso lembrar o sinal do número cujo módulo é maior;
subtraia o menor do módulo maior;
- Antes do valor resultante coloque o sinal do número cujo módulo é maior.
compare os números resultantes:
Adicionar números com sinais opostos equivale a subtrair um número negativo menor de um número positivo maior.
A regra para somar números com sinais opostos se aplica a números inteiros, racionais e reais.
Exemplo 3
Adicione os números $4$ e $−8$.
Solução.
Você precisa somar números com sinais opostos. Vamos usar a regra de adição correspondente.
Vamos encontrar os módulos desses números:
O módulo do número $−8$ é maior que o módulo do número $4$, ou seja, lembre-se do sinal $“–”$.
Vamos colocar o sinal $“–”$, que lembramos, na frente do número resultante, e obteremos $−4.$
Breve resumo da solução:
$4+(–8) = –(8–4) = –4$.
Responder: $4+(−8)=−4$.
Para somar números racionais com sinais opostos, é conveniente representá-los na forma de frações ordinárias ou decimais.
Subtraindo números com sinais diferentes e negativos
Regra para subtrair números negativos:
Para subtrair um número negativo $b$ de um número $a$, é necessário adicionar o número $−b$ ao minuendo $a$, que é o oposto do subtraendo $b$.
De acordo com a regra da subtração, podemos escrever:
$a−b=a+(−b)$.
Esta regra é válida para números inteiros, racionais e reais. A regra pode ser usada para subtrair um número negativo de um número positivo, de um número negativo e de zero.
Exemplo 4
Subtraia o número negativo $−5$ do número negativo $−28$.
Solução.
O número oposto do número $–5$ é o número $5$.
De acordo com a regra de subtração de números negativos, obtemos:
$(−28)−(−5)=(−28)+5$.
Vamos adicionar números com sinais opostos:
$(−28)+5=−(28−5)=−23$.
Responder: $(−28)−(−5)=−23$.
Ao subtrair frações negativas, você deve converter os números em frações, números mistos ou decimais.
Adição e subtração de números com sinais diferentes
A regra para subtrair números com sinais opostos é a mesma que a regra para subtrair números negativos.
Exemplo 5
Subtraia o número positivo $7$ do número negativo $−11$.
Solução.
O oposto de $7$ é $–7$.
De acordo com a regra de subtração de números com sinais opostos, obtemos:
$(−11)−7=(–11)+(−7)$.
Vamos adicionar números negativos:
$(−11)+(–7)=−(11+7)=−18$.
Breve solução: $(−28)−(−5)=(−28)+5=−(28−5)=−23$.
Responder: $(−11)−7=−18$.
Ao subtrair números fracionários com sinais diferentes, é necessário converter os números na forma de frações ordinárias ou decimais.
Neste material, abordaremos um tópico tão importante como a adição de números negativos. No primeiro parágrafo apresentaremos a regra básica para esta ação e, no segundo, veremos exemplos específicos de solução de tais problemas.
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Regra básica para adicionar números naturais
Antes de derivarmos a regra, lembremo-nos do que geralmente sabemos sobre números positivos e negativos. Anteriormente, concordávamos que números negativos deveriam ser percebidos como dívida, perda. O módulo de um número negativo expressa o tamanho exato dessa perda. Então a adição de números negativos pode ser representada como a adição de duas perdas.
Usando esse raciocínio, formulamos a regra básica para somar números negativos.
Definição 1
Para completar somando números negativos, você precisa somar os valores de seus módulos e colocar um sinal de menos na frente do resultado. Na forma literal, a fórmula se parece com (− a) + (− b) = − (a + b) .
Com base nesta regra, podemos concluir que somar números negativos é semelhante a somar números positivos, só que no final devemos obter um número negativo, pois devemos colocar um sinal de menos antes da soma dos módulos.
Que evidências podem ser fornecidas para esta regra? Para fazer isso, precisamos lembrar as propriedades básicas das operações com números reais (ou com inteiros, ou com números racionais - elas são iguais para todos esses tipos de números). Para provar isso, basta demonstrar que a diferença entre os lados esquerdo e direito da igualdade (− a) + (− b) = − (a + b) será igual a 0.
Subtrair um número de outro é o mesmo que adicionar o mesmo número oposto a ele. Portanto, (− a) + (− b) − (− (a + b)) = (− a) + (− b) + (a + b) . Lembre-se de que as expressões numéricas com adição possuem duas propriedades principais - associativa e comutativa. Então podemos concluir que (− a) + (− b) + (a + b) = (− a + a) + (− b + b) . Como, ao adicionar números opostos, sempre obtemos 0, então (− a + a) + (− b + b) = 0 + 0, e 0 + 0 = 0. Nossa igualdade pode ser considerada comprovada, o que significa que a regra para somando números negativos Também provamos isso.
No segundo parágrafo, pegaremos problemas específicos onde precisamos adicionar números negativos e tentaremos aplicar a eles a regra aprendida.
Exemplo 1
Encontre a soma de dois números negativos - 304 e - 18.007.
Solução
Vamos realizar os passos passo a passo. Primeiro precisamos encontrar os módulos dos números que estão sendo somados: - 304 = 304, - 180007 = 180007. Em seguida, precisamos realizar a ação de adição, para a qual usamos o método de contagem de colunas:
Tudo o que nos resta é colocar um sinal de menos na frente do resultado e obter - 18.311.
Responder: - - 18 311 .
Os números que temos dependem do que podemos reduzir a ação da adição: encontrar a soma dos números naturais, somar frações ordinárias ou decimais. Vamos analisar o problema com esses números.
Exemplo N
Encontre a soma de dois números negativos - 2 5 e − 4, (12).
Solução
Encontramos os módulos dos números necessários e obtemos 2 5 e 4, (12). Temos duas frações diferentes. Reduzamos o problema à adição de duas frações ordinárias, para as quais representamos a fração periódica na forma de uma fração ordinária:
4 , (12) = 4 + (0 , 12 + 0 , 0012 + . . .) = 4 + 0 , 12 1 - 0 , 01 = 4 + 0 , 12 0 , 99 = 4 + 12 99 = 4 + 4 33 = 136 33
Como resultado, obtivemos uma fração que será fácil de somar com o primeiro termo original (se você esqueceu como somar corretamente frações com denominadores diferentes, repita o material correspondente).
2 5 + 136 33 = 2 33 5 33 + 136 5 33 5 = 66 165 + 680 165 = 764 165 = 4 86 105
Como resultado, obtivemos um número misto, diante do qual só precisamos colocar um sinal de menos. Isso completa os cálculos.
Responder: - 4 86 105 .
Os números reais negativos somam-se de maneira semelhante. O resultado de tal ação geralmente é escrito como uma expressão numérica. Seu valor não pode ser calculado ou limitado a cálculos aproximados. Assim, por exemplo, se precisarmos encontrar a soma - 3 + (− 5), então escrevemos a resposta como - 3 − 5. Dedicamos um material separado à adição de números reais, no qual você pode encontrar outros exemplos.
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Adição de números negativos.
A soma dos números negativos é um número negativo. O módulo da soma é igual à soma dos módulos dos termos.
Vamos descobrir por que a soma dos números negativos também será um número negativo. A linha de coordenadas nos ajudará nisso, na qual adicionaremos os números -3 e -5. Marquemos um ponto na linha de coordenadas correspondente ao número -3.
Ao número -3 precisamos adicionar o número -5. Para onde vamos do ponto correspondente ao número -3? Isso mesmo, esquerda! Para segmentos de 5 unidades. Marcamos um ponto e escrevemos o número correspondente a ele. Este número é -8.
Assim, ao somar números negativos por meio de uma reta coordenada, estamos sempre à esquerda da origem, portanto, fica claro que o resultado da soma de números negativos também é um número negativo.
Observação. Adicionamos os números -3 e -5, ou seja, encontrou o valor da expressão -3+(-5). Normalmente, ao somar números racionais, eles simplesmente anotam esses números com seus sinais, como se listassem todos os números que precisam ser somados. Essa notação é chamada de soma algébrica. Aplique (no nosso exemplo) a entrada: -3-5=-8.
Exemplo. Encontre a soma dos números negativos: -23-42-54. (Você concorda que esta entrada é mais curta e mais conveniente assim: -23+(-42)+(-54))?
Vamos decidir Segundo a regra de soma de números negativos: somamos os módulos dos termos: 23+42+54=119. O resultado terá um sinal de menos.
Eles geralmente escrevem assim: -23-42-54=-119.
Adição de números com sinais diferentes.
A soma de dois números com sinais diferentes tem o sinal de um termo com grande valor absoluto. Para encontrar o módulo de uma soma, você precisa subtrair o módulo menor do módulo maior..
Vamos realizar a adição de números com sinais diferentes usando uma linha de coordenadas.
1) -4+6. Você precisa adicionar o número 6 ao número -4. Vamos marcar o número -4 com um ponto na linha de coordenadas. O número 6 é positivo, o que significa que do ponto com coordenada -4 precisamos ir 6 segmentos unitários para a direita. Encontramo-nos à direita da origem (de zero) por 2 segmentos unitários.
O resultado da soma dos números -4 e 6 é o número positivo 2:
- 4+6=2. Como você conseguiu o número 2? Subtraia 4 de 6, ou seja, subtraia o menor do módulo maior. O resultado tem o mesmo sinal do termo com módulo grande.
2) Vamos calcular: -7+3 usando a linha de coordenadas. Marque o ponto correspondente ao número -7. Vamos para a direita por 3 segmentos unitários e obtemos um ponto com coordenada -4. Estávamos e continuamos à esquerda da origem: a resposta é um número negativo.
— 7+3=-4. Poderíamos obter este resultado desta forma: do módulo maior subtraímos o menor, ou seja, 7-3=4. Como resultado, colocamos o sinal do termo com módulo maior: |-7|>|3|.
Exemplos. Calcular: A) -4+5-9+2-6-3; b) -10-20+15-25.
Neste artigo falaremos sobre somando números negativos. Primeiro damos a regra para adicionar números negativos e provamos isso. Depois disso, veremos exemplos típicos de adição de números negativos.
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Regra para adicionar números negativos
Antes de formular a regra para somar números negativos, voltemos ao material do artigo: números positivos e negativos. Lá mencionamos que números negativos podem ser percebidos como dívida, e neste caso determina o valor dessa dívida. Portanto, a soma de dois números negativos é a soma de duas dívidas.
Esta conclusão permite-nos perceber regra para adicionar números negativos. Para adicionar dois números negativos, você precisa:
- dobre seus módulos;
- coloque um sinal de menos antes do valor recebido.
Vamos escrever a regra para adicionar números negativos −a e −b em formato de letras: (−a)+(−b)=−(a+b).
É claro que a regra declarada reduz a adição de números negativos à adição de números positivos (o módulo de um número negativo é um número positivo). Também fica claro que o resultado da adição de dois números negativos é um número negativo, como evidenciado pelo sinal de menos colocado antes da soma dos módulos.
A regra para adicionar números negativos pode ser provada com base em propriedades de operações com números reais(ou as mesmas propriedades das operações com números racionais ou inteiros). Para isso, basta mostrar que a diferença entre os lados esquerdo e direito da igualdade (−a)+(−b)=−(a+b) é igual a zero.
Como subtrair um número é o mesmo que adicionar o número oposto (veja a regra para subtrair inteiros), então (−a)+(−b)−(−(a+b))=(−a)+(−b)+(a+b). Devido às propriedades comutativas e associativas da adição, temos (−a)+(−b)+(a+b)=(−a+a)+(−b+b). Como a soma dos números opostos é igual a zero, então (−a+a)+(−b+b)=0+0, e 0+0=0 devido à propriedade de somar um número com zero. Isso prova a igualdade (−a)+(−b)=−(a+b) e, portanto, a regra para adicionar números negativos.
Resta aprender como aplicar na prática a regra de somar números negativos, o que faremos no próximo parágrafo.
Exemplos de adição de números negativos
Vamos resolver isso exemplos de adição de números negativos. Vamos começar com o caso mais simples - a adição de inteiros negativos, faremos a adição de acordo com a regra discutida no parágrafo anterior.
Exemplo.
Adicione os números negativos −304 e −18.007.
Solução.
Vamos seguir todos os passos da regra de adição de números negativos.
Primeiro encontramos os módulos dos números sendo somados: e 
. Agora você precisa somar os números resultantes; aqui é conveniente realizar a adição de colunas: 
Agora colocamos um sinal de menos na frente do número resultante, como resultado temos −18.311.
Vamos escrever a solução inteira de forma abreviada: (−304)+(−18.007)= −(304+18.007)=−18.311.
Responder:
−18 311 .
A adição de números racionais negativos, dependendo dos próprios números, pode ser reduzida à adição de números naturais, ou à adição de frações ordinárias, ou à adição de frações decimais.
Exemplo.
Adicione um número negativo e um número negativo −4,(12) .
Solução.
De acordo com a regra de adição de números negativos, primeiro você precisa calcular a soma dos módulos. Os módulos dos números negativos adicionados são iguais a 2/5 e 4, (12), respectivamente. A adição dos números resultantes pode ser reduzida à adição de frações ordinárias. Para fazer isso, convertemos a fração decimal periódica em uma fração ordinária: . Assim, 2/5+4,(12)=2/5+136/33. Agora vamos fazer isso
