Questão 1. Quais ângulos são chamados de adjacentes?
Responder. Dois ângulos são chamados adjacentes se tiverem um lado em comum e os outros lados desses ângulos forem meias-linhas complementares.
Na Figura 31, os ângulos (a 1 b) e (a 2 b) são adjacentes. Eles têm o lado b em comum e os lados a 1 e a 2 são meias-linhas adicionais.

Questão 2. Prove que a soma dos ângulos adjacentes é 180°.
Responder. Teorema 2.1. A soma dos ângulos adjacentes é 180°.
Prova. Sejam o ângulo (a 1 b) e o ângulo (a 2 b) ângulos adjacentes (ver Fig. 31). O raio b passa entre os lados a 1 e a 2 de um ângulo reto. Portanto, a soma dos ângulos (a 1 b) e (a 2 b) é igual ao ângulo desdobrado, ou seja, 180°. Q.E.D.

Questão 3. Prove que se dois ângulos são iguais, então seus ângulos adjacentes também são iguais.
Responder.

Do teorema 2.1 Segue-se que se dois ângulos são iguais, então seus ângulos adjacentes são iguais.
Digamos que os ângulos (a 1 b) e (c 1 d) sejam iguais. Precisamos provar que os ângulos (a 2 b) e (c 2 d) também são iguais.
A soma dos ângulos adjacentes é 180°. Segue-se disso que a 1 b + a 2 b = 180° e c 1 d + c 2 d = 180°. Portanto, a 2 b = 180° - a 1 b e c 2 d = 180° - c 1 d. Como os ângulos (a 1 b) e (c 1 d) são iguais, obtemos que a 2 b = 180° - a 1 b = c 2 d. Pela propriedade de transitividade do sinal de igual segue-se que a 2 b = c 2 d. Q.E.D.

Pergunta 4. Que ângulo é chamado de reto (agudo, obtuso)?
Responder. Um ângulo igual a 90° é chamado de ângulo reto.
Um ângulo menor que 90° é chamado de ângulo agudo.
Um ângulo maior que 90° e menor que 180° é chamado de obtuso.

Pergunta 5. Prove que um ângulo adjacente a um ângulo reto é um ângulo reto.
Responder. Do teorema da soma dos ângulos adjacentes segue-se que um ângulo adjacente a um ângulo reto é um ângulo reto: x + 90° = 180°, x = 180° - 90°, x = 90°.

Pergunta 6. Quais ângulos são chamados de verticais?
Responder. Dois ângulos são chamados de verticais se os lados de um ângulo são meias-linhas complementares dos lados do outro.

Pergunta 7. Prove que os ângulos verticais são iguais.
Responder. Teorema 2.2. Os ângulos verticais são iguais.
Prova. Sejam (a 1 b 1) e (a 2 b 2) os ângulos verticais dados (Fig. 34). O ângulo (a 1 b 2) é adjacente ao ângulo (a 1 b 1) e ao ângulo (a 2 b 2). A partir daqui, usando o teorema da soma dos ângulos adjacentes, concluímos que cada um dos ângulos (a 1 b 1) e (a 2 b 2) complementa o ângulo (a 1 b 2) a 180°, ou seja, os ângulos (a 1 b 1) e (a 2 b 2) são iguais. Q.E.D.

Pergunta 8. Prove que se, quando duas retas se cruzam, um dos ângulos é reto, então os outros três ângulos também são retos.
Responder. Suponha que as linhas AB e CD se cruzem no ponto O. Suponha que o ângulo AOD seja 90°. Como a soma dos ângulos adjacentes é 180°, obtemos que AOC = 180° - AOD = 180° - 90° = 90°. O ângulo COB é vertical ao ângulo AOD, portanto eles são iguais. Ou seja, ângulo COB = 90°. O ângulo COA é vertical ao ângulo BOD, portanto eles são iguais. Ou seja, ângulo BOD = 90°. Assim, todos os ângulos são iguais a 90°, ou seja, são todos ângulos retos. Q.E.D.

Pergunta 9. Quais linhas são chamadas de perpendiculares? Que sinal é usado para indicar a perpendicularidade das linhas?
Responder. Duas linhas são chamadas perpendiculares se se cruzam em ângulos retos.
A perpendicularidade das linhas é indicada pelo sinal \(\perp\). A entrada \(a\perp b\) diz: “A linha a é perpendicular à linha b.”

Pergunta 10. Prove que através de qualquer ponto de uma reta você pode traçar uma reta perpendicular a ele, e apenas uma.
Responder. Teorema 2.3. Através de cada linha você pode traçar uma linha perpendicular a ela, e apenas uma.
Prova. Seja a uma determinada reta e A um determinado ponto dela. Denotemos por 1 uma das meias retas da reta a com o ponto inicial A (Fig. 38). Subtraímos um ângulo (a 1 b 1) igual a 90° da semi-reta a 1. Então a reta que contém o raio b 1 será perpendicular à reta a.

Suponhamos que exista outra reta, também passando pelo ponto A e perpendicular à reta a. Denotemos por c 1 a meia reta desta reta situada no mesmo semiplano com o raio b 1 .
Os ângulos (a 1 b 1) e (a 1 c 1), cada um igual a 90°, são dispostos em um semiplano a partir da meia reta a 1. Mas a partir da semi-reta 1, apenas um ângulo igual a 90° pode ser colocado em um determinado semiplano. Portanto, não pode haver outra reta passando pelo ponto A e perpendicular à reta a. O teorema foi provado.

Pergunta 11. O que é perpendicular a uma linha?
Responder. Uma perpendicular a uma determinada reta é um segmento de reta perpendicular a uma dada reta, que tem uma de suas extremidades no ponto de interseção. Esta extremidade do segmento é chamada base perpendicular.

Pergunta 12. Explique em que consiste a prova por contradição.
Responder. O método de prova que usamos no Teorema 2.3 é chamado de prova por contradição. Este método de prova consiste em primeiro fazer uma suposição oposta ao que afirma o teorema. Então, raciocinando com base em axiomas e teoremas comprovados, chegamos a uma conclusão que contradiz as condições do teorema, ou um dos axiomas, ou um teorema previamente provado. Com base nisso, concluímos que nossa suposição estava incorreta e, portanto, a afirmação do teorema é verdadeira.

Pergunta 13. Qual é a bissetriz de um ângulo?
Responder. A bissetriz de um ângulo é um raio que emana do vértice do ângulo, passa entre seus lados e divide o ângulo ao meio.

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Cada ângulo, dependendo do seu tamanho, tem seu próprio nome:

Tipo de ângulo	Tamanho em graus	Exemplo
Apimentado	Menos de 90°
Direto	Igual a 90°. Em um desenho, um ângulo reto é geralmente denotado por um símbolo desenhado de um lado ao outro do ângulo.
Cego	Mais de 90°, mas menos de 180°
Expandido	Igual a 180° Um ângulo reto é igual à soma de dois ângulos retos e um ângulo reto é a metade de um ângulo reto.
Convexo	Mais de 180°, mas menos de 360°
Completo	Igual a 360°

Os dois ângulos são chamados adjacente, se tiverem um lado em comum e os outros dois lados formarem uma linha reta:

Ângulos ESFREGAR E PON adjacente, uma vez que o feixe OP- o lado comum e os outros dois lados - OM E SOBRE formar uma linha reta.

O lado comum dos ângulos adjacentes é chamado oblíquo para reto, sobre o qual repousam os outros dois lados, apenas no caso em que os ângulos adjacentes não são iguais entre si. Se os ângulos adjacentes forem iguais, então seu lado comum será perpendicular.

A soma dos ângulos adjacentes é 180°.

Os dois ângulos são chamados vertical, se os lados de um ângulo complementam os lados do outro ângulo em linhas retas:

Os ângulos 1 e 3, assim como os ângulos 2 e 4, são verticais.

Os ângulos verticais são iguais.

Vamos provar que os ângulos verticais são iguais:

A soma de ∠1 e ∠2 é um ângulo reto. E a soma de ∠3 e ∠2 é um ângulo reto. Portanto, esses dois valores são iguais:

∠1 + ∠2 = ∠3 + ∠2.

Nesta igualdade, à esquerda e à direita existe um termo idêntico - ∠2. A igualdade não será violada se este termo à esquerda e à direita for omitido. Então nós entendemos.

Sinais de paralelismo de duas linhas

Teorema 1. Se, quando duas retas se cruzam com uma secante:

ângulos cruzados são iguais, ou

os ângulos correspondentes são iguais, ou

a soma dos ângulos unilaterais é 180°, então

linhas são paralelas(Figura 1).

Prova. Limitamo-nos a provar o caso 1.

Sejam as linhas que se cruzam a e b transversais e os ângulos AB iguais. Por exemplo, ∠ 4 = ∠ 6. Vamos provar que a || b.

Suponha que as linhas aeb não sejam paralelas. Então eles se cruzam em algum ponto M e, portanto, um dos ângulos 4 ou 6 será o ângulo externo do triângulo ABM. Para maior definição, seja ∠ 4 o ângulo externo do triângulo ABM e ∠ 6 o interno. Segue-se do teorema do ângulo externo de um triângulo que ∠ 4 é maior que ∠ 6, e isso contradiz a condição, o que significa que as linhas a e 6 não podem se cruzar, portanto são paralelas.

Corolário 1. Duas retas diferentes em um plano perpendicular à mesma reta são paralelas(Figura 2).

Comente. A forma como acabamos de provar o caso 1 do Teorema 1 é chamada de método de prova por contradição ou redução ao absurdo. Este método recebeu seu primeiro nome porque no início do argumento é feita uma suposição contrária (oposta) ao que precisa ser provado. É chamado de levar ao absurdo porque, raciocinando com base na suposição feita, chegamos a uma conclusão absurda (ao absurdo). Receber tal conclusão nos obriga a rejeitar a suposição feita no início e a aceitar aquela que precisava ser provada.

Tarefa 1. Construa uma reta que passe por um dado ponto M e paralela a uma dada reta a, não passando pelo ponto M.

Solução. Desenhamos uma linha reta p através do ponto M perpendicular à linha reta a (Fig. 3).

Então traçamos uma reta b passando pelo ponto M perpendicular à reta p. A linha b é paralela à linha a de acordo com o corolário do Teorema 1.

Uma conclusão importante segue do problema considerado:
através de um ponto que não está em uma determinada linha, é sempre possível traçar uma linha paralela à dada.

A principal propriedade das linhas paralelas é a seguinte.

Axioma das retas paralelas. Por um determinado ponto que não pertence a uma determinada reta, passa apenas uma reta paralela àquela dada.

Consideremos algumas propriedades de retas paralelas que decorrem deste axioma.

1) Se uma linha cruza uma de duas linhas paralelas, então ela também cruza a outra (Fig. 4).

2) Se duas linhas diferentes são paralelas a uma terceira linha, então elas são paralelas (Fig. 5).

O seguinte teorema também é verdadeiro.

Teorema 2. Se duas retas paralelas são interceptadas por uma transversal, então:

os ângulos transversais são iguais;

os ângulos correspondentes são iguais;

a soma dos ângulos unilaterais é 180°.

Corolário 2. Se uma reta é perpendicular a uma de duas retas paralelas, então ela também é perpendicular à outra(ver Fig. 2).

Comente. O Teorema 2 é chamado de inverso do Teorema 1. A conclusão do Teorema 1 é a condição do Teorema 2. E a condição do Teorema 1 é a conclusão do Teorema 2. Nem todo teorema tem um inverso, isto é, se um determinado teorema é verdadeiro, então o teorema inverso pode ser falso.

Vamos explicar isso usando o exemplo do teorema dos ângulos verticais. Este teorema pode ser formulado da seguinte forma: se dois ângulos são verticais, então eles são iguais. O teorema inverso seria: se dois ângulos são iguais, então eles são verticais. E isso, claro, não é verdade. Dois ângulos iguais não precisam ser verticais.

Exemplo 1. Duas linhas paralelas são cruzadas por uma terceira. Sabe-se que a diferença entre dois ângulos unilaterais internos é de 30°. Encontre esses ângulos.

Solução. Deixe a Figura 6 atender à condição.

Editado por Ivanitskaya V.P. - M.: Editora Estadual Educacional e Pedagógica do Ministério da Educação da RSFSR, 1959. - 272 p.
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Se os ângulos adjacentes forem iguais, cada um deles é chamado de ângulo reto. Seu lado comum é denominado perpendicular à linha formada pelos outros dois lados. Também podemos dizer que a bissetriz de um ângulo reverso é perpendicular à reta formada pelos seus lados.

Teorema. Se os ângulos forem iguais, então os ângulos adjacentes serão iguais.

Seja (h, k) = ^. (I, m) e sejam ^ (h!, k) e ^ (/", t) os ângulos adjacentes correspondentes (Fig. 20). Seja, ainda, / o movimento no qual ^ (h, k) é exibido em (I, tri). Com este movimento, o ^ expandido (h, K) será mapeado no expandido (I, /"). Segue-se que ^(h", k) será mapeado em ^(V, m), ou seja, ^(h!, k) = ^(V, m).

Teorema. Existe uma bissetriz de qualquer ângulo e, além disso, única.

Seja ^(A, k) diferente do expandido e sua região interna seja convexa. Vamos traçar segmentos iguais OA e OB em seus lados do vértice O (Desenho 21, a) e conectar os pontos A e B. No triângulo isósceles AOB A = ^B (§ 8). Conectando o meio C do segmento AB com o ponto O, obtemos os triângulos L OS e BOC que são iguais no primeiro atributo, portanto AOC = BOC e, portanto, o raio OS é uma bissetriz (h, k).

Se (h, k) não for convexo (no desenho sua região interna não está sombreada), então de acordo com o anterior

6}
t^

Segundo o teorema, sua bissetriz é o raio m complementar ao raio /.

Da igualdade dos triângulos ACO e BCO segue-se também que ^ ACO = BCO1, ou seja, o raio CO é a bissetriz de um ângulo invertido com os lados CA e CB.

Seja agora dado um ^(p,<7) (черт.21,6). Совершим движение, при котор ом р азвер нутый

ACB é exibido em

(p, q). O feixe CO é mapeado no feixe t. Como ^ (p, t) = ^lBCO , ^BCO= ^ACO e ^ACO= = (q, t), então (p, t) = = ^(q, t), ou seja, t -bissetriz (p, q ).

Seja / seja a bissetriz

(A, A), e Г é um raio arbitrário emergindo do vértice do ângulo e situado em sua região interior. Se Γ está na região interna ^(A, /), então ^(A, /")<^ (А, /) и ^ (А, Г) >^ (A, /). Portanto, ^ (A, G)<^ (А, /"). Отсюда следует, что угол имеет единственную биссектрису. Теорема доказана.

Corolário 1. Existe uma e apenas uma perpendicular a uma determinada linha, emanando de um determinado ponto dela e situada em um determinado semiplano limitado por esta linha.

Corolário 2. Metades de ângulos iguais são iguais entre si.

Na verdade, se ^(A, A) = ^(A", A"), então há um movimento / no qual um deles é mapeado no outro. De acordo com o teorema comprovado, suas bissetoras / e Γ para um determinado movimento também devem ser mapeadas uma na outra. Portanto ^(A, /) = ^(A", Г).

Como todos os ângulos retos são iguais, um caso especial do Corolário 2 é a proposição: todos os ângulos retos são iguais entre si.

As linhas retas a e A que formam ângulos retos quando se cruzam são chamadas de perpendiculares (a ± b).

Reflexão de uma linha reta. Seja uma linha reta no plano a. Os semiplanos formados neste caso serão denotados por X e p. (Figura 22). Vamos pegar o raio A em linha reta

emergindo do ponto O. Pela propriedade de 6 movimentos (§ 7), existe um movimento único mapeando o raio h em si mesmo e o semiplano X no semiplano jx. Todos os pontos deste raio, de acordo com a propriedade dos 5 movimentos, são mapeados em si mesmos. Todos os pontos do raio k, complementares ao raio direto h, também são mapeados sobre si mesmos.

Assim, durante o movimento em consideração, todos os pontos da linha a são mapeados sobre si mesmos. É fácil, ainda, ver que

Tomemos agora um ponto fora da linha a.

Teorema. Por qualquer ponto que não esteja sobre uma reta passa uma única reta perpendicular à reta dada.

Prova. Seja M um ponto fora da linha reta a (Fig. 23). A linha a divide o plano definido por esta linha e

ponto M, em dois semiplanos: o semiplano X contendo o ponto M e o semiplano jx. Quando refletido da linha reta a, o ponto M é mapeado para o ponto M" do semiplano jx. Como os pontos M e M" estão em semiplanos diferentes,

ah, então direto MM" e Droga 23

cruzam em algum

ponto M0, que, quando refletido, é mapeado sobre si mesmo. Segue-se que a linha reta MM" é mapeada sobre si mesma e, portanto, os ângulos / e 2 formados por ela com a linha reta a (ver Fig. 23) são mapeados um no outro.

O meio plano jx é mapeado no meio plano X.

O movimento em consideração é chamado de reflexão da linha reta a.

Da existência da bissetriz de um ângulo reverso segue-se que através de qualquer ponto situado na linha a, é sempre possível traçar uma linha b perpendicular à linha a.

Isso significa que esses ângulos são iguais e, como são, além disso, adjacentes, então MM" ± a. Agora deixe outra linha reta ser traçada através de M, cruzando a linha a em algum ponto Af0. Ela será mapeada na linha M "N0, a ^ MN0M0 será mapeado em M"N0M0. Portanto, ^ 3 = ^i4. Mas em virtude do Axioma 1 (§ 2), os pontos M1 N0 e M" não estão na mesma linha reta, e portanto, a soma dos ângulos 3 e 4, ou seja, ^ MN0M", não é um ângulo invertido. Segue-se que os ângulos 3 e 4 são diferentes do ângulo reto e a linha reta MN0 não será perpendicular à linha reta a. O a reta MM" é, portanto, a única reta perpendicular a a e que passa pelo ponto M.