Tarefa 4.

Uma das diagonais de um paralelogramo de comprimento 4√6 forma um ângulo de 60° com a base, e a segunda diagonal forma um ângulo de 45° com a mesma base. Encontre a segunda diagonal.

Solução.

1. AO = 2√6.

2. Aplicamos o teorema do seno ao triângulo AOD.

AO/sin D = OD/sin A.

2√6/sen 45 o = OD/sen 60 o.

ОD = (2√6sen 60 о) / sen 45 о = (2√6 · √3/2) / (√2/2) = 2√18/√2 = 6.

Resposta: 12.

Tarefa 5.

Para um paralelogramo com lados 5√2 e 7√2, o menor ângulo entre as diagonais é igual ao menor ângulo do paralelogramo. Encontre a soma dos comprimentos das diagonais.

Solução.

Sejam d 1, d 2 as diagonais do paralelogramo, e o ângulo entre as diagonais e o ângulo menor do paralelogramo é igual a φ.

1. Vamos contar dois diferentes
maneira sua área.

S ABCD = AB AD sen A = 5√2 7√2 sen f,

S ABCD = 1/2 AC ВD sen AOB = 1/2 d 1 d 2 sen f.

Obtemos a igualdade 5√2 · 7√2 · sin f = 1/2d 1 d 2 sin f ou

2 · 5√2 · 7√2 = d 1 d 2 ;

2. Usando a relação entre os lados e diagonais do paralelogramo, escrevemos a igualdade

(AB 2 + AD 2) 2 = AC 2 + BD 2.

((5√2) 2 + (7√2) 2) 2 = d 1 2 + d 2 2.

d 1 2 + d 2 2 = 296.

3. Vamos criar um sistema:

(d 1 2 + d 2 2 = 296,
(d 1 + d 2 = 140.

Vamos multiplicar a segunda equação do sistema por 2 e adicioná-la à primeira.

Obtemos (d 1 + d 2) 2 = 576. Portanto, Id 1 + d 2 I = 24.

Como d 1, d 2 são os comprimentos das diagonais do paralelogramo, então d 1 + d 2 = 24.

Resposta: 24.

Tarefa 6.

Os lados do paralelogramo são 4 e 6. O ângulo agudo entre as diagonais é de 45 graus. Encontre a área do paralelogramo.

Solução.

1. A partir do triângulo AOB, usando o teorema do cosseno, escrevemos a relação entre o lado do paralelogramo e as diagonais.

AB 2 = AO 2 + VO 2 2 · AO · VO · cos AOB.

4 2 = (d 1/2) 2 + (d 2/2) 2 – 2 · (d 1/2) · (d 2/2) cos 45 o;

d 1 2/4 + d 2 2/4 – 2 · (d 1/2) · (d 2/2)√2/2 = 16.

d 1 2 + d 2 2 – d 1 · d 2 √2 = 64.

2. Da mesma forma, escrevemos a relação para o triângulo AOD.

Vamos levar em conta isso<АОD = 135 о и cos 135 о = -cos 45 о = -√2/2.

Obtemos a equação d 1 2 + d 2 2 + d 1 · d 2 √2 = 144.

3. Temos um sistema
(d 1 2 + d 2 2 – d 1 · d 2 √2 = 64,
(d 1 2 + d 2 2 + d 1 · d 2 √2 = 144.

Subtraindo a primeira da segunda equação, obtemos 2d 1 · d 2 √2 = 80 ou

d 1 d 2 = 80/(2√2) = 20√2

4. S ABCD = 1/2 AC ВD sen AOB = 1/2 d 1 d 2 sen α = 1/2 20√2 √2/2 = 10.

Observação: Neste e no problema anterior não há necessidade de resolver o sistema completamente, antecipando que neste problema precisamos do produto das diagonais para calcular a área.

Resposta: 10.

Tarefa 7.

A área do paralelogramo é 96 e seus lados são 8 e 15. Encontre o quadrado da diagonal menor.

Solução.

1. S ABCD = AB · AD · sin ВAD. Vamos fazer uma substituição na fórmula.

Obtemos 96 = 8 · 15 · sin ВAD. Portanto, pecado ÂAD = 4/5.

2. Vamos encontrar o cos VAD. sen 2 VAD + cos 2 VAD = 1.

(4/5) 2 + cos 2 VAD = 1. cos 2 VAD = 9/25.

De acordo com as condições do problema, encontramos o comprimento da diagonal menor. A diagonal ВD será menor se o ângulo ВАD for agudo. Então porque VAD = 3/5.

3. A partir do triângulo ABD, usando o teorema do cosseno, encontramos o quadrado da diagonal BD.

ВD 2 = АВ 2 + АD 2 – 2 · АВ · ВD · cos ВAD.

ВD 2 = 8 2 + 15 2 – 2 8 15 3/5 = 145.

Resposta: 145.

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Paralelogramoé um quadrilátero cujos lados são paralelos aos pares.

Nesta figura, os lados e ângulos opostos são iguais entre si. As diagonais de um paralelogramo se cruzam em um ponto e o dividem ao meio. As fórmulas para a área de um paralelogramo permitem encontrar o valor usando os lados, altura e diagonais. Um paralelogramo também pode ser apresentado em casos especiais. Eles são considerados retângulo, quadrado e losango.
Primeiro, vejamos um exemplo de cálculo da área de um paralelogramo pela altura e pelo lado para o qual ele é abaixado.

Este caso é considerado clássico e não requer investigação adicional. É melhor considerar a fórmula para calcular a área através de dois lados e o ângulo entre eles. O mesmo método é usado nos cálculos. Se os lados e o ângulo entre eles forem fornecidos, a área será calculada da seguinte forma:

Suponha que temos um paralelogramo com lados a = 4 cm, b = 6 cm. O ângulo entre eles é α = 30°. Vamos encontrar a área:

Área de um paralelogramo através de diagonais

A fórmula da área de um paralelogramo usando diagonais permite encontrar rapidamente o valor.
Para cálculos, você precisará do tamanho do ângulo localizado entre as diagonais.

Consideremos um exemplo de cálculo da área de um paralelogramo usando diagonais. Seja dado um paralelogramo com diagonais D = 7 cm, d = 5 cm. O ângulo entre eles é α = 30°. Vamos substituir os dados na fórmula:

Um exemplo de cálculo da área de um paralelogramo através da diagonal nos deu um excelente resultado - 8,75.

Conhecendo a fórmula da área de um paralelogramo através da diagonal, você pode resolver muitos problemas interessantes. Vejamos um deles.

Tarefa: Dado um paralelogramo com área de 92 metros quadrados. veja O ponto F está localizado no meio de seu lado BC. Vamos encontrar a área do trapézio ADFB, que ficará em nosso paralelogramo. Primeiro vamos sortear tudo o que recebemos de acordo com as condições.
Vamos à solução:

De acordo com nossas condições, ah =92 e, consequentemente, a área do nosso trapézio será igual a

A derivação da fórmula da área de um paralelogramo se resume à construção de um retângulo igual em área ao paralelogramo dado. Tomemos como base um lado do paralelogramo, e a perpendicular traçada de qualquer ponto do lado oposto à reta que contém a base será chamada de altura do paralelogramo. Então a área do paralelogramo será igual ao produto de sua base pela sua altura.

Teorema.A área de um paralelogramo é igual ao produto de sua base pela sua altura.

Prova. Considere um paralelogramo com área. Vamos tomar a lateral como base e desenhar as alturas (Figura 2.3.1). É necessário provar isso.

Figura 2.3.1

Vamos primeiro provar que a área do retângulo também é igual. Um trapézio é composto por um paralelogramo e um triângulo. Por outro lado, é composto por um retângulo NVSC e um triângulo. Mas os triângulos retângulos são iguais na hipotenusa e no ângulo agudo (suas hipotenusas são iguais aos lados opostos de um paralelogramo, e os ângulos 1 e 2 são iguais aos ângulos correspondentes na intersecção de retas paralelas e uma transversal), então suas áreas são iguais. Portanto, as áreas do paralelogramo e do retângulo também são iguais, ou seja, a área do retângulo é igual. De acordo com o teorema da área de um retângulo, mas desde então.

O teorema foi provado.

Exemplo 2.3.1.

Um círculo está inscrito em um losango com um lado e um ângulo agudo. Determine a área de um quadrilátero cujos vértices são os pontos de contato do círculo com os lados do losango.

Solução:

O raio de um círculo inscrito em um losango (Figura 2.3.2), visto que o Quadrilátero é um retângulo, pois seus ângulos repousam sobre o diâmetro do círculo. Sua área é onde (lado oposto ao ângulo).

Figura 2.3.2

Então,

Responder:

Exemplo 2.3.2.

Dado um losango cujas diagonais são 3 cm e 4 cm, a partir do vértice de um ângulo obtuso traçam-se as alturas e calcula-se a área do quadrilátero

Solução:

Área de um losango (Figura 2.3.3).

Então,

Responder:

Exemplo 2.3.3.

A área de um quadrilátero é Encontre a área de um paralelogramo cujos lados são iguais e paralelos às diagonais do quadrilátero.

Solução:

Como e (Figura 2.3.4), então é um paralelogramo e, portanto, .

Figura 2.3.4

Da mesma forma, obtemos o que segue.

Responder:.

2.4 Área de um triângulo

Existem diversas fórmulas para calcular a área de um triângulo. Vejamos aqueles que são estudados na escola.

A primeira fórmula segue a fórmula da área de um paralelogramo e é oferecida aos alunos na forma de um teorema.

Teorema.A área de um triângulo é igual à metade do produto de sua base pela altura.

Prova. Seja a área do triângulo. Pegue o lado da base do triângulo e desenhe a altura. Vamos provar isso:

Figura 2.4.1

Vamos construir o triângulo em um paralelogramo conforme mostrado na figura. Os triângulos são iguais em três lados (o lado comum e os lados opostos de um paralelogramo), portanto suas áreas são iguais. Consequentemente, a área S do triângulo ABC é igual à metade da área do paralelogramo, ou seja,

O teorema foi provado.

É importante chamar a atenção dos alunos para dois corolários que decorrem deste teorema. Nomeadamente:

A área de um triângulo retângulo é igual à metade do produto de seus catetos.

Se as alturas de dois triângulos forem iguais, então suas áreas estão relacionadas como bases.

Estas duas consequências desempenham um papel importante na resolução de vários tipos de problemas. Com base nisso, é provado outro teorema, que tem ampla aplicação na resolução de problemas.

Teorema. Se o ângulo de um triângulo for igual ao ângulo de outro triângulo, então suas áreas estão relacionadas como o produto dos lados que encerram ângulos iguais.

Prova. Sejam e as áreas dos triângulos cujos ângulos são iguais.

Figura 2.4.2

Vamos provar que: .

Vamos aplicar um triângulo. no triângulo de modo que o vértice se alinhe com o vértice e os lados se sobreponham aos raios, respectivamente.

Figura 2.4.3

Os triângulos têm uma altura comum, então... Os triângulos também têm uma altura comum – portanto,. Multiplicando as igualdades resultantes, obtemos .

O teorema foi provado.

Segunda fórmula.A área de um triângulo é igual à metade do produto de seus dois lados pelo seno do ângulo entre eles. Existem várias maneiras de provar esta fórmula e usarei uma delas.

Prova. Da geometria existe um teorema bem conhecido de que a área de um triângulo é igual à metade do produto da base pela altura abaixada por esta base:

No caso de um triângulo agudo. No caso de um ângulo obtuso. Ho, e portanto . Então, em ambos os casos. Substituindo a área de um triângulo na fórmula geométrica, obtemos a fórmula trigonométrica da área de um triângulo:

O teorema foi provado.

Terceira fórmula para a área de um triângulo - fórmula de Heron, em homenagem ao antigo cientista grego Heron de Alexandria, que viveu no século I dC. Esta fórmula permite encontrar a área de um triângulo, conhecendo seus lados. É conveniente porque permite não fazer construções adicionais ou medir ângulos. Sua conclusão é baseada na segunda fórmula da área do triângulo que consideramos e no teorema do cosseno: e.

Antes de prosseguir com a implementação deste plano, observe que

Exatamente da mesma forma temos:

Agora vamos expressar o cosseno em termos de e:

Como qualquer ângulo em um triângulo é maior e menor, então. Significa, .

Agora transformamos separadamente cada um dos fatores na expressão radical. Nós temos:

Substituindo esta expressão na fórmula da área, obtemos:

O tema “Área de um triângulo” é de grande importância no curso de matemática escolar. Um triângulo é a mais simples das formas geométricas. É um “elemento estrutural” da geometria escolar. A grande maioria dos problemas geométricos se resume à resolução de triângulos. O problema de encontrar a área de um n-gon regular e arbitrário não é exceção.

Exemplo 2.4.1.

Qual é a área de um triângulo isósceles se sua base é , e seu lado é ?

Solução:

-isósceles,

Figura 2.4.4

Vamos usar as propriedades de um triângulo isósceles - mediana e altura. Então

De acordo com o teorema de Pitágoras:

Encontrando a área do triângulo:

Responder:

Exemplo 2.4.2.

Em um triângulo retângulo, a bissetriz de um ângulo agudo divide o cateto oposto em segmentos de 4 e 5 cm de comprimento. Determine a área do triângulo.

Solução:

Deixe (Figura 2.4.5). Então (já que BD é uma bissetriz). A partir daqui temos , aquilo é. Significa,

Figura 2.4.5

Responder:

Exemplo 2.4.3.

Encontre a área de um triângulo isósceles se sua base for igual a , e o comprimento da altura traçada até a base for igual ao comprimento do segmento que conecta os pontos médios da base e do lado.

Solução:

De acordo com a condição, – a linha média (Figura 2.4.6). Já que temos:

ou , daí,

Antes de aprendermos como determinar a área de um paralelogramo, precisamos lembrar o que é um paralelogramo e como é chamada sua altura. Um paralelogramo é um quadrilátero cujos lados opostos são paralelos aos pares (ficam em linhas paralelas). Uma perpendicular traçada de um ponto arbitrário no lado oposto a uma linha que contém esse lado é chamada de altura de um paralelogramo.

Quadrado, retângulo e losango são casos especiais de paralelogramo.

A área de um paralelogramo é denotada como (S).

Fórmulas para encontrar a área de um paralelogramo

S=a*h, onde a é a base, h é a altura desenhada até a base.

S=a*b*sinα, onde aeb são as bases e α é o ângulo entre as bases a e b.

S =p*r, onde p é o semiperímetro, r é o raio do círculo inscrito no paralelogramo.

A área do paralelogramo, que é formada pelos vetores a e b, é igual ao módulo do produto dos vetores dados, a saber:

Consideremos o exemplo nº 1: Dado um paralelogramo com lado de 7 cm e altura de 3 cm. Para encontrar a área de um paralelogramo, precisamos de uma fórmula para a solução.

Assim S = 7x3. S=21. Resposta: 21cm2.

Considere o exemplo nº 2: dadas as bases têm 6 e 7 cm, e também dado um ângulo entre as bases de 60 graus. Como encontrar a área de um paralelogramo? Fórmula usada para resolver:

Assim, primeiro encontramos o seno do ângulo. Seno 60 = 0,5, respectivamente S = 6*7*0,5=21 Resposta: 21 cm 2.

Espero que esses exemplos ajudem você a resolver problemas. E lembre-se, o principal é o conhecimento das fórmulas e a atenção