É dada uma prova da fórmula para a derivada de uma função complexa. Os casos em que uma função complexa depende de uma ou duas variáveis ​​​​são considerados detalhadamente. Uma generalização é feita para o caso de um número arbitrário de variáveis.

Aqui fornecemos a derivação das seguintes fórmulas para a derivada de uma função complexa.
Se então
.
Se então
.
Se então
.

Derivada de uma função complexa de uma variável

Deixe uma função da variável x ser representada como uma função complexa na seguinte forma:
,
onde existem algumas funções. A função é diferenciável para algum valor da variável x. A função é diferenciável no valor da variável.
Então a função complexa (composta) é diferenciável no ponto x e sua derivada é determinada pela fórmula:
(1) .

A fórmula (1) também pode ser escrita da seguinte forma:
;
.

Prova

Vamos introduzir a seguinte notação.
;
.
Aqui existe uma função das variáveis ​​e, existe uma função das variáveis ​​e. Mas omitiremos os argumentos destas funções para não confundir os cálculos.

Como as funções e são diferenciáveis ​​nos pontos x e , respectivamente, então nesses pontos existem derivadas dessas funções, que são os seguintes limites:
;
.

Considere a seguinte função:
.
Para um valor fixo da variável u, é uma função de. É óbvio que
.
Então
.

Como a função é diferenciável no ponto, ela é contínua nesse ponto. É por isso
.
Então
.

Agora encontramos a derivada.

.

A fórmula está comprovada.

Consequência

Se uma função de uma variável x pode ser representada como uma função complexa de uma função complexa
,
então sua derivada é determinada pela fórmula
.
Aqui, e existem algumas funções diferenciáveis.

Para provar esta fórmula, calculamos sequencialmente a derivada usando a regra para derivar uma função complexa.
Considere a função complexa
.
Sua derivada
.
Considere a função original
.
Sua derivada
.

Derivada de uma função complexa de duas variáveis

Agora deixe a função complexa depender de diversas variáveis. Primeiro vamos dar uma olhada caso de uma função complexa de duas variáveis.

Deixe uma função dependente da variável x ser representada como uma função complexa de duas variáveis ​​​​na seguinte forma:
,
Onde
e existem funções diferenciáveis ​​para algum valor da variável x;
- uma função de duas variáveis, diferenciáveis ​​no ponto , . Então a função complexa é definida em uma determinada vizinhança do ponto e possui uma derivada, que é determinada pela fórmula:
(2) .

Prova

Como as funções e são diferenciáveis ​​no ponto, elas são definidas em uma determinada vizinhança deste ponto, são contínuas no ponto, e suas derivadas existem no ponto, que são os seguintes limites:
;
.
Aqui
;
.
Devido à continuidade dessas funções em um ponto, temos:
;
.

Como a função é diferenciável em um ponto, ela é definida em uma determinada vizinhança deste ponto, é contínua neste ponto, e seu incremento pode ser escrito da seguinte forma:
(3) .
Aqui

- incremento de uma função quando seus argumentos são incrementados por valores e ;
;

- derivadas parciais da função em relação às variáveis ​​e .
Para valores fixos de e, e são funções das variáveis ​​e. Eles tendem a zero em e:
;
.
Desde e , então
;
.

Incremento de função:

. :
.
Vamos substituir (3):



.

A fórmula está comprovada.

Derivada de uma função complexa de diversas variáveis

A conclusão acima pode ser facilmente generalizada para o caso em que o número de variáveis ​​​​de uma função complexa é superior a dois.

Por exemplo, se f é função de três variáveis, Que
,
Onde
, e existem funções diferenciáveis ​​para algum valor da variável x;
- função diferenciável de três variáveis ​​no ponto , , .
Então, a partir da definição de diferenciabilidade da função, temos:
(4)
.
Porque, devido à continuidade,
; ; ,
Que
;
;
.

Dividindo (4) por e passando ao limite, obtemos:
.

E finalmente, vamos considerar o caso mais geral.
Deixe uma função da variável x ser representada como uma função complexa de n variáveis ​​na seguinte forma:
,
Onde
existem funções diferenciáveis ​​para algum valor da variável x;
- função diferenciável de n variáveis ​​em um ponto
, , ... , .
Então
.

Definição. Deixe a função \(y = f(x) \) ser definida em um determinado intervalo contendo o ponto \(x_0\) dentro de si. Vamos dar ao argumento um incremento \(\Delta x \) tal que ele não saia desse intervalo. Vamos encontrar o incremento correspondente da função \(\Delta y \) (ao passar do ponto \(x_0 \) para o ponto \(x_0 + \Delta x \)) e compor a relação \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \). Se houver um limite para esta razão em \(\Delta x \rightarrow 0\), então o limite especificado é chamado derivada de uma função\(y=f(x) \) no ponto \(x_0 \) e denotar \(f"(x_0) \).

$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$

O símbolo y é frequentemente usado para denotar a derivada. Observe que y" = f(x) é uma função nova, mas naturalmente relacionada à função y = f(x), definida em todos os pontos x nos quais existe o limite acima. Esta função é chamada assim: derivada da função y = f(x).

Significado geométrico da derivadaé o seguinte. Se for possível traçar uma tangente ao gráfico da função y = f(x) no ponto com abcissa x=a, que não é paralelo ao eixo y, então f(a) expressa a inclinação da tangente :
\(k =f"(a)\)

Como \(k = tg(a) \), então a igualdade \(f"(a) = tan(a) \) é verdadeira.

Agora vamos interpretar a definição de derivada do ponto de vista das igualdades aproximadas. Deixe a função \(y = f(x)\) ter uma derivada em um ponto específico \(x\):
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
Isso significa que perto do ponto x a igualdade aproximada \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \approx f"(x)\), ou seja, \(\Delta y \approx f"(x) \cdot\ Delta x\). O significado significativo da igualdade aproximada resultante é o seguinte: o incremento da função é “quase proporcional” ao incremento do argumento, e o coeficiente de proporcionalidade é o valor da derivada em um determinado ponto x. Por exemplo, para a função \(y = x^2\) a igualdade aproximada \(\Delta y \approx 2x \cdot \Delta x \) é válida. Se analisarmos cuidadosamente a definição de uma derivada, descobriremos que ela contém um algoritmo para encontrá-la.

Vamos formular isso.

Como encontrar a derivada da função y = f(x)?

1. Corrija o valor de \(x\), encontre \(f(x)\)
2. Dê ao argumento \(x\) um incremento \(\Delta x\), vá para um novo ponto \(x+ \Delta x \), encontre \(f(x+ \Delta x) \)
3. Encontre o incremento da função: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. Crie a relação \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \)
5. Calcule $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
Este limite é a derivada da função no ponto x.

Se uma função y = f(x) tem uma derivada em um ponto x, então ela é chamada de diferenciável em um ponto x. O procedimento para encontrar a derivada da função y = f(x) é chamado diferenciação funções y = f(x).

Vamos discutir a seguinte questão: como a continuidade e a diferenciabilidade de uma função em um ponto estão relacionadas entre si?

Deixe a função y = f(x) ser diferenciável no ponto x. Então, uma tangente pode ser desenhada ao gráfico da função no ponto M(x; f(x)), e, lembre-se, o coeficiente angular da tangente é igual a f "(x). Tal gráfico não pode “quebrar” no ponto M, ou seja, a função deve ser contínua no ponto x.

Esses eram argumentos “práticos”. Vamos apresentar um raciocínio mais rigoroso. Se a função y = f(x) é diferenciável no ponto x, então a igualdade aproximada \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x \) é válida. Se nesta igualdade \(\Delta x \) tende a zero, então \(\Delta y \) tenderá a zero, e esta é a condição para a continuidade da função em um ponto.

Então, se uma função é diferenciável em um ponto x, então ela é contínua nesse ponto.

A afirmação inversa não é verdadeira. Por exemplo: função y = |x| é contínuo em todos os lugares, em particular no ponto x = 0, mas a tangente ao gráfico da função no “ponto de junção” (0; 0) não existe. Se em algum ponto uma tangente não puder ser traçada ao gráfico de uma função, então a derivada não existe naquele ponto.

Mais um exemplo. A função \(y=\sqrt(x)\) é contínua em toda a reta numérica, inclusive no ponto x = 0. E a tangente ao gráfico da função existe em qualquer ponto, inclusive no ponto x = 0 Mas neste ponto a tangente coincide com o eixo y, ou seja, é perpendicular ao eixo das abcissas, sua equação tem a forma x = 0. Tal linha reta não possui coeficiente de ângulo, o que significa que \(f "(0)\) não existe.

Assim, conhecemos uma nova propriedade de uma função - a diferenciabilidade. Como se pode concluir do gráfico de uma função que ela é diferenciável?

A resposta é dada acima. Se em algum ponto for possível traçar uma tangente ao gráfico de uma função que não é perpendicular ao eixo das abcissas, então neste ponto a função é diferenciável. Se em algum ponto a tangente ao gráfico de uma função não existe ou é perpendicular ao eixo das abcissas, então neste ponto a função não é diferenciável.

Regras de diferenciação

A operação de encontrar a derivada é chamada diferenciação. Ao realizar esta operação, muitas vezes é necessário trabalhar com quocientes, somas, produtos de funções, bem como “funções de funções”, ou seja, funções complexas. Com base na definição de derivada, podemos derivar regras de diferenciação que facilitam este trabalho. Se C é um número constante e f=f(x), g=g(x) são algumas funções diferenciáveis, então o seguinte é verdadeiro regras de diferenciação:

$$ C"=0 $$ $$ x"=1 $$ $$ (f+g)"=f"+g" $$ $$ (fg)"=f"g + fg" $$ $$ ( Cf)"=Cf" $$ $$ \left(\frac(f)(g) \right) " = \frac(f"g-fg")(g^2) $$ $$ \left(\frac (C)(g) \right) " = -\frac(Cg")(g^2) $$ Derivada de uma função complexa:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$

Tabela de derivadas de algumas funções

$$ \left(\frac(1)(x) \right) " = -\frac(1)(x^2) $$ $$ (\sqrt(x)) " = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \left(x^a \right) " = a x^(a-1) $$ $$ \left(a^x \right) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \left(e^x \right) " = e^x $$ $$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$ $$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\ln a) $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\text(tg) x) " = \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$ $$ (\arcsin x) "= \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arcctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $

Derivados complexos. Derivada logarítmica.
Derivada de uma função exponencial de potência

Continuamos aprimorando nossa técnica de diferenciação. Nesta lição, consolidaremos o material que abordamos, veremos derivadas mais complexas e também nos familiarizaremos com novas técnicas e truques para encontrar uma derivada, em particular, com a derivada logarítmica.

Os leitores com baixo nível de preparação devem consultar o artigo Como encontrar a derivada? Exemplos de soluções, o que permitirá que você aprimore suas habilidades quase do zero. Em seguida, você precisa estudar cuidadosamente a página Derivada de uma função complexa, entender e resolver Todos os exemplos que dei. Esta lição é logicamente a terceira consecutiva e, depois de dominá-la, você diferenciará com segurança funções bastante complexas. É indesejável assumir a posição de “Onde mais? Já chega!”, já que todos os exemplos e soluções são retirados de testes reais e são frequentemente encontrados na prática.

Vamos começar com a repetição. Na lição Derivada de uma função complexa Vimos vários exemplos com comentários detalhados. Ao estudar cálculo diferencial e outros ramos da análise matemática, você terá que diferenciar com muita frequência, e nem sempre é conveniente (e nem sempre necessário) descrever exemplos detalhadamente. Portanto, praticaremos encontrar derivadas oralmente. Os “candidatos” mais adequados para isso são derivadas das funções mais simples e complexas, por exemplo:

De acordo com a regra de diferenciação de funções complexas :

Ao estudar outros tópicos de matan no futuro, na maioria das vezes não é necessário um registro tão detalhado; presume-se que o aluno saiba como encontrar tais derivadas no piloto automático. Imaginemos que às 3 horas da manhã o telefone tocou e uma voz simpática perguntou: “Qual é a derivada da tangente de dois X?” Isto deve ser seguido por uma resposta quase instantânea e educada: .

O primeiro exemplo será imediatamente destinado a uma solução independente.

Exemplo 1

Encontre as seguintes derivadas oralmente, em uma ação, por exemplo: . Para completar a tarefa você só precisa usar tabela de derivadas de funções elementares(se você ainda não se lembrou). Se você tiver alguma dificuldade, recomendo reler a lição Derivada de uma função complexa.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

Respostas no final da lição

Derivados complexos

Após a preparação preliminar da artilharia, os exemplos com agrupamentos de funções 3-4-5 serão menos assustadores. Os dois exemplos a seguir podem parecer complicados para alguns, mas se você os compreender (alguém sofrerá), quase todo o resto do cálculo diferencial parecerá uma piada de criança.

Exemplo 2

Encontre a derivada de uma função

Como já foi observado, ao encontrar a derivada de uma função complexa, antes de tudo, é necessário Certo ENTENDA seus investimentos. Nos casos em que haja dúvidas, relembro uma técnica útil: pegamos o valor experimental de “x”, por exemplo, e tentamos (mentalmente ou em rascunho) substituir esse valor na “expressão terrível”.

1) Primeiro precisamos calcular a expressão, o que significa que a soma é a incorporação mais profunda.

2) Então você precisa calcular o logaritmo:

4) Em seguida, eleve o cosseno ao cubo:

5) Na quinta etapa a diferença:

6) E finalmente, a função mais externa é a raiz quadrada:

Fórmula para diferenciar uma função complexa são aplicados na ordem inversa, da função mais externa para a mais interna. Nós decidimos:

Parece que não há erros...

(1) Calcule a derivada da raiz quadrada.

(2) Calculamos a derivada da diferença usando a regra

(3) A derivada de um triplo é zero. No segundo termo tomamos a derivada do grau (cubo).

(4) Calcule a derivada do cosseno.

(5) Pegue a derivada do logaritmo.

(6) E finalmente, tomamos a derivada da incorporação mais profunda.

Pode parecer muito difícil, mas este não é o exemplo mais brutal. Tomemos, por exemplo, a coleção de Kuznetsov e você apreciará toda a beleza e simplicidade da derivada analisada. Percebi que eles gostam de fazer algo parecido em uma prova para verificar se o aluno entende como encontrar a derivada de uma função complexa ou não.

O exemplo a seguir é para você resolver sozinho.

Exemplo 3

Encontre a derivada de uma função

Dica: Primeiro aplicamos as regras de linearidade e a regra de diferenciação de produto

Solução completa e resposta no final da lição.

É hora de passar para algo menor e mais agradável.
Não é incomum que um exemplo mostre o produto não de duas, mas de três funções. Como encontrar a derivada do produto de três fatores?

Exemplo 4

Encontre a derivada de uma função

Primeiro olhamos: é possível transformar o produto de três funções no produto de duas funções? Por exemplo, se tivéssemos dois polinômios no produto, poderíamos abrir os colchetes. Mas no exemplo em consideração, todas as funções são diferentes: grau, expoente e logaritmo.

Nesses casos é necessário sequencialmente aplicar a regra de diferenciação de produto duas vezes

O truque é que por “y” denotamos o produto de duas funções: , e por “ve” denotamos o logaritmo: . Por que isso pode ser feito? É realmente – isso não é produto de dois fatores e a regra não funciona?! Não há nada complicado:

Agora resta aplicar a regra uma segunda vez para colchetes:

Você também pode distorcer e colocar algo fora dos colchetes, mas neste caso é melhor deixar a resposta exatamente desta forma - será mais fácil verificar.

O exemplo considerado pode ser resolvido da segunda maneira:

Ambas as soluções são absolutamente equivalentes.

Exemplo 5

Encontre a derivada de uma função

Este é um exemplo de solução independente, na amostra é resolvido pelo primeiro método.

Vejamos exemplos semelhantes com frações.

Exemplo 6

Encontre a derivada de uma função

Existem várias maneiras de acessar aqui:

Ou assim:

Mas a solução será escrita de forma mais compacta se usarmos primeiro a regra de diferenciação do quociente , tomando para todo o numerador:

Em princípio o exemplo está resolvido e se ficar como está não será um erro. Mas se tiver tempo, é sempre aconselhável verificar um rascunho para ver se a resposta pode ser simplificada. Vamos reduzir a expressão do numerador a um denominador comum e vamos nos livrar da fração de três andares:

A desvantagem das simplificações adicionais é que existe o risco de cometer um erro não ao encontrar a derivada, mas durante as transformações escolares banais. Por outro lado, os professores muitas vezes rejeitam a tarefa e pedem para “lembrar” a derivada.

Um exemplo mais simples para resolver sozinho:

Exemplo 7

Encontre a derivada de uma função

Continuamos a dominar os métodos para encontrar a derivada e agora consideraremos um caso típico em que um logaritmo “terrível” é proposto para diferenciação

Exemplo 8

Encontre a derivada de uma função

Aqui você pode percorrer um longo caminho, usando a regra para diferenciar uma função complexa:

Mas o primeiro passo imediatamente o mergulha no desânimo - você tem que tirar a derivada desagradável de uma potência fracionária e depois também de uma fração.

É por isso antes como obter a derivada de um logaritmo “sofisticado”, primeiro é simplificado usando propriedades escolares bem conhecidas:

! Se você tiver um caderno de exercícios em mãos, copie essas fórmulas diretamente para lá. Se você não tiver um caderno, copie-os em um pedaço de papel, pois os demais exemplos da lição girarão em torno dessas fórmulas.

A solução em si pode ser escrita mais ou menos assim:

Vamos transformar a função:

Encontrando a derivada:

A pré-conversão da função em si simplificou bastante a solução. Assim, quando um logaritmo semelhante é proposto para diferenciação, é sempre aconselhável “decompô-lo”.

E agora alguns exemplos simples para você resolver sozinho:

Exemplo 9

Encontre a derivada de uma função

Exemplo 10

Encontre a derivada de uma função

Todas as transformações e respostas estão no final da lição.

Derivada logarítmica

Se a derivada dos logaritmos é uma música tão doce, então surge a pergunta: é possível, em alguns casos, organizar o logaritmo artificialmente? Pode! E até necessário.

Exemplo 11

Encontre a derivada de uma função

Recentemente, vimos exemplos semelhantes. O que fazer? Você pode aplicar sequencialmente a regra de diferenciação do quociente e depois a regra de diferenciação do produto. A desvantagem desse método é que você acaba com uma enorme fração de três andares, com a qual você não quer lidar de jeito nenhum.

Mas na teoria e na prática existe uma coisa tão maravilhosa como a derivada logarítmica. Os logaritmos podem ser organizados artificialmente “pendurando-os” em ambos os lados:

Agora você precisa “desintegrar” o logaritmo do lado direito tanto quanto possível (fórmulas diante de seus olhos?). Descreverei esse processo em detalhes:

Vamos começar com a diferenciação.
Concluímos ambas as partes sob o primo:

A derivada do lado direito é bastante simples; não vou comentar sobre ela, porque se você está lendo este texto, deverá ser capaz de lidar com ela com segurança.

E o lado esquerdo?

No lado esquerdo temos função complexa. Prevejo a pergunta: “Por que existe uma letra “Y” abaixo do logaritmo?”

O facto é que este “jogo de uma letra” - É UMA FUNÇÃO(se não estiver muito claro, consulte o artigo Derivada de uma função especificada implicitamente). Portanto, o logaritmo é uma função externa e o “y” é uma função interna. E usamos a regra para derivar uma função complexa :

No lado esquerdo, como num passe de mágica, temos uma derivada. A seguir, de acordo com a regra da proporção, transferimos o “y” do denominador do lado esquerdo para o topo do lado direito:

E agora vamos lembrar de que tipo de função de “jogador” falamos durante a diferenciação? Vejamos a condição:

Resposta final:

Exemplo 12

Encontre a derivada de uma função

Este é um exemplo para você resolver sozinho. Um exemplo de design deste tipo está no final da lição.

Usando a derivada logarítmica foi possível resolver qualquer um dos exemplos nº 4-7, outra coisa é que as funções ali são mais simples e, talvez, o uso da derivada logarítmica não seja muito justificado.

Derivada de uma função exponencial de potência

Ainda não consideramos esta função. Uma função exponencial de potência é uma função para a qual tanto o grau quanto a base dependem de “x”. Um exemplo clássico que será dado a você em qualquer livro ou palestra:

Como encontrar a derivada de uma função exponencial de potência?

É necessário usar a técnica que acabamos de discutir - a derivada logarítmica. Penduramos logaritmos em ambos os lados:

Via de regra, no lado direito o grau é retirado do logaritmo:

Como resultado, do lado direito temos o produto de duas funções, que serão diferenciadas conforme a fórmula padrão .

Encontramos a derivada; para fazer isso, colocamos ambas as partes sob traços:

Outras ações são simples:

Finalmente:

Se alguma conversão não estiver totalmente clara, releia as explicações do Exemplo #11 com atenção.

Em tarefas práticas, a função exponencial de potência será sempre mais complicada do que o exemplo de aula considerado.

Exemplo 13

Encontre a derivada de uma função

Usamos a derivada logarítmica.

No lado direito temos uma constante e o produto de dois fatores - “x” e “logaritmo do logaritmo x” (outro logaritmo está aninhado abaixo do logaritmo). Ao diferenciar, como lembramos, é melhor mover imediatamente a constante para fora do sinal da derivada para que ela não atrapalhe; e, claro, aplicamos a regra familiar :

Como você pode ver, o algoritmo para usar a derivada logarítmica não contém nenhum truque ou truque especial, e encontrar a derivada de uma função exponencial de potência geralmente não está associado a “tormento”.

Se seguirmos a definição, então a derivada de uma função em um ponto é o limite da razão do incremento da função Δ sim para o incremento do argumento Δ x:

Tudo parece estar claro. Mas tente usar esta fórmula para calcular, digamos, a derivada da função f(x) = x 2 + (2x+3) · e x pecado x. Se você fizer tudo por definição, depois de algumas páginas de cálculos você simplesmente adormecerá. Portanto, existem formas mais simples e eficazes.

Para começar, notamos que de toda a variedade de funções podemos distinguir as chamadas funções elementares. Estas são expressões relativamente simples, cujas derivadas foram calculadas e tabuladas há muito tempo. Essas funções são muito fáceis de lembrar - junto com suas derivadas.

Derivadas de funções elementares

Funções elementares são todas as listadas abaixo. As derivadas dessas funções devem ser conhecidas de cor. Além disso, não é nada difícil memorizá-los - por isso são elementares.

Então, derivadas de funções elementares:

Nome	Função	Derivado
Constante	f(x) = C, C ∈ R	0 (sim, zero!)
Potência com expoente racional	f(x) = x n	n · x n − 1
Seio	f(x) = pecado x	porque x
Cosseno	f(x) = porque x	−pecado x(menos seno)
Tangente	f(x) = tg x	1/cos 2 x
Co-tangente	f(x) = ctg x	− 1/pecado 2 x
Logaritmo natural	f(x) = registro x	1/x
Logaritmo arbitrário	f(x) = registro a x	1/(x Em a)
Função exponencial	f(x) = e x	e x(nada mudou)

Se uma função elementar for multiplicada por uma constante arbitrária, a derivada da nova função também será facilmente calculada:

(C · f)’ = C · f ’.

Em geral, as constantes podem ser retiradas do sinal da derivada. Por exemplo:

(2x 3)' = 2 · ( x 3)' = 2 3 x 2 = 6x 2 .

Obviamente, funções elementares podem ser somadas, multiplicadas, divididas - e muito mais. É assim que surgirão novas funções, já não particularmente elementares, mas também diferenciadas de acordo com certas regras. Essas regras são discutidas abaixo.

Derivada de soma e diferença

Deixe as funções serem dadas f(x) E g(x), cujos derivados são conhecidos por nós. Por exemplo, você pode usar as funções elementares discutidas acima. Então você pode encontrar a derivada da soma e da diferença dessas funções:

1. (f + g)’ = f ’ + g ’
2. (f − g)’ = f ’ − g ’

Assim, a derivada da soma (diferença) de duas funções é igual à soma (diferença) das derivadas. Pode haver mais termos. Por exemplo, ( f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.

A rigor, não existe o conceito de “subtração” em álgebra. Existe um conceito de “elemento negativo”. Portanto a diferença f − g pode ser reescrito como uma soma f+ (−1) g, e então resta apenas uma fórmula - a derivada da soma.

f(x) = x 2 + sen x; g(x) = x 4 + 2x 2 − 3.

Função f(x) é a soma de duas funções elementares, portanto:

f ’(x) = (x 2 + pecado x)’ = (x 2)’ + (pecado x)’ = 2x+ cos x;

Raciocinamos de forma semelhante para a função g(x). Só que já existem três termos (do ponto de vista da álgebra):

g ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).

Responder:
f ’(x) = 2x+ cos x;
g ’(x) = 4x · ( x 2 + 1).

Derivado do produto

A matemática é uma ciência lógica, por isso muitas pessoas acreditam que se a derivada de uma soma for igual à soma das derivadas, então a derivada do produto batida">igual ao produto das derivadas. Mas dane-se! A derivada de um produto é calculada usando uma fórmula completamente diferente. A saber:

(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’

A fórmula é simples, mas muitas vezes esquecida. E não só crianças em idade escolar, mas também estudantes. O resultado são problemas resolvidos incorretamente.

Tarefa. Encontre derivadas de funções: f(x) = x 3 cos x; g(x) = (x 2 + 7x−7) · e x .

Função f(x) é o produto de duas funções elementares, então tudo é simples:

f ’(x) = (x 3 porque x)’ = (x 3)’ porque x + x 3 (porque x)’ = 3x 2 porque x + x 3 (- pecado x) = x 2 (3cos x − x pecado x)

Função g(x) o primeiro multiplicador é um pouco mais complicado, mas o esquema geral não muda. Obviamente, o primeiro fator da função g(x) é um polinômio e sua derivada é a derivada da soma. Nós temos:

g ’(x) = ((x 2 + 7x−7) · e x)’ = (x 2 + 7x− 7)’ · e x + (x 2 + 7x− 7) · ( e x)’ = (2x+7) · e x + (x 2 + 7x−7) · e x = e x· (2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · e x = x(x+9) · e x .

Responder:
f ’(x) = x 2 (3cos x − x pecado x);
g ’(x) = x(x+9) · e x .

Observe que na última etapa a derivada é fatorada. Formalmente, isso não precisa ser feito, mas a maioria das derivadas não é calculada por si só, mas para examinar a função. Isso significa que a derivada será igualada a zero, seus sinais serão determinados e assim por diante. Nesse caso, é melhor fatorar uma expressão.

Se houver duas funções f(x) E g(x), e g(x) ≠ 0 no conjunto que nos interessa, podemos definir uma nova função h(x) = f(x)/g(x). Para tal função você também pode encontrar a derivada:

Não é fraco, hein? De onde veio o sinal de menos? Por que g 2? E assim! Esta é uma das fórmulas mais complexas - você não consegue descobrir sem uma garrafa. Portanto, é melhor estudá-lo com exemplos específicos.

Tarefa. Encontre derivadas de funções:

O numerador e o denominador de cada fração contêm funções elementares, então tudo que precisamos é da fórmula da derivada do quociente:

De acordo com a tradição, vamos fatorar o numerador - isso simplificará bastante a resposta:

Uma função complexa não é necessariamente uma fórmula de meio quilômetro de comprimento. Por exemplo, basta assumir a função f(x) = pecado x e substitua a variável x, digamos, em x 2 + ln x. Vai dar certo f(x) = pecado ( x 2 + ln x) - esta é uma função complexa. Também possui uma derivada, mas não será possível encontrá-la usando as regras discutidas acima.

O que devo fazer? Nesses casos, substituir uma variável e uma fórmula pela derivada de uma função complexa ajuda:

f ’(x) = f ’(t) · t', Se xé substituído por t(x).

Via de regra, a situação com a compreensão desta fórmula é ainda mais triste do que com a derivada do quociente. Portanto, também é melhor explicá-lo com exemplos específicos, com descrição detalhada de cada etapa.

Tarefa. Encontre derivadas de funções: f(x) = e 2x + 3 ; g(x) = pecado ( x 2 + ln x)

Observe que se na função f(x) em vez da expressão 2 x+3 será fácil x, então obtemos uma função elementar f(x) = e x. Portanto, fazemos uma substituição: seja 2 x + 3 = t, f(x) = f(t) = e t. Procuramos a derivada de uma função complexa usando a fórmula:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (e t)’ · t ’ = e t · t ’

E agora - atenção! Realizamos a substituição reversa: t = 2x+ 3. Obtemos:

f ’(x) = e t · t ’ = e 2x+ 3 (2 x + 3)’ = e 2x+ 3 2 = 2 e 2x + 3

Agora vamos ver a função g(x). Obviamente precisa ser substituído x 2 + ln x = t. Nós temos:

g ’(x) = g ’(t) · t’ = (pecado t)’ · t' = porque t · t ’

Substituição reversa: t = x 2 + ln x. Então:

g ’(x) = cos ( x 2 + ln x) · ( x 2 + ln x)' = cos ( x 2 + ln x) · (2 x + 1/x).

Isso é tudo! Como pode ser visto na última expressão, todo o problema se reduziu ao cálculo da soma da derivada.

Responder:
f ’(x) = 2 · e 2x + 3 ;
g ’(x) = (2x + 1/x) porque ( x 2 + ln x).

Muitas vezes nas minhas aulas, em vez do termo “derivada”, uso a palavra “primo”. Por exemplo, o traço da soma é igual à soma dos traços. Isso está mais claro? Bem, isso é bom.

Assim, calcular a derivada se resume a livrar-se desses mesmos traços de acordo com as regras discutidas acima. Como exemplo final, vamos voltar à potência derivada com um expoente racional:

(x n)’ = n · x n − 1

Poucas pessoas sabem que no papel n pode muito bem ser um número fracionário. Por exemplo, a raiz é x 0,5. E se houver algo sofisticado na raiz? Novamente, o resultado será uma função complexa - eles gostam de dar tais construções em testes e exames.

Tarefa. Encontre a derivada da função:

Primeiro, vamos reescrever a raiz como uma potência com um expoente racional:

f(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .

Agora fazemos uma substituição: vamos x 2 + 8x − 7 = t. Encontramos a derivada usando a fórmula:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (t 0,5)’ · t' = 0,5 · t−0,5 · t ’.

Vamos fazer a substituição inversa: t = x 2 + 8x− 7. Temos:

f ’(x) = 0,5 · ( x 2 + 8x− 7) −0,5 · ( x 2 + 8x− 7)’ = 0,5 · (2 x+ 8) ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .

Finalmente, de volta às raízes:

Nos livros “antigos” também é chamada de regra da “cadeia”. Então se y = f (u) e u = φ (x), aquilo é

y =f(φ(x))

complexo - função composta (composição de funções) então

Onde , após o cálculo ser considerado em você =φ(x).

Observe que aqui pegamos composições “diferentes” das mesmas funções, e o resultado da diferenciação acabou naturalmente dependendo da ordem de “mistura”.

A regra da cadeia estende-se naturalmente a composições de três ou mais funções. Neste caso, existirão três ou mais “elos” na “cadeia” que compõe a derivada. Aqui está uma analogia com a multiplicação: “temos” uma tabela de derivadas; “lá” - tabuada; “conosco” é a regra da cadeia e “lá” é a regra de multiplicação da “coluna”. Ao calcular tais derivadas “complexas”, nenhum argumento auxiliar (u¸v, etc.), é claro, é introduzido, mas, tendo anotado por si mesmo o número e a sequência de funções envolvidas na composição, os links correspondentes são “amarrados” na ordem indicada.

. Aqui, com o “x” para obter o valor do “y”, são realizadas cinco operações, ou seja, há uma composição de cinco funções: “externa” (a última delas) – exponencial – e ; então, na ordem inversa, potência. (♦) 2; sen trigonométrico(); calmo. () 3 e finalmente logarítmico ln.(). É por isso

Com os exemplos a seguir iremos “matar alguns coelhos com uma cajadada só”: praticaremos a diferenciação de funções complexas e adicionaremos à tabela de derivadas de funções elementares. Então:

4. Para uma função de potência - y = x α - reescrevendo-a usando a conhecida “identidade logarítmica básica” - b=e ln b - na forma x α = x α ln x obtemos

5. Para uma função exponencial arbitrária, usando a mesma técnica teremos

6. Para uma função logarítmica arbitrária, usando a conhecida fórmula de transição para uma nova base, obtemos consistentemente

.

7. Para diferenciar a tangente (cotangente), usamos a regra de diferenciação de quocientes:

Para obter as derivadas das funções trigonométricas inversas, utilizamos a relação que é satisfeita pelas derivadas de duas funções mutuamente inversas, ou seja, as funções φ (x) e f (x) relacionadas pelas relações:

Esta é a proporção

É a partir desta fórmula para funções mutuamente inversas

E
,

Por fim, vamos resumir essas e algumas outras derivadas que também são facilmente obtidas na tabela a seguir.