Graficul unui trinom pătratic

2019-04-19

Trinom pătrat

Am numit un trinom pătrat o întreagă funcție rațională de gradul doi:

$y = ax^2 + bx + c$, (1)

unde $a \neq 0$. Să demonstrăm că graficul unui trinom pătratic este o parabolă obţinută prin deplasări paralele (în direcţiile axelor de coordonate) din parabola $y = ax^2$. Pentru a face acest lucru, reducem expresia (1) prin simple transformări identice la formă

$y = a(x + \alpha)^2 + \beta$. (2)

Transformările corespunzătoare, scrise mai jos, sunt cunoscute sub denumirea de „extracție exactă în pătrat”:

$y = x^2 + bx + c = a \left (x^2 + \frac(b)(a) x \right) + c = a \left (x^2 + \frac(b)(a) x + \frac (b^2)(4a^2) \right) - \frac (b^2)(4a) + c = a \left (x + \frac(b)(2a) \right)^2 - \frac (b^2 - 4ac)(4a)$. (2")

Am redus trinomul pătratic la forma (2); în care

$\alpha = \frac(b)(2a), \beta = - \frac (b^2 - 4ac)(4a)$

(aceste expresii nu trebuie memorate; este mai convenabil să transformăm trinomul (1) în forma (2) direct de fiecare dată).

Acum este clar că graficul trinomului (1) este o parabolă egală cu parabola $y = ax^2$ și obținută prin deplasarea parabolei $y = ax^2$ în direcțiile axelor de coordonate cu $\ alpha$ și $\beta$ (ținând cont de semnul $\alpha$ și respectiv $\beta$). Vârful acestei parabole este situat în punctul $(- \alpha, \beta)$, axa ei este dreapta $x = - \alpha$. Pentru $a > 0$, vârful este punctul cel mai de jos al parabolei, pentru $a
Să realizăm acum un studiu al trinomului pătratic, adică vom afla proprietățile acestuia în funcție de valorile numerice ale coeficienților $a, b, c$ în expresia sa (1).

În egalitatea (2") notăm valoarea $b^2- 4ac$ cu $d$:

$y = a \left (x + \frac(b)(2a) \right)^2 - \frac(d)(4a)$; (4)

$d = b^2 - 4ac$ se numește discriminantul unui trinom pătratic. Proprietățile trinomului (1) (și locația graficului său) sunt determinate de semnele discriminantului $d$ și coeficientul principal $a$.

1) $a > 0, d 0$; întrucât $a > 0$, atunci graficul este situat deasupra vârfului $O^( \prime)$; se află în semiplanul superior ($y > 0$ - Fig. a.).

2) $a
3) $a > 0, d > 0$. Vârful $O^( \prime)$ se află sub axa $Ox$, parabola intersectează axa $Ox$ în două puncte $x_1, x_2$ (Fig. c.).

4) $a 0$. Vârful $O^( \prime)$ se află deasupra axei $Ox$, parabola intersectează din nou axa $Ox$ în două puncte $x_1, x_2$ (Fig. d).

5) $a > 0, d = 0$. Vârful se află pe axa $Ox$ însăși, parabola este situată în semiplanul superior (Fig. e).

6) $a
Concluzii. Dacă $d 0$), sau mai mic (dacă $a
Dacă $d > 0$, atunci funcția este alternativă (graficul se află parțial sub și parțial deasupra axei $Ox$). Un trinom pătrat cu $d > 0$ are două rădăcini (zero) $x_1, x_2$. Pentru $a > 0$ este negativ în intervalul dintre rădăcini (Fig. c) şi pozitiv în afara acestui interval. La $a

Definite prin formula $a((x)^(2))+bx+c$ $(a\ne 0).$ Numerele $a, b$ și $c$ sunt coeficienții unui trinom pătratic, sunt numit de obicei: a - cel de conducere, b - al doilea sau coeficient mediu, c - termen liber. O funcție de forma y = ax 2 + bx + c se numește funcție pătratică.

Toate aceste parabole au vârful lor la origine; pentru a > 0 acesta este punctul cel mai de jos al graficului (cea mai mică valoare a funcției), iar pentru a< 0, наоборот, наивысшая точка (наибольшее значение функции). Ось Oy есть ось симметрии каждой из таких парабол.

După cum se vede, pentru a > 0 parabola este îndreptată în sus, pentru a< 0 - вниз.

Există o metodă grafică simplă și convenabilă care vă permite să construiți orice număr de puncte ale parabolei y = ax 2 fără calcule, dacă se cunoaște un punct al parabolei, altul decât vârful. Fie punctul M(x 0 , y 0) să se afle pe parabola y = ax 2 (Fig. 2). Dacă dorim să construim un n puncte suplimentare între punctele O și M, atunci împărțim segmentul ON al axei absciselor în n + 1 părți egale și la punctele de împărțire trasăm perpendiculare pe axa Ox. Împărțim segmentul NM în același număr de părți egale și conectăm punctele de diviziune cu raze la originea coordonatelor. Punctele necesare ale parabolei se află la intersecția unor perpendiculare și raze cu aceleași numere (în Fig. 2 numărul punctelor de divizare este 9).

Graficul funcției y = ax 2 + bx + c diferă de graficul y = ax 2 doar în poziția sa și poate fi obținut pur și simplu prin deplasarea curbei pe desen. Aceasta rezultă din reprezentarea trinomului pătratic în formă

din care este ușor de concluzionat că graficul funcției y = ax 2 + bx + c este o parabolă y = ax 2, al cărei vârf este mutat în punctul

iar axa sa de simetrie a rămas paralelă cu axa Oy (Fig. 3). Din expresia rezultată pentru un trinom pătratic rezultă cu ușurință toate proprietățile sale de bază. Expresia D = b 2 − 4ac se numește discriminantul trinomului pătratic ax 2 + bx + c și discriminantul ecuației pătratice asociate ax 2 + bx + c = 0. Semnul discriminantului determină dacă graficul trinom pătratic intersectează axa x sau se află pe aceeași parte față de ea. Și anume, dacă D< 0, то парабола не имеет общих точек с осью Ox, при этом: если a >0, atunci parabola se află deasupra axei Ox, iar dacă a< 0, то ниже этой оси (рис. 4). В случае D >0 graficul unui trinom pătratic intersectează axa x în două puncte x 1 și x 2, care sunt rădăcinile ecuației pătratice ax 2 + bx + c = 0 și, respectiv, sunt egale

La D = 0 parabola atinge axa Ox în punct

Proprietățile trinomului pătratic formează baza pentru rezolvarea inegalităților pătratice. Să explicăm acest lucru cu un exemplu. Să presupunem că trebuie să găsim toate soluțiile la inegalitatea 3x 2 - 2x - 1< 0. Найдем дискриминант квадратного трехчлена, стоящего в левой части неравенства: D = 16. Так как D >0, atunci ecuația pătratică corespunzătoare 3x 2 − 2x − 1 = 0 are două rădăcini diferite, acestea fiind determinate de formulele date mai devreme:

x 1 = −1/3 și x 2 = 1.

În trinomul pătratic luat în considerare, a = 3 > 0, ceea ce înseamnă că ramurile graficului său sunt îndreptate în sus, iar valorile trinomului pătratic sunt negative numai în intervalul dintre rădăcini. Deci, toate soluțiile la inegalitate îndeplinesc condiția

−1/3 < x < 1.

Diverse inegalități pot fi reduse la inegalități pătratice prin aceleași substituții prin care diverse ecuații sunt reduse la inegalități pătratice.