Cunoașterea noastră cu matematica începe cu aritmetica, știința numerelor. Unul dintre primele manuale de aritmetică rusă, scris de L. F. Magnitsky în 1703, începea cu cuvintele: „Aritmetica, sau numărătorul, este o artă cinstită, de neinvidiat și ușor de înțeles pentru toată lumea, cea mai utilă și foarte lăudată, din cele mai vechi. iar cel mai nou, care a trăit în vremuri diferite ale celor mai drepți aritmetici, a inventat și a expus.” Cu aritmetica intrăm, așa cum a spus M.V. Lomonosov, în „porțile învățării” și începem calea noastră lungă și dificilă, dar fascinantă, de înțelegere a lumii.

Cuvântul „aritmetică” provine din grecescul arithmos, care înseamnă „număr”. Această știință studiază operațiile cu numere, diverse reguli de manipulare a acestora și învață cum să rezolvi probleme care se rezumă la adunare, scădere, înmulțire și împărțire a numerelor. Aritmetica este adesea imaginată ca un fel de primă etapă a matematicii, pe baza căreia se pot studia secțiunile sale mai complexe - algebra, analiza matematică etc. Chiar și numerele întregi - obiectul principal al aritmeticii - sunt raportate, atunci când sunt luate în considerare proprietățile și modelele lor generale, la aritmetica superioară sau teoria numerelor. Această viziune asupra aritmeticii, desigur, are temeiuri - rămâne într-adevăr „alfabetul numărării”, dar alfabetul este „cel mai util” și „ușor de înțeles”.

Aritmetica și geometria sunt tovarășii de lungă durată ai omului. Aceste științe au apărut atunci când a apărut nevoia de a număra obiectele, de a măsura terenuri, de a împărți prada și de a ține evidența timpului.

Aritmetica își are originea în țările din Orientul Antic: Babilon, China, India, Egipt. De exemplu, papirusul egiptean Rind (numit după proprietarul său G. Rind) datează din secolul al XX-lea. î.Hr. Printre alte informații, conține descompunerea unei fracții într-o sumă de fracții cu un numărător egal cu unu, de exemplu:

Comorile de cunoștințe matematice acumulate în țările din Orientul Antic au fost dezvoltate și continuate de oamenii de știință din Grecia Antică. Istoria a păstrat multe nume de oameni de știință care s-au ocupat de aritmetică în lumea antică - Anaxagoras și Zenon, Euclid (vezi Euclid și elementele sale), Arhimede, Eratosthenes și Diophantus. Numele lui Pitagora (sec. VI î.Hr.) scânteie aici ca o stea strălucitoare. Pitagoreii (studenți și adepți ai lui Pitagora) se închinau numerelor, crezând că acestea conțin toată armonia lumii. Numerelor individuale și perechilor de numere li s-au atribuit proprietăți speciale. Numerele 7 și 36 au fost ținute la mare cinste, iar apoi s-a acordat atenție așa-ziselor numere perfecte, numere prietenoase etc.

În Evul Mediu, dezvoltarea aritmeticii a fost asociată și cu Orientul: India, țările lumii arabe și Asia Centrală. De la indieni au venit la noi numerele pe care le folosim, zero și sistemul de numere pozițional; de la al-Kashi (secolul al XV-lea), care a lucrat la Observatorul Samarkand din Ulugbek, - fracții zecimale.

Datorită dezvoltării comerțului și influenței culturii orientale încă din secolul al XIII-lea. Interesul pentru aritmetică crește și în Europa. Merită să ne amintim numele omului de știință italian Leonardo din Pisa (Fibonacci), a cărui lucrare „Cartea lui Abacus” ia introdus pe europeni în principalele realizări ale matematicii orientale și a fost începutul multor studii în aritmetică și algebră.

Odată cu invenția tiparului (mijlocul secolului al XV-lea) au apărut și primele cărți de matematică tipărite. Prima carte tipărită despre aritmetică a fost publicată în Italia în 1478. În „Aritmetica completă” a matematicianului german M. Stiefel (începutul secolului al XVI-lea) există deja numere negative și chiar ideea logaritmizării.

Din aproximativ secolul al XVI-lea. dezvoltarea întrebărilor pur aritmetice s-a revărsat în curentul principal al algebrei - ca o piatră de hotar semnificativă, se poate remarca apariția lucrărilor omului de știință francez F. Vieta, în care numerele sunt indicate prin litere. Din acest moment, regulile aritmetice de bază sunt în sfârșit înțelese din punctul de vedere al algebrei.

Obiectul principal al aritmeticii este numărul. Numerele naturale, de ex. numerele 1, 2, 3, 4, ... etc., au apărut din numărarea unor obiecte specifice. Au trecut multe mii de ani înainte ca omul să învețe că doi fazani, două mâini, doi oameni etc. poate fi numit prin același cuvânt „doi”. O sarcină importantă a aritmeticii este să înveți să depășești semnificația specifică a numelor obiectelor care se numără, să distragi atenția de la forma, dimensiunea, culoarea lor etc. Fibonacci are deja o sarcină: „Șapte bătrâne merg la Roma. Fiecare are 7 catîri, fiecare catîr poartă 7 pungi, fiecare pungă conține 7 pâini, fiecare pâine conține 7 cuțite, fiecare cuțit are 7 teci. Cât de multe sunt acolo?" Pentru a rezolva problema, va trebui să puneți împreună bătrâne, catâri, saci și pâine.

Dezvoltarea conceptului de număr - apariția numerelor zero și negative, fracțiilor ordinare și zecimale, modalități de scriere a numerelor (cifre, notații, sisteme numerice) - toate acestea au o istorie bogată și interesantă.

„Știința numerelor se referă la două științe: practică și teoretică. Studiază practice numerele în măsura în care vorbim de numere numărabile. Această știință este folosită în afaceri și afaceri civile. Știința teoretică a numerelor studiază numerele în sens absolut, abstrase de minte din corpuri și tot ce poate fi numărat în ele.” al-Farabi

În aritmetică, numerele se adună, se scad, se înmulțesc și se împart. Arta de a efectua rapid și precis aceste operații pe orice numere a fost mult timp considerată cea mai importantă sarcină a aritmeticii. În zilele noastre, în capul nostru sau pe o bucată de hârtie, facem doar cele mai simple calcule, încredințând tot mai mult lucrări de calcul mai complexe microcalculatoarelor, care înlocuiesc treptat dispozitive precum un abac, o mașină de adăugare (vezi Tehnologia calculatoarelor) și un diapozitiv. regulă. Cu toate acestea, funcționarea tuturor calculatoarelor - simple și complexe - se bazează pe cea mai simplă operație - adunarea numerelor naturale. Se pare că cele mai complexe calcule pot fi reduse la adunare, dar această operație trebuie făcută de multe milioane de ori. Dar aici invadăm o altă zonă a matematicii, care își are originea în aritmetică - matematica computațională.

Operațiile aritmetice pe numere au o varietate de proprietăți. Aceste proprietăți pot fi descrise în cuvinte, de exemplu: „Suma nu se modifică prin schimbarea locurilor termenilor”, poate fi scris cu litere: , poate fi exprimat în termeni speciali.

De exemplu, această proprietate a adunării se numește lege comutativă sau comutativă. Aplicam legile aritmeticii adesea din obisnuinta, fara sa ne dam seama. Adesea, elevii de la școală întreabă: „De ce să înveți toate aceste legi comutative și combinaționale, deoarece este deja clar cum să adunăm și să înmulțim numerele?” În secolul 19 matematica a făcut un pas important - a început să adauge și să înmulțească în mod sistematic nu numai numere, ci și vectori, funcții, deplasări, tabele de numere, matrice și multe altele, și chiar doar litere, simboluri, fără să-i pese cu adevărat de sensul lor specific. Și aici s-a dovedit că cel mai important lucru este ce legi respectă aceste operațiuni. Studiul operațiilor specificate pe obiecte arbitrare (nu neapărat pe numere) este deja domeniul algebrei, deși această sarcină se bazează pe aritmetică și legile acesteia.

Aritmetica conține multe reguli pentru rezolvarea problemelor. În cărțile vechi găsești probleme la „regula triplă”, la „diviziunea proporțională”, la „metoda scalelor”, la „regula falsă”, etc. Majoritatea acestor reguli sunt acum depășite, deși problemele care au fost rezolvate cu ajutorul lor nu pot fi în niciun fel considerate depășite. Celebra problemă a unei piscine care este umplută cu mai multe țevi este veche de cel puțin două mii de ani și încă nu este ușor pentru școlari. Dar dacă mai devreme pentru a rezolva această problemă era necesar să se cunoască o regulă specială, astăzi școlarii mai mici sunt învățați să rezolve o astfel de problemă introducând litera de denumire a cantității dorite. Astfel, problemele aritmetice au dus la necesitatea rezolvării ecuațiilor, iar aceasta este din nou o problemă de algebră.

PITAGORA (c. 570-c. 500 î.Hr.) Nu au mai rămas documente scrise despre Pitagora din Samos și, din dovezile ulterioare, este dificil să reconstitui imaginea adevărată a vieții și realizărilor sale. Se știe că Pitagora și-a părăsit insula natală, Samos, în Marea Egee, în largul coastei Asiei Mici, în semn de protest împotriva tiraniei domnitorului și deja la vârsta adultă (conform legendei, la vârsta de 40 de ani) a apărut în orașul grec Crotone din sudul Italiei. Pitagora și adepții săi - pitagoreicii - au format o alianță secretă care a jucat un rol semnificativ în viața coloniilor grecești din Italia. Pitagoreii s-au recunoscut unul pe altul după un pentagon în formă de stea - o pentagramă. Învățăturile lui Pitagora au fost foarte influențate de filozofia și religia Orientului. A călătorit mult în țările din Orient: a fost în Egipt și Babilon. Acolo Pitagora s-a familiarizat și cu matematica orientală. Matematica a devenit parte din predarea lui și cea mai importantă parte. Pitagorei credeau că secretul lumii era ascuns în modele numerice. Lumea numerelor a trăit o viață specială pentru pitagora; numerele aveau propriul lor sens special de viață. Numerele egale cu suma divizorilor lor erau percepute ca perfecte (6, 28, 496, 8128); Prieteni erau perechi de numere, fiecare dintre ele egal cu suma divizorilor celuilalt (de exemplu, 220 și 284). Pitagora a fost primul care a împărțit numerele în pare și impare, simple și compuse și a introdus conceptul de număr figurat. În școala sa, au fost examinate în detaliu tripletele pitagoreene ale numerelor naturale, în care pătratul unuia era egal cu suma pătratelor celorlalte două (vezi ultima teoremă a lui Fermat). Lui Pitagora i se atribuie faptul că a spus: „Totul este un număr”. El a vrut să reducă întreaga lume, și matematica în special, la numere (și se referea doar la numere naturale). Dar chiar în școala lui Pitagora s-a făcut o descoperire care a încălcat această armonie. S-a dovedit că nu este un număr rațional, adică. nu poate fi exprimat în termeni de numere naturale. Desigur, geometria lui Pitagora a fost subordonată aritmeticii; acest lucru s-a manifestat în mod clar în teorema care îi poartă numele și care a devenit ulterior baza pentru utilizarea metodelor numerice în geometrie. (Mai târziu, Euclid a adus din nou geometria în prim-plan, subordonându-i algebra.) Aparent, pitagoreicii cunoșteau solidele corecte: tetraedrul, cubul și dodecaedrul. Lui Pitagora i se atribuie introducerea sistematică a demonstrațiilor în geometrie, crearea planimetriei figurilor rectilinii și doctrina asemănării. Numele lui Pitagora este asociat cu doctrina aritmeticii, proporțiilor geometrice și armonice, mediilor. Trebuie remarcat faptul că Pitagora considera Pământul o minge care se mișcă în jurul Soarelui. Când în secolul al XVI-lea Biserica a început să persecute cu înverșunare învățăturile lui Copernic; această învățătură a fost numită cu încăpățânare pitagoreică.

ARHIMEDE (c. 287-212 î.Hr.) Se știu mai multe despre Arhimede, marele matematician și mecanic, decât despre alți oameni de știință antici. În primul rând, anul morții sale este de încredere - anul căderii Siracuza, când omul de știință a murit în mâinile unui soldat roman. Cu toate acestea, istoricii antici Polybius, Livy și Plutarh au spus puțin despre meritele sale matematice; din ele, informații despre minunatele invenții ale omului de știință făcute în timpul serviciului său cu regele Hieron al II-lea au ajuns în vremurile noastre. Există o poveste binecunoscută despre coroana de aur a regelui. Arhimede a verificat puritatea compoziției sale folosind legea forței de flotabilitate pe care a găsit-o și exclamația sa „Eureka!”, adică. "Găsite!". O altă legendă spune că Arhimede a construit un sistem de blocuri cu ajutorul căruia un bărbat a putut să lanseze imensa navă Syracosia. Cuvintele lui Arhimede rostite atunci au devenit înaripate: „Dă-mi un punct de sprijin și voi întoarce Pământul”. Geniul ingineresc al lui Arhimede s-a manifestat cu o forță deosebită în timpul asediului Siracuza, un oraș de comerț bogat de pe insula Sicilia. Soldații consulului roman Marcellus au fost reținuți pentru o lungă perioadă de timp la zidurile orașului de mașini fără precedent: catapulte puternice au vizat blocuri de piatră, mașini de aruncare au fost instalate în lacune, aruncând grindină de ghiule, macarale de coastă răsucite în afara zidurilor și aruncau blocuri de piatră și plumb în navele inamice, cârligele ridicau nave și le aruncau de la mare înălțime, sistemele de oglinzi concave (în unele povești - scuturi) incendiau navele. În „Istoria lui Marcellus”, Plutarh descrie groaza care domnea în rândurile soldaților romani: „De îndată ce au observat că din spatele zidului cetății iese o frânghie sau un buștean, au fugit, strigând că Arhimede a inventat. o nouă mașinărie pentru distrugerea lor.” . Contribuția lui Arhimede la dezvoltarea matematicii a fost, de asemenea, enormă. Spirala lui Arhimede (vezi Spirale), descrisă de un punct care se mișcă într-un cerc rotativ, stătea deoparte printre numeroasele curbe cunoscute de contemporanii săi. Următoarea curbă definită cinematic - cicloida - a apărut abia în secolul al XVII-lea. Arhimede a învățat să găsească o tangentă la spirala sa (iar predecesorii săi au fost capabili să tragă tangente numai la secțiuni conice), a găsit aria virii sale, precum și aria unei elipse, suprafața unui con și o sferă, volumele unei sfere și un segment sferic. Era mai ales mândru de raportul pe care l-a descoperit între volumul unei sfere și al unui cilindru circumscris în jurul acesteia, care este egal cu 2:3 (vezi Figuri înscrise și circumscrise). Arhimede a lucrat mult și la problema pătrarii cercului (vezi Probleme celebre ale antichității). Omul de știință a calculat raportul dintre circumferință și diametru (număr) și a constatat că este între și. Metoda pe care a creat-o pentru calcularea circumferinței și a ariei unei figuri a fost un pas semnificativ spre crearea calculului diferențial și integral, care a apărut doar 2000 de ani mai târziu. Arhimede a găsit și suma unei progresii geometrice infinite cu numitor. În matematică, acesta a fost primul exemplu de serie infinită. Un rol major în dezvoltarea matematicii l-a jucat eseul său „Psammit” - „Despre numărul de boabe de nisip”, în care arată cum, folosind sistemul numeric existent, se pot exprima numere arbitrar mari. Ca bază pentru raționamentul său, el folosește problema numărării numărului de boabe de nisip din Universul vizibil. Astfel, opinia existentă atunci despre prezența unor „cele mai mari numere” misterioase a fost respinsă.

Printre conceptele importante pe care le-a introdus aritmetica se numără proporțiile și procentele. Cele mai multe concepte și metode de aritmetică se bazează pe compararea diferitelor dependențe între numere. În istoria matematicii, procesul de îmbinare a aritmeticii și geometriei a avut loc de-a lungul mai multor secole.

Se poate urmări clar „geometrizarea” aritmeticii: regulile complexe și modelele exprimate prin formule devin mai clare dacă pot fi reprezentate geometric. Un rol important în matematică în sine și în aplicațiile sale este jucat de procesul invers - traducerea informațiilor vizuale, geometrice în limbajul numerelor (vezi Calcule grafice). Această traducere se bazează pe ideea filozofului și matematicianului francez R. Descartes despre definirea punctelor de pe un plan prin coordonate. Desigur, această idee fusese deja folosită înaintea lui, de exemplu în afacerile maritime, când era necesar să se determine locația unei nave, precum și în astronomie și geodezie. Dar de la Descartes și studenții săi vine utilizarea consecventă a limbajului coordonatelor în matematică. Și în timpul nostru, atunci când controlează procese complexe (de exemplu, zborul unei nave spațiale), ei preferă să aibă toate informațiile sub formă de numere, care sunt procesate de un computer. Dacă este necesar, mașina ajută o persoană să traducă informațiile numerice acumulate în limbajul desenului.

Vedeți că, vorbind despre aritmetică, depășim întotdeauna limitele ei - în algebră, geometrie și alte ramuri ale matematicii.

Cum putem delimita limitele aritmeticii în sine?

În ce sens este folosit acest cuvânt?

Cuvântul „aritmetică” poate fi înțeles astfel:

o materie academică care tratează în primul rând numerele raționale (numere întregi și fracții), operații asupra acestora și probleme rezolvate cu ajutorul acestor operații;

parte a clădirii istorice a matematicii, care a acumulat diverse informații despre calcule;

„aritmetica teoretică” este o parte a matematicii moderne care se ocupă cu construcția diferitelor sisteme numerice (naturale, întregi, raționale, reale, numere complexe și generalizările acestora);

„aritmetica formală” este o parte a logicii matematice (vezi Logica matematică), care se ocupă cu analiza teoriei axiomatice a aritmeticii;

„aritmetică superioară” sau teoria numerelor, o parte a matematicii care se dezvoltă independent.

Pe de o parte, aceasta este o întrebare foarte simplă. Pe de altă parte, școlari și mulți adulți confundă adesea aritmetica și matematica și nu știu cu adevărat care este diferența dintre aceste două materii. Matematica este cel mai extins concept care include orice operații cu numere. Aritmetica este doar una dintre ramurile matematicii. Aritmetica include introducerea în numere, numărare simplă și operații cu numere. Anterior, lecțiile din școli se numeau aritmetică și abia cu timpul au început să poarte numele de matematică, care se revarsă lin în algebră. În esență, algebra începe atunci când în exemple apar numere necunoscute și sunt folosite în schimb litere. Adică, într-un mod simplu, operațiuni cu XȘi y.

Termen "aritmetic" provine din cuvântul grecesc "aritmetica", care înseamnă „număr”. În secolele XIV-XV, acest termen a fost tradus în Anglia nu în întregime corect - „arta metrică”, care în esență însemna „artă metrică”, potrivită mai mult pentru geometrie decât pentru simpla numărare și operații simple cu numere.

Unul dintre motivele pentru care conceptul de „aritmetică” nu este folosit în școli este că, chiar și în lecțiile de școală primară, pe lângă numere, se studiază și formele geometrice și unitățile de măsură (centimetru, metru etc.), iar asta merge. dincolo de contul obișnuit. Cu toate acestea, învățarea aritmeticii mentale are loc într-o oarecare măsură în mod natural în viața unui copil, în procesul de cunoaștere a lumii din jurul lui. Termen "aritmetica mentala"înseamnă capacitatea de a face matematică mentală. De acord, fiecare dintre noi învață acest lucru la un moment dat în viața noastră și nu numai prin lecțiile de la școală.

Astăzi există metode întregi pentru dezvoltarea abilităților de aritmetică mentală a vitezei copiilor. De exemplu, deosebit de popular este antrenamentul antic Abacus, care se bazează pe capacitatea de a conta pe abaci speciale (diferiți de cele obișnuite cu zeci). Abac tradus din engleză este "abac", de aceea numele tehnicii sună la fel. Japonezii numesc această tehnică antrenament Soroban, pentru că... în limba lor, „abacus” se numește „soroban”.

Aritmetica folosește patru operații elementare - adunarea, scăderea, înmulțirea și împărțirea. Nu contează dacă în exemplu sunt folosite numere întregi sau zecimale și fracții. Îți poți face cunoștințele copilului cu numerele încă din copilărie și să o faci cu ușurință și prin joacă. Părinții vor fi ajutați în acest sens nu numai de imaginația lor, ci și de o varietate de materiale educaționale speciale care pot fi găsite în orice magazin.

Conform cerințelor moderne pentru clasa întâi, un copil ar trebui să numere deja cel puțin până la zece (și de preferință până la 20) și, de asemenea, să efectueze operații de bază cu numere familiare - adunarea și scăderea lor. De asemenea, este important ca copilul să compare ce numere sunt mai mari, care sunt mai mici și care sunt numere egale. Astfel, putem spune că este o aritmetică pe care un copil ar trebui să o știe chiar înainte de a intra la școală.

Astfel de cerințe sunt prezentate nu numai în Rusia, ci în întreaga lume, deoarece Ritmul vieții se accelerează, iar volumul cunoștințelor crește zilnic. Ceea ce era suficient de știut în programa școlară acum 20-30 de ani în prezent nu ocupă mai mult de 50% din informațiile predate de profesori. Oricum ar fi, aritmetica va rămâne întotdeauna baza pentru învățarea numerelor și a numărării, precum și a nivelului inițial al matematicii, fără de care este imposibil să înveți sarcini și abilități mai complexe.

Aritmetic

Aritmetic și.
1.

O ramură a matematicii care studiază cele mai simple proprietăți ale numerelor, modalitățile de a le scrie și operațiile asupra lor.

2.

Un subiect academic care conține elementele de bază ale acestei secțiuni de matematică.

3. descompunere

Un manual care stabilește conținutul unei anumite discipline academice.

Dicţionar explicativ de Efremova. T. F. Efremova. 2000.

Sinonime:

Vedeți ce înseamnă „Aritmetică” în alte dicționare:

- (din grecescul arithmos număr și toche art). O știință care se ocupă de numere. Dicționar de cuvinte străine incluse în limba rusă. Chudinov A.N., 1910. Aritmetică din greacă. arithmos, număr și techne, art. Știința numerelor...... Dicționar de cuvinte străine ale limbii ruse

Femeie, greacă doctrina numărării, știința notației; baza tuturor matematicii (știința cantităților, a măsurabilului); vechi numărare sau înțelepciune numerică; numărare, socoteală, calcul numeric, calcul. Aritmetică, aritmetică, referitoare la ea. Aritmetician...... Dicţionarul explicativ al lui Dahl

Digital business, digital science, digital, counting Dicționar de sinonime rusești. aritmetică tsifir (învechit) Dicționar de sinonime ale limbii ruse. Ghid practic. M.: Limba rusă. Z. E. Alexandrova. 2011… Dicţionar de sinonime

- (din cuvintele grecești ariJmoV număr și technh art) parte a matematicii care se ocupă cu studiul proprietăților anumitor mărimi specifice; într-un sens mai apropiat, aritmetica este știința numerelor exprimate în numere și se ocupă de operații asupra numerelor. Pot sa… … Enciclopedia lui Brockhaus și Efron

Enciclopedie modernă

- (din greacă număr arithmos) parte a matematicii; studiază cele mai simple proprietăți ale numerelor, în primul rând naturale (numere întregi pozitive) și fracții, și operațiunile asupra acestora. Dezvoltarea aritmeticii a dus la separarea de ea a algebrei și a teoriei numerelor... Dicţionar enciclopedic mare

Aritmetica, o metodă de calcul care utilizează adunarea, scăderea, înmulțirea și împărțirea. Baza axiomatică formală pentru aceste operații a fost oferită de Giuseppe Peano la sfârșitul secolului al XIX-lea. Pe baza unor postulate, de exemplu, că există doar unul... ... Dicționar enciclopedic științific și tehnic

Aritmetică, aritmetică, multe. nu, femeie (aritmetică greacă). Studiul numerelor exprimate prin cifre și operațiunile asupra acestora. Dicționarul explicativ al lui Ușakov. D.N. Uşakov. 1935 1940... Dicționarul explicativ al lui Ushakov

Aritmetică și, feminin. 1. O ramură a matematicii care studiază cele mai simple proprietăți ale numerelor exprimate prin cifre și operații asupra acestora. 2. transfer La fel ca numărarea (în 2 cifre) (colocvial). Am verificat cheltuielile și s-a dovedit dezamăgitor. | adj. aritmetică, ah, ...... Dicționarul explicativ al lui Ozhegov

aritmetic- - [A.S. Goldberg. Dicționar energetic englez-rus. 2006] Subiecte de energie în general EN aritmetică... Ghidul tehnic al traducătorului

Aritmetic- (din grecescul aritmetic număr), parte a matematicii care studiază cele mai simple proprietăți ale numerelor întregi și fracțiilor și operațiunile asupra acestora. A apărut în antichitate din nevoile practice de numărare, măsurare a distanțelor, timpului etc. Îmbunătățirea... ... Dicţionar Enciclopedic Ilustrat

Cărți

• Aritmetică, Kiselev Andrey Petrovici. Anul 2017 marchează 165 de ani de la nașterea lui A.P. Kiselyov. Primul său manual școlar de aritmetică a fost publicat în 1884. În 1938, a fost aprobat ca manual de aritmetică pentru 5-6...

Aritmetica este ramura matematicii al cărei subiect de studiu este numerele, proprietățile și relațiile lor.

Numele său este de origine greacă: în limba Eladei antice cuvântul „ aritmii„(se mai pronunță ca „ aritmul") mijloace " număr».

Aritmetic studiază regulile de calcul și cele mai simple proprietăți ale numerelor. În acea secțiune numită teoria numerelor (sau aritmetică superioară), sunt studiate proprietățile numerelor întregi individuale.

Aritmetic este cel mai strâns legat de teoria numerelor, algebra și geometria și este una dintre principalele științe matematice, precum și cea mai veche dintre ele.

Principalele subiecte ale aritmeticii sunt operațiile asupra numerelor, proprietățile acestora, precum și mulțimile numerice. În plus, aritmetica studiază aspecte precum originea și dezvoltarea conceptului de numere, tehnicile de măsurare și numărare.

Operațiile cu numere care fac obiectul aritmeticii sunt adunarea, scăderea, împărțirea și înmulțirea. Acestea includ, de asemenea, operații precum extragerea rădăcinilor, exponențiarea și rezolvarea diverselor ecuații numerice.

În plus, istoric s-a dezvoltat că operațiile aritmetice includ, pe lângă înmulțire, și dublarea; pe lângă împărțire, împărțire cu un rest și cu doi; Verifica; calcularea sumei progresiilor geometrice si aritmetice. Mai mult, toate operațiile aritmetice au o ierarhie proprie, în care nivelul cel mai înalt este ocupat de extragerea rădăcinilor și exponentiație, nivelul inferior prin înmulțire și împărțire, iar apoi prin adunare și scădere.

De remarcat că acele măsurători și calcule matematice care își găsesc o aplicație practică largă (de exemplu, procente, proporții etc.) aparțin așa-numitei aritmetice inferioare, iar conceptul de număr și analiza lui logică aparțin aritmeticii teoretice.

Aritmetic este într-o legătură foarte strânsă cu algebra, al cărei subiect principal de studiu îl constituie diverse operații cu numere care nu țin cont de proprietățile și caracteristicile acestora. În același timp, extragerea rădăcinilor și exponentiația sunt partea tehnică a algebrei.

Pentru că în viața de zi cu zi aritmetic este folosit aproape peste tot, atunci absolut toată lumea are nevoie de anumite cunoștințe în această știință. De-a lungul vieții, operațiuni precum numărarea, calcularea volumelor, suprafețelor, vitezei, intervalelor de timp și lungimii trebuie efectuate foarte des.

Pentru a stăpâni orice profesie, trebuie să ai cunoștințe de bază de aritmetică, iar acest lucru este valabil mai ales pentru acele specialități legate de economie, tehnologie și științele naturii.

Aritmetic (greacă arithmetika, de la arithmys - număr)

știința numerelor, în primul rând despre numerele naturale (întregi pozitive) și fracțiile (raționale) și operațiile asupra acestora.

Posesia unui concept suficient de dezvoltat al numerelor naturale și capacitatea de a efectua operații cu numere sunt necesare pentru activitățile practice și culturale ale unei persoane. Așadar, A. este un element al educației preșcolare a copiilor și o materie obligatorie din programa școlară.

Multe concepte matematice sunt construite folosind numere naturale (de exemplu, conceptul de bază al analizei matematice este un număr real). În acest sens, matematica este una dintre principalele științe matematice. Când se pune accent pe analiza logică a conceptului de număr (vezi Număr), uneori se folosește termenul de aritmetică teoretică. Algebra este strâns legată de algebra (vezi Algebra), în care, în special, operațiile asupra numerelor sunt studiate fără a lua în considerare proprietățile lor individuale. Proprietățile individuale ale numerelor întregi formează subiectul teoriei numerelor (vezi Teoria numerelor).

Referință istorică. Apărând în antichitate din nevoile practice de numărare și măsurători simple, aritmetica s-a dezvoltat în legătură cu complexitatea tot mai mare a activității economice și a relațiilor sociale, calculele monetare, problemele de măsurare a distanțelor, timpului, suprafețelor și cerințelor pe care le-au impus alte științe. aceasta.

Apariția numărării și etapele inițiale ale formării conceptelor aritmetice sunt de obicei judecate prin observații referitoare la procesul de numărare printre popoarele primitive și, indirect, prin studierea urmelor unor etape similare păstrate în limbile popoarelor culturale și observate. în timpul însuşirii acestor concepte de către copii. Aceste date indică faptul că dezvoltarea acelor elemente ale activității mentale care stau la baza procesului de numărare trece printr-o serie de etape intermediare. Acestea includ: capacitatea de a recunoaște același obiect și de a distinge obiectele dintr-un set de obiecte care trebuie numărate; capacitatea de a stabili o descompunere exhaustivă a acestei totalități în elemente care se disting unele de altele și în același timp egale în numărare (folosind o „unitate” de numărare numită); capacitatea de a stabili o corespondență între elementele a două mulțimi, mai întâi direct, iar apoi comparându-le cu elementele unei colecții ordonate o dată pentru totdeauna de obiecte, adică o colecție de obiecte situate într-o anumită succesiune. Elementele unui astfel de set standard ordonat sunt cuvinte (numerale) folosite în numărarea obiectelor de orice natură calitativă și care corespund formării conceptului abstract de număr. Într-o varietate de condiții, se pot observa caracteristici similare ale apariției și îmbunătățirii treptate a abilităților enumerate și a conceptelor aritmetice corespunzătoare acestora.

La început, numărarea se dovedește a fi posibilă numai pentru agregatele unui număr relativ mic de obiecte, dincolo de care diferențele cantitative sunt vag realizate și sunt caracterizate de cuvinte care sunt sinonime cu cuvântul „multe”; în acest caz, instrumentele de numărare sunt crestături pe copac (numărarea „etichetei”), pietricele de numărare, mărgele de mătănii, degete etc., precum și seturi care conțin un număr constant de elemente, de exemplu: „ochi” - ca un sinonim pentru cifra „doi”, mână („metacarpus”) - ca sinonim și baza reală a numeralului „cinci”, etc.

Numărarea ordinală verbală (unu, doi, trei etc.), a cărei dependență directă de numărarea degetelor (pronunțarea secvențială a numelor degetelor, părți ale mâinilor) în unele cazuri poate fi urmărită direct, este în continuare asociată cu grupurile de numărare conţinând un anumit număr de obiecte. Acest număr formează baza sistemului numeric corespunzător, de obicei ca urmare a numărării pe degetele a două mâini, egal cu 10. Cu toate acestea, există și grupări de 5, 20 (franceză 80 „quatre-vingt” = 4 × 20 ), 40, 12 („duzină”), 60 și chiar 11 (Noua Zeelandă). În epoca relațiilor comerciale dezvoltate, metodele de numerotare (atât orale, cât și scrise) au arătat în mod firesc o tendință de uniformizare între triburile și naționalitățile care comunicau între ele; această împrejurare a jucat un rol hotărâtor în stabilirea şi răspândirea sistemului folosit în zilele noastre. timpul sistemului de numerotare (notația (vezi Notația)), principiul locului (în funcție de bit) semnificația numerelor și metodele de efectuare a operațiilor aritmetice. Aparent, motive similare explică asemănarea binecunoscută a numelor numerice în diferite limbi: de exemplu, doi - dva (sanscrită), δυο (greacă), duo (latină), doi (engleză).

Sursa primelor informații de încredere despre starea cunoștințelor aritmetice în epoca civilizațiilor antice sunt documentele scrise ale Dr. Egipt (Papirile matematice), scrise aproximativ 2 mii de ani î.Hr. e. Acestea sunt culegeri de probleme care indică soluțiile lor, reguli de operare pe numere întregi și fracții cu tabele auxiliare, fără explicații teoretice. Unele dintre problemele din această colecție sunt rezolvate în principal prin stabilirea și rezolvarea ecuațiilor; Se găsesc și progresii aritmetice și geometrice.

Despre nivelul destul de ridicat de cultură aritmetică a babilonienilor timp de 2-3 mii de ani î.Hr. e. permit judecarea textelor matematice cuneiforme. Numerotarea scrisă a babilonienilor în texte cuneiforme este o combinație deosebită a sistemului zecimal (pentru numerele mai mici de 60) cu sistemul sexagesimal, cu unitățile de cifre 60, 60 2 etc. Cel mai semnificativ indicator al unui nivel ridicat de aritmetică este utilizarea fracțiilor sexagesimale cu același sistem de numerotare aplicat acestora, similar fracțiilor zecimale moderne. Tehnica aritmetică a babilonienilor, care teoretic era asemănătoare tehnicilor convenționale din sistemul zecimal, era complicată de necesitatea de a recurge la tabele de înmulțire extinse (pentru numerele de la 1 la 59). În materialele cuneiforme care au supraviețuit, care se pare că erau mijloace de predare, există și tabele corespunzătoare de numere reciproce (de două cifre și trei cifre, adică cu o precizie de 1/60 2 și 1/60 3), care au fost utilizate în Divizia.

La grecii antici, latura practică a arhitecturii nu a primit o dezvoltare ulterioară; sistemul de numerotare scrisă pe care l-au folosit folosind literele alfabetului era mult mai puțin potrivit pentru calcule complexe decât cel babilonian (este semnificativ, în special, faptul că astronomii greci antici au preferat să folosească sistemul sexagesimal). Pe de altă parte, matematicienii greci antici au pus bazele dezvoltării teoretice a aritmeticii în ceea ce privește doctrina numerelor naturale, teoria proporțiilor, măsurarea cantităților și, într-o formă implicită, și teoria numerelor iraționale. În Elementele lui Euclid (secolul al III-lea î.Hr.) există dovezi ale infinitului numărului de numere prime, teoreme de bază privind divizibilitatea și algoritmi pentru găsirea măsurii comune a două segmente și a celui mai mare divizor comun a două numere, care și-au păstrat semnificația. și sunt încă semnificative (vezi. algoritmul lui Euclid), o dovadă a inexistenței unui număr rațional al cărui pătrat este 2 (iraționalitatea numărului √2) și o teorie a proporțiilor exprimată în formă geometrică. Problemele de teoretică a numerelor luate în considerare includ probleme privind numerele perfecte (vezi numerele perfecte) (Euclid), despre numerele pitagorice (vezi numerele pitagoreice), și, de asemenea, - deja într-o epocă ulterioară - un algoritm pentru izolarea numerelor prime (siuta lui Eratostene) și rezolvarea unui număr de ecuații nedeterminate de gradul 2 și superior (Diophantus).

Un rol semnificativ în formarea conceptului unei serii naturale infinite de numere l-a jucat „Psammitul” lui Arhimede (secolul al III-lea î.Hr.), ceea ce demonstrează posibilitatea de a numi și desemna numere arbitrar mari. Lucrările lui Arhimede indică o artă destul de înaltă în obținerea valorilor aproximative ale cantităților dorite: extragerea rădăcinii numerelor cu mai multe cifre, găsirea aproximărilor raționale pentru numerele iraționale, de exemplu

Romanii nu au avansat tehnologia calculelor; cu toate acestea, au lăsat în urmă un sistem de numerotare care a supraviețuit până în zilele noastre (numerele romane), care este slab potrivit pentru operații și este acum folosit aproape exclusiv pentru a desemna numerele ordinale.

Este dificil de urmărit continuitatea în dezvoltarea matematicii în raport cu culturile anterioare, mai vechi; cu toate acestea, etape extrem de importante în dezvoltarea Africii sunt asociate cu cultura Indiei, care a influențat atât țările din Asia de Vest și Europa, cât și țările din Est. Asia (China, Japonia). Pe lângă aplicarea algebrei la rezolvarea problemelor de conținut aritmetic, cea mai semnificativă realizare a indienilor a fost introducerea unui sistem de numere poziționale (folosind zece cifre, inclusiv zero pentru a indica absența unităților în oricare dintre cifre), care a făcut posibilă elaborarea unor reguli relativ simple pentru efectuarea operaţiilor aritmetice de bază.

Oamenii de știință din Orientul medieval nu numai că au păstrat moștenirea matematicienilor greci antici în traduceri, dar au contribuit și la diseminarea și dezvoltarea ulterioară a realizărilor indienilor. Metode de efectuare a operațiilor aritmetice, în mare măsură încă departe de a fi moderne, dar care folosesc deja avantajele sistemului numeric pozițional, din secolul al X-lea. n. e. a început să pătrundă treptat în Europa, în primul rând în Italia și Spania.

Progresul relativ lent al arhitecturii în Evul Mediu face loc începutului secolului al XVII-lea. îmbunătățirea rapidă a metodelor de calcul în legătură cu cerințele practice crescute asupra tehnologiei de calcul (probleme de astronomie nautică, mecanică, calcule comerciale din ce în ce mai complexe etc.). Fracțiile cu numitorul 10, care erau folosite de indieni (la extragerea rădăcinilor pătrate) și au atras în mod repetat atenția oamenilor de știință europeni, au fost folosite pentru prima dată sub formă implicită în tabele trigonometrice (sub formă de numere întregi care exprimă lungimile liniilor). de sinus, tangentă etc. cu raza luată ca 10 5). Pentru prima dată (1427), al-Kashi a descris în detaliu sistemul fracțiilor zecimale și regulile de operare cu acestea. Notarea fracțiilor zecimale, care coincide în esență cu cea modernă, se găsește în lucrările lui S. Stevin din 1585 și de atunci s-a răspândit. Invenția logaritmilor la începutul secolului al XVII-lea datează din aceeași epocă. J. Napier om. La începutul secolului al XVIII-lea. tehnicile de efectuare şi înregistrare a calculelor capătă o formă modernă.

În Rusia până la începutul secolului al XVII-lea. a fost folosită o numerotare asemănătoare cu cea greacă; Sistemul de numerotare orală a fost bine dezvoltat și unic, ajungând până la a 50-a cifră. Din manualele de aritmetică rusă de la începutul secolului al XVIII-lea. De cea mai mare importanță a fost Aritmetica lui L. F. Magnitsky, foarte apreciată de M. V. Lomonosov (Vezi Magnitsky) (1703). Conține următoarea definiție a lui A.: „Aritmetica, sau numărătorul, este o artă cinstită, de neinvidiat și ușor de înțeles pentru toată lumea, cea mai utilă și mai lăudabilă, inventată și expusă de cei mai vechi și moderni aritmetici care au trăit la diferite. ori.” Pe lângă întrebările de numerotare, o prezentare a tehnicilor de calcul cu numere întregi și fracții (inclusiv zecimale) și probleme conexe, acest manual conține și elemente de algebră, geometrie și trigonometrie, precum și o serie de informații practice legate de calculele comerciale și problemele de navigare. Prezentarea lui A. ia o formă mai mult sau mai puțin modernă de la L. Euler și studenții săi.

Întrebări teoretice de aritmetică. Dezvoltarea teoretică a întrebărilor referitoare la doctrina numărului și doctrina măsurării cantităților nu poate fi divorțată de dezvoltarea matematicii în ansamblu: etapele sale decisive sunt asociate cu momente care au determinat în egală măsură dezvoltarea algebrei, geometriei și analizei. Cea mai importantă ar trebui considerată crearea unei doctrine generale a cantităților, a unei doctrine abstracte corespunzătoare a numărului (vezi Numărul) (întreg, rațional și irațional) și a aparatului alfabetic al algebrei.

Importanța fundamentală a aritmeticii ca știință suficientă pentru studiul cantităților continue de diferite feluri a fost realizată abia spre sfârșitul secolului al XVII-lea. în legătură cu includerea în aritmetică a conceptului de număr irațional, definit printr-o succesiune de aproximări raționale. Un rol important în acest sens l-au jucat aparatul de fracții zecimale și utilizarea logaritmilor, care a extins gama de operații efectuate cu precizia necesară asupra numerelor reale (iraționale, precum și raționale).

Construcția lui Grassmann a fost finalizată în continuare prin lucrarea lui G. Peano, în care se evidențiază clar un sistem de concepte de bază (nedefinite prin alte concepte) și anume: conceptul de număr natural, conceptul unui număr imediat care urmează altuia într-o serie naturală și conceptul de membru inițial al unui natural. serie (care poate fi luată ca 0 sau 1). Aceste concepte sunt interconectate prin cinci axiome, care pot fi considerate ca o definiție axiomatică a acestor concepte de bază.

Axiomele lui Peano: 1) 1 este un număr natural; 2) următorul număr natural este un număr natural; 3) 1 nu urmează niciun număr natural; 4) dacă este un număr natural A urmează un număr natural bși dincolo de numărul natural Cu, Acea bȘi Cu sunt identice; 5) dacă vreo propoziție a fost dovedită pentru 1 și dacă din ipoteza că este adevărată pentru un număr natural n, rezultă că este adevărat pentru următoarele P număr natural, atunci această propoziție este adevărată pentru toate numerele naturale. Această axiomă - axioma inducției complete - face posibilă utilizarea în continuare a definițiilor lui Grassmann ale acțiunilor și demonstrarea proprietăților generale ale numerelor naturale.

Aceste construcții, care oferă o soluție la problema fundamentării enunțurilor formale de aritmetică, lasă deoparte problema structurii logice a aritmeticii numerelor naturale în sensul mai larg al cuvântului, incluzând acele operații care definesc aplicațiile aritmeticii atât în ​​cadrul matematicii. în sine şi în aplicaţii practice.viaţa. Analiza acestei părți a problemei, după ce a clarificat conținutul conceptului de număr cardinal, a arătat în același timp că problema justificării aritmeticii este strâns legată de problemele fundamentale mai generale ale analizei metodologice a disciplinelor matematice. Dacă cele mai simple propoziții ale matematicii, referitoare la numărarea elementară a obiectelor și fiind o generalizare a experienței de secole a omenirii, se încadrează în mod firesc în cea mai simplă schemă logică, atunci matematica, ca disciplină matematică care studiază colecția infinită de numere naturale , necesită un studiu al consistenței sistemului corespunzător de axiome și o analiză mai detaliată a sensului rezultat din propunerile sale generale.

Lit.: Klein F., Matematica elementară dintr-un punct de vedere superior, trad. cu el. vol. 3 ed., vol. 1, M.-L., 1935; Arnold I.V., Aritmetica teoretică, ed. a II-a, M., 1939; Bellustin V.K., Cum oamenii au ajuns treptat la aritmetica reală, M., 1940; Grebencha M.K., Aritmetica, ed. a II-a, M., 1952; Berman G.N., Number and the science of it, ed. a III-a, M., 1960; Deptyaan I. Ya., Istoria aritmeticii, ed. a II-a, M., 1965; Vygodsky M. Ya., Aritmetica și algebra în lumea antică, ed. a 2-a, M., 1967.

I. V. Arnold.

Marea Enciclopedie Sovietică. - M.: Enciclopedia Sovietică. 1969-1978 .

Sinonime:

Vedeți ce înseamnă „Aritmetică” în alte dicționare:

- (din grecescul arithmos număr și toche art). O știință care se ocupă de numere. Dicționar de cuvinte străine incluse în limba rusă. Chudinov A.N., 1910. Aritmetică din greacă. arithmos, număr și techne, art. Știința numerelor...... Dicționar de cuvinte străine ale limbii ruse