Oamenii invidioși susțin că matematicianul francez Pierre Fermat și-a scris numele în istorie cu o singură frază. În marginile manuscrisului cu formularea celebrei teoreme în 1637, el a notat: „Am găsit o soluție uimitoare, dar nu există suficient spațiu pentru a o pune aici”. Apoi a început o cursă matematică uimitoare, în care, alături de oameni de știință remarcabili, s-a alăturat o armată de amatori.
Care este insidiositatea problemei lui Fermat? La prima vedere, este de înțeles chiar și pentru un școlar.
Se bazează pe teorema lui Pitagora, cunoscută de toată lumea: într-un triunghi dreptunghic, pătratul ipotenuzei este egal cu suma pătratelor catetelor: x 2 + y 2 = z 2. Fermat a argumentat: ecuația pentru orice puteri mai mari de două nu are soluție în numere întregi.
Ar părea simplu. Întinde mâna și iată răspunsul. Nu este de mirare că academiile din diferite țări, institutele științifice, chiar și redacția ziarelor au fost inundate cu zeci de mii de dovezi. Numărul lor este fără precedent, al doilea doar după proiectele de „mișcare perpetuă”. Dar dacă știința serioasă nu a luat în considerare aceste idei nebune de multă vreme, atunci munca „fermierii” este studiată cu onestitate și cu interes. Și, din păcate, găsește erori. Ei spun că în mai bine de trei secole s-a format un întreg cimitir matematic de soluții ale teoremei.
Nu degeaba se spune: cotul este aproape, dar nu vei mușca. Au trecut ani, decenii, secole, iar sarcina lui Fermat părea din ce în ce mai surprinzătoare și tentantă. Aparent simplu, s-a dovedit a fi prea dur pentru progresul muscular în creștere rapidă. Omul despicase deja atomul, ajunsese la genă, pusese piciorul pe Lună, dar Fermat nu ceda, continuând să-și ademenească descendenții cu speranțe false.
Cu toate acestea, încercările de a depăși vârful științific nu au fost în zadar. Marele Euler a făcut primul pas demonstrând teorema pentru gradul al patrulea, apoi pentru al treilea. La sfârșitul secolului al XIX-lea, germanul Ernst Kummer a adus numărul de grade la o sută. În cele din urmă, înarmați cu computere, oamenii de știință au crescut această cifră la 100 de mii. Dar Fermat vorbea despre orice grade. Asta era ideea.
Desigur, oamenii de știință nu au agonisit problema din interes sportiv. Celebrul matematician David Hilbert a spus că teorema este un exemplu al modului în care o problemă aparent nesemnificativă poate avea un impact uriaș asupra științei. Lucrând la el, oamenii de știință au deschis orizonturi matematice complet noi, de exemplu, au fost puse bazele teoriei numerelor, algebrei și teoriei funcției.
Și totuși Marea Teoremă a fost cucerită în 1995. Soluția ei a fost prezentată de un american de la Universitatea Princeton, Andrew Wiles, și este recunoscută oficial de comunitatea științifică. A dat mai mult de șapte ani din viață pentru a găsi dovezi. Potrivit oamenilor de știință, această lucrare remarcabilă a reunit lucrările multor matematicieni, restabilind conexiunile pierdute între diferitele sale secțiuni.
Deci, summit-ul a fost luat, iar știința a primit răspunsul”, a declarat Yuri Vishnyakov, secretar științific al Departamentului de Matematică al Academiei Ruse de Științe, doctor în Științe Tehnice, unui corespondent RG. - Teorema a fost demonstrată, deși nu în cel mai simplu mod, așa cum a insistat însuși Fermat. Și acum cei care doresc își pot imprima propriile versiuni.
Cu toate acestea, familia de „fermieri” nu va accepta deloc dovada lui Wiles. Nu, ei nu resping decizia americanului, pentru că este foarte complexă și, prin urmare, de înțeles doar pentru un cerc restrâns de specialiști. Dar nu trece o săptămână fără să apară pe internet o nouă revelație din partea unui alt entuziast, „punând în sfârșit epopeei pe termen lung”.
Apropo, chiar ieri unul dintre cei mai vechi „fermiști” din țara noastră, Vsevolod Yarosh, a sunat la redacția „RG”: „Și știți că am demonstrat teorema lui Fermat chiar înainte de Wiles. Mai mult, atunci am găsit o eroare în el, despre care i-am scris remarcabilului nostru matematician academician Arnold cu o solicitare de a publica despre asta într-un jurnal științific. Acum aștept un răspuns. De asemenea, corespondez cu Academia Franceză de Științe despre asta."
Și tocmai acum, după cum s-a raportat într-o serie de instituții media, un alt entuziast, fost designer general al software-ului Polyot de la Omsk, doctorul în științe tehnice Alexander Ilyin, a dezvăluit cu „grație ușoară” marele secret al matematicii. Soluția s-a dovedit a fi atât de simplă și de scurtă încât s-a încadrat pe o mică secțiune a spațiului ziar al uneia dintre publicațiile centrale.
Redactorii RG au apelat la cel mai important Institut de Matematică din țară, care poartă numele. Steklov RAS cu o cerere de evaluare a acestei decizii. Oamenii de știință au fost categoric: nu se poate comenta publicația din ziar. Dar, după multă convingere și ținând cont de interesul crescut pentru celebra problemă, au fost de acord. Potrivit acestora, în ultima dovadă publicată au fost făcute mai multe erori fundamentale. Apropo, chiar și un student al Facultății de Matematică le-ar putea observa cu ușurință.
Totuși, editorii au vrut să obțină informații de primă mână. Mai mult, ieri, la Academia de Aviație și Aeronautică, Ilyin trebuia să-și prezinte dovada. Cu toate acestea, s-a dovedit că puțini oameni știu despre o astfel de academie, chiar și printre specialiști. Și când, cu cea mai mare dificultate, am reușit să găsim numărul de telefon al secretarului științific al acestei organizații, s-a dovedit că nici măcar nu bănuia că un asemenea eveniment istoric era pe cale să aibă loc acolo. Pe scurt, corespondentul RG nu a reușit să fie martor la senzația mondială.
Fermat a dezvoltat un interes pentru matematică în mod oarecum neașteptat și la o vârstă destul de matură. În 1629, o traducere în latină a lucrării lui Pappus, care conținea un scurt rezumat al rezultatelor lui Apollonius privind proprietățile secțiunilor conice, a căzut în mâinile lui. Fermat, poliglot, expert în drept și filologie antică, își propune brusc să restabilească complet cursul raționamentului celebrului om de știință. Cu același succes, un avocat modern poate încerca să reproducă independent toate dovezile dintr-o monografie din probleme, să zicem, topologia algebrică. Cu toate acestea, întreprinderea de neconceput este încununată de succes. Mai mult, aprofundând în construcțiile geometrice ale anticilor, el face o descoperire uimitoare: nu sunt necesare desene ingenioase pentru a găsi zonele maxime și minime ale figurilor. Este întotdeauna posibil să se construiască și să se rezolve o ecuație algebrică simplă, ale cărei rădăcini determină extremul. El a venit cu un algoritm care să devină baza calculului diferențial.A trecut repede mai departe. El a găsit condiții suficiente pentru existența maximelor, a învățat să determine punctele de inflexiune și a trasat tangente la toate curbele cunoscute de ordinul doi și trei. Încă câțiva ani și găsește o nouă metodă pur algebrică pentru a găsi cuadraturi pentru parabole și hiperbole de ordin arbitrar (adică integrale ale funcțiilor de forma y p = Cx qȘi y p x q = C), calculează ariile, volumele, momentele de inerție ale corpurilor de revoluție. A fost o adevărată descoperire. Simțind acest lucru, Fermat începe să caute comunicarea cu autoritățile matematice ale vremii. Este încrezător și dorește recunoaștere.
În 1636, el i-a scris prima sa scrisoare reverendului Marin Mersenne: „Sfinte Părinte! Vă sunt extrem de recunoscător pentru onoarea pe care mi-ați arătat-o dându-mi speranța că vom putea vorbi în scris; ...Voi fi foarte bucuros să aflu de la tine despre toate tratatele și cărțile noi de matematică care au apărut în ultimii cinci sau șase ani. ...Am găsit și multe metode analitice pentru diverse probleme, atât numerice, cât și geometrice, pentru a căror rezolvare analiza lui Vieta este insuficientă. Îți voi împărtăși toate acestea oricând vei dori și fără nicio aroganță, de care sunt mai liber și mai îndepărtat decât orice altă persoană din lume.”
Cine este părintele Mersenne? Acesta este un călugăr franciscan, un om de știință cu talente modeste și un organizator remarcabil, care timp de 30 de ani a condus cercul matematic parizian, care a devenit adevăratul centru al științei franceze. Ulterior, cercul Mersenne, prin decret al lui Ludovic al XIV-lea, avea să fie transformat în Academia de Științe din Paris. Mersenne a purtat neobosit o corespondență uriașă, iar chilia sa din mănăstirea Ordinului Minimilor din Piața Regală era un fel de „oficiu poștal pentru toți oamenii de știință din Europa, de la Galileo la Hobbes”. Corespondența a înlocuit apoi revistele științifice, care au apărut mult mai târziu. Întâlnirile la Mersenne au avut loc săptămânal. Nucleul cercului era format din cei mai străluciți naturaliști ai vremii: Robertville, Pascal the Tather, Desargues, Midorge, Hardy și, bineînțeles, faimosul și universal recunoscut Descartes. René du Perron Descartes (Cartesius), manta de nobil, două moșii de familie, întemeietorul cartezianismului, „părintele” geometriei analitice, unul dintre fondatorii noii matematici, precum și prietenul și colegul lui Mersenne la colegiul iezuit. Acest om minunat va deveni un coșmar pentru Fermat.
Mersenne a găsit rezultatele lui Fermat suficient de interesante pentru a-l prezenta pe provincial în clubul său de elită. Ferma a început imediat o corespondență cu mulți membri ai cercului și a fost literalmente bombardată cu scrisori de la Mersenne însuși. În plus, trimite manuscrise completate la judecata oamenilor învățați: „Introducere în locuri plate și solide”, iar un an mai târziu - „Metoda de găsire a maximelor și minimelor” și „Răspunsuri la întrebările lui B. Cavalieri”. Ceea ce a expus Fermat a fost absolut nou, dar nu a fost nicio senzație. Contemporanii nu s-au înfiorat. Ei au înțeles puțin, dar au găsit indicii clare că Fermat a împrumutat ideea algoritmului de maximizare din tratatul lui Johannes Kepler cu titlul amuzant „Noua stereometrie a butoaielor de vin”. Într-adevăr, în raționamentul lui Kepler există expresii precum „Volumul unei figuri este cel mai mare dacă de ambele părți ale locului de cea mai mare valoare scăderea este la început insensibilă”. Dar ideea unei creșteri mici a unei funcții aproape de un extremum nu era deloc în aer. Cele mai bune minți analitice din acea vreme nu erau pregătite să manipuleze cantități mici. Cert este că la acea vreme algebra era considerată un fel de aritmetică, adică matematică de clasa a doua, un instrument primitiv la îndemână, dezvoltat pentru nevoile practicii de bază („numai comercianții contează bine”). Tradiția prescria aderarea la metodele de demonstrare pur geometrice, datând din matematica antică. Fermat a fost primul care a realizat că cantitățile infinitezimale pot fi adăugate și reduse, dar este destul de dificil să le reprezinte sub formă de segmente.
A fost nevoie de aproape un secol pentru ca Jean d'Alembert să recunoască în celebra sa Enciclopedie: „Fermat a fost inventatorul noului calcul. Cu el găsim prima aplicație a diferențialelor pentru a găsi tangente.” La sfârșitul secolului al XVIII-lea, Joseph Louis Comte de Lagrange a vorbit și mai clar: „Dar geometrii - contemporanii lui Fermat - nu au înțeles acest nou tip de calcul. Au văzut doar cazuri speciale. Și această invenție, care a apărut cu puțin timp înainte de Geometria lui Descartes, a rămas fără rezultat timp de patruzeci de ani.” Lagrange se referă la 1674, când au fost publicate Prelegerile lui Isaac Barrow, acoperind metoda lui Fermat în detaliu.
Printre altele, a devenit rapid clar că Fermat era mai înclinat să formuleze probleme noi decât să rezolve cu umilință problemele propuse de contoare. În epoca duelurilor, schimbul de sarcini între experți era în general acceptat ca o formă de clarificare a problemelor asociate subordonării. Cu toate acestea, Fermat clar nu cunoaște limitele. Fiecare dintre scrisorile sale este o provocare care conține zeci de probleme complexe nerezolvate și pe cele mai neașteptate subiecte. Iată un exemplu al stilului său (adresat lui Frenicle de Bessy): „Item, care este cel mai mic pătrat care, redus cu 109 și adăugat cu unu, va da un pătrat? Daca nu imi trimiteti solutia generala, atunci trimiteti-mi coeficientul pentru aceste doua numere pe care le-am ales mic pentru a nu va deruta prea tare. După ce voi primi răspunsul dvs., vă voi sugera alte lucruri. Este clar, fără prea multe rezerve, că propunerea mea necesită găsirea numerelor întregi, deoarece în cazul numerelor fracționale cel mai mic aritmetician ar putea ajunge la obiectiv.” Fermat s-a repetat adesea, formulând aceleași întrebări de mai multe ori și a blufat deschis, susținând că are o soluție neobișnuit de elegantă la problema propusă. Au fost și niște greșeli directe. Unele dintre ele au fost remarcate de contemporani, iar unele afirmații insidioase au indus cititorii în eroare timp de secole.
Cercul Mersenne a reacționat adecvat. Doar Robertville, singurul membru al cercului care a avut probleme cu originea, menține tonul prietenos al scrisorilor. Bunul păstor Părintele Mersenne a încercat să raționeze cu „obscuritatea Toulouse”. Fermat însă nu intenționează să-și pună scuze: „Cuvioase Părinte! Îmi scrieți că formularea problemelor mele imposibile i-a înfuriat și i-a răcorit pe domnii Saint-Martin și Frenicle și că acesta a fost motivul încetării scrisorilor lor. Cu toate acestea, vreau să le obiectez că ceea ce pare imposibil la început nu este chiar așa și că există multe probleme care, așa cum a spus Arhimede...”, etc.
Cu toate acestea, Fermat este necinstit. Lui Frenicles i-a trimis problema găsirii unui triunghi dreptunghic cu laturi întregi, a cărui zonă este egală cu pătratul numărului întreg. L-am trimis, deși știam că problema evident nu are soluție.
Descartes a luat cea mai ostilă poziție față de Fermat. În scrisoarea sa către Mersenne din 1938 citim: „din moment ce am aflat că acesta este același om care a încercat anterior să-mi infirme dioptria și din moment ce m-ai informat că a trimis asta după ce mi-a citit Geometria” și surprins că nu am făcut-o. găsesc același lucru, adică (cum am motive să-l interpretez) l-a trimis cu scopul de a intra în rivalitate și de a arăta că în asta știe mai mult decât mine și, din moment ce chiar și din scrisorile tale, am aflat că are un reputația de geometru foarte priceput, atunci mă consider obligat să-i răspund.” Mai târziu, Descartes avea să desemneze solemn răspunsul său drept „micul proces al matematicii împotriva domnului Fermat”.
Este ușor de înțeles ce l-a înfuriat pe eminentul om de știință. În primul rând, în raționamentul lui Fermat apar în mod constant axele de coordonate și reprezentarea numerelor pe segmente - o tehnică pe care Descartes o dezvoltă în mod cuprinzător în „Geometria” recent publicată. Fermat vine la ideea de a înlocui desenele cu calcule complet independent; în anumite privințe, el este chiar mai consecvent decât Descartes. În al doilea rând, Fermat demonstrează cu brio eficacitatea metodei sale de găsire a minimelor folosind exemplul problemei celei mai scurte trasee a unei raze de lumină, clarificând și suplimentând pe Descartes cu „Dioptria” sa.
Meritele lui Descartes ca gânditor și inovator sunt enorme, dar să deschidem „Enciclopedia matematică” modernă și să privim lista de termeni asociați numelui său: „Coordonate carteziane” (Leibniz, 1692), „Foaie carteziană”, „Foaie carteziană”. ovale”. Niciunul dintre argumentele sale nu a intrat în istorie drept „Teorema lui Descartes”. Descartes este în primul rând un ideolog: el este fondatorul unei școli filosofice, formează concepte, îmbunătățește sistemul de simboluri ale literelor, dar moștenirea sa creativă conține puține tehnici specifice noi. În contrast, Pierre Fermat scrie puțin, dar din orice motiv poate veni cu o mulțime de trucuri matematice ingenioase (vezi și „Teorema lui Fermat”, „Principiul lui Fermat”, „Metoda lui Fermat a coborârii infinite”). Probabil că erau pe bună dreptate geloși unul pe celălalt. O coliziune era inevitabilă. Odată cu medierea iezuită a lui Mersenne, a izbucnit un război care a durat doi ani. Totuși, Mersenne s-a dovedit a fi chiar aici înaintea istoriei: bătălia acerbă a celor doi titani, polemica lor intensă, ca să spunem ușor, a contribuit la înțelegerea conceptelor cheie ale analizei matematice.
Fermat este primul care își pierde interesul pentru discuție. Se pare că i s-a explicat direct lui Descartes și nu și-a mai jignit niciodată adversarul. Într-una dintre ultimele sale lucrări, „Sinteza pentru refracție”, al cărei manuscris l-a trimis lui de la Chambre, Fermat își amintește prin cuvânt „de cel mai învățat Descartes” și subliniază în orice mod posibil prioritatea sa în materie de optică. Între timp, acest manuscris conținea o descriere a celebrului „principiu al lui Fermat”, care oferă o explicație cuprinzătoare a legilor reflexiei și refracției luminii. Îndrumările către Descartes în lucrări de acest nivel au fost complet inutile.
Ce s-a întâmplat? De ce Fermat, lăsând deoparte mândria, a mers după împăcare? Citind scrisorile lui Fermat din acei ani (1638 - 1640), se poate presupune cel mai simplu lucru: în această perioadă interesele sale științifice s-au schimbat dramatic. Abandonează cicloidul la modă, încetează să mai fie interesat de tangente și zone și timp de mulți 20 de ani uită de metoda lui de a găsi maximul. Având merite enorme în matematica continuului, Fermat s-a cufundat complet în matematica discretului, lăsând oponenților săi desene geometrice dezgustătoare. Numerele devin noua lui pasiune. De fapt, întreaga „Teoria numerelor”, ca disciplină matematică independentă, își datorează nașterea în întregime vieții și operei lui Fermat.
<…>După moartea lui Fermat, fiul său Samuel a publicat în 1670 o copie a „Aritmetica” aparținând tatălui său sub titlul „Șase cărți de aritmetică ale lui Alexandrian Diophantus cu comentarii de L. G. Bachet și observații de P. de Fermat, senatorul de Toulouse”. Cartea a inclus, de asemenea, câteva dintre scrisorile lui Descartes și textul integral al lucrării lui Jacques de Bigly „O nouă descoperire în arta analizei”, scrisă pe baza scrisorilor lui Fermat. Publicarea a avut un succes incredibil. O lume strălucitoare fără precedent s-a deschis în fața specialiștilor uimiți. Neașteptarea și, cel mai important, accesibilitatea, democrația rezultatelor teoretice ale numerelor lui Fermat au dat naștere la o mulțime de imitații. La acea vreme, puțini oameni înțelegeau cum se calculează aria unei parabole, dar fiecare elev putea înțelege formularea ultimei teoreme a lui Fermat. A început o adevărată vânătoare pentru scrisorile necunoscute și pierdute ale omului de știință. Până la sfârșitul secolului al XVII-lea. Fiecare cuvânt al lui găsit a fost publicat și republicat. Dar istoria turbulentă a dezvoltării ideilor lui Fermat tocmai începea.
Pentru numere întregi n mai mari decât 2, ecuația x n + y n = z n nu are soluții diferite de zero în numere naturale.
Probabil îți amintești din zilele tale de școală teorema lui Pitagora: Pătratul ipotenuzei unui triunghi dreptunghic este egal cu suma pătratelor catetelor. De asemenea, vă puteți aminti de triunghiul dreptunghic clasic cu laturile ale căror lungimi sunt în raportul 3: 4: 5. Pentru aceasta, teorema lui Pitagora arată astfel:
Acesta este un exemplu de rezolvare a ecuației lui Pitagora generalizate în numere întregi diferite de zero cu n= 2. Ultima Teoremă a lui Fermat (numită și „Ultima Teoremă a lui Fermat” și „Ultima Teoremă a lui Fermat”) este afirmația că pentru valorile n> 2 ecuații de formă x n + y n = z n nu au soluții diferite de zero în numere naturale.
Istoria ultimei teoreme a lui Fermat este foarte interesantă și instructivă și nu numai pentru matematicieni. Pierre de Fermat a contribuit la dezvoltarea diferitelor domenii ale matematicii, dar cea mai mare parte a moștenirii sale științifice a fost publicată doar postum. Cert este că matematica pentru Fermat a fost un hobby, și nu o ocupație profesională. El a corespondat cu matematicienii de frunte ai timpului său, dar nu s-a străduit să-și publice opera. Scrierile științifice ale lui Fermat se regăsesc în principal sub formă de corespondență privată și note fragmentare, deseori scrise în marginile diferitelor cărți. Este în marginile (al doilea volum al „Aritmeticii” grecești antice a lui Diophantus. - Notă traducător) la scurt timp după moartea matematicianului, urmașii au descoperit formularea celebrei teoreme și a postscriptiei:
« Am găsit o dovadă cu adevărat minunată în acest sens, dar aceste câmpuri sunt prea înguste pentru asta».
Din păcate, se pare că Fermat nu s-a obosit niciodată să noteze „dovada miraculoasă” pe care a găsit-o, iar descendenții au căutat-o fără succes timp de mai bine de trei secole. Dintre toată moștenirea științifică împrăștiată a lui Fermat, care conține multe afirmații surprinzătoare, Marea Teoremă a fost cea care a refuzat cu încăpățânare să fie rezolvată.
Oricine a încercat să demonstreze Ultima Teoremă a lui Fermat este în zadar! Un alt mare matematician francez, René Descartes (1596–1650), l-a numit pe Fermat „lăudăros”, iar matematicianul englez John Wallis (1616–1703) l-a numit „al naibii de francez”. Fermat însuși, totuși, a lăsat în urmă o demonstrație a teoremei sale pentru acest caz n= 4. Cu dovada pt n= 3 a fost rezolvat de marele matematician elvețian-rus al secolului al XVIII-lea Leonhard Euler (1707–83), după care, neputând găsi dovezi pentru n> 4, a sugerat în glumă ca casa lui Fermat să fie percheziționată pentru a găsi cheia dovezilor pierdute. În secolul al XIX-lea, noile metode în teoria numerelor au făcut posibilă demonstrarea afirmației pentru multe numere întregi în 200, dar din nou, nu pentru toate.
În 1908, a fost stabilit un premiu de 100.000 de mărci germane pentru rezolvarea acestei probleme. Fondul de premii a fost lăsat moștenire de către industriașul german Paul Wolfskehl, care, conform legendei, urma să se sinucidă, dar a fost atât de purtat de Ultima Teoremă a lui Fermat încât s-a răzgândit cu privire la moarte. Odată cu apariția mașinilor de adăugare și apoi a computerelor, bara de valori n a început să crească din ce în ce mai sus - la 617 până la începutul celui de-al Doilea Război Mondial, la 4001 în 1954, la 125.000 în 1976. La sfârșitul secolului al XX-lea, cele mai puternice calculatoare de la laboratoarele militare din Los Alamos (New Mexico, SUA) au fost programate pentru a rezolva problema lui Fermat în fundal (asemănător modului de economizor de ecran al unui computer personal). Astfel, a fost posibil să se arate că teorema este adevărată pentru valori incredibil de mari x, y, zȘi n, dar aceasta nu poate servi ca o dovadă strictă, deoarece oricare dintre următoarele valori n sau triplete de numere naturale ar putea infirma teorema în ansamblu.
În cele din urmă, în 1994, matematicianul englez Andrew John Wiles (n. 1953), care lucra la Princeton, a publicat o dovadă a ultimei teoreme a lui Fermat, care, după unele modificări, a fost considerată cuprinzătoare. Dovada a luat mai mult de o sută de pagini de jurnal și s-a bazat pe utilizarea aparatelor moderne de matematică superioară, care nu a fost dezvoltată în epoca lui Fermat. Deci, ce a vrut să spună Fermat lăsând un mesaj în marginea cărții că a găsit dovada? Majoritatea matematicienilor cu care am vorbit pe această temă au subliniat că de-a lungul secolelor au existat mai mult decât suficiente dovezi incorecte ale ultimei teoreme a lui Fermat și că, cel mai probabil, Fermat însuși a găsit o demonstrație similară, dar nu a reușit să recunoască eroarea. în ea. Cu toate acestea, este posibil să existe încă o dovadă scurtă și elegantă a ultimei teoreme a lui Fermat pe care nimeni nu a găsit-o încă. Un singur lucru poate fi spus cu certitudine: astăzi știm sigur că teorema este adevărată. Majoritatea matematicienilor, cred, ar fi de acord fără rezerve cu Andrew Wiles, care a remarcat despre demonstrația sa: „Acum, în sfârșit, mintea mea este în pace.”
Fişier FERMA-KDVar © N. M. Koziy, 2008
Certificatul Ucrainei nr. 27312
SCURTĂ DOVĂRĂ A ultimei teoreme a lui FERmat
Ultima Teoremă a lui Fermat este formulată după cum urmează: Ecuația diofantină (http://soluvel.okis.ru/evrika.html):
A n + B n = C n * /1/
Unde n- un număr întreg pozitiv mai mare de doi nu are soluție în numere întregi pozitive A , B , CU .
DOVADA
Din formularea ultimei teoreme a lui Fermat rezultă: dacă n este un număr întreg pozitiv mai mare decât doi, cu condiția ca două dintre cele trei numere A , ÎN sau CU- numere întregi pozitive, unul dintre aceste numere nu este un întreg pozitiv.
Construim demonstrația pe baza teoremei fundamentale a aritmeticii, care se numește „teorema unică de factorizare” sau „teorema unicității de factorizare a numerelor întregi compuse”. Sunt posibili exponenți pare și impar n . Să luăm în considerare ambele cazuri.
1. Cazul unu: exponent n - numar impar.
În acest caz, expresia /1/ este transformată conform formulelor cunoscute după cum urmează:
A n + ÎN n = CU n /2/
Noi credem că AȘi B- numere întregi pozitive.
Numerele A , ÎNȘi CU trebuie să fie numere prime reciproce.
Din ecuația /2/ rezultă că pentru valori date ale numerelor AȘi B factor ( A + B ) n , CU.
Să presupunem că numărul CU - număr întreg pozitiv. Ținând cont de condițiile acceptate și de teorema fundamentală a aritmeticii, condiția trebuie îndeplinită :
CU n = A n + B n =(A+B) n ∙ D n , / 3/
unde este factorul Dn D
Din ecuația /3/ rezultă:
Din ecuația /3/ rezultă și că numărul [ Cn = A n + Bn ] cu condiția ca numărul CU ( A + B ) n. Cu toate acestea, se știe că:
A n + Bn < ( A + B ) n /5/
Prin urmare:
- un număr fracționar mai mic decât unu. /6/
Un număr fracționar.
n
Pentru exponenți ciudați n >2 număr:
< 1- дробное число, не являющееся рациональной дробью.
Din analiza ecuației /2/ rezultă că pentru un exponent impar n număr:
CU n = A n + ÎN n = (A+B)
constă din doi factori algebrici specifici și pentru orice valoare a exponentului n factorul algebric rămâne neschimbat ( A + B ).
Astfel, Ultima Teoremă a lui Fermat nu are o soluție în numere întregi pozitive pentru exponenții impari n >2.
2. Cazul doi: exponent n - număr par .
Esența ultimei teoreme a lui Fermat nu se va schimba dacă rescriem ecuația /1/ după cum urmează:
A n = Cn - Bn /7/
În acest caz, ecuația /7/ este transformată după cum urmează:
A n = C n - B n = ( CU +B)∙(C n-1 + C n-2 · B+ C n-3 ∙ B 2 +…+ C ∙ Bn -2 + Bn -1 ). /8/
Acceptăm asta CUȘi ÎN- numere întregi.
Din ecuația /8/ rezultă că pentru valori date ale numerelor BȘi C factor (C+ B ) are aceeași valoare pentru orice valoare a exponentului n , prin urmare este un divizor al numărului A .
Să presupunem că numărul A– un număr întreg. Ținând cont de condițiile acceptate și de teorema fundamentală a aritmeticii, condiția trebuie îndeplinită :
A n = C n - Bn =(C+ B ) n ∙ Dn , / 9/
unde este factorul Dn trebuie să fie un număr întreg și, prin urmare, numărul D trebuie să fie și un număr întreg.
Din ecuația /9/ rezultă:
/10/
Din ecuația /9/ rezultă și că numărul [ A n = CU n - Bn ] cu condiția ca numărul A– un număr întreg, trebuie să fie divizibil cu un număr (C+ B ) n. Cu toate acestea, se știe că:
CU n - Bn < (С+ B ) n /11/
Prin urmare:
- un număr fracționar mai mic decât unu. /12/
Un număr fracționar.
Rezultă că pentru o valoare impară a exponentului n ecuația /1/ a ultimei teoreme a lui Fermat nu are soluție în numere întregi pozitive.
Chiar și pentru exponenți n >2 număr:
< 1- дробное число, не являющееся рациональной дробью.
Astfel, ultima teoremă a lui Fermat nu are soluție în numere întregi pozitive și pentru exponenți pare n >2.
Concluzia generală rezultă din cele de mai sus: ecuația /1/ a ultimei teoreme a lui Fermat nu are soluție în numere întregi pozitive A, BȘi CU cu condiția ca exponentul n >2.
JUSTIFICARE SUPLIMENTARĂ
În cazul în care exponentul n – număr par, expresie algebrică ( Cn - Bn ) se descompune în factori algebrici:
C 2 – B 2 =(C-B) ∙ (C+B); /13/
C 4 – B 4 = ( C-B) ∙ (C+B) (C 2 + B 2);/14/
C 6 – B 6 =(C-B) ∙ (C+B) · (C 2 –CB + B 2) ∙ (C 2 +CB+ B 2) ; /15/
C 8 – B 8= (C-B) ∙ (C+B) ∙ (C 2 + B 2) ∙ (C 4 + B 4)./16/
Să dăm exemple în cifre.
EXEMPLUL 1: B=11; C=35.
C 2 – B 2 = (2 2 ∙ 3) ∙ (2 23) = 2 4 3 23;
C 4 – B 4 = (2 2 ∙ 3) ∙ (2 23) (2 673) = 2 4 3 23 673;
C 6 – B 6 = (2 2 ∙ 3) ∙ (2 · 23) · (31 2) · (3 · 577) =2 ∙ 3 ∙ 23 ∙ 31 2 ∙ 577;
C 8 – B 8 = (2 2 ∙ 3) ∙ (2 23) (2 673) ∙ (2 75633) = 2 5 ∙ 3 ∙ 23 ∙673 ∙ 75633 .
EXEMPLUL 2: B=16; C=25.
C 2 – B 2 = (3 2) ∙ (41) = 3 2 ∙ 41;
C 4 – B 4 = (3 2) ∙ (41) · (881) =3 2 ∙ 41 · 881;
C 6 – B 6 = (3 2) ∙ (41) ∙ (2 2 ∙ 3) ∙ (13 37) (3 ∙ 7 61) = 3 3 7 ∙ 13 37 ∙ 41 ∙ 61;
C 8 – B 8 = (3 2) ∙ (41) ∙ (881) ∙ (17 26833) = 3 2 ∙ 41 ∙ 881 ∙ 17 26833.
Din analiza ecuațiilor /13/, /14/, /15/ și /16/ și a exemplelor numerice corespunzătoare rezultă:
Pentru un exponent dat n , dacă este un număr par, numărul A n = C n - Bn se descompune într-un număr bine definit de factori algebrici bine definiti;
Pentru orice exponent n , dacă este un număr par, în expresia algebrică ( Cn - Bn ) există întotdeauna multiplicatori ( C - B ) Și ( C + B ) ;
Fiecărui factor algebric îi corespunde un factor numeric complet definit;
Pentru numere date ÎNȘi CU factorii numerici pot fi numere prime sau factori numerici compuși;
Fiecare factor numeric compus este un produs al numerelor prime care sunt parțial sau complet absente din alți factori numerici compoziți;
Mărimea numerelor prime în compoziția factorilor numerici compoziți crește odată cu creșterea acestor factori;
Cel mai mare factor numeric compus care corespunde celui mai mare factor algebric include cel mai mare număr prim la o putere mai mică decât exponentul n(cel mai adesea în gradul I).
CONCLUZII: Dovezi suplimentare susțin concluzia că Ultima Teoremă a lui Fermat nu are soluție în numere întregi pozitive.
inginer mecanic
Pierre Fermat, citind „Aritmetica” lui Diophantus din Alexandria și reflectând asupra problemelor acesteia, avea obiceiul să noteze rezultatele reflecțiilor sale sub forma unor scurte comentarii în marginile cărții. Împotriva celei de-a opta probleme a lui Diofant din marginile cărții, Fermat a scris: „ Dimpotrivă, este imposibil să descompun fie un cub în două cuburi, fie un biquadrat în două biquadrate și, în general, nicio putere mai mare decât un pătrat în două puteri cu același exponent. Am descoperit o dovadă cu adevărat minunată în acest sens, dar aceste câmpuri sunt prea înguste pentru asta» / E.T. Bell „Creatorii matematicii”. M., 1979, p.69/. Vă aduc în atenție o demonstrație elementară a teoremei lui Fermat, pe care orice elev de liceu care este interesat de matematică o poate înțelege.
Să comparăm comentariul lui Fermat la problema lui Diofantus cu formularea modernă a ultimei teoreme a lui Fermat, care are forma unei ecuații.
« Ecuația
x n + y n = z n(unde n este un număr întreg mai mare decât doi)
nu are soluții în numere întregi pozitive»
Comentariul se află într-o legătură logică cu sarcina, asemănătoare cu legătura logică a predicatului cu subiectul. Ceea ce este afirmat de problema lui Diofantus este, dimpotrivă, afirmat de comentariul lui Fermat.
Comentariul lui Fermat poate fi interpretat astfel: dacă o ecuație pătratică cu trei necunoscute are un număr infinit de soluții pe mulțimea tuturor tripletelor numerelor pitagorice, atunci, dimpotrivă, o ecuație cu trei necunoscute la o putere mai mare decât pătratul
Nu există nici măcar un indiciu în ecuația conexiunii sale cu problema lui Diofant. Afirmația lui necesită dovezi, dar nu există nicio condiție din care să rezulte că nu are soluții în numere întregi pozitive.
Opțiunile pentru demonstrarea ecuației cunoscute de mine se reduc la următorul algoritm.
- Se ia drept concluzie ecuația teoremei lui Fermat, a cărei validitate se verifică prin demonstrație.
- Această ecuație se numește original ecuația din care trebuie să plece demonstrarea acesteia.
Ca urmare, s-a format o tautologie: „ Dacă o ecuație nu are soluții în numere întregi pozitive, atunci nu are soluții în numere întregi pozitive„Dovada tautologiei este evident incorectă și lipsită de orice semnificație. Dar se dovedește prin contradicție.
- Se face o presupunere care este opusă a ceea ce este afirmat de ecuația care trebuie dovedită. Nu ar trebui să contrazică ecuația originală, dar o face. Nu are sens să dovedești ceea ce este acceptat fără dovezi și să accepti fără dovezi ceea ce trebuie dovedit.
- Pe baza ipotezei acceptate, se efectuează operații și acțiuni matematice absolut corecte pentru a demonstra că contrazice ecuația originală și este falsă.
Prin urmare, de 370 de ani încoace, demonstrarea ecuației ultimei teoreme a lui Fermat a rămas un vis irealizabil pentru specialiști și pasionați de matematică.
Am luat ecuația ca concluzie a teoremei și a opta problemă a lui Diofant și ecuația ei ca condiție a teoremei.
„Dacă ecuația x 2 + y 2 = z 2
(1) are un număr infinit de soluții pe mulțimea tuturor triplelor numerelor pitagoreice, apoi, invers, ecuația x n + y n = z n
, Unde n > 2
(2) nu are soluții pentru mulțimea numerelor întregi pozitive.”
Dovada.
A) Toată lumea știe că ecuația (1) are un număr infinit de soluții pe mulțimea tuturor triplelor numerelor pitagorice. Să demonstrăm că nici un triplu de numere pitagorice care este o soluție a ecuației (1) nu este o soluție a ecuației (2).
Pe baza legii reversibilității egalității, schimbăm laturile ecuației (1). Numerele pitagoreice (z, x, y) poate fi interpretat ca lungimile laturilor unui triunghi dreptunghic și ale pătratelor (x 2 , y 2 , z 2) poate fi interpretat ca aria pătratelor construite pe ipotenuza și catetele sale.
Să înmulțim ariile pătratelor ecuației (1) cu o înălțime arbitrară h :
z 2 h = x 2 h + y 2 h (3)
Ecuația (3) poate fi interpretată ca egalitatea volumului unui paralelipiped cu suma volumelor a doi paralelipiped.
Fie înălțimea a trei paralelipipede h = z :
z 3 = x 2 z + y 2 z (4)
Volumul cubului este descompus în două volume de două paralelipipede. Vom lăsa neschimbat volumul cubului și vom reduce înălțimea primului paralelipiped la X și reduceți înălțimea celui de-al doilea paralelipiped la y . Volumul unui cub este mai mare decât suma volumelor a două cuburi:
z 3 > x 3 + y 3 (5)
Pe setul de triple ale numerelor pitagorice ( x, y, z ) la n=3 nu poate exista nicio soluție pentru ecuația (2). În consecință, pe mulțimea tuturor triplelor numerelor pitagoreice este imposibil să descompunem un cub în două cuburi.
Fie în ecuația (3) înălțimea a trei paralelipipede h = z 2 :
z 2 z 2 = x 2 z 2 + y 2 z 2 (6)
Volumul unui paralelipiped se descompune în suma volumelor a doi paralelipiped.
Lăsăm neschimbată partea stângă a ecuației (6). Pe partea dreaptă, înălțimea z 2
A se reduce la X
în primul termen și înainte la 2
în al doilea mandat.
Ecuația (6) transformată în inegalitate:
Volumul paralelipipedului este descompus în două volume de două paralelipiped.
Lăsăm neschimbată partea stângă a ecuației (8).
În partea dreaptă înălțimea zn-2
A se reduce la xn-2
în primul termen și reduce la y n-2
în al doilea mandat. Ecuația (8) devine inegalitate:
| z n > x n + y n | (9) |
Pe mulțimea de triplete de numere pitagorice nu poate exista o singură soluție pentru ecuația (2).
În consecință, pe setul tuturor triplelor numerelor pitagorice pentru toți n > 2 ecuația (2) nu are soluții.
S-a obținut o „dovadă cu adevărat miraculoasă”, dar numai pentru tripleți Numerele pitagoreice. Aceasta este lipsa probelorși motivul refuzului lui P. Fermat din partea acestuia.
B) Să demonstrăm că ecuația (2) nu are soluții la mulțimea de triplete de numere non-pitagorice, care reprezintă o familie a unui triplu arbitrar de numere pitagoreice z = 13, x = 12, y = 5 și o familie a unui triplu arbitrar de numere întregi pozitive z = 21, x = 19, y = 16
Ambele triplete de numere sunt membri ai familiilor lor:
| (13, 12, 12); (13, 12,11);…; (13, 12, 5) ;…; (13,7, 1);…; (13,1, 1) | (10) | |
| (21, 20, 20); (21, 20, 19);…;(21, 19, 16);…;(21, 1, 1) | (11) |
Numărul membrilor familiei (10) și (11) este egal cu jumătate din produsul 13 cu 12 și 21 cu 20, adică 78 și 210.
Fiecare membru al familiei (10) conține z = 13 și variabile X Și la 13 > x > 0 , 13 > y > 0 1
Fiecare membru al familiei (11) conține z = 21 și variabile X Și la , care iau valori întregi 21 > x >0 , 21 > y > 0 . Variabilele scad succesiv cu 1 .
Triplele de numere ale șirului (10) și (11) pot fi reprezentate ca o secvență de inegalități de gradul trei:
| 13 3 < 12 3 + 12 3 ;13 3 < 12 3 + 11 3 ;…; 13 3 < 12 3 + 8 3 ; 13 3 > 12 3 + 7 3 ;…; 13 3 > 1 3 + 1 3 | ||
| 21 3 < 20 3 + 20 3 ; 21 3 < 20 3 + 19 3 ; …; 21 3 < 19 3 + 14 3 ; 21 3 > 19 3 + 13 3 ;…; 21 3 > 1 3 + 1 3 |
și sub formă de inegalități de gradul al patrulea:
| 13 4 < 12 4 + 12 4 ;…; 13 4 < 12 4 + 10 4 ; 13 4 > 12 4 + 9 4 ;…; 13 4 > 1 4 + 1 4 | ||
| 21 4 < 20 4 + 20 4 ; 21 4 < 20 4 + 19 4 ; …; 21 4 < 19 4 + 16 4 ;…; 21 4 > 1 4 + 1 4 |
Corectitudinea fiecărei inegalități se verifică prin ridicarea numerelor la a treia și a patra putere.
Un cub de un număr mai mare nu poate fi descompus în două cuburi de numere mai mici. Este fie mai mică, fie mai mare decât suma cuburilor celor două numere mai mici.
Biquadratica unui număr mai mare nu poate fi descompusă în două biquadrate de numere mai mici. Este fie mai mică, fie mai mare decât suma bispătratelor numerelor mai mici.
Pe măsură ce exponentul crește, toate inegalitățile, cu excepția inegalității extreme din stânga, au același sens:
Toate au aceeași semnificație: puterea numărului mai mare este mai mare decât suma puterilor celor două numere mai mici cu același exponent:
| 13 n > 12 n + 12 n ; 13 n > 12 n + 11 n ;…; 13 n > 7 n + 4 n ;…; 13 n > 1 n + 1 n | (12) | |
| 21 n > 20 n + 20 n ; 21 n > 20 n + 19 n ;…; ;…; 21 n > 1 n + 1 n | (13) |
Termenul extrem din stânga al secvențelor (12) (13) reprezintă cea mai slabă inegalitate. Corectitudinea sa determină corectitudinea tuturor inegalităților ulterioare ale secvenței (12) pentru n > 8 şi secvenţa (13) la n > 14 .
Nu poate exista egalitate între ei. Un triplu arbitrar de numere întregi pozitive (21,19,16) nu este o soluție a ecuației (2) a ultimei teoreme a lui Fermat. Dacă un triplu arbitrar de numere întregi pozitive nu este o soluție a ecuației, atunci ecuația nu are soluții pentru mulțimea de numere întregi pozitive, ceea ce trebuia demonstrat.
CU) Comentariul lui Fermat asupra problemei lui Diophantus afirmă că este imposibil să se descompună" în general, nicio putere mai mare decât un pătrat, două puteri cu același exponent».
Pup un grad mai mare decât un pătrat nu poate fi cu adevărat descompus în două grade cu același exponent. Fără săruturi un grad mai mare decât un pătrat poate fi descompus în două puteri cu același exponent.
Orice triplu arbitrar de numere întregi pozitive (z, x, y) poate aparține unei familii, al cărei membru este alcătuit dintr-un număr constant z și cu două numere mai mici z . Fiecare membru al familiei poate fi reprezentat sub forma unei inegalități, iar toate inegalitățile rezultate pot fi reprezentate sub forma unei secvențe de inegalități:
| z n< (z — 1) n + (z — 1) n ; z n < (z — 1) n + (z — 2) n ; …; z n >1 n + 1 n | (14) |
Secvența de inegalități (14) începe cu inegalități pentru care partea stângă este mai mică decât partea dreaptă și se termină cu inegalități pentru care partea dreaptă este mai mică decât partea stângă. Cu exponent crescător n > 2 numărul de inegalități din partea dreaptă a secvenței (14) crește. Cu exponentul n = k toate inegalitățile din partea stângă a secvenței își schimbă sensul și iau sensul inegalităților din partea dreaptă a inegalităților secvenței (14). Ca urmare a creșterii exponentului tuturor inegalităților, partea stângă se dovedește a fi mai mare decât partea dreaptă:
| z k > (z-1) k + (z-1) k; z k > (z-1) k + (z-2) k;…; z k > 2 k + 1 k ; z k > 1 k + 1 k | (15) |
Cu o creștere suplimentară a exponentului n>k niciuna dintre inegalități nu își schimbă sensul și se transformă în egalitate. Pe această bază, se poate argumenta că orice triplu de numere întregi pozitive ales arbitrar (z, x, y) la n > 2 , z > x , z > y
Într-un triplu de numere întregi pozitive ales în mod arbitrar z poate fi un număr natural arbitrar de mare. Pentru toate numerele naturale care nu sunt mai mari decât z , Ultima Teoremă a lui Fermat este dovedită.
D) Oricât de mare ar fi numărul z , în seria naturală a numerelor există o mulțime mare, dar finită de numere întregi înaintea ei, iar după aceasta există o mulțime infinită de numere întregi.
Să demonstrăm că întregul set infinit de numere naturale este mare z , formează triple de numere care nu sunt soluții la ecuația ultimei teoreme a lui Fermat, de exemplu, un triplu arbitrar de numere întregi pozitive (z + 1, x ,y) , în care z + 1 > x Și z + 1 > y pentru toate valorile exponentului n > 2 nu este o soluție la ecuația ultimei teoreme a lui Fermat.
Un triplu de numere întregi pozitive selectat aleatoriu (z + 1, x, y) poate aparține unei familii de triple de numere, fiecare membru al cărora este format dintr-un număr constant z+1 si doua numere X Și la , luând valori diferite, mai mici z+1 . Membrii familiei pot fi reprezentați sub formă de inegalități în care partea stângă constantă este mai mică sau mai mare decât partea dreaptă. Inegalitățile pot fi ordonate sub forma unei secvențe de inegalități:
Cu o creștere suplimentară a exponentului n>k la infinit, niciuna dintre inegalitățile secvenței (17) nu își schimbă sensul și nu se transformă în egalitate. În secvența (16), inegalitatea formată dintr-un triplu de numere întregi pozitive ales în mod arbitrar (z + 1, x, y) , poate fi amplasat pe partea dreaptă în formular (z + 1) n > x n + y n sau să fie pe partea stângă în formă (z+1)n< x n + y n .
În orice caz, un triplu de numere întregi pozitive (z + 1, x, y) la n > 2 , z + 1 > x , z + 1 > y în secvența (16) reprezintă o inegalitate și nu poate reprezenta o egalitate, adică nu poate reprezenta o soluție a ecuației ultimei teoreme a lui Fermat.
Este ușor și simplu de înțeles originea șirului inegalităților de putere (16), în care ultima inegalitate din partea stângă și prima inegalitate din partea dreaptă sunt inegalități de sens opus. Dimpotrivă, nu este ușor și dificil pentru școlari, liceeni și liceeni, să înțeleagă cum se formează o succesiune de inegalități (16) dintr-o succesiune de inegalități (17), în care toate inegalitățile au același sens. .
În secvența (16), creșterea gradului întreg al inegalităților cu 1 unitate transformă ultima inegalitate din partea stângă în prima inegalitate a sensului opus din partea dreaptă. Astfel, numărul de inegalități din partea stângă a secvenței scade, iar numărul de inegalități din partea dreaptă crește. Între ultima și prima inegalități de putere de sens opus există în mod necesar o egalitate de putere. Gradul său nu poate fi un număr întreg, deoarece numai numere non-întregi se află între două numere naturale consecutive. O egalitate de putere de un grad neîntreg, conform condițiilor teoremei, nu poate fi considerată o soluție a ecuației (1).
Dacă în secvența (16) continuăm să creștem gradul cu 1 unitate, atunci ultima inegalitate a părții sale stângi se va transforma în prima inegalitate a sensului opus a părții drepte. Ca urmare, nu vor mai rămâne inegalități de stânga și vor rămâne doar inegalități de dreapta, care vor fi o secvență de creștere a inegalităților de putere (17). O creștere suplimentară a puterii lor întregi cu 1 unitate nu face decât să-și întărească inegalitățile de putere și exclude categoric posibilitatea egalității în puterea întreagă.
În consecință, în general, nicio putere întreagă a unui număr natural (z+1) din șirul inegalităților de putere (17) nu poate fi descompusă în două puteri întregi cu același exponent. Prin urmare, ecuația (1) nu are soluții pentru o mulțime infinită de numere naturale, ceea ce trebuia demonstrat.
În consecință, ultima teoremă a lui Fermat este dovedită în întregime:
- în secţiunea A) pentru toţi tripleţii (z, x, y) Numerele pitagorice (descoperirea lui Fermat este cu adevărat o dovadă minunată),
- în secțiunea B) pentru toți membrii familiei oricărui triplu (z, x, y) numerele pitagorice,
- în secțiunea C) pentru toate triplele de numere (z, x, y) , nu numere mari z
- în secțiunea D) pentru toate triplele de numere (z, x, y) serii naturale de numere.
|
Modificări efectuate 09/05/2010 |
Ce teoreme pot și nu pot fi demonstrate prin contradicție?
Dicționarul explicativ de termeni matematici definește o demonstrație prin contradicție a unei teoreme, opusul unei teoreme inverse.
„Demonstrarea prin contradicție este o metodă de demonstrare a unei teoreme (propoziție), care constă în demonstrarea nu a teoremei în sine, ci a teoremei echivalente (echivalente). Demonstrarea prin contradicție este folosită ori de câte ori teorema directă este dificil de demonstrat, dar teorema opusă este mai ușor de demonstrat. Într-o demonstrație prin contradicție, concluzia teoremei este înlocuită cu negația ei, iar prin raționament se ajunge la negația condițiilor, adică. la o contradicție, la opus (opusul a ceea ce este dat; această reducere la absurd dovedește teorema."
Dovada prin contradicție este foarte des folosită în matematică. Dovada prin contradicție se bazează pe legea mijlocului exclus, care constă în faptul că a două enunțuri (enunturi) A și A (negarea lui A), unul dintre ele este adevărat și celălalt este fals.”/Dicționar explicativ de termeni matematici: un manual pentru profesori/O. V. Manturov [etc.]; editat de V. A. Ditkina.- M.: Educaţie, 1965.- 539 p.: ill.-C.112/.
Nu ar fi mai bine să declarăm deschis că metoda demonstrației prin contradicție nu este o metodă matematică, deși este folosită în matematică, că este o metodă logică și aparține logicii. Este acceptabil să spunem că demonstrarea prin contradicție este „folosită ori de câte ori o teoremă directă este dificil de demonstrat”, când de fapt este folosită atunci când și numai când nu există un substitut.
O atenție deosebită merită și caracterizarea relației dintre teoremele directe și inverse între ele. „Teorema inversă pentru o teoremă dată (sau la o teoremă dată) este o teoremă în care condiția este concluzia, iar concluzia este condiția teoremei date. Această teoremă în raport cu teorema inversă se numește teoremă directă (originală). În același timp, teorema inversă la teorema inversă va fi teorema dată; prin urmare, teoremele directe și inverse se numesc reciproc inverse. Dacă teorema directă (dată) este adevărată, atunci teorema inversă nu este întotdeauna adevărată. De exemplu, dacă un patrulater este un romb, atunci diagonalele sale sunt reciproc perpendiculare (teorema directă). Dacă într-un patrulater diagonalele sunt reciproc perpendiculare, atunci patrulaterul este un romb - acesta este fals, adică teorema inversă este falsă.”/Dicționar explicativ de termeni matematici: un manual pentru profesori/O. V. Manturov [etc.]; editat de V. A. Ditkina.- M.: Educaţie, 1965.- 539 p.: ill.-C.261 /.
Această caracteristică a relației dintre teorema directă și teorema inversă nu ține cont de faptul că condiția teoremei directe este acceptată ca dată, fără dovezi, deci corectitudinea ei nu este garantată. Condiția teoremei inverse nu este acceptată ca dată, deoarece este concluzia teoremei directe dovedite. Corectitudinea sa este confirmată de demonstrarea teoremei directe. Această diferență logică esențială în condițiile teoremei directe și inverse se dovedește a fi decisivă în problema ce teoreme pot și nu pot fi demonstrate prin metoda logică prin contradicție.
Să presupunem că există o teoremă directă în minte, care poate fi demonstrată folosind metoda matematică obișnuită, dar este dificilă. Să o formulăm în general și pe scurt după cum urmează: din A ar trebui să E . Simbol A are sensul condiției date a teoremei, acceptată fără dovezi. Simbol E ceea ce contează este concluzia teoremei care trebuie demonstrată.
Vom demonstra teorema directă prin contradicție, logic metodă. Metoda logică este folosită pentru a demonstra o teoremă care are nu matematic stare, și logic condiție. Se poate obține dacă starea matematică a teoremei din A ar trebui să E , supliment cu condiția exact opusă din A nu o face E .
Rezultatul a fost o condiție logică contradictorie a noii teoreme, care conține două părți: din A ar trebui să E Și din A nu o face E . Condiția rezultată a noii teoreme corespunde legii logice a mijlocului exclus și corespunde demonstrației teoremei prin contradicție.
Potrivit legii, o parte a unei condiții contradictorii este falsă, o altă parte este adevărată, iar a treia este exclusă. Demonstrarea prin contradicție are sarcina și scopul de a stabili exact care parte din cele două părți ale condiției teoremei este falsă. Odată ce partea falsă a condiției este determinată, cealaltă parte este determinată a fi partea adevărată, iar a treia este exclusă.
Conform dicționarului explicativ al termenilor matematici, „dovada este un raționament în care se stabilește adevărul sau falsitatea oricărei afirmații (judecată, enunț, teoremă)”. Dovada prin contradictie există un raţionament în timpul căruia se stabileşte falsitate(absurditatea) concluziei ce decurge din fals condiţiile teoremei de demonstrat.
Dat: din A ar trebui să E iar din A nu o face E .
Dovedi: din A ar trebui să E .
Dovada: Condiția logică a teoremei conține o contradicție care necesită rezolvarea acesteia. Contradicția condiției trebuie să-și găsească rezoluția în dovadă și rezultatul ei. Rezultatul se dovedește a fi fals cu un raționament impecabil și fără erori. Motivul unei concluzii false în raționamentul logic corect nu poate fi decât o condiție contradictorie: din A ar trebui să E Și din A nu o face E .
Nu există nicio umbră de îndoială că o parte a condiției este falsă, iar cealaltă în acest caz este adevărată. Ambele părți ale condiției au aceeași origine, sunt acceptate ca date, presupuse, la fel de posibile, la fel de admisibile etc. În cursul raționamentului logic, nu a fost descoperită o singură caracteristică logică care să distingă o parte a condiției de cealaltă. . Prin urmare, în aceeași măsură poate fi din A ar trebui să E si poate din A nu o face E . Afirmație din A ar trebui să E Pot fi fals, apoi declarația din A nu o face E va fi adevărat. Afirmație din A nu o face E poate fi falsă, atunci afirmația din A ar trebui să E va fi adevărat.
În consecință, este imposibil să se demonstreze o teoremă directă prin contradicție.
Acum vom demonstra aceeași teoremă directă folosind metoda matematică obișnuită.
Dat: A .
Dovedi: din A ar trebui să E .
Dovada.
1. Din A ar trebui să B
2. Din B ar trebui să ÎN (conform teoremei dovedite anterior)).
3. Din ÎN ar trebui să G (conform teoremei dovedite anterior).
4. Din G ar trebui să D (conform teoremei dovedite anterior).
5. Din D ar trebui să E (conform teoremei dovedite anterior).
Pe baza legii tranzitivității, din A ar trebui să E . Teorema directă este demonstrată prin metoda obișnuită.
Fie ca teorema directă demonstrată să aibă o teoremă inversă corectă: din E ar trebui să A .
Să demonstrăm cu obișnuitul matematic metodă. Dovada teoremei inverse poate fi exprimată în formă simbolică ca un algoritm de operații matematice.
Dat: E
Dovedi: din E ar trebui să A .
Dovada.
1. Din E ar trebui să D
2. Din D ar trebui să G (conform teoremei inverse dovedite anterior).
3. Din G ar trebui să ÎN (conform teoremei inverse dovedite anterior).
4. Din ÎN nu o face B (teorema inversă nu este adevărată). De aceea din B nu o face A .
În această situație, nu are sens să continuăm demonstrația matematică a teoremei inverse. Motivul situației este logic. O teoremă inversă incorectă nu poate fi înlocuită cu nimic. Prin urmare, este imposibil să se demonstreze această teoremă inversă folosind metoda matematică obișnuită. Toată speranța este de a demonstra această teoremă inversă prin contradicție.
Pentru a o dovedi prin contradicție, este necesar să se înlocuiască condiția sa matematică cu o condiție logică contradictorie, care în sensul ei conține două părți - falsă și adevărată.
Teorema inversă afirmă: din E nu o face A . Starea ei E , din care rezultă concluzia A , este rezultatul demonstrării teoremei directe folosind metoda matematică obișnuită. Această condiție trebuie păstrată și completată cu declarația din E ar trebui să A . Ca rezultat al adunării, obținem condiția contradictorie a noii teoreme inverse: din E ar trebui să A Și din E nu o face A . Bazat pe acest lucru logic condiție contradictorie, teorema inversă poate fi demonstrată cu ajutorul corectului logic doar raționament și numai, logic metoda prin contradictie. Într-o demonstrație prin contradicție, orice acțiuni și operații matematice sunt subordonate celor logice și, prin urmare, nu contează.
În prima parte a afirmaţiei contradictorii din E ar trebui să A condiție E a fost demonstrat prin demonstrarea teoremei directe. În partea a doua din E nu o face A condiție E a fost asumat și acceptat fără dovezi. Una dintre ele este falsă, iar cealaltă este adevărată. Trebuie să dovediți care dintre ele este falsă.
O dovedim prin corectitudine logic raționați și descoperiți că rezultatul său este o concluzie falsă, absurdă. Motivul unei concluzii logice false este condiția logică contradictorie a teoremei, care conține două părți - fals și adevărat. Partea falsă poate fi doar o afirmație din E nu o face A , in care E a fost acceptat fără dovezi. Acesta este ceea ce îl face diferit de E declarații din E ar trebui să A , care se dovedește prin demonstrarea teoremei directe.
Prin urmare, afirmația este adevărată: din E ar trebui să A , ceea ce trebuia dovedit.
Concluzie: prin metoda logica se dovedeste prin contradictie doar teorema inversa, care are o teorema directa dovedita prin metoda matematica si care nu poate fi demonstrata prin metoda matematica.
Concluzia obținută capătă o importanță excepțională în raport cu metoda demonstrației prin contradicție a marii teoreme a lui Fermat. Majoritatea covârșitoare a încercărilor de a-l demonstra nu se bazează pe metoda matematică obișnuită, ci pe metoda logică a demonstrației prin contradicție. Dovada lui Wiles a ultimei teoreme a lui Fermat nu face excepție.
Dmitri Abrarov, în articolul „Teorema lui Fermat: fenomenul demonstrațiilor lui Wiles”, a publicat un comentariu la demonstrația lui Wiles a ultimei teoreme a lui Fermat. Potrivit lui Abrarov, Wiles demonstrează ultima teoremă a lui Fermat cu ajutorul unei descoperiri remarcabile a matematicianului german Gerhard Frey (n. 1944), care a raportat soluția potențială a ecuației lui Fermat x n + y n = z n
, Unde n > 2
, cu o altă ecuație, complet diferită. Această nouă ecuație este dată de o curbă specială (numită curbă eliptică a lui Frey). Curba Frey este dată de o ecuație foarte simplă:
.
„Frey a fost cel care a comparat cu fiecare decizie (a, b, c) Ecuația lui Fermat, adică numere care satisfac relația a n + b n = c n, curba de mai sus. În acest caz, ar urma ultima teoremă a lui Fermat.”(Citat din: Abrarov D. „Teorema lui Fermat: fenomenul demonstrațiilor lui Wiles”)
Cu alte cuvinte, Gerhard Frey a sugerat că ecuația ultimei teoreme a lui Fermat x n + y n = z n
, Unde n > 2
, are soluții în numere întregi pozitive. Aceste soluții sunt, conform presupunerii lui Frey, soluții ale ecuației sale
y 2 + x (x - a n) (y + b n) = 0
, care este dat de curba eiptică.
Andrew Wiles a acceptat această descoperire remarcabilă a lui Frey și, cu ajutorul ei, matematic metoda a demonstrat că această constatare, adică curba eliptică Frey, nu există. Prin urmare, nu există o ecuație și soluțiile ei care să fie date de o curbă eliptică inexistentă.De aceea, Wiles ar fi trebuit să accepte concluzia că nu există o ecuație a ultimei teoreme a lui Fermat și a teoremei lui Fermat în sine. Cu toate acestea, el acceptă o concluzie mai modestă că ecuația ultimei teoreme a lui Fermat nu are soluții în numere întregi pozitive.
Un fapt de nerefuzat poate fi faptul că Wiles a acceptat o presupunere care este exact opusă în sensul celor afirmate de marea teoremă a lui Fermat. Îl obligă pe Wiles să demonstreze ultima teoremă a lui Fermat prin contradicție. Să-i urmăm exemplul și să vedem ce rezultă din acest exemplu.
Ultima teoremă a lui Fermat afirmă că ecuația x n + y n = z n , Unde n > 2 , nu are soluții în numere întregi pozitive.
Conform metodei logice de demonstrare prin contradicție, această afirmație este reținută, acceptată ca dată fără dovezi, și apoi completată cu o afirmație opusă: ecuația x n + y n = z n , Unde n > 2 , are soluții în numere întregi pozitive.
Declarația prezumtivă este și ea acceptată ca dată, fără dovezi. Ambele afirmatii, considerate din punctul de vedere al legilor de baza ale logicii, sunt la fel de valabile, la fel de valabile si la fel de posibile. Prin raționament corect, este necesar să se determine care dintre ele este falsă pentru a determina apoi că cealaltă afirmație este adevărată.
Raționamentul corect se termină într-o concluzie falsă, absurdă, motivul logic pentru care nu se poate dovedi decât condiția contradictorie a teoremei, care conține două părți cu sens direct opus. Ele au fost motivul logic al concluziei absurde, rezultatul probei prin contradicție.
Cu toate acestea, în cursul raționamentului corect din punct de vedere logic, nu a fost descoperit niciun semn prin care să se poată stabili care anume afirmație este falsă. Ar putea fi o afirmație: ecuație x n + y n = z n , Unde n > 2 , are soluții în numere întregi pozitive. Pe aceeași bază, ar putea fi următoarea afirmație: ecuație x n + y n = z n , Unde n > 2 , nu are soluții în numere întregi pozitive.
Ca rezultat al raționamentului, poate exista o singură concluzie: Ultima teoremă a lui Fermat nu poate fi dovedită prin contradicție.
Cu totul altceva ar fi dacă ultima teoremă a lui Fermat ar fi o teoremă inversă, care are o teoremă directă dovedită prin metoda matematică obișnuită. În acest caz, s-ar putea dovedi prin contradicție. Și din moment ce este o teoremă directă, demonstrația ei ar trebui să se bazeze nu pe metoda logică a demonstrației prin contradicție, ci pe metoda matematică obișnuită.
Potrivit lui D. Abrarov, cel mai faimos dintre matematicienii ruși moderni, academicianul V. I. Arnold, a reacționat „activ sceptic” la demonstrația lui Wiles. Academicianul a afirmat: „aceasta nu este matematică reală - matematica reală este geometrică și are legături puternice cu fizica.” (Citat din: Abrarov D. „Teorema lui Fermat: fenomenul demonstrațiilor lui Wiles.” Afirmația academicianului exprimă însăși esența Dovada nematematică a lui Wiles a ultimei teoreme a lui Fermat.
Prin contradicție este imposibil de demonstrat fie că ecuația ultimei teoreme a lui Fermat nu are soluții, fie că are soluții. Greșeala lui Wiles nu este matematică, ci logică - folosirea dovezii prin contradicție acolo unde utilizarea ei nu are sens și marea teoremă a lui Fermat nu dovedește.
Ultima teoremă a lui Fermat nu poate fi demonstrată nici măcar folosind metoda matematică obișnuită dacă dă: ecuația x n + y n = z n , Unde n > 2 , nu are soluții în numere întregi pozitive, iar dacă vrei să demonstrezi în ea: ecuația x n + y n = z n , Unde n > 2 , nu are soluții în numere întregi pozitive. În această formă nu există o teoremă, ci o tautologie lipsită de sens.
Notă. Dovada mea BTF a fost discutată pe unul dintre forumuri. Unul dintre participanții la Trotil, un expert în teoria numerelor, a făcut următoarea declarație cu autoritate intitulată: „O scurtă relatare a ceea ce a făcut Mirgorodsky”. O citez textual:
« A. El a dovedit că dacă z 2 = x 2 + y , Acea z n > x n + y n . Acesta este un fapt binecunoscut și destul de evident.
ÎN. El a luat două triple - pitagoreice și non-pitagorice și a arătat prin căutare simplă că pentru o anumită, specifică familie de triple (78 și 210 bucăți) BTF-ul este satisfăcut (și numai pentru ea).
CU. Și apoi autorul a omis faptul că din < într-o măsură ulterioară se poate dovedi a fi = , nu numai > . Un contraexemplu simplu - tranziția n=1 V n=2 în triplul pitagoreic.
D. Acest punct nu contribuie cu nimic semnificativ la proba BTF. Concluzie: BTF nu a fost dovedit.”
Voi analiza concluzia lui punct cu punct.
A. Demonstrează BTF pentru întregul set infinit de triple de numere pitagoreice. Dovedită printr-o metodă geometrică, care, după cum cred, nu a fost descoperită de mine, ci redescoperită. Și a fost descoperit, după cum cred, chiar de P. Fermat. Este posibil ca Fermat să fi avut acest lucru în minte când a scris:
„Am descoperit o dovadă cu adevărat minunată în acest sens, dar aceste câmpuri sunt prea înguste pentru asta.” Această presupunere a mea se bazează pe faptul că în problema diofantină, față de care a scris Fermat în marginile cărții, vorbim despre soluții la ecuația diofantină, care sunt triplete ale numerelor pitagorice.
Un set infinit de triplete de numere pitagoreice sunt soluții ale ecuației lui Diofatice, iar în teorema lui Fermat, dimpotrivă, nici una dintre soluții nu poate fi o soluție a ecuației teoremei lui Fermat. Iar dovada cu adevărat minunată a lui Fermat este direct legată de acest fapt. Fermat și-a putut extinde ulterior teorema la mulțimea tuturor numerelor naturale. În setul tuturor numerelor naturale, BTF nu aparține „multimii de teoreme excepțional de frumoase”. Aceasta este presupunerea mea, care nu poate fi nici dovedită, nici infirmată. Poate fi acceptat sau respins.
ÎN.În acest moment, demonstrez că atât familia unui triplu pitagoreic luat în mod arbitrar, cât și familia unui triplu non-pitagoreean de numere BTF luate în mod arbitrar sunt satisfăcute. Aceasta este o legătură necesară, dar insuficientă și intermediară în demonstrația mea de BTF. . Exemplele pe care le-am luat despre familia triplul numerelor pitagorice și familia triplul numerelor non-pitagorice au semnificația unor exemple specifice care presupun și nu exclud existența altor exemple similare.
Afirmația lui Trotil că „am arătat printr-o simplă căutare că pentru o anumită familie specifică de tripleți (78 și 210 bucăți) BTF-ul este satisfăcut (și numai pentru el) este fără temei. El nu poate respinge faptul că pot lua la fel de ușor și alte exemple de triple pitagoreene și non-pitagorice pentru a obține o familie specifică definită de unul și celălalt triplu.
Orice pereche de tripleți iau, verificarea adecvării acestora pentru rezolvarea problemei poate fi efectuată, în opinia mea, doar prin metoda „simple enumerare”. Nu cunosc altă metodă și nu am nevoie de ea. Dacă lui Trotil nu i-a plăcut, atunci ar fi trebuit să sugereze o altă metodă, ceea ce nu o face. Fără a oferi nimic în schimb, este incorect să condamni „simplul exces”, care în acest caz este de neînlocuit.
CU. am omis = între< и < на основании того, что в доказательстве БТФ рассматривается уравнение z 2 = x 2 + y (1), în care gradul n > 2 — întreg număr pozitiv. Din egalitatea dintre inegalităţi rezultă obligatoriu luarea în considerare a ecuației (1) pentru o valoare de grad non-întreg n > 2 . Trotil, numărând obligatoriu luarea în considerare a egalității între inegalități consideră de fapt necesarîn proba BTF, luarea în considerare a ecuației (1) cu nu intregi valoarea gradului n > 2 . Am făcut asta pentru mine și am găsit acea ecuație (1) cu nu intregi valoarea gradului n > 2 are o soluție de trei numere: z, (z-1), (z-1) pentru un exponent non-întreg.
