În această lecție, vom vorbi despre funcțiile exponențiale și logaritmice. Ele sunt de obicei studiate împreună, deoarece sunt reciproc inverse. Vom vorbi despre utilizarea acestor funcții, despre motivul pentru care aceste funcții sunt selectate pentru studiu.

Funcția exponențială este folosită pentru a descrie toate fenomenele pe care le numim procese de avalanșă. Pentru a spune mai clar, acestea sunt procese în care modificarea mărimii este proporțională cu cantitatea de mărime deja prezentă (cu cât se schimbă mai mult, cu atât se schimbă mai mult; cu atât se schimbă mai puțin, cu atât se schimbă mai puțin).

Un exemplu de astfel de proces este reproducerea bacteriilor. Să luăm în considerare o astfel de sarcină. Există o bacterie în sticlă. În fiecare secundă se împarte în două bacterii, bacteriile noi se împart și ele în două în fiecare secundă și așa mai departe. Într-un minut, întregul pahar a fost umplut cu bacterii. Câte bacterii erau în pahar cu o secundă înainte?

Aș vrea să spun că s-a umplut puțin mai puțin de un pahar întreg, undeva, dar răspunsul corect este: jumătate de pahar. Dacă jumătate din pahar este umplut, atunci într-o secundă fiecare bacterie se va împărți în părți și vor umple întregul pahar. După cum puteți vedea, prima jumătate a paharului a fost umplută în câteva secunde, iar a doua jumătate a fost umplută în doar o secundă.

Topirea ghetarilor

Cu siguranță toată lumea a auzit despre problema topirii gheții de pe planetă. De ce au loc astfel de procese de glaciare și, dimpotrivă, de încălzire? Au fost înainte, deși acum spun că activitatea umană are o influență cheie asupra vitezei lor. Există diverse ipoteze, dar acest lucru nu este atât de important.

Mai important, reducerea cantității de gheață crește cantitatea de energie solară absorbită. Adică, cu cât devine mai puțină gheață, cu atât se va topi mai repede. Procesul este exponențial, sau, cu alte cuvinte, auto-invocare, auto-hrănire.

Este descris un astfel de proces funcție exponențială (sau exponențială): (Fig. 1). - baza, , , și - exponent, modificarea valorii.

Orez. 1. Graficul unei funcții

Un alt exemplu de funcție exponențială care este familiar pentru mulți este interes compus. Dacă punem bani în bancă la un procent fix, în timp ce nu retragem bani și se percepe dobândă la întreaga sumă disponibilă, atunci suma pe care o vom primi prin perioade: , unde este depozitul inițial, este rata dobânzii, este numărul de perioade (ani, luni etc.) trecute. La început, cantitatea va crește încet, dar apoi creșterea se va accelera.

Un alt exemplu bun. Dacă ridicăm la o putere, atunci ajungem aproximativ, dar într-o putere, este practic. Dacă prezentăm acest exemplu sub formă de dobândă, atunci în primul caz se percepe pe zi, apoi într-un an suma va crește cu un factor. Și în al doilea caz, se retrage un procent pe zi, apoi într-un an nu va mai rămâne aproape nimic.

În același timp, una dintre trăsăturile caracteristice ale funcției exponențiale este că, într-o astfel de schemă, suma nu poate scădea. Un exemplu similar din fizica nucleară este timpul de înjumătățire. Elementele radioactive au un timp de înjumătățire, de exemplu, de-a lungul anilor masa unei substanțe va scădea la jumătate (Fig. 2).

Orez. 2. Tabelul timpilor de înjumătățire ale unor elemente

Adică, dacă am avea un kilogram de substanță, atunci în primii ani va dispărea un gram de substanță (destul de mult), iar în următorii ani - deja un gram etc. Și apoi va exista o perioadă în care aproximativ un gram de substanță va trece de-a lungul anilor. Acesta este un exemplu de exponent descrescător.

Dacă luăm în considerare mulțimea tuturor funcțiilor și le selectăm dintre ele pe cele care au următoarea proprietate: , atunci se va îndeplini pentru funcțiile exponențiale: .