• 05.10.2014

  Dacă nu trebuie utilizate mai mult de două surse de semnal, este logic să folosiți un selector automat care conectează la intrarea preamplificatorului sursa la ieșirea căreia a apărut semnalul. După cum se poate observa din diagramă, selectorul conține un declanșator pe tranzistoarele VT1, VT2 și două generatoare de semnale care îl controlează. La rândul său, fiecare dintre modelatori...

• 29.10.2014

  Chip - TDA2822 este un amplificator stereo de putere redusă, acest amplificator operațional este folosit la playerele și aparatele auditive Walkman. TDA2822 poate produce până la 0,25 W TDA2822 este o soluție excelentă de ieșire cu impedanță scăzută. Autor — D. Mohankumar Sursa — http://electroschematics.com

• 04.10.2014

  Circuitul fără alimentare cu șoc a lămpilor fluorescente este prezentat în figură. Lampa incandescentă este conectată în serie cu redresorul (redresorul este asamblat conform circuitului dublator de tensiune). Utilizarea unei lămpi cu incandescență în locul condensatoarelor de balast este mai practică, arde în podeaua strălucitoare, când unul dintre condensatori se defectează, arde la căldură maximă, semnalând astfel o defecțiune. Filamentele...

• 06.10.2014

  Preamplificatorul este realizat pe un IC K1401UD2A, care contine 4 amplificatoare operaționale, în versiune stereo, 2 amplificatoare operaționale pe canal. Coeficientul total de transfer (castig) este egal cu 5, tensiunea maxima de intrare este de 0,5V, nominala este de 0,2V. Impedanta de intrare 100 kOhm. Gama de frecvență este de 30 ... 20000 Hz cu o neuniformitate a răspunsului în frecvență de 2 dB. Ajustarea răspunsului în frecvență 6 benzi cu frecvențe centrale 60, 200, 1000, ...

În acest articol, vom înțelege ce este gradul de. Aici vom da definiții ale gradului unui număr, luând în considerare în detaliu toți exponenții posibili ai gradului, începând cu un exponent natural, terminând cu unul irațional. În material veți găsi o mulțime de exemple de grade care acoperă toate subtilitățile care apar.

Navigare în pagină.

Gradul cu exponent natural, pătratul unui număr, cubul unui număr

Sa incepem cu . Privind în viitor, să presupunem că definiția gradului a cu exponent natural n este dată pentru a , pe care o vom numi baza gradului, și n , pe care le vom numi exponent. De asemenea, rețineți că gradul cu un indicator natural este determinat prin produs, așa că pentru a înțelege materialul de mai jos, trebuie să aveți o idee despre înmulțirea numerelor.

Definiție.

Puterea numărului a cu exponent natural n este o expresie de forma a n , a cărei valoare este egală cu produsul a n factori, fiecare dintre care este egal cu a , adică .
În special, gradul unui număr a cu exponentul 1 este numărul a însuși, adică a 1 =a.

Imediat merită menționat regulile de citire a gradelor. Modul universal de a citi intrarea a n este: „a la puterea lui n”. În unele cazuri, sunt acceptabile și astfel de opțiuni: „a la a n-a putere” și „a n-a putere a numărului a”. De exemplu, să luăm puterea lui 8 12, aceasta este „opt la puterea a doisprezece”, sau „opt la puterea a douăsprezecea”, sau „puterea a douăsprezecea a opt”.

A doua putere a unui număr, precum și a treia putere a unui număr, au propriile nume. Se numește a doua putere a unui număr pătratul unui număr, de exemplu, 7 2 se citește ca „șapte pătrat” sau „pătrat al numărului șapte”. Se numește a treia putere a unui număr numărul cubului, de exemplu, 5 3 poate fi citit ca „cinci cuburi” sau spune „cubul numărului 5”.

E timpul să aduci exemple de grade cu indicatori fizici. Să începem cu puterea lui 5 7 , unde 5 este baza puterii și 7 este exponentul. Să dăm un alt exemplu: 4,32 este baza, iar numărul natural 9 este exponentul (4,32) 9 .

Vă rugăm să rețineți că în ultimul exemplu, baza gradului 4,32 este scrisă între paranteze: pentru a evita discrepanțe, vom lua între paranteze toate bazele gradului care sunt diferite de numerele naturale. Ca exemplu, oferim următoarele grade cu indicatori naturali , bazele lor nu sunt numere naturale, deci sunt scrise între paranteze. Ei bine, pentru o claritate completă în acest punct, vom arăta diferența conținută în înregistrările de forma (−2) 3 și −2 3 . Expresia (−2) 3 este puterea lui −2 cu exponent natural 3, iar expresia −2 3 (se poate scrie ca −(2 3) ) corespunde numărului, valoarea puterii 2 3 .

Rețineți că există o notație pentru gradul lui a cu un exponent n de forma a^n . Mai mult, dacă n este un număr natural cu mai multe valori, atunci exponentul este luat între paranteze. De exemplu, 4^9 este o altă notație pentru puterea lui 4 9 . Și aici sunt mai multe exemple de scriere a grade folosind simbolul „^”: 14^(21) , (−2,1)^(155) . În cele ce urmează, vom folosi în principal notația gradului formei a n .

Una dintre probleme, inversul exponențiației cu un exponent natural, este problema găsirii bazei gradului dintr-o valoare cunoscută a gradului și un exponent cunoscut. Această sarcină duce la .

Se știe că mulțimea numerelor raționale este formată din numere întregi și numere fracționale, iar fiecare număr fracționar poate fi reprezentat ca o fracție ordinară pozitivă sau negativă. Am definit gradul cu un exponent întreg în paragraful anterior, prin urmare, pentru a completa definiția gradului cu un exponent rațional, trebuie să dăm semnificația gradului numărului a cu un exponent fracționar m / n, unde m este un număr întreg și n este un număr natural. Hai să o facem.

Să considerăm un grad cu un exponent fracționar de forma . Pentru ca proprietatea de grad într-un grad să rămână valabilă, egalitatea trebuie să fie valabilă . Dacă luăm în considerare egalitatea rezultată și modul în care am definit , atunci este logic să acceptăm, cu condiția ca pentru m, n și a dat expresia să aibă sens.

Este ușor de verificat că toate proprietățile unui grad cu un exponent întreg sunt valabile pentru ca (acest lucru se face în secțiunea despre proprietățile unui grad cu un exponent rațional).

Raționamentul de mai sus ne permite să facem următoarele concluzie: dacă pentru m, n și a dat expresia are sens, atunci puterea numărului a cu exponent fracționar m / n este rădăcina gradului n al lui a la puterea m.

Această afirmație ne aduce aproape de definiția unui grad cu exponent fracționar. Rămâne doar să descriem pentru care m, n și a expresia are sens. În funcție de restricțiile impuse asupra m , n și a, există două abordări principale.

Cel mai simplu mod de a constrânge a este să presupunem a≥0 pentru m pozitiv și a>0 pentru m negativ (deoarece m≤0 nu are o putere de 0 m). Apoi obținem următoarea definiție a gradului cu un exponent fracționar.

Definiție.

Puterea unui număr pozitiv a cu exponent fracționar m/n, unde m este un număr întreg și n este un număr natural, se numește rădăcină a n-a a numărului a la puterea lui m, adică .

Gradul fracționar de zero este, de asemenea, definit cu singura avertizare că exponentul trebuie să fie pozitiv.

Definiție.

Puterea lui zero cu exponent pozitiv fracționar m/n, unde m este un întreg pozitiv și n este un număr natural, este definit ca .
Când gradul nu este definit, adică gradul numărului zero cu un exponent negativ fracționar nu are sens.

De remarcat că, cu o astfel de definiție a gradului cu exponent fracționar, există o nuanță: pentru unele negative a și unele m și n, expresia are sens și am înlăturat aceste cazuri introducând condiția a≥0 . De exemplu, are sens să scrii sau , iar definiția de mai sus ne obligă să spunem că grade cu un exponent fracționar al formei sunt lipsite de sens, deoarece baza nu trebuie să fie negativă.

O altă abordare pentru determinarea gradului cu un exponent fracționar m / n este de a lua în considerare separat exponenții pari și impari ai rădăcinii. Această abordare necesită o condiție suplimentară: gradul numărului a, al cărui exponent este , este considerat gradul numărului a, al cărui exponent este fracția ireductibilă corespunzătoare (importanța acestei condiții va fi explicată mai jos). Adică, dacă m/n este o fracție ireductibilă, atunci pentru orice număr natural k gradul este mai întâi înlocuit cu .

Pentru n par și m pozitiv, expresia are sens pentru orice a nenegativ (rădăcina unui grad par dintr-un număr negativ nu are sens), pentru m negativ, numărul a trebuie să fie în continuare diferit de zero (altfel există va fi o împărțire cu zero). Și pentru n impar și m pozitiv, numărul a poate fi orice (rădăcina unui grad impar este definită pentru orice număr real), iar pentru m negativ, numărul a trebuie să fie diferit de zero (astfel încât să nu existe o împărțire cu zero).

Raționamentul de mai sus ne conduce la o astfel de definiție a gradului cu exponent fracționar.

Definiție.

Fie m/n o fracție ireductibilă, m un număr întreg și n un număr natural. Pentru orice fracție ordinară reductibilă, gradul este înlocuit cu . Puterea lui a cu un exponent fracționar ireductibil m / n este pentru



Să explicăm de ce un grad cu un exponent fracționar reductibil este mai întâi înlocuit cu un grad cu un exponent ireductibil. Dacă am defini pur și simplu gradul ca , și nu am face o rezervă cu privire la ireductibilitatea fracției m / n , atunci am întâlni situații similare cu următoarele: deoarece 6/10=3/5 , atunci egalitatea , dar , A .

obiectivul principal

Să familiarizeze studenții cu proprietățile grade cu indicatori naturali și să-i învețe să efectueze acțiuni cu grade.

Subiectul „Gradul și proprietățile sale” include trei întrebări:

• Determinarea gradului cu un indicator natural.
• Înmulțirea și împărțirea puterilor.
• Exponentiarea produsului si a gradului.

întrebări de testare

1. Formulați definiția unui grad cu un exponent natural mai mare decât 1. Dați un exemplu.
2. Formulați o definiție a gradului cu un indicator de 1. Dați un exemplu.
3. Care este ordinea operațiilor la evaluarea valorii unei expresii care conține puteri?
4. Formulați principala proprietate a gradului. Dă un exemplu.
5. Formulați o regulă pentru înmulțirea puterilor cu aceeași bază. Dă un exemplu.
6. Formulați o regulă pentru împărțirea puterilor cu aceleași baze. Dă un exemplu.
7. Formulați regula de exponențiere a unui produs. Dă un exemplu. Demonstrați identitatea (ab) n = a n b n .
8. Formulați o regulă pentru ridicarea unui grad la o putere. Dă un exemplu. Demonstrați identitatea (a m) n = a m n .

Definiţia degree.

grad de număr A cu un indicator natural n, mai mare decât 1, se numește produsul a n factori, fiecare dintre care este egal cu A. grad de număr A cu exponentul 1 se numește numărul însuși A.

Grad cu baza Ași indicator n este scris asa: un n. Scrie " A in masura n”; „ Puterea a n-a a unui număr A ”.

Prin definiția gradului:

a 4 = a a a a

. . . . . . . . . . . .

Găsirea valorii gradului se numește exponentiare .

1. Exemple de exponențiere:

3 3 = 3 3 3 = 27

0 4 = 0 0 0 0 = 0

(-5) 3 = (-5) (-5) (-5) = -125

25 ; 0,09 ;

25 = 5 2 ; 0,09 = (0,3) 2 ; .

27 ; 0,001 ; 8 .

27 = 3 3 ; 0,001 = (0,1) 3 ; 8 = 2 3 .

4. Găsiți valorile expresiei:

a) 3 10 3 = 3 10 10 10 = 3 1000 = 3000

b) -2 4 + (-3) 2 = 7
2 4 = 16
(-3) 2 = 9
-16 + 9 = 7

Opțiunea 1

a) 0,3 0,3 0,3

c) b b b b b b b

d) (-x) (-x) (-x) (-x)

e) (ab) (ab) (ab)

2. Patratează numerele:

3. Cub numerele:

4. Găsiți valorile expresiei:

c) -1 4 + (-2) 3

d) -4 3 + (-3) 2

e) 100 - 5 2 4

Înmulțirea puterilor.

Pentru orice număr a și numere arbitrare m și n, următoarele este adevărată:

a m a n = a m + n .

Dovada:

regulă : La înmulțirea puterilor cu aceeași bază, bazele rămân aceleași și se adaugă exponenții.

a m a n a k = a m + n a k = a (m + n) + k = a m + n + k

a) x 5 x 4 = x 5 + 4 = x 9

b) y y 6 = y 1 y 6 = y 1 + 6 = y 7

c) b 2 b 5 b 4 \u003d b 2 + 5 + 4 \u003d b 11

d) 3 4 9 = 3 4 3 2 = 3 6

e) 0,01 0,1 3 = 0,1 2 0,1 3 = 0,1 5

a) 2 3 2 = 2 4 = 16

b) 3 2 3 5 = 3 7 = 2187

Opțiunea 1

1. Prezentați ca diplomă:

a) x 3 x 4 e) x 2 x 3 x 4

b) a 6 a 2 g) 3 3 9

c) y 4 y h) 7 4 49

d) a a 8 i) 16 2 7

e) 2 3 2 4 j) 0,3 3 0,09

2. Prezentați ca grad și găsiți valoarea în tabel:

a) 2 2 2 3 c) 8 2 5

b) 3 4 3 2 d) 27 243

Împărțirea gradelor.

Pentru orice număr a0 și numere naturale arbitrare m și n astfel încât m>n, se respectă următoarele:

a m: a n = a m - n

Dovada:

a m - n a n = a (m - n) + n = a m - n + n = a m

prin definiția privat:

a m: a n \u003d a m - n.

regulă: La împărțirea puterilor cu aceeași bază, baza rămâne aceeași, iar exponentul divizorului este scăzut din exponentul dividendului.

Definiție: Gradul unui număr diferit de zero cu exponent zero este egal cu unu:

deoarece a n: a n = 1 pentru a0 .

a) x 4: x 2 \u003d x 4 - 2 \u003d x 2

b) y 8: y 3 = y 8 - 3 = y 5

c) a 7: a \u003d a 7: a 1 \u003d a 7 - 1 \u003d a 6

d) s 5:s 0 = s 5:1 = s 5

a) 5 7:5 5 = 5 2 = 25

b) 10 20:10 17 = 10 3 = 1000

în)

G)

e)

Opțiunea 1

1. Exprimați coeficientul ca putere:

2. Găsiți valorile expresiilor:

Ridicarea la puterea unui produs.

Pentru orice a și b și un număr natural arbitrar n:

(ab) n = a n b n

Dovada:

Prin definiția gradului

(ab) n =

Grupând factorii a și b separat, obținem:

=

Proprietatea dovedită a gradului produsului se extinde la gradul produsului a trei sau mai mulți factori.

De exemplu:

(a b c) n = a n b n c n ;

(a b c d) n = a n b n c n d n .

regulă: Când ridicați un produs la o putere, fiecare factor este ridicat la această putere și rezultatul este înmulțit.

1. Ridicați la putere:

a) (a b) 4 = a 4 b 4

b) (2 x y) 3 \u003d 2 3 x 3 y 3 \u003d 8 x 3 y 3

c) (3 a) 4 = 3 4 a 4 = 81 a 4

d) (-5 y) 3 \u003d (-5) 3 y 3 \u003d -125 y 3

e) (-0,2 x y) 2 \u003d (-0,2) 2 x 2 y 2 \u003d 0,04 x 2 y 2

f) (-3 a b c) 4 = (-3) 4 a 4 b 4 c 4 = 81 a 4 b 4 c 4

2. Găsiți valoarea expresiei:

a) (2 10) 4 = 2 4 10 4 = 16 1000 = 16000

b) (3 5 20) 2 = 3 2 100 2 = 9 10000= 90000

c) 2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10000

d) 0,25 11 4 11 = (0,25 4) 11 = 1 11 = 1

e)

Opțiunea 1

1. Ridicați la putere:

b) (2 a c) 4

e) (-0,1 x y) 3

2. Găsiți valoarea expresiei:

b) (5 7 20) 2

Exponentiație.

Pentru orice număr a și numere naturale arbitrare m și n:

(a m) n = a m n

Dovada:

Prin definiția gradului

(a m) n =

Regulă: Când se ridică o putere la o putere, baza rămâne aceeași, iar exponenții sunt înmulțiți.

1. Ridicați la putere:

(a 3) 2 = a 6 (x 5) 4 = x 20

(y 5) 2 = y 10 (b 3) 3 = b 9

2. Simplificați expresiile:

a) a 3 (a 2) 5 = a 3 a 10 = a 13

b) (b 3) 2 b 7 \u003d b 6 b 7 \u003d b 13

c) (x 3) 2 (x 2) 4 \u003d x 6 x 8 \u003d x 14

d) (y y 7) 3 = (y 8) 3 = y 24

A)

b)

Opțiunea 1

1. Ridicați la putere:

a) (a 4) 2 b) (x 4) 5

c) (y 3) 2 d) (b 4) 4

2. Simplificați expresiile:

a) a 4 (a 3) 2

b) (b 4) 3 b 5+

c) (x 2) 4 (x 4) 3

d) (y y 9) 2

3. Găsiți semnificația expresiilor:

Aplicație

Definiţia degree.

Opțiunea 2

1. Scrieți produsul sub formă de diplomă:

a) 0,4 0,4 ​​0,4

c) a a a a a a a a a

d) (-y) (-y) (-y) (-y)

e) (bc) (bc) (bc)

2. Patratează numerele:

3. Cub numerele:

4. Găsiți valorile expresiei:

c) -1 3 + (-2) 4

d) -6 2 + (-3) 2

e) 4 5 2 – 100

Opțiunea 3

1. Scrieți produsul ca grad:

a) 0,5 0,5 0,5

c) c c c c c c c c c

d) (-x) (-x) (-x) (-x)

e) (ab) (ab) (ab)

2. Prezent sub forma unui pătrat al numărului: 100; 0,49; .

3. Cub numerele:

4. Găsiți valorile expresiei:

c) -1 5 + (-3) 2

d) -5 3 + (-4) 2

e) 5 4 2 - 100

Opțiunea 4

1. Scrieți produsul ca grad:

a) 0,7 0,7 0,7

c) x x x x x x

d) (-а) (-а) (-а)

e) (bc) (bc) (bc) (bc)

2. Patratează numerele:

3. Cub numerele:

4. Găsiți valorile expresiei:

c) -1 4 + (-3) 3

d) -3 4 + (-5) 2

e) 100 - 3 2 5

Înmulțirea puterilor.

Opțiunea 2

1. Prezentați ca diplomă:

a) x 4 x 5 e) x 3 x 4 x 5

b) a 7 a 3 g) 2 3 4

c) y 5 y h) 4 3 16

d) a a 7 i) 4 2 5

e) 2 2 2 5 j) 0,2 3 0,04

2. Prezentați ca grad și găsiți valoarea în tabel:

a) 3 2 3 3 c) 16 2 3

b) 2 4 2 5 d) 9 81

Opțiunea 3

1. Prezentați ca diplomă:

a) a 3 a 5 e) y 2 y 4 y 6

b) x 4 x 7 g) 3 5 9

c) b 6 b h) 5 3 25

d) y 8 i) 49 7 4

e) 2 3 2 6 j) 0,3 4 0,27

2. Prezentați ca grad și găsiți valoarea în tabel:

a) 3 3 3 4 c) 27 3 4

b) 2 4 2 6 d) 16 64

Opțiunea 4

1. Prezentați ca diplomă:

a) a 6 a 2 e) x 4 x x 6

b) x 7 x 8 g) 3 4 27

c) y 6 y h) 4 3 16

d) x x 10 i) 36 6 3

e) 2 4 2 5 j) 0,2 2 0,008

2. Prezentați ca grad și găsiți valoarea în tabel:

a) 2 6 2 3 c) 64 2 4

b) 3 5 3 2 d) 81 27

Împărțirea gradelor.

Opțiunea 2

1. Exprimați coeficientul ca putere:

2. Găsiți sensul expresiilor.

poate fi găsit folosind înmulțirea. De exemplu: 5+5+5+5+5+5=5x6. Ei spun despre o astfel de expresie că suma termenilor egali a fost împăturită într-un produs. Și invers, dacă citim această egalitate de la dreapta la stânga, obținem că am extins suma termenilor egali. În mod similar, puteți îndoi produsul mai multor factori egali 5x5x5x5x5x5=5 6 .

Adică, în loc să înmulțească șase factori identici 5x5x5x5x5x5, ei scriu 5 6 și spun „cinci la a șasea putere”.

Expresia 5 6 este o putere a unui număr, unde:

5 - baza gradului;

6 - exponent.

Se numesc operațiile prin care produsul factorilor egali este pliat într-o putere exponentiare.

În general, o putere cu baza „a” și exponentul „n” se scrie ca

Ridicarea numărului a la puterea lui n înseamnă găsirea produsului a n factori, fiecare dintre care este egal cu a

Dacă baza gradului „a” este 1, atunci valoarea gradului pentru orice n natural va fi egală cu 1. De exemplu, 1 5 \u003d 1, 1 256 \u003d 1

Dacă ridicați numărul „a” ridicați la primul grad, atunci obținem numărul a însuși: a 1 = a

Dacă ridici orice număr la grad zero, apoi ca rezultat al calculelor obținem unul. a 0 = 1

A doua și a treia putere a unui număr sunt considerate speciale. Au venit cu nume pentru ei: se numește gradul doi pătratul unui număr, al treilea - cub acest număr.

Orice număr poate fi ridicat la o putere - pozitivă, negativă sau zero. Cu toate acestea, următoarele reguli nu sunt utilizate:

La aflarea gradului unui număr pozitiv se obține un număr pozitiv.

Când calculăm zero în natură, obținem zero.

x m х n = x m + n

de exemplu: 7 1.7 7 - 0.9 = 7 1.7+(- 0.9) = 7 1.7 - 0.9 = 7 0.8

La împărțiți puterile cu aceeași bază nu schimbam baza, ci scadem exponentii:

x m / x n \u003d x m - n , Unde, m > n

ex: 13 3,8 / 13 -0,2 = 13 (3,8 -0,2) = 13 3,6

La calcul exponentiare Nu schimbăm baza, ci înmulțim exponenții unul cu celălalt.

(la m )n = y m n

de exemplu: (2 3) 2 = 2 3 2 = 2 6

(X · y) n = x n · m ,

de exemplu: (2 3) 3 = 2 n 3 m ,

La efectuarea calculelor pentru exponentiarea unei fractii ridicăm numărătorul și numitorul fracției la puterea dată

(x/y)n = x n / y n

de exemplu: (2/5) 3 = (2/5) (2/5) (2/5) = 2 3/5 3 .

Secvența de efectuare a calculelor atunci când se lucrează cu expresii care conțin un grad.

La efectuarea calculelor expresiilor fără paranteze, dar care conțin puteri, în primul rând se efectuează exponențiarea, apoi operațiile de înmulțire și împărțire și abia apoi operațiile de adunare și scădere.

Dacă este necesar să evaluăm o expresie care conține paranteze, atunci mai întâi, în ordinea indicată mai sus, facem calculele între paranteze, iar apoi acțiunile rămase în aceeași ordine de la stânga la dreapta.

Foarte larg în calculele practice, pentru a simplifica calculele, se folosesc tabele de grade gata făcute.

Primul nivel

Gradul și proprietățile sale. Ghid cuprinzător (2019)

De ce sunt necesare diplome? Unde ai nevoie de ele? De ce trebuie să petreci timp studiindu-le?

Pentru a afla totul despre diplome, pentru ce sunt acestea, cum să vă folosiți cunoștințele în viața de zi cu zi, citiți acest articol.

Și, bineînțeles, cunoașterea diplomelor te va aduce mai aproape de promovarea cu succes a OGE sau a examenului de stat unificat și de a intra în universitatea visurilor tale.

Sa mergem sa mergem!)

Notă importantă! Dacă, în loc de formule, vedeți farfurie, ștergeți memoria cache. Pentru a face acest lucru, apăsați CTRL+F5 (pe Windows) sau Cmd+R (pe Mac).

PRIMUL NIVEL

Exponentiația este aceeași operație matematică ca și adunarea, scăderea, înmulțirea sau împărțirea.

Acum voi explica totul în limbaj uman folosind exemple foarte simple. Atenție. Exemplele sunt elementare, dar explică lucruri importante.

Să începem cu adăugarea.

Nu este nimic de explicat aici. Știți deja totul: suntem opt. Fiecare are două sticle de cola. Câtă cola? Așa este - 16 sticle.

Acum înmulțirea.

Același exemplu cu cola poate fi scris într-un mod diferit: . Matematicienii sunt oameni vicleni și leneși. Ei observă mai întâi unele modele, apoi vin cu o modalitate de a le „număra” mai repede. În cazul nostru, au observat că fiecare dintre cele opt persoane avea același număr de sticle de cola și au venit cu o tehnică numită înmulțire. De acord, este considerat mai ușor și mai rapid decât.

Deci, pentru a număra mai repede, mai ușor și fără erori, trebuie doar să vă amintiți masa înmulțirii. Desigur, poți face totul mai încet, mai greu și cu greșeli! Dar…

Iată tabla înmulțirii. Repeta.

Și încă unul, mai frumos:

Și cu ce alte trucuri complicate de numărare au venit matematicienii leneși? Corect - ridicarea unui număr la o putere.

Ridicarea unui număr la o putere

Dacă trebuie să înmulțiți un număr cu el însuși de cinci ori, atunci matematicienii spun că trebuie să ridicați acest număr la puterea a cincea. De exemplu, . Matematicienii își amintesc că puterea doi la a cincea este. Și rezolvă astfel de probleme în mintea lor - mai rapid, mai ușor și fără erori.

Pentru a face acest lucru, aveți nevoie doar amintiți-vă ce este evidențiat cu culoare în tabelul puterilor numerelor. Crede-mă, îți va face viața mult mai ușoară.

Apropo, de ce se numește gradul doi pătrat numere, iar al treilea cub? Ce înseamnă? O intrebare foarte buna. Acum veți avea atât pătrate, cât și cuburi.

Exemplul #1 din viața reală

Să începem cu un pătrat sau cu a doua putere a unui număr.

Imaginați-vă o piscină pătrată care măsoară metri pe metri. Piscina este în curtea ta. E cald și îmi doresc foarte mult să înot. Dar... o piscină fără fund! Este necesar să acoperiți fundul piscinei cu gresie. De câte plăci ai nevoie? Pentru a determina acest lucru, trebuie să cunoașteți zona fundului piscinei.

Puteți număra pur și simplu împingând cu degetul că fundul piscinei este format din cuburi metru cu metru. Dacă plăcile tale sunt metru cu metru, vei avea nevoie de bucăți. E ușor... Dar unde ai văzut o astfel de țiglă? Placa va fi mai degrabă cm cu cm. Și atunci vei fi chinuit de „numărați cu degetul”. Atunci trebuie să te înmulți. Așadar, pe o parte a fundului piscinei, vom pune gresie (bucăți) și pe cealaltă, de asemenea, gresie. Înmulțind cu, obțineți dale ().

Ați observat că am înmulțit același număr de la sine pentru a determina aria fundului piscinei? Ce înseamnă? Deoarece se înmulțește același număr, putem folosi tehnica exponențiării. (Desigur, atunci când ai doar două numere, mai trebuie să le înmulți sau să le ridici la o putere. Dar dacă ai multe dintre ele, atunci ridicarea la o putere este mult mai ușoară și există și mai puține erori în calcule. Pentru examen, acest lucru este foarte important).
Deci, treizeci la gradul doi va fi (). Sau poți spune că treizeci de pătrați vor fi. Cu alte cuvinte, a doua putere a unui număr poate fi întotdeauna reprezentată ca un pătrat. Și invers, dacă vezi un pătrat, acesta este ÎNTOTDEAUNA a doua putere a unui număr. Un pătrat este o imagine a celei de-a doua puteri a unui număr.

Exemplul #2 din viața reală

Iată o sarcină pentru tine, numără câte pătrate sunt pe tabla de șah folosind pătratul numărului... Pe o parte a celulelor și pe cealaltă. Pentru a număra numărul lor, trebuie să înmulțiți opt cu opt, sau ... dacă observați că o tablă de șah este un pătrat cu o latură, atunci puteți pătra opt. Obțineți celule. () Asa de?

Exemplul #3 din viața reală

Acum, cubul sau a treia putere a unui număr. Aceeași piscină. Dar acum trebuie să aflați câtă apă va trebui turnată în această piscină. Trebuie să calculați volumul. (Volumele și lichidele, de altfel, se măsoară în metri cubi. Neașteptat, nu?) Desenați un bazin: un fund de un metru de dimensiune și un metru adâncime și încercați să calculați câte cuburi metru cu metru vor intra în piscina dvs.

Doar arată cu degetul și numără! Unu, doi, trei, patru... douăzeci și doi, douăzeci și trei... Cât a ieșit? Nu te-ai pierdut? E greu să numeri cu degetul? Astfel încât! Luați un exemplu de la matematicieni. Sunt leneși, așa că au observat că, pentru a calcula volumul piscinei, trebuie să-i înmulțiți între ele lungimea, lățimea și înălțimea. În cazul nostru, volumul piscinei va fi egal cu cuburi... Mai ușor, nu?

Acum imaginați-vă cât de leneși și vicleni sunt matematicienii dacă fac asta prea ușor. A redus totul la o singură acțiune. Au observat că lungimea, lățimea și înălțimea sunt egale și că același număr se înmulțește cu el însuși... Și ce înseamnă asta? Aceasta înseamnă că poți folosi gradul. Deci, ceea ce ați numărat cândva cu un deget, ei fac într-o singură acțiune: trei într-un cub sunt egali. Este scris astfel:

Rămâne doar memorează tabelul de grade. Dacă, desigur, nu ești la fel de leneș și viclean ca matematicienii. Dacă îți place să muncești din greu și să faci greșeli, poți continua să numeri cu degetul.

Ei bine, pentru a te convinge in sfarsit ca gradele au fost inventate de mocasini si vicleni pentru a-si rezolva problemele vietii, si nu pentru a-ti crea probleme, iata inca cateva exemple din viata.

Exemplul #4 din viața reală

Ai un milion de ruble. La începutul fiecărui an, câștigi încă un milion pentru fiecare milion. Adică, fiecare din milionul tău la începutul fiecărui an se dublează. Câți bani vei avea peste ani? Dacă acum stai și „numărați cu degetul”, atunci ești o persoană foarte muncitoare și .. proastă. Dar cel mai probabil vei da un răspuns în câteva secunde, pentru că ești inteligent! Deci, în primul an - de două ori de două ... în al doilea an - ce s-a întâmplat, cu încă doi, în anul al treilea... Stop! Ai observat că numărul se înmulțește cu el însuși o dată. Deci doi la a cincea putere este un milion! Acum imaginați-vă că aveți un concurs și cel care calculează mai repede va primi aceste milioane... Merită să vă amintiți gradele numerelor, ce părere aveți?

Exemplul #5 din viața reală

Ai un milion. La începutul fiecărui an, câștigi încă două pentru fiecare milion. E grozav nu? Fiecare milion este triplat. Câți bani vei avea într-un an? Hai să numărăm. Primul an - înmulțiți cu, apoi rezultatul cu altul... E deja plictisitor, pentru că ați înțeles deja totul: trei se înmulțesc de la sine ori. Deci, a patra putere este un milion. Trebuie doar să-ți amintești că trei până la a patra putere este sau.

Acum știi că ridicând un număr la o putere, îți vei face viața mult mai ușoară. Să aruncăm o privire în continuare la ceea ce poți face cu diplome și ce trebuie să știi despre ele.

Termeni și concepte... ca să nu se încurce

Deci, mai întâi, să definim conceptele. Tu ce crezi, ce este exponent? Este foarte simplu - acesta este numărul care se află „în partea de sus” a puterii numărului. Nu științific, dar clar și ușor de reținut...

Ei bine, în același timp, ce o astfel de bază de grad? Și mai simplu este numărul care se află în partea de jos, la bază.

Iată o poză ca să fii sigur.

Ei bine, în termeni generali, pentru a generaliza și a reține mai bine ... Un grad cu o bază „” și un indicator „” se citește ca „în grad” și se scrie după cum urmează:

Puterea unui număr cu exponent natural

Probabil ați ghicit deja: pentru că exponentul este un număr natural. Da, dar ce este numar natural? Elementar! Numerele naturale sunt cele care sunt folosite la numărare la enumerarea articolelor: unu, doi, trei ... Când numărăm articole, nu spunem: „minus cinci”, „minus șase”, „minus șapte”. Nici noi nu spunem „o treime” sau „zero virgulă cinci zecimi”. Acestea nu sunt numere naturale. Ce crezi că sunt aceste numere?

Se referă numere precum „minus cinci”, „minus șase”, „minus șapte”. numere întregi.În general, numerele întregi includ toate numerele naturale, numerele opuse numerelor naturale (adică luate cu semnul minus) și un număr. Zero este ușor de înțeles - atunci când nu există nimic. Și ce înseamnă numerele negative („minus”)? Dar au fost inventate în primul rând pentru a desemna datorii: dacă aveți un sold pe telefon în ruble, aceasta înseamnă că datorați ruble operatorului.

Toate fracțiile sunt numere raționale. Cum au apărut, crezi? Foarte simplu. Cu câteva mii de ani în urmă, strămoșii noștri au descoperit că nu aveau suficiente numere naturale pentru a măsura lungimea, greutatea, suprafața etc. Și au venit cu numere rationale… Interesant, nu-i așa?

Există și numere iraționale. Care sunt aceste numere? Pe scurt, o fracție zecimală infinită. De exemplu, dacă împărțiți circumferința unui cerc la diametrul acestuia, atunci obțineți un număr irațional.

Rezumat:

Să definim conceptul de grad, al cărui exponent este un număr natural (adică, întreg și pozitiv).

1. Orice număr la prima putere este egal cu el însuși:
2. A pătra un număr înseamnă a-l înmulți cu el însuși:
3. A cubi un număr înseamnă a-l înmulți cu el însuși de trei ori:

Definiție. A ridica un număr la o putere naturală înseamnă a înmulți numărul cu el însuși de ori:
.

Proprietăți de grad

De unde au venit aceste proprietăți? Vă arăt acum.

Să vedem ce este și ?

Prin definitie:

Câți multiplicatori există în total?

Este foarte simplu: am adăugat factori factori, iar rezultatul sunt factori.

Dar, prin definiție, acesta este gradul unui număr cu exponent, adică: , care trebuia demonstrat.

Exemplu: Simplificați expresia.

Soluţie:

Exemplu: Simplificați expresia.

Soluţie: Este important de reținut că în regula noastră neapărat trebuie sa fie acelasi motiv!
Prin urmare, combinăm gradele cu baza, dar rămânem un factor separat:

numai pentru produse ale puterilor!

Sub nicio formă nu trebuie să scrii asta.

2. adică -a-a putere a unui număr

La fel ca și în cazul proprietății anterioare, să ne întoarcem la definiția gradului:

Se dovedește că expresia este înmulțită cu ea însăși o dată, adică, conform definiției, aceasta este puterea a treia a numărului:

De fapt, acest lucru poate fi numit „bracketing the indicator”. Dar niciodată nu poți face asta în total:

Să ne amintim formulele de înmulțire prescurtată: de câte ori am vrut să scriem?

Dar asta nu este adevărat, într-adevăr.

Grad cu o bază negativă

Până în acest punct, am discutat doar care ar trebui să fie exponentul.

Dar care ar trebui să fie baza?

În grade de la indicator natural baza poate fi orice număr. Într-adevăr, putem înmulți orice număr unul cu celălalt, indiferent dacă sunt pozitive, negative sau chiar.

Să ne gândim ce semne ("" sau "") vor avea grade de numere pozitive și negative?

De exemplu, numărul va fi pozitiv sau negativ? DAR? ? Cu primul, totul este clar: indiferent câte numere pozitive am înmulți între ele, rezultatul va fi pozitiv.

Dar cele negative sunt puțin mai interesante. La urma urmei, ne amintim o regulă simplă din clasa a VI-a: „un minus ori un minus dă un plus”. Adică sau. Dar dacă înmulțim cu, se dovedește.

Determinați singur ce semn vor avea următoarele expresii:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Ai reușit?

Iată răspunsurile: În primele patru exemple, sper că totul este clar? Pur și simplu ne uităm la bază și la exponent și aplicăm regula corespunzătoare.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

În exemplul 5), totul nu este atât de înfricoșător pe cât pare: nu contează cu ce baza este egală - gradul este egal, ceea ce înseamnă că rezultatul va fi întotdeauna pozitiv.

Ei bine, cu excepția cazului în care baza este zero. Baza nu este aceeași, nu-i așa? Evident că nu, din moment ce (pentru că).

Exemplul 6) nu mai este atât de simplu!

6 exemple de practică

Analiza soluției 6 exemple

Dacă nu acordăm atenție gradului al optulea, ce vedem aici? Să aruncăm o privire asupra programului de clasa a VII-a. Deci, îți amintești? Aceasta este formula de înmulțire prescurtată și anume diferența de pătrate! Primim:

Ne uităm cu atenție la numitor. Seamănă foarte mult cu unul dintre factorii numărători, dar ce este în neregulă? Ordine greșită a termenilor. Dacă ar fi schimbate, regula s-ar putea aplica.

Dar cum să faci asta? Se dovedește că este foarte ușor: aici ne ajută gradul par al numitorului.

Termenii și-au schimbat locurile magic. Acest „fenomen” se aplică oricărei expresii într-un grad egal: putem schimba liber semnele dintre paranteze.

Dar este important de reținut: toate semnele se schimbă în același timp!

Să revenim la exemplu:

Și din nou formula:

întreg numim numerele naturale, contrariile lor (adica luate cu semnul "") si numarul.

număr întreg pozitiv, și nu este diferit de natural, atunci totul arată exact ca în secțiunea anterioară.

Acum să ne uităm la cazuri noi. Să începem cu un indicator egal cu.

Orice număr la puterea zero este egal cu unu:

Ca întotdeauna, ne întrebăm: de ce este așa?

Luați în considerare puțină putere cu o bază. Luați, de exemplu, și înmulțiți cu:

Deci, am înmulțit numărul cu și am obținut același lucru ca și -. Cu ce ​​număr trebuie înmulțit ca să nu se schimbe nimic? Așa e, pe. Mijloace.

Putem face același lucru cu un număr arbitrar:

Să repetăm ​​regula:

Orice număr la puterea zero este egal cu unu.

Dar există excepții de la multe reguli. Și aici este și acolo - acesta este un număr (ca bază).

Pe de o parte, trebuie să fie egal cu orice grad - indiferent cât de mult ai înmulți zero de la sine, tot obții zero, acest lucru este clar. Dar, pe de altă parte, ca orice număr până la gradul zero, trebuie să fie egal. Deci, care este adevărul despre asta? Matematicienii au decis să nu se implice și au refuzat să ridice zero la puterea zero. Adică, acum nu putem doar să împărțim la zero, ci și să o ridicăm la puterea zero.

Să mergem mai departe. Pe lângă numerele naturale și numerele, numerele întregi includ numere negative. Pentru a înțelege ce este un grad negativ, să facem la fel ca data trecută: înmulțim un număr normal cu același într-un grad negativ:

De aici este deja ușor de exprimat dorit:

Acum extindem regula rezultată într-un grad arbitrar:

Deci, haideți să formulăm regula:

Un număr la o putere negativă este inversul aceluiași număr la o putere pozitivă. Dar in acelasi timp baza nu poate fi nulă:(pentru că este imposibil de împărțit).

Să rezumam:

I. Expresia nu este definită în caz. Daca atunci.

II. Orice număr la puterea zero este egal cu unu: .

III. Un număr care nu este egal cu zero la o putere negativă este inversul aceluiași număr cu o putere pozitivă: .

Sarcini pentru soluție independentă:

Ei bine, ca de obicei, exemple pentru o soluție independentă:

Analiza sarcinilor pentru soluție independentă:

Știu, știu, cifrele sunt înfricoșătoare, dar la examen trebuie să fii pregătit pentru orice! Rezolvă aceste exemple sau analizează-le soluția dacă nu le-ai putut rezolva și vei învăța cum să le faci față cu ușurință la examen!

Să continuăm să extindem gama de numere „potrivite” ca exponent.

Acum luați în considerare numere rationale. Ce numere se numesc raționale?

Răspuns: tot ceea ce poate fi reprezentat ca fracție, unde și sunt numere întregi, în plus.

Pentru a înțelege ce este "grad fractionar" Să luăm în considerare o fracție:

Să ridicăm ambele părți ale ecuației la o putere:

Acum amintiți-vă regula "grad la grad":

Ce număr trebuie ridicat la o putere pentru a obține?

Această formulare este definiția rădăcinii gradului al treilea.

Permiteți-mi să vă reamintesc: rădăcina puterii-a a unui număr () este un număr care, atunci când este ridicat la o putere, este egal.

Adică rădăcina gradului al-lea este operația inversă de exponențiere: .

Se pare că. Evident, acest caz special poate fi extins: .

Acum adăugați numărătorul: ce este? Răspunsul este ușor de obținut cu regula putere-la-putere:

Dar baza poate fi orice număr? La urma urmei, rădăcina nu poate fi extrasă din toate numerele.

Nici unul!

Amintiți-vă regula: orice număr ridicat la o putere pară este un număr pozitiv. Adică, este imposibil să extragi rădăcini de grad egal din numerele negative!

Și asta înseamnă că astfel de numere nu pot fi ridicate la o putere fracțională cu un numitor par, adică expresia nu are sens.

Ce zici de exprimare?

Dar aici apare o problemă.

Numărul poate fi reprezentat ca alte fracții reduse, de exemplu, sau.

Și se dovedește că există, dar nu există, iar acestea sunt doar două înregistrări diferite ale aceluiași număr.

Sau un alt exemplu: o dată, atunci îl poți nota. Dar de îndată ce scriem indicatorul într-un mod diferit, avem din nou probleme: (adică am obținut un rezultat complet diferit!).

Pentru a evita astfel de paradoxuri, luați în considerare numai exponent de bază pozitiv cu exponent fracționar.

Astfel, dacă:

• - numar natural;
• este un număr întreg;

Exemple:

Puterile cu exponent rațional sunt foarte utile pentru transformarea expresiilor cu rădăcini, de exemplu:

5 exemple de practică

Analiza a 5 exemple pentru antrenament

Ei bine, acum - cel mai dificil. Acum vom analiza grad cu un exponent irațional.

Toate regulile și proprietățile gradelor de aici sunt exact aceleași ca pentru grade cu exponent rațional, cu excepția

Într-adevăr, prin definiție, numerele iraționale sunt numere care nu pot fi reprezentate ca o fracție, unde și sunt numere întregi (adică numerele iraționale sunt toate numere reale, cu excepția celor raționale).

Când studiem grade cu un indicator natural, întreg și rațional, de fiecare dată am alcătuit o anumită „imagine”, „analogie” sau descriere în termeni mai familiari.

De exemplu, un exponent natural este un număr înmulțit cu el însuși de mai multe ori;

...putere zero- acesta este, parcă, un număr înmulțit cu el însuși o dată, adică nu a început încă să fie înmulțit, ceea ce înseamnă că numărul în sine nici măcar nu a apărut încă - prin urmare, rezultatul este doar o anumită „pregătire a un număr”, și anume un număr;

...exponent întreg negativ- este ca și cum a avut loc un anumit „proces invers”, adică numărul nu a fost înmulțit cu el însuși, ci împărțit.

Apropo, știința folosește adesea un grad cu un exponent complex, adică un exponent nu este nici măcar un număr real.

Dar la școală, nu ne gândim la astfel de dificultăți; vei avea ocazia să înțelegi aceste noi concepte la institut.

UNDE SUNTEM SIGURANȚI VOI MERGI! (dacă înveți cum să rezolvi astfel de exemple :))

De exemplu:

Decide pentru tine:

Analiza solutiilor:

1. Să începem cu regula deja obișnuită pentru ridicarea unui grad la un grad:

Acum uită-te la scor. Îți amintește de ceva? Reamintim formula pentru înmulțirea prescurtată a diferenței de pătrate:

În acest caz,

Se pare că:

Răspuns: .

2. Aducem fracțiile în exponenți în aceeași formă: fie ambele zecimale, fie ambele ordinare. Primim, de exemplu:

Raspuns: 16

3. Nimic special, aplicăm proprietățile obișnuite ale gradelor:

NIVEL AVANSAT

Definiţia degree

Gradul este o expresie de forma: , unde:

• — baza gradului;
• - exponent.

Gradul cu exponent natural (n = 1, 2, 3,...)

Ridicarea unui număr la puterea naturală n înseamnă înmulțirea numărului cu el însuși de ori:

Putere cu exponent întreg (0, ±1, ±2,...)

Dacă exponentul este număr întreg pozitiv număr:

erecție la putere zero:

Expresia este nedefinită, deoarece, pe de o parte, în orice grad este aceasta, iar pe de altă parte, orice număr până la gradul al treilea este aceasta.

Dacă exponentul este întreg negativ număr:

(pentru că este imposibil de împărțit).

Încă o dată despre nuluri: expresia nu este definită în caz. Daca atunci.

Exemple:

Gradul cu exponent rațional

• - numar natural;
• este un număr întreg;

Exemple:

Proprietăți de grad

Pentru a facilita rezolvarea problemelor, să încercăm să înțelegem: de unde provin aceste proprietăți? Să le dovedim.

Să vedem: ce este și?

Prin definitie:

Deci, în partea dreaptă a acestei expresii, se obține următorul produs:

Dar, prin definiție, aceasta este o putere a unui număr cu un exponent, adică:

Q.E.D.

Exemplu : Simplificați expresia.

Soluţie : .

Exemplu : Simplificați expresia.

Soluţie : Este important de reținut că în regula noastră neapărat trebuie să fie pe aceeași bază. Prin urmare, combinăm gradele cu baza, dar rămânem un factor separat:

O altă notă importantă: această regulă - numai pentru produsele puterilor!

Sub nicio formă nu ar trebui să scriu asta.

La fel ca și în cazul proprietății anterioare, să ne întoarcem la definiția gradului:

Să o rearanjam astfel:

Se pare că expresia este înmulțită cu ea însăși o dată, adică, conform definiției, aceasta este puterea --a a numărului:

De fapt, acest lucru poate fi numit „bracketing the indicator”. Dar nu poți face niciodată asta în total:!

Să ne amintim formulele de înmulțire prescurtată: de câte ori am vrut să scriem? Dar asta nu este adevărat, într-adevăr.

Putere cu o bază negativă.

Până în acest moment, am discutat doar ce ar trebui să fie index grad. Dar care ar trebui să fie baza? În grade de la natural indicator baza poate fi orice număr .

Într-adevăr, putem înmulți orice număr unul cu celălalt, indiferent dacă sunt pozitive, negative sau chiar. Să ne gândim ce semne ("" sau "") vor avea grade de numere pozitive și negative?

De exemplu, numărul va fi pozitiv sau negativ? DAR? ?

Cu primul, totul este clar: indiferent câte numere pozitive am înmulți între ele, rezultatul va fi pozitiv.

Dar cele negative sunt puțin mai interesante. La urma urmei, ne amintim o regulă simplă din clasa a VI-a: „un minus ori un minus dă un plus”. Adică sau. Dar dacă înmulțim cu (), obținem -.

Și așa mai departe la infinit: cu fiecare înmulțire ulterioară, semnul se va schimba. Puteți formula aceste reguli simple:

1. chiar grad, - număr pozitiv.
2. Număr negativ crescut la ciudat grad, - număr negativ.
3. Un număr pozitiv pentru orice putere este un număr pozitiv.
4. Zero la orice putere este egal cu zero.

Determinați singur ce semn vor avea următoarele expresii:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Ai reușit? Iată răspunsurile:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

În primele patru exemple, sper că totul este clar? Pur și simplu ne uităm la bază și la exponent și aplicăm regula corespunzătoare.

În exemplul 5), totul nu este atât de înfricoșător pe cât pare: nu contează cu ce baza este egală - gradul este egal, ceea ce înseamnă că rezultatul va fi întotdeauna pozitiv. Ei bine, cu excepția cazului în care baza este zero. Baza nu este aceeași, nu-i așa? Evident că nu, din moment ce (pentru că).

Exemplul 6) nu mai este atât de simplu. Aici trebuie să aflați care este mai puțin: sau? Dacă vă amintiți asta, devine clar că, ceea ce înseamnă că baza este mai mică decât zero. Adică aplicăm regula 2: rezultatul va fi negativ.

Și din nou folosim definiția gradului:

Totul este ca de obicei - notăm definiția gradelor și le împărțim unele în altele, le împărțim în perechi și obținem:

Înainte de a analiza ultima regulă, să rezolvăm câteva exemple.

Calculați valorile expresiilor:

Soluții :

Dacă nu acordăm atenție gradului al optulea, ce vedem aici? Să aruncăm o privire asupra programului de clasa a VII-a. Deci, îți amintești? Aceasta este formula de înmulțire prescurtată și anume diferența de pătrate!

Primim:

Ne uităm cu atenție la numitor. Seamănă foarte mult cu unul dintre factorii numărători, dar ce este în neregulă? Ordine greșită a termenilor. Dacă ar fi inversate, s-ar putea aplica regula 3. Dar cum să faci asta? Se dovedește că este foarte ușor: aici ne ajută gradul par al numitorului.

Dacă îl înmulți cu, nu se schimbă nimic, nu? Dar acum arată așa:

Termenii și-au schimbat locurile magic. Acest „fenomen” se aplică oricărei expresii într-un grad egal: putem schimba liber semnele dintre paranteze. Dar este important de reținut: toate semnele se schimba in acelasi timp! Nu poate fi înlocuit prin schimbarea unui singur minus inacceptabil pentru noi!

Să revenim la exemplu:

Și din nou formula:

Deci acum ultima regulă:

Cum o să dovedim? Desigur, ca de obicei: să extindem conceptul de grad și să simplificăm:

Ei bine, acum să deschidem parantezele. Câte litere vor fi? ori prin multiplicatori - cum arată? Aceasta nu este altceva decât definiția unei operațiuni multiplicare: total s-au dovedit a fi multiplicatori. Adică, este, prin definiție, o putere a unui număr cu un exponent:

Exemplu:

Gradul cu exponent irațional

Pe lângă informații despre grade pentru nivelul mediu, vom analiza gradul cu un indicator irațional. Toate regulile și proprietățile gradelor de aici sunt exact aceleași ca pentru un grad cu exponent rațional, cu excepția - la urma urmei, prin definiție, numerele iraționale sunt numere care nu pot fi reprezentate ca o fracție, unde și sunt numere întregi (adică , numerele iraționale sunt toate numere reale, cu excepția celor raționale).

Când studiem grade cu un indicator natural, întreg și rațional, de fiecare dată am alcătuit o anumită „imagine”, „analogie” sau descriere în termeni mai familiari. De exemplu, un exponent natural este un număr înmulțit cu el însuși de mai multe ori; un număr până la gradul zero este, așa cum ar fi, un număr înmulțit cu el însuși o dată, adică nu a început încă să fie înmulțit, ceea ce înseamnă că numărul în sine nici măcar nu a apărut încă - prin urmare, rezultatul este doar un anumită „pregătire a unui număr”, și anume un număr; un grad cu un indicator negativ întreg - este ca și cum a avut loc un anumit „proces invers”, adică numărul nu a fost înmulțit cu el însuși, ci împărțit.

Este extrem de greu de imaginat un grad cu un exponent irațional (la fel cum este greu de imaginat un spațiu cu 4 dimensiuni). Mai degrabă, este un obiect pur matematic pe care matematicienii l-au creat pentru a extinde conceptul de grad la întregul spațiu al numerelor.

Apropo, știința folosește adesea un grad cu un exponent complex, adică un exponent nu este nici măcar un număr real. Dar la școală, nu ne gândim la astfel de dificultăți; vei avea ocazia să înțelegi aceste noi concepte la institut.

Deci, ce facem dacă vedem un exponent irațional? Facem tot posibilul să scăpăm de ea! :)

De exemplu:

Decide pentru tine:

1)

2)

3)

Raspunsuri:

1. Amintiți-vă formula diferenței pătratelor. Răspuns: .
2. Aducem fracțiile în aceeași formă: fie ambele zecimale, fie ambele obișnuite. Obținem, de exemplu: .
3. Nimic special, aplicăm proprietățile obișnuite ale gradelor:

REZUMAT SECȚIUNEA ȘI FORMULA DE BAZĂ

grad se numește expresie de forma: , unde:

Gradul cu exponent întreg

grad, al cărui exponent este un număr natural (adică întreg și pozitiv).

Gradul cu exponent rațional

grad, al cărui indicator sunt numerele negative și fracționale.

Gradul cu exponent irațional

exponent al cărui exponent este o fracție zecimală infinită sau rădăcină.

Proprietăți de grad

Caracteristicile diplomelor.

• Număr negativ crescut la chiar grad, - număr pozitiv.
• Număr negativ crescut la ciudat grad, - număr negativ.
• Un număr pozitiv pentru orice putere este un număr pozitiv.
• Zero este egal cu orice putere.
• Orice număr până la puterea zero este egal.

ACUM AI UN CUVÂNT...

Cum iti place articolul? Spune-mi în comentariile de mai jos dacă ți-a plăcut sau nu.

Povestește-ne despre experiența ta cu proprietățile puterii.

Poate ai intrebari. Sau sugestii.

Scrieți în comentarii.

Și mult succes la examene!