Unde X* - una dintre soluțiile sistemului neomogen (2) (de exemplu (4)), (E−A + A) formează nucleul (spațiul zero) al matricei A.

Să facem o descompunere scheletică a matricei (E−A + A):

E−A + A=Q S

Unde Q n×n−r- matrice de rang (Q)=n−r, S n−r×n-matricea de rang (S)=n−r.

Atunci (13) se poate scrie sub următoarea formă:

x=x*+Qk, ∀ k ∈ R n-r .

Unde k=Sz.

Asa de, procedura generala de rezolvare sistemele de ecuații liniare care utilizează o matrice pseudo-inversă pot fi reprezentate în următoarea formă:

1. Calculați matricea pseudo-inversă A + .
2. Calculăm o soluție particulară a sistemului neomogen de ecuații liniare (2): X*=A + b.
3. Verificăm compatibilitatea sistemului. Pentru asta calculăm AA + b. În cazul în care un AA + b≠b, atunci sistemul este inconsecvent. În caz contrar, continuăm procedura.
4. vyssylyaem E−A+A.
5. Făcând o descompunere a scheletului E−A + A=Q·S.
6. Construirea unei soluții

x=x*+Qk, ∀ k ∈ R n-r .

Rezolvarea unui sistem de ecuații liniare online

Calculatorul online vă permite să găsiți soluția generală a unui sistem de ecuații liniare cu explicații detaliate.

A investiga un sistem de ecuații liniare agebraice (SLAE) pentru compatibilitate înseamnă a afla dacă acest sistem are sau nu soluții. Ei bine, dacă există soluții, atunci indicați câte dintre ele.

Vom avea nevoie de informații din tema „Sistem de ecuații algebrice liniare. Termeni de bază. Notație matriceală”. În special, sunt necesare concepte precum matricea sistemului și matricea extinsă a sistemului, deoarece formularea teoremei Kronecker-Capelli se bazează pe acestea. Ca de obicei, matricea sistemului va fi notată cu litera $A$, iar matricea extinsă a sistemului cu litera $\widetilde(A)$.

Teorema Kronecker-Capelli

Un sistem de ecuații algebrice liniare este consistent dacă și numai dacă rangul matricei sistemului este egal cu rangul matricei extinse a sistemului, i.e. $\rank A=\rang\widetilde(A)$.

Permiteți-mi să vă reamintesc că un sistem se numește articulație dacă are cel puțin o soluție. Teorema Kronecker-Capelli spune așa: dacă $\rang A=\rang\widetilde(A)$, atunci există o soluție; dacă $\rang A\neq\rang\widetilde(A)$, atunci acest SLAE nu are soluții (este inconsecvent). Răspunsul la întrebarea despre numărul acestor soluții este dat de un corolar al teoremei Kronecker-Capelli. Declarația corolarului folosește litera $n$, care este egală cu numărul de variabile din SLAE dat.

Corolar din teorema Kronecker-Capelli

1. Dacă $\rang A\neq\rang\widetilde(A)$, atunci SLAE este inconsecvent (nu are soluții).
2. Dacă $\rang A=\rang\widetilde(A)< n$, то СЛАУ является неопределённой (имеет бесконечное количество решений).
3. Dacă $\rang A=\rang\widetilde(A) = n$, atunci SLAE este cert (are exact o soluție).

Rețineți că teorema formulată și corolarul ei nu indică cum să găsiți soluția SLAE. Cu ajutorul lor, puteți afla doar dacă aceste soluții există sau nu și, dacă există, atunci câte.

Exemplul #1

Explorați SLAE $ \left \(\begin(aligned) & -3x_1+9x_2-7x_3=17;\\ & -x_1+2x_2-4x_3=9;\\ & 4x_1-2x_2+19x_3=-42. \end(aligned). )\right.$ pentru consecvență Dacă SLAE este consecvent, indicați numărul de soluții.

Pentru a afla existența soluțiilor la un SLAE dat, folosim teorema Kronecker-Capelli. Avem nevoie de matricea sistemului $A$ și de matricea extinsă a sistemului $\widetilde(A)$, le notăm:

$$ A=\left(\begin(array) (ccc) -3 & 9 & -7 \\ -1 & 2 & -4 \\ 4 & -2 & 19 \end(array) \right);\; \widetilde(A)=\left(\begin(array) (ccc|c) -3 & 9 &-7 & 17 \\ -1 & 2 & -4 & 9\\ 4 & -2 & 19 & -42 \end(matrice)\dreapta). $$

Trebuie să găsim $\rang A$ și $\rang\widetilde(A)$. Există multe modalități de a face acest lucru, dintre care unele sunt enumerate în secțiunea Matrix Rank. De obicei, se folosesc două metode pentru a studia astfel de sisteme: „Calculul rangului unei matrice prin definiție” sau „Calculul rangului unei matrice prin metoda transformărilor elementare”.

Metoda numărul 1. Calculul rangurilor prin definiție.

Conform definiției, rangul este cel mai înalt ordin al minorilor matricei, printre care există cel puțin unul altul decât zero. De obicei, studiul începe cu minorii de ordinul întâi, dar aici este mai convenabil să se treacă imediat la calculul minorului de ordinul trei al matricei $A$. Elementele minorului de ordinul trei se află la intersecția a trei rânduri și trei coloane ale matricei luate în considerare. Deoarece matricea $A$ conține doar 3 rânduri și 3 coloane, minorul de ordinul trei al matricei $A$ este determinantul matricei $A$, adică. $\DeltaA$. Pentru a calcula determinantul, aplicăm formula nr. 2 din subiectul „Formule pentru calcularea determinanților de ordinul doi și trei”:

$$ \Delta A=\left| \begin(array) (ccc) -3 & 9 & -7 \\ -1 & 2 & -4 \\ 4 & -2 & 19 \end(array) \right|=-21. $$

Deci, există un minor de ordinul trei al matricei $A$, care nu este egal cu zero. Un minor de ordinul 4 nu poate fi compus, deoarece necesită 4 rânduri și 4 coloane, iar matricea $A$ are doar 3 rânduri și 3 coloane. Deci, ordinul cel mai înalt al minorilor din matricea $A$, printre care există cel puțin unul diferit de zero, este egal cu 3. Prin urmare, $\rang A=3$.

De asemenea, trebuie să găsim $\rang\widetilde(A)$. Să ne uităm la structura matricei $\widetilde(A)$. Până la linia din matricea $\widetilde(A)$ sunt elemente ale matricei $A$ și am aflat că $\Delta A\neq 0$. Prin urmare, matricea $\widetilde(A)$ are un minor de ordinul al treilea care nu este egal cu zero. Nu putem compune minore de ordinul al patrulea ale matricei $\widetilde(A)$, deci concluzionăm: $\rang\widetilde(A)=3$.

Deoarece $\rang A=\rang\widetilde(A)$, conform teoremei Kronecker-Capelli, sistemul este consistent, i.e. are o soluție (cel puțin una). Pentru a indica numărul de soluții, luăm în considerare că SLAE-ul nostru conține 3 necunoscute: $x_1$, $x_2$ și $x_3$. Întrucât numărul de necunoscute este $n=3$, concluzionăm: $\rang A=\rang\widetilde(A)=n$, prin urmare, conform corolarului teoremei Kronecker-Capelli, sistemul este definit, adică. are o soluție unică.

Problema rezolvata. Care sunt dezavantajele și avantajele acestei metode? Mai întâi, să vorbim despre profesioniști. În primul rând, trebuia să găsim un singur determinant. După aceea, am făcut imediat o concluzie despre numărul de soluții. De obicei, în calculele tipice standard, sunt date sisteme de ecuații care conțin trei necunoscute și au o singură soluție. Pentru astfel de sisteme, această metodă este foarte convenabilă, deoarece știm dinainte că există o soluție (altfel nu ar exista niciun exemplu într-un calcul tipic). Acestea. trebuie doar să arătăm existența unei soluții în cel mai rapid mod. În al doilea rând, valoarea calculată a determinantului matricei sistemului (adică $\Delta A$) va fi utilă mai târziu: când începem să rezolvăm sistemul dat folosind metoda Cramer sau folosind matricea inversă.

Totuși, prin definiție, metoda de calcul a rangului este nedorită dacă matricea sistemului $A$ este dreptunghiulară. În acest caz, este mai bine să aplicați a doua metodă, care va fi discutată mai jos. În plus, dacă $\Delta A=0$, atunci nu vom putea spune nimic despre numărul de soluții pentru un SLAE neomogen dat. Poate SLAE are un număr infinit de soluții, sau poate nici una. Dacă $\Delta A=0$, atunci este necesară cercetare suplimentară, care este adesea greoaie.

Rezumând cele spuse, observ că prima metodă este bună pentru acele SLAE-uri a căror matrice de sistem este pătrată. În același timp, SLAE în sine conține trei sau patru necunoscute și este luat din calcule standard standard sau lucrări de control.

Metoda numărul 2. Calculul rangului prin metoda transformărilor elementare.

Această metodă este descrisă în detaliu în subiectul corespunzător. Vom calcula rangul matricei $\widetilde(A)$. De ce matrice $\widetilde(A)$ și nu $A$? Ideea este că matricea $A$ este o parte a matricei $\widetilde(A)$, deci calculând rangul matricei $\widetilde(A)$ vom găsi simultan rangul matricei $A$ .

\begin(aligned) &\widetilde(A) =\left(\begin(array) (ccc|c) -3 & 9 &-7 & 17 \\ -1 & 2 & -4 & 9\\ 4 & - 2 & 19 & -42 \end(array) \right) \rightarrow \left|\text(swap primul și al doilea rând)\right| \rightarrow \\ &\rightarrow \left(\begin(array) (ccc|c) -1 & 2 & -4 & 9 \\ -3 & 9 &-7 & 17\\ 4 & -2 & 19 & - 42 \end(array) \right) \begin(array) (l) \phantom(0) \\ II-3\cdot I\\ III+4\cdot I \end(array) \rightarrow \left(\begin (matrice) (ccc|c) -1 & 2 & -4 & 9 \\ 0 & 3 &5 & -10\\ 0 & 6 & 3 & -6 \end(array) \right) \begin(array) ( l) \phantom(0) \\ \phantom(0)\\ III-2\cdot II \end(array)\rightarrow\\ &\rightarrow \left(\begin(array) (ccc|c) -1 & 2 & -4 & 9 \\ 0 & 3 &5 & -10\\ 0 & 0 & -7 & 14 \end(array) \right) \end(aligned)

Am redus matricea $\widetilde(A)$ la o formă trapezoidală . Pe diagonala principală a matricei rezultate $\left(\begin(array) (ccc|c) -1 & 2 & -4 & 9 \\ 0 & 3 &5 & -10\\ 0 & 0 & -7 & 14 \end( array) \right)$ conține trei elemente diferite de zero: -1, 3 și -7. Concluzie: rangul matricei $\widetilde(A)$ este 3, i.e. $\rank\widetilde(A)=3$. Făcând transformări cu elementele matricei $\widetilde(A)$, am transformat simultan elementele matricei $A$ situate înaintea liniei. Matricea $A$ este, de asemenea, trapezoidală: $\left(\begin(array) (ccc) -1 & 2 & -4 \\ 0 & 3 &5 \\ 0 & 0 & -7 \end(array) \right ) $. Concluzie: rangul matricei $A$ este de asemenea egal cu 3, i.e. $\rangul A=3$.

Deoarece $\rang A=\rang\widetilde(A)$, conform teoremei Kronecker-Capelli, sistemul este consistent, i.e. are o solutie. Pentru a indica numărul de soluții, luăm în considerare că SLAE-ul nostru conține 3 necunoscute: $x_1$, $x_2$ și $x_3$. Întrucât numărul de necunoscute este $n=3$, concluzionăm: $\rang A=\rang\widetilde(A)=n$, prin urmare, conform corolarului teoremei Kronecker-Capelli, sistemul este definit, i.e. are o soluție unică.

Care sunt avantajele celei de-a doua metode? Principalul avantaj este versatilitatea sa. Nu contează pentru noi dacă matricea sistemului este pătrată sau nu. În plus, am efectuat de fapt transformări ale metodei Gauss înainte. Au mai rămas doar câțiva pași și am putea obține soluția acestui SLAE. Sincer să fiu, a doua cale îmi place mai mult decât prima, dar alegerea este o chestiune de gust.

Răspuns: SLAE dat este consecvent și definit.

Exemplul #2

Explorați SLAE $ \left\( \begin(aligned) & x_1-x_2+2x_3=-1;\\ & -x_1+2x_2-3x_3=3;\\ & 2x_1-x_2+3x_3=2;\\ & 3x_1- 2x_2+5x_3=1;\\ & 2x_1-3x_2+5x_3=-4.\end(aligned) \right.$ pentru compatibilitate.

Vom găsi rangurile matricei sistemului și matricei extinse a sistemului prin metoda transformărilor elementare. Matrice de sistem extinsă: $\widetilde(A)=\left(\begin(array) (ccc|c) 1 & -1 & 2 & -1\\ -1 & 2 & -3 & 3 \\ 2 & -1 & 3 & 2 \\ 3 & -2 & 5 & 1 \\ 2 & -3 & 5 & -4 \end(array) \right)$. Să găsim rangurile necesare transformând matricea augmentată a sistemului:

Matricea extinsă a sistemului este redusă la o formă în trepte. Dacă matricea este redusă la o formă în trepte, atunci rangul său este egal cu numărul de rânduri diferite de zero. Prin urmare, $\rank A=3$. Matricea $A$ (până la linie) se reduce la o formă trapezoidală și rangul ei este egal cu 2, $\rang A=2$.

Deoarece $\rang A\neq\rang\widetilde(A)$, atunci, conform teoremei Kronecker-Capelli, sistemul este inconsecvent (adică nu are soluții).

Răspuns: Sistemul este inconsecvent.

Exemplul #3

Explorați SLAE $ \left\( \begin(aligned) & 2x_1+7x_3-5x_4+11x_5=42;\\ & x_1-2x_2+3x_3+2x_5=17;\\ & -3x_1+9x_2-11x_3-7x_5=-64 ;\\ & -5x_1+17x_2-16x_3-5x_4-4x_5=-90;\\ & 7x_1-17x_2+23x_3+15x_5=132. \end(aligned) \right.$ pentru compatibilitate.

Matricea extinsă a sistemului este: $\widetilde(A)=\left(\begin(array) (ccccc|c) 2 & 0 & 7 & -5 & 11 & 42\\ 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17 \\ -3 & 9 & -11 & 0 & -7 & -64 \\ -5 & 17 & -16 & -5 & -4 & -90 \\ 7 & -17 & 23 & 0 & 15 & 132 \end(matrice)\right)$. Schimbați primul și al doilea rând din această matrice, astfel încât primul element al primului rând să fie unul: $\left(\begin(array) (ccccc|c) 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17\\ 2 & 0 & 7 & -5 & 11 & 42 \\ -3 & 9 & -11 & 0 & -7 & -64 \\ -5 & 17 & -16 & -5 & -4 & -90 \\ 7 & -17 & 23 & 0 & 15 & 132 \end(array) \right)$.

Am redus matricea extinsă a sistemului și matricea sistemului însuși la o formă trapezoidală. Rangul matricei extinse a sistemului este egal cu trei, rangul matricei sistemului este, de asemenea, egal cu trei. Deoarece sistemul conține $n=5$ necunoscute, i.e. $\rang\widetilde(A)=\rang A< n$, то согласно следствия из теоремы Кронекера-Капелли данная система является неопределённой, т.е. имеет бесконечное количество решений.

Răspuns: sistemul este nedeterminat.

În a doua parte, vom analiza exemple care sunt adesea incluse în calcule standard sau teste la matematică superioară: un studiu de compatibilitate și rezolvare SLAE în funcție de valorile parametrilor incluși în acesta.

Continuăm să ne ocupăm de sisteme de ecuații liniare. Până acum, am luat în considerare sisteme care au o soluție unică. Astfel de sisteme pot fi rezolvate în orice mod: metoda de substitutie("şcoală") prin formulele lui Cramer, metoda matricei, metoda Gauss. Cu toate acestea, încă două cazuri sunt larg răspândite în practică atunci când:

1) sistemul este inconsecvent (nu are soluții);

2) sistemul are infinite de soluții.

Pentru aceste sisteme, se utilizează cea mai universală dintre toate metodele de soluție - metoda Gauss. De fapt, metoda „școală” va duce și ea la răspuns, dar în matematica superioară se obișnuiește să se folosească metoda gaussiană a eliminării succesive a necunoscutelor. Cei care nu sunt familiarizați cu algoritmul metodei Gauss, vă rugăm să studiați mai întâi lecția metoda Gauss

Transformările matriceale elementare în sine sunt exact aceleași, diferența va fi în finalul soluției. Mai întâi, luați în considerare câteva exemple în care sistemul nu are soluții (incoerente).

Exemplul 1

Ce vă atrage imediat atenția în acest sistem? Numărul de ecuații este mai mic decât numărul de variabile. Există o teoremă care spune: „Dacă numărul de ecuații din sistem este mai mic decât numărul de variabile, atunci sistemul fie este inconsecvent, fie are infinite de soluții.Și rămâne doar de aflat.

Începutul soluției este destul de obișnuit - scriem matricea extinsă a sistemului și, folosind transformări elementare, o aducem într-o formă în trepte:

(unu). Pe pasul din stânga sus, trebuie să obținem (+1) sau (-1). Nu există astfel de numere în prima coloană, așa că rearanjarea rândurilor nu va funcționa. Unitatea va trebui organizată independent, iar acest lucru se poate face în mai multe moduri. Așa am făcut. La prima linie adăugăm a treia linie, înmulțită cu (-1).

(2). Acum obținem două zerouri în prima coloană. La a doua linie, adăugați prima linie, înmulțită cu 3. La a treia linie, adăugați prima, înmulțită cu 5.

(3). După ce transformarea este făcută, este întotdeauna recomandabil să vedeți dacă este posibil să simplificați șirurile rezultate? Poate sa. Împărțim a doua linie la 2, obținând în același timp și cea dorită (-1) pe a doua treaptă. Împărțiți a treia linie la (-3).

(4). Adăugați a doua linie la a treia linie. Probabil, toată lumea a acordat atenție liniei proaste, care s-a dovedit ca urmare a transformărilor elementare:

. Este clar că nu poate fi așa.

Într-adevăr, rescriem matricea rezultată

înapoi la sistemul de ecuații liniare:

Dacă în urma transformărilor elementare un şir de formă , Undeλ este un număr diferit de zero, atunci sistemul este inconsecvent (nu are soluții).

Cum să înregistrezi sfârșitul unei sarcini? Trebuie să scrieți fraza:

„În urma transformărilor elementare se obține un șir de formă, unde λ ≠ 0 ". Răspuns: „Sistemul nu are soluții (incoerente).”

Vă rugăm să rețineți că în acest caz nu există o mișcare inversă a algoritmului gaussian, nu există soluții și pur și simplu nu există nimic de găsit.

Exemplul 2

Rezolvați un sistem de ecuații liniare

Acesta este un exemplu de do-it-yourself. Soluție completă și răspuns la sfârșitul lecției.

Din nou, vă reamintim că calea soluției dvs. poate diferi de calea soluției noastre, metoda Gauss nu stabilește un algoritm clar, trebuie să ghiciți singur procedura și acțiunile în fiecare caz.

Încă o caracteristică tehnică a soluției: transformările elementare pot fi oprite O dată, de îndată ce o linie ca , unde λ ≠ 0 . Luați în considerare un exemplu condiționat: să presupunem că după prima transformare obținem o matrice

.

Această matrice nu a fost încă redusă la o formă în trepte, dar nu este nevoie de alte transformări elementare, deoarece a apărut o linie a formei, unde λ ≠ 0 . Ar trebui să se răspundă imediat că sistemul este incompatibil.

Când un sistem de ecuații liniare nu are soluții, acesta este aproape un cadou pentru elev, datorită faptului că se obține o soluție scurtă, uneori literalmente în 2-3 pași. Dar totul în această lume este echilibrat, iar problema în care sistemul are infinit de soluții este doar mai lungă.

Exemplul 3:

Rezolvați un sistem de ecuații liniare

Există 4 ecuații și 4 necunoscute, așa că sistemul poate fie să aibă o singură soluție, fie să nu aibă soluții, fie să aibă infinite de soluții. Oricare ar fi fost, dar metoda Gauss, în orice caz, ne va conduce la răspuns. Aceasta este versatilitatea sa.

Începutul este din nou standard. Scriem matricea extinsă a sistemului și, folosind transformări elementare, o aducem la o formă de pas:

Asta e tot și ți-a fost frică.

(unu). Vă rugăm să rețineți că toate numerele din prima coloană sunt divizibile cu 2, așa că pe treapta din stânga sus ne mulțumim și cu un doi. La a doua linie adăugăm prima linie, înmulțită cu (-4). La a treia linie adăugăm prima linie, înmulțită cu (-2). La a patra linie adăugăm prima linie, înmulțită cu (-1).

Atenţie! Mulți pot fi tentați din a patra linie scădea prima linie. Acest lucru se poate face, dar nu este necesar, experiența arată că probabilitatea unei erori în calcule crește de mai multe ori. Adăugăm doar: la a patra linie adăugăm prima linie, înmulțită cu (-1) - exact!

(2). Ultimele trei rânduri sunt proporționale, două dintre ele pot fi șterse. Aici din nou este necesar să se arate atenție sporită, dar liniile sunt cu adevărat proporționale? Pentru reasigurare, nu va fi de prisos să înmulțiți al doilea rând cu (-1) și să împărțiți al patrulea rând cu 2, rezultând trei rânduri identice. Și numai după aceea eliminați două dintre ele. Ca rezultat al transformărilor elementare, matricea extinsă a sistemului este redusă la o formă în trepte:

Când finalizați o sarcină într-un caiet, este recomandabil să faceți aceleași note în creion pentru claritate.

Rescriem sistemul de ecuații corespunzător:

Singura soluție „obișnuită” a sistemului nu miroase aici. Linie proastă unde λ ≠ 0, de asemenea nu. Prin urmare, acesta este al treilea caz rămas - sistemul are infinite de soluții.

Setul infinit de soluții ale sistemului este scris pe scurt sub forma așa-numitului soluție generală de sistem.

Vom găsi soluția generală a sistemului folosind mișcarea inversă a metodei Gauss. Pentru sistemele de ecuații cu un set infinit de soluții apar concepte noi: „variabile de bază”și "variabile libere". Mai întâi, să definim ce variabile avem de bazăși ce variabile - liber. Nu este necesar să explicăm în detaliu termenii algebrei liniare, este suficient să ne amintim că există astfel variabile de bazăși variabile libere.

Variabilele de bază „stau” întotdeauna strict pe treptele matricei. În acest exemplu, variabilele de bază sunt X 1 și X 3 .

Variabilele gratuite sunt totul rămas variabile care nu au primit un pas. În cazul nostru, sunt două: X 2 și X 4 - variabile libere.

Acum ai nevoie toatevariabile de bază expres numai prinvariabile libere. Mișcarea inversă a algoritmului gaussian funcționează în mod tradițional de jos în sus. Din a doua ecuație a sistemului, exprimăm variabila de bază X 3:

Acum uitați-vă la prima ecuație: . În primul rând, înlocuim expresia găsită în ea:

Rămâne de exprimat variabila de bază X 1 prin variabile libere X 2 și X 4:

Rezultatul este ceea ce aveți nevoie - toate variabile de bază ( X 1 și X 3) exprimat numai prin variabile libere ( X 2 și X 4):

De fapt, soluția generală este gata:

.

Cum să notez soluția generală? În primul rând, variabilele libere sunt scrise în soluția generală „pe cont propriu” și strict la locul lor. În acest caz, variabilele libere X 2 și X 4 trebuie scris în pozițiile a doua și a patra:

.

Expresiile rezultate pentru variabilele de bază și, evident, trebuie scris în prima și a treia poziție:

Din soluția generală a sistemului, se pot găsi infinitate decizii private. E foarte simplu. variabile libere X 2 și X 4 sunt numite astfel pentru că pot fi date orice valori finale. Cele mai populare valori sunt valorile zero, deoarece aceasta este cea mai simplă modalitate de a obține o anumită soluție.

Înlocuind ( X 2 = 0; X 4 = 0) în soluția generală, obținem una dintre soluțiile particulare:

, sau este o soluție particulară corespunzătoare variabilelor libere cu valori ( X 2 = 0; X 4 = 0).

Cei sunt un alt cuplu dulce, hai să înlocuim ( X 2 = 1 și X 4 = 1) în soluția generală:

, adică (-1; 1; 1; 1) este o altă soluție particulară.

Este ușor de observat că sistemul de ecuații are infinit de solutiiîntrucât putem da variabile libere orice valorile.

Fiecare o anumită soluție trebuie să satisfacă Pentru fiecare ecuația sistemului. Aceasta este baza pentru o verificare „rapidă” a corectitudinii soluției. Luați, de exemplu, o anumită soluție (-1; 1; 1; 1) și înlocuiți-o în partea stângă a fiecărei ecuații din sistemul original:

Totul trebuie să vină împreună. Și cu orice soluție specială pe care o obțineți, totul ar trebui să convergă.

Strict vorbind, verificarea unei anumite soluții înșală uneori, adică. o anumită soluție poate satisface fiecare ecuație a sistemului, iar soluția generală în sine este de fapt găsită incorect. Prin urmare, în primul rând, verificarea soluției generale este mai amănunțită și mai fiabilă.

Cum se verifică soluția generală rezultată ?

Nu este dificil, dar necesită o transformare destul de lungă. Trebuie să luăm expresii de bază variabile, în acest caz și , și înlocuiți-le în partea stângă a fiecărei ecuații a sistemului.

În partea stângă a primei ecuații a sistemului:

Se obține partea dreaptă a primei ecuații originale a sistemului.

În partea stângă a celei de-a doua ecuații a sistemului:

Se obține partea dreaptă a celei de-a doua ecuații originale a sistemului.

Și mai departe - în partea stângă a celei de-a treia și a patra ecuații ale sistemului. Această verificare este mai lungă, dar garantează corectitudinea 100% a soluției globale. În plus, în unele sarcini este necesară verificarea soluției generale.

Exemplul 4:

Rezolvați sistemul folosind metoda Gauss. Găsiți o soluție generală și două private. Verificați soluția generală.

Acesta este un exemplu de do-it-yourself. Aici, apropo, din nou, numărul de ecuații este mai mic decât numărul de necunoscute, ceea ce înseamnă că este imediat clar că sistemul fie va fi inconsecvent, fie va avea un număr infinit de soluții.

Exemplul 5:

Rezolvați un sistem de ecuații liniare. Dacă sistemul are infinit de soluții, găsiți două soluții particulare și verificați soluția generală

Decizie: Să notăm matricea extinsă a sistemului și, cu ajutorul transformărilor elementare, să o aducem într-o formă în trepte:

(unu). Adăugați prima linie la a doua linie. La a treia linie adăugăm prima linie înmulțită cu 2. La a patra linie adăugăm prima linie înmulțită cu 3.

(2). La a treia linie adăugăm a doua linie, înmulțită cu (-5). La a patra linie adăugăm a doua linie, înmulțită cu (-7).

(3). Al treilea și al patrulea rând sunt aceleași, ștergem unul dintre ele. Iată o asemenea frumusețe:

Variabilele de bază stau pe trepte, deci sunt variabile de bază.

Există o singură variabilă liberă, care nu a primit un pas: .

(4). Mișcare inversă. Exprimăm variabilele de bază în termeni de variabilă liberă:

Din a treia ecuație:

Luați în considerare a doua ecuație și înlocuiți în ea expresia găsită:

, , ,

Luați în considerare prima ecuație și înlocuiți expresiile găsite și în ea:

Astfel, soluția generală cu o variabilă liberă X 4:

Încă o dată, cum s-a întâmplat? variabilă liberă X 4 stă singur pe locul al patrulea de drept. Expresiile rezultate pentru variabilele de bază , , sunt de asemenea la locul lor.

Să verificăm imediat soluția generală.

Înlocuim variabilele de bază , , în partea stângă a fiecărei ecuații a sistemului:

Se obțin părțile din dreapta corespunzătoare ale ecuațiilor, astfel se găsește soluția generală corectă.

Acum din soluția generală găsită obținem două soluții particulare. Toate variabilele sunt exprimate aici printr-o singură variabila liberă x 4 . Nu trebuie să-ți rupi capul.

Lasa X 4 = 0, atunci este prima soluție particulară.

Lasa X 4 = 1, atunci este o altă soluție specială.

Răspuns: Decizie comună: . Soluții private:

și .

Exemplul 6:

Aflați soluția generală a sistemului de ecuații liniare.

Am verificat deja soluția generală, răspunsul poate fi de încredere. Cursul dumneavoastră de acțiune poate diferi de cursul nostru de acțiune. Principalul lucru este că soluțiile generale coincid. Probabil, mulți au observat un moment neplăcut în soluții: de foarte multe ori, în cursul invers al metodei Gauss, a trebuit să ne luptăm cu fracțiile obișnuite. În practică, acest lucru este adevărat, cazurile în care nu există fracții sunt mult mai puțin frecvente. Fii pregătit mental și, cel mai important, tehnic.

Să ne oprim asupra caracteristicilor soluției care nu au fost găsite în exemplele rezolvate. Soluția generală a sistemului poate include uneori o constantă (sau constante).

De exemplu, soluția generală: . Aici una dintre variabilele de bază este egală cu un număr constant: . Nu este nimic exotic în asta, se întâmplă. Evident, în acest caz, orice soluție anume va conține un cinci în prima poziție.

Rareori, dar există sisteme în care numărul de ecuații mai multa cantitate variabile. Cu toate acestea, metoda Gauss funcționează în cele mai severe condiții. Ar trebui să aduceți calm matricea extinsă a sistemului într-o formă în trepte conform algoritmului standard. Un astfel de sistem poate fi inconsecvent, poate avea infinit de soluții și, în mod ciudat, poate avea o soluție unică.

Repetăm ​​în sfatul nostru - pentru a vă simți confortabil atunci când rezolvați un sistem folosind metoda Gauss, ar trebui să vă umpleți mâna și să rezolvați cel puțin o duzină de sisteme.

Solutii si raspunsuri:

Exemplul 2:

Decizie:Să notăm matricea extinsă a sistemului și, folosind transformări elementare, să o aducem într-o formă în trepte.

Transformări elementare efectuate:

(1) Prima și a treia linie au fost schimbate.

(2) Prima linie a fost adăugată la a doua linie, înmulțită cu (-6). Prima linie a fost adăugată la a treia linie, înmulțită cu (-7).

(3) A doua linie a fost adăugată la a treia linie, înmulțită cu (-1).

Ca rezultat al transformărilor elementare, un șir de formă, Unde λ ≠ 0 .Deci sistemul este inconsecvent.Răspuns: nu exista solutii.

Exemplul 4:

Decizie:Scriem matricea extinsă a sistemului și, folosind transformări elementare, o aducem la o formă de pas:

Conversii efectuate:

(unu). Prima linie înmulțită cu 2 a fost adăugată la a doua linie, prima linie înmulțită cu 3 a fost adăugată la a treia linie.

Nu există nicio unitate pentru a doua etapă , iar transformarea (2) are ca scop obținerea acesteia.

(2). A doua linie a fost adăugată la a treia linie, înmulțită cu -3.

(3). Al doilea și al treilea rând au fost schimbate (-1 rezultat a fost mutat la a doua etapă)

(4). A doua linie a fost adăugată la a treia linie, înmulțită cu 3.

(5). Semnul primelor două linii a fost schimbat (înmulțit cu -1), a treia linie a fost împărțită la 14.

Mișcare inversă:

(unu). Aici sunt variabilele de bază (care sunt pe trepte) și sunt variabile libere (care nu au primit pasul).

(2). Exprimăm variabilele de bază în termeni de variabile libere:

Din a treia ecuație: .

(3). Luați în considerare a doua ecuație:, soluții speciale:

Răspuns: Decizie comună:

Numere complexe

În această secțiune, vom introduce conceptul număr complex, considera algebric, trigonometricși arata forma număr complex. Și, de asemenea, învățați cum să efectuați operații cu numere complexe: adunarea, scăderea, înmulțirea, împărțirea, exponențiarea și extragerea rădăcinilor.

Pentru a stăpâni numerele complexe, nu aveți nevoie de cunoștințe speciale din cursul de matematică superioară, iar materialul este disponibil chiar și pentru un școlar. Este suficient să puteți efectua operații algebrice cu numere „obișnuite” și să vă amintiți trigonometria.

În primul rând, să ne amintim de numerele „obișnuite”. În matematică se numesc set de numere realeși sunt marcate cu litera R, sau R (gros). Toate numerele reale se află pe linia numerică familiară:

Compania numerelor reale este foarte colorată - aici sunt numere întregi, fracții și numere iraționale. În acest caz, fiecare punct al axei numerice corespunde în mod necesar unui număr real.

§unu. Sisteme de ecuații liniare.

sistem de vizualizare

numit sistem m ecuații liniare cu n necunoscut.

Aici
- necunoscut, - coeficienți pentru necunoscute,
- membri liberi ai ecuațiilor.

Dacă toți termenii liberi ai ecuațiilor sunt egali cu zero, sistemul este numit omogen.Decizie sistem se numește un set de numere
, atunci când le înlocuiesc în sistem în loc de necunoscute, toate ecuațiile se transformă în identități. Sistemul este numit comun daca are cel putin o solutie. Se numește un sistem comun cu o soluție unică anumit. Cele două sisteme sunt numite echivalent dacă mulţimile soluţiilor lor sunt aceleaşi.

Sistemul (1) poate fi reprezentat sub formă de matrice folosind ecuația

(2)

.

§2. Compatibilitatea sistemelor de ecuații liniare.

Numim matricea extinsă a sistemului (1) matrice

Kronecker - teorema Capelli. Sistemul (1) este consecvent dacă și numai dacă rangul matricei sistemului este egal cu rangul matricei extinse:

.

§3. Soluție de sistemen ecuații liniare cun necunoscut.

Luați în considerare un sistem neomogen n ecuații liniare cu n necunoscut:

(3)

teorema lui Cramer.Dacă principalul determinant al sistemului (3)
, atunci sistemul are o soluție unică determinată de formulele:

acestea.
,

Unde - determinantul obtinut din determinant înlocuire a coloana la coloana membrilor liberi.

În cazul în care un
, și cel puțin unul dintre ≠0, atunci sistemul nu are soluții.

În cazul în care un
, atunci sistemul are infinite de soluții.

Sistemul (3) poate fi rezolvat folosind notația sa matriceală (2). Dacă rangul matricei DAR egală n, adică
, apoi matricea DAR are invers
. Înmulțirea ecuației matriceale
la matrice
în stânga, obținem:

.

Ultima egalitate exprimă o modalitate de a rezolva sisteme de ecuații liniare folosind o matrice inversă.

Exemplu. Rezolvați sistemul de ecuații folosind matricea inversă.

Decizie. Matrice
nedegenerat, deoarece
, deci există o matrice inversă. Să calculăm matricea inversă:
.

,

Exercițiu. Rezolvați sistemul prin metoda lui Cramer.

§4. Rezolvarea sistemelor arbitrare de ecuații liniare.

Să fie dat un sistem neomogen de ecuații liniare de forma (1).

Să presupunem că sistemul este consistent, adică condiția teoremei Kronecker-Capelli este îndeplinită:
. Dacă rangul matricei
(la numărul de necunoscute), atunci sistemul are o soluție unică. În cazul în care un
, atunci sistemul are infinite de soluții. Să explicăm.

Fie rangul matricei r(A)= r< n. În măsura în care
, atunci există o ordine minoră diferită de zero r. Să-i spunem minorul de bază. Necunoscutele ai căror coeficienți formează minorul de bază se numesc variabile de bază. Necunoscutele rămase se numesc variabile libere. Rearanjam ecuațiile și renumerăm variabilele astfel încât acest minor să fie situat în colțul din stânga sus al matricei sistemului:

.

Primul r rândurile sunt liniar independente, restul sunt exprimate prin ele. Prin urmare, aceste linii (ecuații) pot fi aruncate. Primim:

Să dăm variabilelor libere valori numerice arbitrare: . Lăsăm doar variabilele de bază în partea stângă și mutam variabilele libere în partea dreaptă.

Am un sistem r ecuații liniare cu r necunoscut, al cărui determinant este diferit de 0. Are o soluție unică.

Acest sistem se numește soluția generală a sistemului de ecuații liniare (1). În caz contrar: se numește exprimarea variabilelor de bază în termeni de cele libere solutie comuna sisteme. Din el puteți obține un număr infinit decizii private, dând variabilelor libere valori arbitrare. Se numește o soluție particulară obținută dintr-una generală la valori zero ale variabilelor libere solutie de baza. Numărul de soluții de bază diferite nu depășește
. Se numește o soluție de bază cu componente nenegative pivot soluție de sistem.

Exemplu.

,r=2.

Variabile
- de bază,
- liber.

Să adăugăm ecuațiile; expres
prin
:

- decizie comună.

- solutie privata
.

- soluție de bază, de bază.

§5. metoda Gauss.

Metoda Gauss este o metodă universală pentru studierea și rezolvarea sistemelor arbitrare de ecuații liniare. Constă în aducerea sistemului într-o formă diagonală (sau triunghiulară) prin eliminarea secvenţială a necunoscutelor folosind transformări elementare care nu încalcă echivalenţa sistemelor. O variabilă este considerată exclusă dacă este conținută într-o singură ecuație a sistemului cu un coeficient de 1.

Transformări elementare sistemele sunt:

Înmulțirea unei ecuații cu un număr diferit de zero;

Adunarea unei ecuații înmulțită cu orice număr cu o altă ecuație;

Rearanjarea ecuațiilor;

Eliminarea ecuației 0 = 0.

Transformările elementare pot fi efectuate nu pe ecuații, ci pe matrici extinse ale sistemelor echivalente rezultate.

Exemplu.

Decizie. Scriem matricea extinsă a sistemului:

.

Efectuând transformări elementare, aducem partea stângă a matricei la forma unitară: vom crea unități pe diagonala principală și zerouri în afara acesteia.

cometariu. Dacă, la efectuarea transformărilor elementare, o ecuație de forma 0 = a(Unde la0), atunci sistemul este inconsecvent.

Rezolvarea sistemelor de ecuații liniare prin metoda eliminării succesive a necunoscutelor poate fi formalizată sub forma Mese.

Coloana din stânga a tabelului conține informații despre variabilele excluse (de bază). Coloanele rămase conțin coeficienții necunoscutelor și termenii liberi ai ecuațiilor.

Matricea extinsă a sistemului este scrisă în tabelul sursă. Apoi, treceți la implementarea transformărilor Jordan:

1. Alegeți o variabilă , care va deveni baza. Coloana corespunzătoare se numește coloana cheie. Alegeti o ecuatie in care va ramane aceasta variabila, fiind exclusa din alte ecuatii. Rândul de tabel corespunzător se numește rândul de chei. Coeficient , care se află la intersecția rândului de chei și a coloanei cheie, se numește cheie.

2. Elementele șirului de cheie sunt împărțite la elementul cheie.

3. Coloana cheie este umplută cu zerouri.

4. Elementele rămase se calculează după regula dreptunghiului. Ele alcătuiesc un dreptunghi, la vârfuri opuse dintre care se află un element cheie și un element recalculat; din produsul elementelor de pe diagonala dreptunghiului cu elementul cheie se scade produsul elementelor altei diagonale, diferența rezultată se împarte la elementul cheie.

Exemplu. Aflați soluția generală și soluția de bază a sistemului de ecuații:

Decizie.

Solutia generala a sistemului:

Soluție de bază:
.

O transformare de substituție unică permite trecerea de la o bază a sistemului la alta: în loc de una dintre variabilele principale, se introduce în bază una dintre variabilele libere. Pentru a face acest lucru, un element cheie este selectat în coloana variabilă liberă și transformările sunt efectuate conform algoritmului de mai sus.

§6. Găsirea soluțiilor de asistență

Soluția de referință a unui sistem de ecuații liniare este o soluție de bază care nu conține componente negative.

Soluțiile suport ale sistemului se găsesc prin metoda Gauss în următoarele condiții.

1. În sistemul original, toți termenii liberi trebuie să fie nenegativi:
.

2. Elementul cheie este ales dintre coeficienții pozitivi.

3. Dacă variabila introdusă în bază are mai mulți coeficienți pozitivi, atunci șirul cheie este cel în care raportul dintre termenul liber și coeficientul pozitiv este cel mai mic.

Observație 1. Dacă, în procesul de eliminare a necunoscutelor, apare o ecuație în care toți coeficienții sunt nepozitivi, iar termenul liber
, atunci sistemul nu are soluții nenegative.

Observația 2. Dacă nu există un singur element pozitiv în coloanele de coeficienți pentru variabilele libere, atunci trecerea la o altă soluție de referință este imposibilă.

Exemplu.

Cu toate acestea, încă două cazuri sunt larg răspândite în practică:

– Sistemul este inconsecvent (nu are soluții);
Sistemul este consistent și are infinite de soluții.

Notă : termenul „coerență” implică faptul că sistemul are cel puțin o soluție. Într-o serie de sarcini, este necesar să se examineze preliminar sistemul pentru compatibilitate, cum se face acest lucru - vezi articolul despre rangul matricei.

Pentru aceste sisteme, se utilizează cea mai universală dintre toate metodele de soluție - metoda Gauss. De fapt, metoda „școală” va duce și ea la răspuns, dar în matematica superioară se obișnuiește să se folosească metoda gaussiană a eliminării succesive a necunoscutelor. Cei care nu sunt familiarizați cu algoritmul metodei Gauss, vă rugăm să studiați mai întâi lecția metoda gauss pentru manechine.

Transformările matriceale elementare în sine sunt exact aceleași, diferența va fi în finalul soluției. Mai întâi, luați în considerare câteva exemple în care sistemul nu are soluții (incoerente).

Exemplul 1

Ce vă atrage imediat atenția în acest sistem? Numărul de ecuații este mai mic decât numărul de variabile. Dacă numărul de ecuații este mai mic decât numărul de variabile, atunci putem spune imediat că sistemul fie este inconsecvent, fie are infinite de soluții. Și rămâne doar de aflat.

Începutul soluției este destul de obișnuit - scriem matricea extinsă a sistemului și, folosind transformări elementare, o aducem într-o formă în trepte:

(1) Pe pasul din stânga sus, trebuie să obținem +1 sau -1. Nu există astfel de numere în prima coloană, așa că rearanjarea rândurilor nu va funcționa. Unitatea va trebui organizată independent, iar acest lucru se poate face în mai multe moduri. Am făcut asta: la prima linie, adăugați a treia linie, înmulțită cu -1.

(2) Acum obținem două zerouri în prima coloană. La a doua linie adăugăm prima linie înmulțită cu 3. La a treia linie adăugăm prima linie înmulțită cu 5.

(3) După ce transformarea este făcută, este întotdeauna recomandabil să vedem dacă este posibilă simplificarea șirurilor rezultate? Poate sa. Împărțim a doua linie la 2, obținând în același timp -1 dorit la a doua treaptă. Împărțiți a treia linie la -3.

(4) Adăugați a doua linie la a treia linie.

Probabil, toată lumea a acordat atenție liniei proaste, care s-a dovedit ca urmare a transformărilor elementare: . Este clar că nu poate fi așa. Într-adevăr, rescriem matricea rezultată înapoi la sistemul de ecuații liniare:

Dacă, în urma transformărilor elementare, se obține un șir de formă, unde este un număr diferit de zero, atunci sistemul este inconsecvent (nu are soluții).

Cum să înregistrezi sfârșitul unei sarcini? Să desenăm cu cretă albă: „în urma transformărilor elementare se obține o linie a formei, unde” și să dăm răspunsul: sistemul nu are soluții (inconsecvente).

Dacă, conform condiției, este necesară EXPLORAREA sistemului pentru compatibilitate, atunci este necesară emiterea unei soluții într-un stil mai solid care implică conceptul rangul matricei și teorema Kronecker-Capelli.

Vă rugăm să rețineți că aici nu există o mișcare inversă a algoritmului gaussian - nu există soluții și pur și simplu nu există nimic de găsit.

Exemplul 2

Rezolvați un sistem de ecuații liniare

Acesta este un exemplu de do-it-yourself. Soluție completă și răspuns la sfârșitul lecției. Din nou, vă reamintesc că calea soluției dvs. poate diferi de calea soluției mele, algoritmul gaussian nu are o „rigiditate” puternică.

Încă o caracteristică tehnică a soluției: transformările elementare pot fi oprite O dată, de îndată ce o linie ca , unde . Luați în considerare un exemplu condiționat: să presupunem că după prima transformare obținem o matrice . Matricea nu a fost încă redusă la o formă în trepte, dar nu este nevoie de alte transformări elementare, deoarece a apărut o linie a formei, unde . Ar trebui să se răspundă imediat că sistemul este incompatibil.

Când un sistem de ecuații liniare nu are soluții, acesta este aproape un cadou, deoarece se obține o soluție scurtă, uneori literalmente în 2-3 pași.

Dar totul în această lume este echilibrat, iar problema în care sistemul are infinit de soluții este doar mai lungă.

Exemplul 3

Rezolvați un sistem de ecuații liniare

Există 4 ecuații și 4 necunoscute, așa că sistemul poate fie să aibă o singură soluție, fie să nu aibă soluții, fie să aibă infinite de soluții. Oricare ar fi fost, dar metoda Gauss, în orice caz, ne va conduce la răspuns. Aici constă versatilitatea sa.

Începutul este din nou standard. Scriem matricea extinsă a sistemului și, folosind transformări elementare, o aducem la o formă de pas:

Asta e tot și ți-a fost frică.

(1) Rețineți că toate numerele din prima coloană sunt divizibile cu 2, deci un 2 este bine pe treapta din stânga sus. La a doua linie adăugăm prima linie, înmulțită cu -4. La a treia linie adăugăm prima linie, înmulțită cu -2. La a patra linie adăugăm prima linie, înmulțită cu -1.

Atenţie! Mulți pot fi tentați din a patra linie scădea prima linie. Acest lucru se poate face, dar nu este necesar, experiența arată că probabilitatea unei erori în calcule crește de mai multe ori. Doar adunați: la a patra linie, adăugați prima linie, înmulțită cu -1 - exact!

(2) Ultimele trei rânduri sunt proporționale, două dintre ele pot fi șterse.

Aici din nou este necesar să se arate atenție sporită, dar liniile sunt cu adevărat proporționale? Pentru reasigurare (mai ales pentru un ceainic), nu ar fi de prisos să înmulțim al doilea rând cu -1 și să împărțim al patrulea rând cu 2, rezultând trei rânduri identice. Și numai după aceea eliminați două dintre ele.

Ca rezultat al transformărilor elementare, matricea extinsă a sistemului este redusă la o formă în trepte:

Când finalizați o sarcină într-un caiet, este recomandabil să faceți aceleași note în creion pentru claritate.

Rescriem sistemul de ecuații corespunzător:

Singura soluție „obișnuită” a sistemului nu miroase aici. Nu există nici o linie proastă. Aceasta înseamnă că acesta este al treilea caz rămas - sistemul are infinite de soluții. Uneori, prin condiție, este necesar să se investigheze compatibilitatea sistemului (adică, pentru a demonstra că există o soluție), puteți citi despre acest lucru în ultimul paragraf al articolului Cum se află rangul unei matrice? Dar deocamdată, să dezvăluim elementele de bază:

Setul infinit de soluții ale sistemului este scris pe scurt sub forma așa-numitului soluție generală de sistem .

Vom găsi soluția generală a sistemului folosind mișcarea inversă a metodei Gauss.

Mai întâi trebuie să stabilim ce variabile avem de bază, și care variabile liber. Nu este necesar să vă deranjați cu termenii algebrei liniare, este suficient să vă amintiți că există așa variabile de bazăși variabile libere.

Variabilele de bază „stau” întotdeauna strict pe treptele matricei.
În acest exemplu, variabilele de bază sunt și

Variabilele gratuite sunt totul rămas variabile care nu au primit un pas. În cazul nostru, sunt două dintre ele: – variabile libere.

Acum ai nevoie toate variabile de bază expres numai prin variabile libere.

Mișcarea inversă a algoritmului gaussian funcționează în mod tradițional de jos în sus.
Din a doua ecuație a sistemului, exprimăm variabila de bază:

Acum uitați-vă la prima ecuație: . În primul rând, înlocuim expresia găsită în ea:

Rămâne să exprimăm variabila de bază în termeni de variabile libere:

Rezultatul este ceea ce aveți nevoie - toate sunt exprimate variabilele de bază ( și ). numai prin variabile libere:

De fapt, soluția generală este gata:

Cum să notez soluția generală?
Variabilele libere sunt scrise în soluția generală „pe cont propriu” și strict la locul lor. În acest caz, variabilele libere ar trebui scrise în pozițiile a doua și a patra:
.

Expresiile rezultate pentru variabilele de bază și, evident, trebuie scris în prima și a treia poziție:

Oferirea de variabile libere valori arbitrare, sunt infinite decizii private. Cele mai populare valori sunt zerourile, deoarece soluția particulară este cea mai ușor de obținut. Înlocuiți în soluția generală:

este o decizie privată.

Cei sunt un alt cuplu dulce, să substituim soluția generală:

este o altă soluție specială.

Este ușor de observat că sistemul de ecuații are infinit de solutii(deoarece putem da variabile libere orice valori)

Fiecare o anumită soluție trebuie să satisfacă Pentru fiecare ecuația sistemului. Aceasta este baza pentru o verificare „rapidă” a corectitudinii soluției. Luați, de exemplu, o anumită soluție și înlocuiți-o în partea stângă a fiecărei ecuații din sistemul original:

Totul trebuie să vină împreună. Și cu orice soluție specială pe care o obțineți, totul ar trebui să convergă.

Dar, strict vorbind, verificarea unei anumite soluții înșală uneori; o anumită soluție poate satisface fiecare ecuație a sistemului, iar soluția generală în sine este de fapt găsită incorect.

Prin urmare, verificarea soluției generale este mai amănunțită și mai fiabilă. Cum se verifică soluția generală rezultată ?

Este ușor, dar destul de plictisitor. Trebuie să luăm expresii de bază variabile, în acest caz și , și înlocuiți-le în partea stângă a fiecărei ecuații a sistemului.

În partea stângă a primei ecuații a sistemului:

În partea stângă a celei de-a doua ecuații a sistemului:


Se obține partea dreaptă a ecuației inițiale.

Exemplul 4

Rezolvați sistemul folosind metoda Gauss. Găsiți o soluție generală și două private. Verificați soluția generală.

Acesta este un exemplu de do-it-yourself. Aici, apropo, din nou, numărul de ecuații este mai mic decât numărul de necunoscute, ceea ce înseamnă că este imediat clar că sistemul fie va fi inconsecvent, fie va avea un număr infinit de soluții. Ce este important în procesul decizional în sine? Atenție și din nou atenție. Soluție completă și răspuns la sfârșitul lecției.

Și încă câteva exemple pentru a consolida materialul

Exemplul 5

Rezolvați un sistem de ecuații liniare. Dacă sistemul are infinit de soluții, găsiți două soluții particulare și verificați soluția generală

Decizie: Să scriem matricea augmentată a sistemului și cu ajutorul transformărilor elementare o aducem la forma pasului:

(1) Adăugați prima linie la a doua linie. La a treia linie adăugăm prima linie înmulțită cu 2. La a patra linie adăugăm prima linie înmulțită cu 3.
(2) La a treia linie, se adaugă a doua linie, înmulțită cu -5. La a patra linie adăugăm a doua linie, înmulțită cu -7.
(3) Al treilea și al patrulea rând sunt aceleași, ștergem unul dintre ele.

Iată o asemenea frumusețe:

Variabilele de bază stau pe trepte, deci sunt variabile de bază.
Există o singură variabilă liberă, care nu a primit un pas:

Mișcare inversă:
Exprimăm variabilele de bază în termeni de variabilă liberă:
Din a treia ecuație:

Luați în considerare a doua ecuație și înlocuiți în ea expresia găsită:

Luați în considerare prima ecuație și înlocuiți expresiile găsite și în ea:

Da, un calculator care numără fracțiile obișnuite este încă convenabil.

Deci solutia generala este:

Încă o dată, cum s-a întâmplat? Variabila liberă se află singură pe locul al patrulea de drept. Expresiile rezultate pentru variabilele de bază și-au ocupat de asemenea locurile ordinale.

Să verificăm imediat soluția generală. Lucrează pentru negri, dar am făcut-o deja, așa că prinde =)

Înlocuim trei eroi , , în partea stângă a fiecărei ecuații a sistemului:

Se obțin părțile din dreapta corespunzătoare ale ecuațiilor, astfel încât soluția generală este găsită corect.

Acum din soluția generală găsită obținem două soluții particulare. Bucătarul de aici este singura variabilă liberă. Nu trebuie să-ți rupi capul.

Lasă atunci este o decizie privată.
Lasă atunci este o altă soluție specială.

Răspuns: Decizie comună: , soluții speciale: , .

Nu ar fi trebuit să-mi amintesc despre negri aici... ... pentru că mi-au venit în minte tot felul de motive sadice și mi-am amintit de binecunoscuta fotozhaba, în care membrii Ku Klux Klans în salopete albe aleargă peste teren după un fotbal negru. jucător. Stau si zambesc linistit. Știi cât de distrag...

O mulțime de matematică este dăunătoare, deci un exemplu final similar pentru o soluție independentă.

Exemplul 6

Aflați soluția generală a sistemului de ecuații liniare.

Am verificat deja soluția generală, răspunsul poate fi de încredere. Soluția dvs. poate diferi de soluția mea, principalul lucru este că soluțiile generale se potrivesc.

Probabil, mulți au observat un moment neplăcut în soluții: de foarte multe ori, în cursul invers al metodei Gauss, a trebuit să ne luptăm cu fracțiile obișnuite. În practică, acest lucru este adevărat, cazurile în care nu există fracții sunt mult mai puțin frecvente. Fii pregătit mental și, cel mai important, tehnic.

Mă voi opri asupra unor caracteristici ale soluției care nu au fost găsite în exemplele rezolvate.

Soluția generală a sistemului poate include uneori o constantă (sau constante), de exemplu: . Aici una dintre variabilele de bază este egală cu un număr constant: . Nu este nimic exotic în asta, se întâmplă. Evident, în acest caz, orice soluție anume va conține un cinci în prima poziție.

Rareori, dar există sisteme în care numărul de ecuații este mai mare decât numărul de variabile. Metoda Gaussiană funcționează în cele mai severe condiții; ar trebui să aducem calm matricea extinsă a sistemului într-o formă în trepte conform algoritmului standard. Un astfel de sistem poate fi inconsecvent, poate avea infinit de soluții și, în mod ciudat, poate avea o soluție unică.