Să facem o serie de observații explicative despre specificarea unei funcții printr-o expresie sau formulă analitică, care joacă un rol extrem de important în analiza matematică.

1° În primul rând, ce operațiuni sau acțiuni analitice pot fi incluse în aceste formule? În primul rând, aici se înțeleg toate operațiile studiate în algebră și trigonometrie elementară: operații aritmetice, exponențiere la o putere (și extragerea unei rădăcini), logaritm, trecerea de la unghiuri la mărimile lor trigonometrice și invers [vezi. sub 48 - 51]. Totuși, și este important de subliniat că, pe măsură ce se dezvoltă cunoștințele noastre de analiză, la numărul lor se vor adăuga și alte operații, în primul rând, trecerea la limită, cu care cititorul este deja familiarizat din capitolul I.

Astfel, întregul conținut al termenului „expresie analitică” sau „formulă” va fi dezvăluit doar treptat.

2° A doua observație se referă la domeniul de definire a unei funcții printr-o expresie sau formulă analitică.

Fiecare expresie analitică care conține un argument x are, ca să spunem așa, o zonă naturală de aplicare: este mulțimea tuturor acelor valori ale lui x pentru care își păstrează un sens, adică are o valoare bine definită, finită, valoare reala. Să explicăm acest lucru cu exemple simple.

Deci, pentru o expresie, o astfel de zonă va fi întregul set de numere reale. Pentru o expresie, această zonă va fi redusă la un interval închis dincolo de care valoarea sa încetează să mai fie reală. Dimpotrivă, expresia va trebui să includă un decalaj deschis ca sfera sa naturală, deoarece la capete numitorul său devine 0. Uneori, intervalul de valori pentru care expresia păstrează semnificația constă în goluri împrăștiate: pentru acestea vor exista goluri pentru - goluri etc.

Ca exemplu final, luați în considerare suma unei progresii geometrice infinite

Dacă atunci, după cum știm, această limită există și are o valoare de . Pentru , limita fie este egală, fie nu există deloc. Astfel, pentru expresia analitică de mai sus, domeniul natural va fi intervalul deschis

În prezentarea următoare, va trebui să luăm în considerare atât expresii analitice mai complexe, cât și mai generale și vom studia de mai multe ori proprietățile funcțiilor date de o expresie similară în întreaga regiune în care aceasta își păstrează sensul, adică studiul aparatul analitic propriu-zis.

Este însă posibilă și o altă stare de fapt, asupra căreia considerăm că este necesar să atragem atenția cititorului în prealabil. Să ne imaginăm că o anumită întrebare, în care variabila x este limitată în esență la intervalul lui X, a condus la luarea în considerare a unei funcții care admite o expresie analitică. Deși se poate întâmpla ca această expresie să aibă sens în afara regiunii X, este, desigur, imposibil să o depășim. Aici expresia analitică joacă un rol subordonat, auxiliar.

De exemplu, dacă, investigând căderea liberă a unui punct greu de la o înălțime deasupra suprafeței pământului, recurgem la formula

Ar fi absurd să luăm în considerare valori negative ale lui t sau valori mai mari decât pentru, așa cum este ușor de observat, la , punctul va cădea deja la pământ. Și asta în ciuda faptului că expresia în sine - își păstrează sensul pentru tot ceea ce este real.

3° Se poate întâmpla ca o funcție să nu fie definită prin aceeași formulă pentru toate valorile argumentului, ci pentru unii printr-o formulă și pentru alții printr-o alta. Un exemplu de astfel de funcție între ele este funcția definită de următoarele trei formule:

si in sfarsit daca .

Menționăm și funcția Dirichlet (P. G. Lejeune-Dinchlet), care se definește astfel:

În sfârșit, împreună cu Kronecker (L. Kroneckcf) vom lua în considerare funcția, pe care el a numit-o „signum” și notat cu

Diverse moduri de setare a unei funcții Analitice, grafice, tabelare - cele mai simple și, prin urmare, cele mai populare moduri de setare a unei funcții, pentru nevoile noastre aceste metode sunt destul de suficiente. Tabel grafic analitic De fapt, în matematică există destul de multe moduri diferite de a specifica o funcție, iar una dintre ele este verbală, care este folosită în situații foarte ciudate.

Mod verbal de precizare a unei funcții O funcție poate fi specificată și verbal, adică descriptiv. De exemplu, așa-numita funcție Dirichlet este definită după cum urmează: funcția y este egală cu 0 pentru toate valorile raționale și 1 pentru toate valorile iraționale ale argumentului x. O astfel de funcție nu poate fi definită de un tabel, deoarece este definită pe întreaga axă a numerelor și setul de valori pentru argumentul său este infinit. Grafic, nici această funcție nu poate fi definită. Cu toate acestea, a fost găsită o expresie analitică pentru această funcție, dar este atât de complicată încât nu are valoare practică. Metoda verbală oferă o definiție scurtă și clară a acesteia.

Exemplul 1 Funcția y = f (x) este definită pe mulțimea tuturor numerelor nenegative folosind următoarea regulă: fiecărui număr x 0 i se atribuie prima zecimală în reprezentarea zecimală a numărului x. Dacă, de exemplu, x \u003d 2,534, atunci f (x) \u003d 5 (prima zecimală este numărul 5); dacă x = 13,002, atunci f(x) = 0; dacă x \u003d 2/3, atunci, scriind 2/3 ca o fracție zecimală infinită 0,6666 ..., găsim f (x) \u003d 6. Și care este valoarea lui f (15)? Este egal cu 0, deoarece 15 = 15.000... și vedem că prima zecimală după virgulă este 0 (de fapt, egalitatea 15 = 14.999... este adevărată, dar matematicienii au fost de acord să nu ia în considerare fracțiile zecimale periodice infinite cu un perioada de 9).

Orice număr nenegativ x poate fi scris ca o fracție zecimală (finită sau infinită) și, prin urmare, pentru fiecare valoare a lui x puteți găsi un anumit număr de valori ale primei zecimale, așa că putem vorbi despre o funcție, deși oarecum neobișnuită. D (f) = . = 2 [" title="(!LANG: O funcție care este definită de condițiile: f (x) este un număr întreg; f (x) x; x; f + 1 > x,x, partea întreagă a numărului se numește parte întreagă a numărului.D (f) = (-;+), E (f) = Z (mulțime de numere întregi) Pentru partea întreagă a numărului x, folosiți notația [ x ].= 2 [" class="link_thumb"> 7 !} O funcție care este determinată de condițiile: f (x) este un număr întreg; f(x)x;x; f + 1 > x,x, partea întreagă a numărului se numește partea întreagă a numărului. D (f) \u003d (-;+), E (f) \u003d Z (mulțime de numere întregi) Pentru partea întreagă a numărului x, se folosește notația [ x ]. = 2 = 47 [-0,23] = - 1 x,x, partea întreagă a numărului se numește partea întreagă a numărului. D (f) \u003d (-;+), E (f) \u003d Z (mulțime de numere întregi) Pentru partea întreagă a numărului x, se folosește notația [ x ]. \u003d 2 ["\u003e x, x, partea întreagă a numărului se numește partea întreagă a numărului. D (f) \u003d (-; +), E (f) \u003d Z (set de numere întregi) Pentru partea întreagă a numărului x, este utilizată notația [x]. \u003d 2 \u003d 47 [ - 0,23] \u003d - 1 "\u003e x, x, partea întreagă a numărului se numește partea întreagă a numarul. D (f) \u003d (-;+), E (f) \u003d Z (mulțime de numere întregi) Pentru partea întreagă a numărului x, se folosește notația [ x ]. = 2 [" title="(!LANG: O funcție care este definită de condițiile: f (x) este un număr întreg; f (x) x; x; f + 1 > x,x, partea întreagă a numărului se numește parte întreagă a numărului.D (f) = (-;+), E (f) = Z (mulțime de numere întregi) Pentru partea întreagă a numărului x, folosiți notația [ x ].= 2 ["> title="O funcție care este determinată de condițiile: f (x) este un număr întreg; f(x)x;x; f + 1 > x,x, partea întreagă a numărului se numește partea întreagă a numărului. D (f) \u003d (-;+), E (f) \u003d Z (mulțime de numere întregi) Pentru partea întreagă a numărului x, se folosește notația [ x ]. = 2["> !}

Dintre toate metodele de mai sus de specificare a unei funcții, metoda analitică oferă cele mai mari oportunități de utilizare a aparatului de analiză matematică, iar metoda grafică are cea mai mare claritate. De aceea, analiza matematică se bazează pe o sinteză profundă a metodelor analitice și geometrice. Studiul funcțiilor date analitic este mult mai ușor și devine clar dacă luăm în considerare graficele acestor funcții în paralel.

X y=x

Mare matematician - Dirichlet In profesor la Berlin, din 1855 Universitatea Göttingen. Principalele lucrări despre teoria numerelor și analiza matematică. În domeniul analizei matematice, Dirichlet a formulat și studiat pentru prima dată cu acuratețe conceptul de convergență condiționată a unei serii, a stabilit un criteriu pentru convergența unei serii (așa-numitul criteriu Dirichlet, 1862) și (1829) a dat o dovadă riguroasă a posibilității de a extinde o funcție într-o serie Fourier având un număr finit de maxime și minime. Lucrări semnificative ale lui Dirichlet sunt dedicate mecanicii și fizicii matematice (principiul lui Dirichlet în teoria funcției armonice). Dirichlet Peter Gustav Lejeune () matematician german, membru corespondent străin. Academia de Științe din Petersburg (c), membru al Societății Regale din Londra (1855), Academia de Științe din Paris (1854), Academia de Științe din Berlin. Dirichlet a demonstrat o teoremă privind existența unui număr infinit de numere prime în orice progresie aritmetică a numerelor întregi, primul termen și a căror diferență sunt numere coprime și a studiat (1837) legea distribuției primelor în progresii aritmetice, în legătură cu pe care le-a introdus serii funcționale de o formă specială ( așa-numita serie Dirichlet).

Una dintre definițiile clasice ale conceptului de „funcție” sunt definițiile bazate pe corespondențe. Vă prezentăm o serie de astfel de definiții.

Definiția 1

Se numește o relație în care fiecare valoare a variabilei independente corespunde unei singure valori a variabilei dependente funcţie.

Definiția 2

Să fie date două seturi nevide $X$ și $Y$. Se numește o potrivire $f$ care se mapează la fiecare $x\în X$ unul și numai unul $y\în Y$ funcţie($f:X → Y$).

Definiția 3

Fie $M$ și $N$ două seturi numerice arbitrare. Se spune că o funcție $f$ este definită pe $M$, luând valori de la $N$ dacă fiecare element al lui $x\în X$ este asociat cu unul și doar un element din $N$.

Următoarea definiție este dată prin conceptul de variabilă. O variabilă este o mărime care în acest studiu ia diverse valori numerice.

Definiția 4

Fie $M$ setul de valori ale variabilei $x$. Atunci, dacă fiecare valoare $x\în M$ corespunde unei valori definite a altei variabile $y$ este o funcție a valorii $x$ definită pe mulțimea $M$.

Definiția 5

Fie $X$ și $Y$ niște seturi de numere. O funcție este o mulțime $f$ de perechi ordonate de numere $(x,\ y)$ astfel încât $x\în X$, $y\în Y$ și fiecare $x$ aparține uneia și numai uneia dintre aceste perechi. set, iar fiecare $y$ este în cel puțin o pereche de .

Definiția 6

Orice set $f=\(\left(x,\y\right)\)$ de perechi ordonate $\left(x,\y\right)$ astfel încât pentru orice perechi $\left(x",\y" \right)\în f$ și $\left(x"",\ y""\right)\în f$ rezultă din condiția $y"≠ y""$ că $x"≠x""$ este numită funcție sau afișaj.

Definiția 7

O funcție $f:X → Y$ este o mulțime $f$ de perechi ordonate $\left(x,\ y\right)\în X\time Y$ astfel încât pentru orice element $x\în X$ există o element unic $y\in Y$ astfel încât $\left(x,\y\right)\in f$, adică funcția este un tuplu de obiecte $\left(f,\X,\Y\right) $.

În aceste definiţii

$x$ este o variabilă independentă.

$y$ este variabila dependentă.

Toate valorile posibile ale variabilei $x$ sunt numite domeniul funcției, iar toate valorile posibile ale variabilei $y$ sunt numite domeniul funcției.

Mod analitic de definire a unei funcții

Pentru această metodă, avem nevoie de conceptul de expresie analitică.

Definiția 8

O expresie analitică este produsul tuturor operațiilor matematice posibile asupra oricăror numere și variabile.

Modul analitic de setare a unei funcții este setarea acesteia folosind o expresie analitică.

Exemplul 1

$y=x^2+7x-3$, $y=\frac(x+5)(x+2)$, $y=cos5x$.

Pro:

1. Cu formule, putem determina valoarea unei funcții pentru orice valoare dată a variabilei $x$;
2. Funcțiile astfel definite pot fi studiate folosind aparatul de analiză matematică.

Minusuri:

1. Vizibilitate redusă.
2. Uneori trebuie să efectuați calcule foarte greoaie.

Mod tabelar de definire a unei funcții

Acest mod de setare este că pentru mai multe valori ale variabilei independente, valorile variabilei dependente sunt scrise. Toate acestea sunt introduse în tabel.

Exemplul 2

Poza 1.

Un plus: Pentru orice valoare a variabilei independente $x$ care este introdusă în tabel, valoarea corespunzătoare a funcției $y$ este imediat recunoscută.

Minusuri:

1. De cele mai multe ori, nu există o specificație completă a funcției;
2. Vizibilitate redusă.

o funcție este o corespondență între elementele a două mulțimi, stabilită după o astfel de regulă încât fiecare element al unei mulțimi să fie asociat cu un element dintr-o altă mulțime.

Graficul unei funcții este locul punctelor din planul căruia abscisele (x) și ordonatele (y) sunt legate prin funcția specificată:

punctul este situat (sau este situat) pe graficul funcției dacă și numai dacă .

Astfel, o funcție poate fi descrisă în mod adecvat prin graficul său.

mod tabelar. Destul de obișnuit, constă în stabilirea unui tabel cu valorile argumentelor individuale și a valorilor funcției corespunzătoare ale acestora. Această metodă de definire a unei funcții este utilizată atunci când domeniul funcției este o mulțime finită discretă.

Cu metoda tabelară de specificare a unei funcții, este posibil să se calculeze aproximativ valorile funcției care nu sunt conținute în tabel, corespunzătoare valorilor intermediare ale argumentului. Pentru a face acest lucru, utilizați metoda de interpolare.

Avantajele modului tabelar de specificare a unei funcții sunt că face posibilă determinarea anumitor valori specifice deodată, fără măsurători sau calcule suplimentare. Cu toate acestea, în unele cazuri, tabelul nu definește complet funcția, ci numai pentru unele valori ale argumentului și nu oferă o reprezentare vizuală a naturii modificării funcției în funcție de modificarea argumentului.

Mod grafic. Graficul funcției y = f(x) este mulțimea tuturor punctelor din plan ale căror coordonate satisfac ecuația dată.

Modul grafic de specificare a unei funcții nu face întotdeauna posibilă determinarea cu precizie a valorilor numerice ale argumentului. Cu toate acestea, are un mare avantaj față de alte metode - vizibilitatea. În inginerie și fizică, o metodă grafică de setare a unei funcții este adesea folosită, iar un grafic este singura modalitate disponibilă pentru aceasta.

Pentru ca atribuirea grafică a unei funcții să fie destul de corectă din punct de vedere matematic, este necesar să se indice construcția geometrică exactă a graficului, care, de cele mai multe ori, este dată de o ecuație. Aceasta conduce la următorul mod de definire a unei funcții.

mod analitic. Cel mai adesea, legea care stabilește o relație între un argument și o funcție este specificată prin intermediul formulelor. Acest mod de a defini o funcție se numește analitic.

Această metodă face posibil ca fiecare valoare numerică a argumentului x să găsească valoarea numerică corespunzătoare a funcției y exact sau cu o oarecare precizie.

Dacă relația dintre x și y este dată de o formulă care se rezolvă în raport cu y, i.e. are forma y = f(x), atunci spunem că funcția lui x este dată explicit.

Dacă valorile x și y sunt legate printr-o ecuație de forma F(x,y) = 0, i.e. formula nu este permisă în raport cu y, ceea ce înseamnă că funcția y = f(x) este implicit definită.

O funcție poate fi definită prin diferite formule în diferite părți ale zonei sale de activitate.

Metoda analitică este cea mai comună modalitate de definire a funcțiilor. Compactitatea, concizia, capacitatea de a calcula valoarea unei funcții pentru o valoare arbitrară a argumentului din domeniul definiției, capacitatea de a aplica aparatul de analiză matematică la o funcție dată sunt principalele avantaje ale metodei analitice de definire a unei funcții. funcţie. Dezavantajele includ lipsa vizibilității, care este compensată de capacitatea de a construi un grafic și nevoia de a efectua calcule uneori foarte greoaie.

mod verbal. Această metodă constă în faptul că dependența funcțională se exprimă în cuvinte.

Exemplul 1: funcția E(x) este partea întreagă a numărului x. În general, E(x) = [x] reprezintă cel mai mare număr întreg care nu depășește x. Cu alte cuvinte, dacă x = r + q, unde r este un număr întreg (poate fi negativ) și q aparține intervalului = r. Funcția E(x) = [x] este constantă pe intervalul = r.

Exemplul 2: funcția y = (x) - parte fracțională a unui număr. Mai precis, y =(x) = x - [x], unde [x] este partea întreagă a numărului x. Această funcție este definită pentru toate x. Dacă x este un număr arbitrar, atunci reprezentându-l ca x = r + q (r = [x]), unde r este un număr întreg și q se află în intervalul .
Vedem că adăugarea n la argumentul x nu schimbă valoarea funcției.
Cel mai mic număr diferit de zero din n este , deci perioada este sin 2x .

Se apelează valoarea argumentului pentru care funcția este egală cu 0 zero (rădăcină) funcții.

O funcție poate avea mai multe zerouri.

De exemplu, funcția y=x(x+1)(x-3) are trei zerouri: x=0, x=-1, x=3.

Geometric, zeroul unei funcții este abscisa punctului de intersecție a graficului funcției cu axa X .

Figura 7 prezintă graficul funcției cu zerouri: x = a, x = b și x = c .

Dacă graficul unei funcții se apropie nelimitat de o anumită dreaptă pe măsură ce se îndepărtează de origine, atunci această linie dreaptă se numește asimptotă.

Funcție inversă

Fie ca funcția y=ƒ(x) să fie dată cu domeniul definiției D și mulțimea de valori E. Dacă fiecare valoare yєE corespunde unei singure valori xєD, atunci funcția x=φ(y) este definită cu domeniul definiției E și setul de valori D (vezi Fig. 102).

O astfel de funcție φ(y) se numește inversa funcției ƒ(x) și se scrie sub următoarea formă: x=j(y)=f -1 (y).Despre funcțiile y=ƒ(x) și x=φ(y) ei spun că sunt reciproc inverse. Pentru a găsi funcția x=φ(y) inversă cu funcția y=ƒ(x), este suficient să rezolvăm ecuația ƒ(x)=y față de x (dacă este posibil).

1. Pentru funcția y \u003d 2x, funcția inversă este funcția x \u003d y / 2;

2. Pentru funcția y \u003d x2 xє, funcția inversă este x \u003d √y; rețineți că pentru funcția y \u003d x 2, dată pe segmentul [-1; 1], nu există invers, deoarece o valoare a lui y corespunde a două valori ale lui x (de exemplu, dacă y=1/4, atunci x1=1/2, x2=-1/2).

Din definiția funcției inverse rezultă că funcția y=ƒ(x) are inversă dacă și numai dacă funcția ƒ(x) definește o corespondență unu-la-unu între mulțimile D și E. Rezultă că orice funcţia strict monotonă are inversă. Mai mult, dacă funcția crește (descrește), atunci și funcția inversă crește (descrește).

Rețineți că funcția y \u003d ƒ (x) și inversul său x \u003d φ (y) sunt reprezentate de aceeași curbă, adică graficele lor coincid. Dacă suntem de acord că, ca de obicei, variabila independentă (adică, argumentul) este notată cu x, iar variabila dependentă cu y, atunci funcția inversă a funcției y \u003d ƒ (x) va fi scrisă ca y \u003d φ (x).

Aceasta înseamnă că punctul M 1 (x o; y o) al curbei y=ƒ(x) devine punctul M 2 (y o; x o) al curbei y=φ(x). Dar punctele M 1 și M 2 sunt simetrice față de linia dreaptă y \u003d x (a se vedea Fig. 103). Prin urmare, graficele funcțiilor reciproc inverse y=ƒ(x) și y=φ(x) sunt simetrice față de bisectoarea primului și al treilea unghi de coordonate.

Funcție complexă

Fie definită funcția y=ƒ(u) pe mulțimea D, iar funcția u= φ(x) pe mulțimea D 1 , iar pentru  x D 1 valoarea corespunzătoare u=φ(x) є D. Atunci pe mulțimea D 1 este definită funcția u=ƒ(φ(x)), care se numește o funcție complexă a lui x (sau o suprapunere de funcții date, sau o funcție a unei funcții).

Variabila u=φ(x) se numește argument intermediar al unei funcții complexe.

De exemplu, funcția y=sin2x este o suprapunere a două funcții y=sinu și u=2x. O funcție complexă poate avea mai multe argumente intermediare.

4. Funcții elementare de bază și grafice ale acestora.

Următoarele funcții sunt numite funcții elementare de bază.

1) Funcția exponențială y \u003d a x, a> 0, a ≠ 1. În fig. 104 prezintă grafice ale funcțiilor exponențiale corespunzătoare diferitelor baze exponențiale.

2) Funcția de putere y=x α , αєR. În figuri sunt oferite exemple de grafice ale funcțiilor de putere corespunzătoare diverșilor exponenți

3) Funcția logaritmică y=log a x, a>0,a≠1; Graficele funcțiilor logaritmice corespunzătoare diferitelor baze sunt prezentate în fig. 106.

4) Funcții trigonometrice y=sinx, y=cosx, y=tgx, y=ctgx; Graficele funcțiilor trigonometrice au forma prezentată în fig. 107.

5) Funcții trigonometrice inverse y=arcsinx, y=arccosx, y=arctgx, y=arcctgx. Pe fig. 108 prezintă grafice ale funcțiilor trigonometrice inverse.

O funcție dată de o singură formulă, compusă din funcții elementare de bază și constante folosind un număr finit de operații aritmetice (adunare, scădere, înmulțire, împărțire) și operații de preluare a unei funcții dintr-o funcție, se numește funcție elementară.

Exemple de funcții elementare sunt funcțiile

Exemple de funcții non-elementare sunt funcțiile

5. Concepte ale limitei unei secvenţe şi a unei funcţii. Proprietăți limitate.

Limita functiei (limita functiei) la un punct dat, limitativ pentru domeniul de definire al unei funcții, este o astfel de valoare la care tinde valoarea funcției în cauză atunci când argumentul său tinde către un punct dat.

În matematică limită de secvență elementele unui spațiu metric sau un spațiu topologic este un element al aceluiași spațiu care are proprietatea de a „atrage” elemente dintr-o secvență dată. Limita unei secvențe de elemente dintr-un spațiu topologic este un astfel de punct, a cărui vecinătate conține toate elementele șirului, pornind de la un anumit număr. Într-un spațiu metric, vecinătățile sunt definite în termenii unei funcții de distanță, deci noțiunea de limită este formulată în limbajul distanțelor. Din punct de vedere istoric, primul a fost conceptul de limită a unei secvențe numerice, care apare în analiza matematică, unde servește drept bază pentru un sistem de aproximări și este utilizat pe scară largă în construcția calculului diferențial și integral.

Desemnare:

(citit: limita secvenței x-n-a ca tinde spre infinit este a)

Proprietatea unei secvențe de a avea o limită este numită convergenţă: dacă o secvență are o limită, atunci se spune că secvența dată este converge; în caz contrar (dacă secvența nu are limită) se spune că secvența este diverge. Într-un spațiu Hausdorff, și în special într-un spațiu metric, fiecare subsecvență a unei secvențe convergente converge, iar limita sa este aceeași cu limita secvenței inițiale. Cu alte cuvinte, o succesiune de elemente dintr-un spațiu Hausdorff nu poate avea două limite diferite. Se poate, totuși, să se dovedească că șirul nu are limită, dar există o subsecvență (a șirului dat) care are o limită. Dacă orice șir de puncte dintr-un spațiu are o subsecvență convergentă, atunci se spune că spațiul dat are proprietatea compactității secvențiale (sau, pur și simplu, compactității dacă compactitatea este definită exclusiv în termeni de secvențe).

Conceptul de limită a unei secvențe este direct legat de conceptul de punct limită (mulțime): dacă o mulțime are un punct limită, atunci există o secvență de elemente ale mulțimii date care converg către punctul dat.

Definiție

Să fie date un spațiu topologic și o secvență Atunci, dacă există un element astfel încât

unde este o mulţime deschisă care conţine , atunci se numeşte limita secvenţei . Dacă spațiul este metric, atunci limita poate fi definită folosind o metrică: dacă există un element astfel încât

unde este metrica, atunci se numește limită.

· Dacă un spațiu este echipat cu o topologie antidiscretă, atunci orice element al spațiului va fi limita oricărei secvențe.

6. Limita unei funcții într-un punct. Limite unilaterale.

Funcția unei variabile. Determinarea limitei unei funcții într-un punct după Cauchy. Număr b se numește limita funcției la = f(X) la X lupta pentru A(sau la punctul A) dacă pentru orice număr pozitiv  există un număr pozitiv  astfel încât pentru tot x ≠ a, astfel încât | X – A | < , выполняется неравенство
| f(X) – A | <  .

Determinarea limitei unei funcții într-un punct după Heine. Număr b se numește limita funcției la = f(X) la X lupta pentru A(sau la punctul A) dacă pentru orice secvență ( X n ) convergând către A(aspirând la A, care are un număr limită A), și pentru orice valoare n x n≠ A, succesiune ( y n= f(X n)) converge spre b.

Aceste definiții presupun că funcția la = f(X) este definită într-o vecinătate a punctului A, cu excepția poate chiar a subiectului A.

Definițiile limitei unei funcții într-un punct după Cauchy și după Heine sunt echivalente: dacă numărul b servește drept limită într-una dintre ele, atunci același lucru este valabil și în al doilea.

Limita specificată este indicată după cum urmează:

Geometric, existența limitei unei funcții într-un punct conform lui Cauchy înseamnă că pentru orice număr  > 0, un astfel de dreptunghi poate fi indicat pe planul de coordonate cu o bază 2 > 0, o înălțime 2 și un centru. la punctul ( A; b) că toate punctele graficului acestei funcții de pe intervalul ( A– ; A+ ), cu posibila excepție a punctului M(A; f(A)), se află în acest dreptunghi

Limită unilateralăîn analiza matematică, limita unei funcții numerice, implicând „apropierea” de punctul limită dintr-o parte. Astfel de limite sunt numite respectiv limita din stanga(sau limita stângă) și limita dreapta (limita din dreapta). Să fie dată o funcție numerică pe o mulțime numerică și numărul să fie punctul limită al domeniului de definiție. Există diferite definiții pentru limitele unilaterale ale unei funcții într-un punct, dar toate sunt echivalente.

este dat, cu alte cuvinte, cunoscut, dacă pentru fiecare valoare a numărului posibil de argumente se poate afla valoarea corespunzătoare a funcției. Cele mai comune trei metoda definirii functiilor: tabulară, grafică, analitică, există și metode verbale și recursive.

1. Mod tabular cel mai răspândit (tabele de logaritmi, rădăcini pătrate), principalul său avantaj este posibilitatea de a obține o valoare numerică a funcției, dezavantajele sunt că tabelul poate fi greu de citit și uneori nu conține valori intermediare ale argumentului .

De exemplu:

X
y

Argument X ia valorile specificate în tabel și la definit conform acestui argument X.

2. Mod grafic constă în trasarea unei linii (grafic), în care abscisele reprezintă valorile argumentului, iar ordonatele reprezintă valorile corespunzătoare ale funcției. Adesea, pentru claritate, scalele de pe axe sunt luate diferit.

De exemplu: pentru a găsi programul la, care corespunde x = 2,5 este necesar să se traseze o perpendiculară pe axă X la marcaj 2,5 . Marcarea poate fi realizată destul de precis cu o riglă. Apoi găsim că la X = 2,5 la egală 7,5 , dar dacă trebuie să găsim valoarea la la X egal cu 2,76 , atunci modul grafic de setare a funcției nu va fi suficient de precis, deoarece Rigla nu permite o măsurare atât de precisă.

Avantajele acestei metode de setare a funcțiilor sunt în ușurința și integritatea percepției, în continuitatea schimbării argumentului; dezavantajul este o scădere a gradului de acuratețe și dificultatea de a obține valori exacte.

3. Metoda analitica constă în specificarea unei funcţii prin una sau mai multe formule. Principalul avantaj al acestei metode este precizia ridicată a determinării funcției argumentului de interes, iar dezavantajul este timpul petrecut pentru operații matematice suplimentare.

De exemplu:

Funcția poate fi specificată folosind formula matematică y=x2, atunci dacă X egală 2 , apoi la egală 4, construim Xîntr-un pătrat.

4. mod verbal consta in definirea functiei in limbaj simplu, i.e. cuvinte. În acest caz, este necesar să se dea valorile de intrare, de ieșire și corespondența dintre ele.

De exemplu:

Puteți specifica verbal o funcție (sarcină) care este acceptată ca argument natural X cu valoarea corespunzătoare a sumei cifrelor care alcătuiesc valoarea la. Explicați: dacă X egală 4 , apoi la egală 4 , și dacă X egală 358 , apoi la este egală cu suma 3 + 5 + 8 , adică 16 . Mai departe similar.

5. Mod recursiv constă în specificarea unei funcţii prin ea însăşi, în timp ce valorile funcției sunt definite în termenii celorlalte valori ale sale. Această modalitate de definire a unei funcții este utilizată în definirea mulțimilor și a seriilor.

De exemplu:

Când se descompune numerele lui Euler dat de functia:

Abrevierea sa este dată mai jos:

Într-un calcul direct, apare o recursivitate infinită, dar se poate dovedi că valoarea f(n) cu creşterea n tinde spre unitate (prin urmare, în ciuda infinitității seriei, valoarea numerele lui Euler cu siguranță). Pentru un calcul aproximativ al valorii e este suficient să limitezi artificial adâncimea recursiunii la un număr prestabilit și, la atingerea acestuia, să o folosești în schimb f(n) unitate.