TEMA SUBIECTUL ELECTIV

CONVERSIUNEA EXPRESIUNILOR NUMERICE ȘI A LITERELOR

Cantitate 34 ore

profesor superior de matematică

MOU „Școala Gimnazială Nr. 51”

Saratov, 2008

PROGRAM SUBIECTUL ELECTIV

„CONVERSIUNEA EXPRESIUNILOR NUMERICE ȘI A LITERELOR”

Notă explicativă

În ultimii ani, examenele finale în școli, precum și examenele de admitere în universități, se desfășoară cu ajutorul testelor. Această formă de testare este diferită de examenul clasic și necesită o pregătire specifică. O caracteristică a testării în forma care s-a dezvoltat până în prezent este necesitatea de a răspunde la un număr mare de întrebări într-o perioadă limitată de timp, adică este necesar nu numai să răspunzi la întrebările puse, ci și să o faci rapid. Prin urmare, este important să stăpâniți diverse tehnici, metode care vă permit să obțineți rezultatul dorit.

Când rezolvi aproape orice problemă școlară, trebuie să faci niște transformări. Adesea, complexitatea sa este complet determinată de gradul de complexitate și de cantitatea de transformări care trebuie efectuate. Nu este neobișnuit ca un elev să fie incapabil să rezolve o problemă, nu pentru că nu știe cum se rezolvă, ci pentru că nu poate face toate transformările și calculele necesare într-un timp rezonabil, fără erori.

Cursul opțional „Transformarea expresiilor numerice și de litere” extinde și aprofundează programul de bază la matematică la liceu și este conceput pentru studiul în clasa a 11-a. Cursul propus își propune să dezvolte abilitățile de calcul și claritatea gândirii. Cursul este destinat studenților cu un nivel înalt sau mediu de pregătire matematică și este conceput pentru a-i ajuta să se pregătească pentru admiterea la universități, pentru a contribui la continuarea unei educații matematice serioase.

Ținte și obiective:

Sistematizarea, generalizarea și extinderea cunoștințelor elevilor despre numere și acțiuni cu acestea;

Dezvoltarea independenței, gândirii creative și interesului cognitiv al elevilor;

Formarea interesului pentru procesul de calcul;

Adaptarea studenților la noile reguli de intrare în universități.

Rezultate asteptate:

Cunoașterea clasificării numerelor;

Îmbunătățirea abilităților și abilităților de numărare rapidă;

Capacitatea de a folosi aparatura matematica in rezolvarea diverselor probleme;

Plan educațional și tematic

Planul este de 34 de ore. Este alcătuit ținând cont de tema diplomei, deci sunt luate în considerare două părți separate: expresii numerice și alfabetice. La discreția profesorului, expresiile alfabetice pot fi luate în considerare împreună cu cele numerice în subiectele relevante.

		Număr de ore
	Expresii numerice Numere întregi Metoda inducției matematice Numere rationale Fracții periodice zecimale Numere irationale Rădăcini și grade Logaritmi Funcții trigonometrice Funcții trigonometrice inverse Numere complexe Test pe tema „Expresii numerice” Compararea expresiilor numerice Expresii literale Conversia expresiilor cu radicali Transformarea expresiei puterii Conversia expresiilor logaritmice Conversia expresiilor trigonometrice Test final

numere întregi (4h)

Rând de numere. Teorema fundamentală a aritmeticii. NOD și NOC. semne de divizibilitate. Metoda inducției matematice.

Numere raționale (2h)

Definiția unui număr rațional. Proprietatea de bază a fracției. Formule de înmulțire prescurtate. Definiția unei fracțiuni periodice. Regula pentru conversia dintr-o fracție periodică zecimală într-o fracție obișnuită.

Numere irationale. Radicalii. Grade. Logaritmi (6h)

Definiția unui număr irațional. Dovada iraționalității unui număr. Scăparea de iraționalitate în numitor. Numere reale. Proprietăți de grad. Proprietățile rădăcinii aritmetice de gradul al n-lea. Definiția logaritmului. Proprietățile logaritmilor.

Funcții trigonometrice (4h)

Cercul numeric. Valorile numerice ale funcțiilor trigonometrice ale unghiurilor de bază. Conversia unui unghi din grade în radiani și invers. Formule trigonometrice de bază. Formule de turnare. Funcții trigonometrice inverse. Operații trigonometrice pe funcții arc. Relații de bază între funcțiile arcului.

Numere complexe (2h)

Conceptul de număr complex. Operații cu numere complexe. Formele trigonometrice și exponențiale ale unui număr complex.

Testare intermediară (2h)

Compararea expresiilor numerice (4h)

Inegalități numerice pe mulțimea numerelor reale. Proprietățile inegalităților numerice. Sprijinirea inegalităților. Metode de demonstrare a inegalităților numerice.

Expresii cu litere (8h)

Reguli pentru transformarea expresiilor cu variabile: polinoame; fracții algebrice; expresii iraționale; expresii trigonometrice și alte expresii. Dovezi de identități și inegalități. Simplificarea expresiilor.

1 parte a disciplinei opționale: „Expresii numerice”

ACTIVITATEA 1(2 ore)

Subiectul lecției: Numere întregi

Obiectivele lecției: Generalizează și sistematizează cunoștințele elevilor despre numere; amintiți-vă conceptele de GCD și NOC; extinde cunoștințele despre semnele de divizibilitate; ia în considerare problemele rezolvate în numere întregi.

În timpul orelor

eu. Prelegerea introductivă.

Clasificarea numerelor:

numere întregi;

Numere întregi;

Numere rationale;

Numere reale;

Numere complexe.

Cunoașterea seriei de numere la școală începe cu conceptul de număr natural. Se numesc numerele folosite la numărarea obiectelor natural. Mulțimea numerelor naturale se notează cu N. Numerele naturale se împart în prime și compuse. Numerele prime au doar doi divizori unul și numărul însuși, în timp ce numerele compuse au mai mult de doi divizori. Teorema fundamentală a aritmeticii afirmă: „Orice număr natural mai mare decât 1 poate fi reprezentat ca produs de numere prime (nu neapărat diferite) și, în plus, într-un mod unic (până la ordinea factorilor).”

Numerele naturale sunt asociate cu două concepte aritmetice mai importante: cel mai mare divizor comun (MCD) și cel mai mic multiplu comun (LCM). Fiecare dintre aceste concepte se definește de fapt. Rezolvarea multor probleme este facilitată de semnele de divizibilitate, care trebuie reținute.

Semn de divizibilitate cu 2 . Un număr este divizibil cu 2 dacă ultima lui cifră este par sau o.

Divizibilitatea cu semnul 4 . Un număr este divizibil cu 4 dacă ultimele două cifre sunt zero sau formează un număr divizibil cu 4.

Semn de divizibilitate cu 8. Un număr este divizibil cu 8 dacă ultimele sale trei cifre sunt zero sau formează un număr divizibil cu 8.

Criterii de divizibilitate pentru 3 și 9. Numai acele numere sunt divizibile cu 3 pentru care suma cifrelor este divizibilă cu 3; cu 9 - numai cele în care suma cifrelor este divizibilă cu 9.

Semn de divizibilitate cu 6. Un număr este divizibil cu 6 dacă este divizibil cu 2 și cu 3.

Semn de divizibilitate cu 5 . Divizibile cu 5 sunt numerele a căror ultima cifră este 0 sau 5.

Semn de divizibilitate cu 25. Divizibile cu 25 sunt numere ale căror ultime două cifre sunt zero sau formează un număr care este divizibil cu 25.

Semne de divizibilitate cu 10.100.1000. Numai acele numere a căror ultima cifră este 0 sunt divizibile cu 10, numai acele numere ale căror ultime două cifre sunt 0 sunt divizibile cu 100, numai acele numere ale căror ultime trei cifre sunt 0 sunt divizibile cu 1000.

Semn de divizibilitate cu 11 . Numai acele numere sunt divizibile cu 11 pentru care suma cifrelor care ocupă locuri impare este fie egală cu suma cifrelor care ocupă locuri pare, fie diferă de aceasta printr-un număr divizibil cu 11.

În prima lecție, ne vom uita la numerele naturale și întregi. întreg numerele sunt numere naturale, numerele lor opuse și zero. Mulțimea numerelor întregi se notează cu Z.

II. Rezolvarea problemelor.

EXEMPLU 1. Factorizați: a) 899; b) 1000027.

Rezolvare: a) ;

b) EXEMPLU 2. Aflați MCD-ul numerelor 2585 și 7975.

Soluție: Să folosim algoritmul Euclid:

Dacă https://pandia.ru/text/78/342/images/image004_155.gif" width="167" height="29 src=">;

https://pandia.ru/text/78/342/images/image006_127.gif" width="88" height="29 src=">.gif" width="16" height="29">

220 |165 -

165|55 -

Răspuns: mcd(2585,7975) = 55.

EXEMPLUL 3 Calculați:

Rezolvare: = 1987100011989. Al doilea produs este egal cu aceeași valoare. Prin urmare, diferența este 0.

EXEMPLU 4. Găsiți numere GCD și LCM a) 5544 și 1404; b) 198, 504 și 780.

Răspunsuri: a) 36; 49896; b) 6; 360360.

EXEMPLU 5. Aflați câtul și restul la împărțire

a) 5 la 7; https://pandia.ru/text/78/342/images/image013_75.gif" width="109" height="20 src=">;

c) -529 până la (-23); https://pandia.ru/text/78/342/images/image015_72.gif" width="157" height="28 src=">;

e) 256 până la (-15); https://pandia.ru/text/78/342/images/image017_68.gif" width="101" height="23">

Soluție: https://pandia.ru/text/78/342/images/image020_64.gif" width="123 height=28" height="28">.

b)

Soluție: https://pandia.ru/text/78/342/images/image024_52.gif" width="95" height="23">.

EXEMPLU 7..gif" width="67" height="27 src="> până la 17.

Soluție: Să introducem o înregistrare , ceea ce înseamnă că atunci când sunt împărțite la m, numerele a, b, c, ... d dau același rest.

Prin urmare, pentru orice k natural, va exista

Dar 1989=16124+5. Mijloace,

Răspuns: restul este 12.

EXEMPLU 8. Găsiți cel mai mic număr natural mai mare decât 10, care, împărțit la 24, 45 și 56, ar da un rest de 1.

Răspuns: LCM(24;45;56)+1=2521.

EXEMPLU 9. Găsiți cel mai mic număr natural care este divizibil cu 7, iar când este împărțit la 3, 4 și 5 dă restul de 1.

Răspuns: 301. Instruire. Printre numerele de forma 60k + 1, trebuie să găsiți cel mai mic divizibil cu 7; k = 5.

EXEMPLU 10. Atribuiți lui 23 o cifră în dreapta și în stânga, astfel încât numărul rezultat din patru cifre să fie divizibil cu 9 și 11.

Răspuns: 6237.

EXEMPLU 11. Atribuiți trei cifre în spatele numărului, astfel încât numărul rezultat să fie divizibil cu 7, 8 și 9.

Raspuns: 304 sau 808. Indicatie. Numărul atunci când este împărțit la = 789) dă un rest de 200. Prin urmare, dacă adăugați 304 sau 808, acesta va fi împărțit la 504.

EXEMPLU 12. Este posibil să rearanjați cifrele într-un număr de trei cifre divizibil cu 37, astfel încât numărul rezultat să fie și divizibil cu 37?

Răspuns: Poți. Notă..gif" width="61" height="24"> este de asemenea divizibil cu 37. Avem A = 100a + 10b + c = 37k, de unde c = 37k -100a - 10b. Atunci B = 100b + 10c + a = 100b + k - 100a - 10b) + a \u003d 370k - 999a, adică B este divizibil cu 37.

EXEMPLU 13. Aflați numărul, împărțit la care numerele 1108, 1453, 1844 și 2281 dau același rest.

Raspuns: 23. Indicatie. Diferența dintre oricare două numere date este divizibilă cu numărul necesar. Aceasta înseamnă că orice divizor comun al tuturor diferențelor posibile de date, altele decât 1, este potrivit pentru noi

EXEMPLU 14. Reprezentați 19 ca diferența de cuburi de numere naturale.

EXEMPLU 15. Pătratul unui număr natural este egal cu produsul a patru numere impare consecutive. Găsiți acest număr.

Răspuns: .

EXEMPLU 16..gif" width="115" height="27"> nu este divizibil cu 10.

Raspuns: a) Directia. După ce au grupat primul și ultimul termen, al doilea și penultimul etc., utilizați formula pentru suma cuburilor.

b) Indicație..gif" width="120" height="20">.

4) Aflați toate perechile de numere naturale al căror GCD este 5 și LCM este 105.

Răspuns: 5, 105 sau 15, 35.

ACTIVITATEA 2(2 ore)

Subiectul lecției: Metoda inducției matematice.

Scopul lecției: Luați în considerare afirmațiile matematice care necesită dovezi; introducerea elevilor în metoda inducției matematice; dezvolta gândirea logică.

În timpul orelor

eu. Verificarea temelor.

II. Explicația noului material.

În cursul școlar de matematică, alături de sarcinile „Găsiți valoarea expresiei”, există sarcini de forma: „Demonstrați egalitatea”. Una dintre cele mai universale metode de demonstrare a afirmațiilor matematice în care apar cuvintele „pentru un n natural arbitrar” este metoda inducției matematice complete.

O dovadă care utilizează această metodă constă întotdeauna din trei pași:

1) Baza inducției. Se verifică validitatea afirmației pentru n = 1.

În unele cazuri, pentru a începe inducția, trebuie să verificați mai multe

valorile initiale.

2) Asumarea inducției. Se presupune că afirmația este adevărată pentru oricare

3) Etapa inductivă. Demonstrăm validitatea afirmației pt

Astfel, plecând de la n = 1, pe baza pasului inductiv dovedit, obținem validitatea aserției care se dovedește pt.

n =2, 3,…t. e. pentru orice n.

Să ne uităm la câteva exemple.

EXEMPLU 1: Demonstrați că pentru orice n natural numărul este divizibil cu 7.

Dovada: denota .

Pasul 1..gif" width="143" height="37 src="> este divizibil cu 7.

Pasul 3..gif" width="600" height="88">

Ultimul număr este divizibil cu 7 deoarece este diferența dintre două numere întregi divizibile cu 7.

EXEMPLU 2: Demonstrați egalitatea https://pandia.ru/text/78/342/images/image047_31.gif" width="240" height="36 src=">

https://pandia.ru/text/78/342/images/image049_34.gif" width="157" height="47"> se obține din înlocuind n cu k = 1.

III. Rezolvarea problemelor

În prima lecție, din sarcinile de mai jos (Nr. 1-3), mai multe sunt selectate pentru rezolvare la latitudinea profesorului pentru analiză pe tablă. A doua lecție tratează № 4.5; se efectuează lucrări independente de la nr. 1-3; Nr.6 este oferit ca suplimentar, cu hotărâre obligatorie în consiliu.

1) Demonstrați că a) este divizibil cu 83;

b) este divizibil cu 13;

c) este divizibil cu 20801.

2) Demonstrați că pentru orice n natural:

A) este divizibil cu 120;

b) este divizibil cu 27;

în) divizibil cu 84;

G) este divizibil cu 169;

e) este divizibil cu 8;

f) este divizibil cu 8;

g) este divizibil cu 16;

h) divizibil cu 49;

și) este divizibil cu 41;

la) este divizibil cu 23;

l) este divizibil cu 13;

m) impartit de .

3) Demonstrați că:

G) ;

4) Afișați formula sumei https://pandia.ru/text/78/342/images/image073_23.gif" width="187" height="20">.

6) Demonstrați că suma membrilor fiecărui rând al tabelului

…………….

este egal cu pătratul unui număr impar al cărui număr dintr-un rând este egal cu numărul rândului de la începutul tabelului.

Răspunsuri și instrucțiuni.

1) Să folosim intrarea introdusă în exemplul 4 din lecția anterioară.

A) . Prin urmare, divizibil cu 83 .

b) Pentru că , apoi ;

. Prin urmare, .

c) Deoarece , este necesar să se demonstreze că numărul dat este divizibil cu 11, 31 și 61..gif" width="120" height="32 src=">. Divizibilitatea cu 11 și 31 se dovedește în mod similar.

2) a) Să demonstrăm că această expresie este divizibilă cu 3, 8, 5. Divizibilitatea cu 3 rezultă din faptul că , iar din trei numere naturale consecutive, unul este divizibil cu 3..gif" width="72" height="20 src=">.gif" width="75" height="20 src=">. Pentru a verifica divizibilitatea cu 5, este suficient să luăm în considerare valorile n=0,1,2,3,4.

Scrierea condițiilor problemelor folosind notația acceptată în matematică duce la apariția așa-numitelor expresii matematice, care se numesc pur și simplu expresii. În acest articol, vom vorbi în detaliu despre expresii numerice, literale și variabile: vom da definiții și vom da exemple de expresii de fiecare tip.

Navigare în pagină.

Expresii numerice - ce este?

Cunoașterea expresiilor numerice începe aproape de la primele lecții de matematică. Dar numele lor - expresii numerice - le dobândesc oficial puțin mai târziu. De exemplu, dacă urmați cursul M. I. Moro, atunci acest lucru se întâmplă pe paginile unui manual de matematică pentru clasa a 2-a. Acolo, reprezentarea expresiilor numerice este dată astfel: 3+5, 12+1−6, 18−(4+6) , 1+1+1+1+1 etc. - e tot expresii numerice, iar dacă efectuăm acțiunile indicate în expresie, atunci vom găsi valoarea expresiei.

Se poate concluziona că în această etapă a studiului matematicii, expresiile numerice sunt numite înregistrări care au sens matematic, compuse din numere, paranteze și semne de adunare și scădere.

Puțin mai târziu, după ce s-a familiarizat cu înmulțirea și împărțirea, intrările expresiilor numerice încep să conțină semnele „·” și „:”. Iată câteva exemple: 6 4 , (2+5) 2 , 6:2 , (9 3):3 etc.

Și în liceu, varietatea de intrări pentru expresii numerice crește ca un bulgăre de zăpadă care se rostogolește pe un munte. Fracțiile comune și zecimale, numere mixte și numere negative, puteri, rădăcini, logaritmi, sinusuri, cosinus și așa mai departe apar în ele.

Să rezumăm toate informațiile din definiția unei expresii numerice:

Definiție.

Expresie numerică este o combinație de numere, semne de operații aritmetice, linii fracționale, semne rădăcină (radicale), logaritmi, notații trigonometrice, trigonometrice inverse și alte funcții, precum și paranteze și alte simboluri matematice speciale, compilate în conformitate cu regulile acceptate în matematică.

Să explicăm toate părțile constitutive ale definiției vocale.

Absolut orice numere poate participa la expresii numerice: de la natural la real și chiar complexe. Adică în expresii numerice se poate întâlni

Cu semnele operațiilor aritmetice, totul este clar - acestea sunt semnele de adunare, scădere, înmulțire și, respectiv, împărțire, având forma „+”, „−”, „·” și „:”. În expresiile numerice, poate fi prezent unul dintre aceste caractere, unele dintre ele sau toate deodată și de mai multe ori. Iată exemple de expresii numerice cu ele: 3+6 , 2.2+3.3+4.4+5.5 , 41−2 4:2−5+12 3 2:2:3:12−1/12.

În ceea ce privește parantezele, există atât expresii numerice în care există paranteze, cât și expresii fără ele. Dacă există paranteze într-o expresie numerică, atunci acestea sunt practic

Și uneori parantezele din expresiile numerice au un scop special specific, indicat separat. De exemplu, puteți găsi paranteze pătrate care indică partea întreagă a numărului, astfel încât expresia numerică +2 înseamnă că numărul 2 este adăugat la partea întreagă a numărului 1,75.

Din definiția unei expresii numerice, este, de asemenea, clar că expresia poate conține , , log , ln , lg , denumiri sau etc. Iată exemple de expresii numerice cu ele: tgπ , arcsin1+arccos1−π/2 și .

Împărțirea în expresii numerice poate fi notată cu . În acest caz, există expresii numerice cu fracții. Iată exemple de astfel de expresii: 1/(1+2) , 5+(2 3+1)/(7−2,2)+3 și .

Ca simboluri și notații matematice speciale care pot fi găsite în expresii numerice, dăm. De exemplu, să arătăm o expresie numerică cu un modul .

Ce sunt expresiile literale?

Conceptul de expresii literale este dat aproape imediat după familiarizarea cu expresiile numerice. Se introduce asa. Într-o anumită expresie numerică nu se scrie unul dintre numere, ci se pune în locul lui un cerc (sau un pătrat, sau ceva asemănător) și se spune că un anumit număr poate fi înlocuit cu cerc. Să luăm intrarea ca exemplu. Dacă puneți, de exemplu, numărul 2 în loc de pătrat, atunci obțineți o expresie numerică 3 + 2. Deci, în loc de cercuri, pătrate etc. a fost de acord să scrie scrisori și astfel de expresii cu litere au fost numite expresii literale. Să revenim la exemplul nostru, dacă în această intrare în loc de pătrat punem litera a, atunci obținem o expresie literală de forma 3+a.

Deci, dacă permitem prezența literelor într-o expresie numerică, care denotă unele numere, atunci obținem așa-numita expresie literală. Să dăm o definiție adecvată.

Definiție.

Se numește o expresie care conține litere care denotă unele numere expresie literală.

Din această definiție este clar că o expresie literală diferă fundamental de o expresie numerică prin faptul că poate conține litere. De obicei, în expresiile literale, se folosesc litere mici ale alfabetului latin (a, b, c, ...), iar atunci când se desemnează unghiuri, litere mici ale alfabetului grecesc (α, β, γ, ...).

Deci, expresiile literale pot fi compuse din numere, litere și conțin toate simbolurile matematice care pot fi găsite în expresii numerice, cum ar fi paranteze, semne rădăcină, logaritmi, funcții trigonometrice și alte funcții etc. Separat, subliniem că o expresie literală conține cel puțin o literă. Dar poate conține și mai multe litere identice sau diferite.

Acum dăm câteva exemple de expresii literale. De exemplu, a+b este o expresie literală cu literele a și b . Iată un alt exemplu de expresie literală 5 x 3 −3 x 2 +x−2.5. Și dăm un exemplu de expresie literală a unei forme complexe: .

Expresii cu variabile

Dacă într-o expresie literală o literă denotă o valoare care nu ia o valoare specifică, dar poate lua valori diferite, atunci această literă se numește variabil iar expresia se numește expresie variabilă.

Definiție.

Exprimarea cu variabile este o expresie literală în care literele (toate sau unele) denotă cantități care iau valori diferite.

De exemplu, lăsăm în expresia x 2 −1 litera x poate lua orice valoare naturală din intervalul de la 0 la 10, atunci x este o variabilă, iar expresia x 2 −1 este o expresie cu variabila x .

Este de remarcat faptul că într-o expresie pot exista mai multe variabile. De exemplu, dacă considerăm x și y ca variabile, atunci expresia este o expresie cu două variabile x și y .

În general, trecerea de la conceptul de expresie literală la o expresie cu variabile are loc în clasa a VII-a, când încep să studieze algebra. Până în acest punct, expresiile literale au modelat unele sarcini specifice. În algebră, ei încep să privească expresia în mod mai general, fără a fi legați de o anumită sarcină, înțelegând că această expresie se potrivește unui număr imens de sarcini.

În încheierea acestui paragraf, să mai acordăm atenție unui punct: prin apariția unei expresii literale, este imposibil să știm dacă literele incluse în ea sunt sau nu variabile. Prin urmare, nimic nu ne împiedică să considerăm aceste litere ca variabile. În acest caz, diferența dintre termenii „expresie literală” și „expresie cu variabile” dispare.

Bibliografie.

• Matematica. 2 celule Proc. pentru invatamantul general institutii cu adj. la un electron. purtător. La ora 2, partea 1 / [M. I. Moro, M. A. Bantova, G. V. Beltyukova și alții] - ed. a III-a. - M.: Educație, 2012. - 96 p.: ill. - (Școala Rusiei). - ISBN 978-5-09-028297-0.
• Matematica: studii. pentru 5 celule. educatie generala instituții / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - Ed. a 21-a, șters. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 p.: ill. ISBN 5-346-00699-0.
• Algebră: manual pentru 7 celule. educatie generala instituții / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teliakovsky. - Ed. a XVII-a. - M. : Educație, 2008. - 240 p. : bolnav. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Algebră: manual pentru 8 celule. educatie generala instituții / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teliakovsky. - Ed. a XVI-a. - M. : Educație, 2008. - 271 p. : bolnav. - ISBN 978-5-09-019243-9.

Confidențialitatea dumneavoastră este importantă pentru noi. Din acest motiv, am dezvoltat o Politică de confidențialitate care descrie modul în care folosim și stocăm informațiile dumneavoastră. Vă rugăm să citiți politica noastră de confidențialitate și să ne spuneți dacă aveți întrebări.

Colectarea și utilizarea informațiilor personale

Informațiile personale se referă la date care pot fi folosite pentru a identifica sau contacta o anumită persoană.

Vi se poate cere să furnizați informațiile dumneavoastră personale în orice moment când ne contactați.

Următoarele sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și modul în care putem folosi aceste informații.

Ce informații personale colectăm:

• Când trimiteți o cerere pe site, este posibil să colectăm diverse informații, inclusiv numele, numărul de telefon, adresa de e-mail etc.

Cum folosim informațiile dumneavoastră personale:

• Informațiile personale pe care le colectăm ne permit să vă contactăm și să vă informăm despre oferte unice, promoții și alte evenimente și evenimente viitoare.
• Din când în când, putem folosi informațiile dumneavoastră personale pentru a vă trimite notificări și comunicări importante.
• De asemenea, putem folosi informații personale în scopuri interne, cum ar fi efectuarea de audituri, analize de date și diverse cercetări pentru a îmbunătăți serviciile pe care le oferim și pentru a vă oferi recomandări cu privire la serviciile noastre.
• Dacă participați la o tragere la sorți, un concurs sau un stimulent similar, este posibil să folosim informațiile pe care le furnizați pentru a administra astfel de programe.

Dezvăluirea către terți

Nu dezvăluim informațiile primite de la dumneavoastră către terți.

Excepții:

• În cazul în care este necesar - în conformitate cu legea, ordinea judiciară, în cadrul procedurilor judiciare și/sau în baza cererilor publice sau a solicitărilor din partea organelor de stat de pe teritoriul Federației Ruse - dezvăluiți informațiile dumneavoastră personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dumneavoastră dacă stabilim că o astfel de dezvăluire este necesară sau adecvată din motive de securitate, aplicarea legii sau alte motive de interes public.
• În cazul unei reorganizări, fuziuni sau vânzări, putem transfera informațiile personale pe care le colectăm către succesorul terț relevant.

Protecția informațiilor personale

Luăm măsuri de precauție - inclusiv administrative, tehnice și fizice - pentru a vă proteja informațiile personale împotriva pierderii, furtului și utilizării greșite, precum și împotriva accesului, dezvăluirii, modificării și distrugerii neautorizate.

Menținerea confidențialității la nivel de companie

Pentru a ne asigura că informațiile dumneavoastră personale sunt în siguranță, comunicăm angajaților noștri practicile de confidențialitate și securitate și aplicăm strict practicile de confidențialitate.

O expresie literală (sau expresie cu variabile) este o expresie matematică care constă din numere, litere și semne ale operațiilor matematice. De exemplu, următoarea expresie este literală:

a+b+4

Folosind expresii literale, puteți scrie legi, formule, ecuații și funcții. Abilitatea de a manipula expresii literale este cheia unei bune cunoștințe de algebră și matematică superioară.

Orice problemă serioasă la matematică se rezumă la rezolvarea ecuațiilor. Și pentru a putea rezolva ecuații, trebuie să poți lucra cu expresii literale.

Pentru a lucra cu expresii literale, trebuie să studiați bine aritmetica de bază: adunare, scădere, înmulțire, împărțire, legile de bază ale matematicii, fracții, acțiuni cu fracții, proporții. Și nu doar pentru a studia, ci pentru a înțelege bine.

Conținutul lecției

Variabile

Literele care sunt conținute în expresii literale sunt numite variabile. De exemplu, în expresia a+b+ 4 variabile sunt litere Ași b. Dacă în locul acestor variabile înlocuim orice numere, atunci expresia literală a+b+ 4 se va transforma într-o expresie numerică, a cărei valoare poate fi găsită.

Numerele care sunt înlocuite cu variabile sunt numite valori variabile. De exemplu, să schimbăm valorile variabilelor Ași b. Utilizați semnul egal pentru a modifica valorile

a = 2, b = 3

Am schimbat valorile variabilelor Ași b. variabil A a atribuit o valoare 2 , variabil b a atribuit o valoare 3 . Ca urmare, expresia literală a+b+4 se convertește într-o expresie numerică normală 2+3+4 a căror valoare poate fi găsită:

Când variabilele sunt înmulțite, acestea sunt scrise împreună. De exemplu, intrarea abînseamnă același lucru cu intrarea a x b. Dacă înlocuim în loc de variabile Ași b numerele 2 și 3 , apoi obținem 6

Împreună, puteți scrie și înmulțirea unui număr cu o expresie între paranteze. De exemplu, în loc de a×(b + c) poate fi scris a(b + c). Aplicând legea distributivă a înmulțirii, obținem a(b + c)=ab+ac.

Cote

În expresiile literale, puteți găsi adesea o notație în care un număr și o variabilă sunt scrise împreună, de exemplu 3a. De fapt, aceasta este o prescurtare pentru înmulțirea numărului 3 cu o variabilă. Ași această intrare arată ca 3×a .

Cu alte cuvinte, expresia 3a este produsul dintre numărul 3 și variabila A. Număr 3 în această lucrare se numește coeficient. Acest coeficient arată de câte ori va fi mărită variabila A. Această expresie poate fi citită ca „ A de trei ori sau de trei ori A", sau "incrementează valoarea variabilei A de trei ori”, dar cel mai adesea citit ca „trei A«

De exemplu, dacă variabila A este egal cu 5 , apoi valoarea expresiei 3a va fi egal cu 15.

3 x 5 = 15

În termeni simpli, coeficientul este numărul care vine înaintea literei (înaintea variabilei).

Pot exista mai multe litere, de exemplu 5abc. Aici coeficientul este numărul 5 . Acest coeficient arată că produsul variabilelor abc crește de cinci ori. Această expresie poate fi citită ca „ abc de cinci ori” sau „mărește valoarea expresiei abc de cinci ori” sau „de cinci abc «.

Dacă în loc de variabile abcînlocuiți numerele 2, 3 și 4, apoi valoarea expresiei 5abc va fi egal cu 120

5 x 2 x 3 x 4 = 120

Vă puteți imagina mental cum au fost înmulțite mai întâi numerele 2, 3 și 4, iar valoarea rezultată a crescut de cinci ori:

Semnul coeficientului se referă numai la coeficient și nu se aplică variabilelor.

Luați în considerare expresia −6b. Minus în fața coeficientului 6 , se aplică numai coeficientului 6 , și nu se aplică variabilei b. Înțelegerea acestui fapt vă va permite să nu faceți greșeli în viitor cu semne.

Găsiți valoarea expresiei −6b la b = 3.

−6b −6×b. Pentru claritate, scriem expresia −6bîn formă extinsă și înlocuiți valoarea variabilei b

−6b = −6 × b = −6 × 3 = −18

Exemplul 2 Găsiți valoarea unei expresii −6b la b = −5

Să scriem expresia −6bîn formă extinsă

−6b = −6 × b = −6 × (−5) = 30

Exemplul 3 Găsiți valoarea unei expresii −5a+b la a = 3și b = 2

−5a+b este forma scurtă pentru −5 × a + b, prin urmare, pentru claritate, scriem expresia −5×a+bîn formă extinsă și înlocuiți valorile variabilelor Ași b

−5a + b = −5 × a + b = −5 × 3 + 2 = −15 + 2 = −13

Uneori literele sunt scrise fără coeficient, de exemplu A sau ab. În acest caz, coeficientul este unul:

dar unitatea nu este în mod tradițional scrisă, așa că scriu doar A sau ab

Dacă înaintea literei este un minus, atunci coeficientul este un număr −1 . De exemplu, expresia -A de fapt arata ca −1a. Acesta este produsul dintre minus unu și variabilă A. A iesit asa:

−1 × a = −1a

Aici se află un mic truc. În expresie -A minus înainte de variabilă A se referă de fapt la „unitatea invizibilă” și nu la variabilă A. Prin urmare, atunci când rezolvați probleme, ar trebui să fiți atenți.

De exemplu, având în vedere expresia -Ași ni se cere să îi găsim valoarea la a = 2, apoi la școală am înlocuit un deuce în loc de o variabilă Ași obțineți un răspuns −2 , fără a se concentra cu adevărat pe cum a ieșit. De fapt, a existat o înmulțire a minus unu cu un număr pozitiv 2

-a = -1 × a

−1 × a = −1 × 2 = −2

Dacă este dată o expresie -Ași se cere să-și găsească valoarea la a = −2, apoi înlocuim −2 în loc de o variabilă A

-a = -1 × a

−1 × a = −1 × (−2) = 2

Pentru a evita greșelile, la început unitățile invizibile pot fi scrise explicit.

Exemplul 4 Găsiți valoarea unei expresii abc la a=2 , b=3și c=4

Expresie abc 1×a×b×c. Pentru claritate, scriem expresia abc a, bși c

1 x a x b x c = 1 x 2 x 3 x 4 = 24

Exemplul 5 Găsiți valoarea unei expresii abc la a=−2 , b=−3și c=−4

Să scriem expresia abcîn formă extinsă și înlocuiți valorile variabilelor a, bși c

1 × a × b × c = 1 × (−2) × (−3) × (−4) = −24

Exemplul 6 Găsiți valoarea unei expresii − abc la a=3, b=5 și c=7

Expresie − abc este forma scurtă pentru −1×a×b×c. Pentru claritate, scriem expresia − abcîn formă extinsă și înlocuiți valorile variabilelor a, bși c

−abc = −1 × a × b × c = −1 × 3 × 5 × 7 = −105

Exemplul 7 Găsiți valoarea unei expresii − abc la a=−2 , b=−4 și c=−3

Să scriem expresia − abc extins:

−abc = −1 × a × b × c

Înlocuiți valoarea variabilelor A , bși c

−abc = −1 × a × b × c = −1 × (−2) × (−4) × (−3) = 24

Cum se determină coeficientul

Uneori se cere rezolvarea unei probleme în care se cere determinarea coeficientului unei expresii. În principiu, această sarcină este foarte simplă. Este suficient să poți înmulți corect numerele.

Pentru a determina coeficientul dintr-o expresie, trebuie să înmulțiți separat numerele incluse în această expresie și să înmulțiți separat literele. Factorul numeric rezultat va fi coeficientul.

Exemplul 1 7m×5a×(−3)×n

Expresia constă din mai mulți factori. Acest lucru poate fi văzut clar dacă expresia este scrisă în formă extinsă. Adică funcționează 7mși 5a scrie in formular 7×mși 5×a

7 × m × 5 × a × (−3) × n

Aplicăm legea asociativă a înmulțirii, care ne permite să înmulțim factorii în orice ordine. Și anume, înmulțiți separat numerele și înmulțiți separat literele (variabile):

−3 × 7 × 5 × m × a × n = −105man

Coeficientul este −105 . După finalizare, partea de litere este de preferință aranjată în ordine alfabetică:

−105 am

Exemplul 2 Determinați coeficientul în expresia: −a×(−3)×2

−a × (−3) × 2 = −3 × 2 × (−a) = −6 × (−a) = 6a

Coeficientul este 6.

Exemplul 3 Determinați coeficientul în expresia:

Să înmulțim separat numerele și literele:

Coeficientul este −1. Vă rugăm să rețineți că unitatea nu este înregistrată, deoarece coeficientul 1 nu este de obicei înregistrat.

Aceste sarcini aparent simple pot juca o glumă foarte crudă cu noi. Se dovedește adesea că semnul coeficientului este setat incorect: fie un minus este omis, fie, dimpotrivă, este stabilit în zadar. Pentru a evita aceste greșeli enervante, trebuie studiat la un nivel bun.

Termeni în expresii literale

Când adăugați mai multe numere, obțineți suma acelor numere. Numerele care se adună se numesc termeni. Pot exista mai mulți termeni, de exemplu:

1 + 2 + 3 + 4 + 5

Când o expresie constă din termeni, este mult mai ușor să o calculezi, deoarece este mai ușor să adunăm decât să scazi. Dar expresia poate conține nu numai adunare, ci și scădere, de exemplu:

1 + 2 − 3 + 4 − 5

În această expresie, numerele 3 și 5 se scad, nu se adună. Dar nimic nu ne împiedică să înlocuim scăderea cu adunarea. Apoi obținem din nou o expresie formată din termeni:

1 + 2 + (−3) + 4 + (−5)

Nu contează că numerele -3 și -5 sunt acum cu semnul minus. Principalul lucru este că toate numerele din această expresie sunt conectate prin semnul de adunare, adică expresia este o sumă.

Ambele expresii 1 + 2 − 3 + 4 − 5 și 1 + 2 + (−3) + 4 + (−5) sunt egale cu aceeași valoare - minus unu

1 + 2 − 3 + 4 − 5 = −1

1 + 2 + (−3) + 4 + (−5) = −1

Astfel, valoarea expresiei nu va avea de suferit din cauza faptului că înlocuim undeva scăderea cu adunarea.

De asemenea, puteți înlocui scăderea cu adunarea în expresiile literale. De exemplu, luați în considerare următoarea expresie:

7a + 6b - 3c + 2d - 4s

7a + 6b + (−3c) + 2d + (−4s)

Pentru orice valori ale variabilelor a, b, c, dși s expresii 7a + 6b - 3c + 2d - 4s și 7a + 6b + (−3c) + 2d + (−4s) va fi egală cu aceeași valoare.

Trebuie să fii pregătit pentru faptul că un profesor de la școală sau un profesor de la un institut poate numi termeni chiar și acele numere (sau variabile) care nu sunt ele.

De exemplu, dacă diferența este scrisă pe tablă a-b, atunci profesorul nu va spune asta A este minuend și b- deductibil. El va numi ambele variabile un singur cuvânt comun - termeni. Și totul pentru că expresia formei a-b matematicianul vede cum suma a + (−b). În acest caz, expresia devine o sumă, iar variabilele Ași (−b) devin componente.

Termeni similari

Termeni similari sunt termeni care au aceeași parte de literă. De exemplu, luați în considerare expresia 7a + 6b + 2a. Termeni 7ași 2a au aceeași parte de literă - variabilă A. Deci termenii 7ași 2a Sunt asemănătoare.

De obicei, termeni similari sunt adăugați pentru a simplifica o expresie sau pentru a rezolva o ecuație. Această operație se numește reducerea termenilor similari.

Pentru a aduce termeni similari, trebuie să adăugați coeficienții acestor termeni și să înmulțiți rezultatul cu partea comună a literei.

De exemplu, dăm termeni similari în expresie 3a + 4a + 5a. În acest caz, toți termenii sunt similari. Adăugăm coeficienții lor și înmulțim rezultatul cu partea comună cu literă - cu variabilă A

3a + 4a + 5a = (3 + 4 + 5)×a = 12a

Astfel de termeni sunt de obicei dați în minte și rezultatul este înregistrat imediat:

3a + 4a + 5a = 12a

De asemenea, puteți argumenta astfel:

Au fost adăugate 3 variabile a, încă 4 variabile a și încă 5 variabile a. Ca rezultat, am obținut 12 variabile a

Să luăm în considerare câteva exemple de reducere a termenilor similari. Avand in vedere ca acest subiect este foarte important, la inceput vom nota fiecare detaliu in detaliu. În ciuda faptului că aici totul este foarte simplu, majoritatea oamenilor fac multe greșeli. Mai ales din cauza neatenției, nu a ignoranței.

Exemplul 1 3un + 2un + 6un + 8A

Adăugăm coeficienții din această expresie și înmulțim rezultatul cu partea comună a literei:

3un + 2un + 6un + 8a=(3 + 2 + 6 + 8)× a = 19A

Construcție (3 + 2 + 6 + 8) × a nu poți nota, așa că vom nota imediat răspunsul

3 un + 2 un + 6 un + 8 a = 19 A

Exemplul 2 Aduceți termeni similari în expresie 2a+a

Al doilea mandat A scris fără coeficient, dar de fapt este precedat de un coeficient 1 , pe care nu o vedem din cauza faptului că nu este înregistrată. Deci expresia arată astfel:

2a + 1a

Acum prezentăm termeni similari. Adică, adăugăm coeficienții și înmulțim rezultatul cu partea comună a literei:

2a + 1a = (2 + 1) × a = 3a

Să scriem soluția pe scurt:

2a + a = 3a

2a+a, puteți argumenta în alt mod:

Exemplul 3 Aduceți termeni similari în expresie 2a - a

Să înlocuim scăderea cu adunarea:

2a + (−a)

Al doilea mandat (−a) scris fără coeficient, dar de fapt pare (−1a). Coeficient −1 din nou invizibil datorită faptului că nu este înregistrat. Deci expresia arată astfel:

2a + (−1a)

Acum prezentăm termeni similari. Adăugăm coeficienții și înmulțim rezultatul cu partea comună a literei:

2a + (−1a) = (2 + (−1)) × a = 1a = a

De obicei scris mai scurt:

2a − a = a

Aducerea unor termeni asemănători în expresie 2a−a Puteți argumenta și în alt mod:

Au fost 2 variabile a, scăzând o variabilă a, ca urmare a fost o singură variabilă a

Exemplul 4 Aduceți termeni similari în expresie 6a - 3a + 4a - 8a

6a − 3a + 4a − 8a = 6a + (−3a) + 4a + (−8a)

Acum prezentăm termeni similari. Adăugați coeficienții și înmulțiți rezultatul cu partea comună a literei

(6 + (−3) + 4 + (−8)) × a = −1a = −a

Să scriem soluția pe scurt:

6a - 3a + 4a - 8a = -a

Există expresii care conțin mai multe grupuri diferite de termeni similari. De exemplu, 3a + 3b + 7a + 2b. Pentru astfel de expresii se aplică aceleași reguli ca și pentru restul, și anume, adunarea coeficienților și înmulțirea rezultatului cu partea de literă comună. Dar pentru a evita greșelile, este convenabil să subliniați diferite grupuri de termeni cu linii diferite.

De exemplu, în expresia 3a + 3b + 7a + 2b acei termeni care conțin o variabilă A, poate fi subliniat cu o singură linie și acei termeni care conțin o variabilă b, poate fi subliniat cu două rânduri:

Acum putem aduce condiții similare. Adică, adăugați coeficienții și înmulțiți rezultatul cu partea comună a literei. Acest lucru trebuie făcut pentru ambele grupuri de termeni: pentru termeni care conțin o variabilă A iar pentru termenii care conțin variabila b.

3a + 3b + 7a + 2b = (3+7)×a + (3 + 2)×b = 10a + 5b

Din nou, repetăm, expresia este simplă și termeni similari pot fi dați în minte:

3a + 3b + 7a + 2b = 10a + 5b

Exemplul 5 Aduceți termeni similari în expresie 5a - 6a - 7b + b

Înlocuim scăderea cu adunarea acolo unde este posibil:

5a − 6a −7b + b = 5a + (−6a) + (−7b) + b

Subliniați termeni similari cu linii diferite. Termeni care conțin variabile A subliniați cu o linie și termenii care conțin variabilele b, subliniat cu două rânduri:

Acum putem aduce condiții similare. Adică, adăugați coeficienții și înmulțiți rezultatul cu partea comună a literei:

5a + (−6a) + (−7b) + b = (5 + (−6))×a + ((−7) + 1)×b = −a + (−6b)

Dacă expresia conține numere obișnuite fără factori alfabetici, atunci acestea sunt adăugate separat.

Exemplul 6 Aduceți termeni similari în expresie 4a + 3a − 5 + 2b + 7

Să înlocuim scăderea cu adunarea acolo unde este posibil:

4a + 3a − 5 + 2b + 7 = 4a + 3a + (−5) + 2b + 7

Să prezentăm termeni similari. Numerele −5 și 7 nu au factori literali, dar sunt termeni similari - trebuie doar să-i adunați. Și termenul 2b va rămâne neschimbat, deoarece este singurul din această expresie care are un factor de literă b,și nu există nimic cu care să-l adaugi:

4a + 3a + (−5) + 2b + 7 = (4 + 3)×a + 2b + (−5) + 7 = 7a + 2b + 2

Să scriem soluția pe scurt:

4a + 3a − 5 + 2b + 7 = 7a + 2b + 2

Termenii pot fi ordonați astfel încât acei termeni care au aceeași parte de literă să fie localizați în aceeași parte a expresiei.

Exemplul 7 Aduceți termeni similari în expresie 5t+2x+3x+5t+x

Deoarece expresia este suma mai multor termeni, acest lucru ne permite să o evaluăm în orice ordine. Prin urmare, termenii care conțin variabila t, se pot scrie la începutul expresiei, iar termenii care conțin variabila X la sfârșitul expresiei:

5t+5t+2x+3x+x

Acum putem adăuga termeni similari:

5t + 5t + 2x + 3x + x = (5+5)×t + (2+3+1)×x = 10t + 6x

Să scriem soluția pe scurt:

5t + 2x + 3x + 5t + x = 10t + 6x

Suma numerelor opuse este zero. Această regulă funcționează și pentru expresiile literale. Dacă expresia conține termeni identici, dar cu semne opuse, atunci puteți scăpa de ei în stadiul de reducere a termenilor similari. Cu alte cuvinte, eliminați-le din expresie deoarece suma lor este zero.

Exemplul 8 Aduceți termeni similari în expresie 3t − 4t − 3t + 2t

Să înlocuim scăderea cu adunarea acolo unde este posibil:

3t − 4t − 3t + 2t = 3t + (−4t) + (−3t) + 2t

Termeni 3tși (−3t) sunt opuse. Suma termenilor opuși este egală cu zero. Dacă eliminăm acest zero din expresie, atunci valoarea expresiei nu se va modifica, așa că o vom elimina. Și îl vom elimina prin ștergerea obișnuită a termenilor 3tși (−3t)

Ca rezultat, vom avea expresia (−4t) + 2t. În această expresie, puteți adăuga termeni similari și puteți obține răspunsul final:

(−4t) + 2t = ((−4) + 2)×t = −2t

Să scriem soluția pe scurt:

Simplificarea expresiei

„simplificați expresia” iar următoarea este expresia de simplificat. Simplificați expresiaînseamnă să o faci mai simplă și mai scurtă.

De fapt, ne-am ocupat deja de simplificarea expresiilor la reducerea fracțiilor. După reducere, fracția a devenit mai scurtă și mai ușor de citit.

Luați în considerare următorul exemplu. Simplificați expresia.

Această sarcină poate fi înțeleasă literal după cum urmează: „Fă tot ce poți face cu această expresie, dar simplifică-l” .

În acest caz, puteți reduce fracția, și anume, împărțiți numărătorul și numitorul fracției la 2:

Ce altceva se mai poate face? Puteți calcula fracția rezultată. Apoi obținem zecimala 0,5

Ca rezultat, fracția a fost simplificată la 0,5.

Prima întrebare pe care să ți-o pui atunci când rezolvi astfel de probleme ar trebui să fie "ce se poate face?" . Pentru că sunt lucruri pe care le poți face și sunt lucruri pe care nu le poți face.

Un alt punct important de reținut este că valoarea unei expresii nu trebuie să se schimbe după ce expresia este simplificată. Să revenim la expresie. Această expresie este o diviziune care poate fi efectuată. După efectuarea acestei împărțiri, obținem valoarea acestei expresii, care este egală cu 0,5

Dar am simplificat expresia și am obținut o nouă expresie simplificată. Valoarea noii expresii simplificate este încă 0,5

Dar am încercat și să simplificăm expresia calculând-o. Ca urmare, răspunsul final a fost 0,5.

Astfel, indiferent de modul în care simplificăm expresia, valoarea expresiilor rezultate este tot 0,5. Aceasta înseamnă că simplificarea a fost efectuată corect în fiecare etapă. Acesta este ceea ce trebuie să ne străduim atunci când simplificăm expresii - sensul expresiei nu ar trebui să sufere de pe urma acțiunilor noastre.

Este adesea necesară simplificarea expresiilor literale. Pentru ei se aplică aceleași reguli de simplificare ca și pentru expresiile numerice. Puteți efectua orice acțiune validă, atâta timp cât valoarea expresiei nu se modifică.

Să ne uităm la câteva exemple.

Exemplul 1 Simplificați expresia 5,21s × t × 2,5

Pentru a simplifica această expresie, puteți înmulți numerele separat și înmulți literele separat. Această sarcină este foarte asemănătoare cu cea pe care am considerat-o când am învățat să determinăm coeficientul:

5,21s × t × 2,5 = 5,21 × 2,5 × s × t = 13,025 × st = 13,025

Deci expresia 5,21s × t × 2,5 simplificat la 13.025st.

Exemplul 2 Simplificați expresia −0,4×(−6,3b)×2

A doua lucrare (−6.3b) poate fi tradus într-o formă pe care o putem înțelege, și anume, scrisă sub forma ( −6,3)×b , apoi înmulțiți separat numerele și înmulțiți separat literele:

− 0,4 × (−6,3b) × 2 = − 0,4 × (−6,3) × b × 2 = 5,04b

Deci expresia −0,4×(−6,3b)×2 simplificat la 5.04b

Exemplul 3 Simplificați expresia

Să scriem această expresie mai detaliat pentru a vedea clar unde sunt numerele și unde sunt literele:

Acum înmulțim numerele separat și înmulțim literele separat:

Deci expresia simplificat la −abc. Această soluție poate fi scrisă mai scurt:

La simplificarea expresiilor, fracțiile pot fi reduse în procesul de rezolvare, și nu la sfârșit, așa cum am făcut cu fracțiile obișnuite. De exemplu, dacă în cursul rezolvării întâlnim o expresie de forma , atunci nu este deloc necesar să calculăm numărătorul și numitorul și să facem ceva de genul acesta:

O fracție poate fi redusă alegând atât factorul la numărător, cât și la numitor și reducând acești factori cu cel mai mare divizor comun al lor. Cu alte cuvinte, folosiți , în care nu descriem în detaliu în ce au fost împărțiți numărătorul și numitorul.

De exemplu, la numărător, factorul 12 și la numitor, factorul 4 poate fi redus cu 4. Le păstrăm în minte pe cele patru și, împărțind 12 și 4 la aceste patru, scriem răspunsurile lângă aceste numere, trecându-le anterior

Acum puteți înmulți factorii mici rezultați. În acest caz, nu sunt multe și le poți înmulți în minte:

De-a lungul timpului, este posibil să descoperiți că atunci când rezolvați o anumită problemă, expresiile încep să „îngrășeze”, așa că este indicat să vă obișnuiți cu calculele rapide. Ceea ce poate fi calculat în minte trebuie calculat în minte. Ceea ce poate fi tăiat rapid trebuie tăiat rapid.

Exemplul 4 Simplificați expresia

Deci expresia simplificat la

Exemplul 5 Simplificați expresia

Înmulțim numerele separat și literele separat:

Deci expresia simplificat la mn.

Exemplul 6 Simplificați expresia

Să scriem această expresie mai detaliat pentru a vedea clar unde sunt numerele și unde sunt literele:

Acum înmulțim separat numerele și literele separat. Pentru comoditatea calculelor, fracția zecimală -6,4 și numărul mixt pot fi convertite în fracții obișnuite:

Deci expresia simplificat la

Soluția pentru acest exemplu poate fi scrisă mult mai scurt. Va arata asa:

Exemplul 7 Simplificați expresia

Înmulțim numerele separat și literele separat. Pentru comoditatea calculului, numărul mixt și fracțiile zecimale 0,1 și 0,6 pot fi convertite în fracții obișnuite:

Deci expresia simplificat la abcd. Dacă sări peste detalii, atunci această soluție poate fi scrisă mult mai scurt:

Observați cum a fost redusă fracția. Multiplicatorii noi, care se obțin prin reducerea multiplicatorilor anteriori, pot fi, de asemenea, reduse.

Acum să vorbim despre ce să nu faci. La simplificarea expresiilor, este strict interzisă înmulțirea numerelor și literelor dacă expresia este o sumă și nu un produs.

De exemplu, dacă doriți să simplificați expresia 5a + 4b, atunci nu se poate scrie astfel:

Acest lucru este echivalent cu faptul că dacă ni s-ar cere să adunăm două numere și le-am înmulți în loc să le adunăm.

La înlocuirea oricăror valori ale variabilelor Ași b expresie 5a+4b se transformă într-o expresie numerică simplă. Să presupunem variabilele Ași b au urmatoarele semnificatii:

a = 2, b = 3

Atunci valoarea expresiei va fi 22

5a + 4b = 5 × 2 + 4 × 3 = 10 + 12 = 22

Mai întâi se efectuează înmulțirea, apoi se adună rezultatele. Și dacă am încerca să simplificăm această expresie prin înmulțirea numerelor și literelor, am obține următoarele:

5a + 4b = 5 × 4 × a × b = 20ab

20ab = 20 x 2 x 3 = 120

Se dovedește un sens complet diferit al expresiei. În primul caz s-a dovedit 22 , în al doilea caz 120 . Aceasta înseamnă că simplificarea expresiei 5a + 4b a fost efectuat incorect.

După simplificarea expresiei, valoarea acesteia nu ar trebui să se schimbe cu aceleași valori ale variabilelor. Dacă, la înlocuirea oricăror valori variabile în expresia originală, se obține o valoare, atunci după simplificarea expresiei, ar trebui să se obțină aceeași valoare ca înainte de simplificare.

Cu expresie 5a + 4b de fapt nimic nu se poate face. Nu devine mai ușor.

Dacă expresia conține termeni similari, atunci aceștia pot fi adăugați dacă scopul nostru este de a simplifica expresia.

Exemplul 8 Simplificați expresia 0,3a−0,4a+a

0,3a − 0,4a + a = 0,3a + (−0,4a) + a = (0,3 + (−0,4) + 1)×a = 0,9a

sau mai scurt: 0,3a - 0,4a + a = 0,9a

Deci expresia 0,3a−0,4a+a simplificat la 0,9a

Exemplul 9 Simplificați expresia −7,5a − 2,5b + 4a

Pentru a simplifica această expresie, puteți adăuga termeni similari:

−7,5a − 2,5b + 4a = −7,5a + (−2,5b) + 4a = ((−7,5) + 4)×a + (−2,5b) = −3,5a + (−2,5b)

sau mai scurt −7,5a − 2,5b + 4a = −3,5a + (−2,5b)

termen (−2,5b) a rămas neschimbat, deoarece nu avea cu ce să-l plieze.

Exemplul 10 Simplificați expresia

Pentru a simplifica această expresie, puteți adăuga termeni similari:

Coeficientul a fost pentru comoditatea calculului.

Deci expresia simplificat la

Exemplul 11. Simplificați expresia

Pentru a simplifica această expresie, puteți adăuga termeni similari:

Deci expresia simplificat la .

În acest exemplu, ar fi mai logic să adăugați primul și ultimul coeficient. În acest caz, vom obține o soluție scurtă. Ar arata asa:

Exemplul 12. Simplificați expresia

Pentru a simplifica această expresie, puteți adăuga termeni similari:

Deci expresia simplificat la .

Termenul a rămas neschimbat, deoarece nu era nimic de adăugat.

Această soluție poate fi scrisă mult mai scurt. Va arata asa:

Soluția scurtă omite pașii de înlocuire a scăderii cu adunarea și o înregistrare detaliată a modului în care fracțiile au fost reduse la un numitor comun.

O altă diferență este că în soluția detaliată, răspunsul arată ca , dar pe scurt ca . De fapt, este aceeași expresie. Diferența este că în primul caz, scăderea este înlocuită cu adunarea, deoarece la început, când am notat soluția în detaliu, am înlocuit scăderea cu adunarea ori de câte ori a fost posibil, iar această înlocuire a fost păstrată pentru răspuns.

Identități. Expresii identice egale

După ce am simplificat orice expresie, aceasta devine mai simplă și mai scurtă. Pentru a verifica dacă expresia este simplificată corect, este suficient să înlocuiți orice valori ale variabilelor mai întâi în expresia anterioară, care trebuia simplificată, și apoi în cea nouă, care a fost simplificată. Dacă valoarea din ambele expresii este aceeași, atunci expresia este simplificată corect.

Să luăm în considerare cel mai simplu exemplu. Să fie necesar pentru a simplifica expresia 2a × 7b. Pentru a simplifica această expresie, puteți înmulți separat numerele și literele:

2a × 7b = 2 × 7 × a × b = 14ab

Să verificăm dacă am simplificat corect expresia. Pentru a face acest lucru, înlocuiți orice valoare a variabilelor Ași b mai întâi la prima expresie, care trebuia simplificată, iar apoi la a doua, care a fost simplificată.

Lasă valorile variabilelor A , b va fi după cum urmează:

a = 4, b = 5

Înlocuiește-le în prima expresie 2a × 7b

Acum să substituim aceleași valori ale variabilelor în expresia care a rezultat în urma simplificării 2a×7b, și anume în expresia 14ab

14ab = 14 x 4 x 5 = 280

Vedem asta la a=4și b=5 valoarea primei expresii 2a×7bși valoarea celei de-a doua expresii 14ab egal

2a × 7b = 2 × 4 × 7 × 5 = 280

14ab = 14 x 4 x 5 = 280

Același lucru se va întâmpla pentru orice alte valori. De exemplu, lasa a=1și b=2

2a × 7b = 2 × 1 × 7 × 2 = 28

14ab = 14 x 1 x 2 = 28

Astfel, pentru orice valoare a variabilelor, expresiile 2a×7bși 14ab sunt egale cu aceeași valoare. Astfel de expresii sunt numite identic egale.

Conchidem că între expresii 2a×7bși 14ab puteți pune un semn egal, deoarece sunt egale cu aceeași valoare.

2a × 7b = 14ab

O egalitate este orice expresie care este unită printr-un semn egal (=).

Și egalitatea formei 2a×7b = 14ab numit identitate.

O identitate este o egalitate care este adevărată pentru orice valoare a variabilelor.

Alte exemple de identități:

a + b = b + a

a(b+c) = ab + ac

a(bc) = (ab)c

Da, legile matematicii pe care le-am studiat sunt identități.

Egalitățile numerice adevărate sunt, de asemenea, identități. De exemplu:

2 + 2 = 4

3 + 3 = 5 + 1

10 = 7 + 2 + 1

La rezolvarea unei probleme complexe, pentru a facilita calculul, expresia complexa este inlocuita cu o expresie mai simpla care este identic egala cu cea precedenta. Un astfel de înlocuitor se numește transformare identică a expresiei sau pur și simplu conversia expresiei.

De exemplu, am simplificat expresia 2a × 7bși obțineți o expresie mai simplă 14ab. Această simplificare poate fi numită transformarea identităţii.

Puteți găsi adesea o sarcină care spune „demonstrează că egalitatea este identitate” iar apoi se dă egalitatea de demonstrat. De obicei, această egalitate constă din două părți: părțile din stânga și din dreapta ale egalității. Sarcina noastră este să efectuăm transformări identice cu una dintre părțile egalității și să obținem cealaltă parte. Sau efectuați transformări identice cu ambele părți ale egalității și asigurați-vă că ambele părți ale egalității conțin aceleași expresii.

De exemplu, să demonstrăm că egalitatea 0,5a × 5b = 2,5ab este o identitate.

Simplificați partea stângă a acestei egalități. Pentru a face acest lucru, înmulțiți separat numerele și literele:

0,5 × 5 × a × b = 2,5ab

2,5ab = 2,5ab

Ca rezultat al unei mici transformări de identitate, partea stângă a egalității a devenit egală cu partea dreaptă a egalității. Deci am demonstrat că egalitatea 0,5a × 5b = 2,5ab este o identitate.

Din transformări identice, am învățat să adunăm, să scădem, să înmulțim și să împărțim numere, să reducem fracții, să aducem termeni similari și, de asemenea, să simplificăm unele expresii.

Dar acestea sunt departe de toate transformările identice care există în matematică. Există mult mai multe transformări identice. Vom vedea asta din nou și din nou în viitor.

Sarcini pentru soluție independentă:

Ți-a plăcut lecția?
Alăturați-vă noului nostru grup Vkontakte și începeți să primiți notificări despre noile lecții

Expresii, conversie de expresii

Expresii de putere (expresii cu puteri) și transformarea lor

În acest articol, vom vorbi despre transformarea expresiilor cu puteri. În primul rând, ne vom concentra asupra transformărilor care sunt efectuate cu expresii de orice fel, inclusiv expresii de putere, cum ar fi parantezele de deschidere, reducând termeni similari. Și apoi vom analiza transformările inerente expresiilor cu puteri: lucrul cu baza și exponentul, folosirea proprietăților puterilor etc.

Navigare în pagină.

Ce sunt expresiile de putere?

Termenul „expresii de putere” nu se găsește practic în manualele școlare de matematică, dar apare adesea în colecții de sarcini, special concepute pentru a pregăti examenul de stat unificat și OGE, de exemplu. După analizarea sarcinilor în care este necesară efectuarea oricăror acțiuni cu expresii de putere, devine clar că expresiile de putere sunt înțelese ca expresii care conțin grade în intrările lor. Prin urmare, pentru tine, poți lua următoarea definiție:

Definiție.

Expresii de putere sunt expresii care conțin puteri.

Să aducem exemple de expresii de putere. Mai mult, le vom prezenta în funcție de modul în care se dezvoltă vederile de la un grad cu un indicator natural la un grad cu un indicator real.

După cum știți, mai întâi există o cunoaștere a gradului unui număr cu exponent natural, în acest stadiu primele expresii de putere cele mai simple de tip 3 2 , 7 5 +1 , (2+1) 5 , (−0, 1) 4 , 3 a 2 −a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 etc.

Puțin mai târziu, se studiază puterea unui număr cu exponent întreg, ceea ce duce la apariția expresiilor de putere cu puteri întregi negative, precum următoarele: 3 −2, , a −2 +2 b −3 + c 2 .

La clasele superioare se întorc din nou la grade. Acolo, se introduce un grad cu un exponent rațional, ceea ce duce la apariția expresiilor de putere corespunzătoare: , , etc. În sfârșit, se consideră grade cu exponenți iraționali și expresii care îi conțin: , .

Problema nu se limitează la expresiile de putere enumerate: mai departe variabila pătrunde în exponent și există, de exemplu, astfel de expresii 2 x 2 +1 sau . Și după ce ne-am familiarizat cu, încep să apară expresii cu puteri și logaritmi, de exemplu, x 2 lgx −5 x lgx.

Deci, ne-am dat seama de întrebarea ce sunt expresiile puterii. În continuare, vom învăța cum să le transformăm.

Principalele tipuri de transformări ale expresiilor puterii

Cu expresiile de putere, puteți efectua oricare dintre transformările de bază ale identității expresiilor. De exemplu, puteți deschide paranteze, puteți înlocui expresiile numerice cu valorile lor, puteți adăuga termeni similari și așa mai departe. Desigur, în acest caz este necesar să urmați procedura acceptată pentru efectuarea acțiunilor. Să dăm exemple.

Exemplu.

Calculați valoarea expresiei puterii 2 3 ·(4 2 −12) .

Soluţie.

După ordinea acțiunilor, mai întâi efectuăm acțiunile dintre paranteze. Acolo, în primul rând, înlocuim puterea lui 4 2 cu valoarea sa 16 (vezi dacă este necesar), iar în al doilea rând, calculăm diferența 16−12=4 . Avem 2 3 (4 2 −12)=2 3 (16−12)=2 3 4.

În expresia rezultată înlocuim puterea lui 2 3 cu valoarea ei 8 , după care calculăm produsul 8·4=32 . Aceasta este valoarea dorită.

Asa de, 2 3 (4 2 −12)=2 3 (16−12)=2 3 4=8 4=32.

Răspuns:

2 3 (4 2 −12)=32 .

Exemplu.

Simplificați expresiile puterii 3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7.

Soluţie.

Evident, această expresie conține termeni similari 3 · a 4 · b − 7 și 2 · a 4 · b − 7 , și îi putem reduce: .

Răspuns:

3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7 =5 a 4 b −7 −1.

Exemplu.

Exprimați o expresie cu puteri ca produs.

Soluţie.

Pentru a face față sarcinii, permite reprezentarea numărului 9 ca o putere a 3 2 și utilizarea ulterioară a formulei de înmulțire prescurtate, diferența de pătrate:

Răspuns:

Există, de asemenea, o serie de transformări identice inerente expresiilor puterii. În continuare, le vom analiza.

Lucrul cu baza și exponent

Există grade, în baza și/sau indicatorul cărora nu sunt doar numere sau variabile, ci câteva expresii. Ca exemplu, să scriem (2+0.3 7) 5−3.7 și (a (a+1)−a 2) 2 (x+1) .

Când lucrați cu astfel de expresii, este posibil să înlocuiți atât expresia din baza gradului, cât și expresia din indicator cu o expresie identică egală pe DPV a variabilelor sale. Cu alte cuvinte, conform regulilor cunoscute de noi, putem converti separat baza gradului și separat - indicatorul. Este clar că în urma acestei transformări se obține o expresie identic egală cu cea inițială.

Astfel de transformări ne permit să simplificăm expresiile cu puteri sau să atingem alte scopuri de care avem nevoie. De exemplu, în expresia puterii (2+0.3 7) 5−3.7 menționată mai sus, puteți efectua operații cu numere în bază și exponent, ceea ce vă va permite să mergeți la puterea lui 4,1 1,3. Și după ce deschidem parantezele și aducem termeni similari în baza gradului (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) obținem o expresie a puterii de o formă mai simplă a 2·(x+1). ).

Utilizarea proprietăților puterii

Unul dintre instrumentele principale pentru transformarea expresiilor cu puteri sunt egalitățile care reflectă . Să le amintim pe cele principale. Pentru orice numere pozitive a și b și numere reale arbitrare r și s, sunt valabile următoarele proprietăți de putere:

• a r a s =a r+s ;
• a r:a s =a r−s ;
• (a b) r = a r b r ;
• (a:b) r =a r:b r ;
• (a r) s =a r s .

Rețineți că pentru exponenții naturali, întregi și pozitivi, restricțiile asupra numerelor a și b pot să nu fie atât de stricte. De exemplu, pentru numerele naturale m și n, egalitatea a m ·a n =a m+n este adevărată nu numai pentru a pozitiv, ci și pentru cele negative și pentru a=0 .

La școală, atenția principală în transformarea expresiilor puterii este concentrată tocmai pe capacitatea de a alege proprietatea potrivită și de a o aplica corect. În acest caz, bazele gradelor sunt de obicei pozitive, ceea ce vă permite să utilizați proprietățile gradelor fără restricții. Același lucru este valabil și pentru transformarea expresiilor care conțin variabile în bazele de grade - intervalul de valori acceptabile ale variabilelor este de obicei astfel încât bazele iau numai valori pozitive pe el, ceea ce vă permite să utilizați liber proprietățile de grade. În general, trebuie să vă întrebați în mod constant dacă este posibil să aplicați vreo proprietate a gradelor în acest caz, deoarece utilizarea incorectă a proprietăților poate duce la o îngustare a ODZ și la alte probleme. Aceste puncte sunt discutate în detaliu și cu exemple în articolul transformarea expresiilor folosind proprietățile gradelor. Aici ne limităm la câteva exemple simple.

Exemplu.

Exprimați expresia a 2,5 ·(a 2) −3:a −5,5 ca o putere cu baza a .

Soluţie.

Mai întâi, transformăm cel de-al doilea factor (a 2) −3 prin proprietatea de a ridica o putere la o putere: (a 2) −3 =a 2 (−3) =a −6. În acest caz, expresia puterii inițiale va lua forma a 2.5 ·a −6:a −5.5 . Evident, rămâne să folosim proprietățile înmulțirii și împărțirii puterilor cu aceeași bază, avem
a 2,5 a -6:a -5,5 =
a 2,5−6:a−5,5 =a−3,5:a−5,5 =
a −3,5−(−5,5) =a 2 .

Răspuns:

a 2,5 (a 2) -3:a -5,5 \u003d a 2.

Proprietățile puterii sunt utilizate atunci când se transformă expresiile de putere atât de la stânga la dreapta, cât și de la dreapta la stânga.

Exemplu.

Găsiți valoarea expresiei puterii.

Soluţie.

Egalitatea (a·b) r =a r ·b r , aplicată de la dreapta la stânga, vă permite să treceți de la expresia originală la produsul formei și mai departe. Și atunci când înmulțiți puteri cu aceeași bază, indicatorii se adună: .

A fost posibil să se realizeze transformarea expresiei originale într-un alt mod:

Răspuns:

.

Exemplu.

Având în vedere o expresie de putere a 1.5 −a 0.5 −6 , introduceți o nouă variabilă t=a 0.5 .

Soluţie.

Gradul a 1,5 poate fi reprezentat ca un 0,5 3 și în continuare pe baza proprietății gradului în gradul (a r) s =a r s aplicat de la dreapta la stânga, se transformă în forma (a 0,5) 3 . În acest fel, a 1,5 -a 0,5 -6=(a 0,5) 3 -a 0,5 -6. Acum este ușor să introducem o nouă variabilă t=a 0.5 , obținem t 3 −t−6 .

Răspuns:

t 3 −t−6 .

Conversia fracțiilor care conțin puteri

Expresiile puterii pot conține fracții cu puteri sau pot reprezenta astfel de fracții. Oricare dintre transformările de bază ale fracțiilor care sunt inerente fracțiilor de orice fel sunt pe deplin aplicabile acestor fracții. Adică, fracțiile care conțin grade pot fi reduse, reduse la un nou numitor, se pot lucra separat cu numărătorul lor și separat cu numitorul etc. Pentru a ilustra cuvintele de mai sus, luați în considerare soluțiile mai multor exemple.

Exemplu.

Simplificați expresia puterii .

Soluţie.

Această expresie a puterii este o fracție. Să lucrăm cu numărătorul și numitorul. La numărător, deschidem parantezele și simplificăm expresia obținută după aceea folosind proprietățile puterilor, iar la numitor prezentăm termeni similari:

Și schimbăm și semnul numitorului punând un minus în fața fracției: .

Răspuns:

.

Reducerea fracțiilor care conțin puteri la un nou numitor se realizează în mod similar cu reducerea fracțiilor raționale la un nou numitor. În același timp, se găsește și un factor suplimentar și se înmulțesc numărătorul și numitorul fracției cu acesta. La efectuarea acestei acțiuni, merită să ne amintim că reducerea la un nou numitor poate duce la o îngustare a DPV. Pentru a preveni acest lucru, este necesar ca factorul suplimentar să nu dispară pentru nicio valoare a variabilelor din variabilele ODZ pentru expresia originală.

Exemplu.

Aduceți fracțiile la un nou numitor: a) la numitorul a, b) la numitor.

Soluţie.

a) În acest caz, este destul de ușor să ne dăm seama ce factor suplimentar ajută la obținerea rezultatului dorit. Acesta este un factor a 0,3, deoarece a 0,7 a 0,3 = a 0,7+0,3 = a . Rețineți că în intervalul de valori acceptabile ale variabilei a (aceasta este mulțimea tuturor numerelor reale pozitive), gradul a 0,3 nu dispare, prin urmare, avem dreptul de a înmulți numărătorul și numitorul fracției date. prin acest factor suplimentar:

b) Privind mai atent la numitor, constatăm că

iar înmulțirea acestei expresii cu va da suma cuburilor și , adică . Și acesta este noul numitor la care trebuie să aducem fracția originală.

Așa că am găsit un factor suplimentar. Expresia nu dispare în intervalul de valori acceptabile ale variabilelor x și y, prin urmare, putem înmulți numărătorul și numitorul fracției cu acesta:

Răspuns:

A) , b) .

De asemenea, nu este nimic nou în reducerea fracțiilor care conțin grade: numărătorul și numitorul sunt reprezentați ca un anumit număr de factori, iar aceiași factori ai numărătorului și numitorului sunt reduse.

Exemplu.

Reduceți fracția: a) , b).

Soluţie.

a) În primul rând, numărătorul și numitorul pot fi reduse cu numerele 30 și 45, care este egal cu 15. De asemenea, evident, puteți reduce cu x 0,5 +1 și cu . Iată ce avem:

b) În acest caz, aceiași factori din numărător și numitor nu sunt vizibili imediat. Pentru a le obține, trebuie să efectuați transformări preliminare. În acest caz, ele constau în descompunerea numitorului în factori conform formulei diferenței de pătrate:

Răspuns:

A)

b) .

Reducerea fracțiilor la un nou numitor și reducerea fracțiilor sunt utilizate în principal pentru a efectua operații pe fracții. Acțiunile sunt efectuate conform regulilor cunoscute. La adunarea (scăderea) fracțiilor, acestea sunt reduse la un numitor comun, după care se adună (se scad) numărătorii, iar numitorul rămâne același. Rezultatul este o fracție al cărei numărător este produsul numărătorilor, iar numitorul este produsul numitorilor. Împărțirea cu o fracție este înmulțirea cu reciproca ei.

Exemplu.

Urmareste pasii .

Soluţie.

În primul rând, scădem fracțiile dintre paranteze. Pentru a face acest lucru, îi aducem la un numitor comun, care este , apoi scădeți numărătorii:

Acum înmulțim fracțiile:

Evident, este posibilă o reducere cu puterea x 1/2, după care avem .

De asemenea, puteți simplifica expresia puterii în numitor folosind formula diferenței de pătrate: .

Răspuns:

Exemplu.

Simplificați expresia puterii .

Soluţie.

Evident, această fracție poate fi redusă cu (x 2,7 +1) 2, aceasta dă fracția . Este clar că trebuie făcut altceva cu puterile lui x. Pentru a face acest lucru, convertim fracția rezultată într-un produs. Acest lucru ne oferă posibilitatea de a folosi proprietatea de a împărți puterile cu aceleași baze: . Și la sfârșitul procesului, trecem de la ultimul produs la fracțiune.

Răspuns:

.

Și adăugăm că este posibil și în multe cazuri de dorit să se transfere factori cu exponenți negativi de la numărător la numitor sau de la numitor la numărător prin schimbarea semnului exponentului. Astfel de transformări simplifică adesea acțiunile ulterioare. De exemplu, o expresie de putere poate fi înlocuită cu .

Conversia expresiilor cu rădăcini și puteri

Adesea în expresiile în care sunt necesare unele transformări, alături de grade cu exponenți fracționari, există și rădăcini. Pentru a converti o astfel de expresie în forma dorită, în cele mai multe cazuri este suficient să mergeți doar la rădăcini sau doar la puteri. Dar, deoarece este mai convenabil să lucrezi cu grade, de obicei se mută de la rădăcini la grade. Cu toate acestea, este recomandabil să efectuați o astfel de tranziție atunci când ODZ de variabile pentru expresia originală vă permite să înlocuiți rădăcinile cu grade fără a fi nevoie să accesați modulul sau să împărțiți ODZ-ul în mai multe intervale (am discutat acest lucru în detaliu în articol, trecerea de la rădăcini la puteri și invers După ce se familiarizează cu gradul cu un exponent rațional, se introduce un grad cu un indicator irațional, ceea ce face posibil să se vorbească despre un grad cu un indicator real arbitrar. În această etapă, scoala incepe sa studieze functie exponentiala, care este dat analitic de grad, în baza căruia există un număr, iar în indicator - o variabilă. Așadar, ne confruntăm cu expresii exponențiale care conțin numere în baza gradului, iar în exponent - expresii cu variabile și, firește, apare nevoia de a efectua transformări ale unor astfel de expresii.

Trebuie spus că transformarea expresiilor de tipul indicat trebuie de obicei efectuată la rezolvare ecuații exponențialeși inegalități exponențiale, iar aceste transformări sunt destul de simple. În marea majoritate a cazurilor, acestea se bazează pe proprietățile gradului și vizează mai ales introducerea unei noi variabile în viitor. Ecuația ne va permite să le demonstrăm 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 =0.

În primul rând, exponenții, în ai căror exponenți se găsește suma unei variabile (sau expresii cu variabile) și a unui număr, sunt înlocuiți cu produse. Acest lucru se aplică primului și ultimului termeni ai expresiei din partea stângă:
5 2 x 5 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x 7 −1 =0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x =0.

În continuare, ambele părți ale egalității sunt împărțite la expresia 7 2 x , care ia doar valori pozitive pe ODZ ale variabilei x pentru ecuația originală (aceasta este o tehnică standard pentru rezolvarea ecuațiilor de acest fel, nu suntem vorbind despre asta acum, așa că concentrează-te pe transformările ulterioare ale expresiilor cu puteri ):

Acum fracțiile cu puteri sunt anulate, ceea ce dă .

În cele din urmă, raportul puterilor cu aceiași exponenți este înlocuit cu puteri ale rapoartelor, ceea ce duce la ecuația , care este echivalent cu . Transformările efectuate ne permit să introducem o nouă variabilă, care reduce soluția ecuației exponențiale inițiale la soluția ecuației pătratice

I. V. Boikov, L. D. Romanova Culegere de sarcini pentru pregătirea pentru examen. Partea 1. Penza 2003.