Pentru a rezolva cu succes ecuații trigonometrice convenabil de utilizat metoda de reducere la probleme rezolvate anterior. Să vedem care este esența acestei metode?

În orice problemă propusă, trebuie să vedeți problema rezolvată anterior și apoi, folosind transformări echivalente succesive, să încercați să reduceți problema care ți-a fost dată la una mai simplă.

Deci, atunci când rezolvă ecuațiile trigonometrice, ele formează de obicei o secvență finită de ecuații echivalente, a căror ultimă legătură este o ecuație cu o soluție evidentă. Este important doar să ne amintim că, dacă nu se formează abilitățile pentru rezolvarea celor mai simple ecuații trigonometrice, atunci rezolvarea ecuațiilor mai complexe va fi dificilă și ineficientă.

În plus, atunci când rezolvați ecuații trigonometrice, nu trebuie să uitați niciodată de posibilitatea existenței mai multor soluții.

Exemplul 1. Aflați numărul de rădăcini ale ecuației cos x = -1/2 pe interval.

Soluţie:

eu drumul. Să trasăm graficele funcțiilor y = cos x și y = -1/2 și să găsim numărul punctelor lor comune pe interval (Fig. 1).

Deoarece graficele funcțiilor au două puncte comune pe interval, ecuația conține două rădăcini pe acest interval.

calea II. Folosind cercul trigonometric (Fig. 2), aflăm numărul de puncte aparținând intervalului în care cos x = -1/2. Figura arată că ecuația are două rădăcini.

calea III. Folosind formula rădăcinilor ecuației trigonometrice, rezolvăm ecuația cos x = -1/2.

x = ± arccos (-1/2) + 2πk, k este un număr întreg (k € Z);

x = ± (π – arccos 1/2) + 2πk, k este un număr întreg (k € Z);

x = ± (π – π/3) + 2πk, k este un număr întreg (k ∈ Z);

x = ± 2π/3 + 2πk, k este un număr întreg (k € Z).

Rădăcinile 2π/3 și -2π/3 + 2π aparțin intervalului, k este un număr întreg. Astfel, ecuația are două rădăcini într-un interval dat.

Raspuns: 2.

În viitor, ecuațiile trigonometrice vor fi rezolvate prin una dintre metodele propuse, ceea ce în multe cazuri nu exclude utilizarea altor metode.

Exemplul 2. Aflați numărul de soluții ale ecuației tg (x + π/4) = 1 pe intervalul [-2π; 2π].

Soluţie:

Folosind formula rădăcinilor ecuației trigonometrice, obținem:

x + π/4 = arctan 1 + πk, k este un număr întreg (k € Z);

x + π/4 = π/4 + πk, k este un număr întreg (k € Z);

x = πk, k este un număr întreg (k ∈ Z);

Intervalul [-2π; 2π] aparțin numerelor -2π; -π; 0; π; 2π. Deci, ecuația are cinci rădăcini într-un interval dat.

Raspuns: 5.

Exemplul 3. Aflați numărul de rădăcini ale ecuației cos 2 x + sin x cos x = 1 pe intervalul [-π; π].

Soluţie:

Deoarece 1 = sin 2 x + cos 2 x (identitatea trigonometrică de bază), ecuația inițială devine:

cos 2 x + sin x cos x = sin 2 x + cos 2 x;

sin 2 x - sin x cos x \u003d 0;

sin x(sin x - cos x) = 0. Produsul este egal cu zero, ceea ce înseamnă că cel puțin unul dintre factori trebuie să fie egal cu zero, prin urmare:

sin x \u003d 0 sau sin x - cos x \u003d 0.

Deoarece valoarea variabilei, la care cos x = 0, nu sunt rădăcinile celei de-a doua ecuații (sinusul și cosinusul aceluiași număr nu pot fi egale cu zero în același timp), atunci împărțim ambele părți ale celei de-a doua. ecuația prin cos x:

sin x = 0 sau sin x / cos x - 1 = 0.

În a doua ecuație, folosim faptul că tg x = sin x / cos x, atunci:

sin x = 0 sau tg x = 1. Folosind formule, avem:

x = πk sau x = π/4 + πk, k este un număr întreg (k ∈ Z).

De la prima serie de rădăcini până la intervalul [-π; π] aparțin numerelor -π; 0; π. Din a doua serie: (π/4 – π) și π/4.

Astfel, cele cinci rădăcini ale ecuației inițiale aparțin intervalului [-π; π].

Raspuns: 5.

Exemplul 4. Aflați suma rădăcinilor ecuației tg 2 x + сtg 2 x + 3tg x + 3сtgx + 4 = 0 pe intervalul [-π; 1,1π].

Soluţie:

Să rescriem ecuația în următoarea formă:

tg 2 x + сtg 2 x + 3(tg x + сtgx) + 4 = 0 și faceți o schimbare.

Fie tg x + сtgx = a. Să pătram ambele părți ale ecuației:

(tg x + сtg x) 2 = a 2 . Să extindem parantezele:

tg 2 x + 2tg x ctgx + ctg 2 x = a 2 .

Deoarece tg x сtgx \u003d 1, atunci tg 2 x + 2 + сtg 2 x \u003d a 2, ceea ce înseamnă

tg 2 x + сtg 2 x \u003d a 2 - 2.

Acum ecuația inițială arată astfel:

a 2 - 2 + 3a + 4 = 0;

a 2 + 3a + 2 = 0. Folosind teorema lui Vieta, obținem că a = -1 sau a = -2.

Făcând substituția inversă, avem:

tg x + сtgx = -1 sau tg x + сtgx = -2. Să rezolvăm ecuațiile obținute.

tgx + 1/tgx = -1 sau tgx + 1/tgx = -2.

Prin proprietatea a două numere reciproc reciproce, determinăm că prima ecuație nu are rădăcini, iar din a doua ecuație avem:

tg x = -1, adică. x = -π/4 + πk, k este un număr întreg (k ∈ Z).

Intervalul [-π; 1,1π] rădăcinile aparțin: -π/4; -π/4 + π. Suma lor:

-π/4 + (-π/4 + π) = -π/2 + π = π/2.

Răspuns: π/2.

Exemplul 5. Aflați media aritmetică a rădăcinilor ecuației sin 3x + sin x = sin 2x pe intervalul [-π; 0,5π].

Soluţie:

Folosim formula sin α + sin β = 2sin ((α + β)/2) cos ((α - β)/2), atunci

sin 3x + sin x = 2sin ((3x + x)/2) cos ((3x – x)/2) = 2sin 2x cos x și ecuația devine

2sin 2x cos x = sin 2x;

2sin 2x cos x - sin 2x \u003d 0. Scoatem din paranteze factorul comun sin 2x

sin 2x(2cos x - 1) = 0. Să rezolvăm ecuația rezultată:

sin 2x \u003d 0 sau 2cos x - 1 \u003d 0;

sin 2x = 0 sau cos x = 1/2;

2x = πk sau x = ±π/3 + 2πk, k este un număr întreg (k ∈ Z).

Astfel avem rădăcini

x = πk/2, x = π/3 + 2πk, x = -π/3 + 2πk, k este un număr întreg (k € Z).

Intervalul [-π; 0,5π] aparțin rădăcinilor -π; -π/2; 0; π/2 (din prima serie de rădăcini); π/3 (din a doua serie); -π/3 (din a treia serie). Media lor aritmetică este:

(-π - π/2 + 0 + π/2 + π/3 - π/3)/6 = -π/6.

Răspuns: -π/6.

Exemplul 6. Aflați numărul de rădăcini ale ecuației sin x + cos x = 0 pe intervalul [-1,25π; 2π].

Soluţie:

Această ecuație este o ecuație omogenă de gradul I. Împărțiți ambele părți la cosx (valoarea variabilei, la care cos x = 0, nu sunt rădăcinile acestei ecuații, deoarece sinusul și cosinusul aceluiași număr nu pot fi egale cu zero în același timp). Ecuația inițială arată astfel:

x = -π/4 + πk, k este un număr întreg (k ∈ Z).

Gap [-1,25π; 2π] au rădăcini -π/4; (-π/4 + π); și (-π/4 + 2π).

Astfel, trei rădăcini ale ecuației aparțin intervalului dat.

Raspuns: 3.

Învață să faci cel mai important lucru - să prezinți clar un plan pentru rezolvarea problemei, iar apoi orice ecuație trigonometrică va fi pe umărul tău.

Aveti vreo intrebare? Nu știi cum să rezolvi ecuații trigonometrice?
Pentru a primi ajutor de la un tutor -.

blog.site, cu copierea integrală sau parțială a materialului, este necesar un link către sursă.

Confidențialitatea dumneavoastră este importantă pentru noi. Din acest motiv, am dezvoltat o Politică de confidențialitate care descrie modul în care folosim și stocăm informațiile dumneavoastră. Vă rugăm să citiți politica noastră de confidențialitate și să ne spuneți dacă aveți întrebări.

Colectarea și utilizarea informațiilor personale

Informațiile personale se referă la date care pot fi folosite pentru a identifica sau contacta o anumită persoană.

Vi se poate cere să furnizați informațiile dumneavoastră personale în orice moment când ne contactați.

Următoarele sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și modul în care putem folosi aceste informații.

Ce informații personale colectăm:

• Când trimiteți o cerere pe site, este posibil să colectăm diverse informații, inclusiv numele, numărul de telefon, adresa de e-mail etc.

Cum folosim informațiile dumneavoastră personale:

• Informațiile personale pe care le colectăm ne permit să vă contactăm și să vă informăm despre oferte unice, promoții și alte evenimente și evenimente viitoare.
• Din când în când, putem folosi informațiile dumneavoastră personale pentru a vă trimite notificări și comunicări importante.
• De asemenea, putem folosi informații personale în scopuri interne, cum ar fi efectuarea de audituri, analize de date și diverse cercetări pentru a îmbunătăți serviciile pe care le oferim și pentru a vă oferi recomandări cu privire la serviciile noastre.
• Dacă participați la o tragere la sorți, un concurs sau un stimulent similar, este posibil să folosim informațiile pe care le furnizați pentru a administra astfel de programe.

Dezvăluirea către terți

Nu dezvăluim informațiile primite de la dumneavoastră către terți.

Excepții:

• În cazul în care este necesar - în conformitate cu legea, ordinea judiciară, în cadrul procedurilor judiciare și/sau pe baza solicitărilor publice sau a solicitărilor din partea organelor de stat de pe teritoriul Federației Ruse - dezvăluiți informațiile dumneavoastră personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dumneavoastră dacă stabilim că o astfel de dezvăluire este necesară sau adecvată din motive de securitate, aplicarea legii sau alte motive de interes public.
• În cazul unei reorganizări, fuziuni sau vânzări, putem transfera informațiile personale pe care le colectăm către succesorul terț relevant.

Protecția informațiilor personale

Luăm măsuri de precauție - inclusiv administrative, tehnice și fizice - pentru a vă proteja informațiile personale împotriva pierderii, furtului și utilizării greșite, precum și împotriva accesului, dezvăluirii, modificării și distrugerii neautorizate.

Menținerea confidențialității la nivelul companiei

Pentru a ne asigura că informațiile dumneavoastră personale sunt în siguranță, comunicăm angajaților noștri practicile de confidențialitate și securitate și aplicăm strict practicile de confidențialitate.

Confidențialitatea dumneavoastră este importantă pentru noi. Din acest motiv, am dezvoltat o Politică de confidențialitate care descrie modul în care folosim și stocăm informațiile dumneavoastră. Vă rugăm să citiți politica noastră de confidențialitate și să ne spuneți dacă aveți întrebări.

Colectarea și utilizarea informațiilor personale

Informațiile personale se referă la date care pot fi folosite pentru a identifica sau contacta o anumită persoană.

Vi se poate cere să furnizați informațiile dumneavoastră personale în orice moment când ne contactați.

Următoarele sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și modul în care putem folosi aceste informații.

Ce informații personale colectăm:

• Când trimiteți o cerere pe site, este posibil să colectăm diverse informații, inclusiv numele, numărul de telefon, adresa de e-mail etc.

Cum folosim informațiile dumneavoastră personale:

• Informațiile personale pe care le colectăm ne permit să vă contactăm și să vă informăm despre oferte unice, promoții și alte evenimente și evenimente viitoare.
• Din când în când, putem folosi informațiile dumneavoastră personale pentru a vă trimite notificări și comunicări importante.
• De asemenea, putem folosi informații personale în scopuri interne, cum ar fi efectuarea de audituri, analize de date și diverse cercetări pentru a îmbunătăți serviciile pe care le oferim și pentru a vă oferi recomandări cu privire la serviciile noastre.
• Dacă participați la o tragere la sorți, un concurs sau un stimulent similar, este posibil să folosim informațiile pe care le furnizați pentru a administra astfel de programe.

Dezvăluirea către terți

Nu dezvăluim informațiile primite de la dumneavoastră către terți.

Excepții:

• În cazul în care este necesar - în conformitate cu legea, ordinea judiciară, în cadrul procedurilor judiciare și/sau pe baza solicitărilor publice sau a solicitărilor din partea organelor de stat de pe teritoriul Federației Ruse - dezvăluiți informațiile dumneavoastră personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dumneavoastră dacă stabilim că o astfel de dezvăluire este necesară sau adecvată din motive de securitate, aplicarea legii sau alte motive de interes public.
• În cazul unei reorganizări, fuziuni sau vânzări, putem transfera informațiile personale pe care le colectăm către succesorul terț relevant.

Protecția informațiilor personale

Luăm măsuri de precauție - inclusiv administrative, tehnice și fizice - pentru a vă proteja informațiile personale împotriva pierderii, furtului și utilizării greșite, precum și împotriva accesului, dezvăluirii, modificării și distrugerii neautorizate.

Menținerea confidențialității la nivelul companiei

Pentru a ne asigura că informațiile dumneavoastră personale sunt în siguranță, comunicăm angajaților noștri practicile de confidențialitate și securitate și aplicăm strict practicile de confidențialitate.

La cererea Dumneavoastră!

13. Rezolvați ecuația 3-4cos 2 x=0. Aflați suma rădăcinilor sale aparținând intervalului .

Să scădem gradul cosinus cu formula: 1+cos2α=2cos 2 α. Obținem o ecuație echivalentă:

3-2(1+cos2x)=0 ⇒ 3-2-2cos2x=0 ⇒ -2cos2x=-1. Împărțim ambele părți ale ecuației la (-2) și obținem cea mai simplă ecuație trigonometrică:

14. Aflați progresia geometrică b 5 dacă b 4 =25 și b 6 =16.

Fiecare membru al progresiei geometrice, începând de la al doilea, este egal cu media aritmetică a membrilor adiacente acestuia:

(b n) 2 =b n-1 ∙b n+1 . Avem (b 5) 2 =b 4 ∙b 6 ⇒ (b 5) 2 =25 16 ⇒ b 5 =±5 4 ⇒ b 5 =±20.

15. Aflați derivata funcției: f(x)=tgx-ctgx.

16. Aflați cele mai mari și cele mai mici valori ale funcției y(x)=x 2 -12x+27

pe segment.

Pentru a găsi cele mai mari și cele mai mici valori ale unei funcții y=f(x) pe segment, trebuie să găsiți valorile acestei funcții la capetele segmentului și în acele puncte critice care aparțin acestui segment, apoi alegeți cea mai mare și cea mai mică dintre toate valorile obținute.

Să găsim valorile funcției la x=3 și la x=7, adică. la capetele segmentului.

y(3)=3 2 -12∙3+27 =9-36+27=0;

y(7)=7 2 -12∙7+27 =49-84+27=-84+76=-8.

Aflați derivata acestei funcții: y'(x)=(x 2 -12x+27)' =2x-12=2(x-6); punctul critic x=6 apartine intervalului dat. Aflați valoarea funcției la x=6.

y(6)=6 2 -12∙6+27 =36-72+27=-72+63=-9. Și acum alegem dintre cele trei valori obținute: 0; -8 și -9 sunt cele mai mari și mai mici: cel mult. =0; la angajare =-9.

17. Găsiți forma generală a antiderivatelor pentru funcția:

Acest interval este domeniul de definire al acestei funcții. Răspunsurile ar trebui să înceapă cu F(x), nu cu f(x), deoarece căutăm o antiderivată. Prin definiție, funcția F(x) este antiderivată pentru funcția f(x) dacă egalitatea este valabilă: F’(x)=f(x). Deci puteți găsi doar derivate ale răspunsurilor propuse până când obțineți această funcție. O soluție strictă este calculul integralei unei funcții date. Aplicam formule:

19. Compuneți ecuația unei drepte care conține mediana BD a triunghiului ABC dacă vârfurile sale sunt A(-6; 2), B(6; 6) C(2; -6).

Pentru a compila ecuația unei drepte, trebuie să cunoașteți coordonatele a 2 puncte ale acestei drepte și știm doar coordonatele punctului B. Deoarece mediana BD împarte latura opusă în jumătate, punctul D este punctul de mijloc a segmentului AC. Punctele de mijloc ale unui segment sunt jumătățile sume ale coordonatelor corespunzătoare ale capetelor segmentului. Să găsim coordonatele punctului D.

20. Calculati:

24. Aria unui triunghi regulat la baza unei prisme drepte este

Această problemă este inversul problemei 24 din opțiunea 0021.

25. Găsiți un model și introduceți numărul lipsă: 1; patru; 9; 16; …

Evident, acest număr 25 , deoarece ni se dă o succesiune de pătrate de numere naturale:

1 2 ; 2 2 ; 3 2 ; 4 2 ; 5 2 ; …

Mult succes si succes tuturor!

a) Rezolvați ecuația: .

b) Aflați rădăcinile acestei ecuații care aparțin intervalului .

Rezolvarea problemei

Această lecție demonstrează un exemplu de rezolvare a unei ecuații trigonometrice, care poate fi folosită cu succes în pregătirea pentru examenul de matematică. În special, la rezolvarea problemelor de tip C1, această soluție va deveni relevantă.

În timpul rezolvării, funcția trigonometrică a părții stângi a ecuației este transformată folosind formula argumentului dublu sinus. Funcția cosinus din partea dreaptă este, de asemenea, scrisă ca o funcție sinus cu un argument simplificat la. În acest caz, semnul din fața funcției trigonometrice obținute este inversat. În plus, toți termenii ecuației sunt transferați în partea stângă, unde factorul comun este scos din paranteze. Ca rezultat, ecuația rezultată este reprezentată ca un produs al doi factori. Fiecare factor este setat pe rând egal cu zero, ceea ce ne permite să determinăm rădăcinile ecuației. Apoi se determină rădăcinile ecuației aparținând intervalului dat. Folosind metoda virajelor, pe cercul unitar construit, se marchează o viraj de la marginea stângă a segmentului dat la dreapta. Rădăcinile găsite pe cercul unitar sunt conectate prin segmente cu centrul său, iar apoi se determină punctele în care aceste segmente intersectează bobina. Aceste puncte de intersecție sunt răspunsul la partea „b” a problemei.