Recent am aflat despre obiecte atât de interesante ale lumii matematice precum fractalii. Dar ele există nu numai în matematică. Ne înconjoară peste tot. Fractalii sunt naturali. Voi vorbi despre ce sunt fractalii, despre tipurile de fractali, despre exemple ale acestor obiecte și aplicațiile lor în acest articol. Pentru început, vă voi spune pe scurt ce este un fractal.
Un fractal (latină fractus - zdrobit, spart, rupt) este o figură geometrică complexă care are proprietatea de auto-asemănare, adică compusă din mai multe părți, fiecare dintre ele similară întregii figuri. Într-un sens mai larg, fractalii sunt înțeleși ca seturi de puncte din spațiul euclidian care au o dimensiune metrică fracțională (în sensul lui Minkowski sau Hausdorff), sau o dimensiune metrică diferită de cea topologică. Ca exemplu, voi insera o imagine care înfățișează patru fractali diferiți.
Vă voi spune puțin despre istoria fractalilor. Conceptele de geometrie fractală și fractală, care au apărut la sfârșitul anilor '70, au devenit ferm stabilite în rândul matematicienilor și programatorilor încă de la mijlocul anilor '80. Cuvântul „fractal” a fost inventat de Benoit Mandelbrot în 1975 pentru a se referi la structurile neregulate, dar auto-asemănătoare cu care era preocupat. Nașterea geometriei fractale este de obicei asociată cu publicarea cărții lui Mandelbrot The Fractal Geometry of Nature în 1977. Lucrările sale au folosit rezultatele științifice ale altor oameni de știință care au lucrat în perioada 1875-1925 în același domeniu (Poincaré, Fatou, Julia, Cantor, Hausdorff). Dar numai în vremea noastră a fost posibilă combinarea muncii lor într-un singur sistem.
Există o mulțime de exemple de fractali, pentru că, așa cum am spus, ei ne înconjoară peste tot. În opinia mea, chiar și întregul nostru Univers este un fractal imens. La urma urmei, totul în el, de la structura atomului până la structura Universului însuși, se repetă exact unul pe celălalt. Dar există, desigur, exemple mai specifice de fractali din diferite zone. Fractalii, de exemplu, sunt prezenți în dinamica complexă. Ei sunt acolo apar în mod natural atunci când studiați neliniar sisteme dinamice. Cel mai studiat caz este atunci când sistemul dinamic este specificat prin iterații ale unui polinom sau holomorf. funcţia unui complex de variabile la suprafata. Unii dintre cei mai faimoși fractali de acest tip sunt setul Julia, setul Mandelbrot și bazinele Newton. Mai jos, în ordine, imaginile prezintă fiecare dintre fractalii de mai sus.
Un alt exemplu de fractali sunt curbele fractale. Cel mai bine este să explicați cum să construiți un fractal folosind exemplul curbelor fractale. Una dintre aceste curbe este așa-numita Koch Snowflake. Există un simpluprocedura de obtinere a curbelor fractale pe un plan. Să definim o linie întreruptă arbitrară cu un număr finit de legături, numită generator. În continuare, înlocuim fiecare segment din el cu un generator (mai precis, o linie întreruptă similară unui generator). În linia întreruptă rezultată, înlocuim din nou fiecare segment cu un generator. Continuând până la infinit, în limită obținem o curbă fractală. Mai jos este fulgul de zăpadă Koch (sau curba).
Există, de asemenea, o mare varietate de curbe fractale. Cele mai faimoase dintre ele sunt deja amintita Koch Snowflake, precum și curba Levy, curba Minkowski, linia întreruptă a Dragonului, curba Piano și arborele Pitagore. Cred că puteți găsi cu ușurință o imagine a acestor fractali și a istoriei lor pe Wikipedia, dacă doriți.
Al treilea exemplu sau tip de fractali sunt fractalii stocastici. Astfel de fractali includ traiectoria mișcării browniene in plan si in spatiu, evolutii Schramm-Löwner, diverse tipuri de fractali randomizati, adica fractali obtinuti cu ajutorul unei proceduri recursive in care se introduce cate un parametru aleator la fiecare pas.
Există și fractali pur matematici. Acestea sunt, de exemplu, setul Cantor, buretele Menger, Triunghiul Sierpinski și altele.
Dar poate că cei mai interesanți fractali sunt cei naturali. Fractalii naturali sunt obiecte din natură care au proprietăți fractale. Și aici lista este deja mare. Nu voi enumera totul, pentru că probabil că este imposibil să le enumerez pe toate, dar vă voi spune despre unele. De exemplu, în natura vie, astfel de fractali includ sistemul nostru circulator și plămânii. Și, de asemenea, coroanele și frunzele copacilor. Aceasta include, de asemenea, stele de mare, arici de mare, corali, scoici și unele plante precum varza sau broccoli. Câțiva astfel de fractali naturali din natura vie sunt prezentate clar mai jos.
Dacă luăm în considerare natura neînsuflețită, atunci există exemple mult mai interesante acolo decât în natura vie. Fulgere, fulgi de zăpadă, nori, bine-cunoscute de toată lumea, modele pe ferestre în zilele geroase, cristale, lanțuri muntoase - toate acestea sunt exemple de fractali naturali din natura neînsuflețită.
Ne-am uitat la exemple și tipuri de fractali. În ceea ce privește utilizarea fractalilor, aceștia sunt utilizați într-o varietate de domenii de cunoaștere. În fizică, fractalii apar în mod natural la modelarea proceselor neliniare, cum ar fi fluxul de fluid turbulent, procesele complexe de difuzie-adsorbție, flăcări, nori etc. Fractalii sunt utilizați la modelarea materialelor poroase, de exemplu, în petrochimie. În biologie, ele sunt folosite pentru a modela populațiile și pentru a descrie sistemele de organe interne (sistemul vaselor de sânge). După crearea curbei Koch, s-a propus utilizarea acesteia la calcularea lungimii liniei de coastă. Fractalii sunt, de asemenea, folosiți activ în inginerie radio, știința informației și tehnologia computerelor, telecomunicații și chiar economie. Și, desigur, viziunea fractală este utilizată în mod activ în arta și arhitectura modernă. Iată un exemplu de modele fractale:
Și așa, cu asta mă gândesc să-mi completez povestea despre un fenomen matematic atât de neobișnuit ca un fractal. Astăzi am aflat despre ce este un fractal, cum a apărut, despre tipurile și exemplele de fractali. Am vorbit și despre aplicarea lor și am demonstrat vizual câțiva dintre fractali. Sper că v-a plăcut această mică excursie în lumea obiectelor fractale uimitoare și fascinante.
Completat de eleva de clasa a VII-a Polina Karpyuk
Prioda este creată din figuri asemănătoare, pur și simplu nu o observăm. În această galerie am adunat imagini în care fractalitatea este clar vizibilă.
Descarca:
Previzualizare:
Pentru a utiliza previzualizările prezentării, creați un cont Google și conectați-vă la el: https://accounts.google.com
Subtitrările diapozitivelor:
Fractali în natură Completat de: elevă la clasa a VII-a „B” Polina Karpyuk Conducător: Molchanova Irina Pavlovna Rubtsovsk-2015
Când este privită corect, matematica reflectă nu numai adevărul, ci și frumusețea incomparabilă. Bertrand Russell
Ce au în comun un copac, un mal de mare, un nor sau vasele de sânge din mâna noastră? Există o proprietate a structurii care este inerentă tuturor obiectelor enumerate: ele sunt auto-asemănătoare. Dintr-o ramură, ca dintr-un trunchi de copac, se extind lăstari mai mici, de la ei chiar mai mici etc., adică o ramură este asemănătoare cu întregul copac. Sistemul circulator este structurat într-un mod similar: arteriolele pleacă din artere, iar din acestea cele mai mici capilare prin care oxigenul pătrunde în organe și țesuturi. Matematicianul american Benoit Mandelbrot a numit această proprietate a obiectelor fractalitate, iar astfel de obiecte în sine - fractali. Cuvântul „fractal” în sine este tradus din latină ca „parțial”, „divizat”, „fragmentat”, iar în ceea ce privește conținutul acestui termen, nu există o formulare ca atare. Este de obicei interpretat ca un set auto-similar, o parte a întregului, care își repetă structura la nivel micro. .
Fotografiile spațiale ale peisajelor Pământului oferă adesea exemple excelente de fractali.
Coastele au de obicei o formă fractală, dar variază în ceea ce privește gradul în care sunt accidentate. Acest exemplu arată două proprietăți caracteristice ale fractalilor naturali: Canalele individuale nu sunt o copie unul a celuilalt, dar au contururi curbilinie similare, ca și cum ar fi fost desenate după același model. Conductele mari sunt similare ca contur cu conductele mici și foarte mici. Dacă mărim, de exemplu, colțul din stânga jos al imaginii, vom obține ceva similar cu întreaga imagine
Interacțiunea dintre apă și pământ dă naștere unor structuri fractale în peisaje - fie ele munți, râuri sau linii de coastă.
Probabil că toată lumea cunoaște pictura artistului japonez Hokusai „Marele Val”, unde este înfățișat un val de tsunami pe fundalul Fuji. Dacă te uiți cu atenție la această imagine, vei observa că atunci când a desenat creasta unui val, artistul a folosit un fractal, parcă ar fi format din numeroase labe de apă de pradă. Prin urmare, această imagine este adesea folosită ca ilustrație pentru cărți despre teoria haosului și fractali.
Când o dună de nisip este erodata de apă, ea reproduce la o scară mică ceea ce dă formă fractală peisajelor mai mari ale Pământului.
Descărcarea fulgerului este un exemplu de fractali naturali.
Această imagine ilustrează nu numai natura fractală a coroanelor copacilor, ci sugerează o altă considerație interesantă: pădurea ca comunitate biologică este și un fractal. Copacii individuali - mari și mici - acționează apoi ca ramuri ale fractalului. Sunt asemănătoare, dar nu se repetă.
Venele frunzelor sunt un fractal natural plat. Pentru fiecare plantă, modelul caracteristic este unic, la fel cum modelul papilar de pe mâna unei persoane este unic. Goethe (poet și om de știință) credea că frunza este partea cea mai expresivă a plantei, care reflectă întreaga sa morfologie.
Ferigile sunt un exemplu de fractali naturali care sunt foarte asemănători cu fractalii de computer. Mai mult decât atât, ele sunt, de asemenea, interesante pentru că ferigile sunt una dintre plantele cele mai vechi din punct de vedere evolutiv, alături de diverși mușchi și alte plante inferioare.
Acesta este un alt exemplu faimos și foarte impresionant de fractal natural care are forme clare din punct de vedere matematic. Există cel puțin trei niveluri de auto-similare ingenioase piramide romanesco varză
Un fractal magic frumos care ar putea inspira un artist. Între timp, aruncați o privire mai atentă: acesta este doar un buchet strâns de frunze de varză.
Acestea sunt exemple interesante de structură fractală în lumea minerală. Carbonate Apatite Gold Nugget este o comoară rafinată creată de natura însăși.
Te-ai gândit vreodată că gândim literalmente în fractali? Există ceva de gândit aici - cine ar susține că creierul este una dintre cele mai uimitoare și unice creații ale naturii. Și se dovedește că în exterior are aceleași caracteristici fractale ca norii atmosferici sau sistemul de rădăcină al urzicilor.
Aici totul este și mai complicat: doi arbori fractali separati sunt împletite - sângele venos este furnizat unuia, iar sângele arterial îmbogățit cu oxigen este descărcat către celălalt. Și în totalitate, plămânul este un sistem uimitor de complex format din trei fractali - unul respirator și doi circulatori.
Retina conține celule sensibile la lumină care ne permit să vedem. În această fotografie, sunt verzi-gălbui. Ele formează o rețea (retina), dar această rețea este haotică și fractală.
Aceasta este burta unui porc. De asemenea, modelele sale de culoare par să urmeze regulile fractale. Acesta este un subiect interesant și, cel mai important, are multe aplicații, inclusiv semnificație militară. După ce reguli ar trebui să se întocmească un model de camuflaj, astfel încât purtătorul său să se îmbine cu formele naturale - peisaj și vegetație?
Vă mulțumim pentru atenție!!!
Formele matematice cunoscute sub numele de fractali provin din geniul eminentului om de știință Benoit Mandelbrot. Și-a petrecut cea mai mare parte a vieții în Statele Unite, unde a predat matematică la Universitatea Yale. În 1977 și 1982, Mandelbrot a publicat lucrări științifice dedicate studiului „geometriei fractale” sau „geometriei naturii”, în care a descompunet forme matematice aparent aleatorii în elemente constitutive care, la o privire mai atentă, s-au dovedit a fi repetate - ceea ce demonstreaza existenta unui tip de tipar pentru copiere . Descoperirea lui Mandelbrot a avut consecințe pozitive semnificative în dezvoltarea fizicii, astronomiei și biologiei.
Cum funcționează un fractal?
Un fractal (din latinescul „fractus” - spart, zdrobit, rupt) este o figură geometrică complexă care este alcătuită din mai multe secvențe infinite de părți, fiecare dintre ele similară cu întreaga figură și se repetă pe măsură ce scara scade.
Structura fractalului pe toate scările este netrivială. Aici trebuie să clarificăm ce înseamnă. Deci, figurile obișnuite, cum ar fi un cerc, o elipsă sau graficul unei funcții netede, sunt aranjate în așa fel încât, atunci când se ia în considerare un mic fragment dintr-o figură obișnuită la o scară suficient de mare, acesta va fi similar cu un fragment de o linie dreaptă. Pentru fractali, o creștere a scării nu duce la o simplificare a structurii figurii și la toate scările vedem o imagine uniform complexă.
În natură, multe obiecte au proprietăți fractale, de exemplu: coroane de copaci, conopidă, nori, sistemele circulatorii și alveolare ale oamenilor și animalelor, cristale, fulgi de zăpadă, ale căror elemente sunt aranjate într-o structură complexă, linii de coastă (conceptul fractal permis oamenii de știință să măsoare coasta Insulelor Britanice și alte obiecte nemăsurabile anterior).
Să ne uităm la structura conopidei. Daca tai una dintre flori, este evident ca in maini ramane aceeasi conopida, doar ca dimensiuni mai mici. Putem continua să tăiem din nou și din nou, chiar și la microscop - dar tot ce obținem sunt copii mici ale conopidă. În acest caz cel mai simplu, chiar și o mică parte a fractalului conține informații despre întreaga structură finală.
Un exemplu izbitor de fractal în natură este „Romanescu”, cunoscut și sub denumirea de „broccoli Romanescu” sau „conopidă de coral”. Prima mențiune a acestei legume exotice datează din Italia în secolul al XVI-lea. Mugurii acestei varze cresc într-o spirală logaritmică. Artiștii 3D, designerii și bucătarii nu încetează să o admire. Acestea din urmă, de altfel, prețuiesc în mod deosebit leguma pentru cel mai rafinat gust (dulce și nuci, nu sulfuros) pe care îl poate avea varza și pentru faptul că este mai puțin sfărâmicioasă decât conopida obișnuită. În plus, broccoli romaine este bogat în vitamina C, antioxidanți și carotenoizi.
Fractali în tehnologia digitală
Geometria fractală a adus o contribuție neprețuită la dezvoltarea noilor tehnologii în domeniul muzicii digitale și, de asemenea, a făcut posibilă comprimarea imaginilor digitale. Algoritmii existenți de compresie a imaginilor fractale se bazează pe principiul stocării unei imagini comprimate în locul imaginii digitale în sine. Pentru o imagine comprimată, imaginea principală rămâne un punct fix. Microsoft a folosit una dintre variantele acestui algoritm atunci când și-a publicat enciclopedia, dar dintr-un motiv sau altul această idee nu a fost folosită pe scară largă.
Principiul compresiei fractale a informațiilor pentru stocarea compactă a informațiilor despre nodurile de rețea „Netsukuku” este utilizat de sistem pentru alocarea adreselor IP. Fiecare nod stochează 4 kiloocteți de informații despre starea nodurilor învecinate. Orice nod nou se conectează la Internetul general fără a necesita o reglementare centrală a distribuției adreselor IP. Putem concluziona că principiul compresiei fractale a informațiilor asigură funcționarea descentralizată a întregii rețele și, prin urmare, munca în ea se desfășoară cât mai stabil posibil.
Fractalii sunt folosiți pe scară largă în grafica computerizată - atunci când se construiesc imagini cu copaci, tufișuri, suprafețe ale mării, peisaje montane și alte obiecte naturale. Datorită graficii fractale, a fost inventată o modalitate eficientă de implementare a obiectelor complexe non-euclidiene ale căror imagini sunt similare cu cele naturale: aceștia sunt algoritmi de sinteză a coeficienților fractali, care fac posibilă reproducerea unei copii a oricărei imagini cât mai aproape de original. Interesant, pe lângă „pictura fractală”, există și muzică fractală și animație fractală. În artele plastice, există o direcție care se ocupă cu obținerea unei imagini a unui fractal aleatoriu - „monotip fractal” sau „stochatypy”.
Baza matematică a graficii fractale este geometria fractală, unde principiul moștenirii de la „obiectele părinte” originale este baza pentru metodele de construire a „imaginilor moștenitoare”. Însăși conceptele de geometrie fractală și grafică fractală au apărut cu doar aproximativ 30 de ani în urmă, dar au devenit deja ferm stabilite în viața de zi cu zi a designerilor de calculatoare și a matematicienilor.
Conceptele de bază ale graficii pe computer fractale sunt:
- Triunghi fractal - figură fractală - obiect fractal (ierarhie în ordine descrescătoare)
- Linie fractală
- Compoziție fractală
- „Obiect părinte” și „Obiect succesor”
Cum se construiește un fractal?
Creatorul de fractali joacă rolul unui artist, fotograf, sculptor și om de știință-inventator în același timp. Care sunt etapele următoare ale creării unui desen de la zero?
- stabiliți forma desenului folosind o formulă matematică
- investigați convergența procesului și variați parametrii acestuia
- selectați tipul de imagine
- alege o paletă de culori
Printre editorii grafici fractali și alte programe grafice putem evidenția:
„Patul de artă”
„Pictor” (fără computer, niciun artist nu va atinge vreodată capacitățile stabilite de programatori doar printr-un creion și un pix cu pensulă)
„Adobe Photoshop” (dar aici imaginea nu este creată „de la zero”, ci, de regulă, doar procesată)
Natura este o creație perfectă, sunt convinși oamenii de știință, care descoperă proporțiile secțiunii de aur în structura corpului uman și figuri fractale în capul unei conopidă.
„Studiul și observarea naturii au dat naștere științei”, scria Cicero în secolul I î.Hr. În vremurile ulterioare, odată cu dezvoltarea științei și îndepărtarea acesteia de studiul naturii, oamenii de știință sunt surprinși să descopere ceea ce era cunoscut strămoșilor noștri, dar nu a fost confirmat prin metode științifice.
Este interesant să găsim formațiuni similare în micro- și macrocosmos; poate fi, de asemenea, inspirator faptul că știința poate descrie geometria acestor formațiuni. Sistemul circulator, un râu, fulgerul, ramurile copacilor... toate acestea sunt sisteme similare, constând din particule diferite și diferite ca scară.
Proporțiile „raportului de aur”
Chiar și grecii antici, și posibil egiptenii, cunoșteau proporția „secțiunii de aur”. Luca Pacioli, un matematician renascentist, a numit acest raport „proporția divină”. Mai târziu, oamenii de știință au descoperit că proporția de aur, care este atât de plăcută ochiului uman și care se găsește adesea în arhitectura clasică, artă și chiar poezie, poate fi găsită peste tot în natură.
Raportul de aur este o împărțire a unui segment în două părți inegale, în care partea scurtă este legată de cea lungă, așa cum partea lungă este legată de întregul segment. Raportul dintre partea lungă și întregul segment este un număr infinit, o fracție irațională 0,618..., raportul părții scurte este 0,382...
Dacă construiți un dreptunghi cu laturile al căror raport este egal cu proporția „raportului de aur” și înscrieți un alt „dreptunghi de aur” în el, altul în acesta și așa mai departe la infinit spre interior și spre exterior, atunci o spirală poate fi desenat de-a lungul colțurilor dreptunghiurilor. Este interesant că o astfel de spirală va coincide cu o tăietură a unei cochilii de nautilus, precum și cu alte spirale găsite în natură.
Ilustrație: Homk/wikipedia.org
fosila Nautilus.
Foto: Studio-Annika/Photos.com
Shell Nautilus.
Foto: Chris 73/en.wikipedia.org
Proporția proporției de aur este percepută de ochiul uman ca fiind frumoasă și armonioasă. Iar proporția 0,618... este egală cu raportul dintre numărul anterior și următorul din seria Fibonacci. Numerele Fibonacci apar peste tot în natură: aceasta este spirala de-a lungul căreia ramurile unei plante se învecinează cu tulpina, spirala de-a lungul căreia cresc solzii de pe un con de pin sau boabele de pe o floarea soarelui. Interesant este că numărul de rânduri care se rotesc în sens invers acelor de ceasornic și în sensul acelor de ceasornic sunt numere adiacente din seria Fibonacci.
Capul unei verze cu broccoli și cornul de berbec se răsucesc în spirală... Și în corpul uman însuși, bineînțeles, sănătos și de proporții normale, se găsesc proporțiile de aur.
Omul Vitruvian. Desen de Leonardo da Vinci.
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... sunt numere din seria Fibonacci, în care fiecare termen ulterior se obține din suma celor doi anteriori. Galaxiile spirale îndepărtate fotografiate de sateliți se rotesc și ele în spiralele Fibonacci.
Galaxie spirală.
Foto: NASA
Trei cicloni tropicali.
Foto: NASA
Molecula de ADN este răsucită într-o dublă helix.
ADN uman răsucit.
Ilustrație: Zephyris/en.wikipedia.org
Uraganul se răsucește în spirală, păianjenul își țese pânza în spirală.
Pânză de păianjen în cruce.
Foto: Vincent de Groot/videgro.net
„Proporția de aur” poate fi observată și în structura corpului fluturelui, în raport cu părțile toracice și abdominale ale corpului său, precum și în libelulă. Și majoritatea ouălor se potrivesc, dacă nu în dreptunghiul raportului de aur, atunci într-un derivat al acestuia.
Ilustrație: Adolphe Millot
Fractali
Alte forme interesante pe care le putem vedea peste tot în natură sunt fractalii. Fractalii sunt figuri formate din părți, fiecare dintre ele similară cu întreaga figură - nu vă amintește asta de principiul raportului de aur?
Copacii, fulgerele, bronhiile și sistemul circulator uman au o formă fractală; ferigile și broccoli sunt, de asemenea, numite ilustrații naturale ideale ale fractalilor. „Totul este atât de complicat, totul este atât de simplu” așa funcționează natura, observă oamenii, ascultând-o cu respect.
„Natura l-a înzestrat pe om cu dorința de a descoperi adevărul”, a scris Cicero, cu cuvintele căruia aș vrea să închei prima parte a articolului despre geometria în natură.
Broccoli este o ilustrare naturală perfectă a unui fractal.
Foto: pdphoto.org
Frunzele de ferigă au forma unei figuri fractale - sunt auto-asemănătoare.
Fotografie: Stockbyte/Photos.com
Fractali verzi: frunze de ferigă.
Foto: John Foxx/Photos.com
Vene pe o frunză îngălbenită, în formă de fractal.
Foto: Diego Barucco/Photos.com
Crăpături pe o piatră: fractal în macro.
Foto: Bob Beale/Photos.com
Ramuri ale sistemului circulator pe urechile unui iepure.
Foto: Lusoimages/Photos.com
Lovitură de fulger - ramură fractală.
Foto: John R. Southern/flickr.com
Ramura arterelor din corpul uman.
Râu șerpuit și ramurile lui.
Foto: Jupiterimages/Photos.com
Gheața înghețată pe sticlă are un model auto-similar.
Foto: Schnobby/en.wikipedia.org
O frunză de iederă cu vene ramificate - în formă fractală.
Foto: Wojciech Plonka/Photos.com
Cum a fost descoperit fractalul
Formele matematice cunoscute sub numele de fractali provin din geniul eminentului om de știință Benoit Mandelbrot. Cea mai mare parte a vieții sale a predat matematică la Universitatea Yale din SUA. În 1977 - 1982, Mandelbrot a publicat lucrări științifice dedicate studiului „geometriei fractale” sau „geometriei naturii”, în care a descompunet forme matematice aparent aleatorii în elemente componente care, la o examinare mai atentă, s-au dovedit a fi repetate - ceea ce a dovedit prezenţa unui anumit model de copiere . Descoperirea lui Mandelbrot a avut consecințe semnificative în dezvoltarea fizicii, astronomiei și biologiei.
Fractali în natură
În natură, multe obiecte au proprietăți fractale, de exemplu: coroane de copaci, conopidă, nori, sistemele circulatorii și alveolare ale oamenilor și animalelor, cristale, fulgi de zăpadă, ale căror elemente sunt aranjate într-o structură complexă, linii de coastă (conceptul fractal permis oamenii de știință să măsoare coasta Insulelor Britanice și alte obiecte nemăsurabile anterior).
Să ne uităm la structura conopidei. Daca tai una dintre flori, este evident ca in maini ramane aceeasi conopida, doar ca dimensiuni mai mici. Putem continua să tăiem din nou și din nou, chiar și la microscop - dar tot ce obținem sunt copii mici ale conopidă. În acest caz cel mai simplu, chiar și o mică parte a fractalului conține informații despre întreaga structură finală.
Fractali în tehnologia digitală
Geometria fractală a adus o contribuție neprețuită la dezvoltarea noilor tehnologii în domeniul muzicii digitale și, de asemenea, a făcut posibilă comprimarea imaginilor digitale. Algoritmii existenți de compresie a imaginilor fractale se bazează pe principiul stocării unei imagini comprimate în locul imaginii digitale în sine. Pentru o imagine comprimată, imaginea principală rămâne un punct fix. Microsoft a folosit una dintre variantele acestui algoritm atunci când și-a publicat enciclopedia, dar dintr-un motiv sau altul această idee nu a fost folosită pe scară largă.
Baza matematică a graficii fractale este geometria fractală, unde principiul moștenirii de la „obiectele părinte” originale este baza pentru metodele de construire a „imaginilor moștenitoare”. Însăși conceptele de geometrie fractală și grafică fractală au apărut cu doar aproximativ 30 de ani în urmă, dar au devenit deja ferm stabilite în viața de zi cu zi a designerilor de calculatoare și a matematicienilor.
Conceptele de bază ale graficii pe computer fractale sunt:
- Triunghi fractal - figură fractală - obiect fractal (ierarhie în ordine descrescătoare)
- Linie fractală
- Compoziție fractală
- „Obiect părinte” și „Obiect succesor”
La fel ca în grafica vectorială și tridimensională, crearea imaginilor fractale este calculată matematic. Principala diferență față de primele două tipuri de grafică este că o imagine fractală este construită în funcție de o ecuație sau un sistem de ecuații - nu trebuie să stocați altceva decât formula în memoria computerului pentru a efectua toate calculele - și asta compactitatea aparatului matematic a permis utilizarea acestei idei în grafica computerizată. Pur și simplu schimbând coeficienții ecuației, puteți obține cu ușurință o imagine fractală complet diferită - folosind mai mulți coeficienți matematici, sunt specificate suprafețe și linii de forme foarte complexe, ceea ce vă permite să implementați tehnici de compoziție precum orizontale și verticale, simetrie și asimetrie. , direcții diagonale și multe altele.
Cum se construiește un fractal?
Creatorul de fractali joacă rolul unui artist, fotograf, sculptor și om de știință-inventator în același timp. Care sunt etapele următoare ale creării unui desen de la zero?
- stabiliți forma desenului folosind o formulă matematică
- investigați convergența procesului și variați parametrii acestuia
- selectați tipul de imagine
- alege o paletă de culori
Printre editorii grafici fractali și alte programe grafice putem evidenția:
- „Patul de artă”
- „Pictor” (fără computer, niciun artist nu va atinge vreodată capacitățile stabilite de programatori doar printr-un creion și un pix cu pensulă)
- „Adobe Photoshop” (dar aici imaginea nu este creată „de la zero”, ci, de regulă, doar procesată)
Să luăm în considerare structura unei figuri geometrice fractale arbitrare. În centrul său se află cel mai simplu element - un triunghi echilateral, care a primit același nume: „fractal”. Pe segmentul din mijloc al laturilor, vom construi triunghiuri echilaterale cu o latură egală cu o treime din latura triunghiului fractal original. Folosind același principiu, sunt construite triunghiuri succesoare și mai mici din a doua generație - și așa mai departe la infinit. Obiectul rezultat se numește „figură fractală”, din secvențele cărora obținem o „compoziție fractală”.
Sursa: http://www.iknowit.ru/
Fractali și mandale antice
În principiu, o mandala este un simbol geometric al unei structuri complexe, care este interpretată ca un model al Universului, o „hartă a cosmosului”. Acesta este primul semn de fractalitate!
Sunt brodate pe stofa, pictate pe nisip, realizate cu pulberi colorate si din metal, piatra, lemn. Aspectul său luminos și fascinant îl face un decor frumos pentru podelele, pereții și tavanele templelor din India. În limba indiană veche, „mandala” înseamnă cercul mistic al relației dintre energiile spirituale și materiale ale Universului, sau cu alte cuvinte, floarea vieții.
Am vrut să scriu o recenzie foarte scurtă a mandalelor fractale, cu un minim de paragrafe, care să arate că relația există clar. Cu toate acestea, încercând să înțeleg și să conectez informații despre fractali și mandale într-un singur întreg, am avut senzația unui salt cuantic într-un spațiu necunoscut pentru mine.
Demonstrez imensitatea acestui subiect printr-un citat: „Astfel de compoziții fractale sau mandale pot fi folosite sub formă de picturi, elemente de design pentru spații de locuit și de lucru, amulete purtabile, sub formă de casete video, programe de calculator...” În general, subiectul pentru studiul fractalilor este pur și simplu enorm.
Un lucru pe care îl pot spune cu siguranță este că lumea este mult mai diversă și mai bogată decât ideile sărace pe care mintea noastră le are despre ea.
Animale marine fractale
Presupunerile mele despre animalele marine fractale nu erau nefondate. Iată primii reprezentanți. Caracatița este un animal marin din ordinul cefalopodelor.
Privind această fotografie, structura fractală a corpului său și ventuzele de pe toate cele opt tentacule ale acestui animal mi-au devenit evidente. Numărul de ventuze de pe tentaculele unei caracatițe adulte ajunge la 2000.
Un fapt interesant este că caracatița are trei inimi: una (cea principală) conduce sângele albastru în tot corpul, iar celelalte două - branhii - împing sângele prin branhii. Unele tipuri de acești fractali de adâncime sunt otrăvitoare.
Adaptandu-se si camuflandu-se la mediul sau, caracatita are capacitatea foarte utila de a-si schimba culoarea.
Caracatițele sunt considerate cele mai „inteligente” dintre toate nevertebratele. Ei cunosc oamenii și se obișnuiesc cu cei care îi hrănesc. Ar fi interesant să ne uităm la caracatițe care sunt ușor de dresat, au o memorie bună și chiar recunosc forme geometrice. Dar durata de viață a acestor animale fractale este scurtă - maximum 4 ani.
Omul folosește cerneala acestui fractal viu și a altor cefalopode. Sunt căutate de artiști pentru durabilitatea lor și pentru tonul maro frumos. În bucătăria mediteraneană, caracatița este o sursă de vitamine B3, B12, potasiu, fosfor și seleniu. Dar cred că trebuie să știi cum să gătești acești fractali de mare pentru a te bucura să-i mănânci ca hrană.
Apropo, trebuie remarcat faptul că caracatițele sunt prădători. Cu tentaculele lor fractale țin prada sub formă de moluște, crustacee și pești. Este păcat dacă o moluște atât de frumoasă devine hrana acestor fractali de mare. În opinia mea, el este și un reprezentant tipic al fractalilor regatului mării.
Aceasta este o rudă a melcilor, moluștea gasteropodă nudibranch Glaucus, cunoscută și sub numele de Glaucus, cunoscut și sub numele de Glaucus atlanticus, cunoscut și sub numele de Glaucilla marginata. Acest fractal este, de asemenea, neobișnuit prin faptul că trăiește și se mișcă sub suprafața apei, fiind ținut pe loc de tensiunea superficială. Deoarece molusca este hermafrodită, apoi după împerechere ambii „parteneri” depun ouă. Acest fractal se găsește în toate oceanele zonei tropicale.
Fractali ai regatului mării
Fiecare dintre noi, cel puțin o dată în viață, a ținut o scoică de mare în mâini și a examinat-o cu un interes copilăresc.
De obicei scoicile sunt un suvenir frumos care amintește de o excursie la mare. Când te uiți la această formare spirală a moluștelor nevertebrate, nu există nicio îndoială cu privire la natura sa fractală.
Noi, oamenii, suntem oarecum ca aceste moluște cu corp moale, care trăiesc în case fractale de beton bine amenajate, plasându-ne și mișcând corpurile noastre în mașini rapide.
Un alt reprezentant tipic al lumii subacvatice fractale este coralul.
Există peste 3.500 de soiuri de corali cunoscute în natură, cu o paletă de până la 350 de nuanțe de culoare.
Coralul este materialul scheletic al unei colonii de polipi de corali, tot din familia nevertebratelor. Acumulările lor uriașe formează recife întregi de corali, a căror metodă fractală de formare este evidentă.
Coralul poate fi numit cu deplină încredere un fractal din regatul mării.
De asemenea, este folosit de oameni ca suvenir sau materie primă pentru bijuterii și ornamente. Dar este foarte dificil să reproduci frumusețea și perfecțiunea naturii fractale.
Încă o dată, făcând ritualul în bucătărie cu un cuțit și o placă de tăiat, apoi, scufundând cuțitul în apă rece, am plâns și mi-am dat din nou seama cum să fac față fractalului lacrimogen care îmi apare în fața ochilor aproape în fiecare zi. .
Principiul fractalității este același cu cel al celebrei păpuși cuibăritoare - cuibărit. Acesta este motivul pentru care fractalitatea nu este observată imediat. În plus, culoarea luminoasă, uniformă și capacitatea sa naturală de a provoca senzații neplăcute nu contribuie la observarea atentă a universului și la identificarea modelelor matematice fractale.
Dar ceapa de salată de culoarea liliac, datorită culorii și absenței fitoncidelor producătoare de lacrimi, m-a făcut să mă gândesc la fractalitatea naturală a acestei legume. Desigur, este un simplu fractal, cercuri obișnuite de diferite diametre, s-ar putea spune chiar cel mai primitiv fractal. Dar nu ar strica să ne amintim că mingea este considerată o figură geometrică ideală în Universul nostru.
Pe internet au fost publicate multe articole despre proprietățile benefice ale cepei, dar cumva nimeni nu a încercat să studieze acest exemplar natural din punctul de vedere al fractalității. Pot afirma doar utilitatea folosirii unui fractal sub forma unei cepe in bucataria mea.
P.S. Am achiziționat deja un tăietor de legume pentru tocat fractali. Acum trebuie să ne gândim cât de fractal este o legumă atât de sănătoasă precum varza albă obișnuită. Același principiu de cuibărit.
Fractali în arta populară
Povestea celebrei jucării Matryoshka mi-a atras atenția. Aruncând o privire mai atentă, putem spune cu încredere că această jucărie suvenir este un fractal tipic.
Principiul fractalității este evident atunci când toate figurile unei jucării din lemn sunt aliniate într-un rând și nu imbricate una în cealaltă.
Mica mea cercetare asupra istoriei apariției acestui fractal de jucărie pe piața mondială a arătat că rădăcinile acestei frumuseți sunt japoneze. Papusa matrioșca a fost întotdeauna considerată un suvenir rusesc original. Dar s-a dovedit că ea era prototipul figurinei japoneze a bătrânului înțelept Fukuruma, adusă odată la Moscova din Japonia.
Dar industria rusă a jucăriilor a fost cea care a adus această figurină japoneză faima mondială. De unde a venit ideea cuibării fractale a unei jucării rămâne un mister pentru mine personal. Cel mai probabil, autorul acestei jucării a folosit principiul cuibării figurilor unul în celălalt. Și cel mai simplu mod de a investi sunt figuri similare de diferite dimensiuni, iar acesta este deja un fractal.
Un obiect de studiu la fel de interesant este pictura unei jucării fractale. Aceasta este o pictură decorativă - Khokhloma. Elementele tradiționale ale Khokhloma sunt modele pe bază de plante de flori, fructe de pădure și ramuri.
Din nou toate semnele de fractalitate. La urma urmei, același element poate fi repetat de mai multe ori în versiuni și proporții diferite. Rezultatul este o pictură fractală populară.
Și dacă nu veți surprinde pe nimeni cu pictura nouă de șoareci de computer, huse de laptop și telefoane, atunci reglarea fractală a unei mașini într-un stil popular este ceva nou în designul auto. Nu putem decât să fii uimit de manifestarea lumii fractalilor în viața noastră într-un mod atât de neobișnuit în lucruri atât de obișnuite pentru noi.
Fractali în bucătărie
Un reprezentant tipic al unui fractal din lumea plantelor era pe masa mea din bucătărie.
Cu toată dragostea mea pentru conopidă, am dat mereu peste exemplare cu o suprafață uniformă, fără semne vizibile de fractalitate, și chiar și un număr mare de inflorescențe cuibărite unele în altele nu mi-au dat un motiv să văd un fractal în această legumă utilă.
Dar suprafața acestui specimen special, cu geometria sa fractală clar definită, nu a lăsat nici cea mai mică îndoială cu privire la originea fractală a acestui tip de varză.
O altă călătorie la hipermarket nu a făcut decât să confirme statutul fractal al varzei. Printre numărul imens de legume exotice se afla o cutie întreagă de fractali. Era Romanescu, sau broccoli romanic, conopida.
Se pare că designerii și artiștii 3D îi admiră formele exotice de tip fractal.
Mugurii de varză cresc într-o spirală logaritmică. Prima mențiune despre varza Romanescu a venit din Italia în secolul al XVI-lea.
Iar varza brocoli nu este un musafir frecvent in alimentatia mea, desi este de multe ori superioara conopida din punct de vedere al continutului de nutrienti si microelemente. Dar suprafața și forma lui sunt atât de uniforme încât nu mi-a trecut niciodată prin cap să văd un fractal vegetal în el.
Fractali în quilling
După ce am văzut meșteșuguri ajurate folosind tehnica quilling, nu mi-am pierdut niciodată senzația că îmi amintesc de ceva. Repetarea acelorași elemente în dimensiuni diferite este, desigur, principiul fractalității.
După ce am urmărit o altă clasă de master despre quilling, nu mai exista nicio îndoială cu privire la natura fractală a quilling-ului. La urma urmei, pentru a face diverse elemente pentru meșteșuguri de quilling, se folosește o riglă specială cu cercuri de diferite diametre. În ciuda tuturor frumuseții și unicității produselor, aceasta este o tehnică incredibil de simplă.
Aproape toate elementele principale pentru meșteșugurile de quilling sunt realizate din hârtie. Pentru a vă aproviziona cu hârtie gratuită pentru quilling, aruncați o privire la rafturile de cărți de acasă. Cu siguranță, veți găsi acolo câteva reviste lucioase.
Instrumentele de quilling sunt simple și ieftine. Tot ce ai nevoie pentru a efectua lucrări de quilling amator se găsește printre articolele de papetărie de acasă.
Și istoria quillingului începe în secolul al XVIII-lea în Europa. În timpul Renașterii, călugării din mănăstirile franceze și italiene foloseau quilling pentru a decora coperțile cărților și nici măcar nu erau conștienți de natura fractală a tehnicii de rulare a hârtiei pe care o inventaseră. Fetele din înalta societate au urmat chiar și cursuri de quilling în școli speciale. Așa a început să se răspândească această tehnică în țări și continente.
Această clasă de master video de quilling despre realizarea penajelor de lux poate fi numită chiar „fractali de tip „do-it-yourself”. Cu ajutorul fractalilor de hârtie, se obțin minunate felicitări exclusive de Valentine și multe alte lucruri interesante. La urma urmei, fantezia, ca și natura, este inepuizabilă.
Nu este un secret pentru nimeni că japonezii sunt foarte limitati în spațiu în viață și, prin urmare, trebuie să facă tot posibilul pentru a-l folosi eficient. Takeshi Miyakawa arată cum acest lucru poate fi realizat atât eficient, cât și estetic. Cabinetul său fractal confirmă că utilizarea fractalilor în design nu este doar un tribut adus modei, ci și o soluție de design armonioasă în condiții de spațiu limitat.
Acest exemplu de utilizare a fractalilor în viața reală, în legătură cu designul mobilierului, mi-a arătat că fractalii sunt reali nu numai pe hârtie în formule matematice și programe de calculator.
Și se pare că natura folosește principiul fractalității peste tot. Trebuie doar să-l arunci o privire mai atentă și se va manifesta în toată abundența sa magnifică și infinitatea de ființă.
