Am considerat mai multe sisteme complet diferite din punct de vedere fizic și ne-am asigurat că ecuațiile mișcării sunt reduse la aceeași formă

Diferențele dintre sistemele fizice se manifestă doar în diferite definiții ale mărimii iar într-un sens fizic diferit al variabilei X: poate fi o coordonată, un unghi, o sarcină, un curent etc. Rețineți că în acest caz, după cum reiese din însăși structura ecuației (1.18), mărimea are întotdeauna dimensiunea timpului invers.

Ecuația (1.18) descrie așa-numitul vibratii armonice.

Ecuația oscilațiilor armonice (1.18) este o ecuație diferențială liniară de ordinul doi (deoarece conține derivata a doua a variabilei X). Liniaritatea ecuației înseamnă că

dacă vreo funcție x(t) este o soluție a acestei ecuații, apoi funcția Cx(t) va fi si solutia lui ( C este o constantă arbitrară);

dacă funcţiile x 1 (t)și x 2 (t) sunt soluții ale acestei ecuații, apoi suma lor x 1 (t) + x 2 (t) va fi, de asemenea, o soluție la aceeași ecuație.

Se demonstrează și o teoremă matematică, conform căreia ecuația de ordinul doi are două soluții independente. Toate celelalte soluții, conform proprietăților liniarității, pot fi obținute ca combinații liniare. Este ușor de verificat prin diferențiere directă că funcțiile independente și satisfac ecuația (1.18). Deci soluția generală a acestei ecuații este:

Unde C1,C2 sunt constante arbitrare. Această soluție poate fi prezentată și sub altă formă. Introducem cantitatea

și definiți unghiul ca:

Atunci soluția generală (1.19) se scrie ca

Conform formulelor de trigonometrie, expresia dintre paranteze este

Ajungem in sfarsit la soluţia generală a ecuaţiei oscilaţiilor armonice la fel de:

Valoare nenegativă A numit amplitudinea oscilației, - faza iniţială a oscilaţiei. Întregul argument cosinus - combinația - este numit faza de oscilatie.

Expresiile (1.19) și (1.23) sunt perfect echivalente, așa că putem folosi oricare dintre ele din motive de simplitate. Ambele soluții sunt funcții periodice ale timpului. Într-adevăr, sinusul și cosinusul sunt periodice cu o perioadă . Prin urmare, diferitele stări ale unui sistem care efectuează oscilații armonice se repetă după o perioadă de timp t*, pentru care faza de oscilație primește un increment care este un multiplu al :

De aici rezultă că

Cel mai mic dintre aceste vremuri

numit perioada de oscilatie (Fig. 1.8), a - lui circular (ciclic) frecvență.

Orez. 1.8.

De asemenea, folosesc frecvență ezitare

În consecință, frecvența circulară este egală cu numărul de oscilații per secunde.

Deci, dacă sistemul la timp t caracterizat prin valoarea variabilei x(t), apoi, aceeași valoare, variabila o va avea după o perioadă de timp (Fig. 1.9), adică

Aceeași valoare, desigur, se va repeta după un timp. 2T, ZT etc.

Orez. 1.9. Perioada de oscilație

Soluția generală include două constante arbitrare ( C1, C2 sau A, A), ale căror valori ar trebui determinate de doi condiții inițiale. De obicei (deși nu neapărat) rolul lor este jucat de valorile inițiale ale variabilei x(0)și derivatul său.

Să luăm un exemplu. Fie soluția (1.19) a ecuației oscilațiilor armonice descrie mișcarea unui pendul cu arc. Valorile constantelor arbitrare depind de modul în care am scos pendulul din echilibru. De exemplu, am tras arcul la distanță și a eliberat mingea fără viteza inițială. În acest caz

Înlocuind t = 0în (1.19), găsim valoarea constantei De la 2

Soluția arată astfel:

Viteza sarcinii se găsește prin diferențiere în funcție de timp

Înlocuind aici t = 0, găsiți constanta De la 1:

In cele din urma

Comparând cu (1.23), aflăm că este amplitudinea oscilației, iar faza sa inițială este egală cu zero: .

Acum scoatem pendulul din echilibru într-un alt mod. Să lovim sarcina, astfel încât aceasta să dobândească o viteză inițială, dar practic să nu se miște în timpul impactului. Avem apoi alte condiții inițiale:

soluția noastră arată ca

Viteza sarcinii se va modifica conform legii:

Să-l punem aici:

MIȘCARE DE VIBRAȚIE ARMONICĂ

§1 Cinematica oscilaţiei armonice

Procesele care se repetă în timp se numesc oscilații.

În funcție de natura procesului oscilator și de mecanismul de excitare, există: oscilații mecanice (oscilații ale pendulelor, corzilor, clădirilor, suprafeței pământului etc.); oscilații electromagnetice (oscilații ale curentului alternativ, oscilații ale vectorilor și într-o undă electromagnetică etc.); vibrații electromecanice (vibrații ale membranei telefonului, difuzorului difuzorului etc.); vibrațiile nucleelor ​​și moleculelor ca urmare a mișcării termice în atomi.

Să considerăm segmentul [OD] (rază-vector) care face mișcare de rotație în jurul punctului 0. Lungimea lui |OD| = A . Rotația are loc la o viteză unghiulară constantă ω 0 . Apoi unghiul φ dintre vectorul rază și axăXse modifică în timp conform legii

unde φ 0 este unghiul dintre [OD] și axă X atuncit= 0. Proiecția segmentului [OD] pe axă X atuncit= 0

și într-un moment arbitrar în timp

(1)

Astfel, proiecția segmentului [OD] pe axa x oscilează de-a lungul axei X, iar aceste fluctuații sunt descrise de legea cosinusului (formula (1)).

Oscilații care sunt descrise de legea cosinusului

sau sinusurilor

numit armonic.

Vibrațiile armonice sunt periodic, deoarece valoarea lui x (și y) se repetă la intervale regulate.

Dacă segmentul [OD] se află în poziţia cea mai de jos din figură, adică. punct D coincide cu punctul R, atunci proiecția sa pe axa x este zero. Să numim această poziție a segmentului [OD] poziția de echilibru. Apoi putem spune că valoarea X descrie deplasarea unui punct oscilant din poziția sa de echilibru. Se numeste deplasarea maxima fata de pozitia de echilibru amplitudine fluctuatii

Valoare

care stă sub semnul cosinus se numește fază. Fază determină deplasarea de la poziţia de echilibru la un moment arbitrar în timpt. Faza la momentul inițial de timpt = 0 egal cu φ 0 se numește faza inițială.

T

Perioada de timp în care are loc o oscilație completă se numește perioada de oscilație. T. Numărul de oscilații pe unitatea de timp se numește frecvența de oscilație ν.

După o perioadă de timp egală cu perioada T, adică pe măsură ce argumentul cosinus crește cu ω 0 T, mișcarea se repetă, iar cosinusul ia aceeași valoare

deoarece Perioada cosinus este egală cu 2π, atunci, prin urmare, ω 0 T= 2π

astfel, ω 0 este numărul de oscilații ale corpului în 2π secunde. ω 0 - frecventa ciclica sau circulara.

model de unde armonice

DAR- amplitudine, T- punct, X- decalaj,t- timp.

Găsim viteza punctului oscilant prin diferențierea ecuației deplasării X(t) cu timpul

acestea. viteză vdefazat cu offset X peπ /2.

Accelerație - derivata întâi a vitezei (derivata a doua a deplasării) în raport cu timpul

acestea. accelerare A diferă de defazajul prin π.

Să construim un grafic X( t) , y( t) și A( t) într-o estimare a coordonatelor (pentru simplitate, luăm φ 0 = 0 și ω 0 = 1)

Gratuit sau propriu se numesc oscilaţiile care apar într-un sistem lăsat singur după ce a fost scos din echilibru.

Oscilatia armonica este un fenomen de modificare periodica a unei marimi, in care dependenta de argument are caracterul unei functii sinus sau cosinus. De exemplu, o cantitate care variază în timp, după cum urmează, fluctuează armonic:

unde x este valoarea mărimii în schimbare, t este timpul, parametrii rămași sunt constanți: A este amplitudinea oscilațiilor, ω este frecvența ciclică a oscilațiilor, este faza completă a oscilațiilor, este faza inițială a oscilaţiile.

Oscilatie armonica generalizata in forma diferentiala

(Orice soluție netrivială a acestei ecuații diferențiale este o oscilație armonică cu o frecvență ciclică)

Tipuri de vibrații

Vibrațiile libere apar sub acțiunea forțelor interne ale sistemului după ce sistemul a fost scos din echilibru. Pentru ca oscilațiile libere să fie armonice, este necesar ca sistemul oscilator să fie liniar (descris prin ecuații liniare ale mișcării) și să nu existe disipare a energiei în el (acesta din urmă ar provoca amortizare).

Oscilațiile forțate se efectuează sub influența unei forțe periodice externe. Pentru ca acestea să fie armonice, este suficient ca sistemul oscilator să fie liniar (descris prin ecuații liniare ale mișcării), iar forța externă însăși se schimbă în timp ca o oscilație armonică (adică dependența de timp a acestei forțe să fie sinusoidală) .

Ecuația vibrațiilor armonice

Ecuația (1)

dă dependența valorii fluctuante S de timpul t; aceasta este ecuația oscilațiilor armonice libere în formă explicită. Cu toate acestea, ecuația oscilațiilor este de obicei înțeleasă ca o înregistrare diferită a acestei ecuații, sub formă diferențială. Pentru certitudine, luăm ecuația (1) sub forma

Diferențiază-l de două ori în funcție de timp:

Se poate observa că este valabilă următoarea relație:

care se numește ecuația oscilațiilor armonice libere (în formă diferențială). Ecuația (1) este o soluție a ecuației diferențiale (2). Deoarece ecuația (2) este o ecuație diferențială de ordinul doi, sunt necesare două condiții inițiale pentru a obține o soluție completă (adică determinarea constantelor A și   incluse în ecuația (1); de exemplu, poziția și viteza unui sistem oscilator la t = 0.

Un pendul matematic este un oscilator, care este un sistem mecanic format dintr-un punct material situat pe un fir imponderabil inextensibil sau pe o tijă fără greutate într-un câmp uniform de forțe gravitaționale. Perioada micilor oscilații proprii ale unui pendul matematic de lungime l, suspendat nemișcat într-un câmp gravitațional uniform cu accelerația de cădere liberă g, este egală cu

si nu depinde de amplitudinea si masa pendulului.

Un pendul fizic este un oscilator, care este un corp rigid care oscilează în câmpul oricăror forțe în jurul unui punct care nu este centrul de masă al acestui corp sau o axă fixă ​​perpendiculară pe direcția forțelor și care nu trece prin centrul de masă al acestui corp.

Împreună cu mișcările de translație și rotație ale corpurilor în mecanică, mișcările oscilatorii prezintă, de asemenea, un interes considerabil. Vibrații mecanice numite mișcări ale corpurilor care se repetă exact (sau aproximativ) la intervale regulate. Legea mișcării unui corp oscilant este dată de o funcție periodică a timpului X = f (t). Reprezentarea grafică a acestei funcții oferă o reprezentare vizuală a cursului procesului oscilator în timp.

Exemple de sisteme oscilatorii simple sunt o sarcină pe un arc sau un pendul matematic (Fig. 2.1.1).

Oscilațiile mecanice, ca și procesele oscilatorii de orice altă natură fizică, pot fi gratuitși forţat. Vibrații libere sunt realizate sub influenta forțe interne după ce sistemul a fost scos din echilibru. Oscilațiile unei greutăți pe un arc sau oscilațiile unui pendul sunt oscilații libere. vibrații sub acțiune extern se numesc forţe în schimbare periodică forţat .

Cel mai simplu tip de proces oscilator sunt simple vibratii armonice , care sunt descrise de ecuație

X = X m cos (ω t + φ 0).

Aici X- deplasarea corpului din pozitia de echilibru, X m - amplitudinea oscilației, adică deplasarea maximă de la poziția de echilibru, ω - frecventa ciclica sau circulara ezitare, t- timp. Valoarea sub semnul cosinus φ = ω t+ φ 0 se numește fază proces armonic. La t= 0 φ = φ 0 , deci se numește φ 0 faza initiala. Se numește intervalul minim de timp după care se repetă mișcarea corpului perioada de oscilatie T. Se numește mărimea fizică reciprocă cu perioada de oscilație frecvența de oscilație:

Frecvența de oscilație f arată câte vibrații se fac în 1 s. unitate de frecventa - hertz(Hz). Frecvența de oscilație f este legată de frecvența ciclică ω și de perioada de oscilație T rapoarte:

Pe fig. 2.1.2 arată pozițiile corpului la intervale regulate cu vibrații armonice. O astfel de imagine poate fi obținută experimental prin iluminarea unui corp oscilant cu scurte sclipiri periodice de lumină ( iluminare stroboscopică). Săgețile reprezintă vectorii viteză ai corpului în diferite momente în timp.

Orez. 2.1.3 ilustrează modificările care apar pe graficul unui proces armonic dacă se modifică fie amplitudinea oscilațiilor X m, sau punct T(sau frecventa f), sau faza inițială φ 0 .

Când corpul oscilează de-a lungul unei linii drepte (axa BOU) vectorul viteză este întotdeauna direcționat de-a lungul acestei drepte. Viteza υ = υ X mișcarea corpului este determinată de expresie

În matematică, procedura de găsire a limitei raportului la Δ t→ 0 se numește calculul derivatei funcției X (t) cu timpul tși notat ca sau ca X"(t) sau în final ca . Pentru legea armonică a mișcării Calcularea derivatei conduce la următorul rezultat:

Apariția termenului + π / 2 în argumentul cosinus înseamnă o schimbare în faza inițială. Valorile modulo maxime ale vitezei υ = ω X m se realizează în acele momente de timp în care corpul trece prin pozițiile de echilibru ( X= 0). Accelerația este definită într-un mod similar A = AX corpuri cu vibrații armonice:

de aici si acceleratia A este egală cu derivata funcției υ ( t) cu timpul t, sau derivata a doua a funcției X (t). Calculele dau:

Semnul minus din această expresie înseamnă că accelerația A (t) are întotdeauna semnul opus decalajului X (t), și, prin urmare, conform celei de-a doua legi a lui Newton, forța care determină corpul să efectueze oscilații armonice este întotdeauna îndreptată către poziția de echilibru ( X = 0).

Modificări în timp conform unei legi sinusoidale:

Unde X- valoarea mărimii fluctuante la momentul de timp t, DAR- amplitudine, ω - frecventa circulara, φ este faza inițială a oscilațiilor, ( φt + φ ) este faza totală a oscilaţiilor . În același timp, valorile DAR, ω și φ - permanentă.

Pentru vibrații mecanice cu valoare oscilantă X sunt, în special, deplasarea și viteza, pentru oscilații electrice - tensiunea și puterea curentului.

Oscilațiile armonice ocupă un loc special între toate tipurile de oscilații, deoarece acesta este singurul tip de oscilație a cărui formă nu este distorsionată la trecerea prin orice mediu omogen, adică undele care se propagă dintr-o sursă de oscilații armonice vor fi și ele armonice. Orice vibrație nearmonică poate fi reprezentată ca o sumă (integrală) a diferitelor vibrații armonice (sub forma unui spectru de vibrații armonice).

Transformări de energie în timpul vibrațiilor armonice.

În procesul oscilațiilor, are loc o tranziție a energiei potențiale Wpîn cinetică Sapt si invers. În poziția de abatere maximă de la poziția de echilibru, energia potențială este maximă, energia cinetică este zero. Pe măsură ce ne întoarcem în poziția de echilibru, viteza corpului oscilant crește, iar odată cu aceasta crește și energia cinetică, atingând un maxim în poziția de echilibru. Energia potențială scade apoi la zero. Mișcarea mai departe a gâtului are loc cu o scădere a vitezei, care scade la zero atunci când deviația atinge al doilea maxim. Energia potențială crește aici până la valoarea sa inițială (maximă) (în absența frecării). Astfel, oscilațiile energiilor cinetice și potențiale apar cu o frecvență dublată (comparativ cu oscilațiile pendulului însuși) și sunt în antifază (adică există o defazare între ele egală cu π ). Energie totală de vibrație W ramane neschimbat. Pentru un corp care oscilează sub acțiunea unei forțe elastice, este egal cu:

Unde v m- viteza maximă a corpului (în poziția de echilibru), x m = DAR- amplitudine.

Datorită frecării și rezistenței mediului, oscilațiile libere se atenuează: energia și amplitudinea lor scad în timp. Prin urmare, în practică, oscilațiile nu libere, ci forțate sunt folosite mai des.