GRAD CU INDICATOR RAȚIONAL,

FUNCȚIA DE PUTERE IV

§ 79. Extragerea rădăcinilor dintr-o lucrare și dintr-un coeficient

Teorema 1. Rădăcină P a-a putere a produsului numerelor pozitive este egală cu produsul rădăcinilor P -gradul al-lea al factorilor, adică când A > 0, b > 0 și natural P

n √ab = n √A n √b . (1)

Dovada. Amintiți-vă că rădăcina P puterea a unui număr pozitiv ab există un număr pozitiv P -al cărui grad este egal cu ab . Prin urmare, demonstrarea egalității (1) este același lucru cu demonstrarea egalității

(n √A n √b ) n = ab .

Prin proprietatea gradului produsului

(n √A n √b ) n = (n √A ) n (n √b ) n =.

Dar prin definiția rădăcinii P gradul ( n √A ) n = A , (n √b ) n = b .

De aceea ( n √A n √b ) n = ab . Teorema a fost demonstrată.

Cerinţă A > 0, b > 0 este esențial doar pentru par P , pentru că pentru negativ A și b și chiar P rădăcini n √A și n √b nedefinit. Dacă P impar, atunci formula (1) este valabilă pentru oricare A și b (atât pozitiv, cât și negativ).

Exemple: √16 121 = √16 √121 = 4 11 = 44.

3 √-125 27 = 3 √-125 3 √27 = -5 3 = - 15

Formula (1) este utilă la calcularea rădăcinilor, când expresia rădăcinii este reprezentată ca produs de pătrate exacte. De exemplu,

√153 2 -72 2 = √ (153+ 72) (153-72) = √225 81 = 15 9 = 135.

Am demonstrat teorema 1 pentru cazul în care semnul radical din partea stângă a formulei (1) este produsul a două numere pozitive. De fapt, această teoremă este valabilă pentru orice număr de factori pozitivi, adică pentru orice natural k > 2:

Consecinţă. Citind această identitate de la dreapta la stânga, obținem următoarea regulă pentru înmulțirea rădăcinilor cu aceiași exponenți;

Pentru a înmulți rădăcinile cu aceiași exponenți, este suficient să înmulțiți expresiile rădăcinii, lăsând exponentul rădăcinii același.

De exemplu, √3 √8 √6 = √3 8 6 = √144 = 12.

Teorema 2. Rădăcină P a-a putere a unei fracții al cărei numărător și numitor sunt numere pozitive este egală cu câtul împărțirii rădăcinii de același grad de la numărător la rădăcina de același grad de la numitor, adică când A > 0 și b > 0

(2)

A demonstra egalitatea (2) înseamnă a arăta că

Conform regulii ridicării unei fracții la o putere și determinării rădăcinii n gradul avem:

Astfel se demonstrează teorema.

Cerinţă A > 0 și b > 0 este esențial doar pentru par P . Dacă P impar, atunci formula (2) este valabilă și pentru valorile negative A și b .

Consecinţă. Identitatea citirii de la dreapta la stânga, obținem următoarea regulă pentru împărțirea rădăcinilor cu aceiași exponenți:

Pentru a împărți rădăcinile cu aceiași exponenți, este suficient să împărțiți expresiile rădăcinii, lăsând exponentul rădăcinii același.

De exemplu,

Exerciții

554. Unde în demonstrarea teoremei 1 am folosit faptul că A și b pozitiv?

De ce cu un ciudat P formula (1) este valabilă și pentru numerele negative A și b ?

La ce valori X datele de egalitate sunt corecte (nr. 555-560):

555. √x 2 - 9 = √x -3 √x + 3 .

556. 4 √ (X - 2) (8 - X ) = 4 √x - 2 4 √ 8 - X

557. 3 √ (X + 1) (X - 5) = 3 √x +1 3 √x - 5 .

558. √ X (X + 1) (X + 2) = √ X √ (X + 1) √ (X + 2)

559. √ (x - a ) 3 = (√ x - a ) 3 .

560. 3 √ (X - 5) 2 = (3 √ X - 5 ) 2 .

561. Calculați:

A) √ 173 2 - 52 2 ; în) √ 200 2 - 56 2 ;

b) √ 3732 - 2522; G) √ 242,5 2 - 46,5 2 .

562. Într-un triunghi dreptunghic, ipotenuza are 205 cm, iar unul dintre catete are 84 cm. Găsiți celălalt catete.

563. De câte ori:

555. X > 3. 556. 2 < X < 8. 557. X - orice număr. 558. X > 0. 559. X > A . 560. X - orice număr. 563. a) De trei ori.

În această secțiune, vom lua în considerare rădăcinile pătrate aritmetice.

În cazul unei expresii radicale literale, vom presupune că literele conținute sub semnul rădăcinii denotă numere nenegative.

1. Rădăcina produsului.

Să luăm în considerare un astfel de exemplu.

Pe de altă parte, rețineți că numărul 2601 este produsul a doi factori, din care rădăcina este ușor de extras:

Luați rădăcina pătrată a fiecărui factor și înmulțiți aceste rădăcini:

Am obținut aceleași rezultate când am luat rădăcina din produsul de sub rădăcină și când am luat rădăcina de la fiecare factor separat și am înmulțit rezultatele.

În multe cazuri, a doua modalitate de a găsi rezultatul este mai ușoară, deoarece trebuie să luați rădăcina numerelor mai mici.

Teorema 1. Pentru a extrage rădăcina pătrată a produsului, o puteți extrage din fiecare factor separat și înmulți rezultatele.

Vom demonstra teorema pentru trei factori, adică vom demonstra validitatea egalității:

Vom efectua demonstrația prin verificare directă, pe baza definiției rădăcinii aritmetice. Să presupunem că trebuie să dovedim egalitatea:

(A și B sunt numere nenegative). Prin definiția rădăcinii pătrate, aceasta înseamnă că

Prin urmare, este suficient să pătrați latura dreaptă a egalității care se dovedește și să vă asigurați că se obține expresia rădăcină a părții stângi.

Să aplicăm acest raționament la demonstrația egalității (1). Să pătram partea dreaptă; dar produsul este pe partea dreaptă, iar pentru a pătra produsul, este suficient să pătrați fiecare factor și să înmulțiți rezultatele (vezi § 40);

Sa dovedit o expresie radicală, stând pe partea stângă. Prin urmare, egalitatea (1) este adevărată.

Am demonstrat teorema pentru trei factori. Dar raționamentul va rămâne același dacă există 4 și așa mai departe factori sub rădăcină. Teorema este valabilă pentru orice număr de factori.

Rezultatul este ușor de găsit pe cale orală.

2. Rădăcina fracției.

Calcula

Examinare.

Pe de altă parte,

Să demonstrăm teorema.

Teorema 2. Pentru a extrage rădăcina unei fracții, puteți extrage rădăcina separat de numărător și numitor și împărțiți primul rezultat la al doilea.

Este necesar să se dovedească valabilitatea egalității:

Pentru demonstrație, aplicăm metoda în care a fost demonstrată teorema anterioară.

Să pătram partea dreaptă. Vom avea:

Avem expresia radicală în partea stângă. Prin urmare, egalitatea (2) este adevărată.

Deci am demonstrat următoarele identități:

și a formulat regulile corespunzătoare pentru extragerea rădăcinii pătrate din produs și coeficient. Uneori, atunci când se efectuează transformări este necesar să se aplice aceste identități, citindu-le „de la dreapta la stânga”.

Rearanjand părțile stânga și dreaptă, rescriem identitățile dovedite după cum urmează:

Pentru a multiplica rădăcinile, puteți înmulți expresiile radicale și puteți extrage rădăcina din produs.

Pentru a separa rădăcinile, puteți împărți expresiile radicale și puteți extrage rădăcina din coeficient.

3. Rădăcina gradului.

Calcula

În acest articol, vom analiza principalele proprietățile rădăcinii. Să începem cu proprietățile rădăcinii pătrate aritmetice, să dăm formulările lor și să dăm dovezi. După aceea, ne vom ocupa de proprietățile rădăcinii aritmetice de gradul al n-lea.

Navigare în pagină.

Proprietățile rădăcinii pătrate

În această secțiune, ne vom ocupa de următoarele principale proprietățile rădăcinii pătrate aritmetice:

În fiecare dintre egalitățile scrise, părțile din stânga și din dreapta pot fi schimbate, de exemplu, egalitatea poate fi rescrisă ca . În această formă „inversă”, proprietățile rădăcinii pătrate aritmetice sunt aplicate atunci când simplificarea expresiilor la fel de des ca în forma „directă”.

Dovada primelor două proprietăți se bazează pe definiția rădăcinii pătrate aritmetice și pe . Și pentru a justifica ultima proprietate a rădăcinii pătrate aritmetice, trebuie să vă amintiți.

Deci, să începem cu dovada proprietății rădăcinii pătrate aritmetice a produsului a două numere nenegative: . Pentru a face acest lucru, conform definiției rădăcinii pătrate aritmetice, este suficient să arătăm că este un număr nenegativ al cărui pătrat este egal cu a b . Hai să o facem. Valoarea expresiei este nenegativă ca produsul numerelor nenegative. Proprietatea gradului produsului a două numere ne permite să scriem egalitatea , și deoarece prin definiția rădăcinii pătrate aritmetice și , atunci .

În mod similar, se demonstrează că rădăcina pătrată aritmetică a produsului k factori nenegativi a 1 , a 2 , …, a k este egală cu produsul rădăcinilor pătrate aritmetice ale acestor factori. Într-adevăr, . Din această egalitate rezultă că .

Iată câteva exemple: și .

Acum să demonstrăm proprietatea rădăcinii pătrate aritmetice a unui coeficient: . Proprietatea coeficientului de putere naturală ne permite să scriem egalitatea , A , în timp ce există un număr nenegativ. Aceasta este dovada.

De exemplu, și .

Este timpul să dezasamblați proprietatea rădăcinii pătrate aritmetice a pătratului unui număr, sub formă de egalitate se scrie ca . Pentru a o demonstra, luăm în considerare două cazuri: pentru a≥0 și pentru a<0 .

Este evident că pentru a≥0 egalitatea este adevărată. De asemenea, este ușor de observat că pentru a<0 будет верно равенство . Действительно, в этом случае −a>0 și (−a) 2 =a 2 . În acest fel, , ceea ce urma să fie dovedit.

Aici sunt cateva exemple: și .

Proprietatea rădăcinii pătrate tocmai demonstrată ne permite să justificăm următorul rezultat, unde a este orice număr real și m este oricare. Într-adevăr, proprietatea de exponențiere ne permite să înlocuim gradul a 2 m cu expresia (a m) 2 , atunci .

De exemplu, și .

Proprietățile rădăcinii a n-a

Să enumeram mai întâi principalele proprietățile rădăcinilor a n-a:

Toate egalitățile scrise rămân valabile dacă părțile din stânga și din dreapta sunt schimbate în ele. În această formă, ele sunt, de asemenea, adesea folosite, în principal la simplificarea și transformarea expresiilor.

Dovada tuturor proprietăților vocale ale rădăcinii se bazează pe definirea rădăcinii aritmetice a gradului al n-lea, pe proprietățile gradului și pe definirea modulului numărului. Să le demonstrăm în ordinea priorităților.

Să începem cu dovada proprietățile rădăcinii a n-a a unui produs . Pentru a și b nenegative, valoarea expresiei este, de asemenea, nenegativă, la fel ca produsul numerelor nenegative. Proprietatea de produs a puterilor naturale ne permite să scriem egalitatea . Prin definiția rădăcinii aritmetice a gradului al n-lea și, prin urmare, . Aceasta dovedește proprietatea considerată a rădăcinii.

Această proprietate este demonstrată în mod similar pentru produsul k factori: pentru numere nenegative a 1 , a 2 , …, a n și .

Iată exemple de utilizare a proprietății rădăcinii gradului al n-lea al produsului: și .

Să demonstrăm proprietatea rădăcină a coeficientului. Pentru a≥0 și b>0, condiția este îndeplinită și .

Să arătăm exemple: și .

Mergem mai departe. Să demonstrăm proprietatea rădăcinii a n-a a unui număr la puterea lui n. Adică vom demonstra asta pentru orice a real și m natural . Pentru a≥0 avem și , care demonstrează egalitatea , și egalitatea evident. Pentru o<0 имеем и (ultima tranziție este valabilă datorită proprietății puterii cu exponent par), ceea ce demonstrează egalitatea , și este adevărat datorită faptului că atunci când vorbim despre rădăcina unui grad impar, am luat pentru orice număr nenegativ c .

Iată exemple de utilizare a proprietății rădăcină analizată: și .

Se trece la demonstrarea proprietății rădăcinii de la rădăcină. Să schimbăm părțile din dreapta și din stânga, adică vom demonstra validitatea egalității, ceea ce va însemna valabilitatea egalității inițiale. Pentru un număr nenegativ a, rădăcina pătrată a formei este un număr nenegativ. Amintindu-ne de proprietatea de a ridica o putere la o putere și folosind definiția rădăcinii, putem scrie un lanț de egalități de forma . Aceasta dovedește proprietatea considerată a unei rădăcini dintr-o rădăcină.

Proprietatea unei rădăcini dintr-o rădăcină dintr-o rădăcină este dovedită în mod similar și așa mai departe. Într-adevăr, .

De exemplu, și .

Să demonstrăm următoarele proprietatea de reducere a exponentului rădăcină. Pentru a face acest lucru, în virtutea definiției rădăcinii, este suficient să arătăm că există un număr nenegativ care, atunci când este ridicat la puterea lui n m, este egal cu a m . Hai să o facem. Este clar că dacă numărul a este nenegativ, atunci rădăcina a n-a a numărului a este un număr nenegativ. în care , care completează dovada.

Iată un exemplu de utilizare a proprietății rădăcină analizată: .

Să demonstrăm următoarea proprietate, proprietatea rădăcinii gradului formei . Este evident că pentru a≥0 gradul este un număr nenegativ. Mai mult, puterea sa a n-a este egală cu a m , într-adevăr, . Aceasta dovedește proprietatea considerată a gradului.

De exemplu, .

Sa trecem peste. Să demonstrăm că pentru orice numere pozitive a și b pentru care condiția a , adică a≥b . Și aceasta contrazice condiția a

De exemplu, dăm inegalitatea corectă .

În cele din urmă, rămâne de demonstrat ultima proprietate a rădăcinii a n-a. Să demonstrăm mai întâi prima parte a acestei proprietăți, adică vom demonstra că pentru m>n și 0 . Apoi, datorită proprietăților unui grad cu exponent natural, inegalitatea , adică a n ≤ a m . Și inegalitatea rezultată pentru m>n și 0

În mod similar, prin contradicție, se demonstrează că pentru m>n și a>1 condiția este îndeplinită.

Să dăm exemple de aplicare a proprietății dovedite a rădăcinii în numere concrete. De exemplu, inegalitățile și sunt adevărate.

Bibliografie.

• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebră: manual pentru 8 celule. institutii de invatamant.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. şi alţii.Algebra şi începuturile analizei: un manual pentru clasele 10-11 ale instituţiilor de învăţământ general.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematică (un manual pentru solicitanții la școlile tehnice).

Informații despre subiect: Introduceți teorema rădăcinii pătrate pentru fracții. Consolidarea cunoștințelor acumulate de studenți pe temele: „Rădăcină pătrată aritmetică”, „Rădăcină pătrată a unui grad”, „Rădăcină pătrată a unui produs”. Consolidarea abilităților de numărare rapidă.

Activitate-comunicare: dezvoltarea și formarea abilităților elevilor de gândire logică, vorbire corectă și competentă, reacție rapidă.

Orientat spre valoare: trezesc interesul elevilor pentru studiul acestei teme şi a acestui subiect. Capacitatea de a aplica cunoștințele dobândite în activități practice și în alte discipline.

1. Repetați definiția rădăcinii pătrate aritmetice.

2. Repetați teorema rădăcinii pătrate din grad.

3. Repetați teorema rădăcinii pătrate din produs.

4. Dezvoltați abilitățile de numărare orală.

5. Pregătiți elevii să studieze tema „rădăcină pătrată a unei fracții” și să stăpânească materialul geometriei.

6. Povestește despre istoria originii rădăcinii aritmetice.

Materiale și echipamente didactice: harta lecției didactice (Anexa 1), tablă, cretă, fișe pentru sarcini individuale (ținând cont de abilitățile individuale ale elevilor), fișe pentru numărare orală, fișe pentru lucru independent.

În timpul orelor:

1. Moment organizatoric: notează tema lecției, stabilind scopul și obiectivele lecției (pentru elevi).

Lecție tematică: Rădăcina pătrată a unei fracții.

Scopul lecției: astăzi în lecție vom repeta definiția rădăcinii pătrate aritmetice, teorema privind rădăcina pătrată a gradului și rădăcina pătrată a produsului. Și să facem cunoștință cu teorema rădăcinii pătrate a unei fracții.

Obiectivele lecției:

1) repetați cu ajutorul numărării mentale definițiile rădăcinii pătrate și teoremele asupra rădăcinii pătrate a gradului și a produsului;

2) în timpul numărării orale, unii tipi vor îndeplini sarcini pe cărți;

3) explicarea noului material;

4) context istoric;

5) îndeplinirea sarcinilor de muncă independentă (sub forma unui test).

2. Studiu frontal:

1) numărare verbală: luați rădăcina pătrată a următoarelor expresii:

a) folosind definiția rădăcinii pătrate, se calculează:;;; ;

b) valori tabelare: ; ;;;;; ;

c) rădăcina pătrată a produsului ;;;;

d) rădăcina pătrată a gradului;;;;; ;

e) scoateți factorul comun din paranteze:;; ;.

2) lucru individual pe cărți: Anexa 2.

3. Verificați D/Z:

4. Explicația noului material:

Scrieți o sarcină pentru elevi pe tablă conform opțiunilor „calculați rădăcina pătrată a unei fracții”:

Opțiunea 1: =

Opțiunea 2: =

Dacă băieții au finalizat prima sarcină: întrebați cum au făcut-o?

Opțiunea 1: prezentat sub formă de pătrat și primit. Faceți o concluzie.

Opțiunea 2: a prezentat numărătorul și numitorul folosind definiția gradului în formă și a primit.

Dați mai multe exemple, de exemplu, calculați rădăcina pătrată a unei fracții; ; .

Desenați o analogie în formă literală:

Introdu teorema.

Teorema. Dacă a este mai mare sau egal cu 0, c este mai mare decât 0, atunci rădăcina fracției a / b este egală cu fracția în numărătorul căreia este rădăcina lui a și numitorul este rădăcina lui b, adică. Rădăcina unei fracții este egală cu rădăcina numărătorului împărțită la rădăcina numitorului.

Să demonstrăm că 1) rădăcina lui a împărțită la rădăcina lui c este mai mare sau egală cu 0

Dovada. 1) Pentru că rădăcina lui a este mai mare sau egală cu 0 și rădăcina lui c este mai mare decât 0, apoi rădăcina lui a împărțită la rădăcina lui c este mai mare sau egală cu 0.

2)

5. Consolidarea materialului nou: din manualul lui Sh. A. Alimov: Nr. 362 (1.3); nr. 363 (2,3); nr. 364 (2,4); №365 (2.3)

6. Referință istorică.

Rădăcina aritmetică provine din cuvântul latin radix - rădăcină, radicalis - rădăcină

Începând cu secolul al XIII-lea, matematicienii italieni și alți europeni au indicat rădăcina cu cuvântul latin radix (abreviat ca r). În 1525, în cartea lui H. Rudolph „Numărarea rapidă și frumoasă cu ajutorul unor reguli pricepute ale algebrei, numite de obicei Koss”, a apărut denumirea V pentru rădăcina pătrată; rădăcina cubă era notată VVV. În 1626, matematicianul olandez A. Girard a introdus denumirile V, VV, VVV etc., care au fost în curând înlocuite de semnul r, în timp ce o linie orizontală a fost plasată deasupra expresiei radicale. Denumirea modernă a rădăcinii a apărut pentru prima dată în cartea Geometrie de René Descartes, publicată în 1637.

8. Tema pentru acasă: Nr. 362 (2,4); nr. 363 (1,4); nr. 364 (1,3); №365 (1.4)

Rădăcina pătrată a lui a este un număr al cărui pătrat este a. De exemplu, numerele -5 și 5 sunt rădăcinile pătrate ale numărului 25. Adică, rădăcinile ecuației x^2=25 sunt rădăcinile pătrate ale numărului 25. Acum trebuie să învățați cum să lucrați cu operația cu rădăcina pătrată: studiați proprietățile sale de bază.

Rădăcina pătrată a produsului

√(a*b)=√a*√b

Rădăcina pătrată a produsului a două numere nenegative este egală cu produsul rădăcinilor pătrate ale acestor numere. De exemplu, √(9*25) = √9*√25 =3*5 =15;

Este important de înțeles că această proprietate se aplică și în cazul în care expresia radicală este produsul lui trei, patru etc. multiplicatori nenegativi.

Uneori există o altă formulare a acestei proprietăți. Dacă a și b sunt numere nenegative, atunci este valabilă următoarea egalitate: √(a*b) =√a*√b. Nu există absolut nicio diferență între ele, puteți folosi fie una, fie cealaltă formulare (care este mai convenabil de reținut).

Rădăcina pătrată a unei fracții

Dacă a>=0 și b>0, atunci următoarea egalitate este adevărată:

√(a/b)=√a/√b.

De exemplu, √(9/25) = √9/√25 =3/5;

Această proprietate are și o formulare diferită, în opinia mea, mai convenabil de reținut.
Rădăcina pătrată a câtului este egală cu câtul rădăcinilor.

Este de remarcat faptul că aceste formule funcționează atât de la stânga la dreapta, cât și de la dreapta la stânga. Adică, dacă este necesar, putem reprezenta produsul rădăcinilor ca rădăcină a produsului. Același lucru este valabil și pentru a doua proprietate.

După cum puteți vedea, aceste proprietăți sunt foarte convenabile și aș dori să am aceleași proprietăți pentru adunare și scădere:

√(a+b)=√a+√b;

√(a-b)=√a-√b;

Dar, din păcate, astfel de proprietăți sunt pătrate nu au rădăcini, Așadar nu se poate face în calcule..