În acest articol vă vom prezenta conceptul de rădăcină a unui număr. Vom acţiona secvenţial: vom începe cu rădăcina pătrată, de la ea se trece la descrierea rădăcinii cubice, după care vom generaliza conceptul de rădăcină prin definirea rădăcinii de gradul al n-lea. În același timp, vom introduce definiții, notație, vom da exemple de rădăcini și vom oferi explicațiile și comentariile necesare.

Rădăcină pătrată, rădăcină pătrată aritmetică

Pentru a înțelege definiția rădăcinii unui număr, și în special a rădăcinii pătrate, trebuie să aveți . În acest moment, vom întâlni adesea a doua putere a unui număr - pătratul unui număr.

Sa incepem cu definiții de rădăcină pătrată.

Definiție

Rădăcina pătrată a lui a este numărul al cărui pătrat este un .

Pentru a aduce exemple de rădăcini pătrate, luați mai multe numere, de exemplu, 5 , −0.3 , 0.3 , 0 și pătrați-le, obținem numerele 25 , 0.09 , 0.09 și respectiv 0 (5 2 \u003d 5 5 \u003d 25 , (−0,3) 2 =(−0,3) (−0,3)=0,09, (0,3)2 =0,3 0,3=0,09 şi 02 =00=0). Apoi, după definiția de mai sus, 5 este rădăcina pătrată a lui 25, -0,3 și 0,3 sunt rădăcinile pătrate a lui 0,09 și 0 este rădăcina pătrată a lui zero.

Trebuie remarcat faptul că nu pentru niciun număr există a , al cărui pătrat este egal cu a . Și anume, pentru orice număr negativ a, nu există un număr real b al cărui pătrat să fie egal cu a. Într-adevăr, egalitatea a=b 2 este imposibilă pentru orice a negativ, deoarece b 2 este un număr nenegativ pentru orice b . În acest fel, pe mulțimea numerelor reale nu există rădăcină pătrată a unui număr negativ. Cu alte cuvinte, pe mulțimea numerelor reale, rădăcina pătrată a unui număr negativ nu este definită și nu are sens.

Aceasta duce la o întrebare logică: „Există o rădăcină pătrată a lui a pentru orice a nenegativ”? Raspunsul este da. Rațiunea acestui fapt poate fi considerată o metodă constructivă folosită pentru a găsi valoarea rădăcinii pătrate.

Atunci apare următoarea întrebare logică: „Care este numărul tuturor rădăcinilor pătrate ale unui număr nenegativ dat a - unu, doi, trei sau chiar mai mult”? Iată răspunsul la acesta: dacă a este zero, atunci singura rădăcină pătrată a lui zero este zero; dacă a este un număr pozitiv, atunci numărul de rădăcini pătrate din numărul a este egal cu doi, iar rădăcinile sunt . Să argumentăm acest lucru.

Să începem cu cazul a=0 . Să arătăm mai întâi că zero este într-adevăr rădăcina pătrată a lui zero. Aceasta rezultă din egalitatea evidentă 0 2 =0·0=0 și din definiția rădăcinii pătrate.

Acum să demonstrăm că 0 este singura rădăcină pătrată a lui zero. Să folosim metoda opusă. Să presupunem că există un număr diferit de zero b care este rădăcina pătrată a lui zero. Atunci trebuie îndeplinită condiția b 2 =0, ceea ce este imposibil, deoarece pentru orice b diferit de zero valoarea expresiei b 2 este pozitivă. Am ajuns la o contradicție. Acest lucru demonstrează că 0 este singura rădăcină pătrată a lui zero.

Să trecem la cazurile în care a este un număr pozitiv. Mai sus am spus că există întotdeauna o rădăcină pătrată a oricărui număr nenegativ, fie b rădăcina pătrată a lui a. Să presupunem că există un număr c , care este și rădăcina pătrată a lui a . Atunci, prin definiția rădăcinii pătrate, sunt valabile egalitățile b 2 =a și c 2 =a, din care rezultă că b 2 −c 2 =a−a=0, dar întrucât b 2 −c 2 =( b−c) ( b+c) , atunci (b−c) (b+c)=0 . Egalitatea rezultată în vigoare proprietățile acțiunilor cu numere reale posibil numai când b−c=0 sau b+c=0 . Astfel numerele b și c sunt egale sau opuse.

Dacă presupunem că există un număr d, care este o altă rădăcină pătrată a numărului a, atunci prin raționamente similare celor deja date, se demonstrează că d este egal cu numărul b sau cu numărul c. Deci, numărul de rădăcini pătrate ale unui număr pozitiv este două, iar rădăcinile pătrate sunt numere opuse.

Pentru confortul lucrului cu rădăcini pătrate, rădăcina negativă este „separată” de cea pozitivă. În acest scop, introduce definiția rădăcinii pătrate aritmetice.

Definiție

Rădăcina pătrată aritmetică a unui număr nenegativ a este un număr nenegativ al cărui pătrat este egal cu a .

Pentru rădăcina pătrată aritmetică a numărului a se acceptă notația. Semnul se numește semnul rădăcinii pătrate aritmetice. Se mai numește și semnul radicalului. Prin urmare, puteți auzi parțial atât „rădăcină”, cât și „radical”, ceea ce înseamnă același obiect.

Numărul de sub semnul rădăcinii pătrate aritmetice se numește numărul rădăcinii, și expresia de sub semnul rădăcinii - expresie radicală, în timp ce termenul „număr radical” este adesea înlocuit cu „expresie radicală”. De exemplu, în notație, numărul 151 este un număr radical, iar în notație, expresia a este o expresie radicală.

Când citiți, cuvântul „aritmetică” este adesea omis, de exemplu, intrarea este citită ca „rădăcină pătrată a șapte virgulă douăzeci și nouă sutimi”. Cuvântul „aritmetică” se pronunță doar atunci când vor să sublinieze că vorbim despre rădăcina pătrată pozitivă a unui număr.

În lumina notației introduse, din definiția rădăcinii pătrate aritmetice rezultă că pentru orice număr nenegativ a .

Rădăcinile pătrate ale unui număr pozitiv a se scriu folosind semnul aritmetic al rădăcinii pătrate ca și . De exemplu, rădăcinile pătrate ale lui 13 sunt și . Rădăcina pătrată aritmetică a lui zero este zero, adică . Pentru numerele negative a, nu vom atașa semnificații intrărilor până când nu studiem numere complexe. De exemplu, expresiile și sunt lipsite de sens.

Pe baza definiției rădăcinii pătrate, sunt dovedite proprietățile rădăcinilor pătrate, care sunt adesea folosite în practică.

Pentru a încheia această subsecțiune, observăm că rădăcinile pătrate ale unui număr sunt soluții de forma x 2 =a față de variabila x .

rădăcină cub de

Definiția rădăcinii cubice al numărului a este dat în mod similar cu definiția rădăcinii pătrate. Numai că se bazează pe conceptul de cub al unui număr, nu de pătrat.

Definiție

Rădăcina cubă a lui a se numește un număr al cărui cub este egal cu a.

Să aducem exemple de rădăcini cubice. Pentru a face acest lucru, luați mai multe numere, de exemplu, 7 , 0 , −2/3 , și cubează-le: 7 3 =7 7 7=343 , 0 3 =0 0 0=0 , . Apoi, pe baza definiției rădăcinii cubice, putem spune că numărul 7 este rădăcina cubă a lui 343, 0 este rădăcina cubă a lui zero și −2/3 este rădăcina cubă a lui −8/27.

Se poate demonstra că rădăcina cubă a numărului a, spre deosebire de rădăcina pătrată, există întotdeauna și nu numai pentru a nenegativ, ci și pentru orice număr real a. Pentru a face acest lucru, puteți folosi aceeași metodă pe care am menționat-o atunci când studiem rădăcina pătrată.

Mai mult, există o singură rădăcină cubă a unui număr dat a. Să demonstrăm ultima afirmație. Pentru a face acest lucru, luați în considerare trei cazuri separat: a este un număr pozitiv, a=0 și a este un număr negativ.

Este ușor de arătat că pentru a pozitiv, rădăcina cubă a lui a nu poate fi nici negativă, nici zero. Într-adevăr, fie b rădăcina cubă a lui a , atunci prin definiție putem scrie egalitatea b 3 =a . Este clar că această egalitate nu poate fi adevărată pentru b negativ și pentru b=0, deoarece în aceste cazuri b 3 =b·b·b va fi un număr negativ sau, respectiv, zero. Deci rădăcina cubă a unui număr pozitiv a este un număr pozitiv.

Acum să presupunem că în plus față de numărul b mai există o rădăcină cubică din numărul a, să o notăm c. Atunci c 3 =a. Prin urmare, b 3 −c 3 =a−a=0 , dar b 3 −c 3 =(b−c) (b 2 +b c+c 2)(aceasta este formula de înmulțire prescurtată diferenta de cuburi), de unde (b−c) (b 2 +b c+c 2)=0 . Egalitatea rezultată este posibilă numai când b−c=0 sau b 2 +b c+c 2 =0 . Din prima egalitate avem b=c , iar a doua egalitate nu are soluții, deoarece partea stângă este un număr pozitiv pentru orice numere pozitive b și c ca suma a trei termeni pozitivi b 2 , b c și c 2 . Aceasta dovedește unicitatea rădăcinii cubice a unui număr pozitiv a.

Pentru a=0, singura rădăcină cubă a lui a este zero. Într-adevăr, dacă presupunem că există un număr b , care este o rădăcină cubă diferită de zero a lui zero, atunci egalitatea b 3 =0 trebuie să fie valabilă, ceea ce este posibil numai când b=0 .

Pentru negativ a , se poate argumenta similar cu cazul pentru pozitiv a . În primul rând, arătăm că rădăcina cubă a unui număr negativ nu poate fi egală nici cu un număr pozitiv, nici cu zero. În al doilea rând, presupunem că există o a doua rădăcină cubă a unui număr negativ și arătăm că va coincide în mod necesar cu primul.

Deci, există întotdeauna o rădăcină cubă a oricărui număr real dat a și numai unul.

Să dăm Definiția rădăcinii cubice aritmetice.

Definiție

Rădăcină cubă aritmetică a unui număr nenegativ a se numește un număr nenegativ al cărui cub este egal cu a.

Rădăcina cubă aritmetică a unui număr nenegativ a se notează ca , semnul se numește semnul rădăcinii cubice aritmetice, numărul 3 din această notație se numește indicator de rădăcină. Numărul de sub semnul rădăcinii este numărul rădăcinii, expresia de sub semnul rădăcinii este expresie radicală.

Deși rădăcina cubă aritmetică este definită numai pentru numere nenegative a, este, de asemenea, convenabil să se utilizeze intrări în care numerele negative sunt sub semnul rădăcinii cubice aritmetice. Le vom înțelege astfel: , unde a este un număr pozitiv. De exemplu, .

Vom vorbi despre proprietățile rădăcinilor cubice în articolul general proprietățile rădăcinilor.

Calcularea valorii unei rădăcini cubice se numește extragerea unei rădăcini cubice, această acțiune este discutată în articolul extragerea rădăcinilor: metode, exemple, soluții.

Pentru a încheia această subsecțiune, spunem că rădăcina cubă a lui a este o soluție de forma x 3 =a.

Rădăcina a N-a, rădăcina aritmetică a lui n

Generalizăm conceptul de rădăcină dintr-un număr - introducem determinarea rădăcinii a n-a pentru n.

Definiție

a n-a rădăcină a lui a este un număr a cărui putere a n-a este egală cu a.

Din această definiție este clar că rădăcina primului grad din numărul a este numărul a însuși, deoarece atunci când studiem gradul cu un indicator natural, am luat a 1 = a.

Mai sus, am luat în considerare cazuri speciale ale rădăcinii de gradul al n-lea pentru n=2 și n=3 - rădăcina pătrată și rădăcina cubă. Adică rădăcina pătrată este rădăcina gradului al doilea, iar rădăcina cubă este rădăcina gradului al treilea. Pentru a studia rădăcinile gradului al n-lea pentru n=4, 5, 6, ..., este convenabil să le împărțiți în două grupuri: primul grup - rădăcinile de grade pare (adică pentru n=4, 6 , 8, ...), al doilea grup - rădăcinile puteri impare (adică pentru n=5, 7, 9, ... ). Acest lucru se datorează faptului că rădăcinile de grade pare sunt similare cu rădăcina pătrată, iar rădăcinile de grade impare sunt similare cu rădăcina cubică. Să ne ocupăm de ei pe rând.

Să începem cu rădăcinile, ale căror puteri sunt numerele pare 4, 6, 8, ... După cum am spus deja, ele sunt similare cu rădăcina pătrată a numărului a. Adică, rădăcina oricărui grad par din numărul a există numai pentru a nenegativ. Mai mult, dacă a=0, atunci rădăcina lui a este unică și egală cu zero, iar dacă a>0, atunci există două rădăcini de grad par din numărul a și sunt numere opuse.

Să justificăm ultima afirmație. Fie b o rădăcină de grad par (o notăm ca 2·m, unde m este un număr natural) din a. Să presupunem că există un număr c - o altă rădăcină de 2 m a lui a . Atunci b 2 m −c 2 m =a−a=0 . Dar știm de forma b 2 m − c 2 m = (b − c) (b + c) (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2), atunci (b−c) (b+c) (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2)=0. Din această egalitate rezultă că b−c=0 , sau b+c=0 , sau b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2 =0. Primele două egalități înseamnă că numerele b și c sunt egale sau b și c sunt opuse. Și ultima egalitate este valabilă numai pentru b=c=0, deoarece partea stângă conține o expresie care este nenegativă pentru orice b și c ca sumă de numere nenegative.

În ceea ce privește rădăcinile de gradul al n-lea pentru n impar, ele sunt similare cu rădăcina cubă. Adică, rădăcina oricărui grad impar din numărul a există pentru orice număr real a, iar pentru un număr dat a este unică.

Unicitatea rădăcinii de grad impar 2·m+1 din numărul a se dovedește prin analogie cu demonstrarea unicității rădăcinii cubice din a . Doar aici în loc de egalitate a 3 −b 3 =(a−b) (a 2 +a b+c 2) o egalitate de forma b 2 m+1 −c 2 m+1 = (b−c) (b 2 m +b 2 m−1 c+b 2 m−2 c 2 +… +c 2 m). Expresia din ultima paranteză poate fi rescrisă ca b 2 m +c 2 m +b c (b 2 m−2 +c 2 m−2 + b c (b 2 m−4 +c 2 m−4 +b c (…+(b 2 +c 2 +b c)))). De exemplu, pentru m=2 avem b 5 −c 5 =(b−c) (b 4 +b 3 c+b 2 c 2 +b c 3 +c 4)= (b−c) (b 4 +c 4 +b c (b 2 +c 2 +b c)). Când a și b sunt ambele pozitive sau ambele negative, produsul lor este un număr pozitiv, atunci expresia b 2 +c 2 +b·c , care se află în parantezele celui mai înalt grad de imbricare, este pozitivă ca sumă pozitivă. numerele. Acum, trecând succesiv la expresiile din paranteze ale gradelor anterioare de imbricare, ne asigurăm că acestea sunt și pozitive ca sume de numere pozitive. Ca rezultat, obținem că egalitatea b 2 m+1 −c 2 m+1 = (b−c) (b 2 m +b 2 m−1 c+b 2 m−2 c 2 +… +c 2 m)=0 posibil numai când b−c=0 , adică atunci când numărul b este egal cu numărul c .

Este timpul să ne ocupăm de notarea rădăcinilor gradului al n-lea. Pentru aceasta, este dat determinarea rădăcinii aritmetice a gradului al n-lea.

Definiție

Rădăcina aritmetică a gradului al n-lea al unui număr nenegativ a se numește un număr nenegativ, a cărui putere a n-a este egală cu a.

Cuși numărul natural n 2 .

Număr complex Z numit rădăcinăn– c, dacă Z n = c.

Găsiți toate valorile rădăcină n– gradul de la un număr complex Cu. Lăsa c=| c|·(cos Arg c+ i· păcat ArgCu), A Z = | Z|·(cuos Arg Z + i· păcat Arg Z) , Unde Z rădăcină n- gradul de la un număr complex Cu. Atunci trebuie să fie = c = | c|·(cos Arg c+ i· păcat ArgCu). De aici rezultă că
și n· Arg Z = ArgCu
Arg Z =
(k=0,1,…) . Prin urmare, Z =
(cos
+ i· păcat
), (k=0,1,…) . Este ușor de observat că oricare dintre valori
, (k=0,1,…) diferit de una dintre valorile corespunzătoare
,(k = 0,1,…, n-1) la un multiplu 2π. De aceea , (k = 0,1,…, n-1) .

Exemplu.

Calculați rădăcina lui (-1).

, evident |-1| = 1, arg (-1) = π

-1 = 1 (cos π + i· păcat π )

, (k = 0, 1).

= i

Gradul cu exponent rațional arbitrar

Luați un număr complex arbitrar Cu. În cazul în care un n numărul natural, deci Cu n = | c| n ·(Cuos nArgcu +i· păcat nArgCu)(6). Această formulă este valabilă și în acest caz n = 0 (c≠0)
. Lăsa n < 0 și n Zși c ≠ 0, apoi

Cu n =
(cos nArgCu+i sin nArgCu) = (cos nArgCu+ i sin nArgCu) . Astfel, formula (6) este valabilă pentru oricare n.

Să luăm un număr rațional , Unde q număr natural și R este un număr întreg.

Apoi sub grad c r hai sa intelegem numarul
.

Înțelegem asta ,

(k = 0, 1, …, q-1). Aceste valori q bucăți, dacă fracția nu este redusă.

Cursul №3 Limita unei succesiuni de numere complexe

Se numește o funcție cu valori complexe a unui argument natural succesiune de numere complexeși notat (Cu n ) sau Cu 1 , Cu 2 , ..., Cu n . Cu n = a n + b n · i (n = 1,2, ...) numere complexe.

Cu 1 , Cu 2 , … - membrii secvenței; Cu n - membru comun

Număr complex Cu = A+ b· i numit limita unei secvențe de numere complexe (c n ) , Unde Cu n = a n + b n · i (n = 1, 2, …) , unde pentru orice

, asta pentru toti n > N inegalitatea
. Se numește o secvență care are o limită finită convergente secvenţă.

Teorema.

Pentru o succesiune de numere complexe (cu n ) (Cu n = a n + b n · i) converg către un număr cu = A+ b· i, este necesar și suficient pentru egalitatelim A n = A, lim b n = b.

Dovada.

Vom demonstra teorema pe baza următoarei inegalități duble evidente

, Unde Z = X + y· i (2)

Nevoie. Lăsa lim(Cu n ) = cu. Să arătăm că egalitățile lim A n = Ași lim b n = b (3).

evident (4)

pentru că
, când n → ∞ , atunci rezultă din partea stângă a inegalității (4) că
și
, când n → ∞ . prin urmare, egalitățile (3) sunt valabile. Necesitatea a fost dovedită.

Adecvarea. Acum să fie valabile egalitățile (3). Din egalitate (3) rezultă că
și
, când n → ∞ , prin urmare, din cauza părții drepte a inegalității (4), va fi
, când n→∞ , mijloace lim(Cu n )=s. Suficiența a fost dovedită.

Deci, problema convergenței unei secvențe de numere complexe este echivalentă cu convergența a două secvențe de numere reale, prin urmare, toate proprietățile de bază ale limitelor secvențelor de numere reale se aplică șirurilor de numere complexe.

De exemplu, pentru secvențe de numere complexe, criteriul Cauchy este valabil: pentru o succesiune de numere complexe (cu n ) convergentă, este necesar și suficient ca pentru orice

, asta pentru oricen, m > Ninegalitatea
.

Teorema.

Fie o succesiune de numere complexe (cu n ) și (z n ) converg, respectiv cu şiz, apoi egalitatealim(Cu n z n ) = c z, lim(Cu n · z n ) = c· z. Dacă se ştie cu certitudine căznu este egal cu 0, atunci egalitatea
.

Acest articol este o colecție de informații detaliate care tratează subiectul proprietăților rădăcinilor. Având în vedere subiectul, vom începe cu proprietățile, vom studia toate formulările și vom da dovezi. Pentru a consolida subiectul, vom lua în considerare proprietățile gradului al n-lea.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Proprietăți rădăcină

Vom vorbi despre proprietăți.

1. Proprietate numere înmulțite Ași b, care este reprezentat ca egalitatea a · b = a · b . Poate fi reprezentat ca multiplicatori, pozitivi sau egali cu zero a 1 , a 2 , … , a k ca a 1 a 2 … a k = a 1 a 2 … a k ;
2. din privat a: b =   a: b, a ≥ 0, b > 0, se poate scrie și sub această formă a b = a b ;
3. Proprietate din puterea unui număr A cu un exponent par a 2 m = a m pentru orice număr A, de exemplu, o proprietate din pătratul unui număr a 2 = a .

În oricare dintre ecuațiile prezentate, puteți schimba părțile înainte și după semnul liniuței, de exemplu, egalitatea a · b = a · b este transformată ca a · b = a · b . Proprietățile de egalitate sunt adesea folosite pentru a simplifica ecuații complexe.

Dovada primelor proprietăți se bazează pe definiția rădăcinii pătrate și a proprietăților puterilor cu exponent natural. Pentru a fundamenta a treia proprietate, este necesar să ne referim la definiția modulului unui număr.

În primul rând, este necesar să se demonstreze proprietățile rădăcinii pătrate a · b = a · b . Conform definiției, este necesar să se considere că a b este un număr, pozitiv sau egal cu zero, care va fi egal cu a bîn timpul construcției într-un pătrat. Valoarea expresiei a · b este pozitivă sau egală cu zero ca produs al numerelor nenegative. Proprietatea gradului de înmulțire a numerelor ne permite să reprezentăm egalitatea sub forma (a · b) 2 = a 2 · b 2 . După definiția rădăcinii pătrate a 2 \u003d a și b 2 \u003d b, apoi a b \u003d a 2 b 2 \u003d a b.

În mod similar, se poate dovedi că din produs k multiplicatori a 1 , a 2 , … , a k va fi egal cu produsul rădăcinilor pătrate ale acestor factori. Într-adevăr, a 1 · a 2 · … · ak 2 = a 1 2 · a 2 2 · … · ak 2 = a 1 · a 2 · … · a k .

Din această egalitate rezultă că a 1 · a 2 · … · a k = a 1 · a 2 · … · a k .

Să ne uităm la câteva exemple pentru a consolida subiectul.

Exemplul 1

3 5 2 5 = 3 5 2 5 , 4 , 2 13 1 2 = 4 , 2 13 1 2 și 2 , 7 4 12 17 0 , 2 (1) = 2 , 7 4 12 17 0 . 2 (1) .

Este necesar să se demonstreze proprietatea rădăcinii pătrate aritmetice a coeficientului: a: b = a: b, a ≥ 0, b > 0. Proprietatea vă permite să scrieți egalitatea a: b 2 = a 2: b 2 și a 2: b 2 = a: b , în timp ce a: b este un număr pozitiv sau egal cu zero. Această expresie va fi dovada.

De exemplu, 0:16 = 0:16, 80:5 = 80:5 și 30, 121 = 30, 121.

Luați în considerare proprietatea rădăcinii pătrate a pătratului unui număr. Se poate scrie ca o egalitate ca a 2 = a Pentru a demonstra această proprietate, este necesar să luăm în considerare în detaliu mai multe egalități pentru a ≥ 0 iar la A< 0 .

Evident, pentru a ≥ 0, egalitatea a 2 = a este adevărată. La A< 0 egalitatea a 2 = - a va fi adevărată. De fapt, în acest caz − a > 0și (− a) 2 = a 2 . Putem concluziona că a 2 = a , a ≥ 0 - a , a< 0 = a . Именно это и требовалось доказать.

Să ne uităm la câteva exemple.

Exemplul 2

5 2 = 5 = 5 și - 0. 36 2 = - 0. 36 = 0. 36 .

Proprietatea dovedită va ajuta la justificarea a 2 m = a m , unde A- real, și m-numar natural. Într-adevăr, proprietatea de exponențiere ne permite să înlocuim gradul a 2 m expresie (sunt) 2, atunci a 2 · m = (a m) 2 = a m .

Exemplul 3

3 8 = 3 4 = 3 4 și (- 8 , 3) ​​​​14 = - 8 , 3 7 = (8 , 3) ​​​​7 .

Proprietățile rădăcinii a n-a

Mai întâi trebuie să luați în considerare principalele proprietăți ale rădăcinilor de gradul al n-lea:

1. Proprietate din produsul numerelor Ași b, care sunt pozitive sau egale cu zero, pot fi exprimate ca egalitatea a b n = a n b n , această proprietate este valabilă pentru produs k numerele a 1 , a 2 , … , a k ca a 1 a 2 … a k n = a 1 n a 2 n … a k n ;
2. dintr-un număr fracționar are proprietatea a b n = a n b n , unde A este orice număr real care este pozitiv sau egal cu zero și b este un număr real pozitiv;
3. Pentru orice Ași numere pare n = 2 m a 2 m 2 m = a este adevărată, iar pentru impar n = 2 m − 1 egalitatea a 2 · m - 1 2 · m - 1 = a este îndeplinită.
4. Proprietatea de extragere din a m n = a n m , unde A- orice număr, pozitiv sau egal cu zero, nși m sunt numere naturale, această proprietate poate fi reprezentată și ca . . a n k n 2 n 1 = a n 1 · n 2 . . . nk ;
5. Pentru orice a nenegativ și arbitrar nși m, care sunt naturale, se poate defini și egalitatea justă a m n · m = a n ;
6. proprietatea gradului n din puterea unui număr A, care este pozitiv sau egal cu zero, în natură m, definit prin egalitatea a m n = a n m ;
7. Proprietatea comparației care au aceiași exponenți: pentru orice numere pozitive Ași b astfel încât A< b , inegalitatea a n< b n ;
8. Proprietatea comparațiilor care au aceleași numere sub rădăcină: dacă mși n- numere naturale care m > n, apoi la 0 < a < 1 inegalitatea a m > a n este valabilă, iar pentru a > 1 a m< a n .

Ecuațiile de mai sus sunt valabile dacă părțile înainte și după semnul egal sunt inversate. Ele pot fi folosite și în această formă. Acesta este adesea folosit în timpul simplificării sau transformării expresiilor.

Dovada proprietăților de mai sus ale rădăcinii se bazează pe definiția, proprietățile gradului și definiția modulului unui număr. Aceste proprietăți trebuie dovedite. Dar totul este în ordine.

1. În primul rând, vom demonstra proprietățile rădăcinii de gradul al n-lea din produsul a · b n = a n · b n . Pentru Ași b, care sunteți pozitiv sau zero , valoarea a n · b n este de asemenea pozitivă sau egală cu zero, deoarece este o consecință a înmulțirii numerelor nenegative. Proprietatea unui produs de putere naturală ne permite să scriem egalitatea a n · b n n = a n n · b n n . Prin definiția rădăcinii n gradul a n n = a și b n n = b , prin urmare, a n · b n n = a · b . Egalitatea rezultată este exact ceea ce trebuia să fie demonstrat.

Această proprietate este dovedită în mod similar pentru produs k factori: pentru numere nenegative a 1 , a 2 , … , a n a 1 n · a 2 n · … · a k n ≥ 0 .

Iată exemple de utilizare a proprietății root n a-a putere din produs: 5 2 1 2 7 = 5 7 2 1 2 7 și 8 , 3 4 17 , (21) 4 3 4 5 7 4 = 8 , 3 17 , (21) 3 5 7 4 .

1. Să demonstrăm proprietatea rădăcinii coeficientului a b n = a n b n . La a ≥ 0și b > 0 condiția a n b n ≥ 0 este îndeplinită, iar a n b n n = a n n b n n = a b .

Să arătăm exemple:

Exemplul 4

8 27 3 = 8 3 27 3 și 2 , 3 10: 2 3 10 = 2 , 3: 2 3 10 .

1. Pentru pasul următor, este necesar să se demonstreze proprietățile gradului al n-lea de la număr la grad n. Reprezentăm aceasta ca o egalitate a 2 m 2 m = a și a 2 m - 1 2 m - 1 = a pentru orice real A si naturala m. La a ≥ 0 obținem a = a și a 2 m = a 2 m , ceea ce demonstrează egalitatea a 2 m 2 m = a , iar egalitatea a 2 m - 1 2 m - 1 = a este evidentă. La A< 0 obţinem respectiv a = - a şi a 2 m = (- a) 2 m = a 2 m . Ultima transformare a numărului este valabilă în funcție de proprietatea gradului. Acesta este ceea ce demonstrează egalitatea a 2 m 2 m \u003d a, iar a 2 m - 1 2 m - 1 \u003d a va fi adevărată, deoarece - c 2 m - 1 \u003d - c 2 m este considerată pentru un impar grad - 1 pentru orice număr c , pozitiv sau egal cu zero.

Pentru a consolida informațiile primite, luați în considerare câteva exemple de utilizare a proprietății:

Exemplul 5

7 4 4 = 7 = 7 , (- 5 ) 12 12 = - 5 = 5 , 0 8 8 = 0 = 0 , 6 3 3 = 6 și (- 3 , 39) 5 5 = - 3 , 39 .

1. Să demonstrăm următoarea egalitate a m n = a n · m . Pentru a face acest lucru, trebuie să schimbați numerele dinaintea semnului egal și după acesta în locuri a n · m = a m n . Aceasta va indica intrarea corectă. Pentru A , ceea ce este pozitiv sau egal cu zero , din forma a m n este un număr pozitiv sau egal cu zero. Să ne întoarcem la proprietatea de a ridica o putere la o putere și la definiție. Cu ajutorul lor, puteți transforma egalități sub forma a m n n · m = a m n n m = a m m = a . Aceasta dovedește proprietatea considerată a unei rădăcini dintr-o rădăcină.

Alte proprietăți sunt dovedite în mod similar. Într-adevăr, . . . a n k n 2 n 1 n 1 n 2 . . . nk = . . . a n k n 3 n 2 n 2 n 3 . . . nk = . . . a nk n 4 n 3 n 3 n 4 . . . nk = . . . = a n k n k = a .

De exemplu, 7 3 5 = 7 5 3 și 0, 0009 6 = 0, 0009 2 2 6 = 0, 0009 24.

1. Să demonstrăm următoarea proprietate a m n · m = a n . Pentru a face acest lucru, este necesar să arătăm că un n este un număr care este pozitiv sau egal cu zero. Când este ridicat la o putere n m este a m. Dacă numărul A este pozitiv sau zero, atunci n gradul dintre A este un număr pozitiv sau egal cu zero Mai mult, a n · m n = a n n m , care urma să fie demonstrat.

Pentru a consolida cunoștințele dobândite, luați în considerare câteva exemple.

1. Să demonstrăm următoarea proprietate - proprietatea rădăcinii puterii formei a m n = a n m . Este evident că la a ≥ 0 gradul a n m este un număr nenegativ. Mai mult, ea n-gradul este egal cu a m, într-adevăr, a n m n = a n m · n = a n n m = a m . Aceasta dovedește proprietatea considerată a gradului.

De exemplu, 2 3 5 3 = 2 3 3 5 .

1. Trebuie să dovedim asta pentru orice numere pozitive Ași b A< b . Se consideră inegalitatea a n< b n . Воспользуемся методом от противного a n ≥ b n . Тогда, согласно свойству, о котором говорилось выше, неравенство считается верным a n n ≥ b n n , то есть, a ≥ b . Но это не соответствует условию A< b . Prin urmare, un n< b n при A< b .

De exemplu, dăm 12 4< 15 2 3 4 .

1. Luați în considerare proprietatea rădăcină n- gradul. În primul rând, luați în considerare prima parte a inegalității. La m > nși 0 < a < 1 adevărat a m > a n . Să presupunem că a m ≤ a n . Proprietățile vor simplifica expresia la a n m · n ≤ a m m · n . Atunci, conform proprietăților unui grad cu exponent natural, inegalitatea a n m n m n ≤ a m m n m n este satisfăcută, adică a n ≤ a m. Valoarea obtinuta la m > nși 0 < a < 1 nu se potrivește cu proprietățile de mai sus.

În același mod, se poate dovedi că m > nși a > 1 condiție a m< a n .

Pentru a consolida proprietățile de mai sus, luați în considerare câteva exemple specifice. Luați în considerare inegalitățile folosind numere specifice.

Exemplul 6

0 , 7 3 < 0 , 7 5 и 12 > 12 7 .

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Scriptul lecției în clasa a 11-a pe tema:

Rădăcina a n-a a unui număr real. »

Scopul lecției: Formarea la studenți a unei viziuni holistice asupra rădăcinii n-gradul și rădăcina aritmetică de gradul al n-lea, formarea abilităților de calcul, abilitățile de utilizare conștientă și rațională a proprietăților rădăcinii în rezolvarea diferitelor probleme care conțin un radical. Pentru a verifica nivelul de stăpânire a întrebărilor temei de către elevi.

Subiect:creați condiții semnificative și organizatorice pentru asimilarea materialului pe tema " Expresii numerice și alfabetice » la nivel de percepție, înțelegere și memorare primară; pentru a forma capacitatea de a aplica aceste informații atunci când se calculează rădăcina gradului n-lea dintr-un număr real;

Metasubiect: promovează dezvoltarea abilităților de calcul; capacitatea de a analiza, compara, generaliza, trage concluzii;

Personal: de a cultiva capacitatea de a-și exprima punctul de vedere, de a asculta răspunsurile celorlalți, de a lua parte la un dialog, de a forma capacitatea de cooperare pozitivă.

Rezultat planificat.

Subiect: să poată aplica proprietățile rădăcinii de gradul al n-lea dintr-un număr real în procesul unei situații reale la calcularea rădăcinilor, rezolvarea ecuațiilor.

Personal: să formeze atenție și acuratețe în calcule, o atitudine exigentă față de sine și față de munca sa, să cultive un sentiment de asistență reciprocă.

Tip de lecție: lecție de studiu și consolidare primară a noilor cunoștințe

Motivația pentru activitățile de învățare:

Înțelepciunea răsăriteană spune: „Poți duce un cal la apă, dar nu-l poți face să bea”. Și este imposibil să forțezi o persoană să studieze bine dacă el însuși nu încearcă să învețe mai mult, nu are dorința de a lucra la dezvoltarea sa mentală. La urma urmei, cunoașterea este cunoaștere numai atunci când este dobândită prin eforturile gândirii cuiva, și nu numai prin memorie.

Lecția noastră se va desfășura sub motto-ul: „Vom cuceri orice vârf dacă ne străduim pentru el”. În timpul lecției, tu și cu mine trebuie să avem timp să depășim mai multe vârfuri și fiecare dintre voi trebuie să depună toate eforturile pentru a cuceri aceste vârfuri.

„Astăzi avem o lecție în care trebuie să facem cunoștință cu un nou concept: „Rădăcina gradului al n-lea” și să învățăm cum să aplicăm acest concept la transformarea diferitelor expresii.

Scopul tău este să activezi cunoștințele existente pe baza diferitelor forme de lucru, să contribui la studiul materialului și să obții note bune.
Am studiat rădăcina pătrată a unui număr real în clasa a VIII-a. Rădăcina pătrată este legată de funcția de vizualizare y=X 2. Băieți, vă amintiți cum am calculat rădăcinile pătrate și ce proprietăți avea?
a) sondaj individual:

care este această expresie

ce este o rădăcină pătrată

care este rădăcina pătrată aritmetică

enumerați proprietățile rădăcinii pătrate

b) se lucrează în perechi: se calculează.

-

2. Actualizarea cunoștințelor și crearea unei situații problematice: Rezolvați ecuația x 4 =1. Cum o putem rezolva? (Analitic și grafic). Să o rezolvăm grafic. Pentru a face acest lucru, într-un sistem de coordonate, construim un grafic al funcției y \u003d x 4 linie dreaptă y \u003d 1 (Fig. 164 a). Ele se intersectează în două puncte: A (-1;1) și B(1;1). Abcisele punctelor A și B, adică. x 1 \u003d -1,

x 2 \u003d 1, sunt rădăcinile ecuației x 4 \u003d 1.
Argumentând în același mod, găsim rădăcinile ecuației x 4 \u003d 16: Acum să încercăm să rezolvăm ecuația x 4 \u003d 5; ilustrația geometrică este prezentată în fig. 164 b. Este clar că ecuația are două rădăcini x 1 și x 2, iar aceste numere, ca și în cele două cazuri precedente, sunt reciproc opuse. Dar pentru primele două ecuații, rădăcinile au fost găsite fără dificultate (au putut fi găsite și fără a folosi grafice) și există probleme cu ecuația x 4 \u003d 5: conform desenului, nu putem indica valorile \ u200b\u200din rădăcini, dar putem stabili doar că o rădăcină este situată în punctul din stânga -1, iar a doua - în dreapta punctului 1.

x 2 \u003d - (a se citi: „a patra rădăcină din cinci”).

Am vorbit despre ecuația x 4 \u003d a, unde a 0. Cu succes egal, am putea vorbi despre ecuația x 4 \u003d a, unde a 0 și n este orice număr natural. De exemplu, rezolvând grafic ecuația x 5 \u003d 1, găsim x \u003d 1 (Fig. 165); rezolvând ecuația x 5 "= 7, stabilim că ecuația are o rădăcină x 1, care este situată pe axa x puțin la dreapta punctului 1 (vezi Fig. 165). Pentru numărul x 1, introducem notaţie.

Definiția 1. Rădăcina gradului al n-lea al unui număr nenegativ a (n = 2, 3,4, 5, ...) este un număr nenegativ care, ridicat la puterea lui n, are ca rezultat numărul a.

Acest număr este notat, numărul a se numește număr rădăcină, iar numărul n este indicele rădăcină.
Dacă n = 2, atunci de obicei nu spun „rădăcină de gradul doi”, ci spun „„rădăcină pătrată”. În acest caz, ei nu scriu. Acesta este cazul special pe care l-ai studiat special în al VIII-lea curs de algebră de grad.

Dacă n \u003d 3, atunci în loc de „rădăcină de gradul trei” se spune adesea „rădăcină cubă”. Prima ta cunoștință cu rădăcina cubă a avut loc și la cursul de algebră de clasa a VIII-a. Am folosit rădăcina cubă la cursul de algebră de clasa a IX-a.

Deci, dacă a ≥0, n= 2,3,4,5,…, atunci 1) ≥ 0; 2) () n = a.

În general, =b și b n =a - aceeași relație între numerele nenegative a și b, dar al doilea este descris într-un limbaj mai simplu (folosește simboluri mai simple) decât primul.

Operația de găsire a rădăcinii unui număr nenegativ se numește de obicei extragerea rădăcinii. Această operație este inversul creșterii la puterea corespunzătoare. Comparaţie:

Fiți atenți din nou: în tabel apar numai numere pozitive, deoarece acest lucru este stipulat în definiția 1. Și, deși, de exemplu, (-6) 6 \u003d 36 este egalitatea corectă, treceți de la ea la notație folosind rădăcina pătrată, adică. scrie ce nu poți. Prin definiție - un număr pozitiv, deci = 6 (și nu -6). În același mod, deși 2 4 \u003d 16, m (-2) 4 \u003d 16, trecând la semnele rădăcinilor, trebuie să scriem \u003d 2 (și în același timp ≠-2).

Uneori, expresia este numită un radical (de la cuvântul latin gadix - „rădăcină”). În rusă, termenul radical este folosit destul de des, de exemplu, „schimbări radicale” înseamnă „schimbări radicale”. Apropo, însăși desemnarea rădăcinii amintește de cuvântul gadix: simbolul este o litera stilizată r.

Operația de extragere a rădăcinii este determinată și pentru un număr negativ de rădăcină, dar numai în cazul unui exponent rădăcină impar. Cu alte cuvinte, ecuația (-2) 5 = -32 poate fi rescrisă în forma echivalentă ca =-2. Aici se folosește următoarea definiție.

Definiția 2. Rădăcina unui grad impar n dintr-un număr negativ a (n = 3,5, ...) este un număr negativ care, ridicat la puterea lui n, are ca rezultat numărul a.

Acest număr, ca în definiția 1, este notat cu , numărul a este numărul rădăcinii, numărul n este indicele rădăcinii.
Deci, dacă a, n=,5,7,…, atunci: 1) 0; 2) () n = a.

Astfel, o rădăcină pară are sens (adică este definită) numai pentru o expresie radicală nenegativă; o rădăcină ciudată are sens pentru orice expresie radicală.

5. Consolidarea primară a cunoștințelor:

1. Calculați: Nr. Nr. 33,5; 33,6; 33,74 33,8 oral a) ; b) ; în); G).

d) Spre deosebire de exemplele anterioare, nu putem specifica valoarea exactă a numărului. Este clar doar că este mai mare decât 2, dar mai mic decât 3, deoarece 2 4 \u003d 16 (acesta este mai mic decât 17) și 3 4 \u003d 81 (acest mai mult de 17). Rețineți că 24 este mult mai aproape de 17 decât de 34, așa că există motive să folosiți un semn aproximativ egal:
2. Găsiți valorile următoarelor expresii.

Pune litera corespunzătoare lângă exemplu.

Câteva informații despre marele om de știință. René Descartes (1596-1650) nobil francez, matematician, filozof, fiziolog, gânditor. Rene Descartes a pus bazele geometriei analitice, a introdus denumirile literelor x 2 , y 3 . Toată lumea știe coordonatele carteziene care definesc o funcție a unei variabile.

3 . Rezolvați ecuațiile: a) = -2; b) = 1; c) = -4

Soluţie: a) Dacă = -2, atunci y = -8. De fapt, trebuie să cubăm ambele părți ale ecuației date. Se obține: 3x+4= - 8; 3x= -12; x = -4. b) Argumentând ca în exemplul a), ridicăm ambele părți ale ecuației la a patra putere. Se obține: x=1.

c) Aici nu este necesară ridicarea la puterea a patra, această ecuație nu are soluții. De ce? Pentru că, conform definiției 1, rădăcina unui grad par este un număr nenegativ.
Există mai multe sarcini pentru atenția dvs. Când veți finaliza aceste sarcini, veți afla numele și prenumele marelui matematician. Acest om de știință în 1637 a fost primul care a introdus semnul rădăcinii.

6. Hai să ne odihnim.

Clasa ridică mâinile - acesta este „timpul”.

Capul întors - sunt „doi”.

Cu mâinile în jos, așteptați înainte - acesta este „trei”.

Mâinile s-au întors mai largi în lateral pe „patru”,

Apăsarea lor împotriva mâinilor cu forță este „cinci”.

Toți băieții trebuie să se așeze - acesta este „șase”.

7. Munca independentă:

opțiune: 2 opțiune:

b) 3-. b) 12 -6.

2. Rezolvați ecuația: a) x 4 \u003d -16; b) 0,02x6 -1,28=0; a) x 8 \u003d -3; b) 0,3x 9 - 2,4 \u003d 0;

c) = -2; c)= 2

8. Repetiție: Aflați rădăcina ecuației = - x. Dacă ecuația are mai multe rădăcini, scrieți cea mai mică dintre rădăcini în răspuns.

9. Reflecție: Ce ai învățat la lecție? Ce a fost interesant? Ce a fost dificil?

Lecție și prezentare pe tema: „Proprietățile rădăcinii gradului al n-lea. Teoreme”

Materiale suplimentare
Dragi utilizatori, nu uitați să lăsați comentariile, feedback-ul, sugestiile voastre! Toate materialele sunt verificate de un program antivirus.

Mijloace și simulatoare didactice în magazinul online „Integral” pentru clasa a 11-a
Manual interactiv pentru clasele 9-11 „Trigonometrie”
Manual interactiv pentru clasele 10-11 „Logaritmi”

Proprietățile rădăcinii gradului al n-lea. Teoreme

Băieți, continuăm să studiem rădăcinile gradului al n-lea al unui număr real. Ca aproape toate obiectele matematice, rădăcinile gradului al n-lea au unele proprietăți, astăzi le vom studia.
Toate proprietățile pe care le considerăm sunt formulate și dovedite numai pentru valorile nenegative ale variabilelor conținute sub semnul rădăcină.
În cazul unui exponent rădăcină impar, ele sunt valabile și pentru variabilele negative.

Teorema 1. Rădăcina a n-a a produsului a două numere nenegative este egală cu produsul rădăcinilor a n-a ale acestor numere: $\sqrt[n](a*b)=\sqrt[n](a)*\ sqrt[n]( b) $ .

Să demonstrăm teorema.
Dovada. Băieți, pentru a demonstra teorema, să introducem noi variabile, notăm:
$\sqrt[n](a*b)=x$.
$\sqrt[n](a)=y$.
$\sqrt[n](b)=z$.
Trebuie să demonstrăm că $x=y*z$.
Rețineți că următoarele identități sunt valabile și:
$a*b=x^n$.
$a=y^n$.
$b=z^n$.
Atunci este valabilă și următoarea identitate: $x^n=y^n*z^n=(y*z)^n$.
Gradele a două numere nenegative și exponenții lor sunt egale, apoi bazele gradelor în sine sunt egale. Prin urmare, $x=y*z$, care este ceea ce trebuia să fie demonstrat.

Teorema 2. Dacă $a≥0$, $b>0$ și n este un număr natural mai mare decât 1, atunci este valabilă următoarea egalitate: $\sqrt[n](\frac(a)(b))=\frac(\sqrt [ n](a))(\sqrt[n](b))$.

Adică, a n-a rădăcină a coeficientului este egală cu a n-a rădăcină.

Dovada.
Pentru a demonstra acest lucru, folosim o schemă simplificată sub forma unui tabel:

Exemple de calcul a rădăcinii a n-a

Exemplu.
Calculați: $\sqrt(16*81*256)$.
Soluţie. Să folosim teorema 1: $\sqrt(16*81*256)=\sqrt(16)*\sqrt(81)*\sqrt(256)=2*3*4=24$.

Exemplu.
Calculați: $\sqrt(7\frac(19)(32))$.
Soluţie. Să reprezentăm expresia radicală ca o fracție improprie: $7\frac(19)(32)=\frac(7*32+19)(32)=\frac(243)(32)$.
Să folosim teorema 2: $\sqrt(\frac(243)(32))=\frac(\sqrt(243))(\sqrt(32))=\frac(3)(2)=1\frac(1 ) (2)$.

Exemplu.
Calculati:
a) $\sqrt(24)*\sqrt(54)$.
b) $\frac(\sqrt(256))(\sqrt(4))$.
Soluţie:
a) $\sqrt(24)*\sqrt(54)=\sqrt(24*54)=\sqrt(8*3*2*27)=\sqrt(16*81)=\sqrt(16)*\ sqrt(81)=2*3=6$.
b) $\frac(\sqrt(256))(\sqrt(4))=\sqrt(\frac(256)(4))=\sqrt(64)=24$.

Teorema 3. Dacă $a≥0$, k și n sunt numere naturale mai mari decât 1, atunci egalitatea este adevărată: $(\sqrt[n](a))^k=\sqrt[n](a^k)$.

Pentru a ridica o rădăcină la o putere naturală, este suficient să ridici expresia radicală la această putere.

Dovada.
Să luăm în considerare un caz special pentru $k=3$. Să folosim teorema 1.
$(\sqrt[n](a))^k=\sqrt[n](a)*\sqrt[n](a)*\sqrt[n](a)=\sqrt[n](a*a *a)=\sqrt[n](a^3)$.
Același lucru se poate dovedi și în orice alt caz. Băieți, dovedeți-vă singuri pentru cazul în care $k=4$ și $k=6$.

Teorema 4. Dacă $a≥0$ b n,k sunt numere naturale mai mari decât 1, atunci egalitatea este adevărată: $\sqrt[n](\sqrt[k](a))=\sqrt(a)$.

Pentru a extrage o rădăcină dintr-o rădăcină, este suficient să înmulțiți exponenții rădăcinilor.

Dovada.
Să demonstrăm din nou pe scurt folosind tabelul. Pentru a demonstra acest lucru, folosim o schemă simplificată sub forma unui tabel:

Exemplu.
$\sqrt(\sqrt(a))=\sqrt(a)$.
$\sqrt(\sqrt(a))=\sqrt(a)$.
$\sqrt(\sqrt(a))=\sqrt(a)$.

Teorema 5. Dacă indicii rădăcinii și expresia rădăcinii sunt înmulțiți cu același număr natural, atunci valoarea rădăcinii nu se va modifica: $\sqrt(a^(kp))=\sqrt[n](a) $.

Dovada.
Principiul demonstrației teoremei noastre este același ca în alte exemple. Să introducem noi variabile:
$\sqrt(a^(k*p))=x=>a^(k*p)=x^(n*p)$ (prin definiție).
$\sqrt[n](a^k)=y=>y^n=a^k$ (prin definiție).
Ridicam ultima egalitate la putere p
$(y^n)^p=y^(n*p)=(a^k)^p=a^(k*p)$.
A primit:
$y^(n*p)=a^(k*p)=x^(n*p)=>x=y$.
Adică $\sqrt(a^(k*p))=\sqrt[n](a^k)$, care urma să fie demonstrat.

Exemple:
$\sqrt(a^5)=\sqrt(a)$ (împărțit la 5).
$\sqrt(a^(22))=\sqrt(a^(11))$ (împărțit la 2).
$\sqrt(a^4)=\sqrt(a^(12))$ (înmulțit cu 3).

Exemplu.
Rulați acțiuni: $\sqrt(a)*\sqrt(a)$.
Soluţie.
Exponenții rădăcinilor sunt numere diferite, deci nu putem folosi Teorema 1, dar aplicând Teorema 5 putem obține exponenți egali.
$\sqrt(a)=\sqrt(a^3)$ (înmulțit cu 3).
$\sqrt(a)=\sqrt(a^4)$ (înmulțit cu 4).
$\sqrt(a)*\sqrt(a)=\sqrt(a^3)*\sqrt(a^4)=\sqrt(a^3*a^4)=\sqrt(a^7)$.

Sarcini pentru soluție independentă

1. Calculați: $\sqrt(32*243*1024)$.
2. Calculați: $\sqrt(7\frac(58)(81))$.
3. Calculați:
a) $\sqrt(81)*\sqrt(72)$.
b) $\frac(\sqrt(1215))(\sqrt(5))$.
4. Simplificați:
a) $\sqrt(\sqrt(a))$.
b) $\sqrt(\sqrt(a))$.
c) $\sqrt(\sqrt(a))$.
5. Efectuați acțiuni: $\sqrt(a^2)*\sqrt(a^4)$.