Acest articol conține informații de bază despre numere reale. În primul rând, este dată definiția numerelor reale și sunt date exemple. Poziția numerelor reale pe linia de coordonate este afișată în continuare. Și în concluzie, se analizează modul în care numerele reale sunt date sub formă de expresii numerice.

Navigare în pagină.

Definiție și exemple de numere reale

Numerele reale ca expresii

Din definiția numerelor reale, este clar că numerele reale sunt:

• orice număr natural;
• orice număr întreg;
• orice fracție obișnuită (atât pozitivă, cât și negativă);
• orice număr mixt;
• orice fracție zecimală (pozitivă, negativă, finită, periodică infinită, neperiodică infinită).

Dar de foarte multe ori numerele reale pot fi văzute sub forma , etc. În plus, suma, diferența, produsul și câtul numerelor reale sunt, de asemenea, numere reale (vezi operatii cu numere reale). De exemplu, acestea sunt numere reale.

Și dacă mergi mai departe, atunci de la numere reale folosind semne aritmetice, semne rădăcină, grade, funcții logaritmice, trigonometrice etc. puteți compune tot felul de expresii numerice, ale căror valori vor fi și numere reale. De exemplu, valorile expresiei și sunt numere reale.

În încheierea acestui articol, observăm că următorul pas în extinderea conceptului de număr este trecerea de la numerele reale la numere complexe.

Bibliografie.

• Vilenkin N.Ya. etc.Matematica. Clasa a VI-a: manual pentru instituțiile de învățământ.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebră: manual pentru 8 celule. institutii de invatamant.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematică (un manual pentru solicitanții la școlile tehnice).

Drepturi de autor de către studenți inteligenți

Toate drepturile rezervate.
Protejat de legea dreptului de autor. Nicio parte a site-ului www.site, inclusiv materialele interne și designul extern, nu poate fi reprodusă sub nicio formă sau utilizată fără permisiunea prealabilă scrisă a deținătorului drepturilor de autor.

Repetarea liceului

Integral

Derivat

Volumele corpurilor

Solide ale revoluției

Metoda coordonatelor în spațiu

Sistem de coordonate dreptunghiular. Relația dintre coordonatele vectoriale și coordonatele punctului. Cele mai simple probleme de coordonate. Produsul scalar al vectorilor.

Conceptul de cilindru. Suprafața unui cilindru. Conceptul de con.

Suprafața unui con. Sferă și minge. Zona sferei. Aranjamentul reciproc al sferei și planului.

Conceptul de volum. Volumul unui paralelipiped dreptunghiular. Volumul unei prisme drepte, cilindru. Volumul piramidei și al conului. Volumul mingii.

Secțiunea III. Începuturile analizei matematice

Derivat. Derivată a unei funcții de putere. Reguli de diferențiere. Derivate ale unor funcţii elementare. Sensul geometric al derivatului.

Aplicarea derivatei la studiul funcţiilor Funcția de creștere și scădere. Extreme ale funcției. Aplicarea derivatei la trasarea graficelor. Cele mai mari, cele mai mici valori ale funcției.

Primitiv. Reguli pentru găsirea primitivilor. Aria unui trapez curbiliniu și a integralei. Calculul integralelor. Calculul suprafețelor folosind integrale.

Sarcini de instruire pentru examene

Secţiunea I. Algebră

Numărul este o abstractizare folosită pentru cuantificarea obiectelor. Cifrele au apărut în societatea primitivă în legătură cu nevoia oamenilor de a număra obiectele. De-a lungul timpului, odată cu dezvoltarea științei, numărul a devenit cel mai important concept matematic.

Pentru a rezolva probleme și a demonstra diverse teoreme, trebuie să înțelegeți ce tipuri de numere sunt. Principalele tipuri de numere includ: numere naturale, numere întregi, numere raționale, numere reale.

Numerele naturale sunt numere obținute prin numărarea naturală a obiectelor, sau mai bine zis, prin numerotarea acestora („primul”, „al doilea”, „al treilea”...). Setul de numere naturale este notat cu litera latină N (vă puteți aminti, pe baza cuvântului englezesc natural). Putem spune că N =(1,2,3,....)

Prin completarea numerelor naturale cu numere zero și negative (adică numere opuse numerelor naturale), mulțimea numerelor naturale este extinsă la mulțimea numerelor întregi.

Numerele întregi sunt numere din mulțime (0, 1, -1, 2, -2, ....). Această mulțime este formată din trei părți - numere naturale, numere întregi negative (opusul numerelor naturale) și numărul 0 (zero). Numerele întregi sunt notate cu litera latină Z. Putem spune că Z=(1,2,3,....). Numerele raționale sunt numere care pot fi exprimate ca o fracție, unde m este un număr întreg și n este un număr natural.

Există numere raționale care nu pot fi scrise ca o fracție zecimală finită, de exemplu. Dacă, de exemplu, încercați să scrieți un număr ca fracție zecimală folosind algoritmul de colț de împărțire binecunoscut, obțineți o fracție zecimală infinită. Se numește o zecimală infinită periodic, repetând numărul 3 – ea perioadă. O fracție periodică se scrie pe scurt după cum urmează: 0, (3); scrie: „Zero numere întregi și trei în perioadă”.

În general, o fracție periodică este o fracție zecimală infinită, în care, pornind de la o anumită zecimală, se repetă aceeași cifră sau mai multe cifre - perioada fracției.

De exemplu, o zecimală este periodică cu o perioadă de 56; citește „23 de numere întregi, 14 sutimi și 56 în perioadă”.

Deci, fiecare număr rațional poate fi reprezentat ca o fracție zecimală periodică infinită.

Afirmația inversă este de asemenea adevărată: fiecare fracție zecimală periodică infinită este un număr rațional, deoarece poate fi reprezentată ca o fracție, unde este un număr întreg, este un număr natural.

Numerele reale (reale) sunt numere care sunt folosite pentru a măsura cantități continue. Mulțimea numerelor reale se notează cu litera latină R. Numerele reale includ numerele raționale și numerele iraționale. Numerele iraționale sunt numere care se obțin prin efectuarea diferitelor operații asupra numerelor raționale (de exemplu, extragerea unei rădăcini, calcularea logaritmilor), dar nu sunt raționale în același timp. Exemple de numere iraționale sunt .

Pe linia numerică poate fi afișat orice număr real:

Pentru mulțimile de numere enumerate mai sus, următoarea afirmație este adevărată: mulțimea numerelor naturale este inclusă în mulțimea numerelor întregi, mulțimea numerelor întregi este inclusă în mulțimea numerelor raționale și mulțimea numerelor raționale este inclusă în set de numere reale. Această afirmație poate fi ilustrată folosind cercuri Euler.

Exerciții de auto-rezolvare

Dacă numărul α nu poate fi reprezentat ca o fracție ireductibilă $$\frac(p)(q)$$, atunci se numește irațional.
Un număr irațional se scrie ca o fracție zecimală neperiodică infinită.

Faptul existenței numerelor iraționale va fi demonstrat printr-un exemplu.
Exemplul 1.4.1. Demonstrați că nu există un număr rațional al cărui pătrat este 2.
Soluţie. Să presupunem că există o fracție ireductibilă $$\frac(p)(q)$$ astfel încât $$(\frac(p)(q))^(2)=2$$
sau $$p^(2)=2q^(2)$$. Rezultă că $$p^(2)$$ este un multiplu al lui 2 și, prin urmare, p este un multiplu al lui 2. În caz contrar, dacă p nu este divizibil cu 2, adică, $$p=2k-1$$, apoi $$p^(2)=(2k-1)^(2)=4k^(2)-4k+1$$ nici nu este divizibil cu 2. Prin urmare, $ $ p=2k$$ $$\Săgeată dreapta$$ $$p^(2)=4k^(2)$$ $$\Săgeată dreapta$$ $$4k^(2)=2q^(2)$$ $$ \ Săgeată la dreapta$$ $$q^(2)=2k^(2)$$.
Deoarece $$q^(2)$$ este un multiplu al lui 2, atunci q este, de asemenea, un multiplu al lui 2, i.e. $$q=2m$$.
Deci, numerele p și q au un factor comun - numărul 2, ceea ce înseamnă că fracția $$\frac(p)(q)$$ este redusă.
Această contradicție înseamnă că presupunerea făcută este falsă, astfel afirmația este dovedită.
Mulțimea numerelor raționale și iraționale se numește mulțime de numere reale.
În mulţimea numerelor reale se introduc axiomatic operaţiile de adunare şi înmulţire: oricăror două numere reale a şi b li se atribuie numărul $$a+b$$ şi produsul $$a\cdot b$$.
În plus, relațiile „mai mare decât”, „mai puțin decât” și egalitate sunt introduse în acest set:
$$a>b$$ dacă și numai dacă a - b este un număr pozitiv;
$$a a = b dacă și numai dacă a - b = 0.
Să enumerăm principalele proprietăți ale inegalităților numerice.
1. Dacă $$a>b$$ și $$b>c$$ $$\Rightarrow$$ $$a>c$$.
2. Dacă $$a>b$$ și $$c>0$$ $$\Rightarrow$$ $$ac>bc$$.
3. Dacă $$a>b$$ și $$c<0$$ $$\Rightarrow$$ $$ac4. Dacă $$a>b$$ și c este orice număr $$\Rightarrow$$ $$a+c>b+c$$.
5. Dacă a, b, c, d sunt numere pozitive astfel încât $$a>b$$ și $$c>d$$ $$\Rightarrow$$ $$ac>bd$$.
Consecinţă. Dacă a și b sunt numere pozitive și $$a>b$$ $$\Rightarrow$$ $$a^(2)>b^(2)$$.
6. Dacă $$a>b$$ și $$c>d$$ $$\Săgeată dreapta$$ $$a+c>b+d$$.
7. Dacă $$a>0$$, $$b>0$$ și $$a>b$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac(1)(a)<\frac{1}{b}$$.

Interpretarea geometrică a numerelor reale.
Să luăm o linie dreaptă l, vezi fig. 1.4.1 și fixați un punct O pe acesta - originea.
Punctul O împarte linia în două părți - raze. Raza îndreptată spre dreapta se numește rază pozitivă, iar raza îndreptată spre stânga se numește rază negativă. Pe linie dreaptă, marchem segmentul luat ca unitate de lungime, adică. introduceți scara.

Orez. 1.4.1. Interpretarea geometrică a numerelor reale.

O linie dreaptă cu o origine selectată, direcție pozitivă și scară se numește linie numerică.
Fiecare punct al dreptei numerice poate fi asociat unui număr real conform următoarei reguli:

- punctului O i se va atribui zero;
– fiecărui punct N de pe raza pozitivă i se atribuie un număr pozitiv a, unde a este lungimea segmentului ON ;
– fiecărui punct M de pe raza negativă i se atribuie un număr negativ b, unde $$b=-\left | OM \right |$$ (lungimea segmentului OM, luată cu semnul minus).
Astfel, se stabilește o corespondență unu-la-unu între mulțimea tuturor punctelor dreptei numerice reale și mulțimea numerelor reale, i.e. :
1) fiecărui punct de pe linia numerică i se atribuie un singur număr real;
2) punctelor diferite li se atribuie numere diferite;
3) nu există un singur număr real care să nu corespundă cu niciun punct de pe dreapta numerelor.

Exemplul 1.4.2. Pe linia numerică, marcați punctele corespunzătoare numerelor:
1) $$1\frac(5)(7)$$ 2) $$\sqrt(2)$$ 3) $$\sqrt(3)$$
Soluţie. 1) Pentru a marca numărul fracționar $$\frac(12)(7)$$, trebuie să construiți un punct corespunzător lui $$\frac(12)(7)$$.
Pentru a face acest lucru, trebuie să împărțiți un segment de lungime 1 în 7 părți egale. Rezolvăm această problemă în acest fel.
Tragem o rază arbitrară din t.O și punem deoparte 7 segmente egale pe această rază. obține
segmentul OA, iar din punctul A trasăm o linie dreaptă până la intersecția cu 1.

Orez. 1.4.2. Împărțirea unui singur segment în 7 părți egale.

Liniile drepte trasate paralel cu linia dreaptă A1 prin capetele segmentelor concediate împart segmentul de unitate de lungime în 7 părți egale (Fig. 1.4.2). Aceasta face posibilă construirea unui punct reprezentând numărul $$1\frac(5)(7)$$ (Fig.1.4.3).

Orez. 1.4.3. Un punct pe axa numerelor care corespunde numărului $$1\frac(5)(7)$$.

2) Numărul $$\sqrt(2)$$ poate fi obținut astfel. Construim un triunghi dreptunghic cu catete unitare. Atunci lungimea ipotenuzei este $$\sqrt(2)$$; acest segment este pus deoparte de O pe linia numerică (Fig. 1.4.4).
3) Pentru a construi un punct îndepărtat de PO la o distanță de $$\sqrt(3)$$ (la dreapta), este necesar să construiți un triunghi dreptunghic cu catete de lungime 1 și $$\sqrt(2) )$$. Atunci ipotenuza sa are lungimea $$\sqrt(2)$$, ceea ce vă permite să specificați punctul dorit pe axa reală.
Pentru numerele reale, conceptul de modul (sau valoare absolută) este definit.

Orez. 1.4.4. Punctul de pe axa numerelor corespunzător numărului $$\sqrt(2)$$.

Modulul unui număr real a se numește:
este numărul în sine, dacă A este un număr pozitiv;
- zero dacă A- zero;
– -A, dacă A- un număr negativ.
Valoarea absolută a unui număr A notat cu $$\left | a \dreapta |$$.
Definiția modulului (sau valoarea absolută) poate fi scrisă ca

$$\stânga | a \right |=\left\(\begin(matrix)a, a\geq0\\-a, a<0\end{matrix}\right.$$

(1.4.1)

Geometric, modulul numărului a înseamnă distanța pe linia numerică de la originea O până la punctul corespunzător numărului. A.
Notăm câteva proprietăți ale modulului.
1. Pentru orice număr A egalitatea $$\left | a \right |=\stânga | -a \dreapta |$$.
2. Pentru orice numere Ași b egalitățile sunt adevărate

$$\stânga | ab \right |=\stânga | a \right |\cdot \left | b \dreapta |$$; $$\stânga | \frac(a)(b) \right |=\frac(\left | a \right |)(\left | b \right |)$$ $$(b\neq 0)$$; $$\stânga | a \dreapta |^(2)=a^(2)$$.

3. Pentru orice număr A inegalitatea $$\left | a \dreapta |\geq 0$$.
4. Pentru orice număr A inegalitatea $$-\left | a\right |\leq a\leq \left | a \dreapta |$$.
5. Pentru orice numere Ași b inegalitatea

$$\stânga | a+b \right |\leq \left | a \dreapta |+\stânga | b \dreapta |$$

Luați în considerare următoarele mulțimi numerice.
Dacă $$a 1) un segment este mulțimea tuturor numerelor reale α pentru fiecare dintre ele sunt adevărate următoarele: $$a\leq \alpha \leq b$$;
2) intervalul (a; b) este mulțimea tuturor numerelor reale α , pentru fiecare dintre ele adevărate: $$a<\alpha 3) un semiinterval (a; b] este mulțimea tuturor numerelor reale α pentru fiecare dintre care este adevărată: $$a<\alpha \leq b$$.
În mod similar, puteți introduce o jumătate de interval.
În unele cazuri, se vorbește de „goluri”, adică prin aceasta fie o rază, fie un segment, fie un interval, fie un semi-interval.

Multe R toate numerele reale se notează după cum urmează: $$(-\infty; \infty)$$.
Pentru orice număr real a, introducem conceptul de grad cu exponent natural n, și anume

$$a^(n)=\underbrace (a\cdot a\cdot a\cdot a...a)$$, $$n\geq 2$$ și $$a^(1)=a$$.

Lăsa A este orice număr diferit de zero, apoi prin definiție $$a^(0)=1$$.
Puterea zero a lui zero nu este definită.
Lăsa A- orice număr diferit de zero, m este orice număr întreg. Atunci numărul $$a^(m)$$ este determinat de regula:

$$a^(m)=\left\(\begin(matrix)a, m=1;\\\underbrace(a\cdot a\cdot a\cdot a...a), m\în N, m \geq2;\\1, m=0;\\\frac(1)(a^(n)), m=-n, n\în N\end(matrice)\right.$$

în care a m se numește grad cu exponent întreg.

Înainte de a defini conceptul de grad cu exponent rațional, introducem conceptul de rădăcină aritmetică.
Gradul de rădăcină aritmetică n (n ∈ N, n > 2) număr nenegativ A numit numar nenegativ b astfel încât b n = a. Număr b notat cu $$b\sqrt[n](a)$$.
Proprietățile rădăcinilor aritmetice ( a > 0, b > 0, n, m, k- numere întregi.)

1. $$\sqrt[n](ab)=\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[n](b)$$	5. $$\sqrt[n](\sqrt[k](a))=\sqrt(a)$$
2. $$(a)^(\frac(k)(n))=\sqrt[n](a^(k))$$	6. $$\sqrt[n](a^(m))=\sqrt(a^(mk))$$
3. $$(\sqrt[n](a))^(k)=\sqrt[n](a^(k))$$	7. $$\sqrt(a^(2))=\left | a \dreapta |$$
4. $$\sqrt[n](\frac(a)(b))=\frac(\sqrt[n](a))(\sqrt[n](b)) (b\neq 0)$$	8. $$\sqrt(a^(2n))=\left | a \dreapta |$$

Lăsa A< 0 , A n este un număr natural mai mare decât 1. Dacă n este un număr par, apoi egalitatea b n = a nu este valabil pentru nicio valoare reală b. Aceasta înseamnă că în domeniul numerelor reale este imposibil să se determine rădăcina unui grad par dintr-un număr negativ. Dacă n este un număr impar, atunci există un singur număr real b astfel încât b n = a. Acest număr se notează √n a și se numește rădăcina impară a unui număr negativ.
Folosind definiția ridicării la o putere întreagă și definiția unei rădăcini aritmetice, dăm o definiție a unui grad cu un exponent rațional.
Lăsa A este un număr pozitiv și $$r=\frac(p)(q)$$ este un număr rațional și q- numar natural.

număr pozitiv

$$b=\sqrt[q](a^(p))$$

se numește puterea lui a cu exponentul r și se notează ca

$$b=a^(r)$$ sau $$a^(\frac(p)(q))=\sqrt[q](a^(r))$$, aici $$q\în N $$, $$q\geq2$$.

Luați în considerare proprietățile de bază ale unui grad cu exponent rațional.

Lăsa Ași b sunt numere pozitive, r 1 și r 2 sunt numere raționale. Atunci următoarele proprietăți sunt adevărate:

1. $$(ab)^(r_(1))=a^(r_(1))\cdot b^(r_(1))$$
2. $$(\frac(a)(b))^(r_(1))=\frac(a^(r_(1)))(b^(r_(1)))$$
3. $$a^(r_(1))\cdot a^(r_(2))=a^(r_(1)+r_(2))$$
4. $$\frac(a^(r_(1)))(a^(r_(2)))=a^(r_(1)-r_(2))$$
5. $$(a^(r_(1)))^(r_(2))=a^(r_(1)r_(2))$$	(1.4.2)
6. $$a^(0)=1$$
7. Dacă $$a>1$$ și $$r_(1)>0\Rightarrow a^(r_(1))> 1$$
8. Dacă $$0< a< 1$$ и $$r_{1}>0\Săgeată la dreapta 0< a^{r_{1}}< 1$$
9. Dacă $$a>1$$ și $$r_(1)>r_(2)\Rightarrow a^(r_(1))> a^(r_(2))$$
10. Dacă $$0< a< 1$$ и $$r_{1}>r_(2)\Rightarrow a^(r_(1))> a^(r_(2))$$

Conceptul de grad al unui număr pozitiv este generalizat pentru orice exponent real α .
Determinarea gradului unui număr pozitiv a cu exponenți reali α .

1. Dacă $$\alpha > 0$$ și

1) $$\alpha=m$$, $$m\in N \Rightarrow a^(\alpha)=\left\(\begin(matrix)a, m=1\\\underbrace(a\cdot a\ cdot a\cdot a....a), m\geq 2\end(matrix)\right.$$

2) $$\alpha=\frac(p)(q)$$, unde pși q- numere naturale $$\Rightarrow a^(\alpha)=\sqrt[q](a^(p))$$

3) α este un număr irațional, atunci

a) dacă a > 1, atunci a α- număr mai mare decât a r i și mai mic decât a r k, Unde r i α cu un dezavantaj rk- orice aproximare rațională a unui număr α în exces;
b) dacă 0< A< 1, то a α- un număr mai mare decât a r k si mai putin de a r i;
c) dacă A= 1, apoi a α = 1.

2. Dacă $$\alpha=0$$, atunci a α = 1.

3. Dacă $$\alpha<0$$, то $$a^{\alpha}=\frac{1}{a^{\left | \alpha \right |}}$$.

Număr a α se numește grad, numărul a este baza gradului, numărul α - exponent.
O putere a unui număr pozitiv cu un exponent real are aceleași proprietăți ca și o putere cu un exponent rațional.

Exemplul 1.4.3. Calculați $$\sqrt(81)\cdot\sqrt(\frac(16)(6))$$.

Soluţie. Să folosim proprietatea rădăcină:

$$\sqrt(81)\cdot\sqrt(\frac(16)(6))=\sqrt(\frac(81\cdot16)(6))=\sqrt(\frac(3^(4)\cdot2) ^(4))(3\cdot2))=\sqrt(3^(3)\cdot2^(3))=6$$

Răspuns. 6.

Exemplul 1.4.4. Calculați $$6.25^(1.5)-2.25^(1.5)$$

1) 4

2) 8

3) 8,25

4) 12,25

Dar aceste fracții sunt întotdeauna periodice? Răspunsul la această întrebare este negativ: există segmente ale căror lungimi nu pot fi exprimate printr-o fracție periodică infinită (adică un număr rațional pozitiv) cu o unitate de lungime aleasă. Aceasta a fost cea mai importantă descoperire din matematică, din care a rezultat că numerele raționale nu sunt suficiente pentru a măsura lungimile segmentelor.

Dacă unitatea de lungime este lungimea unei laturi a unui pătrat, atunci lungimea diagonalei acestui pătrat nu poate fi exprimată printr-un număr rațional pozitiv.

Din această afirmație rezultă că există segmente ale căror lungimi nu pot fi exprimate ca număr pozitiv (cu unitatea de lungime aleasă), sau, cu alte cuvinte, scrise ca o fracție periodică infinită. Aceasta înseamnă că fracțiile zecimale infinite obținute prin măsurarea lungimii segmentelor pot fi neperiodice.

Se crede că fracțiile zecimale neperiodice infinite sunt o înregistrare a numerelor noi - numere iraționale pozitive. Deoarece conceptele unui număr și notația acestuia sunt adesea identificate, ei spun că fracțiile zecimale periodice infinite sunt numere iraționale pozitive.

Mulțimea numerelor iraționale pozitive se notează cu simbolul J+.

Unirea a două seturi de numere: rațional pozitiv și irațional pozitiv se numește mulțime de numere reale pozitive și se notează cu simbolul R+.

Orice număr real pozitiv poate fi reprezentat printr-o fracție zecimală infinită - periodică (dacă este rațional) sau neperiodic (dacă este irațional).

Acțiunile asupra numerelor reale pozitive se reduc la acțiuni asupra numerelor raționale pozitive. În acest sens, pentru fiecare număr real pozitiv, valorile sale aproximative sunt introduse în termeni de deficiență și exces.

Să fie date două numere reale pozitive Ași b, unși bn- conform aproximărilor lor în termeni de deficiență, a¢nși b¢n sunt aproximările lor în exces.

Suma numerelor reale Ași b A+ b n satisface inegalitatea un+ bn ≤ A + b< a¢n + b¢n.

Produsul numerelor reale Ași b se numește un astfel de număr real A× b, care pentru orice natural n satisface inegalitatea un× bn ≤ A b × b¢n.

Diferența numerelor reale pozitive Ași b se numește un astfel de număr real Cu, ce A= b + c.

Coeficientul numerelor reale pozitive Ași b se numește un astfel de număr real Cu, ce A= b × s.

Unirea mulțimii numerelor reale pozitive cu mulțimea numerelor reale negative și zero este mulțimea R a tuturor numerelor reale.

Compararea numerelor reale și operațiile asupra acestora se efectuează după regulile cunoscute de la cursul de matematică școlar.

Problema 60. Aflați primele trei zecimale ale sumei 0,333... + 1,57079...

Soluţie. Să luăm aproximări zecimale ale termenilor cu patru zecimale:

0,3333 < 0,3333… < 0,3334

1,5707 < 1,57079… < 1,5708.

Adunați: 1,9040 ≤ 0,333… + 1,57079…< 1,9042.

Prin urmare, 0,333… + 1,57079…= 1,904…

Sarcina 61. Găsiți primele două zecimale ale produsului a x b, dacă A= 1,703604... și b = 2,04537…

Soluţie. Luăm aproximări zecimale ale acestor numere cu trei zecimale:

1,703 < A <1,704 и 2,045 < b < 2,046. По определению произведения действительных чисел имеем:

1,703 × 2,045 ≤ a x b < 1,704 × 2,046 или 3,483 ≤ ab < 3,486.

În acest fel, a x b= 3,48…

Exerciții pentru munca independentă

1. Notați aproximațiile zecimale ale numărului irațional π = 3,1415 ... în termeni de deficiență și exces cu o precizie de:

a) 0,1; b) 0,01; c) 0,001.

2. Găsiți primele trei zecimale ale sumei A+ b, dacă:

A) A = 2,34871…, b= 5,63724...; b) A = , b= π; în) A = ; b= ; G) A = ; b = .