O elipsă este locul punctelor dintr-un plan, suma distanțelor de la fiecare dintre ele la două puncte date F_1, iar F_2 este o valoare constantă (2a), mai mare decât distanța (2c) dintre aceste puncte date (Fig. 3.36, a). Această definiție geometrică exprimă proprietatea focală a unei elipse.
Proprietatea focală a unei elipse
Punctele F_1 și F_2 sunt numite focare ale elipsei, distanța dintre ele 2c=F_1F_2 este distanța focală, punctul mijlociu O al segmentului F_1F_2 este centrul elipsei, numărul 2a este lungimea axei majore a elipsei. elipsa (respectiv, numărul a este semiaxa majoră a elipsei). Segmentele F_1M și F_2M care leagă un punct arbitrar M al elipsei cu focarele sale se numesc razele focale ale punctului M . Un segment de linie care leagă două puncte ale unei elipse se numește coardă a elipsei.
Raportul e=\frac(c)(a) se numește excentricitatea elipsei. Din definiţia (2a>2c) rezultă că 0\leqslant e<1 . При e=0 , т.е. при c=0 , фокусы F_1 и F_2 , а также центр O совпадают, и эллипс является окружностью радиуса a (рис.3.36,6).
Definiția geometrică a unei elipse, exprimându-și proprietatea focală, este echivalentă cu definiția sa analitică - linia dată de ecuația canonică a elipsei:
Într-adevăr, să introducem un sistem de coordonate dreptunghiular (Fig. 3.36, c). Centrul O al elipsei este luat ca origine a sistemului de coordonate; linia dreaptă care trece prin focare (axa focală sau prima axă a elipsei), o vom lua drept axa absciselor (direcția pozitivă pe aceasta de la punctul F_1 la punctul F_2); linia dreaptă perpendiculară pe axa focală și care trece prin centrul elipsei (a doua axă a elipsei) este luată drept axa y (direcția pe axa y este aleasă astfel încât sistemul de coordonate dreptunghiular Oxy să fie drept ).
Să formulăm ecuația unei elipse folosind definiția sa geometrică, care exprimă proprietatea focală. În sistemul de coordonate selectat, determinăm coordonatele focarelor F_1(-c,0),~F_2(c,0). Pentru un punct arbitrar M(x,y) aparținând elipsei, avem:
\vline\,\overrightarrow(F_1M)\,\vline\,+\vline\,\overrightarrow(F_2M)\,\vline\,=2a.
Scriind această egalitate sub formă de coordonate, obținem:
\sqrt((x+c)^2+y^2)+\sqrt((x-c)^2+y^2)=2a.
Transferăm al doilea radical în partea dreaptă, pătram ambele părți ale ecuației și dăm termeni similari:
(x+c)^2+y^2=4a^2-4a\sqrt((x-c)^2+y^2)+(x-c)^2+y^2~\Leftrightarrow ~4a\sqrt((x-c) )^2+y^2)=4a^2-4cx.
Împărțind la 4, pătratăm ambele părți ale ecuației:
A^2(x-c)^2+a^2y^2=a^4-2a^2cx+c^2x^2~\Leftrightarrow~ (a^2-c^2)^2x^2+a^2y^ 2=a^2(a^2-c^2).
Denotand b=\sqrt(a^2-c^2)>0, primim b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2. Împărțind ambele părți la a^2b^2\ne0 , ajungem la ecuația canonică a elipsei:
\frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1.
Prin urmare, sistemul de coordonate ales este canonic.
Dacă focarele elipsei coincid, atunci elipsa este un cerc (Fig. 3.36.6), deoarece a=b. În acest caz, orice sistem de coordonate dreptunghiular cu originea în punct O\equiv F_1\equiv F_2, iar ecuația x^2+y^2=a^2 este ecuația unui cerc cu centrul O și raza a .
Prin rationamentul invers, se poate arata ca toate punctele ale caror coordonate satisfac ecuatia (3.49), si numai ele, apartin locului punctelor, numit elipsa. Cu alte cuvinte, definiția analitică a unei elipse este echivalentă cu definiția ei geometrică, care exprimă proprietatea focală a elipsei.
Proprietatea directorului unei elipse
Directricele unei elipse sunt două drepte care trec paralele cu axa ordonatelor sistemului de coordonate canonic la aceeași distanță \frac(a^2)(c) de acesta. Pentru c=0 , când elipsa este un cerc, nu există directrice (putem presupune că directricele sunt îndepărtate la infinit).
Elipsa cu excentricitate 0
Într-adevăr, de exemplu, pentru focus F_2 și directrix d_2 (Fig. 3.37.6) condiția \frac(r_2)(\rho_2)=e poate fi scris sub formă de coordonate:
\sqrt((x-c)^2+y^2)=e\cdot\!\left(\frac(a^2)(c)-x\right)
A scăpa de iraționalitate și a înlocui e=\frac(c)(a),~a^2-c^2=b^2, ajungem la ecuația canonică a elipsei (3.49). Un raționament similar poate fi efectuat pentru focusul F_1 și directrice d_1\colon\frac(r_1)(\rho_1)=e.
Ecuația elipsei în coordonate polare
Ecuația elipsei din sistemul de coordonate polar F_1r\varphi (Fig.3.37,c și 3.37(2)) are forma
R=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi)
unde p=\frac(b^2)(a) este parametrul focal al elipsei.
Într-adevăr, să alegem focarul din stânga F_1 al elipsei ca pol al sistemului de coordonate polare și raza F_1F_2 ca axă polară (Fig. 3.37, c). Atunci pentru un punct arbitrar M(r,\varphi) , conform definiției geometrice (proprietatea focală) a unei elipse, avem r+MF_2=2a . Exprimăm distanța dintre punctele M(r,\varphi) și F_2(2c,0) (vezi punctul 2 din observațiile 2.8):
\begin(aligned)F_2M&=\sqrt((2c)^2+r^2-2\cdot(2c)\cdot r\cos(\varphi-0))=\\ &=\sqrt(r^2- 4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2).\end(aligned)
Prin urmare, sub formă de coordonate, ecuația elipsei F_1M+F_2M=2a are forma
R+\sqrt(r^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2)=2\cdot a.
Izolăm radicalul, pătratăm ambele părți ale ecuației, împărțim la 4 și dăm termeni similari:
R^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2~\Leftrightarrow~a\cdot\!\left(1-\frac(c)(a)\cdot\cos \varphi\right)\!\cdot r=a^2-c^2.
Exprimăm raza polară r și facem substituția e=\frac(c)(a),~b^2=a^2-c^2,~p=\frac(b^2)(a):
R=\frac(a^2-c^2)(a\cdot(1-e\cdot\cos\varphi)) \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac(b^2)(a\cdot(1) -e\cdot\cos\varphi)) \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi),
Q.E.D.
Semnificația geometrică a coeficienților din ecuația elipsei
Să găsim punctele de intersecție ale elipsei (vezi Fig. 3.37, a) cu axele de coordonate (vârfurile zllips-urilor). Substituind y=0 în ecuație, găsim punctele de intersecție ale elipsei cu axa absciselor (cu axa focală): x=\pm a . Prin urmare, lungimea segmentului axei focale închise în elipsă este egală cu 2a. Acest segment, după cum sa menționat mai sus, este numit axa majoră a elipsei, iar numărul a este semiaxa majoră a elipsei. Înlocuind x=0 , obținem y=\pm b . Prin urmare, lungimea segmentului celei de-a doua axe a elipsei închis în interiorul elipsei este egală cu 2b. Acest segment se numește axa mică a elipsei, iar numărul b se numește semiaxa mică a elipsei.
Într-adevăr, b=\sqrt(a^2-c^2)\leqslant\sqrt(a^2)=a, iar egalitatea b=a se obține numai în cazul c=0 când elipsa este un cerc. Atitudine k=\frac(b)(a)\leqslant1 se numește factor de contracție al elipsei.
Observații 3.9
1. Dreptele x=\pm a,~y=\pm b limitează dreptunghiul principal pe planul de coordonate, în interiorul căruia se află elipsa (vezi Fig. 3.37, a).
2. O elipsă poate fi definită ca locul punctelor obtinut prin contractarea unui cerc la diametrul acestuia.
Într-adevăr, lăsăm în sistemul de coordonate dreptunghiular Oxy ecuația cercului are forma x^2+y^2=a^2 . Când este comprimat pe axa x cu un factor de 0 \begin(cases)x"=x,\\y"=k\cdot y.\end(cases) Înlocuind x=x" și y=\frac(1)(k)y" în ecuația cercului, obținem o ecuație pentru coordonatele imaginii M"(x",y") ale punctului M(x ,y): (x")^2+(\left(\frac(1)(k)\cdot y"\right)\^2=a^2 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{k^2\cdot a^2}=1 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{b^2}=1,
!} întrucât b=k\cdot a . Aceasta este ecuația canonică a elipsei. 3. Axele de coordonate (ale sistemului de coordonate canonic) sunt axele de simetrie ale elipsei (numite axe principale ale elipsei), iar centrul acesteia este centrul de simetrie. Într-adevăr, dacă punctul M(x,y) aparține elipsei . atunci aceleiași elipse aparțin și punctele M"(x,-y) și M""(-x,y) , simetrice față de punctul M față de axele de coordonate. 4. Din ecuația unei elipse într-un sistem de coordonate polare r=\frac(p)(1-e\cos\varphi)(vezi Fig. 3.37, c), semnificația geometrică a parametrului focal este clarificat - aceasta este jumătate din lungimea coardei elipsei care trece prin focarul său perpendicular pe axa focală ( r = p la \varphi=\frac(\pi)(2)). 5. Excentricitatea e caracterizează forma elipsei și anume diferența dintre elipsă și cerc. Cu cât e mai mare, cu atât elipsa este mai alungită și cu cât e mai aproape de zero, cu atât elipsa este mai aproape de cerc (Fig. 3.38, a). Într-adevăr, având în vedere că e=\frac(c)(a) și c^2=a^2-b^2 , obținem E^2=\frac(c^2)(a^2)=\frac(a^2-b^2)(a^2)=1-(\left(\frac(a)(b)\right )\^2=1-k^2,
!} unde k este factorul de contracție al elipsei, 0 6. Ecuația \frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1 Pentru o
7. Ecuația \frac((x-x_0)^2)(a^2)+\frac((y-y_0)^2)(b^2)=1,~a\geqslant b definește o elipsă centrată în punctul O "(x_0, y_0), ale cărei axe sunt paralele cu axele de coordonate (Fig. 3.38, c). Această ecuație se reduce la cea canonică folosind translația paralelă (3.36). Pentru a=b=R ecuația (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2 descrie un cerc de raza R centrat în punctul O"(x_0,y_0) . Ecuația parametrică a unei elipseîn sistemul de coordonate canonic are forma \begin(cases)x=a\cdot\cos(t),\\ y=b\cdot\sin(t),\end(cases)0\leqslant t<2\pi.
Într-adevăr, înlocuind aceste expresii în ecuația (3.49), ajungem la identitatea trigonometrică de bază \cos^2t+\sin^2t=1 . Exemplul 3.20. desenează elipsa \frac(x^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1în sistemul de coordonate canonic Oxy . Găsiți semiaxele, distanța focală, excentricitatea, raportul de aspect, parametrul focal, ecuațiile directrice. Decizie. Comparând ecuația dată cu cea canonică, determinăm semiaxele: a=2 - semiaxa majoră, b=1 - semiaxa minoră a elipsei. Construim dreptunghiul principal cu laturile 2a=4,~2b=2 centrate la origine (Fig.3.39). Având în vedere simetria elipsei, o potrivim în dreptunghiul principal. Dacă este necesar, determinăm coordonatele unor puncte ale elipsei. De exemplu, înlocuind x=1 în ecuația elipsei, obținem \frac(1^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1 \quad \Leftrightarrow \quad y^2=\frac(3)(4) \quad \Leftrightarrow \ quad y=\pm\frac(\sqrt(3))(2). Prin urmare, puncte cu coordonate \left(1;\,\frac(\sqrt(3))(2)\right)\!,~\left(1;\,-\frac(\sqrt(3))(2)\right)- aparțin unei elipse. Calculați raportul de compresie k=\frac(b)(a)=\frac(1)(2); distanta focala 2c=2\sqrt(a^2-b^2)=2\sqrt(2^2-1^2)=2\sqrt(3); excentricitate e=\frac(c)(a)=\frac(\sqrt(3))(2); parametru focal p=\frac(b^2)(a)=\frac(1^2)(2)=\frac(1)(2). Compunem ecuațiile directrice: x=\pm\frac(a^2)(c)~\Leftrightarrow~x=\pm\frac(4)(\sqrt(3)). Definiție. O elipsă este locul punctelor dintr-un plan, suma distanțelor fiecăruia dintre ele față de două puncte date ale acestui plan, numite focare, este o valoare constantă (cu condiția ca această valoare să fie mai mare decât distanța dintre focare). Să notăm focarele prin distanța dintre ele - prin , și o valoare constantă egală cu suma distanțelor de la fiecare punct al elipsei la focare, prin (prin condiție ). Să construim un sistem de coordonate carteziene astfel încât focarele să fie pe axa absciselor, iar originea coordonatelor să coincidă cu mijlocul segmentului (Fig. 44). Apoi focalizările vor avea următoarele coordonate: focalizare stânga și focalizare dreapta. Să derivăm ecuația elipsei în sistemul de coordonate pe care l-am ales. În acest scop, luați în considerare un punct arbitrar al elipsei. Prin definiția unei elipse, suma distanțelor de la acest punct la focare este: Folosind formula pentru distanța dintre două puncte, obținem, prin urmare, Pentru a simplifica această ecuație, o scriem sub forma Apoi la pătrat ambele părți ale ecuației dă sau, după simplificări evidente: Acum, din nou, pătram ambele părți ale ecuației, după care vom avea: sau, după transformări identice: Deoarece conform condiției din definiția unei elipse, atunci este un număr pozitiv. Introducem notația Atunci ecuația va lua următoarea formă: Prin definiția unei elipse, coordonatele oricăruia dintre punctele sale satisfac ecuația (26). Dar ecuația (29) este o consecință a ecuației (26). Prin urmare, satisface și coordonatele oricărui punct al elipsei. Se poate arăta că coordonatele punctelor care nu se află pe elipsă nu satisfac ecuația (29). Astfel, ecuația (29) este ecuația unei elipse. Se numește ecuația canonică a elipsei. Să stabilim forma elipsei folosind ecuația ei canonică. În primul rând, rețineți că această ecuație conține doar puteri pare ale lui x și y. Aceasta înseamnă că, dacă orice punct aparține unei elipse, atunci include și un punct care este simetric cu un punct în jurul axei absciselor și un punct care este simetric cu un punct în jurul axei y. Astfel, elipsa are două axe de simetrie reciproc perpendiculare, care în sistemul de coordonate ales coincid cu axele de coordonate. Axele de simetrie ale elipsei vor fi numite axele elipsei, iar punctul de intersecție a acestora - centrul elipsei. Axa pe care se află focarele elipsei (în acest caz, axa absciselor) se numește axă focală. Să determinăm forma elipsei mai întâi în primul trimestru. Pentru a face acest lucru, rezolvăm ecuația (28) în raport cu y: Este evident că aici, deoarece y ia valori imaginare pentru . Cu o creștere de la 0 la a, y scade de la b la 0. Partea elipsei situată în primul sfert va fi un arc delimitat de punctele B (0; b) și situată pe axele de coordonate (Fig. 45). Folosind acum simetria elipsei, ajungem la concluzia că elipsa are forma prezentată în Fig. 45. Punctele de intersecție ale elipsei cu axele se numesc vârfuri ale elipsei. Din simetria elipsei rezultă că, pe lângă vârfuri, elipsa mai are două vârfuri (vezi Fig. 45). Segmentele și vârfurile opuse de legătură ale elipsei, precum și lungimile lor, sunt numite axa majoră și, respectiv, minoră ale elipsei. Numerele a și b sunt numite semiaxele majore și, respectiv, minore ale elipsei. Raportul dintre jumătate din distanța dintre focare și semi-axa majoră a elipsei se numește excentricitatea elipsei și este de obicei notat cu litera: Deoarece , atunci excentricitatea elipsei este mai mică de unu: Excentricitatea caracterizează forma elipsei. Într-adevăr, rezultă din formula (28), din aceasta se poate observa că cu cât excentricitatea elipsei este mai mică, cu atât semiaxa sa minoră b diferă mai puțin de semiaxa majoră a, adică cu atât elipsa este mai puțin extinsă (de-a lungul focalei). axă). În cazul limitativ, când obțineți un cerc cu raza a: , sau . În același timp, focarele elipsei, așa cum ar fi, fuzionează într-un punct - centrul cercului. Excentricitatea cercului este zero: Legătura dintre elipsă și cerc poate fi stabilită din alt punct de vedere. Să arătăm că o elipsă cu semi-axele a și b poate fi considerată ca o proiecție a unui cerc cu raza a. Să considerăm două plane P și Q, formând între ele un astfel de unghi a, pentru care (Fig. 46). Să construim un sistem de coordonate în planul P și un sistem Oxy în planul Q cu o origine comună O și o axă comună de abscisă care coincide cu linia de intersecție a planurilor. Se consideră în planul P cercul centrat la origine și raza a. Fie un punct ales arbitrar al cercului, fie proiecția lui pe planul Q și proiecția punctului M pe axa Ox. Să arătăm că punctul se află pe o elipsă cu semiaxele a și b. 11.1. Noțiuni de bază Luați în considerare liniile definite prin ecuații de gradul doi în raport cu coordonatele curente Coeficienții ecuației sunt numere reale, dar conform macar unul dintre numerele A, B sau C este diferit de zero. Astfel de linii se numesc linii (curbe) de ordinul doi. Se va stabili mai jos că ecuația (11.1) definește un cerc, elipsă, hiperbolă sau parabolă în plan. Înainte de a trece la această afirmație, să studiem proprietățile curbelor enumerate. 11.2. Cerc Apoi din condiție obținem ecuația Ecuația (11.2) este îndeplinită de coordonatele oricărui punct din cercul dat și nu este satisfăcută de coordonatele niciunui punct care nu se află pe cerc. Ecuația (11.2) se numește ecuația canonică a cercului În special, presupunând și , obținem ecuația unui cerc centrat la origine Ecuația cercului (11.2) după transformări simple va lua forma . Când comparăm această ecuație cu ecuația generală (11.1) a unei curbe de ordinul doi, este ușor de observat că sunt îndeplinite două condiții pentru ecuația unui cerc: 1) coeficienții la x 2 și y 2 sunt egali între ei; 2) nu există niciun membru care să conţină produsul xy al coordonatelor curente. Să luăm în considerare problema inversă. Punând în ecuația (11.1) valorile și , obținem Să transformăm această ecuație: Rezultă că ecuația (11.3) definește un cerc sub condiția Dacă Este satisfăcut de coordonatele unui singur punct În cazul în care un 11.3. Elipsă Ecuația canonică a unei elipse Elipsă
este mulțimea tuturor punctelor planului, suma distanțelor de la fiecare dintre ele la două puncte date ale acestui plan, numite trucuri
, este o valoare constantă mai mare decât distanța dintre focare. Pentru a deriva ecuația unei elipse, alegem un sistem de coordonate astfel încât focarele F1și F2 se află pe axa , iar originea coincide cu punctul de mijloc al segmentului F 1 F 2. Atunci focarele vor avea următoarele coordonate: și . Fie un punct arbitrar al elipsei. Apoi, conform definiției unei elipse, i.e. Aceasta, de fapt, este ecuația unei elipse. Transformăm ecuația (11.5) într-o formă mai simplă după cum urmează: La fel de A>cu, apoi . Sa punem Apoi ultima ecuație ia forma sau Se poate demonstra că ecuația (11.7) este echivalentă cu ecuația inițială. Se numeste ecuația canonică a elipsei
. Elipsa este o curbă de ordinul doi. Studiul formei unei elipse conform ecuației sale Să stabilim forma elipsei folosind ecuația ei canonică. 1. Ecuația (11.7) conține x și y numai în puteri pare, deci dacă un punct aparține unei elipse, atunci îi aparțin și punctele ,,. Rezultă că elipsa este simetrică față de axele și , precum și față de punctul , care se numește centrul elipsei. 3. Din ecuația (11.7) rezultă că fiecare termen din partea stângă nu depășește unul, i.e. există inegalităţi şi sau şi . Prin urmare, toate punctele elipsei se află în interiorul dreptunghiului format din liniile drepte. 4. În ecuația (11.7), suma termenilor nenegativi și este egală cu unu. În consecință, pe măsură ce un termen crește, celălalt va scădea, adică dacă crește, atunci scade și invers. Din cele spuse, rezultă că elipsa are forma prezentată în Fig. 50 (curbă ovală închisă). Mai multe despre elipsă Forma elipsei depinde de raport. Când elipsa se transformă într-un cerc, ecuația elipsei (11.7) ia forma . Ca o caracteristică a formei unei elipse, raportul este mai des folosit. Raportul dintre jumătate din distanța dintre focare și semiaxa majoră a elipsei se numește excentricitatea elipsei și o6o este notat cu litera ε ("epsilon"): cu 0<ε< 1, так как 0<с<а. С учетом равенства (11.6) формулу
(11.8) можно переписать в виде Aceasta arată că cu cât excentricitatea elipsei este mai mică, cu atât elipsa va fi mai puțin oblata; dacă punem ε = 0, atunci elipsa se transformă într-un cerc. Există formule Se numesc linii drepte Din egalitatea (11.6) rezultă că . Dacă , atunci ecuația (11.7) definește o elipsă, a cărei axă majoră se află pe axa Oy, iar axa minoră se află pe axa Ox (vezi Fig. 52). Focarele unei astfel de elipse sunt în punctele și , unde 11.4. Hiperbolă Ecuația canonică a unei hiperbole Hiperbolă
se numește mulțimea tuturor punctelor planului, modulul diferenței de distanțe de la fiecare dintre ele la două puncte date ale acestui plan, numit trucuri
, este o valoare constantă, mai mică decât distanța dintre focare. Pentru a deriva ecuația hiperbolei, alegem un sistem de coordonate astfel încât focarele F1și F2 se află pe axa , iar originea a coincis cu punctul de mijloc al segmentului F 1 F 2(vezi fig. 53). Apoi focarele vor avea coordonate și Fie un punct arbitrar al hiperbolei. Apoi, conform definiției unei hiperbole O hiperbola este o linie de ordinul doi. Investigarea formei unei hiperbole conform ecuației sale Să stabilim forma hiperbolei folosind ecuația sa caconică. 1. Ecuația (11.9) conține x și y numai la puteri pare. Prin urmare, hiperbola este simetrică față de axele și , precum și față de punctul , care se numește centrul hiperbolei.
2. Aflați punctele de intersecție ale hiperbolei cu axele de coordonate. Punând în ecuația (11.9), găsim două puncte de intersecție ale hiperbolei cu axa : și . Punând în (11.9), obținem , care nu poate fi. Prin urmare, hiperbola nu intersectează axa y. Punctele și sunt numite
culmi
hiperbole și segmentul axa reală
, segment de linie - semiaxa reală
hiperbolă. Segmentul de dreaptă care leagă punctele se numește
axa imaginară
, numărul b - axa imaginară
. Dreptunghi cu laturi 2ași 2b numit dreptunghiul principal al unei hiperbole
. 3. Din ecuația (11.9) rezultă că minuendul nu este mai mic de unu, adică că sau . Aceasta înseamnă că punctele hiperbolei sunt situate la dreapta liniei (ramura dreaptă a hiperbolei) și la stânga liniei (ramura stângă a hiperbolei). 4. Din ecuația (11.9) a hiperbolei se poate observa că atunci când crește, atunci crește și ea. Aceasta rezultă din faptul că diferența păstrează o valoare constantă egală cu unu. Din cele spuse rezultă că hiperbola are forma prezentată în figura 54 (o curbă formată din două ramuri nemărginite). Asimptotele unei hiperbole
Linia L se numește asimptotă Să arătăm că hiperbola are două asimptote: Deoarece liniile (11.11) și hiperbola (11.9) sunt simetrice față de axele de coordonate, este suficient să luăm în considerare doar acele puncte ale dreptelor indicate care sunt situate în primul cadran. Luați pe o dreaptă un punct N având aceeași abscisă x ca un punct de pe o hiperbolă După cum puteți vedea, pe măsură ce x crește, numitorul fracției crește; numărătorul este o valoare constantă. Prin urmare, lungimea segmentului Când construiți o hiperbolă (11.9), este recomandabil să construiți mai întâi dreptunghiul principal al hiperbolei (vezi Fig. 57), să trasați linii care trec prin vârfurile opuse ale acestui dreptunghi - asimptotele hiperbolei și să marcați vârfurile și , hiperbola . Ecuația unei hiperbole echilaterale. ale căror asimptote sunt axele de coordonate Asimptotele unei hiperbole echilaterale au ecuații și, prin urmare, sunt bisectoare ale unghiurilor de coordonate. Considerăm ecuația acestei hiperbole într-un nou sistem de coordonate (vezi Fig. 58), obținut din cel vechi prin rotirea axelor de coordonate cu un unghi. Folosim formulele de rotație a axelor de coordonate: Inlocuim valorile lui x si y in ecuatia (11.12): Ecuația unei hiperbole echilaterale, pentru care axele Ox și Oy sunt asimptote, va avea forma . Mai multe despre hiperbolă excentricitate
hiperbola (11.9) este raportul dintre distanța dintre focare și valoarea axei reale a hiperbolei, notat cu ε: Deoarece pentru o hiperbolă , excentricitatea hiperbolei este mai mare decât unu: . Excentricitatea caracterizează forma unei hiperbole. Într-adevăr, din egalitate (11.10) rezultă că i.e. și Acest lucru arată că cu cât excentricitatea hiperbolei este mai mică, cu atât raportul dintre semi-axele sale este mai mic, ceea ce înseamnă că cu cât dreptunghiul său principal este mai extins. Excentricitatea unei hiperbole echilaterale este . Într-adevăr, Raze focale Liniile drepte se numesc directrice ale unei hiperbole. Deoarece pentru hiperbola ε > 1, atunci . Aceasta înseamnă că directricea dreaptă este situată între centrul și vârful drept al hiperbolei, directricea stângă este între centru și vârful stâng. Direcricele unei hiperbole au aceeași proprietate ca și directricele unei elipse. Curba definită de ecuație este, de asemenea, o hiperbolă, a cărei axă reală 2b este situată pe axa Oy, iar axa imaginară 2 A- pe axa Bou. În Figura 59, este prezentat ca o linie punctată. Evident, hiperbolele și au asimptote comune. Astfel de hiperbole se numesc conjugate. 11.5. Parabolă Ecuația parabolei canonice O parabolă este mulțimea tuturor punctelor dintr-un plan, fiecare dintre ele fiind la fel de îndepărtat de un punct dat, numit focar, și de o linie dată, numită directrice. Distanța de la focarul F la directrice se numește parametrul parabolei și se notează cu p (p > 0). 1. În ecuația (11.13), variabila y este inclusă într-un grad par, ceea ce înseamnă că parabola este simetrică față de axa Ox; axa x este axa de simetrie a parabolei. 2. Deoarece ρ > 0, din (11.13) rezultă că . Prin urmare, parabola este situată în dreapta axei y. 3. Când avem y \u003d 0. Prin urmare, parabola trece prin origine. 4. Cu o creștere nelimitată a x, și modulul y crește la nesfârșit. Parabola are forma (forma) prezentată în figura 61. Punctul O (0; 0) se numește vârful parabolei, segmentul FM \u003d r se numește raza focală a punctului M. Ecuații , , ( p>0) definesc de asemenea parabole, acestea fiind prezentate în Figura 62 Este ușor de arătat că graficul unui trinom pătrat, unde , B și C sunt numere reale, este o parabolă în sensul definiției sale de mai sus. 11.6. Ecuația generală a liniilor de ordinul doi Ecuații de curbe de ordinul doi cu axe de simetrie paralele cu axele de coordonate Să găsim mai întâi ecuația unei elipse centrate într-un punct ale cărui axe de simetrie sunt paralele cu axele de coordonate Ox și Oy, iar semiaxele sunt, respectiv, egale cu Ași b. Să plasăm în centrul elipsei O 1 originea noului sistem de coordonate , ale cărui axe și semiaxe Ași b(vezi fig. 64): Și în sfârșit, parabolele prezentate în Figura 65 au ecuații corespunzătoare. Ecuația Ecuațiile unei elipse, hiperbole, parabole și ecuația unui cerc după transformări (deschideți paranteze, mutați toți termenii ecuației într-o direcție, aduceți termeni similari, introduceți o nouă notație pentru coeficienți) pot fi scrise folosind o singură ecuație de forma unde coeficienții A și C nu sunt egali cu zero în același timp. Se pune întrebarea: vreo ecuație de forma (11.14) determină una dintre curbele (cerc, elipsă, hiperbolă, parabolă) de ordinul doi? Răspunsul este dat de următoarea teoremă. Teorema 11.2. Ecuația (11.14) definește întotdeauna: fie un cerc (pentru A = C), fie o elipsă (pentru A C > 0), fie o hiperbolă (pentru A C< 0), либо
параболу (при А×С= 0). При этом возможны случаи вырождения: для эллипса (окружности)
- в точку или мнимый эллипс (окружность), для гиперболы - в пару пересекающихся
прямых, для параболы - в пару параллельных прямых. Ecuație generală de ordinul doi Luați în considerare acum ecuația generală de gradul doi cu două necunoscute: Diferă de ecuația (11.14) prin prezența unui termen cu produsul coordonatelor (B¹ 0). Este posibil, prin rotirea axelor de coordonate cu un unghi a, să se transforme această ecuație astfel încât termenul cu produsul coordonatelor să fie absent în ea. Folosirea formulelor pentru rotirea axelor Să exprimăm coordonatele vechi în termenii celor noi: Alegem unghiul a astfel încât coeficientul de la x „y” să dispară, adică astfel încât egalitatea Astfel, atunci când axele sunt rotite printr-un unghi a care îndeplinește condiția (11.17), ecuația (11.15) se reduce la ecuația (11.14). Concluzie: ecuatia generala de ordinul doi (11.15) defineste pe plan (cu exceptia cazurilor de degenerare si dezintegrare) urmatoarele curbe: cerc, elipsa, hiperbola, parabola. Notă: Dacă A = C, atunci ecuația (11.17) își pierde sensul. În acest caz cos2α = 0 (vezi (11.16)), apoi 2α = 90°, adică α = 45°. Deci, la A = C, sistemul de coordonate ar trebui rotit cu 45 °. Curbe de ordinul doi pe un plan se numesc drepte definite prin ecuaţii în care coordonează variabila Xși y cuprinse în gradul II. Acestea includ elipsa, hiperbola și parabola. Forma generală a ecuației curbei de ordinul doi este următoarea: Unde A, B, C, D, E, F- numere și cel puțin unul dintre coeficienți A, B, C nu este egal cu zero. Când se rezolvă probleme cu curbe de ordinul doi, cel mai adesea sunt luate în considerare ecuațiile canonice ale unei elipse, hiperbole și parabole. Este ușor să le treceți din ecuații generale, exemplul 1 de probleme cu elipse va fi dedicat acestui lucru. Definiţia an elipse. O elipsă este mulțimea tuturor punctelor din plan, acelea pentru care suma distanțelor până la puncte, numite focare, este o constantă și mai mare decât distanța dintre focare. Focalizările sunt marcate ca în figura de mai jos. Ecuația canonică a unei elipse este: Unde Ași b (A > b) - lungimile semiaxelor, adică jumătate din lungimile segmentelor tăiate de elipsă pe axele de coordonate. Linia dreaptă care trece prin focarele elipsei este axa ei de simetrie. O altă axă de simetrie a elipsei este o linie dreaptă care trece prin mijlocul segmentului perpendicular pe acest segment. Punct O intersecția acestor drepte servește ca centru de simetrie al elipsei sau pur și simplu ca centru al elipsei. Axa absciselor elipsei se intersectează în puncte ( A, O) și (- A, O), iar axa y este în punctele ( b, O) și (- b, O). Aceste patru puncte sunt numite vârfuri ale elipsei. Segmentul dintre vârfurile elipsei de pe axa absciselor se numește axa sa majoră, iar pe axa ordonatelor - axa minoră. Segmentele lor dinspre vârf spre centrul elipsei se numesc semiaxe. În cazul în care un A = b, atunci ecuația elipsei ia forma . Aceasta este ecuația pentru un cerc de rază A, iar un cerc este un caz special al unei elipse. O elipsă poate fi obținută dintr-un cerc cu rază A, dacă îl comprimați în A/b ori de-a lungul axei Oi
. Exemplul 1 Verificați dacă linia dată de ecuația generală Decizie. Facem transformări ale ecuației generale. Aplicăm transferul termenului liber în partea dreaptă, împărțirea termen cu termen a ecuației cu același număr și reducerea fracțiilor: Răspuns. Ecuația rezultată este ecuația canonică a elipsei. Prin urmare, această linie este o elipsă. Exemplul 2 Scrieți ecuația canonică a unei elipse dacă semiaxele sale sunt 5 și, respectiv, 4. Decizie. Ne uităm la formula pentru ecuația canonică a elipsei și înlocuim: semi-axa majoră este A= 5 , semiaxa minoră este b= 4 . Obținem ecuația canonică a elipsei: Puncte și marcate cu verde pe axa majoră, unde numit trucuri. numit excentricitate elipsă. Atitudine b/A caracterizează „oblateness” a elipsei. Cu cât acest raport este mai mic, cu atât elipsa este mai extinsă de-a lungul axei majore. Cu toate acestea, gradul de alungire a elipsei este exprimat mai des în termeni de excentricitate, a cărei formulă este dată mai sus. Pentru diferite elipse, excentricitatea variază de la 0 la 1, rămânând întotdeauna mai mică de unu. Exemplul 3 Scrieți ecuația canonică a unei elipse dacă distanța dintre focare este 8 și axa majoră este 10. Decizie. Tragem concluzii simple: Dacă axa majoră este 10, atunci jumătatea sa, adică semiaxa A = 5
, Dacă distanța dintre focare este 8, atunci numărul c dintre coordonatele focalizării este 4. Înlocuiește și calculează: Rezultatul este ecuația canonică a elipsei: Exemplul 4 Scrieți ecuația canonică a unei elipse dacă axa ei majoră este 26 și excentricitatea este . Decizie. După cum rezultă atât din dimensiunea axei majore, cât și din ecuația excentricității, semiaxa majoră a elipsei A= 13 . Din ecuația excentricității, exprimăm numărul c, necesar pentru a calcula lungimea semiaxei minore: Calculăm pătratul lungimii semiaxei minore: Compunem ecuația canonică a elipsei: Exemplul 5 Determinați focarele elipsei date de ecuația canonică. Decizie. Trebuie să găsești un număr c, care definește primele coordonate ale focarelor elipsei: Obținem focusurile elipsei: Exemplul 6 Focarele elipsei sunt situate pe axă Bou simetric fata de origine. Scrieți ecuația canonică a unei elipse dacă: 1) distanța dintre focare este 30, iar axa majoră este 34 2) axa minoră este 24, iar unul dintre focusuri este în punctul (-5; 0) 3) excentricitate, iar unul dintre focare este în punctul (6; 0) Dacă - un punct arbitrar al elipsei (marcat cu verde în desen în partea dreaptă sus a elipsei) și - distanțele până la acest punct de la focare, atunci formulele pentru distanțe sunt următoarele: Pentru fiecare punct aparținând elipsei, suma distanțelor de la focare este o valoare constantă egală cu 2 A. Linii drepte definite prin ecuații numit directori elipsă (în desen - linii roșii de-a lungul marginilor). Din cele două ecuații de mai sus rezultă că pentru orice punct al elipsei unde şi sunt distanţele acestui punct la directrice şi . Exemplul 7 Dată o elipsă. Scrieți o ecuație pentru directricele sale. Decizie. Ne uităm la ecuația directricei și aflăm că este necesar să găsim excentricitatea elipsei, adică . Toate datele pentru aceasta sunt. Calculam: Obținem ecuația directricei elipsei: Exemplul 8 Scrieți ecuația canonică a unei elipse dacă focarele sale sunt puncte și directricele sunt drepte.Ecuația parametrică a unei elipse
Controalele ActiveX trebuie să fie activate pentru a face calcule!
Cea mai simplă curbă de ordinul doi este un cerc. Reamintim că un cerc de rază R centrat într-un punct este mulțimea tuturor punctelor Μ ale planului care îndeplinesc condiția . Fie ca un punct dintr-un sistem de coordonate dreptunghiular să aibă coordonatele x 0, y 0 a - un punct arbitrar al cercului (vezi Fig. 48).
(11.2)
.
(11.4)
. Centrul său este în punct 
, și raza
.
, atunci ecuația (11.3) are forma
.
. În acest caz, ei spun: „cercul a degenerat într-un punct” (are rază zero).
, atunci ecuația (11.4) și, prin urmare, ecuația echivalentă (11.3), nu va determina nicio dreaptă, deoarece partea dreaptă a ecuației (11.4) este negativă, iar partea stângă nu este negativă (să spunem: „cerc imaginar”).
Notează focarele prin F1și F2, distanța dintre ele în 2 c, și suma distanțelor de la un punct arbitrar al elipsei la focare - prin 2 A(vezi fig. 49). Prin definiție 2 A > 2c, adică A
> c.
(11.6)
(11.7)
2. Aflați punctele de intersecție ale elipsei cu axele de coordonate. Punând , găsim două puncte și , la care axa intersectează elipsa (vezi Fig. 50). Punând în ecuația (11.7), găsim punctele de intersecție ale elipsei cu axa: și . puncte A 1 ,
A2 , B1, B2 numit vârfurile elipsei. Segmente A 1 A2și B1 B2, precum și lungimile acestora 2 Ași 2 b sunt numite respectiv axele majore și minore elipsă. Numerele Ași b sunt numite mari și, respectiv, mici. arbori de osie elipsă.
Fie M(x; y) un punct arbitrar al elipsei cu focare F 1 și F 2 (vezi Fig. 51). Lungimile segmentelor F 1 M=r 1 și F 2 M = r 2 se numesc razele focale ale punctului M. Evident,
Teorema 11.1. Dacă este distanța de la un punct arbitrar al elipsei la un focar, d este distanța de la același punct la directrixa corespunzătoare acestui focar, atunci raportul este o valoare constantă egală cu excentricitatea elipsei:
.
Notează focarele prin F1și F2 distanta dintre ele prin 2s, și modulul diferenței de distanțe de la fiecare punct al hiperbolei la focare prin 2a. A-prioriu 2a < 2s, adică A < c.
sau , adică După simplificări, așa cum s-a făcut la derivarea ecuației elipsei, obținem
ecuația canonică a unei hiperbole
(11.9)
(11.10)
a unei curbe nemărginite K dacă distanța d de la punctul M al curbei K la această dreaptă tinde spre zero pe măsură ce punctul M se deplasează de-a lungul curbei K la nesfârșit de la origine. Figura 55 ilustrează conceptul de asimptotă: linia L este o asimptotă pentru curba K.
(11.11)
(vezi Fig. 56) și găsiți diferența ΜN dintre ordonatele dreptei și ramura hiperbolei:
ΜN tinde spre zero. Deoarece ΜN este mai mare decât distanța d de la punctul Μ la linie, atunci d cu atât mai mult tinde spre zero. Astfel, liniile sunt asimptote ale hiperbolei (11.9).
Hiperbola (11.9) se numește echilaterală dacă semiaxele sale sunt egale (). Ecuația sa canonică
(11.12)
.
și 
pentru punctele ramului drept al hiperbolei au forma și , iar pentru stânga - 
și 
.
Pentru a deriva ecuația parabolei, alegem sistemul de coordonate Oxy astfel încât axa Oxy să treacă prin focarul F perpendicular pe directrice în direcția de la directrice la F, iar originea O să fie situată la mijloc între focar și directrice (vezi Fig. 60). În sistemul selectat, focusul F are coordonatele , iar ecuația directrice are forma , sau .
Elipsa data de ecuatia canonica
, o elipsă.
.
.
Continuăm să rezolvăm împreună problemele de pe elipsă
,
.
