După cum știți, atunci când înmulțiți expresii cu puteri, exponenții lor se adună întotdeauna (a b * a c = a b + c). Această lege matematică a fost derivată de Arhimede, iar mai târziu, în secolul al VIII-lea, matematicianul Virasen a creat un tabel de indicatori întregi. Ei au fost cei care au servit pentru descoperirea ulterioară a logaritmilor. Exemple de utilizare a acestei funcții pot fi găsite aproape peste tot acolo unde este necesară simplificarea înmulțirii greoaie la adunare simplă. Dacă petreceți 10 minute citind acest articol, vă vom explica ce sunt logaritmii și cum să lucrați cu ei. Limbaj simplu și accesibil.

Definiție în matematică

Logaritmul este o expresie de următoarea formă: log a b=c, adică logaritmul oricărui număr nenegativ (adică orice pozitiv) „b” în baza sa „a” este considerat puterea lui „c” , la care trebuie ridicată baza „a”, pentru ca în final să capete valoarea „b”. Să analizăm logaritmul folosind exemple, să presupunem că există o expresie log 2 8. Cum să găsim răspunsul? Este foarte simplu, trebuie să găsești un astfel de grad încât de la 2 la gradul necesar să obții 8. După ce ai făcut niște calcule în minte, obținem numărul 3! Și pe bună dreptate, pentru că 2 la puterea lui 3 dă numărul 8 în răspuns.

Varietăți de logaritmi

Pentru mulți elevi și studenți, acest subiect pare complicat și de neînțeles, dar, de fapt, logaritmii nu sunt atât de înfricoșători, principalul lucru este să le înțelegeți sensul general și să vă amintiți proprietățile și unele reguli. Există trei tipuri distincte de expresii logaritmice:

1. Logaritmul natural ln a, unde baza este numărul Euler (e = 2,7).
2. Decimală a, unde baza este 10.
3. Logaritmul oricărui număr b la baza a>1.

Fiecare dintre ele este rezolvată într-un mod standard, incluzând simplificarea, reducerea și reducerea ulterioară la un logaritm folosind teoreme logaritmice. Pentru a obține valorile corecte ale logaritmilor, ar trebui să vă amintiți proprietățile lor și ordinea acțiunilor în deciziile lor.

Reguli și unele restricții

În matematică, există mai multe reguli-limitări care sunt acceptate ca axiomă, adică nu sunt supuse discuției și sunt adevărate. De exemplu, este imposibil să împărțiți numerele la zero și, de asemenea, este imposibil să extrageți rădăcina unui grad par din numerele negative. Logaritmii au, de asemenea, propriile reguli, după care puteți învăța cu ușurință cum să lucrați chiar și cu expresii logaritmice lungi și încăpătoare:

• baza „a” trebuie să fie întotdeauna mai mare decât zero și, în același timp, să nu fie egală cu 1, altfel expresia își va pierde sensul, deoarece „1” și „0” în orice grad sunt întotdeauna egale cu valorile lor;
• dacă a > 0, atunci a b > 0, se dovedește că „c” trebuie să fie mai mare decât zero.

Cum se rezolvă logaritmii?

De exemplu, sarcina a fost dată de a găsi răspunsul la ecuația 10 x \u003d 100. Este foarte ușor, trebuie să alegeți o astfel de putere, ridicând numărul zece la care obținem 100. Acesta, desigur, este 10. 2 \u003d 100.

Acum să reprezentăm această expresie ca una logaritmică. Obținem log 10 100 = 2. La rezolvarea logaritmilor, toate acțiunile converg practic către găsirea gradului în care trebuie introdusă baza logaritmului pentru a obține un număr dat.

Pentru a determina cu exactitate valoarea unui grad necunoscut, trebuie să înveți cum să lucrezi cu un tabel de grade. Arata cam asa:

După cum puteți vedea, unii exponenți pot fi ghiciți intuitiv dacă aveți o mentalitate tehnică și cunoștințe despre tabla înmulțirii. Cu toate acestea, valorile mai mari vor necesita o masă de putere. Poate fi folosit chiar și de cei care nu înțeleg absolut nimic în subiecte matematice complexe. Coloana din stânga conține numere (baza a), rândul de sus de numere este valoarea puterii c, la care se ridică numărul a. La intersecția din celule se determină valorile numerelor, care sunt răspunsul (a c =b). Să luăm, de exemplu, prima celulă cu numărul 10 și să o pătratăm, obținem valoarea 100, care este indicată la intersecția celor două celule ale noastre. Totul este atât de simplu și ușor încât până și cel mai adevărat umanist va înțelege!

Ecuații și inegalități

Se dovedește că în anumite condiții, exponentul este logaritmul. Prin urmare, orice expresii numerice matematice pot fi scrise ca o ecuație logaritmică. De exemplu, 3 4 =81 poate fi scris ca logaritmul lui 81 la baza 3, care este patru (log 3 81 = 4). Pentru puterile negative, regulile sunt aceleași: 2 -5 = 1/32 scriem ca logaritm, obținem log 2 (1/32) = -5. Una dintre cele mai fascinante secțiuni ale matematicii este subiectul „logaritmilor”. Vom lua în considerare exemple și soluții de ecuații puțin mai jos, imediat după studierea proprietăților acestora. Acum să ne uităm la cum arată inegalitățile și cum să le distingem de ecuații.

Se dă o expresie de următoarea formă: log 2 (x-1) > 3 - este o inegalitate logaritmică, deoarece valoarea necunoscută „x” se află sub semnul logaritmului. Și, de asemenea, în expresie sunt comparate două mărimi: logaritmul numărului dorit în baza doi este mai mare decât numărul trei.

Cea mai importantă diferență dintre ecuațiile logaritmice și inegalități este că ecuațiile cu logaritmi (de exemplu, logaritmul lui 2 x = √9) implică una sau mai multe valori numerice specifice în răspuns, în timp ce la rezolvarea inegalității, atât domeniul de valorile acceptabile și punctele care depășesc această funcție. În consecință, răspunsul nu este un simplu set de numere individuale, ca în răspunsul ecuației, ci o serie continuă sau un set de numere.

Teoreme de bază despre logaritmi

La rezolvarea sarcinilor primitive privind găsirea valorilor logaritmului, este posibil ca proprietățile acestuia să nu fie cunoscute. Cu toate acestea, când vine vorba de ecuații sau inegalități logaritmice, în primul rând, este necesar să înțelegem clar și să aplici în practică toate proprietățile de bază ale logaritmilor. Ne vom familiariza cu exemple de ecuații mai târziu, să analizăm mai întâi fiecare proprietate mai detaliat.

1. Identitatea de bază arată astfel: a logaB =B. Se aplică numai dacă a este mai mare decât 0, nu este egal cu unu și B este mai mare decât zero.
2. Logaritmul produsului poate fi reprezentat în următoarea formulă: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. În acest caz, condiția este: d, s 1 și s 2 > 0; a≠1. Puteți da o demonstrație pentru această formulă de logaritmi, cu exemple și o soluție. Fie log a s 1 = f 1 și log a s 2 = f 2 , apoi a f1 = s 1 , a f2 = s 2. Obținem că s 1 *s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (proprietăți de grade) ), și mai departe prin definiție: log a (s 1 *s 2)= f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, ceea ce urma să fie demonstrat.
3. Logaritmul coeficientului arată astfel: log a (s 1 / s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. Teorema sub forma unei formule ia următoarea formă: log a q b n = n/q log a b.

Această formulă se numește „proprietatea gradului logaritmului”. Seamănă cu proprietățile gradelor obișnuite și nu este surprinzător, deoarece toată matematica se bazează pe postulate obișnuite. Să ne uităm la dovadă.

Să log a b \u003d t, se dovedește a t \u003d b. Dacă ridici ambele părți la puterea m: a tn = b n ;

dar deoarece a tn = (a q) nt/q = b n , prin urmare log a q b n = (n*t)/t, atunci log a q b n = n/q log a b. Teorema a fost demonstrată.

Exemple de probleme și inegalități

Cele mai comune tipuri de probleme de logaritm sunt exemple de ecuații și inegalități. Ele se găsesc în aproape toate cărțile de probleme și sunt incluse și în partea obligatorie a examenelor de matematică. Pentru a intra la universitate sau pentru a trece testele de admitere la matematică, trebuie să știi să rezolvi corect astfel de sarcini.

Din păcate, nu există un plan sau o schemă unică pentru rezolvarea și determinarea valorii necunoscute a logaritmului, totuși, anumite reguli pot fi aplicate fiecărei inegalități matematice sau ecuații logaritmice. În primul rând, ar trebui să aflați dacă expresia poate fi simplificată sau redusă la o formă generală. Puteți simplifica expresiile logaritmice lungi dacă le folosiți corect proprietățile. Să-i cunoaștem curând.

Când rezolvăm ecuații logaritmice, este necesar să stabilim ce fel de logaritm avem în fața noastră: un exemplu de expresie poate conține un logaritm natural sau unul zecimal.

Iată exemple ln100, ln1026. Soluția lor se rezumă la faptul că trebuie să determinați gradul în care baza 10 va fi egală cu 100 și, respectiv, 1026. Pentru soluțiile logaritmilor naturali, trebuie aplicate identitățile logaritmice sau proprietățile acestora. Să ne uităm la exemple de rezolvare a problemelor logaritmice de diferite tipuri.

Cum să utilizați formulele logaritmice: cu exemple și soluții

Deci, să ne uităm la exemple de utilizare a teoremelor principale pe logaritmi.

1. Proprietatea logaritmului produsului poate fi utilizată în sarcini în care este necesară descompunerea unei valori mari a numărului b în factori mai simpli. De exemplu, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Răspunsul este 9.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - după cum puteți vedea, folosind a patra proprietate a gradului logaritmului, am reușit să rezolvăm la prima vedere o expresie complexă și de nerezolvat. Este necesar doar să factorizați baza și apoi să scoateți valorile exponentului din semnul logaritmului.

Sarcini de la examen

Logaritmii se găsesc adesea la examenele de admitere, în special o mulțime de probleme logaritmice la examenul de stat unificat (examen de stat pentru toți absolvenții de școală). De obicei, aceste sarcini sunt prezente nu numai în partea A (cea mai ușoară parte a testului a examenului), ci și în partea C (cele mai dificile și mai voluminoase sarcini). Examenul presupune o cunoaștere exactă și perfectă a temei „Logaritmi naturali”.

Exemplele și rezolvarea problemelor sunt preluate din versiunile oficiale ale examenului. Să vedem cum se rezolvă astfel de sarcini.

Dat log 2 (2x-1) = 4. Rezolvare:
să rescriem expresia, simplificând-o puțin log 2 (2x-1) = 2 2 , prin definiția logaritmului obținem că 2x-1 = 2 4 , deci 2x = 17; x = 8,5.

• Toți logaritmii se reduc cel mai bine la aceeași bază, astfel încât soluția să nu fie greoaie și confuză.
• Toate expresiile sub semnul logaritmului sunt indicate ca pozitive, prin urmare, la scoaterea exponentului exponentului expresiei, care se află sub semnul logaritmului și ca bază, expresia rămasă sub logaritm trebuie să fie pozitivă.

În acest tutorial video, ne vom uita la rezolvarea unei ecuații logaritmice destul de serioase, în care nu trebuie doar să găsiți rădăcinile, ci și să le selectați pe cele care se află pe un anumit segment.

Sarcina C1. Rezolvați ecuația. Găsiți toate rădăcinile acestei ecuații care aparțin intervalului.

O notă despre ecuațiile logaritmice

Totuși, de la an la an, la mine vin studenți care încearcă să rezolve astfel de lucruri, sincer, ecuații dificile, dar în același timp nu pot înțelege: de unde încep și cum să abordeze logaritmii? O astfel de problemă poate apărea chiar și la elevii puternici, bine pregătiți.

Drept urmare, mulți încep să se teamă de acest subiect sau chiar se consideră proști. Deci, amintiți-vă: dacă nu puteți rezolva o astfel de ecuație, nu înseamnă deloc că ești prost. Pentru că, de exemplu, puteți trata această ecuație aproape verbal:

log 2 x = 4

Și dacă nu este așa, nu ai mai citi acest text acum, pentru că erai ocupat cu sarcini mai simple și mai banale. Desigur, cineva va obiecta acum: „Ce legătură are această ecuație cea mai simplă cu designul nostru sănătos?” Răspund: orice ecuație logaritmică, oricât de complexă ar fi, se reduce în cele din urmă la astfel de construcții simple, rezolvate verbal.

Desigur, este necesar să se treacă de la ecuații logaritmice complexe la cele mai simple, nu cu ajutorul selecției sau dansului cu o tamburină, ci după reguli clare, definite de lungă durată, care se numesc așa - reguli de conversie a expresiilor logaritmice. Cunoscându-le, vă puteți da seama cu ușurință chiar și cele mai sofisticate ecuații din examenul de matematică.

Și despre aceste reguli vom vorbi în lecția de astăzi. Merge!

Rezolvarea ecuației logaritmice din problema C1

Deci, să rezolvăm ecuația:

În primul rând, când vine vorba de ecuații logaritmice, ne amintim tactica principală - dacă pot spune, regula de bază pentru rezolvarea ecuațiilor logaritmice. Constă în următoarele:

Teorema formei canonice. Orice ecuație logaritmică, indiferent ce include, indiferent de logaritmi, indiferent de bază și indiferent de ce are c în sine, este necesar să o aducem la o ecuație de forma:

log a f (x ) = log a g (x )

Dacă ne uităm la ecuația noastră, observăm imediat două probleme:

1. În stânga avem suma a două numere, dintre care unul nu este deloc un logaritm.
2. În dreapta este destul de un logaritm, dar la bază este o rădăcină. Și logaritmul din stânga are doar 2, adică. bazele logaritmilor din stânga și din dreapta sunt diferite.

Așa că am venit cu o listă de probleme care separă ecuația noastră de asta ecuație canonică, la care trebuie să reduceți orice ecuație logaritmică în procesul de rezolvare. Astfel, rezolvarea ecuației noastre în această etapă se rezumă la eliminarea celor două probleme descrise mai sus.

Orice ecuație logaritmică poate fi rezolvată rapid și ușor dacă este redusă la forma sa canonică.

Suma logaritmilor și logaritmul produsului

Să procedăm în ordine. Mai întâi, să ne ocupăm de structura care stă în stânga. Ce putem spune despre suma a doi logaritmi? Să ne amintim de formula minunată:

log a f (x) + log a g (x) = log a f (x) g (x)

Dar merită luat în considerare că în cazul nostru primul termen nu este deloc un logaritm. Deci, trebuie să reprezentați unitatea ca un logaritm la baza 2 (și anume 2, deoarece logaritmul la baza 2 este în stânga). Cum să o facă? Din nou, amintiți-vă de formula minunată:

a = log b b a

Aici trebuie să înțelegeți: când spunem „Orice bază b”, atunci ne referim că b tot nu poate fi un număr arbitrar. Dacă introducem un număr în logaritm, anumite numere sunt imediat suprapuse pe acesta. restricții, și anume: baza logaritmului trebuie să fie mai mare decât 0 și nu trebuie să fie egală cu 1. În caz contrar, logaritmul pur și simplu nu are sens. Hai sa o scriem:

0 < b ≠ 1

Să vedem ce se întâmplă în cazul nostru:

1 = log 2 2 1 = log 2 2

Acum să ne rescriem întreaga ecuație având în vedere acest fapt. Și imediat aplicăm o altă regulă: suma logaritmilor este egală cu logaritmul produsului argumentelor. Ca rezultat, obținem:

Avem o nouă ecuație. După cum puteți vedea, este deja mult mai aproape de alinierea canonică pentru care ne străduim. Dar există o problemă, am scris-o sub forma celui de-al doilea punct: logaritmii noștri, care sunt în stânga și în dreapta, temeiuri diferite. Să trecem la pasul următor.

Reguli pentru preluarea puterilor din logaritm

Deci, logaritmul din stânga are o bază de doar 2, iar logaritmul din dreapta are o rădăcină la bază. Dar nici aceasta nu este o problemă, dacă ne amintim că din bazele din argumentele logaritmului se poate scoate la o putere. Să scriem una dintre aceste reguli:

log a b n = n log a b

Traducerea în limbajul uman: puteți scoate gradul de la baza logaritmului și îl puteți pune în față ca multiplicator. Numărul n „a migrat” din logaritm și a devenit un coeficient în față.

Am putea la fel de bine să luăm puterea de la baza logaritmului. Va arata asa:

Cu alte cuvinte, dacă scoateți puterea din argumentul logaritmului, această putere se scrie și ca factor în fața logaritmului, dar nu ca număr, ci ca reciprocă a lui 1/k.

Cu toate acestea, asta nu este tot! Putem combina aceste două formule și găsim următoarea formulă:

Când exponentul se află atât în ​​baza, cât și în argumentul unui logaritm, putem economisi timp și simplifica calculele prin eliminarea exponenților atât din bază, cât și din argument. În acest caz, ceea ce a fost în argument (în cazul nostru, acesta este coeficientul n) va fi în numărător. Și care a fost gradul de la bază, a k , va merge la numitor.

Și aceste formule le vom folosi acum pentru a ne reduce logaritmii la aceeași bază.

În primul rând, vom alege o bază mai mult sau mai puțin frumoasă. Evident, deuce-ul de la bază este mult mai plăcut de lucrat decât cu rădăcina. Deci, să încercăm să bazăm al doilea logaritm pe 2. Să scriem separat acest logaritm:

Ce putem face aici? Amintiți-vă formula puterii cu un exponent rațional. Cu alte cuvinte, putem scrie rădăcini ca o putere cu un exponent rațional. Și apoi scoatem puterea lui 1/2 atât din argument, cât și din baza logaritmului. Reducem doi în coeficienții din numărător și numitor în fața logaritmului:

În cele din urmă, rescriem ecuația inițială ținând cont de noii coeficienți:

log 2 2(9x 2 + 5) = log 2 (8x 4 + 14)

Am obținut ecuația logaritmică canonică. Atat in stanga cat si in dreapta avem un logaritm in aceeasi baza 2. Pe langa acesti logaritmi, nu exista nici coeficienti, nici termeni nici in stanga, nici in dreapta.

În consecință, putem scăpa de semnul logaritmului. Desigur, ținând cont de domeniul definiției. Dar înainte de a face asta, să ne întoarcem și să facem o mică clarificare despre fracții.

Împărțirea unei fracții la o fracție: considerații suplimentare

Nu toți elevii înțeleg de unde provin factorii din fața logaritmului potrivit și unde se duc. Să o scriem din nou:

Să înțelegem ce este o fracție. Hai să scriem:

Și acum ne amintim regula de împărțire a fracțiilor: pentru a împărți la 1/2, trebuie să înmulțiți cu fracția inversată:

Desigur, pentru comoditatea calculelor ulterioare, putem scrie doiul ca 2/1 - și asta este exact ceea ce observăm ca al doilea coeficient în procesul de soluție.

Sper că acum toată lumea înțelege de unde vine al doilea coeficient, așa că mergem direct la rezolvarea ecuației noastre logaritmice canonice.

Scaparea de semnul logaritmului

Vă reamintesc că acum putem scăpa de logaritmi și lăsam următoarea expresie:

2(9x2 + 5) = 8x4 + 14

Să extindem parantezele din stânga. Primim:

18x2 + 10 = 8x4 + 14

Să mutăm totul din partea stângă la dreapta:

8x4 + 14 - 18x2 - 10 = 0

Dăm altele similare și obținem:

8x4 - 18x2 + 4 = 0

Putem împărți ambele părți ale acestei ecuații la 2 pentru a simplifica coeficienții și obținem:

4x4 - 9x2 + 2 = 0

În fața noastră este obișnuit ecuație biquadratică, iar rădăcinile sale sunt ușor de calculat în termeni de discriminant. Deci, să scriem discriminantul:

D \u003d 81 - 4 4 2 \u003d 81 - 32 \u003d 49

Bine, Discriminantul este „frumos”, rădăcina lui este 7. Gata, considerăm X-urile înșiși. Dar în acest caz, rădăcinile nu vor fi x, ci x 2, deoarece avem o ecuație biquadratică. Deci opțiunile noastre sunt:

Vă rugăm să rețineți: am extras rădăcinile, deci vor fi două răspunsuri, pentru că. pătrat - chiar funcția. Și dacă scriem doar rădăcina a doi, atunci pur și simplu vom pierde a doua rădăcină.

Acum pictăm a doua rădăcină a ecuației noastre biquadratice:

Din nou, luăm rădăcina pătrată aritmetică a ambelor părți ale ecuației noastre și obținem două rădăcini. Cu toate acestea, amintiți-vă:

Nu este suficient să echivalăm pur și simplu argumentele logaritmilor în formă canonică. Ține minte domeniul de aplicare!

În total, avem patru rădăcini. Toate sunt într-adevăr soluții la ecuația noastră originală. Aruncă o privire: în ecuația noastră logaritmică inițială, în interiorul logaritmilor este fie 9x 2 + 5 (această funcție este întotdeauna pozitivă), fie 8x 4 + 14 - este, de asemenea, întotdeauna pozitivă. Prin urmare, domeniul de definire al logaritmilor este satisfăcut în orice caz, indiferent de ce rădăcină obținem, ceea ce înseamnă că toate cele patru rădăcini sunt soluții ale ecuației noastre.

Grozav, acum să trecem la a doua parte a problemei.

Selectarea rădăcinilor unei ecuații logaritmice pe un segment

Selectăm din cele patru rădăcini ale noastre pe cele care se află pe intervalul [−1; 8/9]. Ne întoarcem la rădăcinile noastre, iar acum vom efectua selecția lor. Pentru început, vă propun să desenați o axă de coordonate și să marcați capetele segmentului pe ea:

Ambele puncte vor fi umbrite. Acestea. după starea problemei, ne interesează segmentul umbrit. Acum să ne ocupăm de rădăcini.

Rădăcini iraționale

Să începem cu rădăcinile iraționale. Rețineți că 8/9< 9/9 = 1. С другой стороны, корень из двух явно больше единицы. Следовательно, наши корни будут находиться на отрезке в таком положении:

De aici rezultă că rădăcina lui doi nu se încadrează în segmentul care ne interesează. În mod similar, obținem cu o rădăcină negativă: este mai mică decât −1, adică se află în stânga segmentului care ne interesează.

rădăcini raționale

Au mai rămas două rădăcini: x = 1/2 și x = −1/2. Să observăm că capătul din stânga segmentului (−1) este negativ, iar capătul din dreapta (8/9) este pozitiv. Prin urmare, undeva între aceste capete se află numărul 0. Rădăcina x = −1/2 va fi între −1 și 0, adică. vor fi incluse în răspunsul final. Facem același lucru cu rădăcina x = 1/2. Această rădăcină se află și pe segmentul luat în considerare.

Este foarte ușor să vă asigurați că numărul 8/9 este mai mare decât 1/2. Să scădem aceste numere unul de la celălalt:

Am obținut fracția 7/18 > 0, ceea ce prin definiție înseamnă că 8/9 > 1/2.

Să marchem rădăcinile potrivite pe axa de coordonate:

Răspunsul final va fi două rădăcini: 1/2 și −1/2.

Comparația numerelor iraționale: un algoritm universal

În concluzie, aș vrea să revin încă o dată la numerele iraționale. Folosind exemplul lor, vom vedea acum cum să comparăm mărimile raționale și iraționale în matematică. Pentru început, există o astfel de bifă V între ele - semnul „mai mult” sau „mai puțin”, dar nu știm încă în ce direcție este îndreptat. Hai să scriem:

De ce avem nevoie de algoritmi de comparație? Cert este că în această problemă am fost foarte norocoși: în procesul de rezolvare, a apărut un număr separator 1, despre care putem spune cu siguranță:

Cu toate acestea, nu veți vedea întotdeauna un astfel de număr în mișcare. Prin urmare, să încercăm să ne comparăm cifrele direct, direct.

Cum se face? Facem la fel ca și cu inegalitățile obișnuite:

1. În primul rând, dacă am avea coeficienți negativi undeva, atunci am înmulți ambele părți ale inegalității cu −1. Desigur schimbarea semnului. O astfel de bifă V s-ar schimba într-o astfel de - Λ.
2. Dar în cazul nostru, ambele părți sunt deja pozitive, așa că nu este nevoie să schimbăm nimic. Ceea ce este cu adevărat necesar este pătrat ambele laturi pentru a scăpa de radical.

Dacă, la compararea numerelor iraționale, nu este posibil să selectați un element de separare din mers, vă recomand să efectuați o astfel de comparație „pe frunte” - descriind-o ca o inegalitate obișnuită.

Când o rezolvi, arată așa:

Acum totul este ușor de comparat. Cert este că 64/81< 81/81 = 1 < 2. На основании той цепочки преобразований мы заключаем, что 64/81 < 2 и, следовательно, корень больше 8/9.

Gata, am primit o dovadă riguroasă că toate numerele sunt marcate pe linia numerică x corect și exact în ordinea în care ar trebui să fie de fapt. Nimeni nu se va plânge de o astfel de decizie, așa că nu uitați: dacă nu vedeți imediat numărul de separare (în cazul nostru, este 1), atunci nu ezitați să scrieți construcția de mai sus, înmulțiți, pătrați - și în cele din urmă va obține o inegalitate frumoasă. Din această inegalitate va fi clar exact care număr este mai mare și care este mai mic.

Revenind la problema noastră, aș dori să vă atrag din nou atenția asupra a ceea ce am făcut chiar la început când ne-am rezolvat ecuația. Și anume, ne-am uitat îndeaproape la ecuația noastră logaritmică inițială și am încercat să o reducem la canonic ecuație logaritmică. Acolo unde sunt doar logaritmi la stânga și la dreapta - fără termeni suplimentari, coeficienți în față etc. Nu avem nevoie de doi logaritmi la baza a sau b, și anume un logaritm egal cu un alt logaritm.

În plus, bazele logaritmilor trebuie să fie și ele egale. În același timp, dacă ecuația este compusă corect, atunci cu ajutorul transformărilor logaritmice elementare (suma logaritmilor, conversia unui număr în logaritm etc.), vom reduce această ecuație la cea canonică.

Prin urmare, de acum înainte, când vedeți o ecuație logaritmică care nu este rezolvată imediat „pe frunte”, nu ar trebui să vă pierdeți sau să încercați să găsiți un răspuns. Este suficient să urmați acești pași:

1. Aduceți toate elementele libere în logaritm;
2. Apoi adăugați acești logaritmi;
3. În construcția rezultată, toți logaritmii conduc la aceeași bază.

Ca rezultat, veți obține o ecuație simplă care poate fi rezolvată prin mijloace elementare de algebră din materiale de clasele 8-9. În general, mergi pe site-ul meu, exersează rezolvarea logaritmilor, rezolvă ecuații logaritmice ca mine, rezolvă-le mai bine decât mine. Și asta e tot pentru mine. Pavel Berdov a fost cu tine. Ne vedem în curând!

Ce este un logaritm?

Atenţie!
Sunt suplimentare
material în secțiunea specială 555.
Pentru cei care puternic „nu foarte...”
Și pentru cei care „foarte mult...”)

Ce este un logaritm? Cum se rezolvă logaritmii? Aceste întrebări îi încurcă pe mulți absolvenți. În mod tradițional, subiectul logaritmilor este considerat complex, de neînțeles și înfricoșător. Mai ales - ecuații cu logaritmi.

Acest lucru nu este absolut adevărat. Absolut! Nu crezi? Bun. Acum, timp de aproximativ 10 - 20 de minute:

1. Înțelegeți ce este un logaritm.

2. Învață să rezolvi o întreagă clasă de ecuații exponențiale. Chiar dacă nu ai auzit de ei.

3. Învață să calculezi logaritmi simpli.

Mai mult, pentru aceasta va trebui doar să cunoașteți tabla înmulțirii și cum se ridică un număr la o putere...

Simt că te îndoiești... Ei bine, ține timpul! Merge!

Mai întâi, rezolvă următoarea ecuație în minte:

Daca va place acest site...

Apropo, mai am câteva site-uri interesante pentru tine.)

Puteți exersa rezolvarea exemplelor și puteți afla nivelul dvs. Testare cu verificare instantanee. Învățarea - cu interes!)

vă puteți familiariza cu funcțiile și derivatele.

Confidențialitatea dumneavoastră este importantă pentru noi. Din acest motiv, am dezvoltat o Politică de confidențialitate care descrie modul în care folosim și stocăm informațiile dumneavoastră. Vă rugăm să citiți politica noastră de confidențialitate și să ne spuneți dacă aveți întrebări.

Colectarea și utilizarea informațiilor personale

Informațiile personale se referă la date care pot fi folosite pentru a identifica sau contacta o anumită persoană.

Vi se poate cere să furnizați informațiile dumneavoastră personale în orice moment când ne contactați.

Următoarele sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și modul în care putem folosi aceste informații.

Ce informații personale colectăm:

• Când trimiteți o cerere pe site, este posibil să colectăm diverse informații, inclusiv numele, numărul de telefon, adresa de e-mail etc.

Cum folosim informațiile dumneavoastră personale:

• Informațiile personale pe care le colectăm ne permit să vă contactăm și să vă informăm despre oferte unice, promoții și alte evenimente și evenimente viitoare.
• Din când în când, putem folosi informațiile dumneavoastră personale pentru a vă trimite notificări și comunicări importante.
• De asemenea, putem folosi informații personale în scopuri interne, cum ar fi efectuarea de audituri, analize de date și diverse cercetări pentru a îmbunătăți serviciile pe care le oferim și pentru a vă oferi recomandări cu privire la serviciile noastre.
• Dacă participați la o tragere la sorți, un concurs sau un stimulent similar, este posibil să folosim informațiile pe care le furnizați pentru a administra astfel de programe.

Dezvăluirea către terți

Nu dezvăluim informațiile primite de la dumneavoastră către terți.

Excepții:

• În cazul în care este necesar - în conformitate cu legea, ordinea judiciară, în cadrul procedurilor judiciare și/sau în baza cererilor publice sau a solicitărilor din partea organelor de stat de pe teritoriul Federației Ruse - dezvăluiți informațiile dumneavoastră personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dumneavoastră dacă stabilim că o astfel de dezvăluire este necesară sau adecvată pentru securitate, aplicarea legii sau în alte scopuri de interes public.
• În cazul unei reorganizări, fuziuni sau vânzări, putem transfera informațiile personale pe care le colectăm către succesorul terț relevant.

Protecția informațiilor personale

Luăm măsuri de precauție - inclusiv administrative, tehnice și fizice - pentru a vă proteja informațiile personale împotriva pierderii, furtului și utilizării greșite, precum și împotriva accesului, dezvăluirii, modificării și distrugerii neautorizate.

Menținerea confidențialității la nivelul companiei

Pentru a ne asigura că informațiile dumneavoastră personale sunt în siguranță, comunicăm angajaților noștri practicile de confidențialitate și securitate și aplicăm strict practicile de confidențialitate.

Expresii logaritmice, soluție de exemple. În acest articol, vom lua în considerare problemele legate de rezolvarea logaritmilor. Sarcinile ridică problema găsirii valorii expresiei. Trebuie remarcat faptul că conceptul de logaritm este folosit în multe sarcini și este extrem de important să înțelegem sensul acestuia. În ceea ce privește USE, logaritmul este folosit în rezolvarea ecuațiilor, în probleme aplicate, dar și în sarcini legate de studiul funcțiilor.

Iată exemple pentru a înțelege însuși sensul logaritmului:

Identitatea logaritmică de bază:

Proprietățile logaritmilor pe care trebuie să le rețineți întotdeauna:

*Logaritmul produsului este egal cu suma logaritmilor factorilor.

* * *

* Logaritmul coeficientului (fracției) este egal cu diferența logaritmilor factorilor.

* * *

* Logaritmul gradului este egal cu produsul exponentului și logaritmul bazei sale.

* * *

*Tranziție la noua bază

* * *

Mai multe proprietăți:

* * *

Calcularea logaritmilor este strâns legată de utilizarea proprietăților exponenților.

Enumerăm câteva dintre ele:

Esența acestei proprietăți este că, la transferul numărătorului la numitor și invers, semnul exponentului se schimbă la opus. De exemplu:

Consecința acestei proprietăți:

* * *

Când ridicați o putere la o putere, baza rămâne aceeași, dar exponenții sunt înmulțiți.

* * *

După cum puteți vedea, însuși conceptul de logaritm este simplu. Principalul lucru este că este nevoie de o bună practică, care oferă o anumită abilitate. Cu siguranță cunoașterea formulelor este obligatorie. Dacă nu se formează abilitatea de a converti logaritmi elementari, atunci când rezolvi sarcini simple, se poate face cu ușurință o greșeală.

Exersează, rezolvă mai întâi cele mai simple exemple de la cursul de matematică, apoi treci la altele mai complexe. Pe viitor, cu siguranță voi arăta cum se rezolvă logaritmii „urâți”, nu vor fi astfel de la examen, dar sunt de interes, nu ratați!

Asta e tot! Multă baftă!

Cu stimă, Alexander Krutitskikh

P.S: Aș fi recunoscător dacă ai spune despre site în rețelele de socializare.