Un concept important în matematică este o funcție. Cu ajutorul acestuia, puteți vizualiza multe procese care au loc în natură, puteți reflecta relația dintre anumite cantități folosind formule, tabele și imagini pe un grafic. Un exemplu este dependența presiunii unui strat de lichid pe un corp de adâncimea de scufundare, accelerație - de acțiunea unei anumite forțe asupra unui obiect, creșterea temperaturii - de energia transmisă și multe alte procese. Studiul unei funcții presupune trasarea unui grafic, aflarea proprietăților acestuia, domeniul de definiție și valori, intervale de creștere și scădere. Un punct important în acest proces este găsirea punctelor extreme. Despre cum să o faci corect, iar conversația va continua.

Despre conceptul în sine pe un exemplu specific

În medicină, construcția unui grafic al funcției poate spune despre cursul dezvoltării bolii în corpul pacientului, reflectând în mod clar starea acestuia. Să presupunem că timpul în zile este reprezentat de-a lungul axei OX, iar temperatura corpului uman este reprezentată de-a lungul axei OY. Figura arată clar cum acest indicator crește brusc și apoi scade. De asemenea, este ușor de observat puncte singulare care reflectă momentele în care funcția, crescând anterior, începe să scadă și invers. Acestea sunt punctele extreme, adică valorile critice (maximum și minim) în acest caz ale temperaturii pacientului, după care apar modificări ale stării acestuia.

Unghiul de înclinare

Este ușor de determinat din figură cum se modifică derivata funcției. Dacă liniile drepte ale graficului cresc în timp, atunci este pozitiv. Și cu cât sunt mai abrupte, cu atât valoarea derivatei este mai mare, pe măsură ce unghiul de înclinare crește. În perioadele de scădere, această valoare capătă valori negative, ajungând la zero în punctele extreme, iar graficul derivatei în acest ultim caz este trasat paralel cu axa OX.

Orice alt proces ar trebui tratat în același mod. Dar cel mai bun mod de a spune despre acest concept este mișcarea diferitelor corpuri, arătată clar pe grafice.

Circulaţie

Să presupunem că un obiect se mișcă în linie dreaptă, câștigând viteză uniform. În această perioadă, modificarea coordonatelor corpului reprezintă grafic o anumită curbă, pe care un matematician ar numi-o ramură a unei parabole. În același timp, funcția crește constant, deoarece indicatorii de coordonate se schimbă din ce în ce mai repede cu fiecare secundă. Graficul vitezei arată comportamentul derivatei, a cărei valoare crește și ea. Aceasta înseamnă că mișcarea nu are puncte critice.

Acest lucru ar continua pe termen nelimitat. Dar dacă corpul decide brusc să încetinească, să se oprească și să înceapă să se miște într-o altă direcție? În acest caz, indicatorii de coordonate vor începe să scadă. Și funcția va trece de o valoare critică și se va transforma din creștere în scădere.

În acest exemplu, puteți înțelege din nou că punctele extreme de pe graficul funcției apar în momentele în care aceasta încetează să mai fie monotonă.

Sensul fizic al derivatului

Ceea ce a fost descris mai devreme a arătat clar că derivata este în esență rata de schimbare a funcției. Acest rafinament conține semnificația sa fizică. Punctele extreme sunt zone critice pe diagramă. Este posibil să le aflați și să le detectați prin calcularea valorii derivatei, care se dovedește a fi egală cu zero.

Există un alt semn, care este o condiție suficientă pentru un extremum. Derivata în astfel de locuri de inflexiune își schimbă semnul: de la „+” la „-” în regiunea maximului și de la „-” la „+” în regiunea minimului.

Mișcarea sub influența gravitației

Să ne imaginăm o altă situație. Copiii, jucând mingea, au aruncat-o în așa fel încât a început să se miște în unghi față de orizont. La momentul inițial, viteza acestui obiect era cea mai mare, dar sub influența gravitației, a început să scadă și cu fiecare secundă cu aceeași valoare, egală cu aproximativ 9,8 m/s 2. Aceasta este valoarea accelerației care are loc sub influența gravitației pământului în timpul căderii libere. Pe Lună, ar fi de aproximativ șase ori mai mic.

Graficul care descrie mișcarea corpului este o parabolă cu ramurile îndreptate în jos. Cum să găsești puncte extreme? În acest caz, acesta este vârful funcției, unde viteza corpului (mingii) ia o valoare zero. Derivata functiei devine zero. În acest caz, direcția și, prin urmare, valoarea vitezei, se schimbă în sens invers. Corpul zboară în jos cu fiecare secundă din ce în ce mai repede și accelerează cu aceeași cantitate - 9,8 m/s 2 .

Derivată a doua

În cazul precedent, graficul modulului de viteză este trasat ca o linie dreaptă. Această linie este mai întâi îndreptată în jos, deoarece valoarea acestei cantități este în continuă scădere. După ce a ajuns la zero într-unul dintre momentele de timp, indicatorii acestei valori încep să crească, iar direcția reprezentării grafice a modulului de viteză se schimbă dramatic. Acum linia este îndreptată în sus.

Viteza, fiind derivata coordonatei în raport cu timpul, are și un punct critic. În această regiune, funcția, inițial în scădere, începe să crească. Acesta este locul punctului extremum al derivatei funcției. În acest caz, panta tangentei devine zero. Iar accelerația, fiind derivata a doua a coordonatei în raport cu timpul, își schimbă semnul din „-” în „+”. Iar mișcarea de la uniform lent devine uniform accelerată.

Graficul de accelerație

Acum luați în considerare patru cifre. Fiecare dintre ele afișează un grafic al schimbării în timp a unei mărimi fizice precum accelerația. În cazul lui „A”, valoarea sa rămâne pozitivă și constantă. Aceasta înseamnă că viteza corpului, ca și coordonatele sale, crește constant. Dacă ne imaginăm că obiectul se va mișca în acest fel pentru o perioadă de timp infinit de lungă, funcția care reflectă dependența coordonatei de timp se va dovedi a fi în continuă creștere. De aici rezultă că nu are regiuni critice. De asemenea, nu există puncte extreme pe graficul derivatei, adică o viteză care se schimbă liniar.

Același lucru este valabil și pentru cazul „B” cu o accelerație pozitivă și în continuă creștere. Adevărat, graficele pentru coordonate și viteză vor fi ceva mai complicate aici.

Când accelerația ajunge la zero

Privind figura „B”, se poate observa o imagine complet diferită care caracterizează mișcarea corpului. Viteza sa va fi reprezentată grafic ca o parabolă cu ramurile îndreptate în jos. Dacă continuăm linia care descrie schimbarea accelerației până când aceasta se intersectează cu axa OX și mai departe, atunci ne putem imagina că până la această valoare critică, unde accelerația se dovedește a fi egală cu zero, viteza obiectului va crește. din ce în ce mai încet. Punctul extremum al derivatei funcției de coordonate va fi chiar în vârful parabolei, după care corpul va schimba radical natura mișcării și va începe să se miște într-o direcție diferită.

În acest din urmă caz, „G”, natura mișcării nu poate fi determinată cu precizie. Aici știm doar că nu există nicio accelerație pentru o anumită perioadă luată în considerare. Aceasta înseamnă că obiectul poate rămâne pe loc sau mișcarea are loc cu o viteză constantă.

Problemă de adunare a coordonatelor

Să trecem la sarcinile care se întâlnesc des atunci când studiezi algebra la școală și care sunt oferite pentru a pregăti examenul. Figura de mai jos prezintă graficul funcției. Este necesar să se calculeze suma punctelor extreme.

Vom face acest lucru pentru axa y determinând coordonatele regiunilor critice în care se observă o modificare a caracteristicilor funcției. Mai simplu spus, găsim valorile de-a lungul axei x pentru punctele de inflexiune, apoi trecem la adăugarea termenilor rezultați. Conform graficului, este evident că acestea iau următoarele valori: -8; -7; -5; -3; -2; 1; 3. Aceasta se adună până la -21, care este răspunsul.

Soluție optimă

Nu este necesar să explicăm cât de importantă poate fi alegerea soluției optime în îndeplinirea sarcinilor practice. La urma urmei, există multe modalități de a atinge obiectivul, iar cea mai bună cale de ieșire, de regulă, este doar una. Acest lucru este extrem de necesar, de exemplu, atunci când se proiectează nave, nave spațiale și aeronave, structuri arhitecturale pentru a găsi forma optimă a acestor obiecte create de om.

Viteza vehiculelor depinde în mare măsură de minimizarea competentă a rezistenței pe care o întâmpină atunci când se deplasează prin apă și aer, de suprasarcinile apărute sub influența forțelor gravitaționale și de mulți alți indicatori. O navă pe mare are nevoie de calități precum stabilitatea în timpul unei furtuni; pentru o navă fluvială, un pescaj minim este important. Când se calculează designul optim, punctele extreme de pe grafic pot oferi vizual o idee despre cea mai bună soluție la o problemă complexă. Sarcinile unui astfel de plan sunt adesea rezolvate în economie, în domenii economice, în multe alte situații de viață.

Din istoria antică

Sarcini extreme au ocupat chiar și înțelepții antici. Oamenii de știință greci au dezvăluit cu succes misterul ariilor și volumelor prin calcule matematice. Ei au fost primii care au înțeles că pe un plan de diferite figuri cu același perimetru, cercul are întotdeauna cea mai mare suprafață. În mod similar, o minge este înzestrată cu volumul maxim printre alte obiecte din spațiu cu aceeași suprafață. Personalități celebre precum Arhimede, Euclid, Aristotel, Apollonius s-au dedicat rezolvării unor astfel de probleme. Heron a reușit foarte bine să găsească puncte extremum, care, apelând la calcule, au construit dispozitive ingenioase. Acestea includ mașini automate care se deplasează cu ajutorul aburului, pompe și turbine care funcționează pe același principiu.

Construcția Cartaginei

Există o legendă, a cărei complot se bazează pe rezolvarea uneia dintre sarcinile extreme. Rezultatul demersului de afaceri demonstrat de prințesa feniciană, care a apelat la înțelepți pentru ajutor, a fost construcția Cartaginei. Terenul pentru acest oraș străvechi și faimos a fost prezentat lui Dido (așa era numele domnitorului) de către conducătorul unuia dintre triburile africane. Suprafața alocației nu i s-a părut la început foarte mare, deoarece conform contractului trebuia acoperită cu o piele de boi. Dar prințesa le-a ordonat soldaților săi să o taie în fâșii subțiri și să facă din ele o centură. S-a dovedit a fi atât de lung, încât acoperea o zonă în care încăpea întreg orașul.

Originile calculului

Și acum să trecem din cele mai vechi timpuri la o epocă ulterioară. Interesant este că în secolul al XVII-lea, Kepler a fost îndemnat să înțeleagă bazele analizei matematice de o întâlnire cu un vânzător de vin. Comerciantul era atât de familiarizat în profesia sa, încât putea determina cu ușurință volumul băuturii din butoi prin simpla coborâre a unui garou de fier în el. Reflectând la o asemenea curiozitate, celebrul om de știință a reușit să rezolve singur această dilemă. Se dovedește că meșteșugarii taieri din acele vremuri s-au apucat să facă vase în așa fel încât, la o anumită înălțime și rază a circumferinței inelelor de prindere, să aibă o capacitate maximă.

Aceasta a devenit pentru Kepler un prilej de reflecție ulterioară. Bochars a ajuns la soluția optimă printr-o lungă căutare, greșeli și noi încercări, trecându-și experiența din generație în generație. Dar Kepler a vrut să accelereze procesul și să învețe cum să facă același lucru într-un timp scurt prin calcule matematice. Toate evoluțiile sale, preluate de colegi, s-au transformat în teoremele acum cunoscute ale lui Fermat și Newton - Leibniz.

Problema găsirii suprafeței maxime

Imaginați-vă că avem un fir a cărui lungime este de 50 cm. Cum să faceți din el un dreptunghi, care are cea mai mare suprafață?

Pornind de la o decizie, trebuie să pornim de la adevăruri simple și binecunoscute. Este clar că perimetrul figurii noastre va fi de 50 cm. De asemenea, constă din lungimi de două ori mai mari ale ambelor părți. Aceasta înseamnă că, după ce a desemnat unul dintre ele drept „X”, celălalt poate fi exprimat ca (25 - X).

De aici obținem o suprafață egală cu X (25 - X). Această expresie poate fi reprezentată ca o funcție care ia multe valori. Rezolvarea problemei necesită găsirea maximului dintre ele, ceea ce înseamnă că ar trebui să aflați punctele extreme.

Pentru a face acest lucru, găsim prima derivată și o echivalăm cu zero. Rezultatul este o ecuație simplă: 25 - 2X = 0.

Din aceasta aflăm că una dintre laturi este X = 12,5.

Prin urmare, un altul: 25 - 12,5 \u003d 12,5.

Se pare că soluția problemei va fi un pătrat cu latura de 12,5 cm.

Cum să găsiți viteza maximă

Să luăm în considerare încă un exemplu. Imaginează-ți că există un corp a cărui mișcare rectilinie este descrisă de ecuația S = - t 3 + 9t 2 - 24t - 8, unde distanța parcursă este exprimată în metri, iar timpul în secunde. Este necesar să găsiți viteza maximă. Cum să o facă? Descărcat găsiți viteza, adică prima derivată.

Obținem ecuația: V = - 3t 2 + 18t - 24. Acum, pentru a rezolva problema, trebuie să găsim din nou punctele extreme. Acest lucru trebuie făcut în același mod ca în sarcina anterioară. Găsim prima derivată a vitezei și o echivalăm cu zero.

Se obține: - 6t + 18 = 0. Prin urmare t = 3 s. Acesta este momentul în care viteza corpului capătă o valoare critică. Inlocuim datele obtinute in ecuatia vitezei si obtinem: V = 3 m/s.

Dar cum să înțelegeți că aceasta este exact viteza maximă, deoarece punctele critice ale funcției pot fi valorile sale cele mai mari sau cele mai mici? Pentru a verifica, trebuie să găsiți derivata a doua a vitezei. Se exprimă ca număr 6 cu semnul minus. Aceasta înseamnă că punctul găsit este maxim. Și în cazul unei valori pozitive a derivatei a doua, ar exista un minim. Prin urmare, soluția găsită a fost corectă.

Sarcinile date ca exemplu sunt doar o parte dintre cele care pot fi rezolvate prin posibilitatea de a găsi punctele extreme ale unei funcții. De fapt, sunt multe altele. Și o astfel de cunoaștere deschide posibilități nelimitate pentru civilizația umană.

Luați în considerare doi dinți ai unui profil de ferăstrău binecunoscut. Să direcționăm axa de-a lungul părții plate a ferăstrăului, iar axa - perpendiculară pe aceasta. Să obținem un grafic al unei funcții, prezentată în Fig. 1.

Este destul de evident că atât la punct, cât și la punct, valorile funcției se dovedesc a fi cele mai mari în comparație cu valorile din punctele învecinate din dreapta și din stânga, iar la punct - cel mai mic în comparație cu punctele învecinate. Punctele se numesc punctele extreme ale funcției (din latinescul extremum - „extrem”), punctele și sunt punctele maxime, iar punctul este punctul minim (din latinescul maxim și minim - „cel mai mare” și „cel mai mic". ”).

Să rafinăm definiția unui extremum.

Se spune că o funcție într-un punct are un maxim dacă există un interval care conține punctul și aparține domeniului funcției, astfel încât pentru toate punctele acestui interval se dovedește a fi . În consecință, funcția într-un punct are un minim dacă condiția este îndeplinită pentru toate punctele dintr-un anumit interval.

Pe fig. Figurile 2 și 3 prezintă grafice ale funcțiilor care au un extremum într-un punct.

Să acordăm atenție faptului că, prin definiție, punctul extremum trebuie să se afle în intervalul de setare a funcției, și nu la sfârșitul acesteia. Prin urmare, pentru funcția prezentată în fig. 1, nu se poate presupune că are un minim la punct.

Dacă în această definiție a maximului (minimului) unei funcții, înlocuim inegalitatea strictă cu una nestrictă , atunci obținem definiția unui maxim nestrict (minimum nestrict). Luați în considerare, de exemplu, profilul unui vârf de munte (Fig. 4). Fiecare punct al unei zone plane - un segment este un punct maxim nestrict.

În calculul diferențial, studiul unei funcții pentru extrema este foarte eficient și destul de simplu efectuat folosind o derivată. Una dintre principalele teoreme ale calculului diferenţial, care stabileşte o condiţie necesară pentru extremul unei funcţii diferenţiabile, este teorema lui Fermat (vezi teorema lui Fermat). Fie ca funcția dintr-un punct să aibă un extrem. Dacă există o derivată în acest punct, atunci aceasta este egală cu zero.

În limbajul geometric, teorema lui Fermat înseamnă că în punctul extremum tangenta la graficul funcției este orizontală (Fig. 5). Afirmația inversă, desigur, nu este adevărată, ceea ce este arătat, de exemplu, de graficul din Fig. 6.

Teorema este numită după matematicianul francez P. Fermat, care a fost unul dintre primii care a rezolvat o serie de probleme extreme. Nu avea încă la dispoziție conceptul unei derivate, dar în investigația sa a folosit o metodă a cărei esență este exprimată în enunțul teoremei.

O condiție suficientă pentru extremul unei funcții diferențiabile este o modificare a semnului derivatei. Dacă la un moment dat derivata își schimbă semnul din minus în plus, i.e. scăderea sa este înlocuită cu o creștere, atunci punctul va fi punctul minim. Dimpotriva, punctul va fi punctul maxim daca derivata isi schimba semnul din plus in minus, i.e. trece de la ascendent la descendent.

Punctul în care derivata funcției este egală cu zero se numește staționar. Dacă o funcție diferențiabilă este investigată pentru un extremum, atunci toate punctele sale staționare ar trebui găsite și semnele derivatei trebuie luate în considerare la stânga și la dreapta acestora.

Investigăm funcția pentru un extremum.

Să-i găsim derivata: .

Să ne întoarcem la graficul funcției y \u003d x 3 - 3x 2. Se consideră vecinătatea punctului x = 0, adică. un interval care conține acest punct. Este logic că există o astfel de vecinătate a punctului x \u003d 0 încât funcția y \u003d x 3 - 3x 2 să ia cea mai mare valoare din această vecinătate în punctul x \u003d 0. De exemplu, pe intervalul (- 1; 1) cea mai mare valoare egală cu 0, funcția ia în punctul x = 0. Punctul x = 0 se numește punctul maxim al acestei funcții.

În mod similar, punctul x \u003d 2 se numește punctul minim al funcției x 3 - 3x 2, deoarece în acest moment valoarea funcției nu este mai mare decât valoarea sa într-un alt punct din vecinătatea punctului x \u003d 2 , de exemplu, cartierul (1,5; 2,5).

Astfel, punctul x 0 se numește punctul maxim al funcției f (x) dacă există o vecinătate a punctului x 0 - astfel încât inegalitatea f (x) ≤ f (x 0) să fie satisfăcută pentru tot x din acest Cartier.

De exemplu, punctul x 0 \u003d 0 este punctul maxim al funcției f (x) \u003d 1 - x 2, deoarece f (0) \u003d 1 și inegalitatea f (x) ≤ 1 este adevărată pentru toate valorile de x.

Punctul minim al funcției f (x) se numește punctul x 0 dacă există o astfel de vecinătate a punctului x 0 încât inegalitatea f (x) ≥ f (x 0) să fie satisfăcută pentru tot x din această vecinătate.

De exemplu, punctul x 0 \u003d 2 este punctul minim al funcției f (x) \u003d 3 + (x - 2) 2, deoarece f (2) \u003d 3 și f (x) ≥ 3 pentru toate x .

Punctele extreme se numesc puncte minime și puncte maxime.

Să ne întoarcem la funcția f(x), care este definită într-o vecinătate a punctului x 0 și are o derivată în acest punct.

Dacă x 0 este un punct extrem al unei funcții diferențiabile f (x), atunci f "(x 0) \u003d 0. Această afirmație se numește teorema lui Fermat.

Teorema lui Fermat are o semnificație geometrică clară: în punctul extremum, tangenta este paralelă cu axa x și, prin urmare, panta ei.
f „(x 0) este zero.

De exemplu, funcția f (x) \u003d 1 - 3x 2 are un maxim în punctul x 0 \u003d 0, derivata sa f "(x) \u003d -2x, f "(0) \u003d 0.

Funcția f (x) \u003d (x - 2) 2 + 3 are un minim în punctul x 0 \u003d 2, f "(x) \u003d 2 (x - 2), f "(2) \u003d 0 .

Rețineți că dacă f "(x 0) \u003d 0, atunci acest lucru nu este suficient pentru a afirma că x 0 este în mod necesar punctul extremum al funcției f (x).

De exemplu, dacă f (x) \u003d x 3, atunci f "(0) \u003d 0. Cu toate acestea, punctul x \u003d 0 nu este un punct extrem, deoarece funcția x 3 crește pe întreaga axă reală.

Deci, punctele extreme ale unei funcții diferențiabile trebuie căutate numai printre rădăcinile ecuației
f "(x) \u003d 0, dar rădăcina acestei ecuații nu este întotdeauna un punct extrem.

Punctele staționare sunt puncte în care derivata unei funcții este egală cu zero.

Astfel, pentru ca punctul x 0 să fie un punct extremum, este necesar ca acesta să fie un punct staționar.

Luați în considerare condiții suficiente pentru ca un punct staționar să fie un punct extremum, de exemplu. condiţiile în care un punct staţionar este un punct minim sau maxim al unei funcţii.

Dacă derivata din stânga punctului staționar este pozitivă, iar la dreapta este negativă, adică. derivata schimbă semnul „+” în semnul „-” atunci când trece prin acest punct, atunci acest punct staționar este punctul maxim.

Într-adevăr, în acest caz, la stânga punctului staționar, funcția crește, iar la dreapta, scade, adică. acest punct este punctul maxim.

Dacă derivata își schimbă semnul „-” în semnul „+” atunci când trece printr-un punct staționar, atunci acest punct staționar este un punct minim.

Dacă derivata nu își schimbă semnul la trecerea printr-un punct staționar, i.e. derivata este pozitivă sau negativă la stânga și la dreapta punctului staționar, atunci acest punct nu este un punct extremum.

Să luăm în considerare una dintre sarcini. Găsiți punctele extreme ale funcției f (x) \u003d x 4 - 4x 3.

Soluţie.

1) Găsiți derivata: f "(x) \u003d 4x 3 - 12x 2 \u003d 4x 2 (x - 3).

2) Găsiți puncte staționare: 4x 2 (x - 3) \u003d 0, x 1 \u003d 0, x 2 \u003d 3.

3) Utilizând metoda intervalului, stabilim că derivata f "(x) \u003d 4x 2 (x - 3) este pozitivă pentru x\u003e 3, negativă pentru x< 0 и при 0 < х < 3.

4) Deoarece la trecerea prin punctul x 1 \u003d 0, semnul derivatei nu se schimbă, acest punct nu este un punct extremum.

5) Derivata schimbă semnul „-” în semnul „+” atunci când trece prin punctul x 2 \u003d 3. Prin urmare, x 2 \u003d 3 este punctul minim.

site-ul, cu copierea integrală sau parțială a materialului, este necesară un link către sursă.

Definitii:

extremum denumește valoarea maximă sau minimă a unei funcții dintr-o mulțime dată.

punct extrem este punctul în care se atinge valoarea maximă sau minimă a funcției.

Punct maxim este punctul în care se atinge valoarea maximă a funcției.

Punct scăzut este punctul în care se atinge valoarea minimă a funcției.

Explicaţie.

În figură, în vecinătatea punctului x = 3, funcția atinge valoarea sa maximă (adică în vecinătatea acestui punct anume nu există un punct superior). În vecinătatea lui x = 8, are din nou o valoare maximă (din nou, să lămurim: în această vecinătate nu există niciun punct mai sus). În aceste puncte, creșterea este înlocuită cu o scădere. Sunt puncte maxime:

xmax = 3, xmax = 8.

În vecinătatea punctului x = 5 se atinge valoarea minimă a funcției (adică în vecinătatea lui x = 5 nu există niciun punct dedesubt). În acest moment, scăderea este înlocuită cu o creștere. Este punctul minim:

Punctele maxime și minime sunt punctele extreme ale funcției, iar valorile funcției în aceste puncte sunt ale acesteia extreme.

Punctele critice și staționare ale funcției:

Condiție necesară pentru un extremum:

Condiție suficientă pentru un extremum:

Pe segment, funcția y = f(X) poate atinge valoarea minimă sau maximă fie în punctele critice , fie la capetele segmentului .

Algoritm pentru studierea unei funcții continuey = f(X) pentru monotonitate și extreme:

Fie definită funcția $z=f(x,y)$ într-o vecinătate a punctului $(x_0,y_0)$. Se spune că $(x_0,y_0)$ este un punct de maxim (local) dacă pentru toate punctele $(x,y)$ dintr-o vecinătate a $(x_0,y_0)$ inegalitatea $f(x,y)< f(x_0,y_0)$. Если же для всех точек этой окрестности выполнено условие $f(x,y)>f(x_0,y_0)$, atunci punctul $(x_0,y_0)$ se numește punct minim (local).

Punctele înalte și scăzute sunt adesea menționate prin termenul generic puncte extremum.

Dacă $(x_0,y_0)$ este un punct maxim, atunci valoarea funcției $f(x_0,y_0)$ în acest punct se numește maximul funcției $z=f(x,y)$. În consecință, valoarea funcției în punctul minim se numește minimul funcției $z=f(x,y)$. Minimele și maximele unei funcții sunt unite printr-un termen comun - extremele unei funcții.

Algoritm pentru studierea funcției $z=f(x,y)$ pentru un extremum

1. Găsiți derivatele parțiale ale lui $\frac(\partial z)(\partial x)$ și $\frac(\partial z)(\partial y)$. Compuneți și rezolvați sistemul de ecuații $ \left \( \begin(aligned) & \frac(\partial z)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial z)(\partial y)=0 .\ end(aligned) \right.$ Punctele ale căror coordonate satisfac sistemul specificat sunt numite staționare.
2. Găsiți $\frac(\partial^2z)(\partial x^2)$, $\frac(\partial^2z)(\partial x\partial y)$, $\frac(\partial^2z)(\partial y^2)$ și calculați valoarea $\Delta=\frac(\partial^2z)(\partial x^2)\cdot \frac(\partial^2z)(\partial y^2)-\left(\ frac (\partial^2z)(\partial x\partial y) \right)^2$ la fiecare punct staționar. După aceea, utilizați următoarea schemă:
   1. Dacă $\Delta > 0$ și $\frac(\partial^2z)(\partial x^2) > 0$ (sau $\frac(\partial^2z)(\partial^2) > 0$), atunci la punctul studiat este punctul minim.
   2. Dacă $\Delta > 0$ și $\frac(\partial^2z)(\partial x^2)< 0$ (или $\frac{\partial^2z}{\partial y^2} < 0$), то в исследуемая точка есть точкой максимума.
   3. Dacă $\Delta< 0$, то в расматриваемой стационарной точке экстремума нет.
   4. Dacă $\Delta = 0$, atunci nu se poate spune nimic cert despre prezența unui extremum; sunt necesare cercetări suplimentare.

Notă (de dorit pentru o mai bună înțelegere a textului): show\hide

Dacă $\Delta > 0$ atunci $\frac(\partial^2z)(\partial x^2)\cdot \frac(\partial^2z)(\partial y^2)-\left(\frac(\ partial ^2z)(\partial x\partial y) \right)^2 > 0$. Și de aici rezultă că $\frac(\partial^2z)(\partial x^2)\cdot \frac(\partial^2z)(\partial y^2) > \left(\frac(\partial^2z) ) (\partial x\partial y) \right)^2 ≥ 0$. Acestea. $\frac(\partial^2z)(\partial x^2)\cdot \frac(\partial^2z)(\partial y^2) > 0$. Dacă produsul unor cantități este mai mare decât zero, atunci aceste cantități au același semn. Adică, de exemplu, dacă $\frac(\partial^2z)(\partial x^2) > 0$, atunci $\frac(\partial^2z)(\partial y^2) > 0$. Pe scurt, dacă $\Delta > 0$, atunci semnele lui $\frac(\partial^2z)(\partial x^2)$ și $\frac(\partial^2z)(\partial^2)$ sunt aceeași.

Exemplul #1

Investigați funcția $z=4x^2-6xy-34x+5y^2+42y+7$ pentru un extremum.

$$ \frac(\partial z)(\partial x)=8x-6y-34; \frac(\partial z)(\partial y)=-6x+10y+42. $$

$$ \left \( \begin(aligned) & 8x-6y-34=0;\\ & -6x+10y+42=0. \end(aligned) \right. $$

Să reducem fiecare ecuație a acestui sistem cu $2$ și să transferăm numerele în partea dreaptă a ecuațiilor:

$$ \left \( \begin(aligned) & 4x-3y=17;\\ & -3x+5y=-21. \end(aligned) \right. $$

Am obținut un sistem de ecuații algebrice liniare. În această situație, mi se pare cea mai convenabilă aplicare a metodei lui Cramer pentru a rezolva sistemul rezultat.

$$ \begin(aligned) & \Delta=\left| \begin(array) (cc) 4 & -3\\ -3 & 5 \end(array)\right|=4\cdot 5-(-3)\cdot (-3)=20-9=11;\ \ & \Delta_x=\left| \begin(array) (cc) 17 & -3\\ -21 & 5 \end(array)\right|=17\cdot 5-(-3)\cdot (-21)=85-63=22;\ \ & \Delta_y=\left| \begin(array) (cc) 4 & 17\\ -3 & -21 \end(array)\right|=4\cdot (-21)-17\cdot (-3)=-84+51=-33 .\end(aliniat) \\ x=\frac(\Delta_(x))(\Delta)=\frac(22)(11)=2; \; y=\frac(\Delta_(y))(\Delta)=\frac(-33)(11)=-3. $$

Valorile $x=2$, $y=-3$ sunt coordonatele punctului staționar $(2;-3)$.

$$ \frac(\partial^2 z)(\partial x^2)=8; \frac(\partial^2 z)(\partial y^2)=10; \frac(\partial^2 z)(\partial x \partial y)=-6. $$

Să calculăm valoarea lui $\Delta$:

$$ \Delta=\frac(\partial^2z)(\partial x^2)\cdot \frac(\partial^2z)(\partial y^2)-\left(\frac(\partial^2z)( \partial x\partial y) \right)^2= 8\cdot 10-(-6)^2=80-36=44. $$

Deoarece $\Delta > 0$ și $\frac(\partial^2 z)(\partial x^2) > 0$, atunci conform punctului $(2;-3)$ este punctul minim al funcției $ z$. Găsim minimul funcției $z$ înlocuind coordonatele punctului $(2;-3)$ în funcția dată:

$$ z_(min)=z(2;-3)=4\cdot 2^2-6\cdot 2 \cdot (-3)-34\cdot 2+5\cdot (-3)^2+42\ cdot(-3)+7=-90. $$

Răspuns: $(2;-3)$ - punct minim; $z_(min)=-90$.

Exemplul #2

Investigați funcția $z=x^3+3xy^2-15x-12y+1$ pentru un extrem.

Vom urma cele de mai sus. Mai întâi, să găsim derivatele parțiale de ordinul întâi:

$$ \frac(\partial z)(\partial x)=3x^2+3y^2-15; \frac(\partial z)(\partial y)=6xy-12. $$

Compuneți sistemul de ecuații $ \left \( \begin(aligned) & \frac(\partial z)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial z)(\partial y)=0. \ sfârșit (aliniat)\right.$:

$$ \left \( \begin(aligned) & 3x^2+3y^2-15=0;\\ & 6xy-12=0. \end(aligned) \right. $$

Reduceți prima ecuație cu 3 și a doua cu 6.

$$ \left \( \begin(aligned) & x^2+y^2-5=0;\\ & xy-2=0. \end(aligned) \right. $$

Dacă $x=0$, atunci a doua ecuație ne va conduce la o contradicție: $0\cdot y-2=0$, $-2=0$. De aici concluzia: $x\neq 0$. Atunci din a doua ecuație avem: $xy=2$, $y=\frac(2)(x)$. Înlocuind $y=\frac(2)(x)$ în prima ecuație, avem:

$$ x^2+\left(\frac(2)(x) \right)^2-5=0;\\ x^2+\frac(4)(x^2)-5=0;\\ x^4-5x^2+4=0. $$

Avem o ecuație biquadratică. Facem substituția $t=x^2$ (reținem că $t > 0$):

$$ t^2-5t+4=0;\\ \begin(aligned) & D=(-5)^2-4\cdot 1 \cdot 4=9;\\ & t_1=\frac(-(- 5)-\sqrt(9))(2)=\frac(5-3)(2)=1;\\ & t_2=\frac(-(-5)+\sqrt(9))(2)= \frac(5+3)(2)=4.\end(aligned) $$

Dacă $t=1$, atunci $x^2=1$. Prin urmare, avem două valori ale lui $x$: $x_1=1$, $x_2=-1$. Dacă $t=4$, atunci $x^2=4$, adică. $x_3=2$, $x_4=-2$. Reținând că $y=\frac(2)(x)$, obținem:

\begin(aligned) & y_1=\frac(2)(x_1)=\frac(2)(1)=2;\\ & y_2=\frac(2)(x_2)=\frac(2)(-1 )=-2;\\ & y_3=\frac(2)(x_3)=\frac(2)(2)=1;\\ & y_4=\frac(2)(x_4)=\frac(2)( -2)=-1. \end(aliniat)

Deci, avem patru puncte staționare: $M_1(1;2)$, $M_2(-1;-2)$, $M_3(2;1)$, $M_4(-2;-1)$. Aceasta completează primul pas al algoritmului.

Acum să trecem la algoritm. Să găsim derivate parțiale de ordinul doi:

$$ \frac(\partial^2 z)(\partial x^2)=6x; \frac(\partial^2 z)(\partial y^2)=6x; \frac(\partial^2 z)(\partial x \partial y)=6y. $$

Găsiți $\Delta$:

$$ \Delta=\frac(\partial^2z)(\partial x^2)\cdot \frac(\partial^2z)(\partial y^2)-\left(\frac(\partial^2z)( \partial x\partial y) \right)^2= 6x\cdot 6x-(6y)^2=36x^2-36y^2=36(x^2-y^2). $$

Acum vom calcula valoarea $\Delta$ la fiecare dintre punctele staționare găsite anterior. Să începem de la punctul $M_1(1;2)$. În acest moment avem: $\Delta(M_1)=36(1^2-2^2)=-108$. Din moment ce $\Delta(M_1)< 0$, то согласно в точке $M_1$ экстремума нет.

Să explorăm punctul $M_2(-1;-2)$. În acest moment avem: $\Delta(M_2)=36((-1)^2-(-2)^2)=-108$. Din moment ce $\Delta(M_2)< 0$, то согласно в точке $M_2$ экстремума нет.

Să examinăm punctul $M_3(2;1)$. În acest moment obținem:

$$ \Delta(M_3)=36(2^2-1^2)=108;\;\; \left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_3)=6\cdot 2=12. $$

Deoarece $\Delta(M_3) > 0$ și $\left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_3) > 0$, atunci conform $M_3(2; 1)$ este punctul minim al funcției $z$. Găsim minimul funcției $z$ înlocuind coordonatele punctului $M_3$ în funcția dată:

$$ z_(min)=z(2;1)=2^3+3\cdot 2\cdot 1^2-15\cdot 2-12\cdot 1+1=-27. $$

Rămâne de explorat punctul $M_4(-2;-1)$. În acest moment obținem:

$$ \Delta(M_4)=36((-2)^2-(-1)^2)=108;\;\; \left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_4)=6\cdot (-2)=-12. $$

Deoarece $\Delta(M_4) > 0$ și $\left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_4)< 0$, то согласно $M_4(-2;-1)$ есть точкой максимума функции $z$. Максимум функции $z$ найдём, подставив в заданную функцию координаты точки $M_4$:

$$ z_(max)=z(-2;-1)=(-2)^3+3\cdot (-2)\cdot (-1)^2-15\cdot (-2)-12\cdot (-1)+1=29. $$

Studiul extremum este finalizat. Rămâne doar să scrieți răspunsul.

Răspuns:

• $(2;1)$ - punct minim, $z_(min)=-27$;
• $(-2;-1)$ - punct maxim, $z_(max)=29$.

Notă

În cazul general, nu este nevoie să calculăm valoarea lui $\Delta$, deoarece ne interesează doar semnul, și nu valoarea specifică a acestui parametru. De exemplu, pentru exemplul nr. 2 considerat mai sus, în punctul $M_3(2;1)$ avem $\Delta=36\cdot(2^2-1^2)$. Aici este evident că $\Delta > 0$ (deoarece ambii factori $36$ și $(2^2-1^2)$ sunt pozitivi) și este posibil să nu găsiți o anumită valoare a $\Delta$. Adevărat, această remarcă este inutilă pentru calculele tipice - necesită să aducă calculele la un număr :)

Exemplul #3

Investigați funcția $z=x^4+y^4-2x^2+4xy-2y^2+3$ pentru un extremum.

Vom urma. Mai întâi, să găsim derivatele parțiale de ordinul întâi:

$$ \frac(\partial z)(\partial x)=4x^3-4x+4y; \frac(\partial z)(\partial y)=4y^3+4x-4y. $$

Compuneți sistemul de ecuații $ \left \( \begin(aligned) & \frac(\partial z)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial z)(\partial y)=0. \ sfârșit (aliniat)\right.$:

$$ \left \( \begin(aligned) & 4x^3-4x+4y=0;\\ & 4y^3+4x-4y=0. \end(aligned) \right. $$

Să reducem ambele ecuații cu $4$:

$$ \left \( \begin(aligned) & x^3-x+y=0;\\ & y^3+x-y=0. \end(aligned) \right. $$

Să adăugăm prima ecuație la a doua și să exprimăm $y$ în termeni de $x$:

$$ y^3+x-y+(x^3-x+y)=0;\\ y^3+x^3=0; y^3=-x^3; y=-x. $$

Înlocuind $y=-x$ în prima ecuație a sistemului, vom avea:

$$ x^3-x-x=0;\\ x^3-2x=0;\\ x(x^2-2)=0. $$

Din ecuația rezultată avem: $x=0$ sau $x^2-2=0$. Din ecuația $x^2-2=0$ rezultă că $x=-\sqrt(2)$ sau $x=\sqrt(2)$. Deci, se găsesc trei valori ale lui $x$ și anume: $x_1=0$, $x_2=-\sqrt(2)$, $x_3=\sqrt(2)$. Deoarece $y=-x$, atunci $y_1=-x_1=0$, $y_2=-x_2=\sqrt(2)$, $y_3=-x_3=-\sqrt(2)$.

Primul pas al soluției s-a încheiat. Avem trei puncte staționare: $M_1(0;0)$, $M_2(-\sqrt(2),\sqrt(2))$, $M_3(\sqrt(2),-\sqrt(2))$ .

Acum să trecem la algoritm. Să găsim derivate parțiale de ordinul doi:

$$ \frac(\partial^2 z)(\partial x^2)=12x^2-4; \frac(\partial^2 z)(\partial y^2)=12y^2-4; \frac(\partial^2 z)(\partial x \partial y)=4. $$

Găsiți $\Delta$:

$$ \Delta=\frac(\partial^2z)(\partial x^2)\cdot \frac(\partial^2z)(\partial y^2)-\left(\frac(\partial^2z)( \partial x\partial y) \right)^2= (12x^2-4)(12y^2-4)-4^2=\\ =4(3x^2-1)\cdot 4(3y^2 -1)-16=16(3x^2-1)(3y^2-1)-16=16\cdot((3x^2-1)(3y^2-1)-1). $$

Acum vom calcula valoarea $\Delta$ la fiecare dintre punctele staționare găsite anterior. Să începem de la punctul $M_1(0;0)$. În acest moment avem: $\Delta(M_1)=16\cdot((3\cdot 0^2-1)(3\cdot 0^2-1)-1)=16\cdot 0=0$. Deoarece $\Delta(M_1) = 0$, sunt necesare cercetări suplimentare, deoarece nu se poate spune nimic cert despre prezența unui extremum în punctul considerat. Să lăsăm acest punct în pace pentru moment și să trecem la alte puncte.

Să examinăm punctul $M_2(-\sqrt(2),\sqrt(2))$. În acest moment obținem:

\begin(aligned) & \Delta(M_2)=16\cdot((3\cdot (-\sqrt(2))^2-1)(3\cdot (\sqrt(2))^2-1)- 1)=16\cdot 24=384;\\ & \left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_2)=12\cdot (-\sqrt(2) )^2-4=24-4=20. \end(aliniat)

Deoarece $\Delta(M_2) > 0$ și $\left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_2) > 0$, atunci conform $M_2(-\ sqrt(2),\sqrt(2))$ este punctul minim al funcției $z$. Găsim minimul funcției $z$ înlocuind coordonatele punctului $M_2$ în funcția dată:

$$ z_(min)=z(-\sqrt(2),\sqrt(2))=(-\sqrt(2))^4+(\sqrt(2))^4-2(-\sqrt( 2))^2+4\cdot (-\sqrt(2))\sqrt(2)-2(\sqrt(2))^2+3=-5. $$

Similar punctului anterior, examinăm punctul $M_3(\sqrt(2),-\sqrt(2))$. În acest moment obținem:

\begin(aligned) & \Delta(M_3)=16\cdot((3\cdot (\sqrt(2))^2-1)(3\cdot (-\sqrt(2))^2-1)- 1)=16\cdot 24=384;\\ & \left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_3)=12\cdot (\sqrt(2)) ^2-4=24-4=20. \end(aliniat)

Deoarece $\Delta(M_3) > 0$ și $\left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_3) > 0$, atunci conform $M_3(\sqrt (2),-\sqrt(2))$ este punctul minim al funcției $z$. Găsim minimul funcției $z$ înlocuind coordonatele punctului $M_3$ în funcția dată:

$$ z_(min)=z(\sqrt(2),-\sqrt(2))=(\sqrt(2))^4+(-\sqrt(2))^4-2(\sqrt(2) ))^2+4\cdot \sqrt(2)(-\sqrt(2))-2(-\sqrt(2))^2+3=-5. $$

Este timpul să revenim la punctul $M_1(0;0)$, unde $\Delta(M_1) = 0$. Sunt necesare cercetări suplimentare. Această expresie evazivă înseamnă „fă ce vrei” :). Nu există o modalitate generală de a rezolva astfel de situații - și acest lucru este de înțeles. Dacă ar exista o astfel de metodă, atunci ar fi intrat în toate manualele cu mult timp în urmă. Între timp, trebuie să căutăm o abordare specială pentru fiecare punct în care $\Delta = 0$. Ei bine, să investigăm comportamentul funcției în vecinătatea punctului $M_1(0;0)$. Observăm imediat că $z(M_1)=z(0;0)=3$. Să presupunem că $M_1(0;0)$ este un punct minim. Atunci pentru orice punct $M$ dintr-o vecinătate a punctului $M_1(0;0)$ obținem $z(M) > z(M_1) $, adică. $z(M) > 3$. Ce se întâmplă dacă orice vecinătate conține puncte în care $z(M)< 3$? Тогда в точке $M_1$ уж точно не будет минимума.

Luați în considerare punctele pentru care $y=0$, adică. puncte de forma $(x,0)$. În aceste puncte, funcția $z$ va lua următoarele valori:

$$ z(x,0)=x^4+0^4-2x^2+4x\cdot 0-2\cdot 0^2+3=x^4-2x^2+3=x^2(x ^2-2)+3. $$

În toate cartierele suficient de mici $M_1(0;0)$ avem $x^2-2< 0$, посему $x^2(x^2-2) < 0$, откуда следует $x^2(x^2-2)+3 < 3$. Вывод: любая окрестность точки $M_1(0;0)$ содержит точки, в которых $z < 3$, посему точка $M_1(0;0)$ не может быть точкой минимума.

Dar poate punctul $M_1(0;0)$ este un punct maxim? Dacă este așa, atunci pentru orice punct $M$ dintr-o vecinătate a punctului $M_1(0;0)$ obținem $z(M)< z(M_1) $, т.е. $z(M) < 3$. А вдруг любая окрестность содержит точки, в которых $z(M) >3$? Atunci cu siguranță nu va exista un maxim în punctul $M_1$.

Luați în considerare punctele pentru care $y=x$, adică. puncte de forma $(x,x)$. În aceste puncte, funcția $z$ va lua următoarele valori:

$$ z(x,x)=x^4+x^4-2x^2+4x\cdot x-2\cdot x^2+3=2x^4+3. $$

Deoarece în orice vecinătate a punctului $M_1(0;0)$ avem $2x^4 > 0$, atunci $2x^4+3 > 3$. Concluzie: orice vecinătate a punctului $M_1(0;0)$ conține puncte unde $z > 3$, deci punctul $M_1(0;0)$ nu poate fi un punct maxim.

Punctul $M_1(0;0)$ nu este nici maxim, nici minim. Concluzie: $M_1$ nu este deloc un punct extrem.

Răspuns: $(-\sqrt(2),\sqrt(2))$, $(\sqrt(2),-\sqrt(2))$ - puncte minime ale funcției $z$. În ambele puncte $z_(min)=-5$.