Logaritmul numărului b la baza a este exponentul la care trebuie să ridicați numărul a pentru a obține numărul b.

Daca atunci .

Logaritmul este extrem de mărime matematică importantă, întrucât calculul logaritmic permite nu numai rezolvarea ecuațiilor exponențiale, ci și operarea cu exponenți, diferențierea funcțiilor exponențiale și logaritmice, integrarea acestora și aducerea lor la o formă mai acceptabilă pentru a fi calculate.

In contact cu

Toate proprietățile logaritmilor sunt direct legate de proprietățile funcțiilor exponențiale. De exemplu, faptul că înseamnă că:

Trebuie remarcat faptul că atunci când se rezolvă probleme specifice, proprietățile logaritmilor pot fi mai importante și mai utile decât regulile de lucru cu puteri.

Iată câteva identități:

Iată principalele expresii algebrice:

;

.

Atenţie! poate exista doar pentru x>0, x≠1, y>0.

Să încercăm să înțelegem întrebarea ce sunt logaritmii naturali. Interes separat pentru matematică reprezintă două tipuri- primul are la bază numărul „10” și se numește „logaritm zecimal”. Al doilea se numește natural. Baza logaritmului natural este numărul e. Despre el vom vorbi în detaliu în acest articol.

Denumiri:

• lg x - zecimală;
• ln x - natural.

Folosind identitatea, putem vedea că ln e = 1, precum și că lg 10=1.

grafic log natural

Construim un grafic al logaritmului natural în modul clasic standard prin puncte. Dacă doriți, puteți verifica dacă construim corect o funcție examinând funcția. Cu toate acestea, are sens să înveți cum să-l construiești „manual” pentru a ști cum să calculezi corect logaritmul.

Funcția: y = log x. Să scriem un tabel de puncte prin care va trece graficul:

Să explicăm de ce am ales astfel de valori ale argumentului x. Totul tine de identitate: Pentru un logaritm natural, această identitate va arăta astfel:

Pentru comoditate, putem lua cinci puncte de referință:

;

;

.

;

.

Astfel, numărarea logaritmilor naturali este o sarcină destul de simplă, în plus, simplifică calculul operațiilor cu puteri, transformându-le în inmultire normala.

După ce am construit un grafic pe puncte, obținem un grafic aproximativ:

Domeniul logaritmului natural (adică toate valorile valide ale argumentului X) sunt toate numerele mai mari decât zero.

Atenţie! Domeniul logaritmului natural include doar numere pozitive! Domeniul de aplicare nu include x=0. Acest lucru este imposibil pe baza condițiilor de existență a logaritmului.

Gama de valori (adică toate valorile valide ale funcției y = ln x) sunt toate numerele din intervalul .

limita logului natural

Studiind graficul, apare întrebarea - cum se comportă funcția când y<0.

În mod evident, graficul funcției tinde să traverseze axa y, dar nu va putea face acest lucru, deoarece logaritmul natural al lui x<0 не существует.

Limită naturală Buturuga se poate scrie asa:

Formula pentru schimbarea bazei unui logaritm

A face față unui logaritm natural este mult mai ușor decât a face față unui logaritm care are o bază arbitrară. De aceea vom încerca să învățăm cum să reducem orice logaritm la unul natural sau să-l exprimăm într-o bază arbitrară prin logaritmi naturali.

Să începem cu identitatea logaritmică:

Atunci orice număr sau variabilă y poate fi reprezentată ca:

unde x este orice număr (pozitiv conform proprietăților logaritmului).

Această expresie poate fi logaritmizată pe ambele părți. Să facem asta cu o bază arbitrară z:

Să folosim proprietatea (doar în loc de „cu” avem o expresie):

De aici obținem formula universală:

.

În special, dacă z=e, atunci:

.

Am reușit să reprezentăm logaritmul la o bază arbitrară prin raportul a doi logaritmi naturali.

Rezolvăm probleme

Pentru a naviga mai bine în logaritmi naturali, luați în considerare exemple de mai multe probleme.

Sarcina 1. Este necesar să se rezolve ecuația ln x = 3.

Soluţie: Folosind definiția logaritmului: dacă , atunci , obținem:

Sarcina 2. Rezolvați ecuația (5 + 3 * ln (x - 3)) = 3.

Soluție: Utilizând definiția logaritmului: dacă , atunci , obținem:

.

Încă o dată, aplicăm definiția logaritmului:

.

În acest fel:

.

Puteți calcula răspunsul aproximativ, sau îl puteți lăsa în acest formular.

Sarcina 3. Rezolvați ecuația.

Soluţie: Să facem o înlocuire: t = ln x. Atunci ecuația va lua următoarea formă:

.

Avem o ecuație pătratică. Să-i găsim discriminantul:

Prima rădăcină a ecuației:

.

A doua rădăcină a ecuației:

.

Reținând că am făcut substituția t = ln x, obținem:

În statistică și teoria probabilității, mărimile logaritmice sunt foarte frecvente. Acest lucru nu este surprinzător, deoarece numărul e - reflectă adesea rata de creștere a valorilor exponențiale.

În informatică, programare și teoria calculatoarelor, logaritmii sunt destul de comune, de exemplu, pentru a stoca N biți în memorie.

În teoriile fractalilor și dimensiunilor, logaritmii sunt utilizați în mod constant, deoarece dimensiunile fractalilor sunt determinate numai cu ajutorul lor.

În mecanică și fizică nu există nicio secțiune în care să nu fie folosiți logaritmii. Distribuția barometrică, toate principiile termodinamicii statistice, ecuația Tsiolkovsky și așa mai departe sunt procese care pot fi descrise numai matematic folosind logaritmi.

În chimie, logaritmul este folosit în ecuațiile Nernst, descrieri ale proceselor redox.

În mod uimitor, chiar și în muzică, pentru a afla numărul de părți ale unei octave, se folosesc logaritmi.

Logaritmul natural Funcția y=ln x proprietățile sale

Dovada proprietății principale a logaritmului natural

proprietăți de bază.

1. logax + logay = log(x y);
2. logax − logay = log(x: y).

aceleași temeiuri

log6 4 + log6 9.

Acum să complicăm puțin sarcina.

Exemple de rezolvare a logaritmilor

Ce se întâmplă dacă există un grad în baza sau argumentul logaritmului? Apoi, exponentul acestui grad poate fi scos din semnul logaritmului conform următoarelor reguli:

Desigur, toate aceste reguli au sens dacă se respectă logaritmul ODZ: a > 0, a ≠ 1, x >

O sarcină. Aflați valoarea expresiei:

Trecerea la o nouă fundație

Să fie dat logaritmul logax. Atunci pentru orice număr c astfel încât c > 0 și c ≠ 1, egalitatea este adevărată:

O sarcină. Aflați valoarea expresiei:

Vezi si:

Proprietățile de bază ale logaritmului

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Exponentul este 2,718281828... Pentru a vă aminti exponentul, puteți studia regula: exponentul este 2,7 și de două ori anul nașterii lui Lev Tolstoi.

Proprietățile de bază ale logaritmilor

Cunoscând această regulă, veți ști atât valoarea exactă a exponentului, cât și data nașterii lui Lev Tolstoi.

Exemple pentru logaritmi

Luați logaritmul expresiilor

Exemplul 1
A). x=10ac^2 (a>0, c>0).

După proprietățile 3,5 calculăm

2.

3.

4. Unde .

Exemplul 2 Găsiți x dacă

Exemplul 3. Să fie dată valoarea logaritmilor

Calculați log(x) dacă

Proprietățile de bază ale logaritmilor

Logaritmii, ca orice număr, pot fi adunați, scăzuți și convertiți în orice mod posibil. Dar, deoarece logaritmii nu sunt numere obișnuite, aici există reguli care sunt numite proprietăți de bază.

Aceste reguli trebuie cunoscute - nicio problemă logaritmică serioasă nu poate fi rezolvată fără ele. În plus, sunt foarte puține dintre ele - totul poate fi învățat într-o singură zi. Deci sa începem.

Adunarea și scăderea logaritmilor

Luați în considerare doi logaritmi cu aceeași bază: logax și logay. Apoi pot fi adăugate și scăzute și:

1. logax + logay = log(x y);
2. logax − logay = log(x: y).

Deci, suma logaritmilor este egală cu logaritmul produsului, iar diferența este logaritmul coeficientului. Vă rugăm să rețineți: punctul cheie aici este - aceleași temeiuri. Dacă bazele sunt diferite, aceste reguli nu funcționează!

Aceste formule vor ajuta la calcularea expresiei logaritmice chiar și atunci când părțile sale individuale nu sunt luate în considerare (vezi lecția „Ce este un logaritm”). Aruncă o privire la exemple și vezi:

Deoarece bazele logaritmilor sunt aceleași, folosim formula sumei:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

O sarcină. Aflați valoarea expresiei: log2 48 − log2 3.

Bazele sunt aceleași, folosim formula diferenței:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

O sarcină. Aflați valoarea expresiei: log3 135 − log3 5.

Din nou, bazele sunt aceleași, deci avem:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

După cum puteți vedea, expresiile originale sunt formate din logaritmi „răi”, care nu sunt considerați separat. Dar după transformări apar numere destul de normale. Multe teste se bazează pe acest fapt. Da, control - expresii similare cu toată seriozitatea (uneori - practic fără modificări) sunt oferite la examen.

Eliminarea exponentului din logaritm

Este ușor de observat că ultima regulă le urmează pe primele două. Dar este mai bine să-l amintiți oricum - în unele cazuri va reduce semnificativ cantitatea de calcule.

Desigur, toate aceste reguli au sens dacă se respectă logaritmul ODZ: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Și încă ceva: învață să aplici toate formulele nu numai de la stânga la dreapta, ci și invers, adică. puteți introduce numerele dinaintea semnului logaritmului în logaritmul însuși. Acesta este ceea ce se cere cel mai adesea.

O sarcină. Aflați valoarea expresiei: log7 496.

Să scăpăm de gradul din argument conform primei formule:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

O sarcină. Aflați valoarea expresiei:

Rețineți că numitorul este un logaritm a cărui bază și argument sunt puteri exacte: 16 = 24; 49 = 72. Avem:

Cred că ultimul exemplu trebuie clarificat. Unde s-au dus logaritmii? Până în ultimul moment, lucrăm doar cu numitorul.

Formule de logaritmi. Logaritmii sunt exemple de soluții.

Ei au prezentat baza și argumentul logaritmului aflat acolo sub formă de grade și au scos indicatorii - au obținut o fracțiune „cu trei etaje”.

Acum să ne uităm la fracția principală. Numărătorul și numitorul au același număr: log2 7. Deoarece log2 7 ≠ 0, putem reduce fracția - 2/4 va rămâne în numitor. Conform regulilor de aritmetică, cele patru pot fi transferate la numărător, ceea ce a fost făcut. Rezultatul este răspunsul: 2.

Trecerea la o nouă fundație

Vorbind despre regulile de adunare și scădere a logaritmilor, am subliniat în mod special că funcționează doar cu aceleași baze. Dacă bazele sunt diferite? Ce se întâmplă dacă nu sunt puteri exacte de același număr?

Formulele pentru tranziția către o nouă bază vin în ajutor. Le formulăm sub forma unei teoreme:

Să fie dat logaritmul logax. Atunci pentru orice număr c astfel încât c > 0 și c ≠ 1, egalitatea este adevărată:

În special, dacă punem c = x, obținem:

Din a doua formulă rezultă că este posibil să se schimbe baza și argumentul logaritmului, dar în acest caz întreaga expresie este „întoarsă”, i.e. logaritmul este la numitor.

Aceste formule se găsesc rar în expresiile numerice obișnuite. Este posibil să se evalueze cât de convenabile sunt acestea numai atunci când se rezolvă ecuații și inegalități logaritmice.

Cu toate acestea, există sarcini care nu pot fi rezolvate deloc decât prin trecerea la o nouă fundație. Să luăm în considerare câteva dintre acestea:

O sarcină. Aflați valoarea expresiei: log5 16 log2 25.

Rețineți că argumentele ambilor logaritmi sunt exponenți exacti. Să scoatem indicatorii: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Acum să inversăm al doilea logaritm:

Deoarece produsul nu se schimbă din permutarea factorilor, am înmulțit cu calm patru și doi, apoi am dat seama de logaritmi.

O sarcină. Aflați valoarea expresiei: log9 100 lg 3.

Baza și argumentul primului logaritm sunt puteri exacte. Să-l notăm și să scăpăm de indicatorii:

Acum să scăpăm de logaritmul zecimal trecând la o nouă bază:

Identitatea logaritmică de bază

Adesea, în procesul de rezolvare, este necesar să se reprezinte un număr ca logaritm la o bază dată. În acest caz, formulele ne vor ajuta:

În primul caz, numărul n devine exponent în argument. Numărul n poate fi absolut orice, pentru că este doar valoarea logaritmului.

A doua formulă este de fapt o definiție parafrazată. Se numeste asa:

Într-adevăr, ce se va întâmpla dacă numărul b este ridicat în așa măsură încât numărul b în acest grad să dea numărul a? Așa este: acesta este același număr a. Citiți din nou acest paragraf cu atenție - mulți oameni „atârnă” de el.

La fel ca noile formule de conversie de bază, identitatea logaritmică de bază este uneori singura soluție posibilă.

O sarcină. Aflați valoarea expresiei:

Rețineți că log25 64 = log5 8 - tocmai a scos pătratul de la bază și argumentul logaritmului. Având în vedere regulile de înmulțire a puterilor cu aceeași bază, obținem:

Dacă cineva nu știe, aceasta a fost o sarcină reală din cadrul examenului unificat de stat 🙂

Unitate logaritmică și zero logaritmic

În concluzie, voi da două identități care sunt greu de numit proprietăți - mai degrabă, acestea sunt consecințe din definiția logaritmului. Se găsesc constant în probleme și, în mod surprinzător, creează probleme chiar și elevilor „avansați”.

1. logaa = 1 este. Amintiți-vă odată pentru totdeauna: logaritmul oricărei baze a din acea bază în sine este egal cu unu.
2. loga 1 = 0 este. Baza a poate fi orice, dar dacă argumentul este unul, logaritmul este zero! Deoarece a0 = 1 este o consecință directă a definiției.

Acestea sunt toate proprietățile. Asigurați-vă că exersați punerea lor în practică! Descărcați fișa cheat sheet la începutul lecției, imprimați-o și rezolvați problemele.

Vezi si:

Logaritmul numărului b la baza a denotă expresia. A calcula logaritmul înseamnă a găsi o astfel de putere x () la care egalitatea este adevărată

Proprietățile de bază ale logaritmului

Proprietățile de mai sus trebuie cunoscute, deoarece, pe baza lor, aproape toate problemele și exemplele sunt rezolvate pe baza logaritmilor. Proprietățile exotice rămase pot fi derivate prin manipulări matematice cu aceste formule

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

La calcularea formulelor pentru suma și diferența de logaritmi (3.4) sunt întâlnite destul de des. Restul sunt oarecum complexe, dar într-o serie de sarcini sunt indispensabile pentru simplificarea expresiilor complexe și calcularea valorilor acestora.

Cazuri comune de logaritmi

Unii dintre logaritmii obișnuiți sunt cei în care baza este chiar zece, exponențială sau două.
Logaritmul de bază zece este de obicei numit logaritm de bază zece și se notează simplu lg(x).

Din înregistrare se poate observa că elementele de bază nu sunt scrise în înregistrare. De exemplu

Logaritmul natural este logaritmul a cărui bază este exponentul (notat ln(x)).

Exponentul este 2,718281828... Pentru a vă aminti exponentul, puteți studia regula: exponentul este 2,7 și de două ori anul nașterii lui Lev Tolstoi. Cunoscând această regulă, veți ști atât valoarea exactă a exponentului, cât și data nașterii lui Lev Tolstoi.

Și un alt logaritm important de bază doi este

Derivata logaritmului funcției este egală cu una împărțită la variabilă

Logaritmul integral sau antiderivat este determinat de dependență

Materialul de mai sus este suficient pentru a rezolva o clasă largă de probleme legate de logaritmi și logaritmi. Pentru a asimila materialul, voi da doar câteva exemple comune din programa școlară și universități.

Exemple pentru logaritmi

Luați logaritmul expresiilor

Exemplul 1
A). x=10ac^2 (a>0, c>0).

După proprietățile 3,5 calculăm

2.
Prin proprietatea de diferență a logaritmilor, avem

3.
Folosind proprietățile 3.5 găsim

4. Unde .

O expresie aparent complexă folosind o serie de reguli este simplificată la formă

Găsirea valorilor logaritmului

Exemplul 2 Găsiți x dacă

Soluţie. Pentru calcul, aplicăm proprietățile 5 și 13 până la ultimul termen

Înlocuiește în evidență și plânge

Deoarece bazele sunt egale, echivalăm expresiile

Logaritmi. Primul nivel.

Să fie dată valoarea logaritmilor

Calculați log(x) dacă

Soluție: Luați logaritmul variabilei pentru a scrie logaritmul prin suma termenilor

Acesta este doar începutul cunoașterii logaritmilor și proprietăților lor. Exersați calculele, îmbogățiți-vă abilitățile practice - veți avea nevoie în curând de cunoștințele dobândite pentru a rezolva ecuații logaritmice. După ce am studiat metodele de bază pentru rezolvarea unor astfel de ecuații, vă vom extinde cunoștințele pentru un alt subiect la fel de important - inegalitățile logaritmice ...

Proprietățile de bază ale logaritmilor

Logaritmii, ca orice număr, pot fi adunați, scăzuți și convertiți în orice mod posibil. Dar, deoarece logaritmii nu sunt numere obișnuite, aici există reguli care sunt numite proprietăți de bază.

Aceste reguli trebuie cunoscute - nicio problemă logaritmică serioasă nu poate fi rezolvată fără ele. În plus, sunt foarte puține dintre ele - totul poate fi învățat într-o singură zi. Deci sa începem.

Adunarea și scăderea logaritmilor

Luați în considerare doi logaritmi cu aceeași bază: logax și logay. Apoi pot fi adăugate și scăzute și:

1. logax + logay = log(x y);
2. logax − logay = log(x: y).

Deci, suma logaritmilor este egală cu logaritmul produsului, iar diferența este logaritmul coeficientului. Vă rugăm să rețineți: punctul cheie aici este - aceleași temeiuri. Dacă bazele sunt diferite, aceste reguli nu funcționează!

Aceste formule vor ajuta la calcularea expresiei logaritmice chiar și atunci când părțile sale individuale nu sunt luate în considerare (vezi lecția „Ce este un logaritm”). Aruncă o privire la exemple și vezi:

O sarcină. Aflați valoarea expresiei: log6 4 + log6 9.

Deoarece bazele logaritmilor sunt aceleași, folosim formula sumei:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

O sarcină. Aflați valoarea expresiei: log2 48 − log2 3.

Bazele sunt aceleași, folosim formula diferenței:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

O sarcină. Aflați valoarea expresiei: log3 135 − log3 5.

Din nou, bazele sunt aceleași, deci avem:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

După cum puteți vedea, expresiile originale sunt formate din logaritmi „răi”, care nu sunt considerați separat. Dar după transformări apar numere destul de normale. Multe teste se bazează pe acest fapt. Da, control - expresii similare cu toată seriozitatea (uneori - practic fără modificări) sunt oferite la examen.

Eliminarea exponentului din logaritm

Acum să complicăm puțin sarcina. Ce se întâmplă dacă există un grad în baza sau argumentul logaritmului? Apoi, exponentul acestui grad poate fi scos din semnul logaritmului conform următoarelor reguli:

Este ușor de observat că ultima regulă le urmează pe primele două. Dar este mai bine să-l amintiți oricum - în unele cazuri va reduce semnificativ cantitatea de calcule.

Desigur, toate aceste reguli au sens dacă se respectă logaritmul ODZ: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Și încă ceva: învață să aplici toate formulele nu numai de la stânga la dreapta, ci și invers, adică. puteți introduce numerele dinaintea semnului logaritmului în logaritmul însuși.

Cum se rezolvă logaritmii

Acesta este ceea ce se cere cel mai adesea.

O sarcină. Aflați valoarea expresiei: log7 496.

Să scăpăm de gradul din argument conform primei formule:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

O sarcină. Aflați valoarea expresiei:

Rețineți că numitorul este un logaritm a cărui bază și argument sunt puteri exacte: 16 = 24; 49 = 72. Avem:

Cred că ultimul exemplu trebuie clarificat. Unde s-au dus logaritmii? Până în ultimul moment, lucrăm doar cu numitorul. Ei au prezentat baza și argumentul logaritmului aflat acolo sub formă de grade și au scos indicatorii - au obținut o fracțiune „cu trei etaje”.

Acum să ne uităm la fracția principală. Numărătorul și numitorul au același număr: log2 7. Deoarece log2 7 ≠ 0, putem reduce fracția - 2/4 va rămâne în numitor. Conform regulilor de aritmetică, cele patru pot fi transferate la numărător, ceea ce a fost făcut. Rezultatul este răspunsul: 2.

Trecerea la o nouă fundație

Vorbind despre regulile de adunare și scădere a logaritmilor, am subliniat în mod special că funcționează doar cu aceleași baze. Dacă bazele sunt diferite? Ce se întâmplă dacă nu sunt puteri exacte de același număr?

Formulele pentru tranziția către o nouă bază vin în ajutor. Le formulăm sub forma unei teoreme:

Să fie dat logaritmul logax. Atunci pentru orice număr c astfel încât c > 0 și c ≠ 1, egalitatea este adevărată:

În special, dacă punem c = x, obținem:

Din a doua formulă rezultă că este posibil să se schimbe baza și argumentul logaritmului, dar în acest caz întreaga expresie este „întoarsă”, i.e. logaritmul este la numitor.

Aceste formule se găsesc rar în expresiile numerice obișnuite. Este posibil să se evalueze cât de convenabile sunt acestea numai atunci când se rezolvă ecuații și inegalități logaritmice.

Cu toate acestea, există sarcini care nu pot fi rezolvate deloc decât prin trecerea la o nouă fundație. Să luăm în considerare câteva dintre acestea:

O sarcină. Aflați valoarea expresiei: log5 16 log2 25.

Rețineți că argumentele ambilor logaritmi sunt exponenți exacti. Să scoatem indicatorii: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Acum să inversăm al doilea logaritm:

Deoarece produsul nu se schimbă din permutarea factorilor, am înmulțit cu calm patru și doi, apoi am dat seama de logaritmi.

O sarcină. Aflați valoarea expresiei: log9 100 lg 3.

Baza și argumentul primului logaritm sunt puteri exacte. Să-l notăm și să scăpăm de indicatorii:

Acum să scăpăm de logaritmul zecimal trecând la o nouă bază:

Identitatea logaritmică de bază

Adesea, în procesul de rezolvare, este necesar să se reprezinte un număr ca logaritm la o bază dată. În acest caz, formulele ne vor ajuta:

În primul caz, numărul n devine exponent în argument. Numărul n poate fi absolut orice, pentru că este doar valoarea logaritmului.

A doua formulă este de fapt o definiție parafrazată. Se numeste asa:

Într-adevăr, ce se va întâmpla dacă numărul b este ridicat în așa măsură încât numărul b în acest grad să dea numărul a? Așa este: acesta este același număr a. Citiți din nou acest paragraf cu atenție - mulți oameni „atârnă” de el.

La fel ca noile formule de conversie de bază, identitatea logaritmică de bază este uneori singura soluție posibilă.

O sarcină. Aflați valoarea expresiei:

Rețineți că log25 64 = log5 8 - tocmai a scos pătratul de la bază și argumentul logaritmului. Având în vedere regulile de înmulțire a puterilor cu aceeași bază, obținem:

Dacă cineva nu știe, aceasta a fost o sarcină reală din cadrul examenului unificat de stat 🙂

Unitate logaritmică și zero logaritmic

În concluzie, voi da două identități care sunt greu de numit proprietăți - mai degrabă, acestea sunt consecințe din definiția logaritmului. Se găsesc constant în probleme și, în mod surprinzător, creează probleme chiar și elevilor „avansați”.

1. logaa = 1 este. Amintiți-vă odată pentru totdeauna: logaritmul oricărei baze a din acea bază în sine este egal cu unu.
2. loga 1 = 0 este. Baza a poate fi orice, dar dacă argumentul este unul, logaritmul este zero! Deoarece a0 = 1 este o consecință directă a definiției.

Acestea sunt toate proprietățile. Asigurați-vă că exersați punerea lor în practică! Descărcați fișa cheat sheet la începutul lecției, imprimați-o și rezolvați problemele.

Secțiunea de logaritmi are o mare importanță în cadrul cursului școlar „Analiza matematică”. Sarcinile pentru funcțiile logaritmice se bazează pe alte principii decât sarcinile pentru inegalități și ecuații. Cunoașterea definițiilor și proprietăților de bază ale conceptelor de logaritm și funcție logaritmică va asigura rezolvarea cu succes a problemelor tipice de USE.

Înainte de a explica ce este o funcție logaritmică, merită să ne referim la definiția unui logaritm.

Să ne uităm la un exemplu specific: un log a x = x, unde a › 0, a ≠ 1.

Principalele proprietăți ale logaritmilor pot fi enumerate în mai multe puncte:

Logaritm

Logaritmul este o operație matematică care permite utilizarea proprietăților unui concept pentru a găsi logaritmul unui număr sau al unei expresii.

Exemple:

Funcția logaritmică și proprietățile acesteia

Funcția logaritmică are forma

Imediat, observăm că graficul funcției poate fi crescător pentru a › 1 și descrescător pentru 0 ‹ a ‹ 1. În funcție de aceasta, curba funcției va avea o formă sau alta.

Iată proprietățile și metoda pentru trasarea graficelor logaritmilor:

• domeniul lui f(x) este mulțimea tuturor numerelor pozitive, adică. x poate lua orice valoare din intervalul (0; + ∞);
• Funcții ODZ - mulțimea tuturor numerelor reale, de ex. y poate fi egal cu orice număr din interval (- ∞; +∞);
• dacă baza logaritmului a > 1, atunci f(x) crește pe întregul domeniu de definiție;
• dacă baza logaritmului este 0 ‹ a ‹ 1, atunci F este în scădere;
• funcția logaritmică nu este nici pară, nici impară;
• curba grafic trece întotdeauna prin punctul cu coordonatele (1;0).

Construirea ambelor tipuri de grafice este foarte simplă, să ne uităm la proces folosind un exemplu

Mai întâi trebuie să vă amintiți proprietățile unui logaritm simplu și funcția acestuia. Cu ajutorul lor, trebuie să construiți un tabel pentru anumite valori x și y. Apoi, pe axa de coordonate, punctele obținute trebuie marcate și conectate printr-o linie netedă. Această curbă va fi graficul necesar.

Funcția logaritmică este inversul funcției exponențiale dată de y= a x . Pentru a verifica acest lucru, este suficient să desenați ambele curbe pe aceeași axă de coordonate.

Evident, ambele linii sunt imagini în oglindă una ale celeilalte. Construind o dreaptă y = x, puteți vedea axa de simetrie.

Pentru a găsi rapid răspunsul la problemă, trebuie să calculați valorile punctelor pentru y = log 2⁡ x, apoi mutați pur și simplu originea punctelor de coordonate trei diviziuni în jos pe axa OY și 2 diviziuni la stânga de-a lungul axei OX.

Ca dovadă, vom construi un tabel de calcul pentru punctele graficului y = log 2 ⁡ (x + 2) -3 și vom compara valorile obținute cu figura.

După cum puteți vedea, coordonatele din tabel și punctele de pe grafic se potrivesc, prin urmare, transferul de-a lungul axelor a fost efectuat corect.

Exemple de rezolvare a problemelor tipice de USE

Majoritatea sarcinilor de testare pot fi împărțite în două părți: găsirea domeniului de definiție, specificarea tipului de funcție conform desenului grafic, determinarea dacă funcția este în creștere / scădere.

Pentru un răspuns rapid la sarcini, este necesar să înțelegem clar că f(x) crește dacă exponentul logaritmului a > 1 și scade - când 0 ‹ a ‹ 1. Cu toate acestea, nu numai baza, ci și argumentul poate afecta foarte mult forma curbei funcției.

F(x) marcat cu o bifă sunt răspunsurile corecte. Îndoielile în acest caz sunt cauzate de exemplele 2 și 3. Semnul „-” din fața jurnalului se modifică de la creștere la descreștere și invers.

Prin urmare, graficul y=-log 3⁡ x scade pe întregul domeniu de definiție, iar y= -log (1/3) ⁡x crește, în ciuda faptului că baza este 0 ‹ a ‹ 1.

Răspuns: 3,4,5.

Răspuns: 4.

Aceste tipuri de sarcini sunt considerate ușoare și sunt estimate la 1-2 puncte.

Sarcina 3.

Determinați dacă funcția este în scădere sau în creștere și indicați domeniul de aplicare al definiției sale.

Y = log 0,7 ⁡(0,1x-5)

Deoarece baza logaritmului este mai mică decât unu, dar mai mare decât zero, funcția lui x este descrescătoare. Conform proprietăților logaritmului, argumentul trebuie să fie și mai mare decât zero. Să rezolvăm inegalitatea:

Răspuns: domeniul definiției D(x) este intervalul (50; + ∞).

Răspuns: 3, 1, axa OX, la dreapta.

Astfel de sarcini sunt clasificate ca medii și sunt estimate la 3-4 puncte.

Sarcina 5. Găsiți intervalul pentru o funcție:

Din proprietățile logaritmului se știe că argumentul poate fi doar pozitiv. Prin urmare, calculăm aria valorilor admisibile ale funcției. Pentru a face acest lucru, va fi necesar să rezolvați un sistem de două inegalități.

Expresii logaritmice, soluție de exemple. În acest articol, vom lua în considerare problemele legate de rezolvarea logaritmilor. Sarcinile ridică problema găsirii valorii expresiei. Trebuie remarcat faptul că conceptul de logaritm este folosit în multe sarcini și este extrem de important să înțelegem sensul acestuia. În ceea ce privește USE, logaritmul este folosit în rezolvarea ecuațiilor, în probleme aplicate, dar și în sarcini legate de studiul funcțiilor.

Iată exemple pentru a înțelege însuși sensul logaritmului:

Identitatea logaritmică de bază:

Proprietățile logaritmilor pe care trebuie să le rețineți întotdeauna:

*Logaritmul produsului este egal cu suma logaritmilor factorilor.

* * *

* Logaritmul coeficientului (fracției) este egal cu diferența logaritmilor factorilor.

* * *

* Logaritmul gradului este egal cu produsul exponentului și logaritmul bazei sale.

* * *

*Tranziție la noua bază

* * *

Mai multe proprietăți:

* * *

Calcularea logaritmilor este strâns legată de utilizarea proprietăților exponenților.

Enumerăm câteva dintre ele:

Esența acestei proprietăți este că, la transferul numărătorului la numitor și invers, semnul exponentului se schimbă în opus. De exemplu:

Consecința acestei proprietăți:

* * *

Când ridicați o putere la o putere, baza rămâne aceeași, dar exponenții sunt înmulțiți.

* * *

După cum puteți vedea, însuși conceptul de logaritm este simplu. Principalul lucru este că este nevoie de o bună practică, care oferă o anumită abilitate. Cu siguranță cunoașterea formulelor este obligatorie. Dacă nu se formează abilitatea de a converti logaritmi elementari, atunci când rezolvați sarcini simple, se poate face cu ușurință o greșeală.

Exersează, rezolvă mai întâi cele mai simple exemple de la cursul de matematică, apoi treci la altele mai complexe. Pe viitor, cu siguranță voi arăta cum se rezolvă logaritmii „urâți”, nu vor fi astfel de la examen, dar sunt de interes, nu ratați!

Asta e tot! Multă baftă!

Cu stimă, Alexander Krutitskikh

P.S: Aș fi recunoscător dacă ai spune despre site în rețelele de socializare.

Logaritmul unui număr pozitiv b la baza a (a>0, a nu este egal cu 1) este un număr c astfel încât a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)       

Rețineți că logaritmul unui număr nepozitiv nu este definit. De asemenea, baza logaritmului trebuie să fie un număr pozitiv, nu egal cu 1. De exemplu, dacă pătratăm -2, obținem numărul 4, dar asta nu înseamnă că baza -2 logaritmului lui 4 este 2.

Identitatea logaritmică de bază

a log a b = b (a > 0, a ≠ 1) (2)

Este important ca domeniile de definire ale părților din dreapta și din stânga acestei formule să fie diferite. Partea stângă este definită numai pentru b>0, a>0 și a ≠ 1. Partea dreaptă este definită pentru orice b și nu depinde deloc de a. Astfel, aplicarea „identității” logaritmice de bază în rezolvarea ecuațiilor și inegalităților poate duce la o modificare a DPV.

Două consecințe evidente ale definiției logaritmului

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) (3)
log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) (4)

Într-adevăr, când ridicăm numărul a la prima putere, obținem același număr, iar când îl ridicăm la puterea zero, obținem unul.

Logaritmul produsului și logaritmul coeficientului

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (5)

Log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)

Aș dori să îi avertizez pe școlari împotriva folosirii necugetate a acestor formule atunci când rezolvă ecuații și inegalități logaritmice. Când sunt folosite „de la stânga la dreapta”, ODZ se îngustează, iar când se trece de la suma sau diferența de logaritmi la logaritmul produsului sau al coeficientului, ODZ se extinde.

Într-adevăr, expresia log a (f (x) g (x)) este definită în două cazuri: când ambele funcții sunt strict pozitive sau când f(x) și g(x) sunt ambele mai mici decât zero.

Transformând această expresie în suma log a f (x) + log a g (x) , suntem forțați să ne restrângem doar la cazul în care f(x)>0 și g(x)>0. Există o restrângere a intervalului de valori admisibile, iar acest lucru este categoric inacceptabil, deoarece poate duce la pierderea soluțiilor. O problemă similară există pentru formula (6).

Gradul poate fi scos din semnul logaritmului

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) (7)

Și din nou aș dori să fac apel la acuratețe. Luați în considerare următorul exemplu:

Log a (f (x) 2 = 2 log a f (x)

Partea stângă a egalității este în mod evident definită pentru toate valorile lui f(x), cu excepția zero. Partea dreaptă este doar pentru f(x)>0! Luând puterea din logaritm, restrângem din nou ODZ. Procedura inversă duce la o extindere a intervalului de valori admisibile. Toate aceste observații se aplică nu numai puterii lui 2, ci și oricărei puteri par.

Formula pentru mutarea la o nouă bază

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) (8)

Acel caz rar în care ODZ nu se schimbă în timpul conversiei. Dacă ați ales cu înțelepciune baza c (pozitivă și nu egală cu 1), formula pentru trecerea la o nouă bază este perfect sigură.

Dacă alegem numărul b ca bază nouă c, obținem un caz particular important de formula (8):

Log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)

Câteva exemple simple cu logaritmi

Exemplul 1 Calculați: lg2 + lg50.
Soluţie. lg2 + lg50 = lg100 = 2. Am folosit formula pentru suma logaritmilor (5) și definiția logaritmului zecimal.

Exemplul 2 Calculați: lg125/lg5.
Soluţie. lg125/lg5 = log 5 125 = 3. Am folosit noua formulă de tranziție de bază (8).

Tabel de formule legate de logaritmi

a log a b = b (a > 0, a ≠ 1)

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1)

log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1)

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1)

log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1)