Pentru a utiliza previzualizarea prezentărilor, creați un cont Google (cont) și conectați-vă: https://accounts.google.com

Subtitrările diapozitivelor:

Teorie pe tema: „Rezolvarea problemelor pentru interes”.

Tip 1: convertiți procente în zecimală. procent  fracțiune A%  A împărțit la 100 Sarcini: 20%; 75%; 125%; 50%; 40%; 1%; 70%; 35%; 80%... Completați tabelul 1% 5% 10% 20% 25% 50% 75% 100%

Tip 2: Transformarea unei fracții într-un procent. număr  procente A  A ori 100% Transformă fracțiile în procente: 3/4; 0,07; 2.4. (GIA, sarcini tematice) Potriviți fracțiile care exprimă cotele de o anumită valoare, și procentele corespunzătoare acestora. A.1/4; B) 3/5; C) 0,5; D) 0,05 1) 5%; 2) 25%; 3) 50%; 4) 60% Răspuns: A B C D

Tip 3: Găsirea unui procent dintr-un număr. X% din A 1) X% este reprezentat ca o fracție zecimală 2) Numărul A este înmulțit cu fracția zecimală. Sarcina este un exemplu. Într-o lună, compania a produs 500 de dispozitive. 20% dintre dispozitivele fabricate nu au trecut controlul de calitate. Câte dispozitive nu au reușit controlul calității? Soluţie. Trebuie să găsiți 20% din numărul total de dispozitive fabricate (500). 20% = 0,2. 500 * 0,2 = 100. 100 din numărul total de dispozitive fabricate nu au trecut controlul de calitate.

Tip 4: Găsiți un număr după procentajul său. Și acesta este X%: 1) X% este reprezentat ca o fracție zecimală 2) A este împărțit la o fracție zecimală. Sarcina este un exemplu. Pregătindu-se pentru examen, studentul a rezolvat 38 de sarcini din manualul de autostudiu. Ceea ce reprezintă 25% din numărul tuturor sarcinilor din manual. Câte sarcini sunt colectate în acest manual de auto-studiu? Soluţie. Nu știm câte sarcini sunt în manual. Dar, pe de altă parte, știm că 38 de sarcini reprezintă 25% din numărul lor total. 25%=0,25 38/0,25 = 152. Există 152 de probleme în această colecție.

Tip 5: Găsiți procentul a două numere. numerele A și B. Ce % este B din A? 1) B / A 2) Înmulțiți coeficientul rezultat cu 100% Sarcina este un eșantion. Sunt 30 de elevi în clasă. 15 dintre ele sunt fete. Ce procent de fete sunt în clasă? Soluţie. Pentru a afla ce procent este un număr față de altul, aveți nevoie de numărul pe care doriți să-l găsiți, împărțiți la numărul total și înmulțiți cu 100%. Deci, 1) 15 / 30 = 0,5 2) 0,5 * 100% = 50% Sarcina este un eșantion. Timp de 1 oră, mașina automată a produs 240 de piese. După reconstrucția acestei mașini, a început să producă 288 de piese din aceleași pe oră. Cu ce ​​procente a crescut productivitatea mașinii? Soluţie. Productivitatea mașinii a crescut cu 288-240=48 piese pe oră. Trebuie să aflați ce procent din 240 de părți sunt 48 de părți. Pentru a afla câte procente din numărul 48 sunt din numărul 240, trebuie să împărțiți numărul 48 la 240 și să înmulțiți rezultatul cu 100%. 48/240 *100% =20% Răspuns: productivitatea mașinii a crescut cu 20%

Tip 6: Creșteți numărul cu un procent. Reduceți numărul cu un procent. A este un număr; crește cu X%, apoi a crescut de (1 + x / 100) ori. : 1) numărul A se înmulțește cu 2) (1 + x / 100). Sarcina este un exemplu. . La examenul de matematică de anul trecut, 140 de elevi de liceu au luat A. Anul acesta numărul studenților excelenți a crescut cu 15%. Câți oameni au primit A la examenul de matematică anul acesta? Soluţie. 140 * (1 + 15/100) = 161. A - număr; scădem cu X%, apoi a scăzut de (1 - x / 100) ori. : 1) numărul A se înmulțește cu 2) (1 - x / 100). Sarcina este un exemplu. În urmă cu un an, 100 de copii au absolvit școala. Și anul acesta sunt cu 25% mai puțini absolvenți. Câți absolvenți anul acesta? Soluţie. 100 * (1 - 25/100) = 75.

Tip7: Concentrația soluției. Sarcina este un exemplu. Un kilogram de sare a fost dizolvat în 9 litri de apă. Care este concentrația soluției rezultate? (Masa a 1 litru de apă este de 1 kg) (Peterson 6 celule.) Soluție 1) Masa substanței dizolvate este de 1 kg 2) Masa întregii soluții 1 + 9 \u003d 10 (kg) 9 kg este masa de apă în soluție (a nu se confunda cu masa totală a soluției ) 3) 1/10 * 100% \u003d 10% 10% - concentrația soluției

Tip 8: Procentul de metal din aliaj. Sarcina - proba 1. Există o bucată dintr-un aliaj de cupru și staniu cu o masă totală de 12 kg, care conține 45% cupru. Cât de mult staniu pur trebuie adăugat la această bucată de aliaj, astfel încât aliajul rezultat să conțină 40% cupru? Rezolvare.1)12 . 0,45= 5,4 (kg) - cupru pur în primul aliaj; 2) 5,4: 0,4= 13,5 (kg) - greutatea noului aliaj; 3) 13,5- 12= 1,5 (kg) tablă. Răspuns: aveți nevoie de 1,5 kg de tablă.

Sarcina - proba 2. Există două aliaje, formate din cupru, zinc și staniu. Se știe că primul aliaj conține 40% staniu, iar al doilea - 26% cupru. Procentul de zinc din primul și al doilea aliaj este același. După ce au topit 150 kg din primul aliaj și 250 kg din al doilea, s-a obținut un nou aliaj, în care s-a dovedit a fi 30% zinc. Determinați câte kilograme de staniu sunt conținute în noul aliaj rezultat. Deoarece procentul de zinc din primul și al doilea aliaj este același, iar în al treilea aliaj s-a dovedit a fi de 30%, atunci în primul și al doilea aliaj procentul de zinc este de 30%. 250 * 0,3 \u003d 75 (kg) - zinc în al doilea aliaj; 250 * 0,26 \u003d 65 (kg) - cupru în al doilea aliaj; 250-(75+65)= 110 (kg) cositor în al doilea aliaj; 150 . 0,4= 60 (kg) - cositor în primul aliaj; 110 + 60 = 170 (kg) - staniu în al treilea aliaj. Raspuns: 170 kg. 1 aliaj 2 aliaj Aliaj nou (3) Cupru 26% Zinc 30% 30% 30% Staniu 40% ?kg greutate 150kg 250kg 150+250=400

Tip 9: Pe „materia uscată”. Aproape orice produs - mere, pepeni verzi, ciuperci, cartofi, cereale, pâine etc. constă din apă și substanță uscată. Mai mult, atât alimentele proaspete, cât și cele uscate conțin apă. În timpul procesului de uscare, doar apa se evaporă, iar masa de substanță uscată nu se modifică. A.G. Mordkovich „Matematica 6” Problema nr. 362 Problema este o probă. Ciuperca proaspătă conține 90% apă, iar uscată - 15%. Câte ciuperci uscate se vor obține din 17 kg de proaspete? Câte ciuperci proaspete trebuie să luați pentru a obține 3,4 kg de ciuperci uscate? Soluţie. Să facem un tabel: Partea 1 a problemei: substanță Masa substanței (kg) Procentul de apă Procentul de substanță uscată Masa substanței uscate (kg) Ciupercă proaspătă 17kg 90% 10% 17*0,1=1,7 Ciupercă uscată X kg 15% 85% X * o.85 \u003d 0,85x Deoarece masa substanței uscate din ciupercile uscate și proaspete rămâne neschimbată, obținem ecuația: 0,85x \u003d 1,7, x \u003d 1,7: 0,85, x \u003d 2.

Partea 2 a problemei: Substanță Masa substanței (kg) Procent de apă Procent de apă Masa de substanță uscată (kg) Ciupercă proaspătă х 90% 10% 0,1х Ciupercă uscată 3,4 15% 85% 3,4*0,85=2,89 0,1x = 2,89, x = 2,89: 0,1, x = 28,9. Raspuns: din 17 kg de ciuperci proaspete se obtin 2 kg de ciuperci uscate; pentru a obține 3,4 kg de ciuperci uscate, trebuie să luați 28,9 kg de ciuperci proaspete.

Astăzi ne vom îndepărta puțin de la logaritmii standard, integralele, trigonometria etc., și împreună vom lua în considerare o sarcină mai vitală din examenul de stat unificat în matematică, care este direct legată de economia noastră înapoiată bazată pe resurse din Rusia. Și mai exact, vom lua în considerare problema depozitelor, a dobânzilor și a creditelor. Pentru că sunt sarcinile cu procente care au fost adăugate recent la a doua parte a examenului de stat unificat la matematică. Voi face imediat o rezervă că pentru rezolvarea acestei probleme, conform specificațiilor Examenului de stat unificat, sunt oferite trei puncte principale deodată, adică examinatorii consideră această sarcină una dintre cele mai dificile.

În același timp, pentru a rezolva oricare dintre aceste sarcini de la examenul unificat de stat la matematică, trebuie să cunoașteți doar două formule, fiecare dintre ele destul de accesibilă oricărui absolvent de școală, totuși, din motive pe care nu le înțeleg, aceste formule sunt complet ignorat atât de profesorii școlii, cât și de compilatorii diverselor sarcini de pregătire pentru examen. Prin urmare, astăzi nu vă voi spune doar care sunt aceste formule și cum să le aplici, ci voi deriva fiecare dintre aceste formule literalmente sub ochii tăi, luând ca bază sarcini din banca deschisă USE în matematică.

Prin urmare, lecția s-a dovedit a fi destul de voluminoasă, destul de semnificativă, așa că faceți-vă confortabil și începem.

Pune bani în bancă

În primul rând, aș vrea să fac o mică digresiune lirică legată de finanțe, bănci, credite și depozite, pe baza căreia vom obține formulele pe care le vom folosi pentru a rezolva această problemă. Așadar, să ne abatem puțin de la examene, de la problemele școlare viitoare și să privim în viitor.

Să presupunem că ai crescut și vei cumpăra un apartament. Să presupunem că veți cumpăra nu un apartament prost la periferie, ci un apartament de bună calitate pentru 20 de milioane de ruble. În același timp, să presupunem că ați primit un loc de muncă mai mult sau mai puțin normal și că câștigați 300 de mii de ruble pe lună. În acest caz, pentru un an puteți economisi aproximativ trei milioane de ruble. Desigur, câștigând 300 de mii de ruble pe lună, pentru anul veți primi o sumă ceva mai mare - 3.600.000 - dar lăsați-le pe aceste 600.000 să fie cheltuite pe mâncare, haine și alte bucurii zilnice casnice. Datele totale de intrare sunt după cum urmează: este necesar să câștigăm douăzeci de milioane de ruble, în timp ce avem la dispoziție doar trei milioane de ruble pe an. Apare o întrebare firească: câți ani trebuie să punem deoparte trei milioane pentru a obține aceleași douăzeci de milioane. Este considerat elementar:

\[\frac(20)(3)=6,....\la 7\]

Cu toate acestea, după cum am observat deja, câștigi 300 de mii de ruble pe lună, ceea ce înseamnă că sunteți oameni deștepți și nu veți economisi bani „sub pernă”, ci îi duceți la bancă. Și, prin urmare, anual la acele depozite pe care le aduci la bancă se va percepe dobândă. Să presupunem că alegi o bancă de încredere, dar în același timp mai mult sau mai puțin profitabilă și, prin urmare, depozitele tale vor crește cu 15% pe an anual. Cu alte cuvinte, putem spune că suma din conturile dumneavoastră va crește de 1,15 ori în fiecare an. Permiteți-mi să vă reamintesc formula:

Să calculăm câți bani vor fi în conturile dvs. după fiecare an:

În primul an, când abia începeți să economisiți bani, nu se va acumula dobândă, adică la sfârșitul anului veți economisi trei milioane de ruble:

La sfârșitul celui de-al doilea an, se vor acumula deja dobânzi pentru acele trei milioane de ruble care au rămas din primul an, adică. trebuie să înmulțim cu 1,15. Cu toate acestea, în timpul celui de-al doilea an, ați raportat și alte trei milioane de ruble. Desigur, aceste trei milioane nu acumulaseră încă dobândă, pentru că până la sfârșitul celui de-al doilea an, aceste trei milioane apăreau doar în cont:

Deci, al treilea an. La sfârșitul celui de-al treilea an se vor acumula dobânzi pentru această sumă, adică este necesară înmulțirea întregii sume cu 1,15. Și din nou, pe tot parcursul anului ai muncit din greu și ai pus deoparte trei milioane de ruble:

\[\stânga(3m\cdot 1,15+3m\dreapta)\cdot 1,15+3m\]

Să calculăm încă al patrulea an. Din nou, întreaga sumă pe care o aveam la sfârșitul celui de-al treilea an este înmulțită cu 1,15, adică. Se va percepe dobândă pentru întreaga sumă. Aceasta include dobânda pe dobândă. Și la această sumă se mai adaugă încă trei milioane, pentru că în al patrulea an ai muncit și ai economisit:

\[\left(\left(3m\cdot 1,15+3m \right)\cdot 1,15+3m \right)\cdot 1,15+3m\]

Și acum să deschidem parantezele și să vedem ce sumă vom avea până la sfârșitul celui de-al patrulea an de economisire a banilor:

\[\begin(align)&\left(\left(3m\cdot 1,15+3m \right)\cdot 1,15+3m \right)\cdot 1,15+3m= \\& =\left( 3m\cdot ((1,15)^(2))+3m\cdot 1,15+3m \right)\cdot 1,15+3m= \\& =3m\cdot ((1,15)^(3 ))+3m\cdot ((1,15)^(2))+3m\cdot 1,15+3m= \\& =3m\left(((1,15)^(3))+((1 ,15)^(2))+1,15+1 \right)= \\& =3m\left(1+1,15+((1,15)^(2))+((1,15) ^(3)) \dreapta) \\\end(align)\]

După cum puteți vedea, în paranteze avem elemente ale unei progresii geometrice, adică avem suma elementelor unei progresii geometrice.

Permiteți-mi să vă reamintesc că dacă progresia geometrică este dată de elementul $((b)_(1))$, precum și de numitorul $q$, atunci suma elementelor se va calcula folosind următoarea formulă:

Această formulă trebuie să fie cunoscută și aplicată clar.

Vă rugăm să rețineți: formula n elementul sună astfel:

\[((b)_(n))=((b)_(1))\cdot ((q)^(n-1))\]

Din cauza acestui grad, mulți studenți sunt confuzi. În total, avem doar n pentru suma n- elemente, și n-al-lea element are gradul $n-1$. Cu alte cuvinte, dacă acum încercăm să calculăm suma unei progresii geometrice, atunci trebuie să luăm în considerare următoarele:

\[\begin(align)& ((b)_(1))=1 \\& q=1,15 \\\end(align)\]

\[((S)_(4))=1\cdot \frac((((1,15)^(4))-1)(1,15-1)\]

Să calculăm separat numărătorul:

\[((1,15)^(4))=((\left((((1,15)^(2)) \right))^(2))=((\left(1,3225 \right) ))^(2))=1,74900625\aproximativ 1,75\]

În total, revenind la suma progresiei geometrice, obținem:

\[((S)_(4))=1\cdot \frac(1,75-1)(0,15)=\frac(0,75)(0,15)=\frac(75)(15 )=5\]

Drept urmare, obținem că în patru ani de economii, suma noastră inițială nu va crește de patru ori, de parcă nu am fi depus bani în bancă, ci de cinci ori, adică cincisprezece milioane. Să o scriem separat:

4 ani → de 5 ori

Privind în perspectivă, voi spune că dacă am fi economisit nu timp de patru ani, ci de cinci ani, atunci, ca rezultat, suma noastră de economii ar fi crescut de 6,7 ori:

5 ani → 6,7 ori

Cu alte cuvinte, până la sfârșitul celui de-al cincilea an, vom avea următoarea sumă în cont:

Adică, până la sfârșitul celui de-al cincilea an de economii, ținând cont de dobânda la depozit, am fi primit deja peste douăzeci de milioane de ruble. Astfel, totalul contului de economii din dobânda bancară ar scădea de la aproape șapte ani la cinci ani, adică cu aproape doi ani.

Astfel, chiar și în ciuda faptului că banca percepe o dobândă destul de mică la depozitele noastre (15%), după cinci ani, aceleași 15% dau o creștere care depășește semnificativ câștigurile noastre anuale. În același timp, principalul efect multiplicator apare în ultimii ani și chiar, mai degrabă, în ultimul an de economii.

De ce am scris toate astea? Bineînțeles, să nu te agită să duci bani la bancă. Pentru că dacă vrei cu adevărat să-ți crești economiile, atunci trebuie să le investești nu într-o bancă, ci într-o afacere reală, în care aceleași procente, adică profitabilitatea în condițiile economiei ruse, scad rareori sub 30%, adică de două ori. cat mai multe depozite bancare.

Însă ceea ce este cu adevărat util în tot acest raționament este o formulă care ne permite să aflăm suma finală a depozitului prin suma plăților anuale, precum și prin dobânda pe care o percepe banca. Deci hai sa scriem:

\[\text(Vklad)=\text(platezh)\frac(((\text(%))^(n))-1)(\text(%)-1)\]

În sine, % se calculează folosind următoarea formulă:

Trebuie cunoscută și această formulă, precum și formula de bază pentru valoarea contribuției. Și, la rândul său, formula principală poate reduce semnificativ calculele în acele probleme cu procente în care este necesar să se calculeze contribuția.

De ce să folosiți formule în loc de tabele?

Mulți vor avea probabil o întrebare, de ce toate aceste dificultăți, este posibil să scrieți pur și simplu în fiecare an pe o tabletă, așa cum se întâmplă în multe manuale, să calculați în fiecare an separat și apoi să calculați suma totală a contribuției? Desigur, puteți uita în general de suma unei progresii geometrice și puteți număra totul folosind tablete clasice - acest lucru se face în majoritatea colecțiilor pentru a vă pregăti pentru examen. Cu toate acestea, în primul rând, volumul calculelor crește brusc, iar în al doilea rând, ca urmare, probabilitatea de a face o eroare crește.

În general, folosirea meselor în loc de această formulă minunată este la fel cu săparea de șanțuri cu mâinile pe un șantier în loc să folosiți un excavator care stă în apropiere și care funcționează pe deplin.

Ei bine, sau același lucru cu înmulțirea cinci cu zece, nu folosind tabelul înmulțirii, ci adunând cinci la sine de zece ori la rând. Cu toate acestea, am divagat deja, așa că voi repeta încă o dată ideea cea mai importantă: dacă există o modalitate de a simplifica și scurta calculele, atunci acesta este modul de utilizare.

Dobânzi la împrumuturi

Ne-am dat seama de depozite, așa că trecem la următorul subiect și anume la dobânda la împrumuturi.

Așadar, în timp ce economisești bani, îți planifici cu atenție bugetul, te gândești la viitorul tău apartament, la colegul tău de clasă și acum un simplu șomer, ai decis să trăiești pentru astăzi și tocmai a luat un împrumut. În același timp, tot va tachina și râde de tine, se spune, are un telefon cu credit și o mașină uzată, luată pe credit, iar tu încă mergi cu metroul și folosești un telefon vechi cu buton. Desigur, pentru toate aceste „show-offs” ieftine, fostul tău coleg de clasă va trebui să plătească scump. Cât de scump - acesta este ceea ce vom calcula chiar acum.

În primul rând, o scurtă introducere. Să presupunem că fostul tău coleg de clasă a luat două milioane de ruble pe credit. În același timp, conform contractului, trebuie să plătească x ruble pe lună. Să zicem că a luat un împrumut la o rată de 20% pe an, care în condițiile actuale arată destul de decent. De asemenea, să presupunem că termenul împrumutului este de doar trei luni. Să încercăm să conectăm toate aceste cantități într-o singură formulă.

Deci, la început, de îndată ce fostul tău coleg de clasă a plecat de la bancă, are două milioane în buzunar, iar aceasta este datoria lui. În același timp, nu a trecut nici un an și nici o lună, dar acesta este doar începutul:

Apoi, după o lună, se va acumula dobândă la suma datorată. După cum știm deja, pentru a calcula dobânda, este suficient să înmulțim datoria inițială cu un coeficient, care se calculează folosind următoarea formulă:

În cazul nostru, vorbim de o rată de 20% pe an, adică putem scrie:

Acesta este raportul dintre suma care va fi percepută pe an. Totuși, colegul nostru de clasă nu este foarte deștept și nu a citit contractul și de fapt i s-a dat un împrumut nu cu 20% pe an, ci cu 20% pe lună. Și până la sfârșitul primei luni, se va acumula dobândă pentru această sumă și va crește de 1,2 ori. Imediat după aceea, persoana va trebui să plătească suma convenită, adică x ruble pe lună:

\[\stanga(2m\cdot 1,2-x\dreapta)\cdot 1,2-x\]

Și din nou, băiatul nostru face o plată în valoare de $x$ ruble.

Apoi, până la sfârșitul celei de-a treia luni, valoarea datoriei sale crește din nou cu 20%:

\[\left(\left(2m\cdot 1,2- x\right)\cdot 1,2- x\right)1,2- x\]

Și conform condiției pentru trei luni, trebuie să plătească integral, adică după efectuarea ultimei treimi plăți, valoarea datoriei sale ar trebui să fie egală cu zero. Putem scrie această ecuație:

\[\left(\left(2m\cdot 1,2- x\right)\cdot 1,2- x\right)1,2 - x=0\]

Hai sa decidem:

\[\begin(align)& \left(2m\cdot ((1,2)^(2))- x\cdot 1,2- x\right)\cdot 1,2- x=0 \\& 2m \cdot ((1,2)^(3))- x\cdot ((1,2)^(2))- x\cdot 1,2- x=0 \\& 2m\cdot ((1,2 )^(3))=\cdot ((1,2)^(2))+\cdot 1,2+ \\& 2m\cdot ((1,2)^(3))=\left((( 1,2)^(2))+1,2+1 \right) \\\end(align)\]

În fața noastră este din nou o progresie geometrică, sau mai bine zis, suma celor trei elemente ale unei progresii geometrice. Să o rescriem în ordinea crescătoare a elementelor:

Acum trebuie să găsim suma celor trei elemente ale unei progresii geometrice. Hai să scriem:

\[\begin(align)& ((b)_(1))=1; \\& q=1,2 \\\end(align)\]

Acum să găsim suma progresiei geometrice:

\[((S)_(3))=1\cdot \frac((((1,2)^(3))-1)(1,2-1)\]

Trebuie amintit că suma unei progresii geometrice cu astfel de parametri $\left(((b)_(1));q \right)$ se calculează prin formula:

\[((S)_(n))=((b)_(1))\cdot \frac(((q)^(n))-1)(q-1)\]

Aceasta este formula pe care tocmai am folosit-o. Înlocuiți această formulă în expresia noastră:

Pentru calcule suplimentare, trebuie să aflăm cu ce este $((1,2)^(3))$. Din păcate, în acest caz, nu mai putem picta ca ultima dată sub forma unui pătrat dublu, dar putem calcula astfel:

\[\begin(align)& ((1,2)^(3))=((1,2)^(2))\cdot 1,2 \\& ((1,2)^(3)) =1,44\cdot 1,2 \\& ((1,2)^(3))=1,728 \\\end(align)\]

Ne rescriem expresia:

Aceasta este o expresie liniară clasică. Să revenim la următoarea formulă:

De fapt, dacă o generalizăm, vom obține o formulă care leagă dobânda, împrumuturile, plățile și termenii. Formula merge astfel:

Iată, cea mai importantă formulă a lecției video de astăzi, cu ajutorul căreia sunt luate în considerare cel puțin 80% din toate sarcinile economice de la Examenul Unificat de Stat la matematică din partea a doua.

Cel mai adesea, în sarcinile reale, vi se va cere o plată, sau puțin mai rar un împrumut, adică suma totală a datoriei pe care o avea colegul nostru de clasă chiar la începutul plăților. În sarcinile mai complexe, vi se va cere să găsiți un procent, dar pentru cele foarte complexe, pe care le vom analiza într-o lecție video separată, vi se va cere să găsiți intervalul de timp în care, cu parametrii de împrumut și plată dați, colegul nostru șomer va putea plăti integral banca.

Poate că cineva va crede acum că sunt un oponent înverșunat al împrumuturilor, finanțelor și sistemului bancar în general. Deci, nimic de genul asta! Dimpotrivă, cred că instrumentele de credit sunt foarte utile și esențiale pentru economia noastră, dar numai cu condiția ca împrumutul să fie luat pentru dezvoltarea afacerii. În cazuri extreme, puteți lua un împrumut pentru a cumpăra o locuință, adică o ipotecă sau pentru tratament medical de urgență - asta este, pur și simplu nu există alte motive pentru a lua un împrumut. Și tot felul de șomeri care iau credite pentru a cumpăra „show-off-uri” și în același timp nu se gândesc deloc la consecințe până la urmă și devin cauza crizelor și problemelor din economia noastră.

Revenind la subiectul lecției de astăzi, aș dori să remarc că este necesar să cunoaștem și această formulă care conectează împrumuturi, plăți și dobânzi, precum și valoarea unei progresii geometrice. Cu ajutorul acestor formule se rezolvă problemele economice reale de la Examenul Unificat de Stat la matematică. Ei bine, acum că știți foarte bine toate acestea, când înțelegeți ce este un împrumut și de ce nu trebuie să îl luați, să trecem la rezolvarea unor probleme economice reale de la Examenul Unificat de Stat la matematică.

Rezolvăm probleme reale de la examenul la matematică

Exemplul #1

Deci prima sarcină este:

La 31 decembrie 2014, Alexei a luat de la bancă un împrumut de 9.282.000 de ruble la 10% pe an. Schema de rambursare a împrumutului este următoarea: la 31 decembrie a fiecărui an, banca acumulează dobândă pentru suma rămasă a datoriei (adică crește datoria cu 10%), apoi Alexey transferă X ruble băncii. Care ar trebui să fie suma X pentru ca Alexey să plătească datoria în patru plăți egale (adică timp de patru ani)?

Deci, aceasta este o problemă legată de un împrumut, așa că scriem imediat formula noastră:

Știm împrumutul - 9.282.000 de ruble.

Ne vom ocupa acum de procente. Vorbim de 10% din problemă. Prin urmare, le putem traduce:

Putem face o ecuație:

Am obținut o ecuație liniară obișnuită față de $x$, deși cu coeficienți destul de formidabili. Să încercăm să o rezolvăm. Mai întâi, să găsim expresia $((1,1)^(4))$:

$\begin(align)& ((1,1)^(4))=((\left((((1,1)^(2)) \right))^(2)) \\& 1,1 \cdot 1,1=1,21 \\& ((1,1)^(4))=1,4641 \\\end(align)$

Acum să rescriem ecuația:

\[\begin(align)& 9289000\cdot 1,4641=x\cdot \frac(1,4641-1)(0,1) \\& 9282000\cdot 1,4641=x\cdot \frac(0, 4641)(0,1)|:10000 \\& 9282000\cdot \frac(14641)(10000)=x\cdot \frac(4641)(1000) \\& \frac(9282\cdot 14641)(10) =x\cdot \frac(4641)(1000)|:\frac(4641)(1000) \\& x=\frac(9282\cdot 14641)(10)\cdot \frac(1000)(4641) \\ & x=\frac(2\cdot 14641\cdot 1000)(10) \\& x=200\cdot 14641 \\& x=2928200 \\\end(align)\]\[\]

Gata, problema noastră cu procentele este rezolvată.

Desigur, aceasta a fost doar cea mai simplă sarcină cu procente de la examenul de stat unificat la matematică. Într-un examen real, cel mai probabil nu va exista o astfel de sarcină. Și dacă se întâmplă, consideră-te foarte norocos. Ei bine, pentru cei cărora le place să numere și nu le place să își asume riscuri, să trecem la următoarele sarcini mai dificile.

Exemplul #2

La 31 decembrie 2014, Stepan a împrumutat 4.004.000 de ruble de la o bancă cu 20% pe an. Schema de rambursare a creditului este următoarea: la 31 decembrie a fiecărui an, banca acumulează dobândă la suma rămasă a datoriei (adică, crește datoria cu 20%), apoi Stepan efectuează o plată către bancă. Stepan a plătit toată datoria în 3 plăți egale. Câte ruble mai puțin ar da băncii dacă ar putea plăti datoria în 2 plăți egale.

În fața noastră este o problemă legată de împrumuturi, așa că scriem formula noastră:

\[\]\

Ce știm? În primul rând, știm creditul total. Știm și procentele. Să găsim raportul:

În ceea ce privește $n$, trebuie să citiți cu atenție starea problemei. Adică, mai întâi trebuie să calculăm cât a plătit pentru trei ani, adică $n=3$, apoi să facem din nou aceiași pași, dar să calculăm plățile pentru doi ani. Să scriem o ecuație pentru cazul în care plata este plătită timp de trei ani:

Să rezolvăm această ecuație. Dar mai întâi, să găsim expresia $((1,2)^(3))$:

\[\begin(align)& ((1,2)^(3))=1,2\cdot ((1,2)^(2)) \\& ((1,2)^(3)) =1,44\cdot 1,2 \\& ((1,2)^(3))=1,728 \\\end(align)\]

Ne rescriem expresia:

\[\begin(align)& 4004000\cdot 1,728=x\cdot \frac(1,728-1)(0,2) \\& 4004000\cdot \frac(1728)(1000)=x\cdot \frac(728) )(200)|:\frac(728)(200) \\& x=\frac(4004\cdot 1728\cdot 200)(728) \\& x=\frac(4004\cdot 216\cdot 200)( 91) \\& x=44\cdot 216\cdot 200 \\& x=8800\cdot 216 \\& x=1900800 \\\end(align)\]

În total, plata noastră va fi de 1900800 de ruble. Totuși, atenție: în sarcină, ni s-a cerut să găsim nu o plată lunară, ci cât ar plăti Stepan în total pentru trei plăți egale, adică pentru întreaga perioadă de utilizare a împrumutului. Prin urmare, valoarea rezultată trebuie înmulțită din nou cu trei. Hai să numărăm:

În total, Stepan va plăti 5.702.400 de ruble pentru trei plăți egale. Atât îl va costa să folosească împrumutul timp de trei ani.

Acum luați în considerare a doua situație, când Stepan s-a reușit, s-a pregătit și a plătit întregul împrumut nu în trei, ci în două plăți egale. Scriem aceeași formulă:

\[\begin(align)& 4004000\cdot ((1,2)^(2))=x\cdot \frac((((1,2)^(2))-1)(1,2-1) \\& 4004000\cdot \frac(144)(100)=x\cdot \frac(11)(5)|\cdot \frac(5)(11) \\& x=\frac(40040\cdot 144\ cdot 5)(11) \\& x=3640\cdot 144\cdot 5=3640\cdot 720 \\& x=2620800 \\\end(align)\]

Dar asta nu este tot, pentru că acum am calculat doar una dintre cele două plăți, așa că în total Stepan va plăti exact de două ori mai mult:

Super, acum suntem aproape de răspunsul final. Dar atenție: în niciun caz nu am primit încă un răspuns final, deoarece pentru trei ani de plăți Stepan va plăti 5.702.400 de ruble, iar pentru doi ani de plăți va plăti 5.241.600 de ruble, adică puțin mai puțin. Cu cât mai puțin? Pentru a afla, trebuie să scazi a doua sumă de plată din prima sumă de plată:

Răspunsul final total este de 460.800 de ruble. Exact cât va economisi Stepan dacă plătește nu trei ani, ci doi.

După cum puteți vedea, formula care leagă dobânda, termenii și plățile simplifică foarte mult calculele în comparație cu tabelele clasice și, din păcate, din motive necunoscute, tabelele sunt încă folosite în majoritatea colecțiilor de probleme.

Separat, aș dori să vă atrag atenția asupra termenului pentru care s-a luat împrumutul și asupra sumei plăților lunare. Cert este că această legătură nu este direct vizibilă din formulele pe care le-am notat, dar înțelegerea ei este necesară pentru rezolvarea rapidă și eficientă a problemelor reale din examen. De fapt, această legătură este foarte simplă: cu cât împrumutul este luat mai mult, cu atât suma va fi mai mică în plăți lunare, dar cu cât suma se va acumula pe toată perioada de utilizare a împrumutului. Și invers: cu cât termenul este mai scurt, cu atât este mai mare plata lunară, dar cu cât este mai mică plata în exces finală și cu atât costul total al creditului este mai mic.

Desigur, toate aceste declarații vor fi egale doar cu condiția ca suma împrumutului și rata dobânzii să fie aceleași în ambele cazuri. În general, deocamdată, amintiți-vă doar acest fapt - va fi folosit pentru a rezolva cele mai dificile probleme pe această temă, dar deocamdată vom analiza o problemă mai simplă, în care trebuie doar să găsiți suma totală a împrumutului inițial.

Exemplul #3

Deci, încă o sarcină pentru un împrumut și, în combinație, ultima sarcină din tutorialul video de astăzi.

Pe 31 decembrie 2014, Vasily a scos de la bancă o anumită sumă pe credit la 13% pe an. Schema de rambursare a împrumutului este următoarea: la 31 decembrie a fiecărui an, banca acumulează dobândă pentru suma rămasă a datoriei (adică crește datoria cu 13%), apoi Vasily transferă băncii 5.107.600 de ruble. Ce sumă a împrumutat Vasily de la bancă dacă a achitat datoria în două rate egale (pe doi ani)?

Deci, în primul rând, această sarcină este din nou despre împrumuturi, așa că scriem formula noastră minunată:

Să vedem ce știm din starea problemei. În primul rând, plata - este egală cu 5.107.600 de ruble pe an. În al doilea rând, procente, astfel încât să putem găsi raportul:

În plus, după starea problemei, Vasily a luat un împrumut de la bancă pe doi ani, adică. plătit în două rate egale, deci $n=2$. Să înlocuim totul și, de asemenea, să observăm că împrumutul ne este necunoscut, adică. suma pe care a luat-o și să o notăm ca $x$. Primim:

\[{{1,13}^{2}}=1,2769\]

Să ne rescriem ecuația având în vedere acest fapt:

\[\begin(align)& x\cdot \frac(12769)(10000)=5107600\cdot \frac(1,2769-1)(0,13) \\& x\cdot \frac(12769)(10000 )=\frac(5107600\cdot 2769)(1300)|:\frac(12769)(10000) \\& x=\frac(51076\cdot 2769)(13)\cdot \frac(10000)(12769) \ \& x=4\cdot 213\cdot 10000 \\& x=8520000 \\\end(align)\]

Asta e, acesta este răspunsul final. Tocmai această sumă a luat-o pe credit de la început Vasily.

Acum este clar de ce în această problemă ni se cere să facem un împrumut pentru doar doi ani, deoarece aici apar dobânzi de două cifre, și anume 13%, care, la pătrat, dă deja un număr destul de „brutal”. Dar aceasta nu este limita - în următoarea lecție separată, vom lua în considerare sarcini mai complexe în care va fi necesar să găsim termenul împrumutului, iar rata va fi de unu, doi sau trei procente.

În general, învață să rezolvi problemele pentru depozite și împrumuturi, pregătiți-vă pentru examene și promovați-le „excelent”. Și dacă ceva nu este clar în materialele lecției video de astăzi, atunci nu ezitați - scrieți, sunați și voi încerca să vă ajut.

Rezolvarea problemelor de matematică privind aplicarea conceptelor de bază de interes.

Problemele cu procente se învață să rezolve încă din clasa a V-a.

Rezolvarea problemelor de acest tip este strâns legată de trei algoritmi:

1. găsirea unui procent dintr-un număr
2. găsirea unui număr prin procentul său,
3. găsirea unui procent.

În lecțiile cu elevii, ei remarcă că o sutime de metru este un centimetru, o sutime de rublă este un ban, o sutime de cent este un kilogram. Oamenii au observat de mult că sutimile de valori sunt convenabile în practică. Prin urmare, pentru ei a fost creat un nume special - procent.

Deci un ban este unul la sută dintr-o rublă, iar un centimetru este unul la sută dintr-un metru.

Un procent este o sutime dintr-un număr. Matematic, un procent se scrie astfel: 1%.

Definiția unui procent poate fi scrisă ca: 1% \u003d 0,01. A

5%=0,05, 23%=0,23, 130%=1,3 etc.

Cum să găsești 1% dintr-un număr?

Deoarece 1% este o sutime, trebuie să împărțiți numărul la 100. Împărțirea cu 100 poate fi înlocuită prin înmulțirea cu 0,01. Prin urmare, pentru a găsi 1% dintr-un număr dat, trebuie să-l înmulțiți cu 0,01. Și dacă trebuie să găsiți 5% din număr, atunci înmulțiți acest număr cu 0,05 etc.

Exemplu. Găsiți: 25% din 120.

1. 25% = 0,25;
2. 120 . 0,25 = 30.

Regula 1. Pentru a găsi un anumit număr de procente dintr-un număr, trebuie să scrieți procentele ca o fracție zecimală și apoi să înmulțiți numărul cu această fracție zecimală.

Exemplu. Turnerul a făcut 40 de piese într-o oră. Folosind un tăietor din oțel mai puternic, a început să întoarcă încă 10 piese pe oră. Cu ce ​​procente a crescut productivitatea muncii?

Pentru a rezolva această problemă, trebuie să aflăm câte procente sunt 10 părți din 40. Pentru a face acest lucru, aflăm mai întâi ce parte este numărul 10 din numărul 40. Știm că trebuie să împărțim 10 la 40. Obținem 0,25. Acum să-l notăm ca procent - 25%.

Răspuns: Productivitatea Turnerului a crescut cu 25%.

Regula 2. Pentru a afla câte procente este un număr dintr-un altul, trebuie să împărțiți primul număr la al doilea și să scrieți fracția rezultată ca procent.

Exemplu. Cu un obiectiv planificat de 60 de vehicule pe zi, fabrica a produs 66 de vehicule. Cu ce ​​procent uzina a îndeplinit planul?

66: 60 \u003d 1.1 - această parte este formată din mașini fabricate din numărul de mașini conform planului. Să scriem în procente = 110%.

Răspuns: 110%.

Exemplu. Bronzul este un aliaj de staniu și cupru. Ce procent din aliaj este cuprul într-o bucată de bronz, formată din 6 kg de staniu și 34 kg de cupru?

1. 6+ 34 \u003d 40 (kg) - masa întregului aliaj.
2. 34: 40 = 0,85 = 85 (%) - aliajul este cupru.

Răspuns: 85%.

Exemplu. Puiul de elefant a pierdut 20% primăvara, apoi a câștigat 30% vara, a pierdut din nou 20% toamna și a câștigat 10% iarna. Greutatea lui a rămas aceeași anul acesta? Dacă se schimbă, cu ce procent și în ce direcție?

1. 100 - 20 = 80 (%) - după primăvară.
2. 80 + 80 . 0,3 = 104 (%) - după vară.
3. 104-104. 0,2 = 83,2 (%) - după toamnă.
4. 83,2 + 83,2. 0,1 = 91,52 (%) - după iarnă.

Răspuns: a slăbit cu 8,48%.

Exemplu. Am lăsat la păstrare 20 kg de agrișe, ale căror fructe de pădure conțin 99% apă. Conținutul de apă din fructe de pădure a scăzut la 98%. Câte agrișe va fi rezultatul?

1. 100 - 99 \u003d 1 (%) \u003d 0,01 - mai întâi proporția de substanță uscată din agrișe.
2. douăzeci . 0,01 \u003d 0,2 (kg) - substanță uscată.
3. 100 - 98 \u003d 2 (%) \u003d 0,02 - proporția de substanță uscată din agrișe după depozitare.
4. 0,2: 0,02 \u003d 10 (kg) - agrișele au devenit.

Raspuns: 10 kg.

Exemplu. Ce se întâmplă cu prețul unui produs dacă este mai întâi majorat cu 25% și apoi redus cu 25%?

Fie prețul produsului x ruble, apoi după creștere produsul costă 125% din prețul anterior, adică. 1,25x, iar după o scădere de 25%, valoarea acestuia este de 75% sau 0,75 din prețul majorat, adică.

0,75 .1,25x = 0,9375x,

apoi prețul mărfurilor a scăzut cu 6,25%.

x - 0,9375x = 0,0625x;
0,0625 . 100% = 6,25%

Răspuns: Prețul inițial al produsului a scăzut cu 6,25%.

Regula 3. Pentru a găsi procentul a două numere A și B, trebuie să înmulțiți raportul acestor numere cu 100%, adică să calculați (A: B). 100%.

Exemplu. Găsiți un număr dacă 15% din el este 30.

1. 15% = 0,15;
2. 30: 0,15 = 200.

x este un număr dat;
0,15 . x = 300;
x = 200.

Raspuns: 200.

Exemplu. Bumbacul brut produce 24% fibre. Cât bumbac brut trebuie luat pentru a obține 480 kg de fibre?

Să scriem 24% ca o fracție zecimală de 0,24 și să obținem problema găsirii unui număr din partea (fracția) cunoscută.
480: 0,24= 2000 kg = 2 t

Raspuns: 2 t.

Exemplu. Câte kg de ciuperci porcini trebuie recoltate pentru a obține 1 kg de ciuperci uscate, dacă 50% din masa lor rămâne în timpul prelucrării ciupercilor proaspete și 10% din masa ciupercilor prelucrate rămâne la uscare?

1 kg de ciuperci uscate reprezintă 10% sau 0,01 parte din procesat, adică.
1 kg: 0,1=10 kg ciuperci procesate, adică 50% sau 0,5 ciuperci culese, adică.
10 kg: 0,05=20 kg.

Raspuns: 20 kg.

Exemplu. Ciupercile proaspete au conținut 90% apă din greutate și uscate 12%. Câte ciuperci uscate se vor obține din 22 kg de proaspete?

1. 22. 0,1 = 2,2 (kg) - ciuperci în greutate în ciuperci proaspete; (0,1 este 10% substanță uscată);
2. 2,2: 0,88 = 2,5 (kg) - ciuperci uscate obținute din proaspăt (cantitatea de substanță uscată nu s-a schimbat, dar procentul său în ciuperci s-a modificat și acum 2,2 kg reprezintă 88% sau 0,88 ciuperci uscate).

Raspuns: 2,5 kg.

Regula 4. Pentru a găsi un număr având în vedere procentele sale, trebuie să exprimați procentele ca o fracție, apoi împărțiți valoarea procentuală la această fracție.

In problemele de calcul bancar se intalnesc de obicei dobanda simpla si compusa. Care este diferența dintre creșterea dobânzii simple și compuse? La creștere simplă, procentul se calculează de fiecare dată pe baza valorii inițiale, iar la creștere complexă, se calculează din valoarea anterioară. Cu o creștere simplă, 100% este suma inițială, iar cu o creștere complexă, 100% este nou de fiecare dată și egal cu valoarea anterioară.

Exemplu. Banca plătește un venit de 4% pe lună din suma depozitului. 300 de mii de ruble au fost puse în cont, veniturile sunt acumulate în fiecare lună. Calculați valoarea contribuției după 3 luni.

1. 100 + 4 = 104 (%) = 1,04 - ponderea creșterii depozitului față de luna precedentă.
2. 300 . 1,04 \u003d 312 (mii de ruble) - valoarea contribuției după 1 lună.
3. 312 . 1,04 \u003d 324,48 (mii de ruble) - valoarea contribuției după 2 luni.
4. 324,48. 1,04 = 337,4592 (mii r) = 337 459,2 (r) - valoarea contribuției după 3 luni.

Sau puteți înlocui paragrafele 2-4 cu unul, repetând conceptul de grad cu copiii: 300.1.043 \u003d 337.4592 (mii de ruble) \u003d 337.459,2 (r) - valoarea contribuției după 3 luni.

Răspuns: 337.459,2 ruble

Exemplu. Vasya a citit în ziar că în ultimele 3 luni prețurile la alimente au crescut în medie cu 10% pe lună. Cu ce ​​procente au crescut prețurile în 3 luni?

Exemplu. Banii investiți în acțiuni ale unei companii cunoscute aduc 20% din venituri anual. În câți ani se va dubla investiția?

Să luăm în considerare un plan de sarcini similar folosind exemple specifice.

Exemplu. (Opțiunea 1 nr. 16. OGE-2016. Matematică. Sarcini tipice de testare_ed. Yashchenko_2016 -80s)

Magazinul de sport derulează o promoție. Orice săritor costă 400 de ruble. La cumpărarea a două săritori - 75% reducere la al doilea săritor. Câte ruble va trebui să plătesc pentru achiziționarea a doi săritori în perioada promoției?

În funcție de starea problemei, se dovedește că primul jumper este cumpărat pentru 100% din costul său inițial, iar al doilea pentru 100 - 75 = 25 (%), adică. in total, cumparatorul trebuie sa plateasca 100 + 25 = 125 (%) din costul initial. Soluția poate fi apoi luată în considerare în trei moduri.

1 cale.

Acceptăm 400 de ruble ca 100%. Atunci 1% conține 400: 100 = 4 (ruble) și 125%
patru . 125 = 500 (ruble)

2 sensuri.

Un procent dintr-un număr se găsește înmulțind numărul cu fracția corespunzătoare procentului sau înmulțind numărul cu procentul dat și împărțind la 100.
400 . 1,25 = 500 sau 400. 125/100 = 500.

3 căi.

Aplicând proprietatea proporției:
400 de ruble. - 100 %
x freca. - 125%, obținem x \u003d 125. 400 / 100 = 500 (ruble)

Răspuns: 500 de ruble.

Exemplu. (Opțiunea 4 nr. 16. OGE-2016. Matematică. Sarcini de testare tipice_ed. Yashchenko_2016 -80s)

Greutatea medie a băieților de aceeași vârstă cu Gosha este de 57 kg. Greutatea lui Gosha este de 150% din greutatea medie. Câte kilograme cântărește Gosha?

Similar cu exemplul discutat mai sus, puteți face o proporție:

57 kg - 100%
x kg - 150%, obținem x \u003d 57. 150 / 100 = 85,5 (kg)

Raspuns: 85,5 kg.

Exemplu. (Opțiunea 7 nr. 16. OGE-2016. Matematică. Sarcini de testare tipice_ed. Yashchenko_2016 - 80s)

După reducerea prețului televizorului, noul său preț a fost de 0,52 față de cel vechi. Cu ce ​​procente a scăzut prețul ca urmare a reducerii?

1 cale.

Să găsim mai întâi ponderea reducerii prețului. Dacă prețul inițial este luat ca 1, atunci 1 - 0,52 = 0,48 este ponderea reducerii prețului. Apoi obținem 0,48. 100% = 48%. Acestea. prețul a scăzut cu 48% ca urmare a reducerii.

2 sensuri.

Dacă costul inițial este luat ca A, atunci după reducere, noul preț al televizorului va fi 0,52A, adică. va scadea cu A - 0,52A = 0,48A.

Să facem o proporție:
A - 100%
0,48A - x%, obținem x = 0,48A. 100 / A = 48 (%).

Răspuns: prețul a scăzut cu 48% ca urmare a reducerii.

Exemplu. (Opțiunea 9 nr. 16. OGE-2016. Matematică. Sarcini tipice de testare_ed. Yashchenko_2016 - 80s)

Produsul la vânzare a fost redus cu 15%, în timp ce a început să coste 680 de ruble. Cât a costat articolul înainte de vânzare?

Înainte de scăderea prețului, produsul valora 100%. Prețul produsului după vânzare a scăzut cu 15%, adică. a devenit 100 - 15 = 85 (%), în ruble această valoare este egală cu 680 de ruble.

1 cale.

680: 85 = 8 (ruble) - în 1%
opt . 100 \u003d 800 (ruble) - costul mărfurilor înainte de vânzare.

2 sensuri.

Aceasta este problema găsirii unui număr la procentul său, se rezolvă împărțind numărul la procentul corespunzător și transformând fracția rezultată în procent, înmulțind cu 100, sau împărțind la fracția obținută prin conversia din procente.
680:85. 100 \u003d 800 (ruble) sau 680: 0,85 \u003d 800 (ruble)

3 căi.

Cu proportie:
680 de ruble. - 85%
x freca. - 100%, obținem x = 680. 100 / 85 = 800 (ruble)

Răspuns: 800 de ruble costă mărfurile înainte de vânzare.

Rezolvarea problemelor pentru amestecuri și aliaje, folosind conceptele de „procent”, „concentrație”, „% soluție”.

Cele mai simple sarcini de acest tip sunt enumerate mai jos.

Exemplu. Câte kg de sare în 10 kg de apă sărată dacă procentul de sare este de 15%.

zece . 0,15 = 1,5 (kg) sare.

Raspuns: 1,5 kg.

Procentul de substanță într-o soluție (de exemplu 15%), uneori denumit soluție % (de exemplu, soluție salină 15%).

Exemplu. Aliajul conține 10 kg de staniu și 15 kg de zinc. Care este procentul de staniu și zinc din aliaj?

Procentul de substanță dintr-un aliaj este partea pe care o formează greutatea unei anumite substanțe din greutatea întregului aliaj.

1. 10 + 15 = 25 (kg) - aliaj;
2. 10:25 a.m. 100% = 40% - procentul de staniu din aliaj;
3. 15:25. 100% = 60% - procentul de zinc din aliaj.

Răspuns: 40%, 60%.

În sarcinile de acest tip, conceptul de „concentrare” este principalul. Ce este?

Luați în considerare, de exemplu, o soluție de acid în apă.

Lăsați vasul să conțină 10 litri de soluție, care constă din 3 litri de acid și 7 litri de apă. Apoi, conținutul de acid relativ (în raport cu întregul volum) din soluție este egal. Acest număr determină concentrația acidului în soluție. Uneori se vorbește despre procentul de acid din soluție. În exemplul dat, procentul va fi următorul: . După cum puteți vedea, trecerea de la concentrare la procent și invers este foarte simplă.

Deci, un amestec de masă M conține o substanță de masă m.

• concentrația unei substanțe date într-un amestec (aliaj) este o cantitate;
• procentul unei substanțe date se numește c × 100%;

Din ultima formulă rezultă că la concentrațiile cunoscute ale unei substanțe și masa totală a unui amestec (aliaj), masa unei substanțe date este determinată de formula m=c×M.

Problemele legate de amestecuri (aliaje) pot fi împărțite în două tipuri:

1. De exemplu, sunt date două amestecuri (aliaje) cu mase m1 și m2 și concentrații ale unei substanțe în ele egale cu c1 și, respectiv, c2. Amestecuri (aliaje) sunt drenate (topite). Este necesar să se determine masa acestei substanțe într-un nou amestec (aliaj) și noua sa concentrație. Este clar că în noul amestec (aliaj) masa substanței date este egală cu c1m1+c2m2, iar concentrația.
2. Se stabilește un anumit volum al amestecului (aliajului), iar din acest volum încep să turneze (înlătură) o anumită cantitate din amestec (aliaj), apoi se adaugă (se adaugă) aceeași cantitate sau o altă cantitate din amestec (aliaj) cu aceeași concentrație a substanței date sau cu o concentrație diferită. Această operațiune se efectuează de mai multe ori.

La rezolvarea unor astfel de probleme, este necesar să se stabilească un control asupra cantității unei substanțe date și a concentrației acesteia la fiecare reflux, precum și la fiecare adăugare a amestecului. Ca rezultat al unui astfel de control, obținem o ecuație de rezolvare. Să luăm în considerare sarcini specifice.

Dacă concentrația în masă a unei substanțe într-un compus este P%, atunci aceasta înseamnă că masa acestei substanțe este P% din masa întregului compus.

Exemplu. Concentrația de argint într-un aliaj de 300 g este de 87%. Aceasta înseamnă că argintul pur din aliaj este de 261 g.

300 . 0,87 = 261 (g).

În acest exemplu, concentrația unei substanțe este exprimată ca procent.

Raportul dintre volumul unei componente pure în soluție și volumul total al amestecului se numește concentrația volumetrică a acestei componente.

Suma concentrațiilor tuturor componentelor care compun amestecul este 1.

Dacă procentul unei substanțe este cunoscut, atunci concentrația acesteia se găsește prin formula:
K \u003d P / 100%,
unde K este concentrația substanței;
P este procentul substanței (în procente).

Exemplu. (Opțiunea 8 nr. 22. OGE-2016. Matematică. Sarcini tipice de testare_ed. Yashchenko_2016 - anii 80)

Fructele proaspete conțin 75% apă, în timp ce fructele uscate conțin 25%. Câte fructe proaspete sunt necesare pentru a pregăti 45 kg de fructe uscate?

Dacă fructele proaspete conțin 75% apă, atunci substanța uscată va fi 100 - 75 = 25 (%), iar uscată - 25%, atunci substanța uscată din ele va fi 100 - 25 = 75 (%).

Când rezolvați o problemă, puteți utiliza tabelul:

Fructe proaspete x 25% = 0,25 0,25. X

Fructe uscate 45 75% = 0,75 0,75. 45 = 33,75

pentru că masa de substanță uscată pentru fructele proaspete și uscate nu se modifică, obținem ecuația:

0,25 . x = 33,75;
x = 33,75: 0,25;
x = 135 (kg) - sunt necesare fructe proaspete.

Raspuns: 135 kg.

Exemplu. (Opțiunea 8 nr. 11. Examenul de stat unificat-2016. Matematică. Tipic. Test. Sarcini. Ed. Yashchenko 2016 -56s)

Prin amestecarea soluțiilor acide 70% și 60% și adăugarea a 2 kg de apă pură s-a obținut o soluție acidă 50%. Dacă în loc de 2 kg de apă s-ar adăuga 2 kg dintr-o soluție de 90% din același acid, atunci s-ar obține o soluție de 70% din acid. Câte kilograme dintr-o soluție de 70% au fost folosite pentru a face amestecul?

Greutate totală, kg | Concentrația substanței uscate | Masa de substanță uscată
I x 70% \u003d 0,7 0,7. X
II în 60% = 0,6 0,6. la
apa 2 - -
I + II + apă x + y + 2 50% \u003d 0,5 0,5. (x + y + 2)
III 2 90% = 0,9 0,9. 2 = 1,8
I + II + III x + y + 2 70% \u003d 0,7 0,7. (x + y + 2)

Folosind ultima coloană din tabel, vom compune 2 ecuații:

0,7. x + 0,6. y = 0,5. (x + y + 2) și 0,7. x + 0,6. y + 1,8 = 0,7. (x + y + 2).

Combinându-le într-un sistem și rezolvându-l, obținem că x = 3 kg.

Răspuns: 3 kilograme dintr-o soluție 70% au fost folosite pentru a obține un amestec.

Exemplu. (Opțiunea 2 nr. 11. Examenul de stat unificat-2016. Matematică. Tipic. Test. Teme. Ed. Yashchenko 2016 -56s)

Trei kilograme de cireșe costă la fel ca cinci kilograme de cireșe, iar trei kilograme de cireșe costă la fel ca două kilograme de căpșuni. Cu ce ​​procente un kilogram de căpșuni este mai ieftin decât un kilogram de cireșe?

Din prima propoziție a problemei obținem următoarele egalități:

3h = 5v,
3v = 2k.
Din care putem exprima: h \u003d 5v / 3, k \u003d 3v / 2.

Astfel, puteți face o proporție:
5v/3 - 100%
3v / 2 - x%, obținem x \u003d (3. 100. c.3) / (2. 5. c), x \u003d 90% este costul unui kilogram de căpșuni din costul unui kilogram de cirese.

Deci, cu 100 - 90 = 10 (%) - un kilogram de căpșuni este mai ieftin decât un kilogram de cireșe.

Răspuns: un kilogram de căpșuni este cu 10 la sută mai ieftin decât un kilogram de cireșe.

Rezolvarea problemelor pentru dobândă „compusă”, folosind conceptul de coeficient de creștere (scădere).

Pentru a crește numărul pozitiv A cu p procent, înmulțiți numărul A cu factorul de creștere K = (1 + 0,01p).

Pentru a reduce numărul pozitiv A cu p procent, înmulțiți numărul A cu factorul de reducere K = (1 - 0,01p).

Exemplu. (Opțiunea 29 Nr. 22. OGE-2015. Matematică. Opțiuni tipice de examen: 36 de opțiuni / editat de Yashchenko, 2015 - 224c)

Prețul unei mărfuri a fost redus de două ori cu același procent. Cu ce ​​procente a scăzut prețul mărfurilor de fiecare dată dacă costul său inițial a fost de 5.000 de ruble și costul final a fost de 4.050 de ruble?

1 cale.

pentru că prețul unei mărfuri a scăzut cu același număr de %, să notăm numărul de % ca x. Să scadă prețul produsului cu x% pentru prima și a doua oară, apoi după prima scădere prețul produsului a devenit (100 - x)%.

Să facem o proporție
5000 de ruble. - 100%
la frecare. - (100 - x)%, obținem y \u003d 5000. (100 - x) / 100 = 50 . (100 - x) ruble - costul mărfurilor după prima reducere.

Să facem o nouă proporție pentru noul preț:
cincizeci . (100 - x) frecare. - 100%
z freca. - (100 - x)%, obținem z \u003d 50. (100 - x) (100 - x) / 100 = 0,5. (100 - x) 2 ruble - costul mărfurilor după a doua reducere.

Obținem ecuația 0.5. (100 - x) 2 \u003d 4050. După ce am rezolvat-o, obținem acel x \u003d 10%.

2 sensuri.

pentru că prețul unei mărfuri a scăzut cu același număr de%, să notăm numărul de% ca x, x% = 0,01 x.

Folosind conceptul de factor de reducere, obținem imediat ecuația:
5000 . (1 - 0,01x) 2 = 4050.

Răspuns: prețul mărfurilor a scăzut de fiecare dată cu 10%.

Exemplu. (Opțiunea 30 Nr. 22. OGE-2015. Matematică. Opțiuni tipice de examen: 36 de opțiuni / editat de Yashchenko, 2015 - 224c)

Prețul unei mărfuri a fost majorat de două ori cu același procent. Cu ce ​​procente a crescut prețul mărfurilor de fiecare dată dacă costul său inițial a fost de 3.000 de ruble și costul final a fost de 3.630 de ruble?

pentru că prețul unui bun a crescut cu același număr de %, să notăm numărul de % cu x, x % = 0,01 x.

Folosind conceptul de factor de mărire, obținem imediat ecuația:
3000 . (1 + 0,01x) 2 = 3630.

Rezolvând-o, obținem că x = 10%.

Răspuns: creșterea prețului mărfurilor cu 10% de fiecare dată.

Exemplu. (Opțiunea 4 nr. 11. Examenul de stat unificat-2016. Matematică. Tipic. Test. Ass. ed. Yashchenko 2016 -56s)

Joi, acțiunile companiei au crescut cu un anumit număr de procente, iar vineri au scăzut cu același număr de procente. Drept urmare, au început să coste cu 9% mai ieftin decât la deschiderea tranzacționării de joi. Cu ce ​​procente au crescut prețul acțiunilor companiei joi?

Fie ca acțiunile companiei să crească și să scadă în preț cu x%, x% = 0,01 x, iar valoarea inițială a acțiunilor a fost A. Folosind toate condițiile problemei, obținem ecuația:

(1 + 0,01 x) (1 - 0,01 x) A \u003d (1 - 0,09) A,
1 - (0,01 x) 2 \u003d 0,91,
(0,01 x)2 = (0,3)2,
0,01 x \u003d 0,3,
x = 30%.

Răspuns: Acțiunile companiei au crescut cu 30 la sută joi.

Rezolvarea problemelor „bancare” în noua versiune a USE-2016 la matematică.

Exemplu. (Opțiunea 2 nr. 17. Unified State Exam-2016. Matematică. 50 de tipuri. rev. ed. Yashchenko 2016)

Pe 15 ianuarie, este planificată să ia un împrumut de la bancă pentru 15 luni. Condițiile pentru returnarea acestuia sunt următoarele:

Se știe că a opta plată s-a ridicat la 108 mii de ruble. Cât de mult trebuie rambursat băncii pe toată perioada împrumutului?

Din 2 până în 14 se plătește A/15 +0,01A.

După aceea, valoarea datoriei va fi 1,01A - A / 15 - 0,01A \u003d 14A / 15.

După 2 luni obținem: 1.01. 14A/15.

A doua plată A/15 + 0,01. 14A/15.

Apoi datoria după a doua plată este 13A/15.

În mod similar, obținem că a opta plată va arăta astfel:

A/15 + 0,01. 8A/15 = A/15. (1 + 0,08) = 1,08A / 15.

Și conform condiției, este egal cu 108 mii de ruble. Deci, putem scrie și rezolva ecuația:

1.08A / 15 \u003d 108,

A=1500 (mii de ruble) - suma inițială a datoriei.

2) Pentru a afla suma care trebuie returnată băncii pe toată perioada împrumutului, trebuie să găsim suma tuturor plăților aferente împrumutului.

Suma tuturor plăților pentru împrumut va arăta astfel:

(A / 15 + 0,01A) + (A / 15 + 0,01. 14A / 15) + (A / 15 + 0,01. 13A / 15) + ... + (A / 15 + 0,01. A /15) \u003d A + 0,01A / 15 (15 + 14 + 13 + 12 + 11 + 10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1) \u003d A + (0,01. 120A)/15 = 1,08 A.

Deci 1.08. 1500 \u003d 1620 (mii de ruble) \u003d 1620000 de ruble trebuie returnate băncii pe toată perioada împrumutului.

Răspuns: 1620000 de ruble.

Exemplu. (Opțiunea 6 nr. 17. Examen unificat de stat-2016. Matematică. 50 de tipuri. rev. ed. Yashchenko 2016)

Pe 15 ianuarie este planificată să ia un împrumut de la bancă pentru 24 de luni. Condițiile pentru returnarea acestuia sunt următoarele:

• La data de 1 a fiecărei luni, datoria crește cu 1% față de sfârșitul lunii precedente;
• din 2 până în 14 a fiecărei luni, o parte din datorie trebuie plătită;
• În ziua de 15 a fiecărei luni, datoria trebuie să fie cu aceeași sumă mai mică decât datoria din data de 15 a lunii precedente.

Se știe că în primele 12 luni este necesar să plătească băncii 177,75 mii de ruble. Cât plănuiți să împrumutați?

1) Fie A valoarea împrumutului, 1% = 0,01.

Apoi 1.01A datorie după prima lună.

Din 2 până pe 14 se plătește A/24 +0,01A.

După aceea, valoarea datoriei va fi 1,01A - A / 24 - 0,01A \u003d A - A / 24 \u003d 23A / 24.

În cadrul acestei scheme, datoria devine cu aceeași sumă mai mică decât datoria în a 15-a zi a lunii precedente.

După 2 luni obținem: 1.01. 23A/24.

A doua plată A/24 + 0,01. 23A/24.

Apoi, datoria după a doua plată este de 1,01. 23A/24 - A/24 - 0,01. 23A / 24 \u003d 23A / 24 (1,01 - 0,01) - A / 24 \u003d 23A / 24 - A / 24 \u003d 22A / 24.

Astfel, obținem că în primele 12 luni trebuie să plătiți băncii următoarea sumă:
A/24 +0,01A. 24/24 + A/24 + 0,01. 23A/24 + A/24 + 0,01. 22A/24 + ... + A/24 + 0,01. 13A/24 = 12A/24 + 0,01A/24 (24+23+22+21+20+19+18+17+16+15+14+13) = A/2 + 222A/2400 = 711A/1200 .

Și conform condiției, este egal cu 177,375 mii de ruble. Deci, putem scrie și rezolva ecuația:
711A / 1200 \u003d 177,75,
A = 300 (mii de ruble) = 300.000 de ruble - este planificat să luați un împrumut.

Răspuns: 300.000 de ruble.

Pentru a putea rezolva corect și rapid problemele de text cu procente este necesar nu numai pentru studenții care urmează să promoveze examenul de matematică la nivel de bază sau de specialitate, ci și pentru toți adulții, deoarece astfel de sarcini sunt întâlnite constant în viața de zi cu zi. Creșterea prețurilor, planificarea unui buget familial, investiția profitabilă a fondurilor și multe alte probleme nu pot fi rezolvate fără aceste abilități. În pregătirea pentru promovarea testului de certificare, este imperativ să repetați modul de rezolvare a problemelor pentru procente: la USE în matematică, acestea se regăsesc atât la nivel de bază, cât și la nivel de profil.

Trebuie să ne amintim

Un procent este \(\frac(1)(100)\) parte dintr-un număr. Indică proporția a ceva în raport cu întregul. Caracterul scris este \(\%\) . Când se pregătesc pentru examenul de stat unificat pe tema „Interes”, școlarii atât din Moscova, cât și din alte părți ale Federației Ruse trebuie să-și amintească următoarea formulă:

\

Cum se aplică?

Pentru a rezolva o sarcină simplă cu procente la examenul de matematică ai nevoie de:

1. Împărțiți numărul dat la \(100\) .
2. Înmulțiți valoarea rezultată cu suma \(\%\) care trebuie găsită.

De exemplu, pentru a calcula \(10\%\) din \(300\) , ați găsi procentul \(1\) împărțind \(300:100=3\) . Și numărul \(3\cdot10=30\) obținut din acțiunea anterioară. Răspuns: \(30\).

Acestea sunt cele mai simple sarcini. Elevii de clasa a XI-a din USE se confruntă cu nevoia de a rezolva probleme complexe cu procente. De regulă, ei vorbesc despre depozite sau plăți bancare. Vă puteți familiariza cu formulele și regulile de aplicare a acestora accesând secțiunea „Referință teoretică”. Aici puteți nu numai să repetați definițiile de bază, ci și să vă familiarizați cu opțiunile de rezolvare a problemelor complexe pentru dobânda la un împrumut bancar, precum și cu exerciții din alte secțiuni de algebră, de exemplu,

Tipul locului de muncă: 11
Subiect: Sarcini pentru procente

Condiție

Elena a făcut un depozit la bancă în valoare de 5500 de ruble. Dobânda la depozit se calculează o dată pe an și se adaugă la suma actuală a depozitului. Un an mai târziu, Natalia a depus aceeași sumă în aceeași bancă și în aceleași condiții. Un an mai târziu, Elena și Natalya și-au închis simultan depozitele și au luat banii. Drept urmare, Elena a primit cu 739,2 ruble mai mult decât a primit Natalya. Aflați ce procent pe an a perceput banca pentru depozite?

Afișează soluția

Soluţie

Fie procentul pe an x, apoi după un an contribuția Elenei a fost:

5500 + 0,01x \cdot 5500 = 5500(1 + 0,01x) ruble, iar un an mai târziu - 5500(1 + 0,01x)^2 ruble. Depozitul Nataliei a fost în bancă doar un an, deci este egal cu 5500(1 + 0,01x) ruble. Iar diferența dintre contribuțiile rezultate ale Elenei și Nataliei sa ridicat la 739,2 ruble.

Să facem și să rezolvăm ecuația:

5500(1+0,01x)^2-5500(1+0,01x)= 739,2,

(1+0,01x)^2-(1+0,01x)=0,1344,

x^2+100x-1344=0,

x_1=-112,\enspace x_2=12.

Banca a perceput 12% pe an.

Răspuns

Tipul locului de muncă: 11
Subiect: Sarcini pentru procente

Condiție

Antreprenorul Petrov a realizat un profit de 12.000 de ruble în 2005. În fiecare an următor, profitul său a crescut cu 110% față de anul precedent. Câte ruble a câștigat Petrov în 2008?

Afișează soluția

Soluţie

În 2005, profitul a fost de 12\.000 de ruble, fiecare anul viitor a crescut cu 110\%, adică a devenit 210\% \u003d 2,1 față de anul precedent. Peste trei ani va fi 12\,000 \cdot 2,1^3 = 111\,132 rublă.

Răspuns

Sursa: „Matematică. Pregatire pentru examen-2017. nivel de profil. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Tipul locului de muncă: 11
Subiect: Sarcini pentru procente

Condiție

Există două aliaje. Primul aliaj conține 12% fier, al doilea - 28% fier. Masa celui de-al doilea aliaj este mai mare decât masa primului cu 2 kg. Din aceste două aliaje, a fost realizat un al treilea aliaj cu un conținut de fier de 21%. Aflați masa celui de-al treilea aliaj. Dați răspunsul în kilograme.

Afișează soluția

Soluţie

Să notăm masa primului aliaj cu x kg. Apoi masa celui de-al doilea aliaj este (x + 2) kg. Conținutul de fier în primul aliaj este de 0,12x kg, în al doilea aliaj - 0,28(x + 2) kg. Al treilea aliaj are o masă x + x + 2 = 2x + 2 (kg), iar conținutul său de fier este 2(x + 1) \cdot 0,21 = 0,42(x + 1) kg.

Să facem și să rezolvăm ecuația:

0,12x+ 0,28(x + 2) = 0,42(x+1),

6x + 14(x + 2) = 21(x + 1),

X = 7.

Al treilea aliaj are o masă de 2 \cdot 7 + 2 = 16 (kg).

Răspuns

Sursa: „Matematică. Pregatire pentru examen-2017. nivel de profil. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Tipul locului de muncă: 11
Subiect: Sarcini pentru procente

Condiție

Prețul unui televizor într-un magazin trimestrial (trei luni într-un trimestru) scade cu același procent din prețul anterior. Se știe că un televizor în valoare de 50.000 de ruble a fost vândut două sferturi mai târziu pentru 41.405 de ruble. Aflați procentul cu care costul televizorului a scăzut trimestrial.

Afișează soluția

Soluţie

Prețul televizorului a fost inițial de 50.000 de ruble. Un sfert mai târziu ea a devenit 50\,000-50\,000\cdot0,01x = 50\,000(1-0,01x) ruble, unde x este procentul cu care prețul televizorului este redus trimestrial. După două trimestre, prețul ei a devenit

50\,000(1-0,01x)(1-0,01x)=50\,000(1-0,01x)^2.

Să facem și să rezolvăm ecuația:

50\,000(1-0,01x)^2=41\,405,

(1-0,01x)^2=0,8281,

1-0,01x=0,91,

x=9.

Deci, prețul televizorului a scăzut cu 9 la sută trimestrial.

Răspuns

Sursa: „Matematică. Pregatire pentru examen-2017. nivel de profil. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Tipul locului de muncă: 11
Subiect: Sarcini pentru procente

Condiție

În 2005, în sat locuiau 55.000 de oameni. În 2006, ca urmare a construcției de noi case, numărul locuitorilor a crescut cu 6%, iar în 2007 - cu 10% față de 2006. Aflați numărul de locuitori ai satului în anul 2007.

Afișează soluția

Soluţie

În anul 2006, numărul locuitorilor satului a crescut cu 6%, i.е. a devenit 106%, ceea ce este egal cu 55\,000 \cdot 1,06 = 58\,300 (locuitori). În anul 2007, numărul locuitorilor satului a crescut cu 10% (a devenit 110%) față de 2006, i.е. numarul locuitorilor satului a devenit 58\,300 \cdot 1,1 = 64\,130 oameni.

Răspuns

Sursa: „Matematică. Pregatire pentru examen-2017. nivel de profil. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Tipul locului de muncă: 11
Subiect: Sarcini pentru procente

Condiție

Afișează soluția

Soluţie

3 litri dintr-o soluție apoasă 14% conțin 3 \ cdot0,14 \u003d 0,42 litri. ceva substanta. Adăugați 4 litri de apă, au devenit 7 litri de soluție. În acești 7 litri de soluție nouă - 0,42 litri de substanță. Să găsim concentrația noii soluții: 0,42:7\cdot100=6%.

Răspuns

Sursa: „Matematică. Pregatire pentru examen-2017. nivel de profil. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Tipul locului de muncă: 11
Subiect: Sarcini pentru procente

Condiție

Companiile de construcții au înființat o companie cu un capital autorizat de 150 de milioane de ruble. Prima firmă a contribuit cu 20% din capitalul autorizat, a doua firmă - 22,5 milioane de ruble, a treia - 0,3 din capitalul autorizat, a patra firmă a contribuit cu restul.