În ultimul tutorial video, am aflat că gradul unei baze este o expresie care este produsul bazei și ea însăși, luată într-o cantitate egală cu exponentul. Să studiem acum câteva dintre cele mai importante proprietăți și operații ale puterilor.

De exemplu, să înmulțim două puteri diferite cu aceeași bază:

Să aruncăm o privire la această piesă în întregime:

(2) 3 * (2) 2 = (2)*(2)*(2)*(2)*(2) = 32

Calculând valoarea acestei expresii, obținem numărul 32. Pe de altă parte, așa cum se poate observa din același exemplu, 32 poate fi reprezentat ca un produs al aceleiași baze (două), luat de 5 ori. Și într-adevăr, dacă numărați, atunci:

Astfel, se poate concluziona cu siguranță că:

(2) 3 * (2) 2 = (2) 5

Această regulă funcționează cu succes pentru orice indicator și orice motiv. Această proprietate de multiplicare a gradului decurge din regula păstrării sensului expresiilor în timpul transformărilor în produs. Pentru orice bază a, produsul a două expresii (a) x și (a) y este egal cu a (x + y). Cu alte cuvinte, la producerea oricăror expresii cu aceeași bază, monomul final are un grad total format prin adăugarea gradului primei și celei de-a doua expresii.

Regula prezentată funcționează excelent și atunci când înmulțiți mai multe expresii. Condiția principală este ca bazele pentru toate să fie aceleași. De exemplu:

(2) 1 * (2) 3 * (2) 4 = (2) 8

Este imposibil să adăugați grade și, într-adevăr, să efectuați acțiuni comune de putere cu două elemente ale expresiei, dacă bazele lor sunt diferite.
După cum arată videoclipul nostru, datorită asemănării proceselor de înmulțire și împărțire, regulile de adăugare a puterilor în timpul unui produs sunt perfect transferate în procedura de împărțire. Luați în considerare acest exemplu:

Să facem o transformare termen cu termen a expresiei într-o formă completă și să reducem aceleași elemente în dividend și divizor:

(2)*(2)*(2)*(2)*(2)*(2) / (2)*(2)*(2)*(2) = (2)(2) = (2) 2 = 4

Rezultatul final al acestui exemplu nu este atât de interesant, deoarece deja în cursul soluției sale este clar că valoarea expresiei este egală cu pătratul a doi. Și este deuce care se obține scăzând gradul celei de-a doua expresii din gradul primei.

Pentru a determina gradul coeficientului, este necesar să se scadă gradul divizorului din gradul dividendului. Regula funcționează cu aceeași bază pentru toate valorile sale și pentru toate puterile naturale. În formă abstractă, avem:

(a) x / (a) y = (a) x - y

Definiția gradului zero decurge din regula împărțirii bazelor identice cu puteri. Evident, următoarea expresie este:

(a) x / (a) x \u003d (a) (x - x) \u003d (a) 0

Pe de altă parte, dacă împărțim într-un mod mai vizual, obținem:

(a) 2 / (a) 2 = (a) (a) / (a) (a) = 1

La reducerea tuturor elementelor vizibile ale unei fracții se obține întotdeauna expresia 1/1, adică unul. Prin urmare, este în general acceptat că orice bază ridicată la puterea zero este egală cu unu:

Indiferent de valoarea a.

Cu toate acestea, ar fi absurd dacă 0 (care dă totuși 0 pentru orice înmulțire) este cumva egal cu unu, așa că o expresie ca (0) 0 (de la zero la gradul zero) pur și simplu nu are sens și la formula (a) 0 = 1 adăugați o condiție: „dacă a nu este egal cu 0”.

Hai să facem exercițiul. Să găsim valoarea expresiei:

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11

Deoarece baza este aceeași peste tot și este egală cu 34, valoarea finală va avea aceeași bază cu un grad (conform regulilor de mai sus):

Cu alte cuvinte:

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11 = (34) 0 = 1

Răspuns: Expresia este egală cu unu.

Dacă se înmulțesc (sau se împart) două puteri care au baze diferite, dar aceiași indicatori, atunci bazele lor pot fi înmulțite (sau împărțite), iar exponentul rezultatului trebuie lăsat același cu cel al factorilor (sau dividend și divizor).

În general, în limbajul matematic, aceste reguli sunt scrise după cum urmează:
a m × b m = (ab) m
a m ÷ b m = (a/b) m

La împărțire, b nu poate fi egal cu 0, adică a doua regulă trebuie completată cu condiția b ≠ 0.

Exemple:
2 3 x 3 3 = (2 x 3) 3 = 63 = 36 x 6 = 180 + 36 = 216
6 5 ÷ 3 5 = (6 ÷ 3) 5 = 2 5 = 32

Acum, folosind aceste exemple specifice, vom demonstra că regulile-proprietăți ale gradelor cu aceiași exponenți sunt adevărate. Să rezolvăm aceste exemple ca și cum nu am ști despre proprietățile puterilor:
2 3 × 3 3 = (2 × 2 × 2) × (3 × 3 × 3) = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 = 8 × 27 = 160 + 56 = 216
65 ÷ 35 = (6 × 6 × 6 × 6 × 6) ÷ (3 × 3 × 3 × 3 × 3) == 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32

După cum putem vedea, răspunsurile se potriveau cu cele primite atunci când au fost folosite regulile. Cunoașterea acestor reguli ne permite să simplificăm calculele.

Rețineți că expresia 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 poate fi scrisă astfel:
(2 × 3) × (2 × 3) × (2 × 3).

Această expresie, la rândul ei, este altceva decât (2 × 3) 3. adică 6 3 .

Proprietățile considerate ale gradelor cu aceiași exponenți pot fi utilizate în sens invers. De exemplu, cât este 18 2?
18 2 = (3 × 3 × 2) 2 = 3 2 × 3 2 × 2 2 = 9 × 9 × 4 = 81 × 4 = 320 + 4 = 324

Proprietățile grade sunt, de asemenea, folosite la rezolvarea exemplelor:
= 2 4 × 3 6 = 2 4 × 3 4 × 3 × 3 = 6 4 × 3 2 = 6 2 × 6 2 × 3 2 = (6 × 6 × 3) 2 = 108 2 = 108 × 108 = 108 ( 100 + 8) = 10800 + 864 = 11664

Regula împărțirii gradelor. La împărțirea puterilor cu aceeași bază, baza rămâne aceeași, iar exponentul divizorului este scăzut din exponentul dividendului. Exemple:

Slide 11 din prezentarea „Diviziunea și înmulțirea puterilor” la lecții de algebră pe tema „Grad”

Dimensiuni: 960 x 720 pixeli, format: jpg. Pentru a descărca gratuit un diapozitiv pentru a fi folosit într-o lecție de algebră, faceți clic dreapta pe imagine și faceți clic pe „Salvare imagine ca. ". Puteți descărca întreaga prezentare „Diviziunea și înmulțirea puterilor.ppt” într-o arhivă zip de 1313 KB.

„Împărțirea și înmulțirea puterilor” - a2 a3 = a2+3 = a5. a3 = a · a · a. Aflați produsul dintre a2 și a3. 100,2+3. Cinci ori. 64 = 144 = 1 0000 =. Înmulțirea și împărțirea puterilor. De 3 ori. a2 a3 =.

„Puterile celor doi” - 1024+. Reguli pentru transferul de la un sistem numeric la altul. Guselnikova E.V. Scoala numarul 130. Conţinut. Tabelul puterilor a doi. Să convertim numărul 1998 din zecimal în binar. Kislykh V.N. 11E Zinko K.O. 11E. Profesor: Finalizat: Să luăm în considerare schema de transformare folosind un exemplu.

„Grad cu exponent negativ” - Gradul cu exponent negativ. 5 12?3 (27?3). -2. -unu. Calculați: -3.

„Grad cu un indicator rațional” - pe tema: „Grad cu un indicator rațional”. Obiectivele lecției: I. Partea organizatorică. Verificarea temelor 1. Dictarea matematică 2. Evaluarea colegilor III. Munca independentă IV. Lecție generală. În timpul orelor. Pregătirea pentru proba V. Rezumarea lecției VI. II.

„Puterea cu un exponent întreg” - Exprimă expresia ca putere. X-12. Aranjați în ordine descrescătoare. Exprimați x-12 ca produs al două puteri cu baza x dacă se cunoaște un factor. Calculati. Simplifica.

„Proprietățile gradului” - Generalizarea cunoștințelor și abilităților privind aplicarea proprietăților gradului cu un indicator natural. Pauza de calcul. Proprietăți ale unui grad cu exponent natural. Verifică-te! Aplicarea cunoștințelor pentru rezolvarea unor probleme de complexitate variată. Test. Fizminutka. Dezvoltarea perseverenței, a activității mentale și a activității creative.

Regula diviziunii puterii

1. Gradul produsului a doi sau mai multor factori este egal cu produsul gradelor acestor factori (cu același indicator):

(abc…) n = a n b n c n …

Exemplul 1. (7 2 10) 2 = 7 2 2 2 10 2 = 49 4 100 = 19600. Exemplul 2. (x 2 –a 2) 3 = [(x + a)(x - a)] 3 =( x + a) 3 (x - a) 3

În practică, transformarea inversă este mai importantă:

a n b n c n … = (abc …) n

acestea. produsul acelorași puteri a mai multor mărimi este egal cu aceeași putere a produsului acestor mărimi.

Exemplul 3 Exemplul 4. (a + b) 2 (a 2 - ab + b 2) 2 \u003d [(a ​​​​+ b) (a 2 - ab + b 2)] 2 \u003d (a 3 + b 3) 2

2. Gradul câtului (fracției) este egal cu câtul împărțirii aceluiași grad al divizibilului la același grad al divizorului:

Exemplul 5 Exemplul 6

Transformare inversă:. Exemplul 7 . Exemplul 8 .

3. La înmulțirea puterilor cu aceleași baze, se adaugă exponenții:

Exemplul 9.2 2 2 5 =2 2+5 =2 7 =128. Exemplul 10. (a - 4c + x) 2 (a - 4c + x) 3 = (a - 4c + x) 5 .

4. La împărțirea puterilor cu aceeași bază, din exponentul dividendului se scade exponentul divizorului.

Exemplul 11. 12 5:12 3 =12 5-3 =12 2 =144. Exemplul 12. (x-y) 3:(x-y) 2 = x-y.

5. La ridicarea unui grad la o putere, exponenții se înmulțesc:

Exemplul 13. (2 3) 2 =2 6 =64. Exemplul 14

Adunarea, scăderea, înmulțirea și împărțirea puterilor

Adunarea și scăderea puterilor

Evident, numerele cu puteri pot fi adăugate ca și alte cantități , prin adăugarea lor pe rând cu semnele lor.

Deci, suma a 3 și b 2 este a 3 + b 2 .
Suma a 3 - b n și h 5 - d 4 este a 3 - b n + h 5 - d 4.

Cote aceleași puteri ale acelorași variabile poate fi adunat sau scazut.

Deci, suma lui 2a 2 și 3a 2 este 5a 2 .

De asemenea, este evident că dacă luăm două pătrate a, sau trei pătrate a sau cinci pătrate a.

Dar grade diverse variabileși diverse grade variabile identice, trebuie adăugate prin adăugarea lor la semnele lor.

Deci, suma a 2 și a 3 este suma a 2 + a 3 .

Este evident că pătratul lui a și cubul lui a nu este nici de două ori pătratul lui a, ci de două ori cubul lui a.

Suma a 3 b n și 3a 5 b 6 este a 3 b n + 3a 5 b 6 .

Scădere puterile se desfășoară în același mod ca și adunarea, cu excepția faptului că semnele subtraendului trebuie modificate în mod corespunzător.

Sau:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 \u003d -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6

Înmulțirea puterii

Numerele cu puteri pot fi înmulțite ca și alte mărimi scriindu-le una după alta, cu sau fără semnul înmulțirii între ele.

Deci, rezultatul înmulțirii a 3 cu b 2 este a 3 b 2 sau aaabb.

Sau:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

Rezultatul din ultimul exemplu poate fi ordonat prin adăugarea acelorași variabile.
Expresia va lua forma: a 5 b 5 y 3 .

Comparând mai multe numere (variabile) cu puteri, putem vedea că dacă oricare două dintre ele sunt înmulțite, atunci rezultatul este un număr (variabilă) cu o putere egală cu sumă grade de termeni.

Deci, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Aici 5 este puterea rezultatului înmulțirii, egală cu 2 + 3, suma puterilor termenilor.

Deci, a n .a m = a m+n .

Pentru a n, a este luat ca factor de atâtea ori cât este puterea lui n;

Și a m , este luat ca factor de câte ori este egal cu gradul m;

De aceea, puterile cu aceleași baze pot fi înmulțite prin adăugarea exponenților.

Deci, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . Și x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

Sau:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Înmulțiți (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Răspuns: x 4 - y 4.
Înmulțiți (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Această regulă este valabilă și pentru numerele ai căror exponenți sunt − negativ.

1. Deci, a -2 .a -3 = a -5 . Aceasta poate fi scrisă ca (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y-n .y-m = y-n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

Dacă a + b sunt înmulțiți cu a - b, rezultatul va fi a 2 - b 2: adică

Rezultatul înmulțirii sumei sau diferenței a două numere este egal cu suma sau diferența pătratelor lor.

Dacă suma și diferența a două numere ridicate la pătrat, rezultatul va fi egal cu suma sau diferența acestor numere în Al patrulea grad.

Deci, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2 .
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4 .
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8 .

Împărțirea gradelor

Numerele de putere pot fi împărțite ca și alte numere prin scăderea din divizor sau prin plasarea lor sub formă de fracție.

Deci a 3 b 2 împărțit la b 2 este a 3 .

Scrierea unui 5 împărțit la 3 arată ca $\frac $. Dar acesta este egal cu un 2. Într-o serie de numere
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
orice număr poate fi împărțit la altul, iar exponentul va fi egal cu diferență indicatori ai numerelor divizibile.

La împărțirea puterilor cu aceeași bază, se scad exponenții acestora..

Deci, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 . Adică $\frac = y$.

Și a n+1:a = a n+1-1 = a n . Adică $\frac = a^n$.

Sau:
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b + y) n-3

Regula este valabilă și pentru numerele cu negativ valori de grad.
Rezultatul împărțirii a -5 la a -3 este a -2 .
De asemenea, $\frac: \frac = \frac .\frac = \frac = \frac $.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 sau $h^2:\frac = h^2.\frac = h^3$

Este necesar să stăpânești foarte bine înmulțirea și împărțirea puterilor, deoarece astfel de operații sunt foarte utilizate în algebră.

Exemple de rezolvare a exemplelor cu fracții care conțin numere cu puteri

1. Reduceți exponenții în $\frac $ Răspuns: $\frac $.

2. Reduceți exponenții în $\frac$. Răspuns: $\frac $ sau 2x.

3. Reduceți exponenții a 2 / a 3 și a -3 / a -4 și aduceți la un numitor comun.
a 2 .a -4 este un prim numărător -2.
a 3 .a -3 este a 0 = 1, al doilea numărător.
a 3 .a -4 este a -1 , numărătorul comun.
După simplificare: a -2 /a -1 și 1/a -1 .

4. Reduceți exponenții 2a 4 /5a 3 și 2 /a 4 și aduceți la un numitor comun.
Răspuns: 2a 3 / 5a 7 și 5a 5 / 5a 7 sau 2a 3 / 5a 2 și 5/5a 2.

5. Înmulțiți (a 3 + b)/b 4 cu (a - b)/3.

6. Înmulțiți (a 5 + 1)/x 2 cu (b 2 - 1)/(x + a).

7. Înmulțiți b 4 /a -2 cu h -3 /x și a n /y -3 .

8. Împărțiți un 4 /y 3 la un 3 /y 2 . Răspuns: a/a.

Algebră - clasa a VII-a. Înmulțirea și împărțirea puterilor

Lecție pe tema: „Reguli pentru înmulțirea și împărțirea puterilor cu aceiași și diferiți exponenți. Exemple»

Materiale suplimentare
Dragi utilizatori, nu uitați să lăsați comentariile, feedback-ul, sugestiile voastre. Toate materialele sunt verificate de un program antivirus.

Înmulțirea și împărțirea puterilor

Scopul lecției: învățați cum să efectuați operații cu puterile unui număr.

În primul rând, să ne amintim conceptul de „putere a unui număr”. O expresie precum $\underbrace_$ poate fi reprezentată ca $a^n$.

Reversul este de asemenea adevărat: $a^n= \underbrace_ $.

Această egalitate se numește „înregistrarea gradului ca produs”. Ne va ajuta să stabilim cum să înmulțim și să împărțim puterile.
Tine minte:
A- baza gradului.
n- exponent.
În cazul în care un n=1, ceea ce înseamnă numărul A luată o dată şi respectiv: $a^n= 1$.
În cazul în care un n=0, atunci $a^0= 1$.

De ce se întâmplă acest lucru, putem afla când ne familiarizăm cu regulile de înmulțire și împărțire a puterilor.

reguli de multiplicare

a) Dacă se înmulțesc puteri cu aceeași bază.
Pentru $a^n * a^m$, scriem gradele ca produs: $\underbrace_ * \underbrace_ $.
Figura arată că numărul A am luat n+m ori, atunci $a^n * a^m = a^ $.

Exemplu.
$2^3 * 2^2 = 2^5 = 32$.

Această proprietate este convenabilă de utilizat pentru a simplifica munca atunci când creșteți un număr la o putere mare.
Exemplu.
$2^7= 2^3 * 2^4 = 8 * 16 = 128$.

b) Dacă puterile sunt înmulțite cu o bază diferită, dar cu același exponent.
Pentru $a^n * b^n$, scriem puterile ca produs: $\underbrace_ * \underbrace_ $.
Dacă schimbăm factorii și numărăm perechile rezultate, obținem: $\underbrace_ $.

Deci $a^n * b^n= (a * b)^n$.

Exemplu.
$3^2 * 2^2 = (3 * 2)^2 = 6^2= 36$.

regulile de împărțire

a) Baza gradului este aceeași, exponenții sunt diferiți.
Luați în considerare împărțirea unui grad cu un exponent mai mare prin împărțirea unui grad cu un exponent mai mic.

Scriem gradele sub formă de fracție:

Pentru comoditate, scriem împărțirea ca o fracție simplă.

Acum să reducem fracția.

Rezultă: $\underbrace_ = a^ $.
Mijloace, $\frac =a^$ .

Această proprietate va ajuta la explicarea situației cu ridicarea unui număr la o putere de zero. Să presupunem că n=m, atunci $a^0= a^ =\frac =1$.

b) Bazele gradului sunt diferite, indicatorii sunt aceiași.
Să presupunem că aveți nevoie de $\frac $. Scriem puterile numerelor sub formă de fracție:

Să ne imaginăm pentru comoditate.

Folosind proprietatea fracțiilor, împărțim o fracție mare într-un produs al celor mici, obținem.
$\underbrace* \frac *\ldots*\frac >_ $.
În consecință: $\frac =(\frac )^n$.

mathematics-tests.com

Grade și rădăcini

Operații cu puteri și rădăcini. Gradul cu negativ ,

zero și fracțional indicator. Despre expresii care nu au sens.

Operații cu grade.

1. La înmulțirea puterilor cu aceeași bază, indicatorii acestora se adună:

a m · a n = a m + n .

2. La împărțirea gradelor cu aceeași bază, indicatorii lor scazut .

3. Gradul produsului a doi sau mai multor factori este egal cu produsul gradelor acestor factori.

4. Gradul raportului (fracției) este egal cu raportul dintre gradele dividendului (numărătorul) și divizorului (numitorului):

(a/b) n = un n / b n .

5. Când se ridică un grad la o putere, indicatorii lor sunt înmulțiți:

Toate formulele de mai sus sunt citite și executate în ambele direcții de la stânga la dreapta și invers.

EXEMPLU (2 3 5 / 15)² = 2 ² 3 ² 5 ² / 15 ² = 900 / 225 = 4 .

Operații cu rădăcini. În toate formulele de mai jos, simbolul înseamnă rădăcină aritmetică(expresia radicală este pozitivă).

1. Rădăcina produsului mai multor factori este egală cu produsul rădăcinilor acestor factori:

2. Rădăcina raportului este egală cu raportul dintre rădăcinile dividendului și divizorului:

3. Când ridici o rădăcină la o putere, este suficient să ridici la această putere numărul rădăcinii:

4. Dacă creșteți gradul rădăcinii de m ori și ridicați simultan numărul rădăcinii la gradul m --lea, atunci valoarea rădăcinii nu se va schimba:

5. Dacă reduceți gradul rădăcinii de m ori și, în același timp, extrageți rădăcina gradului al m-lea din numărul radical, atunci valoarea rădăcinii nu se va schimba:

Extinderea conceptului de grad. Până acum, am luat în considerare grade doar cu un indicator natural; dar operaţiile cu puteri şi rădăcini pot duce şi la negativ, zeroși fracționat indicatori. Toți acești exponenți necesită o definiție suplimentară.

Gradul cu exponent negativ. Gradul unui anumit număr cu un exponent negativ (întreg) este definit ca unul împărțit la gradul aceluiași număr cu un exponent egal cu valoarea absolută a exponentului negativ:

Acum formula a m : un n = un m-n poate fi folosit nu numai pentru m, mai mult decât n, dar și la m, mai puțin decât n .

EXEMPLU A 4: A 7 = a 4 — 7 = a — 3 .

Dacă vrem formula a m : un n = a m — n a fost corect la m = n, avem nevoie de o definiție a gradului zero.

Gradul cu exponent zero. Gradul oricărui număr diferit de zero cu exponent zero este 1.

EXEMPLE. 2 0 = 1, ( – 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.

Gradul cu exponent fracționar. Pentru a ridica un număr real a la puterea m / n, trebuie să extrageți rădăcina gradului al n-lea din puterea a m a acestui număr a:

Despre expresii care nu au sens. Există mai multe astfel de expresii.

Unde A ≠ 0 , nu exista.

Într-adevăr, dacă presupunem că X este un anumit număr, atunci, în conformitate cu definiția operației de împărțire, avem: A = 0· X, adică A= 0, ceea ce contrazice condiția: A ≠ 0

— orice număr.

Într-adevăr, dacă presupunem că această expresie este egală cu un anumit număr X, atunci conform definiției operației de împărțire avem: 0 = 0 X. Dar această egalitate este valabilă pentru orice număr x, ceea ce urma să fie dovedit.

0 0 — orice număr.

Soluție. Luați în considerare trei cazuri principale:

1) X = 0 – această valoare nu satisface această ecuație

2) când X> 0 obținem: x/x= 1, adică 1 = 1, de unde urmează,

ce X- orice număr; dar ținând cont de faptul că

cazul nostru X> 0, răspunsul este X > 0 ;

• Reguli de siguranță la lucrul cu un fier de călcat Reguli de siguranță pentru lucrul cu un fier de călcat. 1.Inainte de a conecta fierul de calcat la retea, verificati izolarea cablului si pozitia fierului de calcat pe suport. 2.Pornirea și […]
• Probleme ale taxei de apă de stat, analiză și probleme de îmbunătățire a taxei de apă Atunci când apa este retrasă peste limitele de utilizare a apei trimestriale (anuale) stabilite, cotele de impozitare în funcție de acest exces […]
• cum se întocmește un ordin de trecere de la 223 fz la 44 fz Sergey Antonov 30 Răspuns acum un an Profesor 455 Răspuns acum un an De exemplu: un ordin de anulare a aplicării regulamentului de achiziții. Scor răspuns: 0 Adăugați […]
• Împărțirea numerelor negative Modul de împărțire a numerelor negative este ușor de înțeles, amintindu-ne că împărțirea este inversul înmulțirii. Dacă „a” și „b” sunt numere pozitive, atunci împărțiți numărul „a” la numărul „ […]
• Rezoluții D1, 960H, 720P, 960P, 1080P Sistemele de supraveghere devin din ce în ce mai răspândite în întreaga lume. Echipamentele sunt în continuă îmbunătățire, iar acest domeniu este în continuă evoluție. Ca în orice […]
• Legea constituțională a Federației Ruse. Baglay M.V. a 6-a ed., rev. si suplimentare - M.: Norma, 200 7 . - 7 84 p. Acest manual, care este a șasea ediție revizuită și completată, a fost scris de faimosul […]

Evident, numerele cu puteri pot fi adăugate ca și alte cantități , prin adăugarea lor pe rând cu semnele lor.

Deci, suma a 3 și b 2 este a 3 + b 2 .
Suma a 3 - b n și h 5 - d 4 este a 3 - b n + h 5 - d 4 .

Cote aceleași puteri ale acelorași variabile poate fi adunat sau scazut.

Deci, suma lui 2a 2 și 3a 2 este 5a 2 .

De asemenea, este evident că dacă luăm două pătrate a, sau trei pătrate a sau cinci pătrate a.

Dar grade diverse variabileși diverse grade variabile identice, trebuie adăugate prin adăugarea lor la semnele lor.

Deci, suma a 2 și a 3 este suma a 2 + a 3 .

Este evident că pătratul lui a și cubul lui a nu este nici de două ori pătratul lui a, ci de două ori cubul lui a.

Suma a 3 b n și 3a 5 b 6 este a 3 b n + 3a 5 b 6 .

Scădere puterile se desfășoară în același mod ca și adunarea, cu excepția faptului că semnele subtraendului trebuie modificate în mod corespunzător.

Sau:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6

Înmulțirea puterii

Numerele cu puteri pot fi înmulțite ca și alte mărimi scriindu-le una după alta, cu sau fără semnul înmulțirii între ele.

Deci, rezultatul înmulțirii a 3 cu b 2 este a 3 b 2 sau aaabb.

Sau:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

Rezultatul din ultimul exemplu poate fi ordonat prin adăugarea acelorași variabile.
Expresia va lua forma: a 5 b 5 y 3 .

Comparând mai multe numere (variabile) cu puteri, putem vedea că dacă oricare două dintre ele sunt înmulțite, atunci rezultatul este un număr (variabilă) cu o putere egală cu sumă grade de termeni.

Deci, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Aici 5 este puterea rezultatului înmulțirii, egală cu 2 + 3, suma puterilor termenilor.

Deci, a n .a m = a m+n .

Pentru a n, a este luat ca factor de atâtea ori cât este puterea lui n;

Și a m , este luat ca factor de câte ori este egal cu gradul m;

De aceea, puterile cu aceleași baze pot fi înmulțite prin adăugarea exponenților.

Deci, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . Și x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

Sau:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Înmulțiți (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Răspuns: x 4 - y 4.
Înmulțiți (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Această regulă este valabilă și pentru numerele ai căror exponenți sunt - negativ.

1. Deci, a -2 .a -3 = a -5 . Aceasta poate fi scrisă ca (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y-n .y-m = y-n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

Dacă a + b sunt înmulțiți cu a - b, rezultatul va fi a 2 - b 2: adică

Rezultatul înmulțirii sumei sau diferenței a două numere este egal cu suma sau diferența pătratelor lor.

Dacă suma și diferența a două numere ridicate la pătrat, rezultatul va fi egal cu suma sau diferența acestor numere în Al patrulea grad.

Deci, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2 .
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4 .
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8 .

Împărțirea gradelor

Numerele de putere pot fi împărțite ca și alte numere prin scăderea din divizor sau prin plasarea lor sub formă de fracție.

Deci a 3 b 2 împărțit la b 2 este a 3 .

Sau:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$

Scrierea unui 5 împărțit la 3 arată ca $\frac(a^5)(a^3)$. Dar acesta este egal cu un 2. Într-o serie de numere
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
orice număr poate fi împărțit la altul, iar exponentul va fi egal cu diferență indicatori ai numerelor divizibile.

La împărțirea puterilor cu aceeași bază, se scad exponenții acestora..

Deci, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 . Adică $\frac(yyy)(yy) = y$.

Și a n+1:a = a n+1-1 = a n . Adică $\frac(aa^n)(a) = a^n$.

Sau:
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b + y) n-3

Regula este valabilă și pentru numerele cu negativ valori de grad.
Rezultatul împărțirii a -5 la a -3 este a -2 .
De asemenea, $\frac(1)(aaaaa) : \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaaa) = \frac (1)(aa)$.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 sau $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$

Este necesar să stăpânești foarte bine înmulțirea și împărțirea puterilor, deoarece astfel de operații sunt foarte utilizate în algebră.

Exemple de rezolvare a exemplelor cu fracții care conțin numere cu puteri

1. Reduceți exponenții în $\frac(5a^4)(3a^2)$ Răspuns: $\frac(5a^2)(3)$.

2. Reduceți exponenții în $\frac(6x^6)(3x^5)$. Răspuns: $\frac(2x)(1)$ sau 2x.

3. Reduceți exponenții a 2 / a 3 și a -3 / a -4 și aduceți la un numitor comun.
a 2 .a -4 este un prim numărător -2.
a 3 .a -3 este a 0 = 1, al doilea numărător.
a 3 .a -4 este a -1 , numărătorul comun.
După simplificare: a -2 /a -1 și 1/a -1 .

4. Reduceți exponenții 2a 4 /5a 3 și 2 /a 4 și aduceți la un numitor comun.
Răspuns: 2a 3 / 5a 7 și 5a 5 / 5a 7 sau 2a 3 / 5a 2 și 5/5a 2.

5. Înmulțiți (a 3 + b)/b 4 cu (a - b)/3.

6. Înmulțiți (a 5 + 1)/x 2 cu (b 2 - 1)/(x + a).

7. Înmulțiți b 4 /a -2 cu h -3 /x și a n /y -3 .

8. Împărțiți un 4 /y 3 la un 3 /y 2 . Răspuns: a/a.

9. Împărțiți (h 3 - 1)/d 4 la (d n + 1)/h.

Formule de putere utilizat în procesul de reducere și simplificare a expresiilor complexe, în rezolvarea ecuațiilor și inegalităților.

Număr c este n-a-a putere a unui număr A când:

Operații cu grade.

1. Înmulțind grade cu aceeași bază, indicatorii lor se adună:

a ma n = a m + n .

2. În împărțirea gradelor cu aceeași bază, indicatorii acestora se scad:

3. Gradul produsului a 2 sau mai multor factori este egal cu produsul gradelor acestor factori:

(abc…) n = a n b n c n …

4. Gradul unei fracții este egal cu raportul dintre gradele dividendului și divizorului:

(a/b) n = a n / b n .

5. Ridicarea unei puteri la o putere, exponenții se înmulțesc:

(am) n = a m n .

Fiecare formulă de mai sus este corectă în direcțiile de la stânga la dreapta și invers.

De exemplu. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Operații cu rădăcini.

1. Rădăcina produsului mai multor factori este egală cu produsul rădăcinilor acestor factori:

2. Rădăcina raportului este egală cu raportul dintre dividend și divizorul rădăcinilor:

3. Când ridicați o rădăcină la o putere, este suficient să ridicați numărul rădăcinii la această putere:

4. Dacă creștem gradul rădăcinii în n o dată şi în acelaşi timp ridică la n Puterea este un număr de rădăcină, atunci valoarea rădăcinii nu se va schimba:

5. Dacă scădem gradul rădăcinii în n rădăcină în același timp n gradul de la numărul radical, atunci valoarea rădăcinii nu se va schimba:

Gradul cu exponent negativ. Gradul unui anumit număr cu un exponent nepozitiv (întreg) este definit ca unul împărțit la gradul aceluiași număr cu un exponent egal cu valoarea absolută a exponentului nepozitiv:

Formulă a m:a n = a m - n poate fi folosit nu numai pentru m> n, dar și la m< n.

De exemplu. A4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Pentru a formula a m:a n = a m - n a devenit corect la m=n, aveți nevoie de prezența gradului zero.

Gradul cu exponent zero. Puterea oricărui număr diferit de zero cu exponent zero este egală cu unu.

De exemplu. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Gradul cu exponent fracționar. Pentru a ridica un număr real Aîntr-o măsură m/n, trebuie să extrageți rădăcina n gradul de m puterea acestui număr A.