Aceasta este o secțiune destul de interesantă de matematică, pe care o întâlnesc absolut toți absolvenții și studenții. Cu toate acestea, nu tuturor le place matan. Unii nu pot înțelege nici măcar lucruri de bază, cum ar fi un studiu de funcții aparent standard. Acest articol are scopul de a corecta o astfel de neglijare. Doriți să aflați mai multe despre analiza funcției? Doriți să știți ce sunt punctele extremum și cum să le găsiți? Atunci acest articol este pentru tine.
Studierea graficului unei funcții
În primul rând, merită să înțelegeți de ce trebuie să analizați graficul. Există funcții simple care nu sunt greu de desenat. Un exemplu izbitor de o astfel de funcție este o parabolă. Nu va fi dificil să desenezi un grafic. Tot ce este nevoie este, folosind o transformare simplă, să găsiți numerele la care funcția ia valoarea 0. Și, în principiu, asta este tot ce trebuie să știți pentru a desena un grafic al unei parabole.
Dar dacă funcția pe care trebuie să o graficăm este mult mai complexă? Deoarece proprietățile funcțiilor complexe nu sunt destul de evidente, este necesar să se efectueze o analiză întreagă. Numai după aceasta funcția poate fi reprezentată grafic. Cum să facă acest lucru? Puteți găsi răspunsul la această întrebare în acest articol.
Plan de analiză a funcției
Primul lucru pe care trebuie să-l facem este să efectuăm un studiu superficial al funcției, în timpul căruia găsim domeniul de definiție. Deci, să începem în ordine. Domeniul de definiție este setul de valori prin care este definită funcția. Mai simplu spus, acestea sunt numerele care pot fi folosite într-o funcție în loc de x. Pentru a determina domeniul de aplicare, trebuie doar să vă uitați la înregistrare. De exemplu, este evident că funcția y (x) = x 3 + x 2 - x + 43 are un domeniu de definiție care este mulțimea numerelor reale. Ei bine, cu o funcție ca (x 2 - 2x)/x totul este puțin diferit. Deoarece numărul din numitor nu trebuie să fie egal cu 0, domeniul de definiție al acestei funcții va fi toate numerele reale, altele decât zero.
În continuare, trebuie să găsiți așa-numitele zerouri ale funcției. Acestea sunt valorile argumentului la care întreaga funcție ia valoarea zero. Pentru a face acest lucru, este necesar să echivalați funcția cu zero, să o luați în considerare în detaliu și să efectuați unele transformări. Să luăm funcția deja familiară y(x) = (x 2 - 2x)/x. Din cursul școlar, știm că o fracție este 0 când numărătorul este zero. Prin urmare, aruncăm numitorul și începem să lucrăm cu numărătorul, echivalându-l cu zero. Obținem x 2 - 2x = 0 și punem x din paranteze. Prin urmare, x (x - 2) \u003d 0. Ca rezultat, obținem că funcția noastră este egală cu zero atunci când x este egal cu 0 sau 2.
În timpul studiului graficului unei funcții, mulți se confruntă cu o problemă sub forma punctelor extreme. Și e ciudat. La urma urmei, extremele sunt un subiect destul de simplu. Nu mă crezi? Vedeți singuri citind această parte a articolului, în care vom vorbi despre punctele minime și maxime.
În primul rând, merită să înțelegeți ce este un extremum. Un extremum este valoarea limită pe care o atinge o funcție pe un grafic. Se dovedește că există două valori extreme - maximă și minimă. Pentru claritate, vă puteți uita la poza de mai sus. Pe zona investigată, punctul -1 este maximul funcției y (x) \u003d x 5 - 5x și, respectiv, punctul 1 este minimul.
De asemenea, nu confundați conceptele. Punctele extreme ale unei funcții sunt acele argumente la care funcția dată capătă valori extreme. La rândul său, extremul este valoarea minimelor și maximelor unei funcții. De exemplu, luați în considerare din nou figura de mai sus. -1 și 1 sunt punctele extreme ale funcției, iar 4 și -4 sunt extremele în sine.
Găsirea punctelor extreme
Dar cum găsiți punctele extreme ale unei funcții? Totul este destul de simplu. Primul lucru de făcut este să găsiți derivata ecuației. Să presupunem că am primit sarcina: „Găsiți punctele extreme ale funcției y (x), x este argumentul. Pentru claritate, să luăm funcția y (x) \u003d x 3 + 2x 2 + x + 54. Să diferențiem și obținem următoarea ecuație: 3x 2 + 4x + 1. Ca rezultat, am obținut ecuația pătratică standard. Tot ce trebuie făcut este să o egalăm cu zero și să găsim rădăcinile. Deoarece discriminantul este mai mare decât zero (D \u003d 16 - 12 \u003d 4), această ecuație este determinată de două rădăcini. Le găsim și obținem două valori: 1/3 și -1. Acestea vor fi punctele extreme ale funcției. Cu toate acestea, cum puteți determina în continuare cine este cine? Care punct este maximul și care este minimul? Pentru a face acest lucru, trebuie să luați un punct vecin și să aflați valoarea acestuia. De exemplu, luați numărul -2, care se află în stânga liniei de coordonate de la -1.Inlocuim aceasta valoare in ecuatia noastra y (-2) = 12 - 8 + 1 = 5. Ca rezultat, am obtinut un numar pozitiv.Asta inseamna ca in intervalul de la 1/3 la -1 functia crește, ceea ce înseamnă că la intervalele de la minus infinit la 1/3 și de la -1 la plus infinit funcția scade. Astfel, putem concluziona că numărul 1/3 este punctul minim al funcției pe intervalul investigat, iar -1 este punctul maxim.
De asemenea, este de remarcat faptul că USE necesită nu numai găsirea punctelor extreme, ci și efectuarea unui fel de operație cu acestea (adunare, înmulțire etc.). Din acest motiv, merită să acordați o atenție deosebită condițiilor problemei. La urma urmei, din cauza neatenției, puteți pierde puncte.
Din acest articol, cititorul va afla despre ce este un extremum de valoare funcțională, precum și despre caracteristicile utilizării sale în practică. Studierea unui astfel de concept este extrem de importantă pentru înțelegerea fundamentelor matematicii superioare. Acest subiect este fundamental pentru un studiu mai profund al cursului.
In contact cu
Ce este un extremum?
În cursul școlar, sunt date multe definiții ale conceptului „extremum”. Acest articol are scopul de a oferi cea mai profundă și mai clară înțelegere a termenului pentru cei care nu cunosc problema. Deci, termenul este înțeles în ce măsură intervalul funcțional capătă o valoare minimă sau maximă pe o anumită mulțime.
Un extremum este atât valoarea minimă a unei funcții, cât și valoarea maximă în același timp. Există un punct minim și un punct maxim, adică valorile extreme ale argumentului de pe grafic. Principalele științe care folosesc acest concept sunt:
- statistici;
- controlul mașinii;
- econometrie.
Punctele extreme joacă un rol important în determinarea succesiunii unei anumite funcții. Sistemul de coordonate din grafic arată cel mai bine schimbarea poziției extreme în funcție de schimbarea funcționalității.
Extreme ale funcției derivate
Există, de asemenea, un astfel de fenomen ca „derivat”. Este necesar să se determine punctul extremum. Este important să nu confundați punctele minime sau maxime cu cele mai mari și cele mai mici valori. Acestea sunt concepte diferite, deși pot părea similare.
Valoarea funcției este factorul principal în determinarea modului de găsire a punctului maxim. Derivata nu se formează din valori, ci exclusiv din poziția sa extremă într-una sau alta ordine.
Derivata în sine este determinată pe baza acestor puncte extreme, și nu pe cea mai mare sau mai mică valoare. În școlile rusești, linia dintre aceste două concepte nu este clar trasată, ceea ce afectează înțelegerea acestui subiect în general.
Să considerăm acum un astfel de concept drept „extremul acut”. Astăzi, există o valoare minimă acută și o valoare maximă acută. Definiția este dată în conformitate cu clasificarea rusă a punctelor critice ale unei funcții. Conceptul de punct extremum este baza pentru găsirea punctelor critice pe un grafic.
Pentru a defini un astfel de concept, ei recurg la utilizarea teoremei lui Fermat. Este cel mai important în studiul punctelor extreme și oferă o idee clară a existenței lor într-o formă sau alta. Pentru a asigura extremitatea, este important să se creeze anumite condiții pentru o scădere sau creștere pe grafic.
Pentru a răspunde cu exactitate la întrebarea „cum să găsiți punctul maxim”, trebuie să urmați aceste instrucțiuni:
- Găsirea domeniului exact de definiție pe grafic.
- Căutați derivata unei funcții și punctul extremum.
- Rezolvați inegalitățile standard pentru domeniul în care se găsește argumentul.
- Să fie capabil să demonstreze în ce funcții este definit și continuu un punct dintr-un grafic.
Atenţie! Căutarea punctului critic al unei funcții este posibilă numai dacă există o derivată de cel puțin ordinul doi, care este asigurată de o proporție mare a prezenței unui punct extremum.
Condiție necesară pentru extremul unei funcții
Pentru ca un extremum să existe, este important să existe atât puncte minime, cât și maxime. Dacă această regulă este respectată doar parțial, atunci condiția existenței unui extremum este încălcată.
Fiecare funcție în orice poziție trebuie diferențiată pentru a-și identifica noile semnificații. Este important de înțeles că cazul unui punct care merge la zero nu este principiul principal pentru găsirea unui punct diferențiabil.
Un extremum acut, precum și un minim al unei funcții, este un aspect extrem de important al rezolvării unei probleme matematice folosind valori extreme. Pentru a înțelege mai bine această componentă, este important să vă referiți la valorile tabelare pentru specificarea funcționalității.
| Cercetare completă a sensului | Trasarea unui grafic de valori |
| 1. Determinarea punctelor de creștere și scădere a valorilor. 2. Găsirea punctelor de rupere, a extremului și a intersecției cu axele de coordonate. 3. Procesul de determinare a schimbărilor de poziție pe diagramă. 4. Determinarea indicatorului și direcției convexității și convexității, ținând cont de prezența asimptotelor. 5. Realizarea unui tabel rezumativ al cercetării din punctul de vedere al determinării coordonatelor acestuia. 6. Constatarea intervalelor de crestere si scadere a punctelor extreme si acute. 7. Determinarea convexității și concavității curbei. 8. Trasarea unui grafic ținând cont de cercetare vă permite să găsiți minimul sau maximul. |
Elementul principal atunci când este necesar să se lucreze cu puncte extreme este construcția precisă a graficului său. Profesorii școlii nu acordă adesea maximă atenție unui aspect atât de important, care este o încălcare gravă a procesului educațional. Construirea unui grafic are loc numai pe baza rezultatelor studierii datelor funcționale, identificând extremele acute, precum și punctele din grafic. Extremele ascuțite ale funcției derivate sunt afișate pe un grafic de valori exacte, folosind o procedură standard pentru determinarea asimptotelor. |
Luați în considerare graficul unei funcții continue y=f(x) prezentată în figură.
Valoarea funcției într-un punct X 1 va fi mai mare decât valorile funcției în toate punctele învecinate atât la stânga, cât și la dreapta X 1 . În acest caz spunem că funcția are la punctul X 1 maxim. La punctul X Funcția 3 are evident și un maxim. Dacă luăm în considerare ideea X 2, atunci valoarea funcției din aceasta este mai mică decât toate valorile învecinate. În acest caz spunem că funcția are la punctul X 2 minim. La fel pentru subiect X 4 .
Funcţie y=f(x) la punct X 0 are maxim, dacă valoarea funcției în acest punct este mai mare decât valorile sale în toate punctele unui interval care conține punctul X 0, adică dacă există o astfel de vecinătate a unui punct X 0, care este pentru toată lumea X≠X 0 , aparținând acestui cartier, inegalitatea se menține f(x)<f(x 0 ) .
Funcţie y=f(x) Are minim la punct X 0 , dacă există o astfel de vecinătate a punctului X 0 , asta e pentru toata lumea X≠X 0 aparținând acestui cartier, avem inegalitatea f(x)>f(x 0.
Punctele în care funcția își atinge maximul și minimul se numesc puncte extreme, iar valorile funcției în aceste puncte se numesc extreme ale funcției.
Să acordăm atenție faptului că o funcție definită pe un segment își poate atinge maximul și minimul numai în punctele cuprinse în segmentul luat în considerare.
Rețineți că dacă o funcție are un maxim într-un punct, aceasta nu înseamnă că în acel moment funcția are cea mai mare valoare din întregul domeniu de definiție. În figura discutată mai sus, funcția la punctul X 1 are un maxim, deși există puncte în care valorile funcției sunt mai mari decât la punct X 1 . În special, f(X 1) < f(X 4) adică minimul funcției este mai mare decât maximul. Din definiția maximului rezultă doar că aceasta este cea mai mare valoare a funcției în puncte suficient de apropiate de punctul maxim.
Teorema 1. (O condiție necesară pentru existența unui extremum.) Dacă funcţia diferenţiabilă y=f(x) are la punct x= x 0 extremum, apoi derivata sa în acest moment dispare.
Dovada. Lăsați, pentru certitudine, la punctul X Funcția 0 are un maxim. Apoi, pentru incremente suficient de mici Δ X avem f(x 0 + Δ X)
Trecând aceste inegalități la limită ca Δ X→ 0 și ținând cont că derivata f "(X 0) există și, prin urmare, limita din stânga nu depinde de modul în care Δ X→ 0, obținem: la Δ X → 0 – 0 f"(X 0) ≥ 0 a la Δ X → 0 + 0 f"(X 0) ≤ 0. Deoarece f"(X 0) definește un număr, atunci aceste două inegalități sunt compatibile numai dacă f"(X 0) = 0.
Teorema dovedită afirmă că punctele maxime și minime pot fi doar printre acele valori ale argumentului la care derivata devine zero.
Am considerat cazul în care o funcție are o derivată în toate punctele unui anumit segment. Care este situația în cazurile în care derivatul nu există? Luați în considerare exemple.
Exemple.
- y=|X|.
Funcția nu are derivată la punct X=0 (în acest moment graficul funcției nu are o tangentă definită), dar în acest moment funcția are un minim, deoarece y(0)=0 și pentru toate X≠ 0y > 0.
- Lăsa X< x
0 . Apoi c< x
0 și f „(c)> 0.
De aceea f „(c)(x- x 0)<
0 și, prin urmare,
f(x) - f(x 0 )< 0, adică f(x)< f(x 0 ).
- Lăsa x > x 0 . Apoi c>x 0 și f „(c)< 0. Mijloace f „(c)(x- x 0)< 0. De aceea f(x) - f(x 0 ) <0,т.е.f(x)< f(x 0 ) .
- Găsiți domeniul unei funcții f(x).
- Găsiți prima derivată a unei funcții f "(x).
- Determinați punctele critice, pentru aceasta:
- găsiți rădăcinile reale ale ecuației f "(x)=0;
- găsiți toate valorile X pentru care derivatul f "(x) nu exista.
- Determinați semnul derivatei la stânga și la dreapta punctului critic. Deoarece semnul derivatei rămâne constant între două puncte critice, este suficient să se determine semnul derivatei într-un punct la stânga și un punct la dreapta punctului critic.
- Calculați valoarea funcției la punctele extreme.
- Găsiți toate punctele critice ale funcției în intervalul ( a, b) și calculați valorile funcției în aceste puncte.
- Calculați valorile funcției la capetele segmentului când x = a, x = b.
- Din toate valorile obținute, selectați cea mai mare și cea mai mică.
Funcția nu are derivată la X=0, deoarece merge la infinit la X=0. Dar în acest moment funcția are un maxim.
Funcția nu are derivată la X=0, deoarece 
la X→0. În acest moment funcția nu are nici maxim, nici minim. Într-adevăr, f(x)=0 și la X<0f(x)<0, а при X>0f(x)>0.
Astfel, din exemplele date si teorema formulata, reiese clar ca o functie poate avea un extremum numai in doua cazuri: 1) in punctele in care derivata exista si este egala cu zero; 2) în punctul în care derivata nu există.
Cu toate acestea, dacă la un moment dat X 0 stim asta f "(x 0 ) =0, atunci nu se poate concluziona de aici că la punctul X 0 funcția are un extremum.
De exemplu. 
.
Dar punct X=0 nu este un punct extremum, deoarece în stânga acestui punct valorile funcției sunt situate sub axa Bou, și mai sus în dreapta.
Se numesc valori ale unui argument din domeniul unei funcții la care derivata funcției dispare sau nu există puncte critice.
Din toate cele de mai sus rezultă că punctele extreme ale funcției sunt printre punctele critice și, totuși, nu fiecare punct critic este un punct extrem. Prin urmare, pentru a găsi extremul unei funcții, trebuie să găsiți toate punctele critice ale funcției și apoi să examinați fiecare dintre aceste puncte separat pentru maxim și minim. Următoarea teoremă servește acestui scop.
Teorema 2. (Condiție suficientă pentru existența unui extremum.) Fie funcția continuă pe un interval care conține punctul critic X 0 și este diferențiabilă în toate punctele acestui interval (cu excepția, poate, a punctului însuși X 0). Dacă, la deplasarea de la stânga la dreapta prin acest punct, derivata își schimbă semnul de la plus la minus, atunci în punctul X = X Funcția 0 are un maxim. Dacă, la trecere prin X 0 de la stânga la dreapta, derivata își schimbă semnul din minus în plus, apoi funcția are un minim în acest moment.
Astfel, dacă
Dovada. Să presupunem mai întâi că la trecere X 0 derivata își schimbă semnul de la plus la minus, adică. în fața tuturor X aproape de punct X 0 f „(x)> 0 pentru X< x 0 , f "(x)< 0 pentru x>x 0 . Să aplicăm teorema Lagrange la diferență f(x) - f(x 0 ) = f „(c)(x- x 0), unde c se află între XȘi X 0 .
Astfel, pentru toate valorile X destul de aproape de X 0 f(x)< f(x 0 ) . Și asta înseamnă că la punct X 0 funcția are un maxim.
A doua parte a teoremei minimului este demonstrată într-un mod similar.
Să ilustrăm sensul acestei teoreme în figură. Lăsa f "(x 1 ) =0 și pentru orice X, destul de aproape de X 1, inegalitățile sunt satisfăcute
f "(x)< 0 la X< x 1 , f „(x)> 0 la x>x 1 .
Apoi la stânga punctului X 1 functia creste si scade in dreapta, deci, cand X = X 1 funcție trece de la creștere la descreștere, adică are un maxim.
În mod similar, putem lua în considerare puncte X 2 și X 3 .
Toate cele de mai sus pot fi descrise schematic în imagine:
Regula pentru studierea funcției y=f(x) pentru extremum
Exemple. Explorați funcțiile pentru minim și maxim.
VALORI MAXIME ȘI MICI ALE UNEI FUNCȚII PE UN Segment
Cel mai mare valoarea unei funcții pe un interval este cea mai mare dintre toate valorile sale pe acest interval și cel mai mic– cea mai mică dintre toate valorile sale.
Luați în considerare funcția y=f(x) continuu pe segmentul [ a, b]. După cum se știe, o astfel de funcție își atinge valorile maxime și minime, fie la limita segmentului, fie în interiorul acestuia. Dacă valoarea cea mai mare sau cea mai mică a unei funcții este atinsă într-un punct intern al segmentului, atunci această valoare este maxima sau minimă a funcției, adică se realizează în punctele critice.
Astfel, obținem următoarele regula pentru a afla cele mai mari si cele mai mici valori ale unei functii pe un segment[ a, b] :
>> Extrema
Funcția extremum
Definiţia extremum
Funcţie y = f(x) se numește crescând (in scadere) într-un anumit interval, dacă pentru x 1< x 2 выполняется неравенство (f (x 1) < f (x 2) (f (x 1) >f (x 2)).
Dacă funcția diferențiabilă y = f (x) crește (descrește) pe un interval, atunci derivata sa pe acest interval f " (X)> 0
(f"(X)< 0).
Punct X O numit punct maxim local (minim) funcţia f (x) dacă există o vecinătate a punctului x o, pentru toate punctele pentru care inegalitatea f (x) este adevărată≤ f (x o ) (f (x)≥ f (x o )).
Se numesc punctele maxime și minime puncte extremum, iar valorile funcției în aceste puncte sunt ale acesteia extrema.
Puncte extreme
Condiții necesare pentru un extremum . Dacă punctul X O este punctul extremum al funcției f (x), atunci fie f " (x o ) = 0 sau f(x o ) nu există. Se numesc astfel de puncte critic, iar funcția în sine este definită în punctul critic. Extremele unei funcții ar trebui căutate printre punctele sale critice.
Prima condiție suficientă. Lăsa X O - punct critic. Dacă f" (x ) la trecerea printr-un punct X O schimbă semnul plus în minus, apoi la punctul x o functia are un maxim, altfel are un minim. Dacă, la trecerea prin punctul critic, derivata nu își schimbă semnul, atunci în punctul X O nu există extremum.
A doua condiție suficientă.
Fie funcția f(x) să aibă
f" (x ) în vecinătatea punctului X
O
iar derivata a doua la punctul însuși x o. Dacă f"(x o) = 0, >0 ( <0), то точка x o este punctul minim (maxim) local al funcției f (x). Dacă =0, atunci trebuie fie să utilizați prima condiție suficientă, fie să implicați altele mai mari.
Pe un segment, funcția y = f (x) își poate atinge valoarea minimă sau maximă fie în punctele critice, fie la capetele segmentului.
Exemplul 3.22.
Soluţie. Deoarece f " (
Probleme de găsire a extremului unei funcții
Exemplul 3.23. A
Soluţie. XȘi y y
0
≤ X≤
> 0 și când x >a /4 S " < 0, значит, в точке x=a
/4 функция S имеет максимум. Значение
funcții kv.
unitati).
Exemplul 3.24. p ≈
Soluţie. p p
S"
R = 2, H = 16/4 = 4.
Exemplul 3.22.Aflați extremele funcției f (x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14.
Soluţie. Deoarece f " (x ) = 6x 2 - 30x +36 = 6(x -2)(x - 3), atunci punctele critice ale funcției x 1 = 2 și x 2 = 3. Extrema poate fi doar în aceste puncte. Deoarece la trecerea prin punctul x 1 = 2 derivata își schimbă semnul din plus în minus, atunci în acest punct funcția are un maxim. La trecerea prin punctul x 2 = 3, derivata își schimbă semnul din minus în plus, deci în punctul x 2 = 3 funcția are un minim. După ce au calculat valorile funcției la puncte
x 1 = 2 și x 2 = 3, găsim extremele funcției: maxim f (2) = 14 și minim f (3) = 13.
Exemplul 3.23.Este necesar să construiți o zonă dreptunghiulară lângă zidul de piatră, astfel încât să fie îngrădită pe trei laturi cu plasă de sârmă, iar a patra latură să fie adiacentă peretelui. Pentru asta există A metri liniari ai grilei. La ce raport de aspect va avea site-ul cea mai mare suprafață?
Soluţie.Să notăm părțile laterale ale platformei prin XȘi y. Aria sitului este S = xy. Lăsa y- aceasta este lungimea laturii adiacente peretelui. Atunci, prin condiție, egalitatea 2x + y = a trebuie îndeplinită. Prin urmare y = a - 2x și S = x (a - 2x), unde
0
≤ X≤ a /2 (lungimea și lățimea zonei nu pot fi negative). S " = a - 4x, a - 4x = 0 la x = a/4, de unde
y = a - 2 × a/4 =a/2. Deoarece x = a /4 este singurul punct critic; să verificăm dacă semnul derivatei se modifică la trecerea prin acest punct. La x a /4 S "> 0 și când x >a /4 S " < 0, значит, в точке x=a
/4 функция S имеет максимум. Значение
funcții S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (kv.
unitati).
Deoarece S este continuu și valorile sale la capete S(0) și S(a /2) sunt egale cu zero, atunci valoarea găsită va fi cea mai mare valoare a funcției. Astfel, raportul de aspect cel mai favorabil al site-ului în condițiile date ale problemei este y = 2x.
Exemplul 3.24.Este necesară fabricarea unui rezervor cilindric închis cu o capacitate de V=16 p ≈ 50 m 3. Care ar trebui să fie dimensiunile rezervorului (raza R și înălțimea H) pentru ca la fabricarea acestuia să se folosească cea mai mică cantitate de material?
Soluţie.Suprafața totală a cilindrului este S = 2 p R(R+H). Cunoaștem volumul cilindrului V = p R 2 Н Þ Н = V/ p R 2 =16 p / p R2 = 16/R2. Deci S(R) = 2 p (R2+16/R). Găsim derivata acestei funcții:
S"(R) \u003d 2 p (2R- 16 / R 2) \u003d 4 p (R- 8 / R 2). S" (R) = 0 la R3 = 8, prin urmare,
R = 2, H = 16/4 = 4.
Funcții, nu este deloc necesar să știți despre prezența primei și a doua derivate și să înțelegeți semnificația lor fizică. Mai întâi trebuie să înțelegeți următoarele:
- extremele funcției maximizează sau, dimpotrivă, minimizează valoarea funcției într-o vecinătate arbitrar mică;
- nu ar trebui să existe discontinuitate a funcției la punctul extremum.
Și acum același lucru, doar într-un limbaj simplu. Uită-te la vârful pixului. Dacă stiloul este poziționat vertical, cu capătul scris în sus, atunci chiar mijlocul mingii va fi extremum - punctul cel mai înalt. În acest caz vorbim de maxim. Acum, dacă întoarceți pixul cu capătul de scris în jos, atunci în mijlocul bilei va exista deja o funcție minimă. Folosind figura dată aici, vă puteți imagina manipulările enumerate pentru un creion de papetărie. Deci, extremele unei funcții sunt întotdeauna puncte critice: maximul sau minimul acesteia. Secțiunea adiacentă a graficului poate fi la fel de ascuțită sau netedă după cum se dorește, dar trebuie să existe pe ambele părți, doar în acest caz punctul este un extremum. Dacă graficul este prezent doar pe o parte, acest punct nu va fi un extremum chiar dacă pe o parte sunt îndeplinite condițiile extreme. Acum să studiem extremele funcției din punct de vedere științific. Pentru ca un punct să fie considerat un extremum, este necesar și suficient ca:
- prima derivată a fost egală cu zero sau nu a existat în punct;
- prima derivată își schimbă semnul în acest moment.
Condiția este interpretată ușor diferit din punctul de vedere al derivatelor de ordin superior: pentru o funcție care este diferențiabilă într-un punct, este suficient să existe o derivată de ordin impar care nu este egală cu zero, în timp ce toate derivatele de ordin inferior trebuie să existe și să fie egal cu zero. Aceasta este cea mai simplă interpretare posibilă a teoremelor din manuale.Dar pentru cei mai obișnuiți oameni, merită explicat acest punct cu un exemplu. Baza este o parabolă obișnuită. Imediat faceți o rezervare, la punctul zero are minim. Doar puțină matematică:
- prima derivată (X 2) | = 2X, pentru punctul zero 2X = 0;
- derivata a doua (2X) | = 2, pentru punctul zero 2 = 2.
În acest mod simplu, sunt ilustrate condițiile care determină extremele funcției atât pentru derivatele de ordinul întâi, cât și pentru cele de ordin superior. Putem adăuga la aceasta că derivata a doua este exact aceeași derivată de ordin impar, nu egal cu zero, despre care am discutat chiar mai sus. Când este vorba de extreme ale unei funcții a două variabile, trebuie îndeplinite condițiile pentru ambele argumente. Când are loc generalizarea, se folosesc derivate parțiale. Adică, pentru prezența unui extremum într-un punct, este necesar ca ambele derivate de ordinul întâi să fie egale cu zero, sau cel puțin una dintre ele nu există. Pentru a se asigura că prezența unui extremum este suficientă, se studiază o expresie care este diferența dintre produsul derivatelor de ordinul doi și pătratul derivatei mixte de ordinul doi a funcției. Dacă această expresie este mai mare decât zero, atunci există un extremum, dar dacă este egal cu zero, atunci întrebarea rămâne deschisă și trebuie efectuate cercetări suplimentare.
