Trigonometrie Chimie. Legătura trigonometriei cu viața reală

align=center>

Trigonometrie- o microsecțiune de matematică care studiază relația dintre unghiurile și lungimile laturilor triunghiurilor, precum și identitățile algebrice ale funcțiilor trigonometrice.
Există multe domenii în care se aplică trigonometria și funcțiile trigonometrice. Trigonometria sau funcțiile trigonometrice sunt utilizate în astronomie, navigație maritimă și aeriană, acustică, optică, electronică, arhitectură și alte domenii.

Istoria creării trigonometriei

Istoria trigonometriei, ca știință a relațiilor dintre unghiurile și laturile unui triunghi și alte figuri geometrice, acoperă mai mult de două milenii. Majoritatea acestor relații nu pot fi exprimate folosind operații algebrice obișnuite și, prin urmare, a fost necesară introducerea unor funcții trigonometrice speciale, prezentate inițial sub formă de tabele numerice.
Istoricii cred că trigonometria a fost creată de astronomii antici, iar puțin mai târziu a început să fie folosită în arhitectură. De-a lungul timpului, domeniul de aplicare al trigonometriei s-a extins constant, astăzi include aproape toate științele naturale, tehnologia și o serie de alte domenii de activitate.

Primele secole

Din matematica babiloniană, suntem obișnuiți să măsurăm unghiurile în grade, minute și secunde (introducerea acestor unități în matematica greacă veche este de obicei atribuită secolului al II-lea î.Hr.).

Principala realizare a acestei perioade a fost raportul catetelor și ipotenuzei într-un triunghi dreptunghic, numit mai târziu teorema lui Pitagora.

Grecia antică

O prezentare generală și coerentă din punct de vedere logic a relațiilor trigonometrice a apărut în geometria greacă veche. Matematicienii greci nu au identificat încă trigonometria ca știință separată, pentru ei ea făcea parte din astronomie.
Principala realizare a teoriei trigonometrice antice a fost soluția generală a problemei „rezolvarii triunghiurilor”, adică găsirea elementelor necunoscute ale unui triunghi, pe baza a trei elemente date (dintre care cel puțin unul este o latură).
Problemele trigonometrice aplicate sunt foarte diverse - de exemplu, se pot seta rezultate măsurabile ale operațiilor pe mărimile enumerate (de exemplu, suma unghiurilor sau raportul lungimilor laturilor).
În paralel cu dezvoltarea trigonometriei plane, grecii, sub influența astronomiei, au avansat mult trigonometria sferică. În „Principiile” lui Euclid pe această temă, există doar o teoremă cu privire la raportul dintre volumele de bile de diferite diametre, dar nevoile astronomiei și cartografiei au determinat dezvoltarea rapidă a trigonometriei sferice și a zonelor înrudite - sistemul de coordonate cerești, teoria proiecțiilor cartografice și tehnologia instrumentelor astronomice.

Evul mediu

Primul tratat de specialitate de trigonometrie a fost lucrarea omului de știință din Asia Centrală (secolul X-XI) „Cartea cheilor științei astronomiei” (995-996). Întregul curs de trigonometrie conținea principala lucrare a lui Al-Biruni - „Canonul lui Mas’ud” (Cartea a III-a). Pe lângă tabelele de sinusuri (cu un pas de 15 "), Al-Biruni a dat tabele de tangente (cu un pas de 1 °).

După ce tratatele arabe au fost traduse în latină în secolele XII-XIII, multe idei ale matematicienilor indieni și persani au devenit proprietatea științei europene. Se pare că prima cunoaștere a europeilor cu trigonometria a avut loc datorită zij-ului, ale cărui două traduceri au fost făcute în secolul al XII-lea.

Prima lucrare europeană dedicată în întregime trigonometriei este adesea numită cele patru tratate despre acordurile directe și inversate de către astronomul englez Richard de Wallingford (circa 1320). Tabelele trigonometrice, adesea traduse din arabă, dar uneori originale, sunt conținute în lucrările unui număr de alți autori din secolele XIV-XV. Atunci trigonometria și-a luat locul printre cursurile universitare.

timp nou

Dezvoltarea trigonometriei în vremurile moderne a devenit extrem de importantă nu numai pentru astronomie și astrologie, ci și pentru alte aplicații, în primul rând artilerie, optică și navigație în timpul călătoriilor maritime pe distanțe lungi. Prin urmare, după secolul al XVI-lea, mulți oameni de știință de seamă s-au ocupat de acest subiect, printre care Nicolaus Copernic, Johannes Kepler, Francois Viet. Copernic a dedicat două capitole trigonometriei în tratatul său Despre revoluțiile sferelor cerești (1543). Curând (1551) au apărut tabele trigonometrice cu 15 cifre ale lui Rheticus, un student al lui Copernic. Kepler a publicat Optical Astronomy (1604).

Vieta în prima parte a „Canonului său matematic” (1579) a plasat diverse tabele, inclusiv trigonometrice, iar în partea a doua a făcut o prezentare detaliată și sistematică, deși fără dovezi, a trigonometriei plane și sferice. În 1593 Vieta a pregătit o ediție extinsă a acestei lucrări capitale.
Datorită lucrării lui Albrecht Dürer, s-a născut o sinusoidă.

secolul al 18-lea

El a dat un aspect modern trigonometriei. În tratatul Introducere în analiza infinitelor (1748), Euler a dat o definiție a funcțiilor trigonometrice echivalentă cu cea modernă și a definit funcțiile inverse în consecință.

Euler a considerat unghiurile negative și unghiurile mai mari de 360° ca fiind admisibile, ceea ce a făcut posibilă determinarea funcțiilor trigonometrice pe întreaga dreaptă numerică reală și apoi extinderea lor în planul complex. Când s-a pus problema extinderii funcțiilor trigonometrice la unghiuri obtuze, semnele acestor funcții înainte de Euler au fost adesea alese în mod eronat; mulți matematicieni au considerat, de exemplu, cosinusul și tangenta unui unghi obtuz ca fiind pozitive. Euler a determinat aceste semne pentru unghiuri din diferite cadrane de coordonate pe baza formulelor de reducere.
Euler nu a studiat teoria generală a seriilor trigonometrice și nu a investigat convergența seriei obținute, dar a obținut câteva rezultate importante. În special, el a derivat expansiunile puterilor întregi ale sinusului și cosinusului.

Aplicarea trigonometriei

Cei care spun că trigonometria nu este necesară în viața reală au dreptate în felul lor. Ei bine, care sunt sarcinile sale aplicate obișnuite? Măsurați distanța dintre obiectele inaccesibile.
De mare importanță este tehnica de triangulare, care face posibilă măsurarea distanțelor față de stelele din apropiere în astronomie, între repere în geografie și controlul sistemelor de navigație prin satelit. De asemenea, este de remarcat aplicarea trigonometriei în domenii precum tehnologia de navigație, teoria muzicii, acustică, optică, analiza pieței financiare, electronică, teoria probabilității, statistică, biologie, medicină (inclusiv ultrasunete și tomografie computerizată), farmaceutică, chimie, teoria numerelor. (și, ca urmare, criptografie), seismologie, meteorologie, oceanologie, cartografie, multe ramuri ale fizicii, topografie și geodezie, arhitectură, fonetică, economie, inginerie electronică, inginerie mecanică, grafică computerizată, cristalografie etc.
Concluzie: trigonometria este un ajutor imens în viața noastră de zi cu zi.

Trigonometrie în medicină și biologie

Modelul borritmului poate fi construit folosind funcții trigonometrice. Pentru a construi un model de bioritmuri, trebuie să introduceți data nașterii unei persoane, data de referință (zi, lună, an) și durata prognozei (număr de zile).

Formula inimii. În urma unui studiu realizat de un student la Universitatea iraniană Shiraz, Wahid-Reza Abbasi, pentru prima dată, medicii au reușit să eficientizeze informațiile legate de activitatea electrică a inimii sau, cu alte cuvinte, electrocardiografia. Formula este o ecuație algebrică-trigonometrică complexă, formată din 8 expresii, 32 de coeficienți și 33 de parametri principali, inclusiv câțiva suplimentari pentru calcule în cazuri de aritmie. Potrivit medicilor, această formulă facilitează foarte mult procesul de descriere a principalelor parametri ai activității inimii, accelerând astfel diagnosticul și începerea tratamentului propriu-zis.

Trigonometria ajută, de asemenea, creierul nostru să determine distanțele până la obiecte.

1) Trigonometria ajută creierul nostru să determine distanțele până la obiecte.

Oamenii de știință americani susțin că creierul estimează distanța până la obiecte prin măsurarea unghiului dintre planul solului și planul vizual. Strict vorbind, ideea de „unghiuri de măsurare” nu este nouă. Chiar și artiștii Chinei Antice au pictat obiecte îndepărtate mai sus în câmpul vizual, neglijând oarecum legile perspectivei. Alhazen, un om de știință arab din secolul al XI-lea, a formulat teoria determinării distanței prin estimarea unghiurilor. După o lungă uitare la mijlocul secolului trecut, ideea a fost reînviată de psihologul James

2)Mișcarea peștilor în apă apare conform legii sinusului sau cosinusului, dacă fixați un punct pe coadă și apoi luați în considerare traiectoria mișcării. Când înot, corpul peștelui ia forma unei curbe care seamănă cu graficul funcției y=tg(x)
5. Concluzie

Ca urmare a lucrărilor de cercetare:

· M-am familiarizat cu istoria trigonometriei.

· Metode sistematizate de rezolvare a ecuaţiilor trigonometrice.

· A învățat despre aplicațiile trigonometriei în arhitectură, biologie, medicină.

Școala secundară MBOU Tselinnaya

Raportați trigonometria în viața reală

Pregătit și condus

profesor de matematică

categoria de calificare

Ilyina V.P.

Tselinny martie 2014

Cuprins.

1. Introducere .

2. Istoria creării trigonometriei:

Primele secole.

Grecia antică.

Evul mediu.

Timp nou.

Din istoria dezvoltării geometriei sferice.

3. Trigonometrie și viața reală:

Aplicarea trigonometriei în navigație.

Trigonometrie în algebră.

Trigonometrie în fizică.

Trigonometrie în medicină și biologie.

Trigonometria în muzică.

Trigonometria în informatică

Trigonometrie în construcții și geodezie.

4. Concluzie .

5. Lista referințelor.

Introducere

S-a stabilit de mult în matematică că în studiul sistematic al matematicii, noi, studenții, trebuie să întâlnim trigonometria de trei ori. În consecință, conținutul său pare să fie format din trei părți. În timpul antrenamentului, aceste părți sunt separate una de cealaltă în timp și nu seamănă atât în ceea ce privește sensul investit în explicațiile conceptelor de bază, cât și în ceea ce privește aparatura și funcțiile de serviciu (aplicații) dezvoltate.

Și de fapt, pentru prima dată am întâlnit material trigonometric în clasa a VIII-a când studiam tema „Raporturile dintre laturile și unghiurile unui triunghi dreptunghic”. Așa că am învățat ce sunt sinusul, cosinusul și tangenta, am învățat cum să rezolvăm triunghiuri plate.

A trecut însă ceva timp și în clasa a IX-a am revenit din nou la trigonometrie. Dar această trigonometrie nu este ca cea studiată înainte. Raporturile sale sunt acum definite cu ajutorul unui cerc (un semicerc unitar) și nu cu ajutorul unui triunghi dreptunghic. Deși sunt încă definite ca funcții ale unghiurilor, aceste unghiuri sunt deja arbitrar mari.

Trecând în clasa a 10-a, am întâlnit din nou trigonometria și am văzut că a devenit și mai dificilă, a fost introdus conceptul de măsurare radianică a unghiului, iar identitățile trigonometrice și formularea problemelor și interpretarea soluțiilor lor arată diferit. Sunt introduse grafice ale funcțiilor trigonometrice. În sfârșit, apar ecuațiile trigonometrice. Și tot acest material a apărut în fața noastră deja ca parte a algebrei, și nu ca geometrie. Și a devenit foarte interesant pentru noi să studiem istoria trigonometriei, aplicarea ei în viața de zi cu zi, deoarece utilizarea informațiilor istorice de către un profesor de matematică nu este obligatorie la prezentarea materialului lecției. Totuși, așa cum subliniază K. A. Malygin, „... excursiile în trecutul istoric însuflețesc lecția, relaxează stresul mental, trezesc interesul pentru materialul studiat și contribuie la asimilarea lui de durată.” Mai mult, materialul despre istoria matematicii este foarte amplu și interesant, deoarece dezvoltarea matematicii este strâns legată de soluționarea problemelor urgente care au apărut în toate perioadele de existență a civilizației.

După ce am aflat despre motivele istorice ale apariției trigonometriei și după ce am studiat modul în care roadele activităților marilor oameni de știință au influențat dezvoltarea acestui domeniu de matematică și rezolvarea unor probleme specifice, noi, printre școlari, creștem interes pentru subiectul studiat și vom vedea semnificația sa practică.

Obiectivul proiectului - dezvoltarea interesului pentru studiul temei „Trigonometrie” în cursul algebrei şi începerea analizei prin prisma valorii aplicate a materialului studiat; extinderea reprezentărilor grafice care conțin funcții trigonometrice; aplicarea trigonometriei în științe precum fizica, biologia etc.

Legătura trigonometriei cu lumea exterioară, importanța trigonometriei în rezolvarea multor probleme practice, capacitățile grafice ale funcțiilor trigonometrice fac posibilă „materializarea” cunoștințelor școlarilor. Acest lucru vă permite să înțelegeți mai bine nevoia vitală de cunoștințe dobândite în studiul trigonometriei, crește interesul pentru studiul acestui subiect.

Obiectivele cercetării:

1. Luați în considerare istoria apariției și dezvoltării trigonometriei.

2. Arătați aplicații practice ale trigonometriei în diverse științe cu exemple concrete.

3.Explicați pe exemple concrete posibilitățile de utilizare a funcțiilor trigonometrice, care permit transformarea funcțiilor „putin interesante” în funcții ale căror grafice au un aspect foarte original.

„Un lucru rămâne clar, că lumea este aranjată amenințător și frumos.”

N. Rubtsov

trigonometrie - Aceasta este o ramură a matematicii care studiază relația dintre unghiuri și lungimile laturilor triunghiurilor, precum și identitățile algebrice ale funcțiilor trigonometrice. Este greu de imaginat, dar această știință o întâlnim nu numai la lecțiile de matematică, ci și în viața de zi cu zi. Poate că nu eram conștienți de acest lucru, dar trigonometria se găsește în științe precum fizica, biologia, joacă un rol important în medicină și, cel mai interesant, nici muzica și arhitectura nu s-ar putea descurca fără ea. Problemele cu conținut practic joacă un rol semnificativ în dezvoltarea abilităților de a aplica în practică cunoștințele teoretice dobândite în studiul matematicii. Fiecare student la matematică este interesat de cum și unde sunt aplicate cunoștințele dobândite. Această lucrare oferă un răspuns la această întrebare.

Istoria creării trigonometriei

Primele secole

Principala realizare a acestei perioade a fost raportul catetelor și ipotenuza într-un triunghi dreptunghic, care mai târziu a primit numele.

Grecia antică

Evul mediu

În secolul al IV-lea, după moartea științei antice, centrul de dezvoltare a matematicii s-a mutat în India. Au schimbat unele dintre conceptele de trigonometrie, apropiindu-le de cele moderne: de exemplu, au fost primii care au introdus cosinusul în uz.
Primul tratat de specialitate de trigonometrie a fost lucrarea omului de știință din Asia Centrală (secolul X-XI) „Cartea cheilor științei astronomiei” (995-996). Întregul curs de trigonometrie conținea principala lucrare a lui Al-Biruni - „Canonul lui Mas’ud” (Cartea a III-a). Pe lângă tabelele de sinusuri (cu un pas de 15 "), Al-Biruni a dat tabele de tangente (cu un pas de 1 °).

Prima lucrare europeană dedicată în întregime trigonometriei este adesea numită cele patru tratate despre acorduri directe și inversate de către un astronom englez (circa 1320). Tabelele trigonometrice, adesea traduse din arabă, dar uneori originale, sunt conținute în lucrările unui număr de alți autori din secolele XIV-XV. Atunci trigonometria și-a luat locul printre cursurile universitare.

timp nou

Cuvântul „trigonometrie” este întâlnit pentru prima dată (1505) în titlul unei cărți a teologului și matematicianului german Pitiscus.Originea acestui cuvânt este greacă: triunghi, măsură. Cu alte cuvinte, trigonometria este știința măsurării triunghiurilor. Deși numele a apărut relativ recent, multe dintre conceptele și faptele legate acum de trigonometrie erau deja cunoscute în urmă cu două mii de ani.

Conceptul de sine are o istorie lungă. De fapt, diverse rapoarte ale segmentelor unui triunghi și ale unui cerc (și, în esență, funcții trigonometrice) se găsesc deja în ӀӀӀ c. î.Hr e în lucrările marilor matematicieni ai Greciei Antice - Euclid, Arhimede, Apollonius din Perga. În perioada romană, aceste relații erau deja destul de sistematic studiate de Menelau (secolul Ӏ î.Hr.), deși nu au căpătat un nume aparte. Minusul modern al unui unghi, de exemplu, a fost studiat ca un produs al semicordelor, pe care unghiul central este susținut de o valoare, sau ca o coardă a unui arc dublat.

În perioada următoare, matematica a fost dezvoltată cel mai activ de oamenii de știință indieni și arabi pentru o lungă perioadă de timp. În ӀV- Vsecole În special, un termen special a apărut în lucrările de astronomie ale marelui om de știință indian Aryabhata (476-cca. 550), după care poartă numele primului satelit indian al Pământului.

Mai târziu, a fost adoptat un nume mai scurt jiva. Matematicieni arabi în IXîn. cuvântul jiva (sau jiba) a fost înlocuit cu cuvântul arab jaib (bulge). La traducerea textelor matematice arabe înXΙΙîn. acest cuvânt a fost înlocuit cu latinescul sine (sinusului- îndoire, curbură)

Cuvântul cosinus este mult mai tânăr. Cosinus este o abreviere a expresiei latinecompletasinusului, adică „sinus suplimentar” (sau altfel „sinusul arcului suplimentar”; amintiți-văcosA= păcat(90°- A)).

În ceea ce privește funcțiile trigonometrice, depășim, în esență, domeniul de aplicare al sarcinii de „măsurare a triunghiurilor”. Prin urmare, celebrul matematician F. Klein (1849-1925) a propus să numească teoria funcțiilor „trigonometrice” altfel – goniometrie (unghi). Cu toate acestea, acest nume nu a rămas.

Tangentele au apărut în legătură cu rezolvarea problemei determinării lungimii umbrei. Tangenta (precum și cotangenta, secanta și cosecanta) este introdusă înXîn. Matematicianul arab Abu-l-Wafa, care a întocmit și primele tabele pentru găsirea tangentelor și cotangentelor. Cu toate acestea, aceste descoperiri au rămas mult timp necunoscute oamenilor de știință europeni, iar tangentele au fost redescoperite înXIVîn. mai întâi de savantul englez T. Braverdin, iar mai târziu de matematicianul german, astronomul Regiomontanus (1467). Denumirea „tangentă” provine din latinătanger(a atinge), apărut în 1583Tangentetradus ca „atingere” (rețineți: linia tangentelor este tangentă la cercul unității)

Denumiri modernearc sinși arctgapar în 1772 în lucrările matematicianului vienez Sherfer și ale celebrului om de știință francez J.L.Lagrange, deși J. Bernoulli le luase în considerare deja puțin mai devreme, care foloseau o altă simbolistică. Dar aceste simboluri au devenit general acceptate abia la sfârșitXVΙΙΙsecole. Prefixul „arc” provine din latinăarcusX, de exemplu -, acesta este un unghi (sau, s-ar putea spune, un arc), al cărui sinus este egal cuX.

Multă vreme, trigonometria s-a dezvoltat ca parte a geometriei, adică. faptele pe care le formulăm acum în termeni de funcţii trigonometrice au fost formulate şi dovedite cu ajutorul conceptelor şi enunţurilor geometrice. Poate că cele mai mari stimulente pentru dezvoltarea trigonometriei au apărut în legătură cu rezolvarea problemelor de astronomie, care era de mare interes practic (de exemplu, pentru rezolvarea problemelor de determinare a locației unei nave, de prezicerea eclipselor etc.)

Astronomii au fost interesați de relația dintre laturile și unghiurile triunghiurilor sferice formate din cercuri mari așezate pe o sferă. Și trebuie menționat că matematicienii antichității au făcut față cu succes problemelor care erau mult mai dificile decât problemele de rezolvare a triunghiurilor plane.

În orice caz, sub formă geometrică, multe formule de trigonometrie cunoscute nouă au fost descoperite și redescoperite de matematicienii antici greci, indieni, arabi (deși formulele pentru diferența funcțiilor trigonometrice au devenit cunoscute doar înXVΙӀ v. - au fost scoase la iveală de către matematicianul englez Napier pentru a simplifica calculele cu funcții trigonometrice. Și primul desen al unei sinusoide a apărut în 1634.)

De o importanță fundamentală a fost compilarea de către K. Ptolemeu a primului tabel al sinusurilor (mult timp a fost numit tabelul acordurilor): a apărut un instrument practic pentru rezolvarea unui număr de probleme aplicate și, în primul rând, a problemelor de astronomie. .

Când avem de-a face cu mese gata făcute sau când folosim un calculator, adesea nu ne gândim la faptul că a existat o perioadă în care tabelele nu fuseseră încă inventate. Pentru a le compila, a fost necesar să se efectueze nu numai o cantitate mare de calcule, ci și să se vină cu o modalitate de a compila tabele. Tabelele lui Ptolemeu sunt exacte cu cinci zecimale, inclusiv.

Forma modernă de trigonometrie a fost dată de cel mai mare matematicianXVSecolul I. Euler (1707-1783), elvețian de naștere, a lucrat mulți ani în Rusia și a fost membru al Academiei de Științe din Sankt Petersburg. Euler a fost cel care a introdus pentru prima dată binecunoscutele definiții ale funcțiilor trigonometrice, a început să ia în considerare funcțiile unui unghi arbitrar și a primit formule de reducere. Toate acestea sunt o mică parte din ceea ce a reușit Euler să facă în matematică de-a lungul unei vieți lungi: a lăsat peste 800 de lucrări, a demonstrat multe teoreme care au devenit clasice, legate de cele mai diverse domenii ale matematicii. Dar dacă încercați să operați cu funcții trigonometrice în formă geometrică, adică în modul în care multe generații de matematicieni au făcut înaintea lui Euler, atunci veți putea aprecia meritele lui Euler în sistematizarea trigonometriei. După Euler, trigonometria a căpătat o nouă formă de calcul: diverse fapte au început să fie dovedite prin aplicarea formală a formulelor de trigonometrie, dovezile au devenit mult mai compacte, mai simple.

Din istoria dezvoltării geometriei sferice .

Este larg cunoscut faptul că geometria euclidiană este una dintre cele mai vechi științe: deja înIIIsecolul î.Hr A apărut lucrarea clasică a lui Euclid „Începuturile”. Mai puțin cunoscut este faptul că geometria sferică este doar puțin mai tânără. Prima ei expunere sistematică se referă laeu- IIsecole. În cartea „Sfera”, scrisă de matematicianul grec Menelaus (euc.), s-au studiat proprietățile triunghiurilor sferice; s-a dovedit, în special, că suma unghiurilor unui triunghi sferic este mai mare de 180 de grade. Un alt matematician grec Claudius Ptolemeu a făcut un mare pas înainte (IIîn.). În esență, el a fost primul care a alcătuit tabele de funcții trigonometrice și a introdus proiecția stereografică.

La fel ca geometria lui Euclid, geometria sferică a apărut la rezolvarea problemelor de natură practică și în primul rând problemelor de astronomie. Aceste sarcini erau necesare, de exemplu, pentru călătorii și navigatorii care navigau după stele. Și deoarece în observațiile astronomice este convenabil să presupunem că atât Soarele, cât și Luna, și stelele se deplasează de-a lungul „sferei cerești” descrise, este firesc că cunoașterea geometriei sferei a fost necesară pentru a studia mișcarea lor. Nu întâmplător, așadar, cea mai faimoasă lucrare a lui Ptolemeu s-a numit „Marea construcție matematică a astronomiei în 13 cărți”.

Cea mai importantă perioadă din istoria trigonometriei sferice este asociată cu activitățile oamenilor de știință din Orientul Mijlociu. Oamenii de știință indieni au rezolvat cu succes probleme de trigonometrie sferică. Cu toate acestea, metoda descrisă de Ptolemeu și bazată pe teorema lui Menelau a patrulaterului complet nu a fost folosită de aceștia. Și în trigonometria sferică, au folosit metode proiective care corespundeau cu cele din Analema lui Ptolemeu. Drept urmare, au obținut un set de reguli de calcul specifice care au făcut posibilă rezolvarea aproape oricărei probleme de astronomie sferică. Cu ajutorul lor, o astfel de problemă a fost în cele din urmă redusă la compararea unor triunghiuri dreptunghiulare plate similare între ele. La rezolvare s-a folosit adesea teoria ecuațiilor pătratice și metoda aproximărilor succesive. Un exemplu de problemă astronomică pe care oamenii de știință indieni au rezolvat-o folosind regulile dezvoltate de ei este problema luată în considerare în lucrarea Panga Siddhantika a lui Varahamihira (V- VI). Constă în aflarea înălțimii Soarelui, dacă se cunoaște latitudinea locului, a declinării Soarelui și a unghiului orar al acestuia. Ca urmare a rezolvarii acestei probleme, dupa o serie de constructii, se stabileste o relatie echivalenta cu teorema cosinusului moderna pentru un triunghi sferic. Totuși, această relație și o altă echivalentă cu teorema sinusului nu au fost generalizate ca reguli aplicabile oricărui triunghi sferic.

Printre primii savanți estici care au apelat la discuția teoremei lui Menelaus, ar trebui să numiți frații Banu Mussa - Muhammad, Hasan și Ahmad, fiii lui Musa ibn Shakir, care au lucrat la Bagdad și au studiat matematica, astronomia și mecanica. Dar cea mai veche lucrare care a supraviețuit asupra teoremei lui Menelaus este „Tratatul despre figura secantei” al studentului lor Thabit ibn Korra (836-901).

Tratatul lui Thabit ibn Korra a ajuns până la noi în originalul arab. Și în traducere latinăXIIîn. Această traducere a lui Gerando din Cremona (1114-1187) a fost folosită pe scară largă în Europa medievală.

Problemele trigonometrice aplicate sunt foarte diverse - de exemplu, se pot seta rezultate măsurabile ale operațiilor pe mărimile enumerate (de exemplu, suma unghiurilor sau raportul lungimilor laturilor).

În paralel cu dezvoltarea trigonometriei plane, grecii, sub influența astronomiei, au avansat mult trigonometria sferică. În „Principiile” lui Euclid pe această temă, există doar o teoremă cu privire la raportul dintre volumele de bile de diferite diametre, dar nevoile astronomiei și cartografiei au determinat dezvoltarea rapidă a trigonometriei sferice și a zonelor înrudite - sistemul de coordonate cerești, teoria proiecțiilor cartografice și tehnologia instrumentelor astronomice.

cursuri.

Trigonometrie și viața reală

Funcțiile trigonometrice și-au găsit aplicații în analiza matematică, fizică, informatică, geodezie, medicină, muzică, geofizică și navigație.

Aplicarea trigonometriei în navigație

Navigație (acest cuvânt provine din latinănavigare- navigarea pe o navă) - una dintre cele mai vechi științe. Cele mai simple sarcini de navigație, cum ar fi determinarea rutei celei mai scurte, alegerea direcției de mișcare, s-au confruntat cu primii navigatori. În prezent, acestea și alte sarcini trebuie rezolvate nu numai de marinari, ci și de piloți și astronauți. Să luăm în considerare câteva concepte și sarcini de navigare mai detaliat.

O sarcină. Sunt cunoscute coordonatele geografice - latitudinea și longitudinea punctelor A și B ale suprafeței pământului:, și, . Este necesar să se găsească cea mai scurtă distanță între punctele A și B de-a lungul suprafeței pământului (raza Pământului este considerată cunoscută:R= 6371 km)

Soluţie. Amintiți-vă mai întâi că latitudinea punctului M al suprafeței pământului este valoarea unghiului format de raza OM, unde O este centrul Pământului, cu planul ecuatorului: ≤ , și la nordul ecuatorului. , latitudinea este considerată pozitivă, iar spre sud - negativă

Longitudinea punctului M este valoarea unghiului diedric dintre planele COM și SON, unde C este Polul Nord al Pământului, iar H este punctul corespunzător observatorului Greenwich: ≤ (la est de meridianul Greenwich). , longitudinea este considerată pozitivă, spre vest - negativă).

După cum se știe deja, cea mai scurtă distanță dintre punctele A și B de pe suprafața pământului este lungimea celui mai mic dintre arcele unui cerc mare care leagă A și B (un astfel de arc se numește ortodrom - tradus din greacă înseamnă "curgere dreaptă". ). Prin urmare, sarcina noastră se reduce la determinarea lungimii laturii AB a triunghiului sferic ABC (C este polul nord).

Aplicând notația standard pentru elementele triunghiului ABC și unghiul triedric OABS corespunzător, din condiția problemei găsim: α = = - , β = (Fig. 2).

De asemenea, unghiul C nu este greu de exprimat în termeni de coordonatele punctelor A și B. Prin definiție, ≤ , prin urmare, fie unghiul C = dacă ≤ , fie - dacă. Cunoscând = folosind teorema cosinusului: = + (-). Cunoscând și, deci, unghiul, găsim distanța necesară: =.

Trigonometrie în navigație 2.

Pentru a trasa cursul navei pe o hartă realizată în proiecția lui Gerhard Mercator (1569), a fost necesar să se determine latitudinea. Când navigați în Marea Mediterană în direcțiile de navigație până laXVIIîn. latitudinea nu a fost specificată. Pentru prima dată, Edmond Gunther (1623) a aplicat calculele trigonometrice în navigație.

Trigonometria ajută la calcularea efectului vântului asupra zborului aeronavei. Triunghiul vitezei este triunghiul format de vectorul viteza aerului (V), vector vânt (W), vector viteza solului (V P ). PU - unghiul de traseu, SW - unghiul vântului, KUV - unghiul vântului de direcție.

Relația dintre elementele triunghiului vitezei de navigare are forma:

V P = V cos SUA + W cos UV; păcat SUA = * păcat UV, tg SW =

Triunghiul de navigație al vitezelor se rezolvă cu ajutorul aparatelor de numărare, pe rigla de navigație și aproximativ în minte.

Trigonometrie în algebră.

Iată un exemplu de rezolvare a unei ecuații complexe folosind substituția trigonometrică.

Având în vedere ecuația

Lăsa , primim

;

Unde: sau

sub rezerva restricțiilor, obținem:

Trigonometria în fizică

Oriunde avem de-a face cu procese și oscilații periodice – fie că este vorba de acustică, optică sau oscilația unui pendul – avem de-a face cu funcții trigonometrice. Formule de oscilație:

Unde A- amplitudinea oscilației, - frecvența unghiulară a oscilației, - faza inițială a oscilației

Faza de oscilație.

Când obiectele sunt scufundate în apă, acestea nu își schimbă forma sau dimensiunea. Întregul secret este efectul optic care face ca viziunea noastră să perceapă obiectul într-un mod diferit. Cele mai simple formule trigonometrice și valorile sinusului unghiului de incidență și de refracție a fasciculului fac posibilă calcularea indicelui de refracție constant în timpul tranziției unui fascicul de lumină de la mediu la mediu. De exemplu, un curcubeu apare datorită faptului că lumina soarelui este refractată în picături de apă suspendate în aer conform legii refracției:

păcat α / păcat β =n 1 /n 2

Unde:

n 1 - indicele de refracție al primului mediu
n 2 - indicele de refracție al celui de-al doilea mediu

α -unghiu de incidenta, β este unghiul de refracție a luminii.

Pătrunderea particulelor încărcate ale vântului solar în atmosfera superioară a planetelor este determinată de interacțiunea câmpului magnetic al planetei cu vântul solar.

Forța care acționează asupra unei particule încărcate care se mișcă într-un câmp magnetic se numește forță Lorentz. Este proporțională cu sarcina particulei și produsul vectorial al câmpului și viteza particulei.

Ca exemplu practic, luați în considerare o problemă fizică care este rezolvată folosind trigonometrie.

O sarcină. Pe un plan înclinat făcând un unghi de 24,5 cu orizontul despre , există un corp cu o masă de 90 kg. Găsiți forța cu care acest corp apasă pe planul înclinat (adică ce presiune exercită corpul pe acest plan).

Soluţie:

După ce am desemnat axele X și Y, vom începe să construim proiecții ale forțelor pe axe, mai întâi folosind această formulă:

ma = N + mg , apoi uita-te la poza,

X : ma = 0 + mg sin24.5 0

Y: 0 = N - mg cos24,5 0

N = mg cos 24,5 0

înlocuim masa, aflăm că forța este de 819 N.

Raspuns: 819 N

Trigonometrie în medicină și biologie

Unul dintre proprietăți fundamentalenatura vie este ciclicitatea majorității proceselor care au loc în ea.

Ritmuri biologice, bioritmurisunt modificări mai mult sau mai puțin regulate ale naturii și intensității proceselor biologice.

Ritmul de bază al pământului- zilnic.

Modelul bioritmurilor poate fi construit folosind funcții trigonometrice.

Pentru a construi un model de bioritmuri, trebuie să introduceți data nașterii unei persoane, data de referință (zi, lună, an) și durata prognozei (număr de zile).

Chiar și unele părți ale creierului sunt numite sinusuri.

Pereții sinusurilor sunt formați dintr-o dura mater căptușită cu endoteliu. Lumenul sinusurilor se deschide, valvele și membrana musculară, spre deosebire de alte vene, sunt absente. În cavitatea sinusurilor există septuri fibroase acoperite cu endoteliu. Din sinusuri, sângele pătrunde în venele jugulare interne; în plus, există o legătură între sinusuri și venele suprafeței exterioare a craniului prin gradate venoase de rezervă.

Mișcarea peștilor în apă are loc conform legii sinusului sau cosinusului, dacă fixați un punct pe coadă și apoi luați în considerare traiectoria mișcării.

Când înot, corpul peștelui ia forma unei curbe care seamănă cu un grafic.

funcții y= tgx.

Trigonometria în muzică

Noi ascultam muzicamp3.

Un semnal audio este un val, aici este „graficul” acestuia.

După cum puteți vedea, deși este foarte complex, este o sinusoidă care respectă legile trigonometriei.

La Teatrul de Artă din Moscova, în primăvara anului 2003, a avut loc prezentarea albumului „Trigonometrie” de către grupul „Lunetişti de noapte”, solista Diana Arbenina. Conținutul albumului dezvăluie sensul original al cuvântului „trigonometrie” - măsurarea Pământului.

Trigonometria în informatică

Funcțiile trigonometrice pot fi utilizate pentru calcule precise.

Folosind funcții trigonometrice, puteți aproxima oricare

(într-un sens, „bun”) funcția prin extinderea acesteia într-o serie Fourier:

A 0 + a 1 cos x + b 1 sin x + a 2 cos 2x + b 2 sin 2x + a 3 cos 3x + b 3 sin 3x +...

Alegerea numerelor potrivite a 0 , a 1 , b 1 , a 2 , b 2 , ..., este posibil să se reprezinte aproape orice funcții dintr-un computer cu acuratețea necesară sub forma unei astfel de sume (infinite).

Funcțiile trigonometrice sunt utile atunci când lucrați cu informații grafice. Este necesar să se simuleze (descrie într-un computer) rotația unui obiect în jurul unei axe. Există o rotație printr-un anumit unghi. Pentru a determina coordonatele punctelor, va trebui să înmulțiți cu sinusurile și cosinusurile.

Justin Windell, programator și designer dinGoogle grafică laborator , a publicat o demonstrație care arată exemple de utilizare a funcțiilor trigonometrice pentru a crea animații dinamice.

Trigonometrie în construcții și geodezie

Lungimile laturilor și unghiurile unui triunghi arbitrar pe plan sunt interconectate prin anumite relații, dintre care cele mai importante sunt numite teoreme cosinus și sinus.

2ab

= =

În aceste formule,b, c- lungimile laturilor triunghiului ABC, situate respectiv opuse unghiurilor A, B, C. Aceste formule ne permit refacerea celor trei elemente rămase din cele trei elemente ale triunghiului - lungimile laturilor și unghiurilor. Ele sunt utilizate în rezolvarea problemelor practice, de exemplu, în geodezie.

Toată geodezia „clasică” se bazează pe trigonometrie. De fapt, din cele mai vechi timpuri, geodezii s-au angajat în „rezolvarea” triunghiurilor.

Procesul de construire a clădirilor, drumurilor, podurilor și a altor structuri începe cu lucrări de cercetare și proiectare. Toate măsurătorile pe șantier sunt efectuate folosind instrumente de topografie precum teodolitul și nivelul trigonometric. Cu nivelarea trigonometrică se determină diferența de înălțime dintre mai multe puncte de pe suprafața pământului.

Concluzie

Trigonometria a fost adusă la viață de nevoia de a măsura unghiurile, dar în cele din urmă sa dezvoltat în știința funcțiilor trigonometrice.

Trigonometria este strâns legată de fizică, întâlnită în natură, muzică, arhitectură, medicină și tehnologie.

Trigonometria se reflectă în viața noastră, iar domeniile în care joacă un rol important se vor extinde, așa că cunoașterea legilor sale este necesară pentru toată lumea.

Legătura matematicii cu lumea exterioară vă permite să „materializați” cunoștințele școlarilor. Acest lucru ne ajută să înțelegem mai bine nevoia vitală de cunoștințe dobândite în școală.

Prin o problemă de matematică cu conținut practic (sarcină de natură aplicată), înțelegem o problemă a cărei diagramă dezvăluie aplicațiile matematicii în discipline academice conexe, tehnologie și viața de zi cu zi.

Povestea despre motivele istorice ale apariției trigonometriei, dezvoltarea și aplicarea ei practică îi încurajează pe școlari să fie interesați de subiectul studiat, ne formează viziunea asupra lumii și ne îmbunătățește cultura generală.

Această lucrare va fi utilă elevilor de liceu care nu au văzut încă frumusețea trigonometriei și nu sunt familiarizați cu domeniile de aplicare a acesteia în viața din jur.

Bibliografie:

Repetă formulele de bază ale trigonometriei și consolidează-le cunoștințele pe parcursul exercițiilor;
Dezvoltați abilitățile de autocontrol, capacitatea de a lucra cu o prezentare pe computer.
Educarea unei atitudini responsabile față de munca educațională, voință și perseverență pentru a obține rezultatele finale.

Echipamente: Calculatoare, computer de prezentare.

Rezultat asteptat:

Fiecare elev ar trebui să cunoască formule de trigonometrie și să le poată aplica pentru a transforma expresii trigonometrice la nivelul rezultatelor cerute.
Cunoașteți derivarea acestor formule și puteți să le aplicați pentru a converti expresii trigonometrice.
Cunoașteți formulele de trigonometrie, să puteți deriva aceste formule și să le aplicați la expresii trigonometrice mai complexe.

Etapele principale ale lecției:

Mesajul temei, scopul, obiectivele lecției și motivația activităților educaționale.
Numărarea verbală
Mesaj din istoria matematicii
Repetarea (din clasa a 9-a) a formulelor de trigonometrie folosind o prezentare pe calculator
Aplicarea formulelor trigonometrice la conversia expresiilor
Execuția testului
Rezumând lecția
Stabilirea unei sarcini acasă

În timpul orelor

eu. Organizarea timpului.

Raportarea temei, a scopurilor, obiectivelor lecției și a motivației pentru activitățile de învățare

II. Lucrare orală (sarcinile sunt pre-tipărite pentru fiecare student):

Măsura radianilor a două unghiuri ale unui triunghi este și . Aflați măsura fiecărui unghi al triunghiului. Răspuns: 60, 30, 90

Aflați măsura în radiani a unghiurilor unui triunghi dacă raportul lor este 2:3:4. Răspuns: , ,

Cosinusul poate fi egal cu: a), b), c), d), e) -2? Răspuns: a) da; b) nu; c) nu; d) da; e) da.

Sinusul poate fi egal cu: a) -3, 7 b), c)? Răspuns: un nu; b) da; c) nu.

Pentru ce valori ale lui a și b sunt adevărate următoarele egalități: a) cos x = ; b) sin x=; c) cosx= ; d) tg x= ; e) sin x = a? Răspuns: a) /a/ 7; b) /a/ ; c) 0 d) b – orice număr; e) -

III. Mesaj din istoria trigonometriei (scurt istoric):

Trigonometria a apărut și s-a dezvoltat în antichitate ca una dintre ramurile astronomiei, ca aparat de calcul care răspunde nevoilor practice ale omului.

Unele informații trigonometrice erau cunoscute de vechii babilonieni și egipteni, dar bazele acestei științe au fost puse în Grecia antică.

Astronom grec Hipparchus în secolul al II-lea. î.Hr e. a întocmit un tabel cu valorile numerice ale acordurilor, în funcție de mărimea arcurilor contractate de acestea. Informații mai complete din trigonometrie sunt conținute în celebrul „Almagest” al lui Ptolemeu. Calculele făcute i-au permis lui Ptolemeu să întocmească un tabel care conținea acorduri de la 0 la 180.

Numele liniilor sinus și cosinus au fost introduse pentru prima dată de oamenii de știință indieni. Ei au întocmit și primele tabele de sinusuri, deși mai puțin exacte decât cele ptolemeice.

În India, în esență, începe doctrina mărimilor trigonometrice, numită mai târziu goniometrie (din „gonia” - unghi și „metrio” - măsoară).

În pragul secolului al XVII-lea în dezvoltarea trigonometriei, începe o nouă direcție - analitică.

Trigonometria oferă metoda necesară pentru dezvoltarea multor concepte și metode pentru rezolvarea problemelor reale care apar în fizică, mecanică, astronomie, geodozie, cartografie și alte științe. În plus, trigonometria este de mare ajutor în rezolvarea problemelor stereometrice.

IV. Lucrați pe computere cu o prezentare:

„Formulele de bază ale trigonometriei” (Anexa 1)

Preamintiți Măsuri de siguranță la clasa de informatică.

Identități trigonometrice de bază.
Formule de adunare.
Formule turnate
Formule pentru suma și diferența de sinusuri (cosinus).
Formule cu argument dublu.
Formule pe jumătate de argument.

V. Aplicarea formulelor trigonometrice la transformarea expresiilor.

a) Un elev finalizează sarcina de pe spatele tablei, restul de la locul verifică și ridică cărțile de semnalizare (corect - „+”, incorect - „-“) de la locul respectiv.

Alegeți un răspuns.

Simplificați expresia 7 cos - 5.

a) 1+cos; b) 2; la 12; d) 12

Simplificați expresia 5 – 4 si n

a) 1; b) 9; c) 1+8sin; d) 1+cos.

Portal pentru student. Autoinstruire