Unele exemple algebrice de un fel sunt capabile să-i sperie pe școlari. Expresiile lungi nu sunt doar intimidante, ci și foarte greu de calculat. Incercand sa intelegi imediat ce urmeaza si ce urmeaza, sa nu te confuzi pentru mult timp. Din acest motiv, matematicienii încearcă întotdeauna să simplifice sarcina „teribilă” cât mai mult posibil și abia apoi procedează la rezolvarea ei. Destul de ciudat, un astfel de truc accelerează foarte mult procesul.

Simplificarea este unul dintre punctele fundamentale în algebră. Dacă în sarcinile simple este încă posibil să faci fără ea, atunci exemplele mai dificil de calculat pot fi „prea dificile”. Aici sunt utile aceste abilități! Mai mult, nu sunt necesare cunoștințe matematice complexe: va fi suficient doar să vă amintiți și să învățați cum să puneți în practică câteva tehnici și formule de bază.

Indiferent de complexitatea calculelor, la rezolvarea oricărei expresii, este importantă urmati ordinea operatiilor cu numere:

1. paranteze;
2. exponentiare;
3. multiplicare;
4. Divizia;
5. plus;
6. scădere.

Ultimele două puncte pot fi schimbate în siguranță și acest lucru nu va afecta în niciun fel rezultatul. Dar adăugarea a două numere învecinate, când lângă unul dintre ele există un semn de înmulțire, este absolut imposibil! Răspunsul, dacă există, este greșit. Prin urmare, trebuie să vă amintiți secvența.

Folosirea unor astfel de

Astfel de elemente includ numere cu o variabilă de același ordin sau de același grad. Există și așa-numiții membri liberi care nu au lângă ei litera de desemnare a necunoscutului.

Concluzia este că în absența parantezelor Puteți simplifica expresia adunând sau scăzând like.

Câteva exemple ilustrative:

• 8x 2 și 3x 2 - ambele numere au aceeași variabilă de ordinul doi, deci sunt similare și atunci când sunt adăugate, se simplifică la (8+3)x 2 =11x 2, în timp ce la scădere, rezultă (8-3)x 2 =5x 2;
• 4x 3 și 6x - și aici „x” are un grad diferit;
• 2y 7 și 33x 7 - conțin variabile diferite, prin urmare, ca și în cazul precedent, nu aparțin unora similare.

Factorizarea unui număr

Acest mic truc matematic, dacă înveți cum să-l folosești corect, te va ajuta să faci față unei probleme dificile de mai multe ori în viitor. Și este ușor de înțeles cum funcționează „sistemul”: o descompunere este un produs al mai multor elemente, al căror calcul dă valoarea inițială. Astfel, 20 poate fi reprezentat ca 20x1, 2x10, 5x4, 2x5x2 sau într-un alt mod.

Pe o notă: multiplicatorii sunt întotdeauna la fel ca și divizorii. Deci, trebuie să căutați o „pereche” de lucru pentru extinderea printre numerele cu care originalul este divizibil fără rest.

Puteți efectua o astfel de operație atât cu membri liberi, cât și cu cifre atașate unei variabile. Principalul lucru este să nu-l pierzi pe acesta din urmă în timpul calculelor - chiar și după descompunere, necunoscutul nu poate lua și „nu merge nicăieri”. Rămâne la unul dintre factori:

• 15x=3(5x);
• 60y 2 \u003d (15y 2) 4.

Numerele prime care pot fi împărțite doar la ele însele sau 1 nu factorizează niciodată - nu are sens..

Metode de bază de simplificare

Primul lucru care atrage atenția:

• prezența parantezelor;
• fracții;
• rădăcini.

Exemplele algebrice din programa școlară sunt adesea compilate cu presupunerea că pot fi simplificate frumos.

Calcule pentru paranteze

Atenție mare la semnul din fața parantezelor!Înmulțirea sau împărțirea se aplică fiecărui element din interior, iar minus - schimbă semnele existente „+” sau „-” la opus.

Parantezele se calculează după reguli sau după formulele de înmulțire prescurtată, după care se dau altele asemănătoare.

Reducerea fracțiilor

Reduceți fracțiile este, de asemenea, ușor. Ei înșiși „fug de bună voie” din când în când, merită să faceți operațiuni cu aducerea unor astfel de membri. Dar puteți simplifica exemplul chiar înainte de aceasta: acordați atenție numărătorului și numitorului. Acestea conțin adesea elemente explicite sau ascunse care pot fi reduse reciproc. Adevărat, dacă în primul caz trebuie doar să ștergeți superfluul, în al doilea va trebui să vă gândiți, aducând o parte din expresie la forma pentru simplificare. Metode utilizate:

• căutarea și punerea în paranteze a celui mai mare divizor comun al numărătorului și numitorului;
• împărțind fiecare element superior la numitor.

Când o expresie sau o parte a acesteia se află sub rădăcină, problema primară de simplificare este aproape aceeași ca și în cazul fracțiilor. Este necesar să căutați modalități de a scăpa complet de el sau, dacă acest lucru nu este posibil, de a minimiza semnul care interferează cu calculele. De exemplu, la discret √(3) sau √(7).

O modalitate sigură de a simplifica expresia radicală este de a încerca să o factorizezi, dintre care unele sunt în afara semnului. Un exemplu ilustrativ: √(90)=√(9×10) =√(9)×√(10)=3√(10).

Alte mici trucuri și nuanțe:

• această operație de simplificare se poate realiza cu fracții, scoțându-l din semn atât ca întreg, cât și separat ca numărător sau numitor;
• este imposibil să descompuneți și să scoateți o parte din sumă sau diferență dincolo de rădăcină;
• atunci când lucrați cu variabile, asigurați-vă că țineți cont de gradul acestuia, acesta trebuie să fie egal sau un multiplu al rădăcinii pentru posibilitatea de a se redă: √(x 2 y)=x√(y), √(x 3)= √(x 2 ×x)=x√( x);
• uneori se permite scăparea de variabila radicală prin ridicarea ei la o putere fracţionată: √ (y 3)=y 3/2.

Simplificarea expresiei puterii

Dacă în cazul calculelor simple prin minus sau plus, exemplele sunt simplificate aducând altele asemănătoare, atunci ce se întâmplă la înmulțirea sau împărțirea variabilelor cu puteri diferite? Ele pot fi simplificate cu ușurință prin amintirea a două puncte principale:

1. Dacă există un semn de înmulțire între variabile, se adună exponenții.
2. Când sunt împărțite unul de celălalt, același numitor este scăzut din gradul numărătorului.

Singura condiție pentru o astfel de simplificare este ca ambii termeni să aibă aceeași bază. Exemple pentru claritate:

• 5x 2 × 4x 7 + (y 13 / y 11) \u003d (5 × 4)x 2+7 + y 13- 11 \u003d 20x 9 + y 2;
• 2z 3 +z×z 2 -(3×z 8 /z 5)=2z 3 +z 1+2 -(3×z 8-5)=2z 3 +z 3 -3z 3 =3z 3 -3z 3 = 0.

Remarcăm că operațiile cu valori numerice în fața variabilelor au loc conform regulilor matematice uzuale. Și dacă te uiți cu atenție, devine clar că elementele de putere ale expresiei „funcționează” într-un mod similar:

• ridicarea unui membru la o putere înseamnă înmulțirea lui de un anumit număr de ori, adică x 2 \u003d x × x;
• împărțirea este similară: dacă extindeți gradul numărătorului și numitorului, atunci unele dintre variabile vor fi reduse, în timp ce restul sunt „adunate”, ceea ce este echivalent cu scăderea.

Ca în orice afacere, atunci când simplificați expresiile algebrice, este necesară nu numai cunoașterea elementelor de bază, ci și practica. După doar câteva lecții, exemplele care odată păreau complicate se vor reduce fără mare dificultate, transformându-se în unele scurte și ușor de rezolvat.

Video

Acest videoclip vă va ajuta să înțelegeți și să vă amintiți cum sunt simplificate expresiile.

Nu ai primit răspuns la întrebarea ta? Propuneți autorilor un subiect.

În secolul al V-lea î.Hr., filosoful antic grec Zenon din Elea și-a formulat celebrele aporii, dintre care cea mai cunoscută este aporia „Achile și broasca țestoasă”. Iată cum sună:

Să presupunem că Ahile aleargă de zece ori mai repede decât țestoasa și este la o mie de pași în spatele ei. În timpul necesar lui Ahile pentru a parcurge această distanță, țestoasa se va târa o sută de pași în aceeași direcție. Când Ahile a alergat o sută de pași, țestoasa se va târa încă zece pași și așa mai departe. Procesul va continua la nesfârșit, Ahile nu va ajunge niciodată din urmă cu broasca țestoasă.

Acest raționament a devenit un șoc logic pentru toate generațiile următoare. Aristotel, Diogene, Kant, Hegel, Gilbert... Toți, într-un fel sau altul, au considerat aporii lui Zenon. Șocul a fost atât de puternic încât " ... discuțiile continuă în prezent, comunitatea științifică nu a reușit încă să ajungă la o opinie comună cu privire la esența paradoxurilor... în studiul problemei au fost implicate analiza matematică, teoria mulțimilor, noi abordări fizice și filozofice. ; niciunul dintre ele nu a devenit o soluție universal acceptată la problemă...„[Wikipedia,” Aporii lui Zeno „]. Toată lumea înțelege că sunt păcăliți, dar nimeni nu înțelege ce este înșelăciunea.

Din punctul de vedere al matematicii, Zenon în aporia sa a demonstrat clar trecerea de la valoare la. Această tranziție implică aplicarea în loc de constante. Din câte am înțeles, aparatul matematic pentru aplicarea unităților de măsură variabile fie nu a fost încă dezvoltat, fie nu a fost aplicat aporiei lui Zenon. Aplicarea logicii noastre obișnuite ne duce într-o capcană. Noi, prin inerția gândirii, aplicăm reciprocului unități constante de timp. Din punct de vedere fizic, se pare că timpul încetinește până la o oprire completă în momentul în care Ahile ajunge din urmă cu țestoasa. Dacă timpul se oprește, Ahile nu mai poate depăși țestoasa.

Dacă întoarcem logica cu care suntem obișnuiți, totul cade la locul său. Ahile aleargă cu o viteză constantă. Fiecare segment ulterior al traseului său este de zece ori mai scurt decât cel anterior. În consecință, timpul petrecut pentru depășirea acestuia este de zece ori mai mic decât cel precedent. Dacă aplicăm conceptul de „infinit” în această situație, atunci ar fi corect să spunem „Achile va depăși infinit rapid broasca țestoasă”.

Cum să eviți această capcană logică? Rămâneți în unități constante de timp și nu treceți la valori reciproce. În limbajul lui Zeno, arată astfel:

În timpul necesar lui Ahile pentru a alerga o mie de pași, țestoasa se târăște o sută de pași în aceeași direcție. În următorul interval de timp, egal cu primul, Ahile va alerga încă o mie de pași, iar țestoasa se va târa o sută de pași. Acum Ahile este cu opt sute de pași înaintea țestoasei.

Această abordare descrie în mod adecvat realitatea fără niciun paradox logic. Dar aceasta nu este o soluție completă la problemă. Afirmația lui Einstein despre insurmontabilitatea vitezei luminii este foarte asemănătoare cu aporia lui Zeno „Achile și broasca țestoasă”. Încă trebuie să studiem, să regândim și să rezolvăm această problemă. Iar soluția trebuie căutată nu în număr infinit de mare, ci în unități de măsură.

O altă aporie interesantă a lui Zeno spune despre o săgeată zburătoare:

O săgeată zburătoare este nemișcată, deoarece în fiecare moment de timp este în repaus și, deoarece este în repaus în fiecare moment de timp, este întotdeauna în repaus.

În această aporie, paradoxul logic este depășit foarte simplu - este suficient să clarificăm că în fiecare moment de timp săgeata zburătoare este în repaus în diferite puncte din spațiu, ceea ce, de fapt, este mișcare. Mai este un punct de remarcat aici. Dintr-o fotografie a unei mașini pe șosea, este imposibil să se determine nici faptul mișcării acesteia, nici distanța până la ea. Pentru a determina deplasarea mașinii, sunt necesare două fotografii realizate din același punct în momente diferite de timp, dar nu pot fi folosite pentru a determina distanța. Pentru a determina distanța până la mașină, aveți nevoie de două fotografii făcute din diferite puncte din spațiu în același timp, dar nu puteți determina faptul deplasării din ele (în mod firesc, aveți nevoie de date suplimentare pentru calcule, trigonometria vă va ajuta). Ceea ce vreau să subliniez în special este că două puncte în timp și două puncte în spațiu sunt două lucruri diferite care nu trebuie confundate, deoarece oferă oportunități diferite de explorare.

miercuri, 4 iulie 2018

Foarte bine diferențele dintre set și multiset sunt descrise în Wikipedia. Ne uitam.

După cum puteți vedea, „multimea nu poate avea două elemente identice”, dar dacă există elemente identice în set, un astfel de set se numește „multiset”. Ființele rezonabile nu vor înțelege niciodată o asemenea logică a absurdității. Acesta este nivelul papagalilor vorbitori și al maimuțelor dresate, în care mintea este absentă din cuvântul „complet”. Matematicienii acționează ca formatori obișnuiți, propovăduindu-ne ideile lor absurde.

Pe vremuri, inginerii care au construit podul se aflau într-o barcă sub pod în timpul testelor podului. Dacă podul s-a prăbușit, inginerul mediocru a murit sub dărâmăturile creației sale. Dacă podul putea rezista la sarcină, talentatul inginer a construit alte poduri.

Indiferent de cât de matematicieni se ascund în spatele expresiei „mind-mă, sunt în casă”, sau mai degrabă „matematica studiază concepte abstracte”, există un cordon ombilical care le leagă indisolubil de realitatea. Acest cordon ombilical este bani. Să aplicăm teoria mulțimilor matematicienilor înșiși.

Am studiat foarte bine matematica și acum stăm la casierie și plătim salarii. Aici vine un matematician la noi pentru banii lui. Numărăm toată suma pentru el și o întindem pe masa noastră în grămezi diferite, în care punem bancnote de aceeași valoare. Apoi luăm câte o bancnotă din fiecare grămadă și îi dăm matematicianului „setul său de salariu matematic”. Explicăm la matematică că va primi restul bancnotelor doar atunci când demonstrează că mulțimea fără elemente identice nu este egală cu mulțimea cu elemente identice. Aici începe distracția.

În primul rând, logica deputaților va funcționa: „puteți aplica și altora, dar mie nu!” În plus, vor începe asigurările că există numere diferite de bancnote pe bancnotele de aceeași valoare nominală, ceea ce înseamnă că acestea nu pot fi considerate elemente identice. Ei bine, numărăm salariul în monede - nu există numere pe monede. Aici matematicianul își va aminti frenetic de fizică: diferite monede au cantități diferite de murdărie, structura cristalină și aranjarea atomilor pentru fiecare monedă este unică...

Și acum am cea mai interesantă întrebare: unde este granița dincolo de care elementele unui multiset se transformă în elemente ale unui set și invers? O astfel de linie nu există - totul este decis de șamani, știința aici nu este nici măcar aproape.

Uite aici. Selectăm stadioane de fotbal cu aceeași suprafață de teren. Aria câmpurilor este aceeași, ceea ce înseamnă că avem un multiset. Dar dacă luăm în considerare numele acelorași stadioane, obținem multe, pentru că numele sunt diferite. După cum puteți vedea, același set de elemente este atât un set cât și un multiset în același timp. Cât de corect? Și aici matematicianul-șaman-shuller scoate un as de atu din mânecă și începe să ne vorbească fie despre un set, fie despre un multiset. În orice caz, ne va convinge că are dreptate.

Pentru a înțelege cum operează șamanii moderni cu teoria mulțimilor, legând-o de realitate, este suficient să răspundem la o întrebare: prin ce diferă elementele unui set de elementele altui set? Vă voi arăta, fără niciun „conceput ca nu un singur întreg” sau „neconceput ca un singur întreg”.

Duminică, 18 martie 2018

Suma cifrelor unui număr este un dans al șamanilor cu un tamburin, care nu are nimic de-a face cu matematica. Da, la lecțiile de matematică suntem învățați să găsim suma cifrelor unui număr și să o folosim, dar ei sunt șamani pentru asta, pentru a-și învăța descendenții abilitățile și înțelepciunea, altfel șamanii pur și simplu vor muri.

Ai nevoie de dovezi? Deschideți Wikipedia și încercați să găsiți pagina „Suma cifrelor unui număr”. Ea nu există. Nu există o formulă în matematică prin care să poți găsi suma cifrelor oricărui număr. La urma urmei, numerele sunt simboluri grafice cu care scriem numere, iar în limbajul matematicii, sarcina sună astfel: „Găsiți suma simbolurilor grafice care reprezintă orice număr”. Matematicienii nu pot rezolva această problemă, dar șamanii o pot face în mod elementar.

Să ne dăm seama ce și cum facem pentru a găsi suma cifrelor unui număr dat. Și așa, să presupunem că avem numărul 12345. Ce trebuie făcut pentru a găsi suma cifrelor acestui număr? Să luăm în considerare toți pașii în ordine.

1. Notează numărul pe o foaie de hârtie. Ce am făcut? Am convertit numărul într-un simbol grafic numeric. Aceasta nu este o operație matematică.

2. Am tăiat o imagine primită în mai multe imagini care conțin numere separate. Decuparea unei imagini nu este o operație matematică.

3. Convertiți caracterele grafice individuale în numere. Aceasta nu este o operație matematică.

4. Adunați numerele rezultate. Acum asta e matematica.

Suma cifrelor numărului 12345 este 15. Acestea sunt „cursurile de tăiere și cusut” de la șamani folosite de matematicieni. Dar asta nu este tot.

Din punct de vedere al matematicii, nu contează în ce sistem de numere scriem numărul. Deci, în sisteme de numere diferite, suma cifrelor aceluiași număr va fi diferită. În matematică, sistemul numeric este indicat ca indice în dreapta numărului. Cu un număr mare de 12345, nu vreau să-mi păcălesc capul, luați în considerare numărul 26 din articolul despre. Să scriem acest număr în sisteme de numere binar, octal, zecimal și hexazecimal. Nu vom lua în considerare fiecare pas la microscop, am făcut-o deja. Să ne uităm la rezultat.

După cum puteți vedea, în diferite sisteme de numere, suma cifrelor aceluiași număr este diferită. Acest rezultat nu are nimic de-a face cu matematica. Este la fel ca și cum ați obține rezultate complet diferite atunci când determinați aria unui dreptunghi în metri și centimetri.

Zero în toate sistemele de numere arată la fel și nu are sumă de cifre. Acesta este un alt argument în favoarea faptului că . O întrebare pentru matematicieni: cum se notează în matematică ceea ce nu este un număr? Ce, pentru matematicieni, nu există decât numere? Pentru șamani, pot permite acest lucru, dar pentru oameni de știință, nu. Realitatea nu este doar despre cifre.

Rezultatul obținut trebuie considerat ca o dovadă că sistemele numerice sunt unități de măsură ale numerelor. La urma urmei, nu putem compara numerele cu unități de măsură diferite. Dacă aceleași acțiuni cu unități de măsură diferite ale aceleiași mărimi duc la rezultate diferite după compararea lor, atunci acest lucru nu are nimic de-a face cu matematica.

Ce este matematica reală? Acesta este momentul în care rezultatul unei acțiuni matematice nu depinde de valoarea numărului, de unitatea de măsură folosită și de cine efectuează această acțiune.

Semnează pe uşă Deschide usa si spune:

Ai! Nu asta e toaleta pentru femei?
- Femeie tânără! Acesta este un laborator pentru studierea sfințeniei nedefinite a sufletelor la înălțarea la cer! Nimbus în partea de sus și săgeată în sus. Ce altă toaletă?

Femeie... Un halou deasupra și o săgeată în jos sunt masculin.

Dacă aveți o astfel de operă de artă de design fulgerând în fața ochilor dvs. de mai multe ori pe zi,

Atunci nu este surprinzător că găsiți brusc o pictogramă ciudată în mașina dvs.:

Personal, fac un efort pe mine însumi să văd minus patru grade la o persoană care face caca (o poză) (compunere din mai multe imagini: semnul minus, numărul patru, desemnarea grade). Și nu o consider pe fata asta o proastă care nu știe fizică. Ea are doar un arc stereotip al percepției imaginilor grafice. Și matematicienii ne învață asta tot timpul. Iată un exemplu.

1A nu este „minus patru grade” sau „unu a”. Acesta este „omul care face caca” sau numărul „douăzeci și șase” în sistemul numeric hexazecimal. Acei oameni care lucrează constant în acest sistem numeric percep automat numărul și litera ca un simbol grafic.

Primul nivel

Conversia expresiei. Teoria detaliată (2019)

Conversia expresiei

Adesea auzim această frază neplăcută: „simplificați expresia”. De obicei, în acest caz, avem un fel de monstru ca acesta:

„Da, mult mai ușor”, spunem noi, dar un astfel de răspuns de obicei nu funcționează.

Acum vă voi învăța să nu vă fie frică de astfel de sarcini. Mai mult, la sfârșitul lecției, tu însuți vei simplifica acest exemplu la un număr (doar!) obișnuit (da, la naiba cu aceste litere).

Dar înainte de a începe această lecție, trebuie să fiți capabil să gestionați fracțiile și polinoamele factorizați. Prin urmare, mai întâi, dacă nu ați făcut acest lucru înainte, asigurați-vă că stăpâniți subiectele „” și „”.

Citit? Dacă da, atunci ești gata.

Operații de simplificare de bază

Acum vom analiza principalele tehnici care sunt folosite pentru simplificarea expresiilor.

Cel mai simplu dintre ele este

1. Aducerea asemănătoare

Ce sunt asemănătoare? Ai trecut prin asta în clasa a VII-a, când literele au apărut pentru prima dată la matematică în loc de cifre. Asemănători sunt termenii (monoamele) cu aceeași parte de literă. De exemplu, în suma, termenii similari sunt și.

Amintit?

A aduce termeni asemănători înseamnă a adăuga mai mulți termeni similari unul altuia și a obține un singur termen.

Dar cum putem pune litere împreună? - tu intrebi.

Acest lucru este foarte ușor de înțeles dacă vă imaginați că literele sunt un fel de obiecte. De exemplu, scrisoarea este un scaun. Atunci care este expresia? Două scaune plus trei scaune, cât va fi? Așa e, scaune: .

Acum încearcă această expresie:

Pentru a nu te confunda, lasă litere diferite să desemneze obiecte diferite. De exemplu, - acesta este (ca de obicei) un scaun și - aceasta este o masă. Apoi:

scaune mese scaune mese scaune scaune mese

Se numesc numerele cu care se înmulțesc literele din astfel de termeni coeficienți. De exemplu, în monom coeficientul este egal. Și el este egal.

Deci, regula pentru a aduce similare:

Exemple:

Aduceți similare:

Raspunsuri:

2. (și sunt asemănătoare, întrucât, deci, acești termeni au aceeași parte de literă).

2. Factorizarea

Aceasta este de obicei partea cea mai importantă în simplificarea expresiilor. După ce ai dat altele asemănătoare, de cele mai multe ori expresia rezultată trebuie factorizată, adică prezentată ca produs. Acest lucru este deosebit de important în fracții: la urma urmei, pentru a reduce o fracție, numărătorul și numitorul trebuie reprezentate ca un produs.

Ați trecut prin metodele detaliate de factorizare a expresiilor din subiectul „”, așa că aici trebuie doar să vă amintiți ce ați învățat. Pentru a face acest lucru, rezolvați câteva exemple(de luat în calcul):

Solutii:

3. Reducerea fracțiilor.

Ei bine, ce poate fi mai frumos decât să tai o parte din numărător și numitor și să le arunci din viața ta?

Aceasta este frumusețea abrevierilor.

E simplu:

Dacă numărătorul și numitorul conțin aceiași factori, ei pot fi redusi, adică îndepărtați din fracție.

Această regulă rezultă din proprietatea de bază a unei fracții:

Adică, esența operației de reducere este aceea Împărțim numărătorul și numitorul unei fracții la același număr (sau la aceeași expresie).

Pentru a reduce o fracție, aveți nevoie de:

1) numărător și numitor factorizați

2) dacă numărătorul și numitorul conțin factori comuni, acestea pot fi șterse.

Principiul, cred, este clar?

Aș dori să vă atrag atenția asupra unei greșeli tipice de abreviere. Deși acest subiect este simplu, mulți oameni fac totul greșit, fără să-și dea seama de asta a tăia- acest lucru înseamnă divide numărător și numitor cu același număr.

Fără abrevieri dacă numărătorul sau numitorul este suma.

De exemplu: trebuie să simplificați.

Unii fac asta: ceea ce este absolut greșit.

Un alt exemplu: reduce.

„Cel mai deștept” va face asta:.

Spune-mi ce e în neregulă aici? S-ar părea: - acesta este un multiplicator, așa că puteți reduce.

Dar nu: - acesta este un factor de un singur termen în numărător, dar numărătorul în sine în ansamblu nu este descompus în factori.

Iată un alt exemplu: .

Această expresie este descompusă în factori, ceea ce înseamnă că puteți reduce, adică împărțiți numărătorul și numitorul cu, apoi cu:

Puteți împărți imediat la:

Pentru a evita astfel de greșeli, amintiți-vă o modalitate ușoară de a determina dacă o expresie este luată în considerare:

Operația aritmetică care se efectuează ultima la calcularea valorii expresiei este „principală”. Adică dacă înlocuiți câteva (orice) numere în loc de litere și încercați să calculați valoarea expresiei, atunci dacă ultima acțiune este înmulțirea, atunci avem un produs (expresia este descompusă în factori). Dacă ultima acțiune este adunarea sau scăderea, aceasta înseamnă că expresia nu este factorizată (și, prin urmare, nu poate fi redusă).

Pentru a o repara, rezolvați singur câteva exemple:

Raspunsuri:

1. Sper că nu te-ai grăbit imediat să tai și? Încă nu a fost suficient să „reducem” unități ca aceasta:

Primul pas ar trebui să fie factorizarea:

4. Adunarea și scăderea fracțiilor. Aducerea fracțiilor la un numitor comun.

Adunarea și scăderea fracțiilor obișnuite este o operație binecunoscută: căutăm un numitor comun, înmulțim fiecare fracție cu factorul lipsă și adunăm/scădem numărătorii. Să ne amintim:

Raspunsuri:

1. Numitorii și sunt coprime, adică nu au factori comuni. Prin urmare, LCM a acestor numere este egal cu produsul lor. Acesta va fi numitorul comun:

2. Aici numitorul comun este:

3. Aici, în primul rând, transformăm fracțiile mixte în fracțiuni improprii și apoi - conform schemei obișnuite:

Este cu totul altă problemă dacă fracțiile conțin litere, de exemplu:

Să începem simplu:

a) Numitorii nu conțin litere

Aici totul este la fel ca în cazul fracțiilor numerice obișnuite: găsim un numitor comun, înmulțim fiecare fracție cu factorul care lipsește și adunăm/scădem numărătorii:

acum, la numărător, puteți aduce altele similare, dacă există, și le puteți factoriza:

Incearca-l tu insuti:

b) Numitorii conțin litere

Să ne amintim principiul găsirii unui numitor comun fără litere:

În primul rând, determinăm factorii comuni;

Apoi scriem toți factorii comuni o dată;

și înmulțiți-le cu toți ceilalți factori, nu cu cei comuni.

Pentru a determina factorii comuni ai numitorilor, mai întâi îi descompunem în factori simpli:

Subliniem factorii comuni:

Acum scriem factorii comuni o dată și adăugăm la ei toți factorii necomuni (nu subliniați):

Acesta este numitorul comun.

Să revenim la litere. Numitorii sunt dați exact în același mod:

Descompunem numitorii în factori;

determina multiplicatori comuni (identici);

scrie toți factorii comuni o dată;

Le înmulțim cu toți ceilalți factori, nu cu cei comuni.

Deci, in ordine:

1) descompuneți numitorii în factori:

2) determinați factorii comuni (identici):

3) scrieți toți factorii comuni o dată și înmulțiți-i cu toți ceilalți factori (nesubliniați):

Deci numitorul comun este aici. Prima fracție trebuie înmulțită cu, a doua - cu:

Apropo, există un truc:

De exemplu: .

Vedem aceiași factori în numitori, doar toți cu indicatori diferiți. Numitorul comun va fi:

in masura

in masura

in masura

în grad.

Să complicăm sarcina:

Cum se face ca fracțiile să aibă același numitor?

Să ne amintim proprietatea de bază a unei fracții:

Nicăieri nu se spune că același număr poate fi scăzut (sau adunat) de la numărătorul și numitorul unei fracții. Pentru că nu este adevărat!

Vedeți singuri: luați orice fracție, de exemplu, și adăugați un număr la numărător și numitor, de exemplu, . Ce s-a învățat?

Deci, o altă regulă de neclintit:

Când aduceți fracții la un numitor comun, folosiți numai operația de înmulțire!

Dar ce trebuie să înmulți pentru a obține?

Aici și înmulțiți. Și înmulțiți cu:

Expresiile care nu pot fi factorizate vor fi numite „factori elementari”. De exemplu, este un factor elementar. - de asemenea. Dar - nu: se descompune în factori.

Ce zici de exprimare? Este elementar?

Nu, deoarece poate fi factorizat:

(ați citit deja despre factorizare în subiectul „”).

Deci, factorii elementari în care descompuneți o expresie cu litere sunt un analog al factorilor simpli în care descompuneți numerele. Și vom face același lucru cu ei.

Vedem că ambii numitori au un factor. Va merge la numitorul comun în putere (rețineți de ce?).

Multiplicatorul este elementar și nu îl au în comun, ceea ce înseamnă că prima fracție va trebui pur și simplu înmulțită cu ea:

Alt exemplu:

Soluţie:

Înainte de a înmulți acești numitori într-o panică, trebuie să te gândești cum să-i factorizezi? Ambele reprezintă:

Excelent! Apoi:

Alt exemplu:

Soluţie:

Ca de obicei, factorizăm numitorii. În primul numitor, pur și simplu îl punem între paranteze; în al doilea - diferența de pătrate:

S-ar părea că nu există factori comuni. Dar dacă te uiți cu atenție, sunt deja atât de asemănătoare... Și adevărul este:

Deci hai sa scriem:

Adică, s-a dovedit așa: în paranteză, am schimbat termenii și, în același timp, semnul din fața fracției s-a schimbat la opus. Ia notă, va trebui să faci asta des.

Acum aducem la un numitor comun:

Am înţeles? Acum să verificăm.

Sarcini pentru soluție independentă:

Raspunsuri:

Aici trebuie să ne amintim încă un lucru - diferența de cuburi:

Vă rugăm să rețineți că numitorul celei de-a doua fracții nu conține formula „pătratul sumei”! Pătratul sumei ar arăta astfel:

A este așa-numitul pătrat incomplet al sumei: al doilea termen din acesta este produsul dintre primul și ultimul, și nu produsul lor dublat. Pătratul incomplet al sumei este unul dintre factorii de extindere a diferenței de cuburi:

Ce se întâmplă dacă există deja trei fracții?

Da, la fel! În primul rând, ne vom asigura că numărul maxim de factori în numitori este același:

Atenție: dacă schimbați semnele dintr-o paranteză, semnul din fața fracției se schimbă în opus. Când schimbăm semnele din a doua paranteză, semnul din fața fracției este inversat din nou. Drept urmare, el (semnul din fața fracției) nu s-a schimbat.

Scriem primul numitor în întregime în numitorul comun, apoi adăugăm la el toți factorii care nu au fost încă scriși, din al doilea și apoi din al treilea (și așa mai departe, dacă sunt mai multe fracții). Adică merge așa:

Hmm... Cu fracții, este clar ce să faci. Dar ce zici de cei doi?

Este simplu: știi cum să adunăm fracții, nu? Deci, trebuie să vă asigurați că zeul devine o fracțiune! Amintiți-vă: o fracție este o operație de împărțire (numărătorul este împărțit la numitor, în cazul în care ați uitat brusc). Și nu este nimic mai ușor decât împărțirea unui număr la. În acest caz, numărul în sine nu se va schimba, ci se va transforma într-o fracție:

Exact ce este nevoie!

5. Înmulțirea și împărțirea fracțiilor.

Ei bine, partea cea mai grea s-a terminat. Și în fața noastră este cel mai simplu, dar în același timp cel mai important:

Procedură

Care este procedura de calcul a unei expresii numerice? Amintiți-vă, având în vedere valoarea unei astfel de expresii:

ai numarat?

Ar trebui să funcționeze.

Deci, vă reamintesc.

Primul pas este să calculezi gradul.

Al doilea este înmulțirea și împărțirea. Dacă există mai multe înmulțiri și împărțiri în același timp, le puteți face în orice ordine.

Și, în sfârșit, facem adunarea și scăderea. Din nou, în orice ordine.

Dar: expresia dintre paranteze este evaluată în dezordine!

Dacă mai multe paranteze sunt înmulțite sau împărțite între ele, mai întâi evaluăm expresia din fiecare dintre paranteze, apoi le înmulțim sau le împărțim.

Ce se întâmplă dacă există și alte paranteze între paranteze? Ei bine, să ne gândim: o expresie este scrisă între paranteze. Care este primul lucru de făcut atunci când evaluezi o expresie? Așa e, calculează paranteze. Ei bine, ne-am dat seama: mai întâi calculăm parantezele interioare, apoi totul.

Deci, ordinea acțiunilor pentru expresia de mai sus este următoarea (acțiunea curentă este evidențiată cu roșu, adică acțiunea pe care o efectuez chiar acum):

Bine, totul este simplu.

Dar asta nu este același lucru cu o expresie cu litere, nu-i așa?

Nu, e la fel! Numai în loc de operații aritmetice este necesar să se facă operații algebrice, adică operațiile descrise în secțiunea anterioară: aducând similare, adunarea fracțiilor, reducerea fracțiilor și așa mai departe. Singura diferență va fi acțiunea de factorizare a polinoamelor (o folosim adesea când lucrăm cu fracții). Cel mai adesea, pentru factorizare, trebuie să utilizați i sau pur și simplu să scoateți factorul comun din paranteze.

De obicei, scopul nostru este de a reprezenta o expresie ca produs sau coeficient.

De exemplu:

Să simplificăm expresia.

1) Mai întâi simplificăm expresia dintre paranteze. Acolo avem diferența de fracții, iar scopul nostru este să o reprezentăm ca produs sau coeficient. Deci, aducem fracțiile la un numitor comun și adăugăm:

Este imposibil să simplificați mai mult această expresie, toți factorii de aici sunt elementari (mai vă amintiți ce înseamnă asta?).

2) obținem:

Înmulțirea fracțiilor: ce ar putea fi mai ușor.

3) Acum puteți scurta:

OK, totul sa terminat acum. Nimic complicat, nu?

Alt exemplu:

Simplificați expresia.

Mai întâi, încercați să o rezolvați singur și abia apoi uitați-vă la soluție.

În primul rând, să definim procedura. Mai întâi, să adăugăm fracțiile dintre paranteze, în loc de două fracții, se va dovedi una. Apoi vom face împărțirea fracțiilor. Ei bine, adăugăm rezultatul cu ultima fracție. Voi numerota schematic pașii:

Acum voi arăta întregul proces, colorând acțiunea curentă cu roșu:

În cele din urmă, vă voi oferi două sfaturi utile:

1. Daca sunt asemanatoare, acestea trebuie aduse imediat. In orice moment avem altele asemanatoare, este indicat sa le aducem imediat.

2. Același lucru este valabil și pentru fracțiile reducătoare: de îndată ce apare o oportunitate de reducere, aceasta trebuie folosită. Excepție fac fracțiile pe care le adunați sau scădeți: dacă acum au aceiași numitori, atunci reducerea ar trebui lăsată pentru mai târziu.

Iată câteva sarcini pe care le puteți rezolva singur:

Și a promis chiar de la început:

Soluții (pe scurt):

Dacă ați făcut față cel puțin primelor trei exemple, atunci, luați în considerare, ați stăpânit subiectul.

Acum, la învățare!

CONVERSIUNEA EXPRESIILOR. REZUMAT ȘI FORMULA DE BAZĂ

Operatii de simplificare de baza:

• Aducerea asemănătoare: pentru a adăuga (reduce) termeni similari, trebuie să adăugați coeficienții acestora și să atribuiți partea de litere.
• Factorizare: scoaterea din paranteze a factorului comun, aplicarea etc.
• Reducerea fracțiilor: numărătorul și numitorul unei fracții pot fi înmulțite sau împărțite cu același număr diferit de zero, din care valoarea fracției nu se modifică.
  1) numărător și numitor factorizați
  2) dacă există factori comuni la numărător și numitor, aceștia pot fi tăiați.

  IMPORTANT: numai multiplicatorii pot fi redusi!

• Adunarea și scăderea fracțiilor:
  ;
• Înmulțirea și împărțirea fracțiilor:
  ;

Adesea în sarcini este necesar să se dea un răspuns simplificat. În timp ce atât răspunsurile simplificate, cât și cele nesimplistice sunt corecte, instructorul dumneavoastră vă poate reduce nota dacă nu simplificați răspunsul. În plus, o expresie matematică simplificată este mult mai ușor de lucrat. Prin urmare, este foarte important să învățați cum să simplificați expresiile.

Pași

Ordinea corectă a operațiilor matematice

1. Amintiți-vă ordinea corectă de efectuare a operațiilor matematice. La simplificarea unei expresii matematice, trebuie urmată o anumită ordine, întrucât unele operații matematice au prioritate față de altele și trebuie făcute mai întâi (de fapt, nerespectarea ordinii corecte a operațiilor te va duce la un rezultat greșit). Amintiți-vă următoarea ordine a operațiilor matematice: exprimare între paranteze, exponențiere, înmulțire, împărțire, adunare, scădere.

   • Rețineți că cunoașterea ordinii corecte a operațiilor vă va permite să simplificați majoritatea celor mai simple expresii, dar pentru a simplifica un polinom (o expresie cu o variabilă) trebuie să cunoașteți trucuri speciale (vezi secțiunea următoare).

2. Începeți prin a rezolva expresia din paranteze.În matematică, parantezele indică faptul că expresia inclusă trebuie evaluată mai întâi. Prin urmare, atunci când simplificați orice expresie matematică, începeți prin a rezolva expresia cuprinsă între paranteze (nu contează ce operațiuni trebuie să efectuați în interiorul parantezelor). Dar amintiți-vă că atunci când lucrați cu o expresie cuprinsă între paranteze, ar trebui să urmați ordinea operațiilor, adică termenii din paranteze sunt mai întâi înmulțiți, împărțiți, adăugați, scădeți și așa mai departe.

   • De exemplu, să simplificăm expresia 2x + 4(5 + 2) + 3 2 - (3 + 4/2). Aici începem cu expresiile dintre paranteze: 5 + 2 = 7 și 3 + 4/2 = 3 + 2 = 5.
     • Expresia din a doua pereche de paranteze se simplifică la 5, deoarece 4/2 trebuie împărțite mai întâi (după ordinea corectă a operațiilor). Dacă nu urmați această ordine, atunci veți obține răspunsul greșit: 3 + 4 = 7 și 7 ÷ 2 = 7/2.
   • Dacă există o altă pereche de paranteze în paranteze, începeți simplificarea prin rezolvarea expresiei din parantezele interioare, apoi treceți la rezolvarea expresiei din parantezele exterioare.

3. Ridicați-vă la putere. După rezolvarea expresiilor din paranteze, treceți la ridicarea la o putere (rețineți că o putere are un exponent și o bază). Ridicați expresia (sau numărul) corespunzătoare la o putere și înlocuiți rezultatul în expresia care ți-a fost dată.

   • În exemplul nostru, singura expresie (număr) din putere este 3 2: 3 2 = 9. În expresia dată, înlocuiți 9 în loc de 3 2 și veți obține: 2x + 4(7) + 9 - 5 .

4. Multiplica. Rețineți că operația de înmulțire poate fi notată prin următoarele simboluri: „x”, „∙” sau „*”. Dar dacă nu există simboluri între un număr și o variabilă (de exemplu, 2x) sau între un număr și un număr între paranteze (de exemplu, 4(7)), atunci aceasta este și o operație de înmulțire.

   • În exemplul nostru, există două operații de înmulțire: 2x (de două ori x) și 4(7) (de patru ori șapte). Nu știm valoarea lui x, așa că vom lăsa expresia 2x așa cum este. 4(7) \u003d 4 x 7 \u003d 28. Acum puteți rescrie expresia dată astfel: 2x + 28 + 9 - 5.

5. Divide. Amintiți-vă că operația de împărțire poate fi notată prin următoarele simboluri: „/”, „÷” sau „-” (puteți vedea ultimul simbol în fracții). De exemplu, 3/4 este trei împărțit la patru.

   • În exemplul nostru, nu mai există împărțire deoarece ați împărțit deja 4 la 2 (4/2) când rezolvați expresia între paranteze. Prin urmare, puteți trece la pasul următor. Amintiți-vă că majoritatea expresiilor nu au toate operațiile matematice simultan (doar unele dintre ele).

6. Îndoiți. Când adăugați termeni ai unei expresii, puteți începe cu termenul cel mai exterior (stânga) sau puteți adăuga mai întâi acei termeni care se adună ușor. De exemplu, în expresia 49 + 29 + 51 +71, este mai întâi mai ușor să adăugați 49 + 51 = 100, apoi 29 + 71 = 100 și, în final, 100 + 100 = 200. Este mult mai dificil să adăugați așa : 49 + 29 = 78; 78 + 51 = 129; 129 + 71 = 200.

   • În exemplul nostru 2x + 28 + 9 + 5, există două operații de adunare. Să începem cu termenul cel mai extrem (stânga): 2x + 28; nu poți adăuga 2x și 28 pentru că nu cunoști valoarea lui x. Prin urmare, adăugați 28 + 9 = 37. Acum expresia poate fi rescrisă după cum urmează: 2x + 37 - 5.

7. Scădea. Aceasta este ultima operațiune din ordinea corectă efectua operatii matematice. În această etapă, puteți adăuga și numere negative sau o puteți face în etapa de adăugare a membrilor - acest lucru nu va afecta în niciun fel rezultatul final.

   • În exemplul nostru 2x + 37 - 5, există o singură operație de scădere: 37 - 5 = 32.

8. În această etapă, după ce ați făcut toate operațiile matematice, ar trebui să obțineți o expresie simplificată. Dar dacă expresia care vi se oferă conține una sau mai multe variabile, atunci amintiți-vă că membrul cu variabila va rămâne așa cum este. Rezolvarea (mai degrabă decât simplificarea) a unei expresii cu o variabilă implică găsirea valorii acelei variabile. Uneori, expresiile cu o variabilă pot fi simplificate folosind metode speciale (vezi secțiunea următoare).

   • În exemplul nostru, răspunsul final este 2x + 32. Nu puteți adăuga doi termeni până nu cunoașteți valoarea lui x. Odată ce cunoașteți valoarea variabilei, puteți simplifica cu ușurință acest binom.

   Simplificarea expresiilor complexe

   1. Adăugarea unor termeni similari. Amintiți-vă că puteți doar scăde și adăuga termeni similari, adică termeni cu aceeași variabilă și același exponent. De exemplu, puteți adăuga 7x și 5x, dar nu puteți adăuga 7x și 5x 2 (pentru că exponenții sunt diferiți aici).

      • Această regulă se aplică și membrilor cu mai multe variabile. De exemplu, puteți adăuga 2xy 2 și -3xy 2 , dar nu puteți adăuga 2xy 2 și -3x 2 y sau 2xy 2 și -3y 2 .
      • Luați în considerare un exemplu: x 2 + 3x + 6 - 8x. Aici termenii similari sunt 3x și 8x, deci pot fi adunați împreună. Expresia simplificată arată astfel: x 2 - 5x + 6.

   2. Simplificați numărul.Într-o astfel de fracție, atât numărătorul, cât și numitorul conțin numere (fără o variabilă). O fracție numerică este simplificată în mai multe moduri. Mai întâi, împărțiți numitorul la numărător. În al doilea rând, factorizați numărătorul și numitorul și anulați aceiași factori (pentru că atunci când împărțiți un număr la sine, obțineți 1). Cu alte cuvinte, dacă atât numărătorul, cât și numitorul au același factor, îl puteți renunța și obțineți o fracție simplificată.

      • De exemplu, luați în considerare fracția 36/60. Folosind un calculator, împărțiți 36 la 60 și obțineți 0,6. Dar puteți simplifica această fracție într-un alt mod prin factorizarea numărătorului și numitorului: 36/60 = (6x6)/(6x10) = (6/6)*(6/10). Deoarece 6/6 \u003d 1, atunci fracția simplificată: 1 x 6/10 \u003d 6/10. Dar această fracție poate fi și simplificată: 6/10 \u003d (2x3) / (2 * 5) \u003d (2/2) * (3/5) \u003d 3/5.

   3. Dacă fracția conține o variabilă, puteți reduce aceiași factori cu variabila. Factorizați atât numărătorul, cât și numitorul și anulați aceiași factori chiar dacă conțin o variabilă (rețineți că aici aceiași factori pot să conțină sau nu o variabilă).

      • Luați în considerare un exemplu: (3x 2 + 3x)/(-3x 2 + 15x). Această expresie poate fi rescrisă (factorizată) ca: (x + 1)(3x)/(3x)(5 - x). Deoarece termenul 3x este atât la numărător, cât și la numitor, acesta poate fi redus pentru a vă oferi o expresie simplificată: (x + 1)/(5 - x). Luați în considerare un alt exemplu: (2x 2 + 4x + 6)/2 = (2(x 2 + 2x + 3))/2 = x 2 + 2x + 3.
      • Vă rugăm să rețineți că nu puteți anula niciun termen - doar aceiași factori care sunt prezenți atât la numărător, cât și la numitor sunt anulați. De exemplu, în expresia (x(x + 2))/x, variabila (multiplicatorul) „x” este atât la numărător, cât și la numitor, deci „x” poate fi redus și se obține o expresie simplificată: (x + 2) / 1 = x + 2. Totuși, în expresia (x + 2)/x, variabila „x” nu poate fi redusă (pentru că la numărător „x” nu este un factor).

   4. Deschide paranteza. Pentru a face acest lucru, înmulțiți termenul din afara parantezei cu fiecare termen din paranteze. Uneori ajută la simplificarea unei expresii complexe. Acest lucru se aplică atât membrilor care sunt numere prime, cât și membrilor care conțin o variabilă.

      • De exemplu, 3(x 2 + 8) = 3x 2 + 24 și 3x(x 2 + 8) = 3x 3 + 24x.
      • Vă rugăm să rețineți că în expresiile fracționale, parantezele nu trebuie să fie deschise dacă numărătorul și numitorul conțin același factor. De exemplu, în expresia (3(x 2 + 8)) / 3x, nu trebuie să extindeți parantezele, deoarece aici puteți reduce factorul 3 și puteți obține o expresie simplificată (x 2 + 8) / x. Această expresie este mai ușor de lucrat; dacă ați extinde parantezele, veți obține următoarea expresie complexă: (3x 3 + 24x)/3x.

   5. Factorizați polinoamele. Folosind această metodă, puteți simplifica unele expresii și polinoame. Factorizarea este opusul expansiunii parantezelor, adică o expresie este scrisă ca produs a două expresii, fiecare dintre ele cuprinsă între paranteze. În unele cazuri, factoring vă permite să scurtați aceeași expresie. În cazuri speciale (de obicei cu ecuații patratice), factorizarea vă va permite să rezolvați ecuația.

      • Se consideră expresia x 2 - 5x + 6. Se descompune în factori: (x - 3) (x - 2). Astfel, dacă, de exemplu, este dată o expresie (x 2 - 5x + 6)/(2(x - 2)), atunci o puteți rescrie ca (x - 3)(x - 2)/(2(x) - 2)), reduceți expresia (x - 2) și obțineți o expresie simplificată (x - 3) / 2.
      • Factorizarea polinoamelor este folosită pentru a rezolva (găsi rădăcini) ecuații (o ecuație este un polinom egalat cu 0). De exemplu, luați în considerare ecuația x 2 - 5x + 6 \u003d 0. Factorizând-o, obțineți (x - 3) (x - 2) \u003d 0. Deoarece orice expresie înmulțită cu 0 este 0, o putem scrie ca acesta: x - 3 \u003d 0 și x - 2 \u003d 0. Astfel, x \u003d 3 și x \u003d 2, adică ați găsit două rădăcini ale ecuației care vi se oferă.

Printre diferitele expresii care sunt luate în considerare în algebră, sumele de monomii ocupă un loc important. Iată exemple de astfel de expresii:
\(5a^4 - 2a^3 + 0,3a^2 - 4,6a + 8 \)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2 \)

Suma monomiilor se numește polinom. Termenii dintr-un polinom sunt numiți membri ai polinomului. Mononoamele sunt denumite și polinoame, considerând un monom ca un polinom format dintr-un membru.

De exemplu, polinom
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
poate fi simplificat.

Reprezentăm toți termenii ca monomii ale formei standard:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16 \)

Dăm termeni similari în polinomul rezultat:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Rezultatul este un polinom, toți membrii căruia sunt monomii ale formei standard, iar printre ele nu există altele similare. Astfel de polinoame se numesc polinoame de formă standard.

Pe gradul polinom forma standard ia cea mai mare dintre puterile membrilor săi. Deci, binomul \(12a^2b - 7b \) are al treilea grad, iar trinomul \(2b^2 -7b + 6 \) are al doilea.

De obicei, membrii polinoamelor de formă standard care conțin o variabilă sunt aranjați în ordinea descrescătoare a exponenților acesteia. De exemplu:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1 \)

Suma mai multor polinoame poate fi convertită (simplificată) într-o formă standard de polinom.

Uneori, membrii unui polinom trebuie împărțiți în grupuri, încadrând fiecare grup între paranteze. Deoarece parantezele sunt opusul parantezelor, este ușor de formulat reguli de deschidere a parantezelor:

Dacă semnul + este plasat înaintea parantezelor, atunci termenii încadrați între paranteze se scriu cu aceleași semne.

Dacă un semn „-” este plasat în fața parantezelor, atunci termenii cuprinsi între paranteze sunt scrise cu semne opuse.

Transformarea (simplificarea) a produsului dintre un monom și un polinom

Folosind proprietatea distributivă a înmulțirii, se poate transforma (simplifica) produsul dintre un monom și un polinom într-un polinom. De exemplu:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)

Produsul unui monom și al unui polinom este identic egal cu suma produselor acestui monom și a fiecăruia dintre termenii polinomului.

Acest rezultat este de obicei formulat ca o regulă.

Pentru a înmulți un monom cu un polinom, trebuie să înmulțim acest monom cu fiecare dintre termenii polinomului.

Am folosit în mod repetat această regulă pentru înmulțirea cu o sumă.

Produsul polinoamelor. Transformarea (simplificarea) produsului a două polinoame

În general, produsul a două polinoame este identic egal cu suma produsului fiecărui termen al unui polinom și al fiecărui termen al celuilalt.

Utilizați de obicei următoarea regulă.

Pentru a înmulți un polinom cu un polinom, trebuie să înmulțiți fiecare termen al unui polinom cu fiecare termen al celuilalt și să adăugați produsele rezultate.

Formule de înmulțire prescurtate. Sumă, diferență și pătrate diferențe

Unele expresii din transformările algebrice trebuie tratate mai des decât altele. Poate că cele mai comune expresii sunt \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) și \(a^2 - b^2 \), adică pătratul sumei, pătratul diferenței și pătratul diferenței. Ați observat că numele expresiilor indicate par a fi incomplete, deci, de exemplu, \((a + b)^2 \) este, desigur, nu doar pătratul sumei, ci pătratul sumei lui a și b. Cu toate acestea, pătratul sumei lui a și b nu este atât de comun, de regulă, în loc de literele a și b, conține expresii diverse, uneori destul de complexe.

Expresiile \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) sunt ușor de convertit (simplificat) în polinoame de forma standard, de fapt, ați întâlnit deja o astfel de sarcină atunci când înmulțiți polinoame :
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)

Identitățile rezultate sunt utile de reținut și aplicate fără calcule intermediare. Formulări verbale scurte ajută acest lucru.

\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - pătratul sumei este egal cu suma pătratelor și a produsului dublu.

\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - pătratul diferenței este suma pătratelor fără a dubla produsul.

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - diferența de pătrate este egală cu produsul dintre diferență și suma.

Aceste trei identități permit transformărilor să înlocuiască părțile din stânga cu cele din dreapta și invers - părțile din dreapta cu cele din stânga. Cel mai dificil lucru în acest caz este să vedeți expresiile corespunzătoare și să înțelegeți ce variabilele a și b sunt înlocuite în ele. Să ne uităm la câteva exemple de utilizare a formulelor de înmulțire abreviate.