Un sistem de m ecuații liniare cu n necunoscute numit un sistem al formei

Unde a ijȘi b i (i=1,…,m; b=1,…,n) sunt câteva numere cunoscute și x 1 ,…,x n– necunoscut. În desemnarea coeficienţilor a ij primul indice i denotă numărul ecuației, iar al doilea j– numărul necunoscutului la care se află acest coeficient.

Vom scrie coeficienții pentru necunoscute sub forma unei matrice , pe care o vom numi matricea sistemului.

Numerele din partea dreaptă a ecuațiilor sunt b 1 ,…,b m sunt numite membri liberi.

Totalitate n numere c 1 ,…,c n numit decizie a unui sistem dat, dacă fiecare ecuație a sistemului devine o egalitate după înlocuirea numerelor în ea c 1 ,…,c nîn locul necunoscutelor corespunzătoare x 1 ,…,x n.

Sarcina noastră va fi să găsim soluții pentru sistem. În acest caz, pot apărea trei situații:

Un sistem de ecuații liniare care are cel puțin o soluție se numește comun. Altfel, i.e. dacă sistemul nu are soluții, atunci este numit nearticulată.

Să luăm în considerare modalități de a găsi soluții pentru sistem.

METODĂ MATRIXĂ PENTRU REZOLVAREA SISTEMELOR DE ECUAȚII LINARE

Matricele fac posibilă scrierea pe scurt a unui sistem de ecuații liniare. Să fie dat un sistem de 3 ecuații cu trei necunoscute:

Luați în considerare matricea sistemului și coloane de matrice de termeni necunoscuți și liberi

Să găsim de lucru

acestea. ca rezultat al produsului, obținem părțile din stânga ecuațiilor acestui sistem. Apoi, folosind definiția egalității matriceale, acest sistem poate fi scris sub forma

sau mai scurt A∙X=B.

Iată matricele AȘi B sunt cunoscute, iar matricea X necunoscut. Este necesar să-l găsim, pentru că... elementele sale sunt soluția acestui sistem. Această ecuație se numește ecuația matriceală.

Fie determinantul matricei diferit de zero | A| ≠ 0. Atunci ecuația matriceală se rezolvă după cum urmează. Înmulțiți ambele părți ale ecuației din stânga cu matricea A-1, inversul matricei A: . Deoarece A -1 A = EȘi E∙X=X, apoi obținem o soluție a ecuației matriceale sub forma X = A -1 B .

Rețineți că, deoarece matricea inversă poate fi găsită numai pentru matrice pătrată, metoda matricei poate rezolva numai acele sisteme în care numărul de ecuații coincide cu numărul de necunoscute. Cu toate acestea, înregistrarea matriceală a sistemului este posibilă și în cazul în care numărul de ecuații nu este egal cu numărul de necunoscute, atunci matricea A nu va fi pătrat și, prin urmare, este imposibil să găsiți o soluție la sistem în formă X = A -1 B.

Exemple. Rezolvarea sistemelor de ecuații.

REGULA LUI CRAMER

Să considerăm un sistem de 3 ecuații liniare cu trei necunoscute:

Determinant de ordinul al treilea corespunzător matricei sistemului, i.e. compus din coeficienți pentru necunoscute,

numit determinant al sistemului.

Să mai compunem trei determinanți astfel: înlocuiți secvențial 1, 2 și 3 coloane din determinantul D cu o coloană de termeni liberi

Apoi putem demonstra următorul rezultat.

Teoremă (regula lui Cramer). Dacă determinantul sistemului Δ ≠ 0, atunci sistemul luat în considerare are una și o singură soluție și

Dovada. Deci, să considerăm un sistem de 3 ecuații cu trei necunoscute. Să înmulțim prima ecuație a sistemului cu complementul algebric A 11 element un 11, a 2-a ecuație – activată A 21și al 3-lea – pe A 31:

Să adăugăm aceste ecuații:

Să ne uităm la fiecare dintre paranteze și partea dreaptă a acestei ecuații. Prin teorema expansiunii determinantului în elementele coloanei I

În mod similar, se poate demonstra că și .

În cele din urmă, este ușor de observat asta

Astfel, obținem egalitatea: .

Prin urmare, .

Egalitățile și sunt derivate similar, din care urmează enunțul teoremei.

Astfel, observăm că dacă determinantul sistemului Δ ≠ 0, atunci sistemul are o soluție unică și invers. Dacă determinantul sistemului este egal cu zero, atunci sistemul fie are un număr infinit de soluții, fie nu are soluții, adică. incompatibil.

Exemple. Rezolvarea sistemului de ecuații

METODA GAUSS

Metodele discutate anterior pot fi folosite pentru a rezolva numai acele sisteme în care numărul de ecuații coincide cu numărul de necunoscute, iar determinantul sistemului trebuie să fie diferit de zero. Metoda Gauss este mai universală și potrivită pentru sisteme cu orice număr de ecuații. Constă în eliminarea consecventă a necunoscutelor din ecuațiile sistemului.

Să considerăm din nou un sistem de trei ecuații cu trei necunoscute:

.

Vom lăsa prima ecuație neschimbată, iar din a 2-a și a 3-a vom exclude termenii care conțin x 1. Pentru a face acest lucru, împărțiți a doua ecuație la A 21 și înmulțiți cu - A 11, apoi adăugați-l la prima ecuație. În mod similar, împărțim a treia ecuație la A 31 și înmulțiți cu - A 11, apoi adăugați-l cu primul. Ca rezultat, sistemul original va lua forma:

Acum din ultima ecuație eliminăm termenul care conține x 2. Pentru a face acest lucru, împărțiți a treia ecuație cu, înmulțiți cu și adăugați cu a doua. Atunci vom avea un sistem de ecuații:

De aici, din ultima ecuație este ușor de găsit x 3, apoi din a 2-a ecuație x 2și în sfârșit, de la 1 - x 1.

Când se utilizează metoda Gauss, ecuațiile pot fi schimbate dacă este necesar.

Adesea, în loc să scrie un nou sistem de ecuații, ei se limitează la a scrie matricea extinsă a sistemului:

iar apoi aduceți-o într-o formă triunghiulară sau diagonală folosind transformări elementare.

LA transformări elementare matricele includ următoarele transformări:

1. rearanjarea rândurilor sau coloanelor;
2. înmulțirea unui șir cu un alt număr decât zero;
3. adăugarea altor linii la o singură linie.

Exemple: Rezolvarea sistemelor de ecuații folosind metoda Gauss.

Astfel, sistemul are un număr infinit de soluții.

O ecuație cu o necunoscută, care, după ce deschide parantezele și aduce termeni similari, ia forma

ax + b = 0, unde a și b sunt numere arbitrare, se numește ecuație liniară cu unul necunoscut. Astăzi ne vom da seama cum să rezolvăm aceste ecuații liniare.

De exemplu, toate ecuațiile:

2x + 3= 7 – 0,5x; 0,3x = 0; x/2 + 3 = 1/2 (x – 2) - liniar.

Se numește valoarea necunoscutului care transformă ecuația într-o egalitate adevărată decizie sau rădăcina ecuației .

De exemplu, dacă în ecuația 3x + 7 = 13 în loc de necunoscutul x înlocuim numărul 2, obținem egalitatea corectă 3 2 +7 = 13. Aceasta înseamnă că valoarea x = 2 este soluția sau rădăcina a ecuației.

Iar valoarea x = 3 nu transformă ecuația 3x + 7 = 13 într-o egalitate adevărată, deoarece 3 2 +7 ≠ 13. Aceasta înseamnă că valoarea x = 3 nu este o soluție sau o rădăcină a ecuației.

Rezolvarea oricăror ecuații liniare se reduce la rezolvarea ecuațiilor de forma

ax + b = 0.

Să mutăm termenul liber din partea stângă a ecuației la dreapta, schimbând semnul din fața lui b la opus, obținem

Dacă a ≠ 0, atunci x = ‒ b/a .

Exemplul 1. Rezolvați ecuația 3x + 2 =11.

Să mutăm 2 din partea stângă a ecuației la dreapta, schimbând semnul din fața lui 2 în opus, obținem
3x = 11 – 2.

Să facem scăderea, atunci
3x = 9.

Pentru a găsi x, trebuie să împărțiți produsul la un factor cunoscut, adică
x = 9:3.

Aceasta înseamnă că valoarea x = 3 este soluția sau rădăcina ecuației.

Răspuns: x = 3.

Dacă a = 0 și b = 0, atunci obținem ecuația 0x = 0. Această ecuație are infinit de soluții, deoarece atunci când înmulțim orice număr cu 0 obținem 0, dar și b este egal cu 0. Soluția acestei ecuații este orice număr.

Exemplul 2. Rezolvați ecuația 5(x – 3) + 2 = 3 (x – 4) + 2x ‒ 1.

Să extindem parantezele:
5x – 15 + 2 = 3x – 12 + 2x ‒ 1.

5x – 3x ‒ 2x = – 12 ‒ 1 + 15 ‒ 2.

Iată câțiva termeni similari:
0x = 0.

Răspuns: x - orice număr.

Dacă a = 0 și b ≠ 0, atunci obținem ecuația 0x = - b. Această ecuație nu are soluții, deoarece atunci când înmulțim orice număr cu 0 obținem 0, dar b ≠ 0.

Exemplul 3. Rezolvați ecuația x + 8 = x + 5.

Să grupăm termeni care conțin necunoscute în partea stângă și termeni liberi în partea dreaptă:
x – x = 5 – 8.

Iată câțiva termeni similari:
0х = ‒ 3.

Răspuns: fără soluții.

Pe figura 1 prezintă o diagramă pentru rezolvarea unei ecuații liniare

Să întocmim o schemă generală de rezolvare a ecuațiilor cu o variabilă. Să luăm în considerare soluția exemplului 4.

Exemplul 4. Să presupunem că trebuie să rezolvăm ecuația

1) Înmulțiți toți termenii ecuației cu cel mai mic multiplu comun al numitorilor, egal cu 12.

2) După reducere obținem
4 (x – 4) + 3 2 (x + 1) ‒ 12 = 6 5 (x – 3) + 24x – 2 (11x + 43)

3) Pentru a separa termenii care conțin termeni necunoscuți și cei liberi, deschideți parantezele:
4x – 16 + 6x + 6 – 12 = 30x – 90 + 24x – 22x – 86.

4) Să grupăm într-o parte termenii care conțin necunoscute, iar în cealaltă - termeni liberi:
4x + 6x – 30x – 24x + 22x = ‒ 90 – 86 + 16 – 6 + 12.

5) Să prezentăm termeni similari:
- 22x = - 154.

6) Împărțiți la – 22, obținem
x = 7.

După cum puteți vedea, rădăcina ecuației este șapte.

In general asa ecuațiile pot fi rezolvate folosind următoarea schemă:

a) aduceți ecuația la forma sa întreagă;

b) deschideți parantezele;

c) grupează termenii care conțin necunoscutul într-o parte a ecuației, iar termenii liberi în cealaltă;

d) aduce membri similari;

e) rezolvați o ecuație de forma aх = b, care s-a obținut după aducerea unor termeni similari.

Cu toate acestea, această schemă nu este necesară pentru fiecare ecuație. Când rezolvați multe ecuații mai simple, trebuie să începeți nu de la prima, ci de la a doua ( Exemplu. 2), al treilea ( Exemplu. 13) și chiar din etapa a cincea, ca în exemplul 5.

Exemplul 5. Rezolvați ecuația 2x = 1/4.

Aflați necunoscutul x = 1/4: 2,
x = 1/8 .

Să ne uităm la rezolvarea unor ecuații liniare găsite în examenul de stat principal.

Exemplul 6 Rezolvați ecuația 2 (x + 3) = 5 – 6x.

2x + 6 = 5 – 6x

2x + 6x = 5 – 6

Răspuns: - 0,125

Exemplul 7. Rezolvați ecuația – 6 (5 – 3x) = 8x – 7.

– 30 + 18x = 8x – 7

18x – 8x = – 7 +30

Răspuns: 2.3

Exemplul 8. Rezolvați ecuația

3(3x – 4) = 4 7x + 24

9x – 12 = 28x + 24

9x – 28x = 24 + 12

Exemplul 9 Aflați f(6) dacă f (x + 2) = 3 7

Soluţie

Deoarece trebuie să găsim f(6) și știm f (x + 2),
atunci x + 2 = 6.

Rezolvăm ecuația liniară x + 2 = 6,
obținem x = 6 – 2, x = 4.

Dacă x = 4 atunci
f(6) = 3 7-4 = 3 3 = 27

Raspuns: 27.

Dacă mai aveți întrebări sau doriți să înțelegeți mai bine rezolvarea ecuațiilor, înscrieți-vă la lecțiile mele din PROGRAM. Voi fi bucuros să vă ajut!

TutorOnline vă recomandă, de asemenea, să vizionați o nouă lecție video de la profesorul nostru Olga Alexandrovna, care vă va ajuta să înțelegeți atât ecuațiile liniare, cât și altele.

site-ul web, atunci când copiați materialul integral sau parțial, este necesar un link către sursă.

Compunem principalul determinant pentru sistem

si calculeaza-l.

Apoi compunem determinanți suplimentari

si calculeaza-le.

Conform regulii lui Cramer, soluția sistemului se găsește folosind formulele

;
;
,Dacă

1)

Să calculăm:

Folosind formulele lui Cramer găsim:

Răspuns: (1; 2; 3)

2)

Să calculăm:

Deoarece principalul determinant
, iar cel puțin unul suplimentar nu este egal cu zero (în cazul nostru
), atunci sistemul nu are soluție.

3)

Să calculăm:

Deoarece toți determinanții sunt egali cu zero, sistemul are un număr infinit de soluții, care pot fi găsite după cum urmează:

Rezolvați singur sistemele:

A)
b)

Răspuns: a) (1; 2; 5) b) ;;

Lecția practică nr. 3 pe tema:

Produsul scalar al doi vectori și aplicarea acestuia

1. Dacă este dat
Și
, atunci găsim produsul scalar folosind formula:

∙

2.Dacă, atunci produsul scalar al acestor doi vectori se găsește prin formula

1. Dați doi vectori
Și

Găsim produsul lor scalar după cum urmează:

.

2. Sunt dați doi vectori:

={2;3;–4}
={1; –5; 6}

Produsul scalar se găsește astfel:

3.
,

3.1 Găsirea muncii unei forțe constante pe o secțiune dreaptă a drumului

1) Sub influența unei forțe de 15 N, corpul s-a deplasat în linie dreaptă 2 metri. Unghiul dintre forță și direcția de mișcare =60 0. Calculați munca efectuată de o forță pentru a deplasa un corp.

Dat:

Soluţie:

2) Având în vedere:

Soluţie:

3) Un corp s-a deplasat din punctul M(1; 2; 3) în punctul N(5; 4; 6) sub influența unei forțe de 60 N. Unghiul dintre direcția forței și vectorul deplasare =45 0. Calculați munca efectuată de această forță.

Soluție: găsiți vectorul deplasare

Găsirea modulului vectorului deplasare:

Conform formulei
gaseste o slujba:

3.2 Determinarea ortogonalității a doi vectori

Doi vectori sunt ortogonali dacă
, acesta este

deoarece

1)

– nu ortogonală

2)

– ortogonală

3) Să se determine la ce  vectorii
Și
reciproc ortogonale.

Deoarece
, Acea
, Mijloace

Decideți singuri:

A)

. Găsiți produsul lor scalar.

b) Calculaţi câtă muncă produce forţa
, dacă punctul de aplicare a acestuia, deplasându-se rectiliniu, s-a deplasat din punctul M (5; -6; 1) în punctul N (1; -2; 3)

c) Să se determine dacă vectorii sunt ortogonali
Și

Răspunsuri: a) 1 b) 16 c) da

3.3.Găsirea unghiului dintre vectori

1)

. Găsi .

Găsim

înlocuiți în formula:

.

1). Sunt date vârfurile triunghiului A(3; 2; –3), B(5; 1; –1), C(1; –2; 1). Aflați unghiul la vârful A.

Să o punem în formula:

Decideți singuri:

Sunt date vârfurile triunghiului A(3; 5; -2), B(5; 7; -1), C(4; 3; 0). Determinați unghiul interior la vârful A.

Raspuns: 90 o

Lecția practică nr. 4 pe tema:

PRODUS VECTOR DIN DOI VECTORI ŞI APLICAREA SA.

Formula pentru găsirea produsului încrucișat a doi vectori:

	se pare ca

1) Aflați modulul produsului vectorial:

Să compunem un determinant și să-l calculăm (folosind regula lui Sarrus sau teorema despre extinderea determinantului în elementele primului rând).

1a metodă: după regula lui Sarrus

Metoda 2: extindeți determinantul în elementele primului rând.

2) Aflați modulul produsului vectorial:

4.1. CALCULUL AREEI UNUI PARALELOGRAM CONSTRUIT PE DOI VECTORI.

1) Calculați aria unui paralelogram construit pe vectori

2). Găsiți produsul vectorial și modulul acestuia

4.2. CALCULUL AREEI UNUI TRIUNGHI

Exemplu: sunt date vârfurile triunghiului A(1; 0; -1), B(1; 2; 0), C(3; -1; 1). Calculați aria triunghiului.

Mai întâi, să găsim coordonatele a doi vectori care emană de la același vârf.

Să găsim produsul lor vectorial

4.3. DETERMINAREA COLINEARITATII A DOI VECTORI

Dacă vectorul
Și
sunt coliniare, atunci

, adică coordonatele vectorilor trebuie să fie proporționale.

a) Vectori dați::
,
.

Ele sunt coliniare deoarece
Și

după reducerea fiecărei fracții obținem raportul

b) Vectori dați:

.

Ele nu sunt coliniare deoarece
sau

Decideți singuri:

a) La ce valori m și n ale vectorului
coliniar?

Răspuns:
;

b) Aflați produsul vectorial și modulul acestuia
,
.

Răspuns:
,
.

Lecția practică nr. 5 pe tema:

LINIE DREPTĂ PE UN AVION

Problema nr. 1. Aflați ecuația unei drepte care trece prin punctul A(-2; 3) paralel cu dreapta

1. Aflați panta dreptei
.

este ecuația unei drepte cu un coeficient unghiular și o ordonată inițială (
). De aceea
.

2. Deoarece dreptele MN și AC sunt paralele, coeficienții lor unghiulari sunt egali, adică.
.

3. Pentru a găsi ecuația dreptei AC, folosim ecuația unei drepte care trece printr-un punct cu un coeficient unghiular dat:

. În această formulă în schimb Și înlocuiți coordonatele punctului A(-2; 3), în schimb Să înlocuim – 3. Ca rezultat al înlocuirii obținem:

Răspuns:

Sarcina nr. 2. Aflați ecuația unei drepte care trece prin punctul K(1; –2) paralel cu dreapta.

1. Să găsim panta dreptei.

Aceasta este ecuația generală a unei linii, care în formă generală este dată de formula. Comparând ecuațiile, constatăm că A = 2, B = –3. Panta dreptei date de ecuație se află prin formula
. Înlocuind A = 2 și B = –3 în această formulă, obținem panta dreptei MN. Asa de,
.

2. Deoarece dreptele MN și KS sunt paralele, coeficienții lor unghiulari sunt egali:
.

3. Pentru a găsi ecuația dreptei KS, folosim formula pentru ecuația dreptei care trece printr-un punct cu un coeficient unghiular dat
. În această formulă în schimb Și să substituim coordonatele punctului K(–2; 3), în loc de

Problema nr. 3. Aflați ecuația unei drepte care trece prin punctul K(–1; –3) perpendicular pe dreaptă.

1. este o ecuație generală a unei drepte, care în formă generală este dată de formula.

și aflăm că A = 3, B = 4.

Panta dreptei date de ecuație se găsește prin formula:
. Înlocuind A = 3 și B = 4 în această formulă, obținem panta dreptei MN:
.

2. Deoarece dreptele MN și KD sunt perpendiculare, coeficienții lor unghiulari sunt invers proporționali și opus în semn:

.

3. Pentru a găsi ecuația dreptei KD, folosim formula pentru ecuația dreptei care trece prin punctul cu un coeficient unghiular dat

. În această formulă în schimb Și înlocuiți coordonatele punctului K(–1;–3), în schimb hai sa inlocuim Ca rezultat al înlocuirii obținem:

Decideți singuri:

1. Aflați ecuația dreptei care trece prin punctul K(–4; 1) paralel cu dreapta
.

Răspuns:
.

2. Aflați ecuația dreptei care trece prin punctul K(5; –2) paralel cu dreapta
.

3. Aflați ecuația dreptei care trece prin punctul K(–2, –6) perpendicular pe dreapta
.

4. Aflați ecuația dreptei care trece prin punctul K(7; –2) perpendicular pe dreapta
.

Răspuns:
.

5. Aflați ecuația perpendicularei căzute din punctul K(–6; 7) la dreapta
.

2.3.1. Definiție.

Să fie date ecuații liniare:

A 1 X + b 1 y + c 1 z = d 1 , (2.3.1)

A 2 X + b 2 y + c 2 z = d 2 , (2.3.2)

A 3 X + b 3 y + c 3 z = d 3 . (2.3.3)

Dacă este necesar să se găsească o soluție generală a ecuațiilor (2.3.1) ¾ (2.3.3), atunci ei spun că formează sistem . Sistemul format din ecuațiile (2.3.1) ¾ (2.3.3) se notează după cum urmează:

Soluția generală a ecuațiilor care alcătuiesc sistemul se numește soluție de sistem . Rezolvați sistemul (2.3.4) ¾ aceasta înseamnă fie găsirea mulțimii tuturor soluțiilor sale, fie demonstrarea că nu există.

Ca și în cazurile anterioare, mai jos vom găsi condiții în care sistemul (2.3.4) are o soluție unică, are mai multe soluții și nu are nicio soluție.

2.3.2. Definiție. Să fie dat sistemul (2.3.4) de ecuații liniare. Matrici

sunt numite în consecință ( de bază )matrice Și matrice extinsă sisteme.

2.3.3. Definițiile sistemelor echivalente de forma (2.3.4), precum și transformările elementare de tipul I și al II-lea, sunt introduse în același mod ca și pentru sistemele de două ecuații cu două și trei necunoscute.

Transformare elementară Al treilea tip de sistem (2.3.4) se numește schimbul a două ecuații ale acestui sistem. Similar cu cazurile anterioare ale sistemelor cu 2 ecuații cu transformări elementare ale sistemului se obţine sistemul,echivalent cu acesta.

2.3.4. Exercițiu. Rezolvarea sistemelor de ecuații:

Soluţie. A)

(1) Am schimbat prima și a doua ecuație a sistemului (transformare de tip 3).

(2) Prima ecuație înmulțită cu 4 a fost scăzută din a doua, iar prima ecuație înmulțită cu 6 a fost scăzută din a treia (transformare de tip 2); astfel, necunoscutul a fost exclus din a doua și a treia ecuație X .

(3) A doua ecuație, înmulțită cu 14, a fost scăzută din a treia; necunoscutul a fost exclus din a treia y .

(4) Din ultima ecuație găsim z = 1, înlocuind care în al doilea, găsim y = 0. În final, înlocuind y = 0 și z = 1 în prima ecuație, găsim X = -2.ñ

(1) Am schimbat prima și a doua ecuație a sistemului.

(2) Prima ecuație înmulțită cu 4 a fost scăzută din a doua, iar prima ecuație înmulțită cu 6 a fost scăzută din a treia.

(3) A doua și a treia ecuație au coincis. Pe unul dintre ele îl excludem din sistem (sau, cu alte cuvinte, dacă îl scădem pe al doilea din a treia ecuație, atunci a treia ecuație se transformă în identitatea 0 = 0; este exclusă din sistem. Presupunem z = A .

(4) Înlocuitor z = A în a doua și prima ecuație.

(5) Înlocuirea y = 12 - 12A în prima ecuație, găsim X .

c) Dacă prima ecuație este împărțită la 4, iar a treia ¾ la 6, atunci ajungem la un sistem echivalent

care este echivalent cu ecuația X - 2y - z = -3. Soluțiile acestei ecuații sunt cunoscute (vezi Exemplul 2.2.3 b))

Ultima egalitate din sistemul rezultat este contradictorie. Prin urmare, sistemul nu are soluții.

Transformările (1) și (2) ¾ sunt exact aceleași cu transformările corespunzătoare ale sistemului b))

(3) Scădeți a doua din ultima ecuație.

Răspuns: a) (-2; 0; 1);

b) (21 - 23 A ; 12 - 12A ; A ), A Î R;

c) ((-3 + 2 A + b ; A ; b )|A , b Î R};

d) Sistemul nu are soluții.

2.3.5. Din exemplele anterioare rezultă că sistem cu trei necunoscute, ca un sistem cu două necunoscute, poate avea o singură soluție, un număr infinit de soluții și neavând o singură soluție. Mai jos vom analiza toate cazurile posibile. Dar mai întâi introducem o notație.

Fie D notează determinantul matricei sistemului:

Fie D 1 determinantul obținut din D prin înlocuirea primei coloane cu o coloană de termeni liberi:

În mod similar, să punem

D 2 = și D 3 = .

2.3.6. Teorema. Dacă D¹0, apoi sistemul(2.3.4)are o soluție unică

, , . (2.3.5)

Se numesc formulele (2.3.5). formule = = 0 pentru toți i ¹ j și cel puțin unul dintre determinanți , , nu este egal cu zero, atunci sistemul nu are soluții.

4) Dacă = = = = = = 0 pentru toți i ¹ j , atunci sistemul are un număr infinit de soluții, in functie de doi parametri.

Problema 1

Rezolvați un sistem de ecuații liniare în două moduri: folosind formulele lui Cramer și metoda lui Gauss

1) rezolvați sistemul neomogen de ecuații algebrice liniare Ax = B folosind metoda Cramer

Determinantul sistemului D nu este egal cu zero. Să găsim determinanții auxiliari D 1, D 2, D 3, dacă nu sunt egali cu zero, atunci nu există soluții, dacă sunt egale, atunci există un număr infinit de soluții

Un sistem de 3 ecuații liniare cu 3 necunoscute, al căror determinant este diferit de zero, este întotdeauna consistent și are o soluție unică, calculată prin formulele:

Răspuns: avem soluția:

2) rezolvați sistemul neomogen de ecuații algebrice liniare Ax = B folosind metoda Gauss

Să creăm o matrice extinsă a sistemului

Să luăm prima linie ca ghid, iar elementul a 11 = 1 ca ghid. Folosind linia de ghidare obținem zerouri în prima coloană.

corespunde mulţimii de soluţii ale sistemului de ecuaţii liniare

Răspuns: avem soluția:

Problema 2

Având în vedere coordonatele vârfurilor triunghiului ABC

Găsi:

1) lungimea laturii AB;

4) ecuația AE mediană;

Construiți triunghiul dat și toate liniile din sistemul de coordonate.

A(1; -1), B(4; 3). C(5; 1).

1) Distanța dintre punctele A( x 1; la 1) și B( x 2; la 2) este determinată de formula

folosind care găsim lungimea laturii AB;

2) ecuațiile laturilor AB și BC și coeficienții lor unghiulari;

Ecuația unei drepte care trece prin două puncte date ale planului A( x 1; la 1) și B( x 2; la 2) are forma

Înlocuind coordonatele punctelor A și B în (2), obținem ecuația laturii AB:

Găsim coeficientul unghiului k AB al dreptei AB transformând ecuația rezultată în forma unei ecuații a unei drepte cu un coeficient unghiular y =kx - b.

, adică de unde

În mod similar, obținem ecuația dreptei BC și găsim coeficientul unghiular al acesteia.

Înlocuind coordonatele punctelor B și C în (2), obținem ecuația pentru latura BC:

Găsim coeficientul unghiului k al BC al dreptei BC transformând ecuația rezultată în forma ecuației unei drepte cu coeficient unghiular y =kx - b.

, acesta este

3) unghiul intern la vârful B în radiani cu o precizie de 0,01

Pentru a găsi unghiul intern al triunghiului nostru, folosim formula:

Rețineți că procedura de calcul a diferenței dintre coeficienții unghiulari din numărătorul acestei fracții depinde de poziția relativă a dreptelor AB și BC.

Înlocuind valorile calculate anterior ale lui k BC și k AB în (3), găsim:

Acum, folosind tabelele cu un microcalculator de inginerie, obținem B » 1,11 rad.

4) ecuația AE mediană;

Pentru a compila ecuația mediei AE, găsim mai întâi coordonatele punctului E, care se află în mijlocul segmentului BC.

Înlocuind coordonatele punctelor A și E în ecuația (2), obținem ecuația mediană:

5) ecuația și lungimea înălțimii CD;

Pentru a compila ecuația pentru înălțimea CD, folosim ecuația unei drepte care trece printr-un punct dat M( x 0 ; y 0)cu o pantă dată k, care are forma

iar condiția de perpendicularitate a dreptelor AB și CD, care se exprimă prin relația k AB k CD = -1, de unde k CD = -1/k AB = - 3/4

Înlocuind în (4) în loc de k valoarea k C D = -3/4, iar în loc de X 0 , y 0 coordonatele corespunzătoare ale punctului C, obținem ecuația pentru înălțimea CD

Pentru a calcula lungimea înălțimii CD, folosim formula pentru găsirea distanței d de la un punct dat M( x 0 ; y 0) la o dreaptă dată cu ecuația Ax+ By + C = 0, care are forma:

Înlocuind în schimb în (5). x 0 ; y 0 coordonatele punctului C, iar în loc de A, B, C coeficienții ecuației dreptei AB, obținem

6) ecuația unei drepte care trece prin punctul E paralel cu latura AB și punctul M de intersecție a acesteia cu înălțimea CD;

Deoarece linia dreaptă dorită EF este paralelă cu dreapta AB, atunci k EF = k AB = 4/3. Înlocuind în schimb în ecuația (4). x 0 ; y 0 coordonatele punctului E și în loc de k valoarea k EF obținem ecuația dreptei EF."

Pentru a găsi coordonatele punctului M, rezolvăm împreună ecuațiile dreptelor EF și CD.

Astfel, M(5,48, 0,64).

7) ecuația unui cerc cu centrul în punctul E care trece prin vârful B

Deoarece cercul are un centru în punctul E(4,5; 2) și trece prin vârful B(4; 3), atunci raza lui

Ecuația canonică a unui cerc cu raza R cu centrul în punctul M 0 ( x 0 ; y 0) are forma

Triunghiul ABC, înălțimea CD, mediana AE, linia dreaptă EF, punctul M și un cerc construit în sistemul de coordonate x0y din Fig. 1.

Problema 3

Întocmește o ecuație a unei drepte, pentru fiecare punct a cărui distanță până la punctul A (2; 5) este egală cu distanța până la dreapta y = 1. Trasează curba rezultată în sistemul de coordonate

Soluţie

Fie M ( X, y) - punctul curent al curbei dorite. Să aruncăm perpendiculara MB din punctul M la dreapta y = 1 (Fig. 2). Apoi B(x; 1). Din moment ce MA = MB, atunci