MAREA TEOREMA FERMAT - afirmația lui Pierre Fermat (un avocat francez și matematician cu jumătate de normă) conform căreia ecuația diofantină X n + Y n = Z n , cu un exponent n>2, unde n = un număr întreg, nu are soluții în pozitiv numere întregi. Textul autorului: „Este imposibil să descompune un cub în două cuburi, sau un bi-pătrat în două bi-pătrat sau, în general, o putere mai mare de două în două puteri cu același exponent.”

„Fermat și teorema lui”, Amadeo Modigliani, 1920

Pierre a venit cu această teoremă la 29 martie 1636. Și după vreo 29 ​​de ani, a murit. Dar de aici a început totul. La urma urmei, un matematician german bogat pe nume Wolfskel a lăsat moștenire o sută de mii de mărci celui care prezintă demonstrația completă a teoremei lui Fermat! Dar entuziasmul din jurul teoremei era legat nu numai de aceasta, ci și de entuziasmul matematic profesional. Fermat însuși a dat de înțeles comunității matematice că știa dovada - cu puțin timp înainte de moartea sa, în 1665, a lăsat următoarea intrare în marginea cărții Diophantus din Alexandria „Aritmetica”: „Am o dovadă foarte uimitoare, dar este prea mare pentru a fi pus pe câmpuri”.

Acest indiciu (plus, desigur, un premiu în numerar) i-a făcut pe matematicieni să-și petreacă fără succes cei mai buni ani căutând dovezi (conform oamenilor de știință americani, numai matematicienii profesioniști au petrecut 543 de ani în acest sens în total).

La un moment dat (în 1901), lucrările la teorema lui Fermat au căpătat faima îndoielnică de „muncă asemănătoare cu căutarea unei mașini cu mișcare perpetuă” (a existat chiar un termen derogatoriu - „fermatisti”). Și brusc, pe 23 iunie 1993, la o conferință de matematică despre teoria numerelor la Cambridge, profesorul englez de matematică de la Universitatea Princeton (New Jersey, SUA) Andrew Wiles a anunțat că a dovedit în sfârșit Fermat!

Dovada, însă, nu a fost doar complicată, ci și evident eronată, așa cum a subliniat Wiles de colegii săi. Dar profesorul Wiles a visat să demonstreze teorema toată viața, așa că nu este de mirare că în mai 1994 a prezentat comunității științifice o versiune nouă, îmbunătățită a dovezii. Nu era armonie, frumusețe în ea și era încă foarte complicat - faptul că matematicienii au analizat această dovadă de un an întreg (!) Pentru a înțelege dacă nu este eronată, vorbește de la sine!

Dar, în cele din urmă, dovada lui Wiles s-a dovedit a fi corectă. Dar matematicienii nu l-au iertat pe Pierre Fermat pentru însuși aluziile lui în Aritmetică și, de fapt, au început să-l considere un mincinos. De fapt, prima persoană care a pus la îndoială integritatea morală a lui Fermat a fost însuși Andrew Wiles, care a remarcat că „Fermat nu ar fi putut avea o asemenea dovadă. Aceasta este dovada secolului al XX-lea”. Apoi, printre alți oameni de știință, a devenit mai puternică opinia că Fermat „nu și-a putut demonstra teorema într-un alt mod, iar Fermat nu a putut să o demonstreze în felul în care a procedat Wiles, din motive obiective”.

De fapt, Fermat, desigur, ar putea dovedi acest lucru, iar puțin mai târziu această dovadă va fi recreată de analiștii Noii Enciclopedii Analitice. Dar - care sunt aceste „motive obiective”?
De fapt, există un singur astfel de motiv: în acei ani în care a trăit Fermat, nu putea apărea conjectura lui Taniyama, pe care Andrew Wiles și-a construit dovada, deoarece funcțiile modulare pe care operează conjectura lui Taniyama au fost descoperite abia la sfârșitul secolului al XIX-lea. .

Cum a demonstrat Wiles însuși teorema? Întrebarea nu este inactivă - aceasta este importantă pentru a înțelege cum și-ar putea demonstra Fermat însuși teorema. Wiles și-a construit demonstrația pe baza conjecturii lui Taniyama prezentată în 1955 de matematicianul japonez în vârstă de 28 de ani Yutaka Taniyama.

Conjectura sună astfel: „fiecărei curbe eliptice îi corespunde o anumită formă modulară”. Curbele eliptice, cunoscute de multă vreme, au o formă bidimensională (situate pe un plan), în timp ce funcțiile modulare au o formă bidimensională. Adică, ipoteza lui Taniyama a combinat concepte complet diferite - curbe plate simple și forme cu patru dimensiuni inimaginabile. Însuși faptul de a conecta figuri cu dimensiuni diferite în ipoteză părea absurd oamenilor de știință, motiv pentru care în 1955 nu i s-a acordat nicio importanță.

Cu toate acestea, în toamna anului 1984, „ipoteza Taniyama” a fost brusc amintită din nou și nu numai că a fost amintită, dar posibila sa demonstrație a fost legată de demonstrarea teoremei lui Fermat! Acest lucru a fost făcut de matematicianul de Saarbrücken Gerhard Frey, care a spus comunității științifice că „dacă cineva ar putea dovedi conjectura lui Taniyama, atunci Ultima Teoremă a lui Fermat ar fi demonstrată”.

Ce a făcut Frey? El a convertit ecuația lui Fermat într-una cubică, apoi a atras atenția asupra faptului că o curbă eliptică obținută prin conversia ecuației lui Fermat într-una cubică nu poate fi modulară. Cu toate acestea, conjectura lui Taniyama a afirmat că orice curbă eliptică ar putea fi modulară! În consecință, o curbă eliptică construită din ecuația lui Fermat nu poate exista, ceea ce înseamnă că nu pot exista soluții întregi și teorema lui Fermat, ceea ce înseamnă că este adevărată. Ei bine, în 1993, Andrew Wiles a demonstrat pur și simplu conjectura lui Taniyama și, prin urmare, teorema lui Fermat.

Cu toate acestea, teorema lui Fermat poate fi demonstrată mult mai simplu, pe baza aceleiași multidimensionalități pe care au operat atât Taniyama, cât și Frey.

Pentru început, să fim atenți la condiția stipulată de însuși Pierre Fermat - n>2. De ce a fost necesară această condiție? Da, doar pentru faptul că pentru n=2 teorema obișnuită a lui Pitagora X 2 +Y 2 =Z 2 devine un caz special al teoremei lui Fermat, care are un număr infinit de soluții întregi - 3,4,5; 5,12,13; 7.24.25; 8,15,17; 12,16,20; 51.140.149 și așa mai departe. Astfel, teorema lui Pitagora este o excepție de la teorema lui Fermat.

Dar de ce exact în cazul lui n=2 apare o astfel de excepție? Totul cade la locul lui dacă vezi relația dintre gradul (n=2) și dimensiunea figurii în sine. Triunghiul lui Pitagora este o figură bidimensională. Nu este surprinzător, Z (adică ipotenuza) poate fi exprimat în termeni de catete (X și Y), care pot fi numere întregi. Mărimea unghiului (90) face posibilă considerarea ipotenuzei ca un vector, iar catetele sunt vectori situați pe axe și veniți de la origine. În consecință, este posibil să se exprime un vector bidimensional care nu se află pe niciuna dintre axe în termeni de vectori care se află pe ele.

Acum, dacă mergem la a treia dimensiune, și deci la n=3, pentru a exprima un vector tridimensional, nu vor exista suficiente informații despre doi vectori și, prin urmare, va fi posibil să se exprimă Z în ecuația lui Fermat în cel puțin trei termeni (trei vectori așezați, respectiv, pe cele trei axe ale sistemului de coordonate).

Dacă n=4, atunci ar trebui să existe 4 termeni, dacă n=5, atunci ar trebui să existe 5 termeni și așa mai departe. În acest caz, vor fi mai mult decât suficiente soluții întregi. De exemplu, 3 3 +4 3 +5 3 =6 3 și așa mai departe (puteți alege alte exemple pentru n=3, n=4 și așa mai departe).

Ce rezultă din toate acestea? De aici rezultă că teorema lui Fermat nu are într-adevăr soluții întregi pentru n>2 - ci doar pentru că ecuația în sine este incorectă! Cu același succes, s-ar putea încerca să exprime volumul unui paralelipiped în funcție de lungimile celor două margini ale sale - desigur, acest lucru este imposibil (soluții întregi nu vor fi găsite niciodată), ci doar pentru că pentru a găsi volumul unui paralelipiped , trebuie să cunoașteți lungimile tuturor celor trei margini ale sale.

Când celebrul matematician David Gilbert a fost întrebat care este cea mai importantă sarcină pentru știință acum, el a răspuns „a prinde o muscă în partea îndepărtată a lunii”. La întrebarea rezonabilă „Cine are nevoie?” el a răspuns astfel: "Nimeni nu are nevoie de el. Dar gândește-te la câte sarcini importante și complexe trebuie să rezolvi pentru a realiza acest lucru."

Cu alte cuvinte, Fermat (un avocat în primul rând!) a făcut o glumă juridică plină de spirit pe întreaga lume matematică, pe baza unei formulări incorecte a problemei. El, de fapt, a sugerat că matematicienii găsesc un răspuns de ce o muscă nu poate trăi pe cealaltă parte a Lunii, iar în marginile Aritmeticii a vrut doar să scrie că pur și simplu nu există aer pe Lună, adică. nu pot exista soluții întregi ale teoremei sale pentru n>2 numai pentru că fiecare valoare a lui n trebuie să corespundă unui anumit număr de termeni din partea stângă a ecuației sale.

Dar a fost doar o glumă? Deloc. Geniul lui Fermat constă tocmai în faptul că el a fost de fapt primul care a văzut relația dintre gradul și dimensiunea unei figuri matematice - adică ceea ce este absolut echivalent, numărul de termeni din partea stângă a ecuației. Sensul celebrei sale teoreme a fost tocmai acela de a împinge lumea matematică asupra ideii acestei relații, ci și de a iniția demonstrarea existenței acestei relații - intuitiv de înțeles, dar matematic încă nefundamentat.

Fermat, ca nimeni altcineva, a înțeles că stabilirea unei relații între obiecte aparent diferite este extrem de fructuoasă nu numai în matematică, ci și în orice știință. O astfel de relație indică un principiu profund care stă la baza ambelor obiecte și care permite o înțelegere mai profundă a acestora.

De exemplu, inițial fizicienii au considerat electricitatea și magnetismul drept fenomene complet nelegate, iar în secolul al XIX-lea, teoreticienii și experimentatorii și-au dat seama că electricitatea și magnetismul erau strâns legate. Rezultatul a fost o înțelegere mai profundă atât a electricității, cât și a magnetismului. Curenții electrici generează câmpuri magnetice, iar magneții pot induce electricitate în conductorii care sunt aproape de magneți. Acest lucru a dus la inventarea dinamurilor și a motoarelor electrice. În cele din urmă s-a descoperit că lumina este rezultatul oscilațiilor armonice coordonate ale câmpurilor magnetice și electrice.

Matematica din vremea lui Fermat consta din insule de cunoaștere într-o mare a ignoranței. Geometrii au studiat formele pe o insulă, iar matematicienii au studiat probabilitatea și șansa pe cealaltă insulă. Limbajul geometriei era foarte diferit de limbajul teoriei probabilităților, iar terminologia algebrică era străină celor care vorbeau doar despre statistică. Din păcate, matematica timpului nostru constă aproximativ din aceleași insule.

Ferma a fost prima care a realizat că toate aceste insule sunt interconectate. Iar celebra lui teoremă - MAREA TEOREMĂ a lui Fermat - este o confirmare excelentă a acestui lucru.

În secolul al XVII-lea, un avocat și matematician cu jumătate de normă Pierre Fermat locuia în Franța, care și-a oferit hobby-ului ore lungi de petrecere a timpului liber. Într-o seară de iarnă, stând lângă șemineu, el a prezentat una dintre cele mai curioase afirmații din domeniul teoriei numerelor - aceasta a fost numită mai târziu Marea sau Marea Teoremă a lui Fermat. Poate că entuziasmul nu ar fi fost atât de semnificativ în cercurile matematice dacă nu s-ar fi întâmplat un eveniment. Matematicianul petrecea adesea serile studiind cartea preferată a lui Diophantus din Alexandria „Aritmetica” (secolul al III-lea), în timp ce nota gânduri importante în marginea ei - această raritate a fost păstrată cu grijă pentru posteritate de către fiul său. Deci, în marginile largi ale acestei cărți, mâna lui Fermat lăsase această inscripție: „Am o dovadă destul de izbitoare, dar este prea mare pentru a fi pusă în margini”. Această intrare a fost cea care a provocat entuziasmul copleșitor în jurul teoremei. Nu exista nicio îndoială printre matematicieni că marele om de știință a declarat că și-a demonstrat propria teoremă. Probabil vă întrebați: „A dovedit cu adevărat, sau a fost o minciună banală, sau poate că există și alte versiuni, de ce această intrare, care nu le-a permis matematicienilor din generațiile următoare să doarmă liniștite, a ajuns la marginea carte?".

Esența Marii Teoreme

Cunoscuta teoremă a lui Fermat este simplă în esență și constă în faptul că, cu condiția ca n este mai mare decât doi, un număr pozitiv, ecuația X n + Y n \u003d Z n nu va avea soluții de tip zero în cadrul cadrul numerelor naturale. O complexitate incredibilă a fost mascată în această formulă aparent simplă și a fost nevoie de trei secole pentru a o dovedi. Există o ciudățenie - teorema a întârziat cu nașterea sa, deoarece cazul său special pentru n = 2 a apărut acum 2200 de ani - aceasta este nu mai puțin faimoasa teorema lui Pitagora.

De remarcat că povestea despre binecunoscuta teoremă a lui Fermat este foarte instructivă și distractivă, și nu numai pentru matematicieni. Ceea ce este cel mai interesant este că știința nu era o meserie pentru om de știință, ci un simplu hobby, care, la rândul său, i-a făcut Fermierului o mare plăcere. De asemenea, a ținut constant legătura cu un matematician, iar cu jumătate de normă, tot un prieten, a împărtășit idei, dar, în mod ciudat, nu a căutat să-și publice propria lucrare.

Proceedings of the matematician Farmer

În ceea ce privește lucrările lui Farmer înșiși, acestea au fost găsite tocmai sub formă de scrisori obișnuite. În unele locuri nu existau pagini întregi și s-au păstrat doar fragmente de corespondență. Mai interesant este faptul că de trei secole oamenii de știință au căutat teorema care a fost descoperită în scrierile lui Fermer.

Dar cine nu a îndrăznit să demonstreze, încercările au fost reduse la „zero”. Celebrul matematician Descartes l-a acuzat chiar pe om de știință că se laudă, dar totul s-a rezumat la cea mai obișnuită invidie. Pe lângă crearea, Farmer și-a demonstrat și propria teoremă. Adevărat, soluția a fost găsită pentru cazul în care n=4. În cazul n=3, matematicianul Euler l-a identificat.

Cum au încercat să demonstreze teorema lui Fermer

La începutul secolului al XIX-lea, această teoremă a continuat să existe. Matematicienii au găsit multe dovezi ale teoremelor care erau limitate la numere naturale în două sute.

Și în 1909, o sumă destul de mare a fost pusă pe linie, egală cu o sută de mii de mărci de origine germană - și toate acestea doar pentru a rezolva problema asociată acestei teoreme. Fondul categoriei de premii în sine a fost lăsat de un bogat iubitor de matematică Paul Wolfskell, originar din Germania, apropo, el a fost cel care a vrut să „pună mâna pe sine”, dar datorită unei astfel de implicări în teorema lui Fermer, a dorit să Trăi. Emoția rezultată a dat naștere la tone de „dovezi” care au inundat universitățile germane, iar în cercul matematicienilor s-a născut porecla „fermist”, care a fost folosită semi-disprețuitor pentru a numi orice parvenit ambițios care nu a reușit să ofere dovezi clare.

Ipoteza matematicianului japonez Yutaka Taniyama

Nu au existat schimbări în istoria Marii Teoreme până la mijlocul secolului al XX-lea, dar a avut loc un eveniment interesant. În 1955, matematicianul japonez Yutaka Taniyama, care avea 28 de ani, a dezvăluit lumii o afirmație dintr-un domeniu matematic complet diferit - ipoteza sa, spre deosebire de Fermat, era înaintea timpului său. Se spune: „Pentru fiecare curbă eliptică există o formă modulară corespunzătoare”. Pare a fi o absurditate pentru fiecare matematician, cum ar fi că un copac este format dintr-un anumit metal! Ipoteza paradoxală, la fel ca majoritatea celorlalte descoperiri uimitoare și ingenioase, nu a fost acceptată, pentru că pur și simplu nu crescuseră încă la ea. Și Yutaka Taniyama s-a sinucis trei ani mai târziu - un act inexplicabil, dar, probabil, onoarea pentru un adevărat geniu samurai a fost mai presus de orice.

Timp de un deceniu întreg, conjectura nu a fost reținută, dar în anii șaptezeci a ajuns la apogeul popularității - a fost confirmată de toți cei care au putut-o înțelege, dar, ca și teorema lui Fermat, a rămas nedovedită.

Cum sunt legate conjectura lui Taniyama și teorema lui Fermat

Cincisprezece ani mai târziu, un eveniment cheie a avut loc în matematică și a combinat celebra conjectura japoneză și teorema lui Fermat. Gerhard Gray a afirmat că atunci când se demonstrează conjectura Taniyama, atunci se vor găsi dovezile teoremei lui Fermat. Adică, aceasta din urmă este o consecință a ipotezei Taniyama, iar un an și jumătate mai târziu, teorema lui Fermat a fost demonstrată de un profesor de la Universitatea din California, Kenneth Ribet.

Timpul a trecut, regresia a fost înlocuită de progres, iar știința mergea rapid înainte, mai ales în domeniul tehnologiei informatice. Astfel, valoarea lui n a început să crească din ce în ce mai mult.

La sfârșitul secolului al XX-lea, cele mai puternice calculatoare se aflau în laboratoarele militare, programarea a fost efectuată pentru a găsi o soluție la binecunoscuta problemă Fermat. Ca o consecință a tuturor încercărilor, a fost dezvăluit că această teoremă este corectă pentru multe valori ale lui n, x, y. Dar, din nefericire, aceasta nu a devenit dovada finală, deoarece nu existau specificuri ca atare.

John Wiles a demonstrat Marea Teoremă a lui Fermat

Și, în sfârșit, abia la sfârșitul anului 1994, un matematician din Anglia, John Wiles, a găsit și a demonstrat o dovadă exactă a controversatei teoreme Fermer. Apoi, după multe îmbunătățiri, discuțiile pe acest subiect au ajuns la concluzia lor logică.

Respingerea a fost postată pe mai mult de o sută de pagini ale unei reviste! Mai mult, teorema a fost demonstrată pe un aparat mai modern de matematică superioară. Și, în mod surprinzător, în momentul în care fermierul și-a scris lucrarea, un astfel de aparat nu exista în natură. Într-un cuvânt, bărbatul a fost recunoscut ca un geniu în acest domeniu, cu care nimeni nu se putea certa. În ciuda a tot ceea ce s-a întâmplat, astăzi poți fi sigur că teorema prezentată a marelui om de știință Farmer este justificată și dovedită și niciun matematician cu bun simț nu va începe dispute pe această temă, cu care sunt de acord chiar și cei mai înverșunați sceptici ai întregii omeniri.

Numele complet al persoanei după care a fost numită teorema prezentată a fost Pierre de Fermer. A contribuit la o mare varietate de domenii ale matematicii. Dar, din păcate, majoritatea lucrărilor sale au fost publicate abia după moartea sa.

Ferma Marelui Teoremă Singh Simon

„S-a dovedit Ultima Teoremă a lui Fermat?”

A fost doar primul pas spre demonstrarea conjecturei Taniyama-Shimura, dar strategia aleasă de Wiles a fost o descoperire matematică strălucitoare, un rezultat care merita publicat. Dar, din cauza jurământului de tăcere impus de Wiles, nu a putut spune restului lumii despre rezultat și habar nu avea cine altcineva ar putea face o astfel de descoperire semnificativă.

Wiles își amintește de atitudinea sa filozofică față de orice potențial contestator: „Nimeni nu vrea să petreacă ani de zile demonstrând ceva și să descopere că altcineva a reușit să găsească dovada cu câteva săptămâni mai devreme. Dar, destul de ciudat, din moment ce încercam să rezolv o problemă care era considerată în esență insolubilă, nu mi-a fost foarte frică de adversarii mei. Pur și simplu nu mă așteptam ca eu sau altcineva să vin cu o idee care să ducă la o dovadă.”

Pe 8 martie 1988, Wiles a fost șocat să vadă titlurile de pe prima pagină cu litere mari, care scriau: „Ultima teoremă dovedită a lui Fermat”. Washington Post și New York Times au raportat că Yoichi Miyaoka, în vârstă de 38 de ani, de la Universitatea Metropolitană din Tokyo, a rezolvat cea mai dificilă problemă matematică din lume. Până acum, Miyaoka nu și-a publicat încă dovada, dar a subliniat cursul acesteia la un seminar la Institutul Max Planck de Matematică din Bonn. Don Zagier, care a asistat la raportul lui Miyaoka, a exprimat optimismul comunității matematice în următoarele cuvinte: „Dovada prezentată de Miyaoka este extrem de interesantă, iar unii matematicieni cred că se va dovedi corectă cu o mare probabilitate. Nu există încă o certitudine, dar până acum dovezile par foarte încurajatoare.”

Vorbind la un seminar la Bonn, Miyaoka a vorbit despre abordarea sa de a rezolva problema, pe care a considerat-o dintr-un punct de vedere complet diferit, algebro-geometric. În ultimele decenii, geometrii au realizat o înțelegere profundă și subtilă a obiectelor matematice, în special, a proprietăților suprafețelor. În anii 1970, matematicianul rus S. Arakelov a încercat să stabilească paralele între problemele de geometrie algebrică și problemele din teoria numerelor. Aceasta a fost una dintre liniile programului lui Langlands, iar matematicienii sperau că problemele nerezolvate din teoria numerelor ar putea fi rezolvate prin studierea problemelor corespunzătoare din geometrie, care au rămas și ele nerezolvate. Un astfel de program era cunoscut sub numele de filozofia concurenței. Acei geometri algebrici care au încercat să rezolve probleme de teoria numerelor au fost numiți „geometri algebrici aritmetici”. În 1983, ei și-au anunțat prima victorie semnificativă atunci când Gerd Faltings de la Institutul Princeton pentru Studii Avansate a adus contribuții semnificative la înțelegerea teoremei lui Fermat. Amintiți-vă că, conform lui Fermat, ecuația

la n mai mare decât 2 nu are soluții în numere întregi. Faltings credea că a făcut progrese în demonstrarea ultimei teoreme a lui Fermat studiind suprafețele geometrice asociate cu diferite valori. n. Suprafețe asociate cu ecuațiile lui Fermat pentru diferite valori n, diferă unul de celălalt, dar au o singură proprietate comună - toate au găuri de trecere sau, pur și simplu vorbind, găuri. Aceste suprafețe sunt cu patru dimensiuni, la fel ca și graficele formelor modulare. Secțiunile bidimensionale ale două suprafețe sunt prezentate în fig. 23. Suprafețele asociate cu ecuația lui Fermat arată similar. Cu cât valoarea este mai mare nîn ecuație, cu atât mai multe găuri în suprafața corespunzătoare.

Orez. 23. Aceste două suprafeţe au fost obţinute cu ajutorul programului de calculator Mathematica. Fiecare dintre ele reprezintă locul punctelor care satisfac ecuația x n + y n = z n(pentru suprafața din stânga n=3, pentru suprafața din dreapta n=5). Variabile Xși y sunt considerate a fi complexe.

Faltings a reușit să demonstreze că, deoarece astfel de suprafețe au întotdeauna mai multe găuri, ecuația Fermat asociată ar putea avea doar un set finit de soluții în numere întregi. Numărul de soluții poate fi de la zero, așa cum a sugerat Fermat, până la un milion sau un miliard. Astfel, Faltings nu a demonstrat Ultima Teoremă a lui Fermat, dar cel puțin a reușit să respingă posibilitatea ca ecuația lui Fermat să aibă infinitate soluții.

Cinci ani mai târziu, Miyaoka a raportat că a făcut un pas mai departe. Avea atunci peste douăzeci de ani. Miyaoka a formulat o presupunere despre o anumită inegalitate. A devenit clar că a demonstra conjectura sa geometrică ar însemna să demonstreze că numărul de soluții la ecuația lui Fermat nu este doar finit, ci este zero. Abordarea lui Miyaoka a fost similară cu cea a lui Wiles, în sensul că amândoi au încercat să demonstreze Ultima Teoremă a lui Fermat raportând-o la o presupunere fundamentală dintr-o altă zonă a matematicii. Pentru Miyaoka a fost geometria algebrică, pentru Wiles calea spre demonstrație era prin curbe eliptice și forme modulare. Spre supărarea lui Wiles, el încă se lupta cu demonstrarea conjecturii Taniyama-Shimura când Miyaoka a pretins că are o dovadă completă a propriei sale conjecturi și, prin urmare, a ultimei teoreme a lui Fermat.

La două săptămâni după discursul său de la Bonn, Miyaoka a publicat cele cinci pagini de calcule care au format esența dovezii sale și a început o verificare amănunțită. Teoreticienii numerelor și geometriile algebrice din întreaga lume au studiat, rând cu linie, calcule publicate. Câteva zile mai târziu, matematicienii au descoperit o contradicție în demonstrație, care nu a putut decât să provoace îngrijorare. O parte a lucrării lui Miyaoka a condus la o afirmație din teoria numerelor, din care, atunci când a fost tradusă în limbajul geometriei algebrice, a fost obținută o afirmație care a contrazis rezultatul obținut cu câțiva ani mai devreme. Deși acest lucru nu a invalidat neapărat întreaga dovadă a lui Miyaoka, discrepanța care a fost descoperită nu s-a încadrat în filosofia paralelismului dintre teoria numerelor și geometrie.

Două săptămâni mai târziu, Gerd Faltings, care a deschis calea lui Miyaoke, a anunțat că a descoperit cauza exactă a încălcării aparente a concurenței - o lacună în raționament. Matematicianul japonez a fost geometru și nu a fost absolut strict în traducerea ideilor sale în teritoriul mai puțin familiar al teoriei numerelor. O armată de teoreticieni ai numerelor a făcut eforturi disperate pentru a remedia gaura din dovezile lui Miyaoki, dar în zadar. La două luni după ce Miyaoka a anunțat că are o demonstrație completă a ultimei teoreme a lui Fermat, comunitatea matematică a ajuns la concluzia unanimă că demonstrația lui Miyaoka a fost sortită eșecului.

Ca și în cazul dovezilor anterioare eșuate, Miyaoka a reușit să obțină multe rezultate interesante. Părți din demonstrația sa merită atenție ca aplicații foarte ingenioase ale geometriei la teoria numerelor, iar în anii următori alți matematicieni le-au folosit pentru a demonstra anumite teoreme, dar nimeni nu a reușit să demonstreze Ultima Teoremă a lui Fermat în acest fel.

Bucuria despre Ultima Teoremă a lui Fermat s-a stins curând, iar ziarele au publicat note scurte care spuneau că puzzle-ul vechi de trei sute de ani rămâne încă nerezolvat. Pe peretele stației de metrou New York de pe strada Eighth apărea următoarea inscripție, inspirată fără îndoială din publicațiile de presă despre Ultima Teoremă a lui Fermat: „Ecuația xn + yn = zn nu are solutii. Am găsit o dovadă cu adevărat uimitoare a acestui fapt, dar nu o pot scrie aici pentru că a venit trenul meu.

CAPITOLUL 10 FERMA DE COCODOLI Au condus pe drumul pitoresc cu mașina bătrânului John, așezându-se pe locurile din spate. La volan se afla un șofer negru, îmbrăcat într-o cămașă viu colorată, cu capul tăiat ciudat. Tufe de păr negru, tari ca sârma, se ridicau pe un craniu ras, logic

Pregătirea cursei. Alaska, Ferma Iditarod a lui Linda Pletner este o cursă anuală de sănii cu câini în Alaska. Lungimea traseului este de 1150 mile (1800 km). Este cea mai lungă cursă de sanie cu câini din lume. Start (ceremonial) - 4 martie 2000 de la Anchorage. start

Ferma de capre În sat se lucrează mult vara. Când am vizitat satul Khomutets, fânul era recoltat și valurile parfumate din iarba proaspăt tăiată păreau să înmuieze totul în jur.Ierburile trebuie cosite la timp, pentru a nu se coace prea mult, atunci tot ce este valoros și hrănitor se va păstra în ele. Acest

Ferma de vară Paie, ca o mână de fulger, în iarbă de sticlă Un altul, după ce a semnat pe gard, a aprins focul paharului verde cu Apă din jgheabul calului. În amurgul albastru Rătăci, legănându-se, nouă rațe de-a lungul rutei spiritului liniilor paralele. Iată un pui care se uită la nimic singur

Fermă ruinată Soarele liniștit, ca o floare de roșu închis, S-a coborât pe pământ, crescând până la apus, Dar perdeaua nopții în puterea inactivă A răscolit lumea, care a tulburat privirea. Tăcerea domnea într-o fermă fără acoperiș, Ca și cum cineva i-ar fi rupt părul, S-au luptat pentru un cactus

Fermă sau curte? La 13 februarie 1958, toate ziarele centrale ale Moscovei și apoi cele regionale au publicat decizia Comitetului Central al Partidului Comunist din Ucraina „Cu privire la o eroare în cumpărarea de vaci de la fermierii colectivi din regiunea Zaporojie”. Nu era vorba nici măcar de întreaga regiune, ci de două dintre districtele ei: Primorsky

Problema lui Fermat În 1963, când avea doar zece ani, Andrew Wiles era deja fascinat de matematică. „La școală îmi plăcea să rezolv probleme, le-am luat acasă și am venit cu altele noi din fiecare problemă. Dar cea mai bună problemă pe care am întâlnit-o vreodată, am găsit-o într-un local

De la Teorema lui Pitagora la Ultima Teoremă a lui Fermat Teorema lui Pitagora și numărul infinit de triple lui Pitagora au fost discutate în cartea lui E.T. „The Great Problem” a lui Bell – aceeași carte de bibliotecă care a atras atenția lui Andrew Wiles. Și deși pitagoreicii ajungeau aproape complet

Matematică după demonstrarea ultimei teoreme a lui Fermat În mod ciudat, Wiles însuși a avut sentimente amestecate cu privire la raportul său: „Ocazia discursului a fost foarte bine aleasă, dar prelegerea în sine a trezit în mine sentimente mixte. Lucrați la dovezi

CAPITOLUL 63 Ferma lui Old McLennon La aproximativ o lună şi jumătate după ce s-a întors la New York într-una din „serile de noiembrie”, telefonul a sunat în apartamentul familiei Lennon. Yoko ridică telefonul. O voce masculină portoricană o întrebă pe Yoko Ono.

Teorema lui Pontryagin Concomitent cu Conservatorul, tata a studiat la Universitatea de Stat din Moscova, la Mecanica si Matematica. A absolvit-o cu succes și chiar a ezitat de ceva vreme în alegerea unei profesii. Muzicologia a câștigat, drept care a beneficiat de mentalitatea sa matematică.Unul dintre colegii de studenți ai tatălui meu

Teorema Teorema privind dreptul unei asociații religioase de a alege un preot trebuie dovedită. Se citește astfel: „Se creează o comunitate ortodoxă... sub îndrumarea spirituală a unui preot ales de comunitate și care a primit binecuvântarea episcopului diecezan”.

I. Ferma („Aici, din gunoi de găină...”) Aici, din gunoi de găină O mântuire este o mătură. Dragostea - care contează? - M-au dus la coșul de găini. Ciochiind boabele, găinile chicotesc, cocoșii mărșăluiesc important. Și fără mărime și cenzură Poezii se compun în minte. Cam într-o după-amiază provensală

Întrucât puțini oameni cunosc gândirea matematică, voi vorbi despre cea mai mare descoperire științifică - dovada elementară a ultimei teoreme a lui Fermat - în cel mai înțeles limbaj școlar.

Dovada a fost găsită pentru un anumit caz (pentru o putere primă n>2), la care (și cazul n=4) toate cazurile cu n compus pot fi ușor reduse.

Deci, trebuie să demonstrăm că ecuația A^n=C^n-B^n nu are soluție în numere întregi. (Aici semnul ^ înseamnă grad.)

Demonstrarea se realizează într-un sistem numeric cu bază simplă n. În acest caz, în fiecare tabelă de înmulțire, ultimele cifre nu se repetă. În sistemul obișnuit, zecimal, situația este diferită. De exemplu, atunci când înmulțiți numărul 2 cu 1 și 6, ambele produse - 2 și 12 - se termină cu aceleași numere (2). Și, de exemplu, în sistemul septenar pentru numărul 2, toate ultimele cifre sunt diferite: 0x2=...0, 1x2=...2, 2x2=...4, 3x2=...6, 4x2 =...1, 5x2=...3, 6x2=...5, cu un set de ultimele cifre 0, 2, 4, 6, 1, 3, 5.

Datorită acestei proprietăți, pentru orice număr A care nu se termină cu zero (și în egalitatea lui Fermat, ultima cifră a numerelor A, bine sau B, după împărțirea egalității la divizorul comun al numerelor A, B, C este nu este egal cu zero), puteți alege un factor g astfel încât numărul Ag să aibă o sfârșit arbitrar lung, cum ar fi 000...001. Cu un astfel de număr g înmulțim toate numerele de bază A, B, C în egalitatea lui Fermat. În același timp, vom face unică desinență suficient de lungă, și anume două cifre mai lungi decât numărul (k) de zerouri de la sfârșitul numărului U=A+B-C.

Numărul U nu este egal cu zero - în caz contrar C \u003d A + B și A ^ n<(А+В)^n-B^n, т.е. равенство Ферма является неравенством.

Aceasta este, de fapt, toată pregătirea egalității lui Fermat pentru un studiu scurt și final. Singurul lucru pe care mai avem de făcut: rescriem partea dreaptă a egalității lui Fermat - C ^ n-B ^ n - folosind formula de extindere a școlii: C ^ n-B ^ n \u003d (C-B) P sau aP. Și deoarece în continuare vom opera (înmulțire și adunare) numai cu cifrele terminațiilor de cifre (k + 2) ale numerelor A, B, C, atunci putem ignora părțile capului acestora și pur și simplu le putem arunca (rămând doar un singur fapt). în memorie: partea stângă a egalității lui Fermat este o PUTERE).

Singurul alt lucru care merită menționat sunt ultimele cifre ale numerelor a și P. În egalitatea inițială a lui Fermat, numărul P se termină cu numărul 1. Aceasta rezultă din formula micii teoreme a lui Fermat, care poate fi găsită în cărțile de referință. Și după înmulțirea egalității Fermat cu numărul g ^ n, numărul P se înmulțește cu numărul g până la puterea lui n-1, care, conform micii teoreme a lui Fermat, se termină tot cu numărul 1. Deci, în noul Fermat egalitate echivalentă, numărul P se termină cu 1. Și dacă A se termină cu 1, atunci și A^n se termină cu 1 și, prin urmare, numărul a se termină și cu 1.

Deci, avem o situație de pornire: ultimele cifre A", a", P" ale numerelor A, a, P se termină cu numărul 1.

Ei bine, atunci începe o operațiune dulce și fascinantă, numită de preferință „moara”: introducând în considerare cifrele ulterioare un „”, un „”” și așa mai departe, numerele a, calculăm exclusiv „cu ușurință” că sunt și ele. egal cu zero! Am pus „easy” între ghilimele, pentru că omenirea nu a putut găsi cheia acestui „easy” timp de 350 de ani! Și cheia s-a dovedit într-adevăr a fi neașteptat și uluitor de primitivă: numărul P trebuie reprezentat ca P = q ^ (n-1) + Qn ^(k + 2) Nu merită să acordăm atenție celui de-al doilea termen din această sumă - la urma urmei, în demonstrația ulterioară am aruncat toate numerele după (k + 2)-lea în numere (și acest lucru simplifică drastic analiza)! Deci, după eliminarea numerelor părților capului, egalitatea lui Fermat ia forma: ...1=aq^(n-1), unde a și q nu sunt numere, ci doar terminațiile numerelor a și q! (nu introduc notații noi, deoarece acest lucru îngreunează lectura.)

Ultima întrebare filozofică rămâne: de ce numărul P poate fi reprezentat ca P=q^(n-1)+Qn^(k+2)? Răspunsul este simplu: pentru că orice număr întreg P ​​cu 1 la sfârșit poate fi reprezentat în această formă și IDENTIC. (Puteți să vă gândiți la asta în multe alte moduri, dar nu avem nevoie.) Într-adevăr, pentru P=1 răspunsul este evident: P=1^(n-1). Pentru P=hn+1, numărul q=(n-h)n+1, care este ușor de verificat prin rezolvarea ecuației [(n-h)n+1]^(n-1)==hn+1 cu două valori terminatii. Și așa mai departe (dar nu avem nevoie de calcule suplimentare, deoarece avem nevoie doar de reprezentarea numerelor de forma P=1+Qn^t).

Uf-f-f-f! Ei bine, filosofia s-a terminat, poți trece la calcule la nivelul clasei a doua, cu excepția cazului în care îți amintești din nou formula binomială a lui Newton.

Deci, să introducem numărul a"" (în numărul a=a""n+1) și să-l folosim pentru a calcula numărul q"" (în numărul q=q""n+1):
...01=(a""n+1)(q""n+1)^(n-1), sau...01=(a""n+1)[(n-q"")n+ 1 ], de unde q""=a"".

Și acum partea dreaptă a egalității lui Fermat poate fi rescrisă ca:
A^n=(a""n+1)^n+Dn^(k+2), unde valoarea numărului D nu ne interesează.

Și acum ajungem la concluzia decisivă. Numărul a "" n + 1 este o terminație de două cifre a numărului A și, DECI, conform unei leme simple, determină în mod unic a TREIA cifră a gradului A ^ n. Și mai mult, din expansiunea binomului lui Newton
(a "" n + 1) ^ n, dat fiind că fiecărui termen al expansiunii (cu excepția primului, pe care vremea nu se mai poate schimba!) este alăturat de un factor SIMPLU n (baza numărului!), Este clar că această a treia cifră este egală cu un „” . Dar înmulțind egalitatea lui Fermat cu g ^ n, am transformat k + 1 cifră înaintea ultimului 1 din numărul A în 0. Și, prin urmare, un "" \u003d 0 !!!

Astfel, am finalizat ciclul: introducând a"", am constatat că q""=a"", și în final a""=0!

Ei bine, rămâne de spus că după efectuarea unor calcule complet similare și a k ​​cifre ulterioare, obținem egalitatea finală: terminația (k + 2) de cifre a numărului a, sau C-B, - la fel ca și numărul A, este egal cu 1. Dar atunci (k+2)-a cifră a lui C-A-B este egală cu zero, în timp ce NU este egală cu zero!!!

Iată, de fapt, toată dovada. Pentru a înțelege, nu este nevoie să ai studii superioare și, în plus, să fii matematician profesionist. Cu toate acestea, profesioniștii tac...

Textul lizibil al dovezii complete se află aici:

Recenzii

Salut Victor. Mi-a placut CV-ul tau. „Nu lăsa să mori înainte de moarte” sună grozav, desigur. De la întâlnirea în Proză cu teorema lui Fermat, să fiu sincer, am rămas uluit! Ea este aici? Există site-uri științifice, populare și de ceainice. În rest, mulțumesc pentru munca ta literară.
Cu stimă, Anya.

Dragă Anya, în ciuda cenzurii destul de stricte, Proza îți permite să scrii DESPRE TOT. Cu teorema lui Fermat, situația este următoarea: marile foruri matematice tratează fermatistii oblic, cu grosolănie și, per ansamblu, îi tratează cât pot de bine. Cu toate acestea, pe forumuri mici din rusă, engleză și franceză, am prezentat ultima versiune a dovezii. Nimeni nu a înaintat încă contraargumente și, sunt sigur că nimeni nu va înainta (dovada a fost verificată foarte atent). Sâmbătă voi publica o notă filosofică despre teoremă.
Aproape că nu există boori în proză, iar dacă nu stai cu ei, atunci destul de curând vor ieși.
Aproape toate lucrările mele sunt prezentate în proză, așa că am pus și aici dovada.
Ne vedem mai târziu,

Fişier FERMA-KDVar © N. M. Koziy, 2008

Certificatul Ucrainei nr. 27312

O SCURTĂ DOVĂ A MARIA TEOREMEI LUI FERMAT

Ultima Teoremă a lui Fermat este formulată după cum urmează: Ecuația diofantină (http://soluvel.okis.ru/evrika.html):

DAR n + V n = C n * /1/

Unde n- un număr întreg pozitiv mai mare de doi nu are soluție în numere întregi pozitive A , B , DE LA .

DOVADA

Din formularea ultimei teoreme a lui Fermat rezultă: dacă n este un număr întreg pozitiv mai mare decât doi, cu condiția ca două dintre cele trei numere DAR , LA sau DIN sunt numere întregi pozitive, unul dintre aceste numere nu este un întreg pozitiv.

Construim demonstrația pe baza teoremei fundamentale a aritmeticii, care se numește „teorema despre unicitatea factorizării” sau „teorema despre unicitatea factorizării numerelor întregi compuse în factori primi”. Posibili exponenți pari și impari n . Să luăm în considerare ambele cazuri.

1. Cazul unu: exponent n - numar impar.

În acest caz, expresia /1/ este convertită conform formulelor cunoscute după cum urmează:

DAR n + LA n = DIN n /2/

Noi credem că Ași B sunt numere întregi pozitive.

Numerele DAR , LAși DIN trebuie să fie numere relativ prime.

Din ecuația /2/ rezultă că pentru valori date ale numerelor Ași B factor ( A + B ) n , DIN.

Să spunem numărul DE LA - un număr întreg pozitiv. Ținând cont de condițiile acceptate și de teorema fundamentală a aritmeticii, condiția :

DIN n = A n + B n =(A+B) n ∙ D n , / 3/

unde este multiplicatorul D n D

Din ecuația /3/ rezultă:

Ecuația /3/ implică, de asemenea, că numărul [ C n = A n + B n ] cu condiția ca numărul DIN ( A + B ) n. Cu toate acestea, se știe că:

A n + B n < ( A + B ) n /5/

Prin urmare:

este un număr fracționar mai mic decât unu. /6/

Număr fracționar.

n

Pentru exponenți ciudați n >2 număr:

< 1- дробное число, не являющееся рациональной дробью.

Din analiza ecuației /2/ rezultă că cu un exponent impar n număr:

DIN n = DAR n + LA n = (A+B)

constă din doi factori algebrici definiți și pentru orice valoare a exponentului n factorul algebric rămâne neschimbat ( A + B ).

Astfel, Ultima Teoremă a lui Fermat nu are o soluție în numere întregi pozitive pentru un exponent impar n >2.

2. Cazul doi: exponent n - număr par .

Esența ultimei teoreme a lui Fermat nu se va schimba dacă ecuația /1/ este rescrisă după cum urmează:

A n = C n - B n /7/

În acest caz, ecuația /7/ se transformă după cum urmează:

A n = C n - B n = ( DIN +B)∙(C n-1 + C n-2 B+ C n-3 ∙ B 2 +…+ C ∙ B n -2 + B n -1 ). /8/

Acceptăm asta DINși LA- numere întregi.

Din ecuația /8/ rezultă că pentru valori date ale numerelor Bși C factor (C+ B ) are aceeași valoare pentru orice valoare a exponentului n , deci este un divizor al unui număr A .

Să spunem numărul DAR este un număr întreg. Ținând cont de condițiile acceptate și de teorema fundamentală a aritmeticii, condiția :

DAR n = C n - B n =(C+ B ) n ∙ D n , / 9/

unde este multiplicatorul D n trebuie să fie un număr întreg și deci un număr D trebuie să fie și un număr întreg.

Din ecuația /9/ rezultă:

/10/

Ecuația /9/ implică, de asemenea, că numărul [ DAR n = DIN n - B n ] cu condiția ca numărul DAR- un număr întreg, trebuie să fie divizibil cu un număr (C+ B ) n. Cu toate acestea, se știe că:

DIN n - B n < (С+ B ) n /11/

Prin urmare:

este un număr fracționar mai mic decât unu. /12/

Număr fracționar.

Rezultă că pentru o valoare impară a exponentului n ecuația /1/ a ultimei teoreme a lui Fermat nu are soluție în numere întregi pozitive.

Cu chiar exponenți n >2 număr:

< 1- дробное число, не являющееся рациональной дробью.

Astfel, Ultima Teoremă a lui Fermat nu are soluție în numere întregi pozitive și pentru un exponent par n >2.

Concluzia generală rezultă din cele de mai sus: ecuația /1/ a ultimei teoreme a lui Fermat nu are soluție în numere întregi pozitive A, Bși DIN cu condiția ca exponentul n>2.

MOTIVE SUPLIMENTARE

În cazul în care exponentul n – număr par, expresie algebrică ( C n - B n ) descompuse în factori algebrici:

C 2 - B 2 \u003d(C-B) ∙ (C+B); /13/

C 4 – B 4 = ( C-B) ∙ (C+B) (C 2 + B 2);/14/

C 6 - B 6 =(C-B) ∙ (C + B) (C 2 -CB + B 2) ∙ (C 2 + CB + B 2) ; /15/

C 8 - B 8= (C-B) ∙ (C+B) ∙ (C 2 + B 2) ∙ (C 4 + B 4)./16/

Să dăm exemple în cifre.

EXEMPLUL 1: B=11; C=35.

C 2 – B 2 = (2 2 ∙ 3) ∙ (2 23) = 2 4 3 23;

C 4 – B 4 = (2 2 ∙ 3) ∙ (2 23) (2 673) = 2 4 3 23 673;

C 6 – B 6 = (2 2 ∙ 3) ∙ (2 23) (31 2) (3 577) =2 ∙ 3 ​​​​∙ 23 ∙ 31 2 ∙ 577;

C 8 – B 8 = (2 2 ∙ 3) ∙ (2 23) (2 673) ∙ (2 75633) = 2 5 ∙ 3 ∙ 23 ∙673 ∙ 75633 .

EXEMPLUL 2: B=16; C=25.

C 2 – B 2 = (3 2) ∙ (41) = 3 2 ∙ 41;

C 4 – B 4 = (3 2) ∙ (41) (881) =3 2 ∙ 41 881;

C 6 – B 6 = (3 2) ∙ (41) ∙ (2 2 ∙ 3) ∙ (13 37) (3 ∙ 7 61) = 3 3 7 ∙ 13 37 ∙ 41 ∙ 61;

C 8 – B 8 = (3 2) ∙ (41) ∙ (881) ∙ (17 26833) = 3 2 ∙ 41 ∙ 881 ∙ 17 26833.

Din analiza ecuațiilor /13/, /14/, /15/ și /16/ și a exemplelor numerice corespunzătoare acestora, rezultă:

Pentru un exponent dat n , dacă este un număr par, un număr DAR n = C n - B n se descompune într-un număr bine definit de factori algebrici bine definiti;

Pentru orice grad n , dacă este un număr par, în expresie algebrică ( C n - B n ) există întotdeauna multiplicatori ( C - B ) și ( C + B ) ;

Fiecărui factor algebric îi corespunde un factor numeric bine definit;

Pentru valorile date ale numerelor LAși DIN factorii numerici pot fi numere prime sau factori numerici compuși;

Fiecare factor numeric compus este un produs de numere prime, care sunt parțial sau complet absente din alți factori numerici compoziți;

Valoarea numerelor prime în compoziția factorilor numerici compoziți crește odată cu creșterea acestor factori;

Compoziția celui mai mare factor numeric compus care corespunde celui mai mare factor algebric include cel mai mare număr prim la o putere mai mică decât exponentul n(cel mai adesea în gradul I).

CONCLUZII: justificări suplimentare susțin concluzia că Ultima Teoremă a lui Fermat nu are soluție în numere întregi pozitive.

inginer mecanic