După cum s-a subliniat în secțiunea anterioară, orice populație este în principiu capabilă să-și mărească exponențial dimensiunea și, de aceea, modelul exponențial este utilizat pentru a estima potențialul de creștere al populațiilor. În unele cazuri, totuși, modelul exponențial se dovedește a fi potrivit pentru descrierea proceselor observate efectiv. Evident, acest lucru este posibil atunci când pentru o perioadă suficient de lungă (în raport cu durata generației) nimic nu limitează creșterea populației și, în consecință, indicatorul ratei sale specifice ( r) menține o valoare pozitivă constantă.

De exemplu, în 1937, 2 masculi și 6 femele fazani au fost aduși pe mica insulă Protekshi (în largul coastei de nord-vest a SUA, lângă statul Washington). (Phasanius colchicus torqualus), neîntâlnit anterior pe insulă. În același an au început să se înmulțească fazanii, iar 6 ani mai târziu populația, care a început cu 8 păsări, număra deja 1.898 de indivizi. După cum rezultă din Fig. 28 A, pentru cel puțin primii 3-4 ani, creșterea numărului de fazani a fost bine descrisă printr-o relație exponențială (o linie dreaptă pe o scară de ordonate logaritmice). Din păcate, mai târziu, din cauza izbucnirii ostilităților, trupele au fost staționate pe insulă, numărătoarea anuală s-a oprit, iar populația de fazani în sine a fost în mare măsură exterminată.

Un alt caz binecunoscut de creștere exponențială a populației este creșterea dimensiunii populației porumbelului inelat (Streptopelia decaocto)în Insulele Britanice la sfârșitul anilor 1950 și începutul anilor 1960. (Fig. 28, b). Această creștere s-a oprit abia după 8 ani, după ce toate habitatele potrivite au fost populate.

Lista de exemple de creștere exponențială a populației poate fi continuată. În special, de câteva ori creșterea exponențială (sau cel puțin aproape exponențială) a numărului de reni (Rangifer tarandus) observat în timpul introducerii sale în diferite insule. Astfel, din 25 de indivizi (4 masculi și 21 de femele), aduși în 1911 pe Insula St. Paul (parte a arhipelagului Insulelor Pribilof din Marea Bering), a apărut o populație a cărei dimensiune până în 1938 era de . a ajuns la 2 mii de indivizi, dar apoi a urmat o scădere bruscă, iar până în 1950 au rămas doar 8 căprioare pe insulă. O imagine similară a fost observată pe Insula Sf. Matei (de asemenea situată în Marea Bering): 29 de indivizi (5 masculi și 24 de femele) introduși pe insulă în 1944 au dat naștere la o populație de 1350 de indivizi în 1957, iar în 1963. - aproximativ 6 mii de indivizi (suprafața acestei insule este de 332 km 2, care este de aproximativ trei ori suprafața insulei St. Paul). În anii următori, însă, a avut loc o scădere catastrofală a numărului de căprioare, până în 1966, dintre ei au mai rămas doar 42. În ambele cazuri de mai sus, motivul scăderii puternice a numărului a fost lipsa hranei pe timp de iarnă, constând în aproape exclusiv de licheni.

În laborator, este posibil să se creeze condiții pentru creșterea exponențială dacă organismele cultivate sunt aprovizionate cu un exces de resurse, care de obicei le limitează dezvoltarea și, de asemenea, prin menținerea valorii tuturor parametrilor fizico-chimici ai mediului în limitele de toleranță date. specii. Adesea, pentru a menține creșterea exponențială, este necesar să se îndepărteze produsele metabolice ale organismelor (folosind, de exemplu, sisteme de flux atunci când se cultivă diverse animale și plante acvatice) sau izolarea indivizilor în curs de dezvoltare unul de celălalt pentru a evita aglomerarea (acest lucru este important, pentru de exemplu, când se cultivă multe rozătoare și alte animale cu comportament destul de complex). În practică, nu este dificil să se obțină experimental o curbă de creștere exponențială doar pentru organisme foarte mici (drojdii, protozoare, alge unicelulare etc.). Organismele mari sunt greu de cultivat în cantități mari din motive pur tehnice. În plus, acest lucru necesită mult timp.

Situațiile în care apar condiții de creștere exponențială sunt posibile și în natură, și nu numai pentru populațiile insulare. De exemplu, în lacurile de latitudini temperate primăvara, după topirea gheții, straturile de suprafață conțin o cantitate mare de elemente biogene (fosfor, azot, siliciu) care sunt de obicei deficitare pentru algele planctonice și, prin urmare, nu este de mirare că imediat după ce apa se încălzește, o creștere rapidă (aproape de exponențială) a numărului de diatomee sau alge verzi. Se oprește doar atunci când toate elementele deficitare sunt legate în celulele de alge sau când producția de populații este echilibrată de consumul acestora de către diverse animale fitofage.

Deși există și alte exemple de creșteri exponențiale observate efectiv ale numerelor, nu se poate spune că acestea sunt foarte numeroase. Evident, dacă populația crește conform legii exponențiale, aceasta apare doar pentru o perioadă foarte scurtă de timp, urmată de o scădere sau atingerea unui platou (= nivel staționar). În principiu, sunt posibile mai multe opțiuni pentru a opri creșterea exponențială a populației. Prima opțiune este alternarea perioadelor de creștere exponențială a numărului cu perioade de declin accentuat (catastrofal), până la valori foarte scăzute. O astfel de reglementare (și prin reglementarea populației vom înțelege acțiunea oricăror mecanisme care conduc la limitarea creșterii populației) este cel mai probabil la organismele cu un ciclu de viață scurt care trăiesc în locuri cu fluctuații pronunțate ale principalelor factori limitanți, de exemplu, la insecte. trăind la latitudini mari. De asemenea, este evident că astfel de organisme trebuie să aibă stadii latente care să le permită să supraviețuiască anotimpurilor nefavorabile. A doua opțiune este oprirea bruscă a creșterii exponențiale și menținerea populației la un nivel constant (=staționar), în jurul căruia sunt posibile diverse fluctuații. A treia opțiune este o ieșire lină pe platou. Forma S rezultată a curbei indică faptul că, pe măsură ce dimensiunea populației crește, rata de creștere a acesteia nu rămâne constantă, ci scade. Creșterea în formă de S a populațiilor este observată foarte des atât în ​​experimentele de laborator, cât și atunci când speciile sunt introduse în noi habitate.

Unul dintre marile mituri pe care s-a bazat economia de la sfârșitul secolului al XX-lea a fost mitul creșterii exponențiale. Se presupunea că tehnologia se va schimba și mai repede, astfel încât și economia să crească exponențial, făcându-ne pe toți mai bogați decât părinții noștri și disproporționat mai bogați decât străbunicii noștri. Cu toate acestea, lucrurile par să fi mers prost din 2000, cel puțin din punct de vedere economic. Problema se datorează parțial fuga de capital către piețele emergente, posibilă de internet și de comunicațiile moderne. Cu toate acestea, chiar și dincolo de această realitate incomodă se află gândul cu adevărat tulburător că progresul tehnologic și, prin urmare, posibilitatea de a îmbunătăți nivelul de trai, ar putea să nu genereze deloc o creștere exponențială.

În viziunea mai multor entuziaști, credința în progresul tehnologic exponențial s-a transformat într-o singularitate care fie se întâmplă deja, fie este pe cale să ne depășească. Se așteaptă că va duce la o accelerare suplimentară a progresului, care va fi atât de puternic încât viitorul istoriei umane va fi foarte diferit de trecut.

Dar înainte de a saluta apariția singularității, trebuie remarcat faptul că, potrivit susținătorilor acestei teorii, aceasta va fi cauzată de apariția unor mașini mai inteligente decât oamenii, care ulterior vor câștiga avantajul, vor crea roboți și mai inteligenți și vor pleca. umanitatea în spate. Astfel, singularitatea nu va reprezenta o îmbunătățire aproape infinită a calității vieții umanității, pentru că, probabil, astfel de mașini superinteligente nu vor fi deosebit de interesate de nivelul de trai al oamenilor – sau chiar vor dori să ne folosească ca subiecți de testare sau animale de companie. (Dacă acesta din urmă, fără îndoială, voi fi în fruntea candidaților pentru eliminare - este puțin probabil să dețin calitățile unui animal de companie pe care pisica noastră Eudoxia le afișează în mod regulat).

Gândind logic, putem identifica trei singularități care au avut deja loc în istoria omenirii: apariția vorbirii, trecerea de la viața nomade la agricultura sedentară și, ulterior, Revoluția Industrială. Fiecare dintre aceste fenomene a accelerat de zece ori dezvoltarea omenirii, astfel încât schimbări care au durat milioane de ani numai sub influența evoluției au început să se producă după apariția vorbirii în sute de mii de ani, odată cu inventarea agriculturii - în zeci de mii. de ani și în doar două sau trei secole – după Revoluția Industrială. Fiecare dintre aceste schimbări a schimbat complet viața; s-a mișcat, de asemenea, într-un ritm mai rapid și, de la Revoluția Industrială, au avut loc progrese tehnologice enorme într-o singură viață umană scurtă.

Merită să aruncăm o privire mai atentă asupra singularității revoluției industriale. A durat aproximativ 200 de ani și niciuna dintre inovațiile sale timpurii nu a adus schimbări semnificative în viață. Mașină nou venit pentru pomparea apei în mine, inventat în 1712, nu a dus direct la schimbări majore și nu a fost urmat de niciun motor mult mai avansat, precum cel al James Watt, până în 1769 (iar motoarele Watt au intrat în uz pe scară largă abia în anii 1790). Cu toate acestea, revoluția tehnologică a fost însoțită de o revoluție la fel de importantă în gândirea umană, care a început în jurul fondării Societății Regale în 1662 și a continuat " Bogatia natiunilor» Adam smith(în 1776) până la începutul secolului al XIX-lea.

Astfel, chiar dacă cetățeanul din 1785 nu s-a bucurat în mod deosebit de progresele tehnologice în comparație cu strămoșul său din 1660, în timp ce cu un secol mai devreme alchimiștii erau ridiculizati în pictura celebrului Joseph Wright servește acum drept acoperire pentru " Pierderile alchimiștilor" Primele fructe tehnice enorme ale Revoluției Industriale au venit mai târziu – producția de textile nu a decolat decât în ​​anii 1790, iar rețeaua de căi ferate nu a apărut decât după 1830 – dar schimbările mentale care au format singularitatea au avut loc deja până în 1785 sau cam așa ceva.

În acest sens, nu suntem încă amenințați de nicio singularitate. Internetul, care a schimbat radical comunicațiile lumii și modul nostru de viață, nu este mai mult o schimbare revoluționară decât lumina electrică, telefonul sau automobilul. Viața din 2010 este de fapt diferită de viața din 1995. Putem organiza o companie globală de producție sau de servicii mult mai eficient astăzi decât am fi putut în 1995. Tinerii își petrec cea mai mare parte a vieții fără somn navigând pe internet sau vorbind la telefonul mobil, lucru pe care nu l-au putut face înainte de 1995.

Cu toate acestea, acesta a fost și cazul la 15-20 de ani de la apariția tehnologiilor fatidice anterioare. În 1845, după inventarea căilor ferate, modelele de călătorie erau deja diferite de cele din 1830. În 1905, după inventarea electricității, modelele urbane de lucru de seară și divertisment au fost foarte diferite de cele din 1890. De asemenea, viața în America rurală în 1925, odată cu apariția Tin Lizzie (Ford Model T) a fost complet diferită de ceea ce era în 1910.

Astfel, fiecare dintre aceste invenții a schimbat radical unele aspecte ale modului de viață, dar, în același timp, încă nu au accelerat procesul de invenție și progres, precum Revoluția Industrială. După răspândirea invențiilor, viața a devenit diferită, dar ritmul progresului tehnologic a fost foarte moderat. Internetul este asemănător cu acest tip de inovație: ne-a schimbat semnificativ viețile, dar nu a accelerat schimbările la fel de mult ca Revoluția Industrială și nu există premise pentru aceasta. Într-adevăr, s-ar putea susține pe bună dreptate că generația care a asistat la majoritatea schimbărilor revoluționare a fost cea a mătușii mele străbune Beatrice, care s-a născut în 1889 și a murit în 1973. În copilărie, s-a folosit iluminatul cu gaz și caii de tracțiune, iar la bătrânețe a zburat cu avioane din toate puterile și a vizitat luna.

Privind în perspectivă, există trei progrese tehnologice plauzibile care ar putea accelera ritmul schimbării, chiar dacă nu provoacă o singularitate. Acestea sunt: ​​crearea unei mașini mai inteligente decât o persoană, descoperirea unor metode de manipulare a genelor care pot crește abilitățile cognitive umane, precum și descoperiri de natură tehnică, medicală sau genetică care pot duce la o creștere semnificativă a speranței de viață a omului. .

Posibilitatea unui super-robot a fost considerată cel mai popular motiv pentru presupusa singularitate, dar la o inspecție mai atentă se dovedește că este puțin probabil să conducă la aceasta. Teoreticienilor singularității le place să citeze legea lui Moore, o teorie propusă Gordon Mooreîn 1965, conform căreia viteza de procesare a computerului se dublează la fiecare doi ani. Cu toate acestea, în realitate ne apropiem serios de limita acestei progresii; Factorii limitatori sunt viteza luminii, energia necesară pentru a funcționa microprocesoarele (care produc căldură), lungimea de undă a radiației electromagnetice și dimensiunea structurilor atomice.

În câteva generații, conform legii lui Moore, ne vom apropia de o barieră temporară, care va complica semnificativ progresul, iar în 5-6 generații, conform aceleiași legi, ne vom apropia de o barieră permanentă, dincolo de care, cu imaginabil în prezent. tehnologii, progresul va fi imposibil. Trebuie recunoscut faptul că progresele ulterioare în domeniul inteligenței informatice se realizează printr-o programare și o arhitectură îmbunătățite cu paralelism masiv, dar realitatea este că după progresul din 2015-2020 în acest domeniu va fi o încetinire semnificativă, nu o accelerare. Așa cum ultima schimbare cu adevărat revoluționară în designul automobilelor a fost inventarea transmisiei automate în 1939, este clar că progresele nesfârșite în designul mecanic vor atinge treptat o limită naturală.

Ingineria genetică pentru îmbunătățirea abilităților mentale umane va schimba, fără îndoială, lumea noastră, dar probabil că acest lucru nu se va întâmpla foarte curând, deoarece astfel de schimbări vor fi puternic opuse de majoritatea grupurilor și guvernelor religioase occidentale. Chiar și simpla clonare, care este pur și simplu reproducerea unui individ existent, nu a avansat prea mult în zece ani și poate fi amânată pentru o generație în viitor. Chiar și cu aprobarea guvernului, testele de siguranță necesare înainte ca experimentele de îmbunătățire a creierului să poată începe, există posibilitatea ca primele astfel de teste să ducă pur și simplu la o creștere a capacității creierului la nivelul existent, mai degrabă decât la o creștere a acesteia. În plus, din cauza nevoii biologice a acestor copii de a se maturiza înainte de vârsta de 15 ani, obținând studii superioare în următorii 5-10 ani, rezultatul acestor schimbări nu va apărea decât peste 50 de ani în viitor. În acest sens, un super-robot, chiar dacă ar fi real, ar putea fi creat mai repede, întrucât ar fi imediat un adult! Având în vedere faptul că primele instanțe ale Omului Îmbunătățit vor fi o mică parte din rasa umană/nouă umană, este clar că nu este de așteptat nicio accelerare macro de aici până în secolul următor.

A treia tehnologie potențială, extinderea vieții, este mai interesantă. Din punct de vedere tehnic, orice efect semnificativ (altul decât progresele medicale care cresc procentul de oameni care trăiesc până la 90-100 de ani) ar necesita probabil abilități similare pentru a produce o viață cu o inteligență mai înaltă. Cu toate acestea, această zonă se va confrunta cu mult mai puțină rezistență ludită din partea politicienilor și liderilor religioși, deoarece beneficiile unei vieți mai lungi sunt evidente și teoretic universale. Pe de altă parte, creșterea speranței de viață a celor care trăiesc deja va fi mult mai dificilă decât crearea de noi oameni cu viață lungă și, cel mai probabil, acest lucru se va întâmpla mai târziu.

Se dovedește că până în 2050 probabil vom putea avea copii care vor trăi 150-200 de ani (adică mai mult decât va fi nevoie pentru a depăși factorii limitativi despre care nu îi cunoaștem încă, pentru că nu afectează non- centenarii). După ceva timp după aceasta, vom învăța să creștem cel puțin parțial speranța de viață a oamenilor existenți. Având în vedere cererea potențială în masă pentru astfel de tehnologii, acestea ar trebui să se răspândească rapid la majoritatea oamenilor, deoarece producția în masă le va reduce costurile la niveluri acceptabile.

Cu toate acestea, deși creșterea ciclului de viață va îmbunătăți foarte mult viața unei persoane, aceasta nu va accelera progresul. Centenarii nu vor începe să lucreze până la 25 de ani, pentru că vor primi o educație mai cuprinzătoare decât noi. Odată ce se întorc la muncă, ei vor fi mai puțin aversiți față de risc și mai răbdători decât noi, deoarece întârzierile le vor consuma mai puțin restul vieții. La rândul lor, chiar și fără o accelerare suplimentară, ei vor avea nevoie de educație repetată la fiecare 20-25 de ani, astfel încât abilitățile lor de lucru să nu devină iremediabil depășite. Deoarece costurile pentru ei în condițiile schimbării rapide vor fi mai mari decât pentru noi, iar beneficiile vor fi mai mici, ei înșiși vor dori să încetinească progresul. Numai în combinație cu un nivel mai înalt de inteligență vor fi capabili să accepte ritmul vertiginos post-revoluționar al schimbării.

În momentul de față mă gândeam la posibila accelerare a schimbărilor pozitive. Cu toate acestea, există posibilitatea unor schimbări catastrofal negative care ar putea aduce civilizația, standardele de viață și cunoștințele la un nivel mai primitiv. O posibilă sursă a acestui lucru este un război mondial, poate diferit de cel de acum 50 de ani. Un alt factor ar putea fi dezastrul de mediu. Nu se așteaptă nimic bun aici. Actuala creștere inexorabilă a populației, care se preconizează că va încetini, dar nu se va opri până în 2050, va fi exacerbată de descoperirile care au mărit speranța de viață la 200 de ani, atât din cauza scăderii numărului de decese, cât și a creșterii natalității datorată faptul că capacitatea de reproducere se va menține timp de 100 de ani. Dacă încălzirea globală este o problemă serioasă într-o lume de 7 până la 10 miliarde este o întrebare, dar cu siguranță va deveni o problemă serioasă într-o lume de 20 de miliarde (și, prin urmare, epuizarea resurselor va fi un pericol mai real). Prin urmare, principala prioritate ar trebui să fie măsurile de încetinire a creșterii populației sau, și mai bine, de revenire la declin. Până la urmă, înainte de ultima singularitate, populația lumii era de doar 1 miliard; în acest ritm, problemele noastre de mediu și de resurse ar dispărea.

În afară de posibilitatea de colaps, două sau trei evoluții tehnologice probabile în următorii 50 de ani - atingând limita Legii lui Moore și creșterea speranței de viață - sunt probabil să încetinească ritmul schimbării, mai degrabă decât să o accelereze. Doar a treia opțiune - inteligența îmbunătățită genetic - are potențialul de a accelera progresul, dar opoziția sistemică față de această tehnologie este probabil să o întârzie foarte mult timp. Curba dezvoltării umane în secolul 21 va fi astfel asimptotică [mărginită] mai degrabă decât exponențială.

Expresia „creștere exponențială” a intrat în lexicul nostru pentru a însemna creștere rapidă, de obicei incontrolabilă. Este adesea folosit, de exemplu, pentru a descrie creșterea rapidă a orașelor sau creșterea populației. Cu toate acestea, în matematică acest termen are un sens precis și denotă un anumit tip de creștere.

Creșterea exponențială are loc la acele populații în care creșterea populației (numărul de nașteri minus numărul deceselor) este proporțională cu numărul de indivizi din populație. Pentru o populație umană, de exemplu, rata natalității este aproximativ proporțională cu numărul de perechi reproducătoare, iar rata mortalității este aproximativ proporțională cu numărul de oameni din populație (o notăm N). Apoi, la o aproximare rezonabilă,

creşterea populaţiei = numărul de naşteri - numărul de decese

(Aici r- așa-zisul factor de proporționalitate, ceea ce ne permite să scriem expresia proporționalității ca o ecuație.)

Fie d N— numărul de indivizi adăugați la populație în timp d t, atunci dacă în populație în total N indivizi, atunci condițiile de creștere exponențială vor fi îndeplinite dacă

d N = rN d t

Deoarece Isaac Newton a inventat calculul diferențial în secolul al XVII-lea, știm cum să rezolvăm această ecuație pentru N— mărimea populației în orice moment dat. (Pentru referință: această ecuație se numește diferenţial.) Iată soluția lui:

N=N0 e rt

Unde N 0 este numărul de indivizi din populație la începutul numărătorii inverse și t- timpul care a trecut din acest moment. Simbolul e denotă un astfel de număr special, se numește baza logaritmului natural(și este aproximativ egal cu 2,7) și se numește întreaga parte dreaptă a ecuației functie exponentiala.

Pentru a înțelege mai bine ce este creșterea exponențială, imaginați-vă o populație formată inițial dintr-o bacterie. După un anumit timp (câteva ore sau minute), bacteria se împarte în două, dublând astfel dimensiunea populației. După următoarea perioadă de timp, fiecare dintre aceste două bacterii se va împărți din nou în două, iar dimensiunea populației se va dubla din nou - acum vor fi patru bacterii. După zece astfel de dubleri vor fi mai mult de o mie de bacterii, după douăzeci - mai mult de un milion și așa mai departe. Dacă populația se dublează cu fiecare diviziune, creșterea acesteia va continua la nesfârșit.

Există o legendă (cel mai probabil nu este adevărată) că omul care a inventat șahul i-a făcut sultanului său o asemenea plăcere, încât i-a promis că îi va îndeplini oricare dintre cereri. Omul i-a cerut sultanului să pună un bob de grâu pe primul pătrat al tablei de șah, două pe al doilea, patru pe al treilea și așa mai departe. Sultanul, considerând această cerere nesemnificativă în comparație cu serviciul pe care îl prestase, a cerut subiectului său să vină cu o altă cerere, dar a refuzat. Bineînțeles, la a 64-a dublare, numărul de boabe a devenit astfel încât nu ar fi suficient grâu în întreaga lume pentru a satisface această cerere. În versiunea legendei care îmi este cunoscută, sultanul a ordonat în acel moment să fie tăiat capul inventatorului. Morala, așa cum le spun studenților mei, este: uneori nu ar trebui să fii prea deștepți!

Exemplul tablei de șah (precum și bacteriile imaginare) ne arată că nicio populație nu poate crește pentru totdeauna. Mai devreme sau mai târziu, pur și simplu va rămâne fără resurse - spațiu, energie, apă, orice altceva. Prin urmare, populațiile pot crește exponențial doar pentru o perioadă, iar mai devreme sau mai târziu creșterea lor trebuie să încetinească. Pentru a face acest lucru, trebuie să modificați ecuația, astfel încât atunci când dimensiunea populației se apropie de maximul posibil (care poate fi susținut de mediul extern), rata de creștere să încetinească. Să numim această dimensiune maximă a populației K. Apoi, ecuația modificată va arăta astfel:

d N = rN(1 — (N/K)) d t

Când N mult mai putin K, membru N/K poate fi neglijat și revenim la ecuația originală a creșterii exponențiale obișnuite. Cu toate acestea, când N se apropie de valoarea sa maximă K, valoarea 1 - ( N/K) tinde spre zero și, în consecință, creșterea populației tinde spre zero. Mărimea totală a populației în acest caz se stabilizează și rămâne la nivel K. Curba descrisă de această ecuație, precum și ecuația în sine, au mai multe denumiri - curba S, ecuația logistică, ecuația lui Volterra, Ecuația Lotka–Volterra. (Vito Volt e RRA, 1860-1940 - matematician și profesor italian remarcabil; Alfred Lotka, 1880-1949 - matematician și analist de asigurări american.) Indiferent cum s-ar numi, este o expresie destul de simplă a mărimii unei populații care crește brusc exponențial și apoi încetinește pe măsură ce se apropie de o anumită limită. Și reflectă creșterea populațiilor reale mult mai bine decât funcția exponențială obișnuită.

Oamenii nu sunt prea buni predictori ai viitorului. În cea mai mare parte a istoriei, experiențele noastre au fost „locale și liniare”: am folosit aceleași unelte, am mâncat aceleași alimente, am trăit într-un anumit loc. Drept urmare, abilitățile noastre de predicție se bazează pe intuiție și pe experiența trecută. Este ca o scară: după ce am urcat câțiva pași, înțelegem care va fi drumul rămas de-a lungul acestei scări. Pe măsură ce ne trăim viața, ne așteptăm ca fiecare nouă zi să fie similară cu cea anterioară. Totuși, acum totul se schimbă.

Celebrul inventator și futurist american Raymond Kurzweil în cartea sa „The Singularity Is Near” scrie că saltul în dezvoltarea tehnologică pe care l-am văzut în ultimele decenii a provocat o accelerare a progresului în multe domenii diferite. Acest lucru a dus la schimbări tehnologice și sociale neașteptate care au loc nu numai între generații, ci și în interiorul acestora. Acum, abordarea intuitivă de a prezice viitorul nu funcționează. Viitorul nu se mai desfășoară liniar, ci exponențial: devine din ce în ce mai greu de prezis ce se va întâmpla în continuare și când se va întâmpla. Ritmul progresului tehnologic ne surprinde constant, iar pentru a ține pasul cu el și a învăța să prezicem viitorul, trebuie mai întâi să învățăm să gândim exponențial.

Ce este creșterea exponențială?

Spre deosebire de creșterea liniară, care este rezultatul adăugării repetate a unei constante, creșterea exponențială este rezultatul înmulțirii repetate. Dacă creșterea liniară este o linie dreaptă stabilă în timp, atunci o linie de creștere exponențială este similară cu decolarea. Cu cât valoarea este mai mare, cu atât crește mai repede.

Imaginează-ți că mergi pe drum și fiecare pas pe care îl faci are un metru lungime. Faci șase pași și acum te-ai mișcat cu șase metri. După ce mai faci 24 de pași, vei fi la 30 de metri de unde ai început. Aceasta este o creștere liniară.

Acum imaginați-vă (deși corpul vostru nu poate face asta, imaginați-vă) că de fiecare dată lungimea pasului dvs. se dublează. Adică mai întâi pași un metru, apoi doi, apoi patru, apoi opt și așa mai departe. În șase astfel de pași veți parcurge 32 de metri - aceasta este mult mai mult decât în ​​șase pași de un metru. E greu de crezut, dar dacă continui în același ritm, atunci după al treizecilea pas te vei afla la un miliard de metri distanță de punctul de plecare. Adică 26 de călătorii în jurul Pământului. Și aceasta este o creștere exponențială.

Este interesant că fiecare nou pas cu o astfel de creștere este suma tuturor celor anterioare. Adică, după 29 de pași ai parcurs 500 de milioane de metri și ai acoperit aceeași sumă într-un al treizecilea pas următor. Aceasta înseamnă că oricare dintre pașii tăi anteriori sunt incomparabil de mici în raport cu următorii câțiva pași de creștere explozivă și majoritatea se întâmplă într-o perioadă relativ scurtă de timp. Dacă vă gândiți la această creștere ca deplasare de la punctul A la punctul B, cel mai mare progres în mișcare va fi realizat în ultima etapă.

Adesea ratem tendințele exponențiale în stadiile incipiente, deoarece rata inițială de creștere exponențială este lentă și graduală și dificil de distins de creșterea liniară. În plus, adesea predicțiile bazate pe presupunerea că un fenomen se va dezvolta exponențial pot părea incredibile și le refuzăm.

„Când a început scanarea genomului uman în 1990, criticii au remarcat că, având în vedere viteza cu care procesul a decurs inițial, ar fi nevoie de mii de ani pentru ca genomul să fie scanat. Totuși, proiectul a fost finalizat deja în 2003.”- Raymond Kurzweil dă un exemplu.

Recent, dezvoltarea tehnologiei a fost exponențială: cu fiecare deceniu, cu fiecare an, putem face incomparabil mai mult decât înainte.

Se poate termina vreodată creșterea exponențială?

În practică, tendințele exponențiale nu durează pentru totdeauna. Cu toate acestea, unele pot continua perioade lungi de timp dacă condițiile sunt potrivite pentru dezvoltarea explozivă.

De obicei, o tendință exponențială constă dintr-o serie de cicluri de viață tehnologice succesive în formă de S sau curbe în formă de S. Fiecare curbă arată ca litera „S” din cauza celor trei etape de creștere pe care le arată: creștere inițială lentă, creștere explozivă și nivelare pe măsură ce tehnologia se maturizează. Aceste curbe în S se intersectează, iar când o tehnologie încetinește, una nouă începe să crească. Cu fiecare nouă dezvoltare în formă de S, timpul necesar pentru a atinge niveluri mai mari de performanță devine mai scurtă.

De exemplu, când discută despre dezvoltarea tehnologiei în ultimul secol, Kurzweil enumeră cinci paradigme de calcul: electromecanice, relee, tuburi vidate, tranzistoare discrete și circuite integrate. Când o tehnologie și-a epuizat potențialul, următoarea a început să progreseze și a făcut acest lucru mai rapid decât predecesorii săi.

Planificarea unui viitor exponențial

În condiții de dezvoltare exponențială, este foarte greu de prezis ce ne așteaptă în viitor. Construirea unui grafic bazat pe o progresie geometrică este un lucru, dar estimarea modului în care se va schimba viața în zece până la douăzeci de ani este cu totul alta. Dar o regulă simplă de urmat este: așteptați-vă ca viața să vă surprindă foarte mult și planificați-vă în jurul surprizelor pe care le așteptați. Cu alte cuvinte, poți să-ți asumi cele mai incredibile rezultate și să te pregătești pentru ele ca și cum s-ar fi întâmplat cu siguranță.

„Viitorul va fi mult mai uimitor decât își pot imagina majoritatea oamenilor. Puțini au înțeles cu adevărat faptul că ritmul schimbării în sine se accelerează.”- scrie Raymond Kurzweil.

Cum va arăta viața noastră în următorii cinci ani? O modalitate de a face o prognoză este să ne uităm la ultimii cinci ani și să ducem această experiență în următorii cinci, dar aceasta este gândirea „liniară”, care, după cum am descoperit, nu funcționează întotdeauna. Ritmul schimbării se schimbă, astfel că progresul înregistrat în ultimii cinci ani va dura mai mult în viitor. Este probabil ca schimbările la care te aștepți în cinci ani să se întâmple efectiv în trei sau doi ani. Cu puțină practică, vom deveni mai capabili să anticipăm evoluțiile viitoare ale vieții, să învățăm să vedem perspective de creștere exponențială și să ne putem planifica mai bine viitorul.

Nu este doar un concept interesant. Gândirea noastră, adesea orientată spre dezvoltarea liniară, ne poate duce într-o fundătură. Gândirea liniară îi face pe unii oameni de afaceri și politicieni să reziste schimbării; pur și simplu nu înțeleg că dezvoltarea are loc exponențial și își fac griji că devine din ce în ce mai dificil să controlezi viitorul. Dar tocmai acesta este domeniul concurenței. Pentru a ține pasul cu această schimbare, trebuie să fii mereu cu un pas înainte și să nu faci ceea ce este relevant acum, ci ceea ce va fi relevant și solicitat în viitor, ținând cont că dezvoltarea nu are loc liniar, ci exponențial.

Gândirea exponențială reduce stresul distructiv care vine din frica noastră de viitor și deschide noi posibilități. Dacă ne putem planifica mai bine viitorul și putem gândi exponențial, vom ușura trecerea de la o paradigmă la alta și vom înfrunta viitorul cu calm.

Dacă creșterea populației este proporțională cu numărul de indivizi, dimensiunea populației va crește exponențial.

Expresia „creștere exponențială” a intrat în lexicul nostru pentru a însemna creștere rapidă, de obicei incontrolabilă. Este adesea folosit, de exemplu, pentru a descrie creșterea rapidă a orașelor sau creșterea populației. Cu toate acestea, în matematică acest termen are un sens precis și denotă un anumit tip de creștere.

Creșterea exponențială are loc la acele populații în care creșterea populației (numărul de nașteri minus numărul deceselor) este proporțională cu numărul de indivizi din populație. Pentru o populație umană, de exemplu, rata natalității este aproximativ proporțională cu numărul de perechi reproducătoare, iar rata mortalității este aproximativ proporțională cu numărul de oameni din populație (o notăm N). Apoi, la o aproximare rezonabilă,

creşterea populaţiei = numărul de naşteri - numărul de decese

(Aici r- așa-numitul coeficient de proporționalitate, care ne permite să scriem expresia proporționalității sub forma unei ecuații.)

Fie d N- numărul de indivizi adăugați la populație în timp d t, atunci dacă în populație în total N indivizi, atunci condițiile de creștere exponențială vor fi îndeplinite dacă

Deoarece Isaac Newton a inventat calculul diferențial în secolul al XVII-lea, știm cum să rezolvăm această ecuație pentru N- mărimea populației în orice moment dat. (Pentru referință: o astfel de ecuație se numește diferențială.) Iată soluția ei:

unde N 0 este numărul de indivizi din populație la începutul numărătorii inverse, t- timpul care a trecut din acest moment. Simbol e denotă un astfel de număr special, se numește baza logaritmului natural(și este aproximativ egal cu 2,7) și se numește întreaga parte dreaptă a ecuației functie exponentiala.

Pentru a înțelege mai bine ce este creșterea exponențială, imaginați-vă o populație formată inițial dintr-o bacterie. După un anumit timp (câteva ore sau minute), bacteria se împarte în două, dublând astfel dimensiunea populației. După următoarea perioadă de timp, fiecare dintre aceste două bacterii se va împărți din nou în două, iar dimensiunea populației se va dubla din nou - acum vor fi patru bacterii. După zece astfel de dubleri vor fi mai mult de o mie de bacterii, după douăzeci - mai mult de un milion și așa mai departe. Dacă populația se dublează cu fiecare diviziune, creșterea acesteia va continua la nesfârșit.

Există o legendă (cel mai probabil nu este adevărată) că omul care a inventat șahul i-a făcut sultanului său o asemenea plăcere, încât i-a promis că îi va îndeplini oricare dintre cereri. Omul i-a cerut sultanului să pună un bob de grâu pe primul pătrat al tablei de șah, două pe al doilea, patru pe al treilea și așa mai departe. Sultanul, considerând această cerere nesemnificativă în comparație cu serviciul pe care îl prestase, a cerut subiectului său să vină cu o altă cerere, dar a refuzat. Bineînțeles, la a 64-a dublare, numărul de boabe a devenit astfel încât nu ar fi suficient grâu în întreaga lume pentru a satisface această cerere. În versiunea legendei care îmi este cunoscută, sultanul a ordonat în acel moment să fie tăiat capul inventatorului. Morala, așa cum le spun studenților mei, este: uneori nu ar trebui să fii prea deștepți!

Exemplul tablei de șah (precum și bacteriile imaginare) ne arată că nicio populație nu poate crește pentru totdeauna. Mai devreme sau mai târziu va rămâne pur și simplu fără resurse - spațiu, energie, apă, orice altceva. Prin urmare, populațiile pot crește exponențial doar pentru o perioadă, iar mai devreme sau mai târziu creșterea lor trebuie să încetinească. Pentru a face acest lucru, trebuie să modificați ecuația, astfel încât atunci când dimensiunea populației se apropie de maximul posibil (care poate fi susținut de mediul extern), rata de creștere să încetinească. Să numim această dimensiune maximă a populației K. Apoi, ecuația modificată va arăta astfel:

dN = rN(1 - (N/K)) dt

Când N mult mai putin K, membru N/K poate fi neglijat și revenim la ecuația originală a creșterii exponențiale obișnuite. Cu toate acestea, când N se apropie de valoarea sa maximă K, sens 1 - (N/K) tinde spre zero și, în consecință, creșterea populației tinde spre zero. Mărimea totală a populației în acest caz se stabilizează și rămâne la nivel K. Curba descrisă de această ecuație, precum și ecuația în sine, au mai multe denumiri - curba S, ecuația logistică, ecuația lui Volterra, Ecuația Lotka-Volterra. (Vito Volterra, 1860–1940 - eminent matematician și profesor italian; Alfred Lotka, 1880–1949 - matematician și analist de asigurări american.) Indiferent cum s-ar numi, este o expresie destul de simplă a mărimii unei populații care crește brusc exponențial și apoi încetinind la apropierea unei anumite limite. Și reflectă creșterea populațiilor reale mult mai bine decât funcția exponențială obișnuită.