Una dintre cele mai importante științe, a cărei aplicare poate fi văzută în discipline precum chimia, fizica și chiar biologia, este matematica. Studiul acestei științe vă permite să dezvoltați unele calități mentale, să îmbunătățiți capacitatea de concentrare. Una dintre subiectele care merită o atenție deosebită la cursul „Matematică” este adunarea și scăderea fracțiilor. Mulți studenți le este greu să studieze. Poate că articolul nostru vă va ajuta să înțelegeți mai bine acest subiect.

Cum să scadă fracțiile ai căror numitori sunt aceiași

Fracțiile sunt aceleași numere cu care puteți efectua diverse acțiuni. Diferența lor față de numerele întregi constă în prezența unui numitor. De aceea, atunci când efectuați acțiuni cu fracții, trebuie să studiați unele dintre caracteristicile și regulile acestora. Cel mai simplu caz este scăderea fracțiilor ordinare, ai căror numitori sunt reprezentați ca același număr. Nu va fi dificil să efectuați această acțiune dacă cunoașteți o regulă simplă:

• Pentru a scădea al doilea dintr-o fracție, este necesar să se scadă numărătorul fracției de scăzut din numărătorul fracției reduse. Scriem acest număr în numărătorul diferenței și lăsăm numitorul același: k / m - b / m = (k-b) / m.

Exemple de scădere a fracțiilor ai căror numitori sunt aceiași

7/19 - 3/19 = (7 - 3)/19 = 4/19.

Din numărătorul fracției reduse „7” scădem numărătorul fracției reduse „3”, obținem „4”. Scriem acest număr în numărătorul răspunsului și punem la numitor același număr care a fost în numitorii primei și a doua fracții - „19”.

Imaginea de mai jos arată câteva astfel de exemple.

Luați în considerare un exemplu mai complex în care se scad fracțiile cu aceiași numitori:

29/47 - 3/47 - 8/47 - 2/47 - 7/47 = (29 - 3 - 8 - 2 - 7)/47 = 9/47.

Din numărătorul fracției reduse „29” prin scăderea pe rând a numărătorilor tuturor fracțiilor ulterioare - „3”, „8”, „2”, „7”. Ca urmare, obținem rezultatul „9”, pe care îl scriem la numărătorul răspunsului, iar la numitor scriem numărul care se află în numitorii tuturor acestor fracții - „47”.

Adunarea fracțiilor cu același numitor

Adunarea și scăderea fracțiilor obișnuite se efectuează după același principiu.

• Pentru a adăuga fracții cu aceiași numitori, trebuie să adăugați numărătorii. Numărul rezultat este numărătorul sumei, iar numitorul rămâne același: k/m + b/m = (k + b)/m.

Să vedem cum arată într-un exemplu:

1/4 + 2/4 = 3/4.

La numărătorul primului termen al fracției - "1" - adăugăm numărătorul celui de-al doilea termen al fracției - "2". Rezultatul - „3” - este scris în numărătorul sumei, iar numitorul este lăsat același cu cel care a fost prezent în fracțiile - „4”.

Fracții cu numitori diferiți și scăderea lor

Am luat în considerare deja acțiunea cu fracții care au același numitor. După cum puteți vedea, cunoscând reguli simple, rezolvarea unor astfel de exemple este destul de ușoară. Dar dacă trebuie să efectuați o acțiune cu fracții care au numitori diferiți? Mulți elevi de liceu sunt derutați de astfel de exemple. Dar și aici, dacă cunoașteți principiul soluției, exemplele nu vă vor mai fi dificile. Există și o regulă aici, fără de care soluția unor astfel de fracții este pur și simplu imposibilă.

Pentru a scădea fracții cu numitori diferiți, acestea trebuie reduse la același cel mai mic numitor.



Vom vorbi mai detaliat despre cum să facem acest lucru.

Proprietatea fracțiunii

Pentru a reduce mai multe fracții la același numitor, trebuie să utilizați proprietatea principală a fracției din soluție: după împărțirea sau înmulțirea numărătorului și numitorului cu același număr, obțineți o fracție egală cu cea dată.

Deci, de exemplu, fracția 2/3 poate avea numitori precum „6”, „9”, „12”, etc., adică poate arăta ca orice număr care este multiplu al lui „3”. După ce înmulțim numărătorul și numitorul cu „2”, obținem o fracție de 4/6. După ce înmulțim numărătorul și numitorul fracției inițiale cu „3”, obținem 6/9, iar dacă facem o acțiune similară cu numărul „4”, obținem 8/12. Într-o ecuație, aceasta poate fi scrisă astfel:

2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12…

Cum să aduceți mai multe fracții la același numitor

Luați în considerare cum să reduceți mai multe fracții la același numitor. De exemplu, luați fracțiile prezentate în imaginea de mai jos. Mai întâi trebuie să determinați ce număr poate deveni numitorul pentru toate. Pentru a fi mai ușor, să descompunăm numitorii disponibili în factori.

Numitorul fracției 1/2 și al fracției 2/3 nu pot fi factorizați. Numitorul lui 7/9 are doi factori 7/9 = 7/(3 x 3), numitorul fracției 5/6 = 5/(2 x 3). Acum trebuie să determinați care factori vor fi cei mai mici pentru toate aceste patru fracții. Deoarece prima fracție are numărul „2” la numitor înseamnă că trebuie să fie prezentă la toți numitorii, în fracția 7/9 sunt două triple, ceea ce înseamnă că trebuie să fie prezente și la numitor. Având în vedere cele de mai sus, determinăm că numitorul este format din trei factori: 3, 2, 3 și este egal cu 3 x 2 x 3 = 18.



Luați în considerare prima fracție - 1/2. Numitorul său conține „2”, dar nu există un singur „3”, ci ar trebui să fie doi. Pentru a face acest lucru, înmulțim numitorul cu două triple, dar, conform proprietății fracției, trebuie să înmulțim numărătorul cu două triple:
1/2 = (1 x 3 x 3)/(2 x 3 x 3) = 9/18.

În mod similar, efectuăm acțiuni cu fracțiile rămase.

• 2/3 - unul trei și unul doi lipsesc la numitor:
  2/3 = (2 x 3 x 2)/(3 x 3 x 2) = 12/18.
• 7/9 sau 7/(3 x 3) - numitorul lipsesc doi:
  7/9 = (7 x 2)/(9 x 2) = 14/18.
• 5/6 sau 5/(2 x 3) - numitorului lipsește un triplu:
  5/6 = (5 x 3)/(6 x 3) = 15/18.

Toate împreună arată așa:



Cum se scad și se adună fracții cu numitori diferiți

După cum s-a menționat mai sus, pentru a adăuga sau scădea fracții cu numitori diferiți, acestea trebuie reduse la același numitor și apoi să se folosească regulile de scădere a fracțiilor cu același numitor, care au fost deja descrise.

Luați în considerare acest lucru cu un exemplu: 4/18 - 3/15.

Găsirea multiplilor lui 18 și 15:

• Numărul 18 este format din 3 x 2 x 3.
• Numărul 15 este format din 5 x 3.
• Multiplu comun va consta din următorii factori 5 x 3 x 3 x 2 = 90.

După ce se găsește numitorul, este necesar să se calculeze un factor care va fi diferit pentru fiecare fracție, adică numărul cu care va fi necesar să se înmulțească nu numai numitorul, ci și numărătorul. Pentru a face acest lucru, împărțim numărul pe care l-am găsit (multiplu comun) la numitorul fracției pentru care trebuie să fie determinați factori suplimentari.

• 90 împărțit la 15. Numărul rezultat „6” va fi un multiplicator pentru 3/15.
• 90 împărțit la 18. Numărul rezultat „5” va fi un multiplicator pentru 4/18.

Următorul pas în soluția noastră este să aducem fiecare fracție la numitorul „90”.

Am discutat deja cum se face acest lucru. Să vedem cum este scris asta într-un exemplu:

(4 x 5) / (18 x 5) - (3 x 6) / (15 x 6) = 20/90 - 18/90 = 2/90 = 1/45.

Dacă fracții cu numere mici, atunci puteți determina numitorul comun, ca în exemplul prezentat în imaginea de mai jos.



Produs similar și având diferiți numitori.

Scăderea și având părți întregi

Scăderea fracțiilor și adunarea lor, am analizat deja în detaliu. Dar cum să scadă dacă fracția are o parte întreagă? Din nou, să folosim câteva reguli:

• Convertiți toate fracțiile care au o parte întreagă în fracții improprii. Cu cuvinte simple, eliminați întreaga parte. Pentru a face acest lucru, numărul părții întregi este înmulțit cu numitorul fracției, produsul rezultat este adăugat la numărător. Numărul care se va obține în urma acestor acțiuni este numărătorul unei fracții improprie. Numitorul rămâne neschimbat.
• Dacă fracțiile au numitori diferiți, ele ar trebui reduse la același.
• Efectuați adunarea sau scăderea cu aceiași numitori.
• Când primiți o fracție necorespunzătoare, selectați întreaga parte.



Există o altă modalitate prin care puteți adăuga și scădea fracții cu părți întregi. Pentru aceasta, acțiunile sunt efectuate separat cu părți întregi și separat cu fracții, iar rezultatele sunt înregistrate împreună.



Exemplul de mai sus este format din fracții care au același numitor. În cazul în care numitorii sunt diferiți, aceștia trebuie redusi la același, apoi urmați pașii indicați în exemplu.

Scăderea fracțiilor dintr-un număr întreg

O altă varietate de acțiuni cu fracții este cazul în care fracția trebuie scăzută din La prima vedere, un astfel de exemplu pare greu de rezolvat. Totuși, totul este destul de simplu aici. Pentru a o rezolva, este necesar să convertiți un număr întreg într-o fracție, și cu un astfel de numitor, care se află în fracția de scădere. În continuare, efectuăm o scădere similară cu scăderea cu aceiași numitori. De exemplu, arată astfel:

7 - 4/9 = (7 x 9)/9 - 4/9 = 53/9 - 4/9 = 49/9.

Scăderea fracțiilor prezentate în acest articol (Clasa 6) este baza pentru rezolvarea unor exemple mai complexe, care sunt luate în considerare în clasele ulterioare. Cunoașterea acestui subiect este folosită ulterior pentru a rezolva funcții, derivate și așa mai departe. Prin urmare, este foarte important să înțelegeți și să înțelegeți acțiunile cu fracții discutate mai sus.

Luați în considerare fracția $\frac63$. Valoarea sa este 2, deoarece $\frac63 =6:3 = 2$. Ce se întâmplă dacă numărătorul și numitorul sunt înmulțiți cu 2? $\frac63 \times 2=\frac(12)(6)$. Evident, valoarea fracției nu s-a schimbat, așa că $\frac(12)(6)$ este, de asemenea, egal cu 2 ca y. înmulțiți numărătorul și numitorul cu 3 și obțineți $\frac(18)(9)$ sau cu 27 și obțineți $\frac(162)(81)$ sau cu 101 și obțineți $\frac(606)(303)$. În fiecare dintre aceste cazuri, valoarea fracției pe care o obținem prin împărțirea numărătorului la numitor este 2. Aceasta înseamnă că nu s-a schimbat.

Același model se observă și în cazul altor fracții. Dacă numărătorul și numitorul fracției $\frac(120)(60)$ (egal cu 2) se împarte la 2 (rezultatul $\frac(60)(30)$), sau la 3 (rezultatul $\ frac(40)(20) $), sau cu 4 (rezultatul $\frac(30)(15)$) și așa mai departe, atunci în fiecare caz valoarea fracției rămâne neschimbată și egală cu 2.

Această regulă se aplică și fracțiilor care nu sunt egale. număr întreg.

Dacă numărătorul și numitorul fracției $\frac(1)(3)$ sunt înmulțite cu 2, obținem $\frac(2)(6)$, adică valoarea fracției nu s-a schimbat. Și de fapt, dacă împărțiți tortul în 3 părți și luați una dintre ele, sau o împărțiți în 6 părți și luați 2 părți, veți obține aceeași cantitate de plăcintă în ambele cazuri. Prin urmare, numerele $\frac(1)(3)$ și $\frac(2)(6)$ sunt identice. Să formulăm o regulă generală.

Numătorul și numitorul oricărei fracții pot fi înmulțite sau împărțite cu același număr, iar valoarea fracției nu se modifică.

Această regulă este foarte utilă. De exemplu, permite în unele cazuri, dar nu întotdeauna, evitarea operațiunilor cu numere mari.

De exemplu, putem împărți numărătorul și numitorul fracției $\frac(126)(189)$ la 63 și obținem fracția $\frac(2)(3)$ care este mult mai ușor de calculat. Încă un exemplu. Putem împărți numărătorul și numitorul fracției $\frac(155)(31)$ la 31 și obținem fracția $\frac(5)(1)$ sau 5, deoarece 5:1=5.

În acest exemplu, ne-am întâlnit prima dată o fracție al cărei numitor este 1. Astfel de fracții joacă un rol important în calcule. Trebuie amintit că orice număr poate fi împărțit la 1 și valoarea acestuia nu se va schimba. Adică $\frac(273)(1)$ este egal cu 273; $\frac(509993)(1)$ este egal cu 509993 și așa mai departe. Prin urmare, nu trebuie să împărțim numerele la , deoarece fiecare număr întreg poate fi reprezentat ca o fracție cu un numitor de 1.

Cu astfel de fracții, al căror numitor este egal cu 1, puteți efectua aceleași operații aritmetice ca și cu toate celelalte fracții: $\frac(15)(1)+\frac(15)(1)=\frac(30) (1) $, $\frac(4)(1) \times \frac(3)(1)=\frac(12)(1)$.

Vă puteți întreba la ce folosește reprezentarea unui număr întreg ca fracție, care va avea o unitate sub linie, pentru că este mai convenabil să lucrați cu un întreg. Dar adevărul este că reprezentarea unui număr întreg ca fracție ne oferă posibilitatea de a efectua diverse acțiuni mai eficient atunci când avem de-a face atât cu numere întregi, cât și cu numere fracționale în același timp. De exemplu, să învețe se adună fracții cu numitori diferiți. Să presupunem că trebuie să adăugăm $\frac(1)(3)$ și $\frac(1)(5)$.

Știm că puteți adăuga doar fracții ai căror numitori sunt egali. Deci, trebuie să învățăm cum să aducem fracții într-o astfel de formă atunci când numitorii lor sunt egali. În acest caz, avem nevoie din nou de faptul că puteți înmulți numărătorul și numitorul unei fracții cu același număr fără a-i schimba valoarea.

În primul rând, înmulțim numărătorul și numitorul fracției $\frac(1)(3)$ cu 5. Obținem $\frac(5)(15)$, valoarea fracției nu s-a schimbat. Apoi înmulțim numărătorul și numitorul fracției $\frac(1)(5)$ cu 3. Obținem $\frac(3)(15)$, iar valoarea fracției nu s-a schimbat. Prin urmare, $\frac(1)(3)+\frac(1)(5)=\frac(5)(15)+\frac(3)(15)=\frac(8)(15)$.

Acum să încercăm să aplicăm acest sistem la adunarea numerelor care conțin atât părți întregi, cât și părți fracționale.

Trebuie să adăugăm $3 + \frac(1)(3)+1\frac(1)(4)$. Mai întâi, convertim toți termenii în fracții și obținem: $\frac31 + \frac(1)(3)+\frac(5)(4)$. Acum trebuie să aducem toate fracțiile la un numitor comun, pentru aceasta înmulțim numărătorul și numitorul primei fracții cu 12, pe a doua cu 4 și pe a treia cu 3. Ca rezultat, obținem $\frac(36). )(12) + \frac(4 )(12)+\frac(15)(12)$, care este egal cu $\frac(55)(12)$. Dacă vrei să scapi de fracție improprie, poate fi transformat într-un număr format dintr-un număr întreg și o parte fracțională: $\frac(55)(12) = \frac(48)(12)+\frac(7)(12)$ sau $4\frac( 7)( 12)$.

Toate regulile care permit operatii cu fractii, pe care tocmai le-am studiat, sunt valabile și în cazul numerelor negative. Deci, -1: 3 poate fi scris ca $\frac(-1)(3)$, iar 1: (-3) ca $\frac(1)(-3)$.

Deoarece atât împărțirea unui număr negativ la un număr pozitiv, cât și împărțirea unui număr pozitiv la un negativ rezultă în numere negative, în ambele cazuri vom obține răspunsul sub forma unui număr negativ. i.e

$(-1) : 3 = \frac(1)(3)$ sau $1 : (-3) = \frac(1)(-3)$. Semnul minus atunci când este scris în acest fel se referă la întreaga fracție ca întreg, și nu separat la numărător sau numitor.

Pe de altă parte, (-1) : (-3) poate fi scris ca $\frac(-1)(-3)$ și, deoarece împărțirea unui număr negativ la un număr negativ dă un număr pozitiv, atunci $\frac (-1 )(-3)$ poate fi scris ca $+\frac(1)(3)$.

Adunarea și scăderea fracțiilor negative se efectuează în același mod ca și adunarea și scăderea fracțiilor pozitive. De exemplu, ce este $1- 1\frac13$? Să reprezentăm ambele numere ca fracții și să obținem $\frac(1)(1)-\frac(4)(3)$. Să reducem fracțiile la un numitor comun și să obținem $\frac(1 \times 3)(1 \times 3)-\frac(4)(3)$, adică $\frac(3)(3)-\frac( 4) (3)$ sau $-\frac(1)(3)$.

§ 87. Adunarea fracţiilor.

Adunarea fracțiilor are multe asemănări cu adunarea numerelor întregi. Adunarea fracțiilor este o acțiune constând în faptul că mai multe numere (termeni) date sunt combinate într-un singur număr (suma), care conține toate unitățile și fracțiile de unități de termeni.

Vom analiza pe rând trei cazuri:

1. Adunarea fracțiilor cu aceiași numitori.
2. Adunarea fracțiilor cu numitori diferiți.
3. Adunarea numerelor mixte.

1. Adunarea fracțiilor cu aceiași numitori.

Luați în considerare un exemplu: 1 / 5 + 2 / 5 .

Luați segmentul AB (Fig. 17), luați-l ca unitate și împărțiți-l în 5 părți egale, apoi partea AC a acestui segment va fi egală cu 1/5 din segmentul AB și partea aceluiași segment CD va fi egal cu 2/5 AB.

Din desen se vede că dacă luăm segmentul AD, atunci acesta va fi egal cu 3/5 AB; dar segmentul AD este tocmai suma segmentelor AC și CD. Deci, putem scrie:

1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5

Având în vedere acești termeni și suma rezultată, vedem că numărătorul sumei s-a obținut prin adunarea numărătorilor termenilor, iar numitorul a rămas neschimbat.

De aici obținem următoarea regulă: Pentru a adăuga fracții cu aceiași numitori, trebuie să adăugați numărătorii lor și să lăsați același numitor.

Luați în considerare un exemplu:

2. Adunarea fracțiilor cu numitori diferiți.

Să adunăm fracții: 3/4 + 3/8 Mai întâi trebuie reduse la cel mai mic numitor comun:

Legătura intermediară 6/8 + 3/8 nu ar fi putut fi scrisă; am scris-o aici pentru o mai mare claritate.

Astfel, pentru a adăuga fracții cu diferiți numitori, trebuie mai întâi să le aduceți la cel mai mic numitor comun, să adăugați numărătorii lor și să semnați numitorul comun.

Luați în considerare un exemplu (vom scrie factori suplimentari peste fracțiile corespunzătoare):

3. Adunarea numerelor mixte.

Să adunăm numerele: 2 3 / 8 + 3 5 / 6.

Să aducem mai întâi părțile fracționale ale numerelor noastre la un numitor comun și să le rescriem din nou:

Acum adăugați părțile întregi și fracționale în succesiune:

§ 88. Scăderea fracțiilor.

Scăderea fracțiilor este definită în același mod ca și scăderea numerelor întregi. Aceasta este o acțiune prin care, dată fiind suma a doi termeni și unul dintre ei, se găsește un alt termen. Să luăm în considerare trei cazuri pe rând:

1. Scăderea fracțiilor cu aceiași numitori.
2. Scăderea fracțiilor cu numitori diferiți.
3. Scăderea numerelor mixte.

1. Scăderea fracțiilor cu aceiași numitori.

Luați în considerare un exemplu:

13 / 15 - 4 / 15

Să luăm segmentul AB (Fig. 18), să-l luăm ca unitate și să-l împărțim în 15 părți egale; atunci partea AC a acestui segment va fi 1/15 din AB, iar partea AD a aceluiași segment va corespunde cu 13/15 AB. Să lăsăm deoparte un alt segment ED, egal cu 4/15 AB.

Trebuie să scădem 4/15 din 13/15. În desen, aceasta înseamnă că segmentul ED trebuie scăzut din segmentul AD. Ca urmare, va rămâne segmentul AE, care este 9/15 din segmentul AB. Deci putem scrie:

Exemplul pe care l-am făcut arată că numărătorul diferenței a fost obținut prin scăderea numărătorilor, iar numitorul a rămas același.

Prin urmare, pentru a scădea fracții cu aceiași numitori, trebuie să scădeți numărătorul subtraendului de la numărătorul minuendului și să lăsați același numitor.

2. Scăderea fracțiilor cu numitori diferiți.

Exemplu. 3/4 - 5/8

Mai întâi, să reducem aceste fracții la cel mai mic numitor comun:

Linkul intermediar 6 / 8 - 5 / 8 este scris aici pentru claritate, dar poate fi omis în viitor.

Astfel, pentru a scădea o fracție dintr-o fracție, trebuie mai întâi să le aduceți la cel mai mic numitor comun, apoi să scădeți numărătorul subtraendului de la numărătorul minuendului și să semnați numitorul comun sub diferența lor.

Luați în considerare un exemplu:

3. Scăderea numerelor mixte.

Exemplu. 10 3 / 4 - 7 2 / 3 .

Să aducem părțile fracționale ale minuendului și ale subtraendului la cel mai mic numitor comun:

Am scăzut un întreg dintr-un întreg și o fracțiune dintr-o fracție. Dar există cazuri când partea fracționară a subtraendului este mai mare decât partea fracționară a minuendului. În astfel de cazuri, trebuie să luați o unitate din partea întreagă a minuendului, să o împărțiți în acele părți în care este exprimată partea fracțională și să adăugați la partea fracțională a minuendului. Și apoi scăderea va fi efectuată în același mod ca în exemplul anterior:

§ 89. Înmulțirea fracțiilor.

Când studiem înmulțirea fracțiilor, vom lua în considerare următoarele întrebări:

1. Înmulțirea unei fracții cu un număr întreg.
2. Găsirea unei fracții dintr-un număr dat.
3. Înmulțirea unui număr întreg cu o fracție.
4. Înmulțirea unei fracții cu o fracție.
5. Înmulțirea numerelor mixte.
6. Conceptul de interes.
7. Găsirea procentelor unui număr dat. Să le luăm în considerare secvenţial.

1. Înmulțirea unei fracții cu un număr întreg.

Înmulțirea unei fracții cu un număr întreg are același sens ca și înmulțirea unui număr întreg cu un număr întreg. Înmulțirea unei fracții (multiplicand) cu un întreg (multiplicator) înseamnă alcătuirea sumei de termeni identici, în care fiecare termen este egal cu multiplicandul, iar numărul de termeni este egal cu multiplicatorul.

Deci, dacă trebuie să înmulțiți 1/9 cu 7, atunci acest lucru se poate face astfel:

Am obținut cu ușurință rezultatul, deoarece acțiunea s-a redus la adunarea fracțiilor cu aceiași numitori. Prin urmare,

Luarea în considerare a acestei acțiuni arată că înmulțirea unei fracții cu un întreg este echivalentă cu creșterea acestei fracții de câte ori există unități în întreg. Și întrucât creșterea fracției se realizează fie prin creșterea numărătorului acesteia

sau prin scăderea numitorului acestuia , atunci putem fie să înmulțim numărătorul cu întregul, fie să împărțim numitorul cu acesta, dacă o astfel de împărțire este posibilă.

De aici obținem regula:

Pentru a înmulți o fracție cu un număr întreg, trebuie să înmulțiți numărătorul cu acest număr întreg și să lăsați același numitor sau, dacă este posibil, să împărțiți numitorul la acest număr, lăsând numărătorul neschimbat.

La înmulțire, sunt posibile abrevieri, de exemplu:

2. Găsirea unei fracții dintr-un număr dat. Există multe probleme în care trebuie să găsiți sau să calculați o parte dintr-un anumit număr. Diferența dintre aceste sarcini și altele este că ele dau numărul unor obiecte sau unități de măsură și trebuie să găsiți o parte din acest număr, care este indicată și aici printr-o anumită fracție. Pentru a facilita înțelegerea, vom da mai întâi exemple de astfel de probleme, apoi vom introduce metoda de rezolvare a acestora.

Sarcina 1. Am avut 60 de ruble; 1/3 din acești bani i-am cheltuit pe achiziția de cărți. Cât au costat cărțile?

Sarcina 2. Trenul trebuie să parcurgă distanța dintre orașele A și B, egală cu 300 km. A parcurs deja 2/3 din acea distanta. Cati kilometri este asta?

Sarcina 3.În sat sunt 400 de case, 3/4 din cărămidă, restul din lemn. Câte case de cărămidă sunt?

Iată câteva dintre numeroasele probleme cu care trebuie să ne confruntăm pentru a găsi o fracțiune dintr-un număr dat. Ele sunt de obicei numite probleme pentru găsirea unei fracțiuni dintr-un număr dat.

Rezolvarea problemei 1. De la 60 de ruble. Am cheltuit 1/3 pe cărți; Deci, pentru a afla costul cărților, trebuie să împărțiți numărul 60 la 3:

Rezolvarea problemei 2. Semnificația problemei este că trebuie să găsiți 2 / 3 din 300 km. Calculați prima 1/3 din 300; acest lucru se realizează prin împărțirea a 300 km la 3:

300: 3 = 100 (adică 1/3 din 300).

Pentru a găsi două treimi din 300, trebuie să dublați coeficientul rezultat, adică să înmulțiți cu 2:

100 x 2 = 200 (adică 2/3 din 300).

Rezolvarea problemei 3. Aici trebuie să determinați numărul de case din cărămidă, care sunt 3/4 din 400. Să găsim mai întâi 1/4 din 400,

400: 4 = 100 (adică 1/4 din 400).

Pentru a calcula trei sferturi din 400, coeficientul rezultat trebuie triplat, adică înmulțit cu 3:

100 x 3 = 300 (adică 3/4 din 400).

Pe baza soluționării acestor probleme, putem deriva următoarea regulă:

Pentru a găsi valoarea unei fracții dintr-un număr dat, trebuie să împărțiți acest număr la numitorul fracției și să înmulțiți câtul rezultat cu numărătorul său.

3. Înmulțirea unui număr întreg cu o fracție.

Anterior (§ 26) s-a stabilit că înmulțirea numerelor întregi trebuie înțeleasă ca adunarea unor termeni identici (5 x 4 \u003d 5 + 5 + 5 + 5 \u003d 20). În acest paragraf (paragraful 1) s-a stabilit că înmulțirea unei fracții cu un întreg înseamnă găsirea sumei termenilor identici egală cu această fracție.

În ambele cazuri, înmulțirea a constat în găsirea sumei termenilor identici.

Acum trecem la înmulțirea unui număr întreg cu o fracție. Aici ne vom întâlni, de exemplu, cu o astfel de înmulțire: 9 2 / 3. Este destul de evident că definiția anterioară a înmulțirii nu se aplică în acest caz. Acest lucru este evident din faptul că nu putem înlocui o astfel de înmulțire prin adăugarea de numere egale.

Din această cauză, va trebui să dăm o nouă definiție a înmulțirii, adică, cu alte cuvinte, să răspundem la întrebarea ce trebuie înțeles prin înmulțire cu o fracție, cum trebuie înțeleasă această acțiune.

Sensul înmulțirii unui număr întreg cu o fracție este clar din următoarea definiție: a înmulți un întreg (multiplicator) cu o fracție (multiplicator) înseamnă a găsi această fracție a multiplicatorului.

Și anume, înmulțirea a 9 cu 2/3 înseamnă a găsi 2/3 din nouă unități. În paragraful precedent au fost rezolvate astfel de probleme; deci este ușor să ne dăm seama că ajungem cu 6.

Dar acum apare o întrebare interesantă și importantă: de ce acțiuni atât de aparent diferite precum găsirea sumei numerelor egale și găsirea fracției dintr-un număr sunt numite același cuvânt „înmulțire” în aritmetică?

Acest lucru se întâmplă deoarece acțiunea anterioară (repetarea unui număr cu termeni de mai multe ori) și o acțiune nouă (găsirea unei fracțiuni dintr-un număr) dau un răspuns la întrebări omogene. Aceasta înseamnă că pornim aici de la considerațiile că întrebările sau sarcinile omogene sunt rezolvate printr-o singură acțiune.

Pentru a înțelege acest lucru, luați în considerare următoarea problemă: „1 m de pânză costă 50 de ruble. Cât vor costa 4 m dintr-o astfel de pânză?

Această problemă se rezolvă prin înmulțirea numărului de ruble (50) cu numărul de metri (4), adică 50 x 4 = 200 (ruble).

Să luăm aceeași problemă, dar în ea cantitatea de pânză va fi exprimată ca număr fracționar: „1 m de pânză costă 50 de ruble. Cât vor costa 3/4 m dintr-o astfel de pânză?

Această problemă trebuie rezolvată și prin înmulțirea numărului de ruble (50) cu numărul de metri (3/4).

De asemenea, puteți schimba numerele din el de mai multe ori fără a schimba sensul problemei, de exemplu, luați 9/10 m sau 2 3/10 m etc.

Deoarece aceste probleme au același conținut și diferă doar în cifre, numim acțiunile folosite în rezolvarea lor același cuvânt - înmulțire.

Cum se înmulțește un număr întreg cu o fracție?

Să luăm numerele întâlnite în ultima problemă:

Conform definiției, trebuie să găsim 3 / 4 din 50. Mai întâi găsim 1 / 4 din 50 și apoi 3 / 4.

1/4 din 50 este 50/4;

3/4 din 50 este .

Prin urmare.

Luați în considerare un alt exemplu: 12 5 / 8 = ?

1/8 din 12 este 12/8,

5/8 din numărul 12 este .

Prin urmare,

De aici obținem regula:

Pentru a înmulți un număr întreg cu o fracție, trebuie să înmulțiți numărul întreg cu numărătorul fracției și să faceți din acest produs numărătorul și să semnați numitorul fracției date ca numitor.

Scriem această regulă folosind litere:

Pentru a face această regulă perfect clară, trebuie amintit că o fracție poate fi considerată ca un coeficient. Prin urmare, este util să se compare regula găsită cu regula pentru înmulțirea unui număr cu un coeficient, care a fost stabilită în § 38

Trebuie reținut că înainte de a efectua înmulțirea, ar trebui să faceți (dacă este posibil) tăieturi, De exemplu:

4. Înmulțirea unei fracții cu o fracție.Înmulțirea unei fracții cu o fracție are aceeași semnificație ca și înmulțirea unui număr întreg cu o fracție, adică atunci când înmulți o fracție cu o fracție, trebuie să găsești fracția în multiplicatorul din prima fracție (multiplicatorul).

Și anume, înmulțirea a 3/4 cu 1/2 (jumătate) înseamnă a găsi jumătate din 3/4.

Cum se înmulțește o fracție cu o fracție?

Să luăm un exemplu: de 3/4 ori 5/7. Aceasta înseamnă că trebuie să găsiți 5/7 din 3/4. Găsiți primul 1/7 din 3/4 și apoi 5/7

1/7 din 3/4 ar fi exprimat astfel:

5 / 7 numerele 3 / 4 vor fi exprimate astfel:

Prin urmare,

Un alt exemplu: de 5/8 ori 4/9.

1/9 din 5/8 este ,

4/9 numerele 5/8 sunt .

Prin urmare,

Din aceste exemple se poate deduce următoarea regulă:

Pentru a înmulți o fracție cu o fracție, trebuie să înmulțiți numărătorul cu numărătorul și numitorul cu numitorul și faceți din primul produs numărătorul și al doilea produs numitorul produsului.

Aceasta este regula în vedere generala se poate scrie asa:

La înmulțire, este necesar să se facă (dacă este posibil) reduceri. Luați în considerare exemple:

5. Înmulțirea numerelor mixte. Deoarece numerele mixte pot fi înlocuite cu ușurință cu fracții improprii, această circumstanță este de obicei folosită la înmulțirea numerelor mixte. Aceasta înseamnă că în acele cazuri în care multiplicatorul, sau multiplicatorul sau ambii factori sunt exprimați ca numere mixte, atunci aceștia sunt înlocuiți cu fracții improprii. Înmulțiți, de exemplu, numere mixte: 2 1/2 și 3 1/5. Transformăm fiecare dintre ele într-o fracție improprie și apoi vom înmulți fracțiile rezultate după regula înmulțirii unei fracții cu o fracție:

Regulă. Pentru a înmulți numere mixte, trebuie mai întâi să le convertiți în fracții improprii și apoi să înmulțiți conform regulii de înmulțire a unei fracții cu o fracție.

Notă. Dacă unul dintre factori este un întreg, atunci înmulțirea poate fi efectuată pe baza legii distribuției după cum urmează:

6. Conceptul de interes. La rezolvarea problemelor și la efectuarea diferitelor calcule practice, folosim tot felul de fracții. Dar trebuie avut în vedere că multe cantități admit nu oricare, ci subdiviziuni naturale pentru ele. De exemplu, puteți lua o sutime (1/100) dintr-o rublă, va fi un ban, două sutimi sunt 2 copeici, trei sutimi sunt 3 copeici. Puteți lua 1/10 din rublă, va fi „10 copeici, sau un ban. Puteți lua un sfert de rublă, adică 25 de copeici, jumătate de rublă, adică 50 de copeici (cincizeci de copeici). Dar practic nu Nu luați, de exemplu, 2/7 ruble, deoarece rubla nu este împărțită în șapte.

Unitatea de măsură a greutății, adică kilogramul, permite, în primul rând, subdiviziuni zecimale, de exemplu, 1/10 kg sau 100 g. Și astfel de fracții de kilogram ca 1/6, 1/11, 1 /13 sunt mai puțin frecvente.

În general, măsurile noastre (metrice) sunt zecimale și permit subdiviziuni zecimale.

Cu toate acestea, trebuie remarcat faptul că este extrem de util și convenabil într-o mare varietate de cazuri să folosiți aceeași metodă (uniformă) de subdivizare a cantităților. Mulți ani de experiență au arătat că o astfel de împărțire bine justificată este diviziunea „sutimelor”. Să luăm în considerare câteva exemple legate de cele mai diverse domenii ale practicii umane.

1. Prețul cărților a scăzut cu 12/100 din prețul anterior.

Exemplu. Prețul anterior al cărții este de 10 ruble. Ea a scăzut cu 1 rublă. 20 cop.

2. Băncile de economii plătesc în cursul anului deponenților 2/100 din suma investită în economii.

Exemplu. 500 de ruble sunt puse în casierie, venitul din această sumă pentru anul este de 10 ruble.

3. Numărul absolvenților unei școli a fost de 5/100 din numărul total de elevi.

EXEMPLU La școală au studiat doar 1.200 de elevi, dintre care 60 au absolvit școala.

Sutimea unui număr se numește procent..

Cuvântul „procent” este împrumutat din limba latină, iar rădăcina lui „cent” înseamnă o sută. Împreună cu prepoziția (pro centum), acest cuvânt înseamnă „pentru o sută”. Sensul acestei expresii rezultă din faptul că inițial în Roma antică dobânda era banii pe care debitorul îi plătea împrumutătorului „pentru fiecare sută”. Cuvântul „cent” se aude în cuvinte atât de familiare: centner (o sută de kilograme), centimetru (se spune centimetru).

De exemplu, în loc să spunem că fabrica a produs 1/100 din toate produsele produse de ea în cursul lunii trecute, vom spune acest lucru: fabrica a produs un la sută din rebuturi în ultima lună. În loc să spunem: fabrica a produs cu 4/100 de produse mai multe decât planul stabilit, vom spune: uzina a depășit planul cu 4 la sută.

Exemplele de mai sus pot fi exprimate diferit:

1. Prețul cărților a scăzut cu 12 la sută față de prețul anterior.

2. Băncile de economii plătesc deponenților 2 la sută pe an din suma investită în economii.

3. Numărul absolvenților unei școli a fost de 5 la sută din numărul tuturor elevilor din școală.

Pentru a scurta litera, se obișnuiește să scrieți semnul% în locul cuvântului „procent”.

Totuși, trebuie reținut că semnul % nu este de obicei scris în calcule, el poate fi scris în enunțul problemei și în rezultatul final. Când efectuați calcule, trebuie să scrieți o fracție cu numitorul 100 în loc de un număr întreg cu această pictogramă.

Trebuie să puteți înlocui un număr întreg cu pictograma specificată cu o fracție cu un numitor de 100:

Dimpotrivă, trebuie să vă obișnuiți să scrieți un număr întreg cu pictograma indicată în loc de o fracție cu numitorul 100:

7. Găsirea procentelor unui număr dat.

Sarcina 1.Școala a primit 200 de metri cubi. m lemn de foc, cu lemn de foc de mesteacan 30%. Cât lemn de mesteacăn era acolo?

Semnificația acestei probleme este că lemnul de foc de mesteacăn era doar o parte din lemnul de foc care a fost livrat școlii, iar această parte este exprimată ca o fracțiune de 30 / 100. Deci, ne confruntăm cu sarcina de a găsi o fracție dintr-un număr. Pentru a o rezolva, trebuie să înmulțim 200 cu 30 / 100 (sarcinile pentru găsirea fracției dintr-un număr se rezolvă prin înmulțirea unui număr cu o fracție.).

Deci 30% din 200 este egal cu 60.

Fracția 30 / 100 , întâlnită în această problemă, permite o reducere cu 10. Ar fi posibil să se efectueze această reducere de la bun început; soluția problemei nu s-ar schimba.

Sarcina 2.În tabără erau 300 de copii de diferite vârste. Copiii de 11 ani au fost 21%, copiii de 12 ani au fost 61% și în final cei de 13 ani au fost 18%. Câți copii de fiecare vârstă erau în tabără?

În această problemă, trebuie să efectuați trei calcule, adică să găsiți succesiv numărul de copii de 11 ani, apoi de 12 ani și, în final, de 13 ani.

Deci, aici va fi necesar să găsiți o fracție dintr-un număr de trei ori. S-o facem:

1) Câți copii aveau 11 ani?

2) Câți copii aveau 12 ani?

3) Câți copii aveau 13 ani?

După rezolvarea problemei, este util să adăugați numerele găsite; suma lor ar trebui să fie 300:

63 + 183 + 54 = 300

De asemenea, ar trebui să acordați atenție faptului că suma procentelor date în starea problemei este 100:

21% + 61% + 18% = 100%

Acest lucru sugerează că numărul total de copii din tabără a fost considerat 100%.

3 a da cha 3. Muncitorul primea 1.200 de ruble pe lună. Dintre aceștia, a cheltuit 65% pe mâncare, 6% pe un apartament și încălzire, 4% pe gaz, electricitate și radio, 10% pe nevoi culturale și 15% a economisit. Câți bani au fost cheltuiți pentru nevoile indicate în sarcină?

Pentru a rezolva această problemă, trebuie să găsiți de 5 ori o fracțiune din numărul 1200. Să o facem.

1) Câți bani se cheltuiesc pe mâncare? Sarcina spune că această cheltuială reprezintă 65% din toate câștigurile, adică 65/100 din numărul 1.200. Să facem calculul:

2) Câți bani s-au plătit pentru un apartament cu încălzire? Argumentând ca și precedentul, ajungem la următorul calcul:

3) Câți bani ați plătit pentru gaz, electricitate și radio?

4) Câți bani se cheltuiesc pentru nevoi culturale?

5) Câți bani a economisit muncitorul?

Pentru verificare, este util să adăugați numerele găsite în aceste 5 întrebări. Suma ar trebui să fie de 1.200 de ruble. Toate câștigurile sunt luate ca 100%, ceea ce este ușor de verificat prin adunarea procentelor indicate în declarația problemei.

Am rezolvat trei probleme. În ciuda faptului că aceste sarcini erau despre lucruri diferite (livrarea lemnelor de foc pentru școală, numărul de copii de diferite vârste, cheltuielile muncitorului), acestea au fost rezolvate în același mod. Acest lucru s-a întâmplat deoarece în toate sarcinile a fost necesar să se găsească câteva procente din numerele date.

§ 90. Împărțirea fracțiilor.

Când studiem împărțirea fracțiilor, vom lua în considerare următoarele întrebări:

1. Împărțiți un număr întreg la un număr întreg.
2. Împărțirea unei fracții cu un număr întreg
3. Împărțirea unui număr întreg cu o fracție.
4. Împărțirea unei fracții cu o fracție.
5. Împărțirea numerelor mixte.
6. Aflarea unui număr având în vedere fracția sa.
7. Găsirea unui număr după procentajul său.

Să le luăm în considerare secvenţial.

1. Împărțiți un număr întreg la un număr întreg.

După cum sa indicat în secțiunea privind numerele întregi, împărțirea este acțiunea constând în faptul că, dat fiind produsul a doi factori (dividend) și unul dintre acești factori (divizor), se găsește un alt factor.

Împărțirea unui număr întreg cu un număr întreg am considerat-o în departamentul numerelor întregi. Am întâlnit acolo două cazuri de împărțire: împărțirea fără rest, sau „în întregime” (150: 10 = 15), și împărțirea cu rest (100: 9 = 11 și 1 în rest). Putem spune, așadar, că în domeniul numerelor întregi, împărțirea exactă nu este întotdeauna posibilă, deoarece dividendul nu este întotdeauna produsul dintre divizor și întreg. După introducerea înmulțirii cu o fracție, putem considera ca posibil orice caz de împărțire a numerelor întregi (se exclude doar împărțirea cu zero).

De exemplu, împărțirea lui 7 la 12 înseamnă a găsi un număr al cărui produs înmulțit cu 12 ar fi 7. Acest număr este fracția 7/12 deoarece 7/12 12 = 7. Un alt exemplu: 14: 25 = 14/25 deoarece 14/25 25 = 14.

Astfel, pentru a împărți un număr întreg la un număr întreg, trebuie să faceți o fracție, al cărei numărător este egal cu dividendul, iar numitorul este divizorul.

2. Împărțirea unei fracții cu un număr întreg.

Împărțiți fracția 6 / 7 la 3. După definiția împărțirii dată mai sus, avem aici produsul (6 / 7) și unul dintre factorii (3); este necesar să se găsească un astfel de al doilea factor care, atunci când este înmulțit cu 3, ar da produsul dat 6 / 7. Evident, ar trebui să fie de trei ori mai mic decât acest produs. Aceasta înseamnă că sarcina stabilită în fața noastră a fost să reducem fracția 6/7 de 3 ori.

Știm deja că reducerea unei fracții se poate face fie prin scăderea numărătorului, fie prin creșterea numitorului. Prin urmare, puteți scrie:

În acest caz, numărătorul 6 este divizibil cu 3, deci numărătorul trebuie redus de 3 ori.

Să luăm un alt exemplu: 5 / 8 împărțit la 2. Aici numărătorul 5 nu este divizibil cu 2, ceea ce înseamnă că numitorul va trebui înmulțit cu acest număr:

Pe baza acestui fapt, putem enunța regula: Pentru a împărți o fracție la un întreg, trebuie să împărțiți numărătorul fracției la acel număr întreg(daca este posibil), lăsând același numitor, sau înmulțiți numitorul fracției cu acest număr, rămânând același numărător.

3. Împărțirea unui număr întreg cu o fracție.

Să fie necesar să se împartă 5 la 1 / 2, adică să se găsească un număr care, după înmulțirea cu 1 / 2, va da produsul 5. Evident, acest număr trebuie să fie mai mare decât 5, deoarece 1 / 2 este o fracție proprie, iar la înmulțirea unui număr cu o fracție proprie, produsul trebuie să fie mai mic decât multiplicandul. Pentru a fi mai clar, să scriem acțiunile noastre după cum urmează: 5: 1 / 2 = X , deci x 1 / 2 \u003d 5.

Trebuie să găsim un astfel de număr X , care, înmulțit cu 1/2, ar da 5. Deoarece înmulțirea unui anumit număr cu 1/2 înseamnă găsirea a 1/2 din acest număr, atunci, prin urmare, 1/2 din numărul necunoscut X este 5 și numărul întreg X de două ori mai mult, adică 5 2 \u003d 10.

Deci 5: 1 / 2 = 5 2 = 10

Sa verificam:

Să luăm în considerare încă un exemplu. Să fie necesar să se împartă 6 la 2/3. Să încercăm mai întâi să găsim rezultatul dorit folosind desenul (Fig. 19).

Fig.19

Desenați un segment AB, egal cu 6 din unele unități, și împărțiți fiecare unitate în 3 părți egale. În fiecare unitate, trei treimi (3 / 3) din întregul segment AB este de 6 ori mai mare, adică. e. 18/3. Conectam cu ajutorul unor paranteze mici 18 segmente obtinute din 2; Vor fi doar 9 segmente. Aceasta înseamnă că fracția 2/3 este conținută în b unități de 9 ori, sau, cu alte cuvinte, fracția 2/3 este de 9 ori mai mică decât 6 unități întregi. Prin urmare,

Cum să obțineți acest rezultat fără un desen folosind doar calcule? Vom argumenta după cum urmează: este necesar să împărțim 6 la 2 / 3, adică se cere să răspundem la întrebarea, de câte ori 2 / 3 este conținut în 6. Să aflăm mai întâi: de câte ori este 1 / 3 cuprinse în 6? Într-o unitate întreagă - 3 treimi și în 6 unități - de 6 ori mai mult, adică 18 treimi; pentru a găsi acest număr, trebuie să înmulțim 6 cu 3. Prin urmare, 1/3 este conținut în b unități de 18 ori, iar 2/3 este conținut în b nu de 18 ori, ci jumătate din câte ori, adică 18: 2 = 9. Prin urmare, când împărțim 6 la 2/3 am făcut următoarele:

De aici obținem regula împărțirii unui număr întreg la o fracție. Pentru a împărți un număr întreg la o fracție, trebuie să înmulțiți acest număr întreg cu numitorul fracției date și, făcând din acest produs numărător, să îl împărțiți la numărătorul fracției date.

Scriem regula folosind litere:

Pentru a face această regulă perfect clară, trebuie amintit că o fracție poate fi considerată ca un coeficient. Prin urmare, este util să comparați regula găsită cu regula împărțirii unui număr la un coeficient, care a fost stabilită în § 38. Rețineți că aceeași formulă a fost obținută acolo.

La împărțire, sunt posibile abrevieri, de exemplu:

4. Împărțirea unei fracții cu o fracție.

Să fie necesar să se împartă 3/4 la 3/8. Ce va desemna numărul care va fi obținut în urma împărțirii? Va răspunde la întrebarea de câte ori este conținută fracția 3/8 în fracția 3/4. Pentru a înțelege această problemă, să facem un desen (Fig. 20).

Luați segmentul AB, luați-l ca unitate, împărțiți-l în 4 părți egale și marcați 3 astfel de părți. Segmentul AC va fi egal cu 3/4 din segmentul AB. Să împărțim acum fiecare dintre cele patru segmente inițiale în jumătate, apoi segmentul AB va fi împărțit în 8 părți egale și fiecare astfel de părți va fi egală cu 1/8 din segmentul AB. Conectăm 3 astfel de segmente cu arce, apoi fiecare dintre segmentele AD și DC va fi egal cu 3/8 din segmentul AB. Desenul arată că segmentul egal cu 3/8 este cuprins în segmentul egal cu 3/4 exact de 2 ori; Deci rezultatul împărțirii poate fi scris astfel:

3 / 4: 3 / 8 = 2

Să luăm în considerare încă un exemplu. Să fie necesar să se împartă 15/16 la 3/32:

Putem raționa astfel: trebuie să găsim un număr care, după ce a fost înmulțit cu 3/32, va da un produs egal cu 15/16. Să scriem calculele astfel:

15 / 16: 3 / 32 = X

3 / 32 X = 15 / 16

3/32 număr necunoscut X alcătuiesc 15/16

1/32 număr necunoscut X este ,

32 / 32 de numere X machiaj .

Prin urmare,

Astfel, pentru a împărți o fracție la o fracție, trebuie să înmulțiți numărătorul primei fracții cu numitorul celei de-a doua și să înmulțiți numitorul primei fracții cu numărătorul celei de-a doua și să faceți din primul produs numărătorul și al doilea numitorul.

Să scriem regula folosind litere:

La împărțire, sunt posibile abrevieri, de exemplu:

5. Împărțirea numerelor mixte.

La împărțirea numerelor mixte, acestea trebuie mai întâi convertite în fracții improprii, iar apoi fracțiile rezultate trebuie împărțite conform regulilor de împărțire a numerelor fracționale. Luați în considerare un exemplu:

Convertiți numere mixte în fracții improprii:

Acum să ne împărțim:

Astfel, pentru a împărți numerele mixte, trebuie să le convertiți în fracții improprii și apoi să împărțiți conform regulii de împărțire a fracțiilor.

6. Aflarea unui număr având în vedere fracția sa.

Printre diversele sarcini pe fracții, există uneori acelea în care este dată valoarea unei fracții dintr-un număr necunoscut și este necesar să se găsească acest număr. Acest tip de problemă va fi invers cu problema găsirii unei fracții dintr-un număr dat; acolo a fost dat un număr și a fost necesar să se găsească o fracție din acest număr, aici se dă o fracțiune dintr-un număr și este necesar să se găsească acest număr în sine. Această idee va deveni și mai clară dacă ne întoarcem la rezolvarea acestui tip de problemă.

Sarcina 1.În prima zi, geamurile au vitrat 50 de ferestre, adică 1/3 din toate ferestrele casei construite. Câte ferestre sunt în casa asta?

Decizie. Problema spune că 50 de ferestre cu geam alcătuiesc 1/3 din toate ferestrele casei, ceea ce înseamnă că sunt de 3 ori mai multe ferestre în total, adică.

Casa avea 150 de ferestre.

Sarcina 2. Magazinul a vândut 1.500 kg de făină, ceea ce reprezintă 3/8 din stocul total de făină din magazin. Care a fost rezerva inițială de făină a magazinului?

Decizie. Din starea problemei se vede că cele 1.500 kg de făină vândute constituie 3/8 din stocul total; aceasta înseamnă că 1/8 din acest stoc va fi de 3 ori mai puțin, adică, pentru a-l calcula, trebuie să reduceți 1500 de 3 ori:

1.500: 3 = 500 (adică 1/8 din stoc).

Evident, întregul stoc va fi de 8 ori mai mare. Prin urmare,

500 8 \u003d 4.000 (kg).

Aprovizionarea inițială de făină în magazin a fost de 4.000 kg.

Din luarea în considerare a acestei probleme se poate deduce următoarea regulă.

Pentru a găsi un număr cu o valoare dată a fracției sale, este suficient să împărțiți această valoare la numărătorul fracției și să înmulțiți rezultatul cu numitorul fracției.

Am rezolvat două probleme la găsirea unui număr dat fiind fracția sa. Astfel de probleme, așa cum se vede mai ales din ultima, se rezolvă prin două acțiuni: împărțirea (când se găsește o parte) și înmulțirea (când se găsește întregul număr).

Totuși, după ce am studiat împărțirea fracțiilor, problemele de mai sus pot fi rezolvate într-o singură acțiune și anume: împărțirea cu o fracție.

De exemplu, ultima sarcină poate fi rezolvată într-o singură acțiune ca aceasta:

În viitor, vom rezolva problema găsirii unui număr prin fracția sa într-o singură acțiune - împărțire.

7. Găsirea unui număr după procentajul său.

În aceste sarcini, va trebui să găsiți un număr, cunoscând câteva procente din acest număr.

Sarcina 1. La începutul acestui an, am primit 60 de ruble de la banca de economii. venit din suma pe care am pus-o în economii în urmă cu un an. Cati bani am pus in banca de economii? (Casierele oferă deponenților 2% din venit pe an.)

Sensul problemei este că o anumită sumă de bani a fost pusă de mine într-o bancă de economii și a stat acolo timp de un an. După un an, am primit 60 de ruble de la ea. venit, care este 2/100 din banii pe care i-am pus. Câți bani am depus?

Prin urmare, cunoscând partea acestor bani, exprimată în două moduri (în ruble și în fracții), trebuie să găsim întreaga sumă, încă necunoscută. Aceasta este o problemă obișnuită de a găsi un număr având în vedere fracția sa. Următoarele sarcini sunt rezolvate pe divizie:

Deci, 3.000 de ruble au fost puse în banca de economii.

Sarcina 2.În două săptămâni, pescarii au îndeplinit planul lunar cu 64%, având pregătite 512 tone de pește. Care era planul lor?

Din starea problemei, se știe că pescarii au finalizat o parte din plan. Această parte este egală cu 512 tone, ceea ce reprezintă 64% din plan. Câte tone de pește trebuie recoltate conform planului, nu știm. Rezolvarea problemei va consta în găsirea acestui număr.

Astfel de sarcini sunt rezolvate prin împărțirea:

Deci, conform planului, trebuie să pregătiți 800 de tone de pește.

Sarcina 3. Trenul a mers de la Riga la Moscova. Când a depășit al 276-lea kilometru, unul dintre pasageri l-a întrebat pe conductorul care trecea cât de mult parcurseseră deja. La aceasta dirijorul a răspuns: „Am acoperit deja 30% din întreaga călătorie”. Care este distanța de la Riga la Moscova?

Din starea problemei se poate observa că 30% din călătoria de la Riga la Moscova este de 276 km. Trebuie să găsim întreaga distanță dintre aceste orașe, adică, pentru această parte, găsim întregul:

§ 91. Numerele reciproce. Înlocuirea împărțirii cu înmulțirea.

Luați fracția 2/3 și rearanjați numărătorul în locul numitorului, obținem 3/2. Avem o fracțiune, reciproca acesteia.

Pentru a obține o fracție reciprocă a uneia date, trebuie să puneți numărătorul acesteia în locul numitorului și numitorul în locul numărătorului. În acest fel, putem obține o fracție care este reciproca oricărei fracții. De exemplu:

3/4, invers 4/3; 5/6, invers 6/5

Două fracții care au proprietatea că numărătorul primei este numitorul celei de-a doua și numitorul primei este numărătorul celei de-a doua sunt numite reciproc invers.

Acum să ne gândim la ce fracție va fi reciproca lui 1/2. Evident, va fi 2 / 1, sau doar 2. Căutând reciproca acesteia, avem un număr întreg. Și acest caz nu este izolat; dimpotrivă, pentru toate fracțiile cu numărător de 1 (un), reciprocele vor fi numere întregi, de exemplu:

1 / 3, invers 3; 1/5, invers 5

Întrucât, la căutarea reciprocelor, ne-am întâlnit și cu numere întregi, pe viitor nu vom vorbi despre reciproce, ci despre reciproce.

Să ne dăm seama cum să scriem reciproca unui număr întreg. Pentru fracții, acest lucru se rezolvă simplu: trebuie să puneți numitorul în locul numărătorului. În același mod, puteți obține reciproca unui număr întreg, deoarece orice număr întreg poate avea un numitor de 1. Deci, reciproca lui 7 va fi 1 / 7, deoarece 7 \u003d 7 / 1; pentru numărul 10 inversul este 1 / 10 deoarece 10 = 10 / 1

Această idee poate fi exprimată în alt mod: reciproca unui număr dat se obține prin împărțirea unuia la numărul dat. Această afirmație este valabilă nu numai pentru numere întregi, ci și pentru fracții. Într-adevăr, dacă doriți să scrieți un număr care este reciproca fracției 5 / 9, atunci putem lua 1 și îl împărțim la 5 / 9, adică.

Acum să subliniem unul proprietate numere reciproc reciproce, care ne vor fi utile: produsul numerelor reciproc reciproce este egal cu unu.Într-adevăr:

Folosind această proprietate, putem găsi reciproce în felul următor. Să găsim reciproca lui 8.

Să o notăm cu litera X , apoi 8 X = 1, prin urmare X = 1 / 8 . Să găsim un alt număr, inversul lui 7/12, notăm-l printr-o literă X , apoi 7/12 X = 1, prin urmare X = 1:7 / 12 sau X = 12 / 7 .

Am introdus aici conceptul de numere reciproce pentru a completa puțin informațiile despre împărțirea fracțiilor.

Când împărțim numărul 6 la 3/5, facem următoarele:

Acordați o atenție deosebită expresiei și comparați-o cu cea dată: .

Dacă luăm expresia separat, fără legătură cu cea anterioară, atunci este imposibil să rezolvăm problema de unde provine: de la împărțirea a 6 la 3/5 sau de la înmulțirea a 6 cu 5/3. În ambele cazuri, rezultatul este același. Deci putem spune că împărțirea unui număr la altul poate fi înlocuită prin înmulțirea dividendului cu reciproca divizorului.

Exemplele pe care le oferim mai jos confirmă pe deplin această concluzie.

Conținutul lecției

Adunarea fracțiilor cu aceiași numitori

Adunarea fracțiilor este de două tipuri:

1. Adunarea fracțiilor cu aceiași numitori
2. Adunarea fracțiilor cu numitori diferiți

Să începem cu adunarea fracțiilor cu aceiași numitori. Totul este simplu aici. Pentru a adăuga fracții cu aceiași numitori, trebuie să adăugați numărătorii lor și să lăsați numitorul neschimbat. De exemplu, să adăugăm fracțiile și . Adunăm numărătorii și lăsăm numitorul neschimbat:

Acest exemplu poate fi ușor de înțeles dacă ne gândim la o pizza care este împărțită în patru părți. Dacă adăugați pizza la pizza, obțineți pizza:

Exemplul 2 Adăugați fracții și .

Răspunsul este o fracție improprie. Dacă vine sfârșitul sarcinii, atunci se obișnuiește să scapi de fracțiile improprii. Pentru a scăpa de o fracție necorespunzătoare, trebuie să selectați întreaga parte din ea. În cazul nostru, partea întreagă este alocată cu ușurință - doi împărțiți la doi este egal cu unul:

Acest exemplu poate fi ușor de înțeles dacă ne gândim la o pizza care este împărțită în două părți. Dacă adăugați mai multe pizza la pizza, obțineți o pizza întreagă:

Exemplul 3. Adăugați fracții și .

Din nou, adăugați numărătorii și lăsați numitorul neschimbat:

Acest exemplu poate fi ușor de înțeles dacă ne gândim la o pizza care este împărțită în trei părți. Dacă adăugați mai multe pizza la pizza, obțineți pizza:

Exemplul 4 Găsiți valoarea unei expresii

Acest exemplu este rezolvat exact în același mod ca și cele precedente. Număratorii trebuie adăugați și numitorul lăsat neschimbat:

Să încercăm să descriem soluția noastră folosind o imagine. Dacă adăugați pizza la o pizza și adăugați mai multe pizza, obțineți 1 pizza întreagă și mai multe pizza.

După cum puteți vedea, adăugarea fracțiilor cu aceiași numitori nu este dificilă. Este suficient să înțelegeți următoarele reguli:

1. Pentru a adăuga fracții cu același numitor, trebuie să adăugați numărătorii lor și să lăsați numitorul neschimbat;

Adunarea fracțiilor cu numitori diferiți

Acum vom învăța cum să adunăm fracții cu diferiți numitori. Când se adună fracții, numitorii acelor fracții trebuie să fie aceiași. Dar nu sunt întotdeauna la fel.

De exemplu, fracțiile pot fi adăugate deoarece au aceiași numitori.

Dar fracțiile nu pot fi adăugate deodată, deoarece aceste fracții au numitori diferiți. În astfel de cazuri, fracțiile trebuie reduse la același numitor (comun).

Există mai multe moduri de a reduce fracțiile la același numitor. Astăzi vom lua în considerare doar una dintre ele, deoarece restul metodelor pot părea complicate pentru un începător.

Esența acestei metode constă în faptul că se caută primul (LCM) dintre numitorii ambelor fracții. Apoi LCM se împarte la numitorul primei fracții și se obține primul factor suplimentar. Ei fac același lucru cu a doua fracție - LCM este împărțit la numitorul celei de-a doua fracții și se obține al doilea factor suplimentar.

Apoi numărătorii și numitorii fracțiilor sunt înmulțiți cu factorii lor suplimentari. Ca urmare a acestor acțiuni, fracțiile care au numitori diferiți se transformă în fracții care au aceiași numitori. Și știm deja cum să adunăm astfel de fracții.

Exemplul 1. Adăugați fracții și

În primul rând, găsim cel mai mic multiplu comun al numitorilor ambelor fracții. Numitorul primei fracții este numărul 3, iar numitorul celei de-a doua fracții este numărul 2. Cel mai mic multiplu comun al acestor numere este 6

LCM (2 și 3) = 6

Acum revenim la fracții și . În primul rând, împărțim LCM la numitorul primei fracții și obținem primul factor suplimentar. LCM este numărul 6, iar numitorul primei fracții este numărul 3. Împărțind 6 la 3, obținem 2.

Numărul rezultat 2 este primul factor suplimentar. O notăm până la prima fracție. Pentru a face acest lucru, facem o mică linie oblică deasupra fracției și notăm factorul suplimentar găsit deasupra ei:

Facem același lucru cu a doua fracție. Împărțim LCM la numitorul celei de-a doua fracții și obținem al doilea factor suplimentar. LCM este numărul 6, iar numitorul celei de-a doua fracții este numărul 2. Împărțind 6 la 2, obținem 3.

Numărul rezultat 3 este al doilea factor suplimentar. O scriem în a doua fracție. Din nou, facem o linie oblică mică deasupra celei de-a doua fracții și scriem factorul suplimentar găsit deasupra ei:

Acum suntem gata să adăugăm. Rămâne să înmulțiți numărătorii și numitorii fracțiilor cu factorii lor suplimentari:

Privește cu atenție la ce am ajuns. Am ajuns la concluzia că fracțiile care aveau numitori diferiți s-au transformat în fracții care aveau aceiași numitori. Și știm deja cum să adunăm astfel de fracții. Să completăm acest exemplu până la sfârșit:

Așa se termină exemplul. Pentru a adăuga se pare.

Să încercăm să descriem soluția noastră folosind o imagine. Dacă adăugați pizza la o pizza, obțineți o pizza întreagă și o altă șesime dintr-o pizza:

Reducerea fracțiilor la același numitor (comun) poate fi reprezentată și folosind o imagine. Aducând fracțiile și la un numitor comun, obținem fracțiile și . Aceste două fracții vor fi reprezentate de aceleași felii de pizza. Singura diferență va fi că de data aceasta vor fi împărțite în părți egale (reduse la același numitor).

Primul desen arată o fracție (patru piese din șase), iar a doua imagine arată o fracție (trei piese din șase). Punând aceste piese împreună obținem (șapte bucăți din șase). Această fracție este incorectă, așa că am evidențiat partea întreagă din ea. Rezultatul a fost (o pizza întreagă și o altă pizza a șasea).

Rețineți că am pictat acest exemplu prea detaliat. În instituțiile de învățământ nu este obișnuit să scrieți într-o manieră atât de detaliată. Trebuie să puteți găsi rapid LCM-ul ambilor numitori și al factorilor suplimentari la aceștia, precum și să înmulțiți rapid factorii suplimentari găsiți cu numărătorii și numitorii dvs. În timp ce suntem la școală, ar trebui să scriem acest exemplu după cum urmează:

Dar există și cealaltă față a monedei. Dacă nu se fac note detaliate în primele etape ale studiului matematicii, atunci întrebări de acest fel „De unde vine acel număr?”, „De ce fracțiile se transformă brusc în fracții complet diferite? «.

Pentru a facilita adăugarea fracțiilor cu numitori diferiți, puteți folosi următoarele instrucțiuni pas cu pas:

1. Aflați LCM al numitorilor fracțiilor;
2. Împărțiți LCM la numitorul fiecărei fracții și obțineți un multiplicator suplimentar pentru fiecare fracție;
3. Înmulțiți numărătorii și numitorii fracțiilor cu factorii suplimentari ai acestora;
4. Adaugă fracții care au aceiași numitori;
5. Dacă răspunsul s-a dovedit a fi o fracție necorespunzătoare, atunci selectați întreaga sa parte;

Exemplul 2 Găsiți valoarea unei expresii .

Să folosim instrucțiunile de mai sus.

Pasul 1. Aflați LCM al numitorilor fracțiilor

Aflați LCM al numitorilor ambelor fracții. Numitorii fracțiilor sunt numerele 2, 3 și 4

Pasul 2. Împărțiți LCM la numitorul fiecărei fracții și obțineți un multiplicator suplimentar pentru fiecare fracție

Împărțiți LCM la numitorul primei fracții. LCM este numărul 12, iar numitorul primei fracții este numărul 2. Împărțim 12 la 2, obținem 6. Primul factor suplimentar este 6. Îl scriem peste prima fracție:

Acum împărțim LCM la numitorul celei de-a doua fracții. LCM este numărul 12, iar numitorul celei de-a doua fracții este numărul 3. Împărțim 12 la 3, obținem 4. Primim al doilea factor suplimentar 4. Îl scriem peste a doua fracție:

Acum împărțim LCM la numitorul celei de-a treia fracții. LCM este numărul 12, iar numitorul celei de-a treia fracții este numărul 4. Împărțim 12 la 4, obținem 3. Am obținut al treilea factor suplimentar 3. Îl scriem peste a treia fracție:

Pasul 3. Înmulțiți numărătorii și numitorii fracțiilor cu factorii suplimentari

Înmulțim numărătorii și numitorii cu factorii noștri suplimentari:

Pasul 4. Adaugă fracții care au aceiași numitori

Am ajuns la concluzia că fracțiile care aveau numitori diferiți s-au transformat în fracții care au aceiași numitori (comuni). Rămâne să adunăm aceste fracții. Aduna:

Adăugarea nu se potrivea pe o singură linie, așa că am mutat expresia rămasă pe linia următoare. Acest lucru este permis la matematică. Când o expresie nu se încadrează pe o linie, se trece pe următoarea linie și este necesar să se pună un semn egal (=) la sfârșitul primei rânduri și la începutul unei noi linii. Semnul egal de pe a doua linie indică faptul că aceasta este o continuare a expresiei care a fost pe prima linie.

Pasul 5. Dacă răspunsul s-a dovedit a fi o fracție necorespunzătoare, atunci selectați întreaga parte din el

Răspunsul nostru este o fracție improprie. Trebuie să evidențiem întreaga parte a acesteia. Subliniem:

Am un răspuns

Scăderea fracțiilor cu aceiași numitori

Există două tipuri de scădere de fracții:

1. Scăderea fracțiilor cu aceiași numitori
2. Scăderea fracțiilor cu numitori diferiți

Mai întâi, să învățăm cum să scădem fracții cu aceiași numitori. Totul este simplu aici. Pentru a scădea altul dintr-o fracție, trebuie să scădeți numărătorul celei de-a doua fracții din numărătorul primei fracții și să lăsați numitorul același.

De exemplu, să găsim valoarea expresiei . Pentru a rezolva acest exemplu, este necesar să scădem numărătorul celei de-a doua fracții din numărătorul primei fracții și să lăsați numitorul neschimbat. Să o facem:

Acest exemplu poate fi ușor de înțeles dacă ne gândim la o pizza care este împărțită în patru părți. Dacă tăiați pizza dintr-o pizza, obțineți pizza:

Exemplul 2 Găsiți valoarea expresiei.

Din nou, de la numărătorul primei fracții, scădeți numărătorul celei de-a doua fracții și lăsați numitorul neschimbat:

Acest exemplu poate fi ușor de înțeles dacă ne gândim la o pizza care este împărțită în trei părți. Dacă tăiați pizza dintr-o pizza, obțineți pizza:

Exemplul 3 Găsiți valoarea unei expresii

Acest exemplu este rezolvat exact în același mod ca și cele precedente. Din numărătorul primei fracții, trebuie să scădeți numărătorii fracțiilor rămase:

După cum puteți vedea, nu este nimic complicat în scăderea fracțiilor cu aceiași numitori. Este suficient să înțelegeți următoarele reguli:

1. Pentru a scădea altul dintr-o fracție, trebuie să scădeți numărătorul celei de-a doua fracții din numărătorul primei fracții și să lăsați numitorul neschimbat;
2. Dacă răspunsul s-a dovedit a fi o fracție necorespunzătoare, atunci trebuie să selectați întreaga parte din el.

Scăderea fracțiilor cu numitori diferiți

De exemplu, o fracție poate fi scăzută dintr-o fracție, deoarece aceste fracții au aceiași numitori. Dar o fracție nu poate fi scăzută dintr-o fracție, deoarece aceste fracții au numitori diferiți. În astfel de cazuri, fracțiile trebuie reduse la același numitor (comun).

Numitorul comun se găsește după același principiu pe care l-am folosit la adunarea fracțiilor cu numitori diferiți. În primul rând, găsiți LCM al numitorilor ambelor fracții. Apoi LCM se împarte la numitorul primei fracții și se obține primul factor suplimentar, care se scrie peste prima fracție. În mod similar, LCM este împărțit la numitorul celei de-a doua fracții și se obține un al doilea factor suplimentar, care se scrie peste a doua fracție.

Fracțiile sunt apoi înmulțite cu factorii lor suplimentari. În urma acestor operații, fracțiile care au numitori diferiți se transformă în fracții care au aceiași numitori. Și știm deja cum să scădem astfel de fracții.

Exemplul 1 Găsiți valoarea unei expresii:

Aceste fracții au numitori diferiți, așa că trebuie să le aduceți la același numitor (comun).

În primul rând, găsim LCM al numitorilor ambelor fracții. Numitorul primei fracții este numărul 3, iar numitorul celei de-a doua fracții este numărul 4. Cel mai mic multiplu comun al acestor numere este 12

LCM (3 și 4) = 12

Acum revenim la fracții și

Să găsim un factor suplimentar pentru prima fracție. Pentru a face acest lucru, împărțim LCM la numitorul primei fracții. LCM este numărul 12, iar numitorul primei fracții este numărul 3. Împărțim 12 la 3, obținem 4. Scriem cele patru peste prima fracție:

Facem același lucru cu a doua fracție. Împărțim LCM la numitorul celei de-a doua fracții. LCM este numărul 12, iar numitorul celei de-a doua fracții este numărul 4. Împărțiți 12 la 4, obținem 3. Scrieți un triplu peste a doua fracție:

Acum suntem gata de scădere. Rămâne să înmulțim fracțiile cu factorii lor suplimentari:

Am ajuns la concluzia că fracțiile care aveau numitori diferiți s-au transformat în fracții care aveau aceiași numitori. Și știm deja cum să scădem astfel de fracții. Să completăm acest exemplu până la sfârșit:

Am un răspuns

Să încercăm să descriem soluția noastră folosind o imagine. Dacă tăiați pizza dintr-o pizza, obțineți pizza.

Aceasta este versiunea detaliată a soluției. Fiind la școală, ar trebui să rezolvăm acest exemplu într-un mod mai scurt. O astfel de soluție ar arăta astfel:

Reducerea fracțiilor și la un numitor comun poate fi reprezentată și folosind o imagine. Aducând aceste fracții la un numitor comun, obținem fracțiile și . Aceste fracții vor fi reprezentate de aceleași felii de pizza, dar de data aceasta vor fi împărțite în aceleași fracții (reduse la același numitor):

Primul desen arată o fracție (opt bucăți din douăsprezece), iar a doua imagine arată o fracțiune (trei piese din douăsprezece). Tăiind trei bucăți din opt bucăți, obținem cinci bucăți din douăsprezece. Fracția descrie aceste cinci piese.

Exemplul 2 Găsiți valoarea unei expresii

Aceste fracții au numitori diferiți, așa că mai întâi trebuie să le aduceți la același numitor (comun).

Aflați LCM al numitorilor acestor fracții.

Numitorii fracțiilor sunt numerele 10, 3 și 5. Cel mai mic multiplu comun al acestor numere este 30

LCM(10, 3, 5) = 30

Acum găsim factori suplimentari pentru fiecare fracție. Pentru a face acest lucru, împărțim LCM la numitorul fiecărei fracții.

Să găsim un factor suplimentar pentru prima fracție. LCM este numărul 30, iar numitorul primei fracții este numărul 10. Împărțind 30 la 10, obținem primul factor suplimentar 3. Îl scriem peste prima fracție:

Acum găsim un factor suplimentar pentru a doua fracție. Împărțiți LCM la numitorul celei de-a doua fracții. LCM este numărul 30, iar numitorul celei de-a doua fracții este numărul 3. Împărțim 30 la 3, obținem al doilea factor suplimentar 10. Îl scriem peste a doua fracție:

Acum găsim un factor suplimentar pentru a treia fracție. Împărțiți LCM la numitorul celei de-a treia fracții. LCM este numărul 30, iar numitorul celei de-a treia fracții este numărul 5. Împărțim 30 la 5, obținem al treilea factor suplimentar 6. Îl scriem peste a treia fracție:

Acum totul este gata pentru scădere. Rămâne să înmulțim fracțiile cu factorii lor suplimentari:

Am ajuns la concluzia că fracțiile care aveau numitori diferiți s-au transformat în fracții care au aceiași numitori (comuni). Și știm deja cum să scădem astfel de fracții. Să terminăm acest exemplu.

Continuarea exemplului nu se va potrivi pe o linie, așa că mutam continuarea pe următoarea linie. Nu uitați de semnul egal (=) pe noua linie:

Răspunsul s-a dovedit a fi o fracțiune corectă și totul pare să ni se potrivească, dar este prea greoi și urât. Ar trebui să o facem mai ușor. Ce se poate face? Puteți reduce această fracție.

Pentru a reduce o fracție, trebuie să împărțiți numărătorul și numitorul acesteia la (mcd) numerele 20 și 30.

Deci, găsim GCD-ul numerelor 20 și 30:

Acum revenim la exemplul nostru și împărțim numărătorul și numitorul fracției la GCD găsit, adică la 10

Am un răspuns

Înmulțirea unei fracții cu un număr

Pentru a înmulți o fracție cu un număr, trebuie să înmulțiți numărătorul fracției date cu acest număr și să lăsați numitorul același.

Exemplul 1. Înmulțiți fracția cu numărul 1.

Înmulțiți numărătorul fracției cu numărul 1

Intrarea poate fi înțeleasă ca durând o jumătate de dată. De exemplu, dacă iei pizza 1 dată, primești pizza

Din legile înmulțirii, știm că dacă multiplicandul și multiplicatorul sunt interschimbați, atunci produsul nu se va schimba. Dacă expresia este scrisă ca , atunci produsul va fi tot egal cu . Din nou, regula pentru înmulțirea unui întreg și a unei fracții funcționează:

Această intrare poate fi înțeleasă ca ocupând jumătate din unitate. De exemplu, dacă există 1 pizza întreagă și luăm jumătate din ea, atunci vom avea pizza:

Exemplul 2. Găsiți valoarea unei expresii

Înmulțiți numărătorul fracției cu 4

Răspunsul este o fracție improprie. Să luăm o întreagă parte din el:

Expresia poate fi înțeleasă ca luând două sferturi de 4 ori. De exemplu, dacă iei pizza de 4 ori, primești două pizza întregi.

Și dacă schimbăm multiplicandul și multiplicatorul pe alocuri, obținem expresia. De asemenea, va fi egal cu 2. Această expresie poate fi înțeleasă ca luând două pizza din patru pizza întregi:

Înmulțirea fracțiilor

Pentru a înmulți fracțiile, trebuie să le înmulțiți numărătorii și numitorii. Dacă răspunsul este o fracție necorespunzătoare, trebuie să selectați întreaga parte din ea.

Exemplul 1 Găsiți valoarea expresiei.

Am un răspuns. Este de dorit să se reducă această fracție. Fracția poate fi redusă cu 2. Apoi soluția finală va lua următoarea formă:

Expresia poate fi înțeleasă ca luarea unei pizza dintr-o jumătate de pizza. Să presupunem că avem jumătate de pizza:

Cum să iau două treimi din această jumătate? Mai întâi trebuie să împărțiți această jumătate în trei părți egale:

Și ia două din aceste trei bucăți:

Vom lua pizza. Amintiți-vă cum arată o pizza împărțită în trei părți:

O felie din această pizza și cele două felii pe care le-am luat vor avea aceleași dimensiuni:

Cu alte cuvinte, vorbim de aceeași dimensiune a pizza. Prin urmare, valoarea expresiei este

Exemplul 2. Găsiți valoarea unei expresii

Înmulțiți numărătorul primei fracții cu numărătorul celei de-a doua fracții și numitorul primei fracții cu numitorul celei de-a doua fracții:

Răspunsul este o fracție improprie. Să luăm o întreagă parte din el:

Exemplul 3 Găsiți valoarea unei expresii

Înmulțiți numărătorul primei fracții cu numărătorul celei de-a doua fracții și numitorul primei fracții cu numitorul celei de-a doua fracții:

Răspunsul s-a dovedit a fi o fracție corectă, dar va fi bine dacă se reduce. Pentru a reduce această fracție, trebuie să împărțiți numărătorul și numitorul acestei fracții la cel mai mare divizor comun (MCD) al numerelor 105 și 450.

Deci, să găsim GCD-ul numerelor 105 și 450:

Acum împărțim numărătorul și numitorul răspunsului nostru la GCD pe care l-am găsit acum, adică la 15

Reprezentarea unui număr întreg sub formă de fracție

Orice număr întreg poate fi reprezentat ca o fracție. De exemplu, numărul 5 poate fi reprezentat ca . Din aceasta, cei cinci nu își vor schimba sensul, deoarece expresia înseamnă „numărul cinci împărțit la unu”, iar acesta, după cum știți, este egal cu cinci:

Numerele inversate

Acum ne vom familiariza cu un subiect foarte interesant în matematică. Se numește „numere inverse”.

Definiție. Inversa la numărA este numărul care, atunci când este înmulțit cuA oferă o unitate.

Să substituim în această definiție în loc de o variabilă A numărul 5 și încercați să citiți definiția:

Inversa la număr 5 este numărul care, atunci când este înmulțit cu 5 oferă o unitate.

Este posibil să găsim un număr care, înmulțit cu 5, dă unul? Se pare că poți. Să reprezentăm cinci ca o fracție:

Apoi înmulțiți această fracție cu ea însăși, schimbați doar numărătorul și numitorul. Cu alte cuvinte, să înmulțim fracția cu ea însăși, doar inversată:

Care va fi rezultatul acestui lucru? Dacă continuăm să rezolvăm acest exemplu, obținem unul:

Aceasta înseamnă că inversul numărului 5 este numărul, deoarece atunci când 5 este înmulțit cu unu, se obține unul.

Reciproca poate fi găsită și pentru orice alt număr întreg.

Puteți găsi, de asemenea, reciproca pentru orice altă fracție. Pentru a face acest lucru, este suficient să-l răsturnați.

Împărțirea unei fracții cu un număr

Să presupunem că avem jumătate de pizza:

Să o împărțim în mod egal între doi. Câte pizza va primi fiecare?

Se poate observa că după împărțirea jumătate din pizza s-au obținut două bucăți egale, fiecare alcătuind câte o pizza. Deci toată lumea primește o pizza.

Împărțirea fracțiilor se face folosind reciproce. Reciprocele vă permit să înlocuiți împărțirea cu înmulțirea.

Pentru a împărți o fracție la un număr, trebuie să înmulțiți această fracție cu reciproca divizorului.

Folosind această regulă, vom nota împărțirea jumătății noastre de pizza în două părți.

Deci, trebuie să împărțiți fracția la numărul 2. Aici dividendul este o fracție, iar divizorul este 2.

Pentru a împărți o fracție la numărul 2, trebuie să înmulțiți această fracție cu inversul divizorului 2. Reciprocul divizorului 2 este o fracție. Deci trebuie să înmulțiți cu

În această lecție, vom lua în considerare adunarea și scăderea fracțiilor algebrice cu aceiași numitori. Știm deja cum să adunăm și să scădem fracții comune cu aceiași numitori. Se pare că fracțiile algebrice urmează aceleași reguli. Abilitatea de a lucra cu fracții cu aceiași numitori este una dintre pietrele de temelie în învățarea regulilor de lucru cu fracții algebrice. În special, înțelegerea acestui subiect va facilita stăpânirea unui subiect mai complex - adunarea și scăderea fracțiilor cu numitori diferiți. Ca parte a lecției, vom studia regulile de adunare și scădere a fracțiilor algebrice cu aceiași numitori și vom analiza o serie de exemple tipice

Regula de adunare și scădere a fracțiilor algebrice cu aceiași numitori

Sfor-mu-li-ru-em pr-vi-lo slo-zhe-niya (you-chi-ta-niya) al-geb-ra-and-che-dro-bey with one-on-to-you - mi-know-on-te-la-mi (este co-pa-yes-et cu dreapta analogică pentru obișnuit-dar-ven-nyh-dr-bay): Asta este pentru adăugare sau you-chi-ta-niya al-geb-ra-and-che-dro-bey cu one-to-you-mi-know-me-on-te-la-mi este necesar -ho-di-mo cu -stă cu-de-la-vet-stu-u-th al-geb-ra-i-che-sum a numărului de-li-te-lei, iar semn-me-on-tel pleacă fără iz-me- nu-nu.

Vom analiza acest drept-vi-lo atât pe exemplul bătăilor-obișnuite-dar-ven-shot, cât și pe exemplul lui al-geb-ra-și-che-dro-bey.

Exemple de aplicare a regulii pentru fracțiile ordinare

Exemplul 1. Adăugați fracții:.

Decizie

Să adăugăm numărul-dacă-au-dacă-le-reducere și să lăsăm semn-me-on-tel același. După aceea, împărțim numărul-li-tel și semn-me-on-tel în multiplicatori simpli și so-kra-tim. Sa o luam: .

Notă: eroare standard, voi începe ceva când rezolv un exemplu bun, pentru -key-cha-et-sya în următorul-du-u-sch-so-so-be-so-she-tion : . Aceasta este o greșeală gravă, deoarece semnarea pe telefon rămâne aceeași ca și în fracțiile originale.

Exemplul 2. Adăugați fracții:.

Decizie

Acest za-da-cha nu este nimic din-dacă-cha-et-sya din precedentul:.

Exemple de aplicare a regulii pentru fracțiile algebrice

De la obișnuitul-dar-vein-nyh dro-bay per-rey-dem la al-geb-ra-i-che-skim.

Exemplul 3. Adăugați fracții:.

Soluție: după cum sa menționat deja mai sus, adăugarea lui al-geb-ra-și-che-dro-bey nu este nimic din-is-cha-is-sya din zhe-niya, de obicei, dar-vein-nyh dro-bay. Prin urmare, metoda de rezolvare este aceeași:.

Exemplul 4. Tu-onorează fracții:.

Decizie

You-chi-ta-nie al-geb-ra-and-che-dro-bey din-whether-cha-et-sya de la complicație doar prin faptul că în numărul de pi-sy-va-et-sya diferența în numărul de-li-te-lei este-run-nyh-dro-bay. Asa de .

Exemplul 5. Tu-onorează fracții:.

Decizie: .

Exemplul 6. Simplificați:.

Decizie: .

Exemple de aplicare a regulii urmate de reducere

Într-o fracțiune, cineva-paradisul este într-o adaos re-zul-ta-acelea sau you-chi-ta-nia, este posibil să co-frumos niya. În plus, nu trebuie să uitați de ODZ al-geb-ra-i-che-dro-bey.

Exemplul 7. Simplificați:.

Decizie: .

în care . În general, dacă ODZ-ul bufniței-pa-yes-et ODZ-ul de-a-fierbinte cu ODZ-ul total-go-howl, atunci nu îl puteți indica (la urma urmei, o fracțiune, într-o lu-chen- naya în din-ve-cele, de asemenea, nu va exista cu co-from-vet-stu-u-s-knowing-che-no-yah-re-men-nyh). Dar dacă ODZ este sursa dro-bay care rulează și din-ve-care nu co-pa-da-et, atunci ODZ indică nevoia-ho-di-mo.

Exemplul 8. Simplificați:.

Decizie: . În același timp, y (ODZ al tragului de ieșire nu coincide cu ODZ al re-zul-ta-ta).

Adunarea și scăderea fracțiilor ordinare cu numitori diferiți

Pentru a stoca și tu-chi-tat al-geb-ra-și-che-fracții cu diferite-we-know-me-on-te-la-mi, pro-ve-dem ana-lo -gyu din obișnuit- dar-ven-ny-mi dro-bya-mi și re-re-nu-sem-o în al-geb-ra-și-che-fracții.

Ras-uită-te la cel mai simplu exemplu pentru injecții venoase obișnuite.

Exemplul 1. Adăugați fracții:.

Decizie:

Să ne amintim de dreptul-vi-lo-lent-drow-bay. Pentru fracțiile na-cha-la, este necesar să adăugați-ve-sti la semnul comun-me-to-te-lu. În rolul unui semn-me-on-te-la general pentru beat-uri obișnuite, dar-vein-draw, you-stu-pa-et cel mai mic multiplu comun(NOK) sursa semnelor-eu-pe-lei.

Definiție

Cel mai mic-gât-la-tu-ral-număr, cineva-roi este de-aprins în același timp în numere și.

Pentru a găsi NOC, trebuie să de-lo-trăiți know-me-on-the-whether în multiplicatori simpli, apoi alegeți să luați totul pro- sunt multe, multe, unele dintre ele sunt incluse în diferența dintre ambele semne-ma-pe-lei.

; . Atunci LCM-ul numerelor ar trebui să includă doi doi și doi trei:.

După găsirea semnului general pe te-la, este necesar ca fiecare dintre dro-bay-uri să găsească un multi-zhi-tel suplimentar (fak-ti-che-ski, în de-turnarea unui semn-me- comun). on-tel on sign-me-on-tel co-de la-rep-la-a-a-a fracție).

Apoi, fiecare fracție este înmulțită cu un multiplicator semi-chen-ny la-jumătate-no-tel-ny. Fracții cu același-on-to-you-know-me-on-te-la-mi, depozite și you-chi-tat cineva la care suntem - studiate în lecțiile anterioare.

By-lu-cha-eat: .

Răspuns:.

Ras-look-rim acum pliul de al-geb-ra-and-che-dro-bey cu diferite semne-me-on-te-la-mi. Sleep-cha-la, ne-o uităm la fracții, știi-mă-dacă unele dintre ele sunt-la-yut-sya număr-la-mi.

Adunarea și scăderea fracțiilor algebrice cu numitori diferiți

Exemplul 2. Adăugați fracții:.

Decizie:

Al-go-ritm de re-she-niya ab-so-lyut-but ana-lo-gi-chen precedent-du-sche-mu p-me-ru. Este ușor să luați un numitor comun pentru fracțiile date: și să adăugați multiplicatori pentru fiecare dintre ele.

.

Răspuns:.

Deci, sfor-mu-li-ru-em al-go-ritmul de complicație și you-chi-ta-niya al-geb-ra-and-che-dro-beats cu diferite-we-know-me-on-te-la-mi:

1. Găsiți cel mai mic compartiment de tragere pentru semn-me-on-tel comun.

2. Găsiți multiplicatori suplimentari pentru fiecare dintre fracțiile de tragere).

3. Înmulțiți-înmulțiți numerele vii-dacă-fie pe co-ot-vet-stu-u-s-up până la-jumătate-no-tel-nye-multiple-cele.

4. Adaugă pentru a trăi sau onorează fracțiile, folosește dreapta-wi-la-mi a pliului și you-chi-ta-niya draw-bay cu one-to-you-know -me-on- te-la-mi.

Ras-look-rim acum un exemplu cu dro-bya-mi, în know-me-on-the-le-there-are-there-are-there-are-fag-ven-nye you-ra-same - ție.