Predarea fără constrângere

(Un ghid către lumea fascinantă a matematicii)

Matematica trebuie deja predată atunci, că pune mintea în ordine. (M.V. Lomonosov)

Deci, cum înveți matematica?

Această întrebare îi interesează pe mulți.

Primul pas este să închizi golurile din trecut. Dacă ați omis (nu ați înțeles, nu ați studiat în principiu etc.) vreun subiect, mai devreme sau mai târziu veți călca cu siguranță pe acest rake. Cu un rezultat clasic... Așa funcționează matematica.

Indiferent dacă înveți un subiect nou sau revedeți unul vechi, stăpâniți definițiile și termenii matematici! Atenție, nu spun - „învățați”, ci spun „stăpânul”. Acestea sunt lucruri diferite. Trebuie să înțelegeți, de exemplu, care este numitorul, discriminantul sau arcsinus la un nivel simplu, chiar primitiv. Ce este, de ce este nevoie și cum să o rezolvi. Viața va deveni mai ușoară.

Dacă te întreb cum să folosești dispozitivul de tranziție a mediului dens restricționat, te vei simți inconfortabil să răspunzi, nu? Și dacă înțelegeți că acest dispozitiv este o ușă obișnuită? De fapt, este mai distractiv.

Și, desigur, trebuie să decizi. Dacă nu știi cum să te decizi, nu e mare lucru. Trebuie să încerci și să încerci. Toți odată nu știau cum. Dar cei care au încercat și au încercat, deși greșit, cu greșeli, acum știu să rezolve. Și cine nu a încercat, nu a studiat - nu a învățat niciodată.

Iată cele trei componente ale răspunsului la întrebarea: „Cum să predați matematica?” Eliminați golurile, stăpâniți termenii la un nivel ușor de înțeles și rezolvați în mod semnificativ sarcinile.

Dacă matematica ți se pare o junglă a unor reguli, formule, expresii în care este imposibil de navigat, atunci te voi consola. Există poteci și stele călăuzitoare acolo! Te vei acomoda, te vei obișnui și vei începe, de asemenea, să admiri aceste sălbatici...

Matematica cursului școlar nu rezolvă exemple complexe, pentru că nu știe cum. Ea poate rezolva bine ceva de genul 5x \u003d 10, o ecuație pătratică prin discriminant și aceeași simplă din trigonometrie, logaritmi etc. Și toată puterea matematicii are ca scop simplificarea expresiilor complexe. Pentru aceasta sunt necesare reguli și formule pentru diferite transformări. Ele ne permit să scriem expresia originală într-o formă diferită, convenabilă pentru noi, fără a-i schimba esența.

„Matematica este arta de a numi diferite lucruri cu același nume.” (A. Poincare)

De exemplu, 8 = 6 + 2 = 2 = = log 6561 = 32: 4. Este tot același număr 8! Înregistrat doar într-o varietate de forme. Ce tip să alegem - noi decidem! În concordanță cu sarcina și bunul simț.

Principala stea călăuzitoare în matematică este capacitatea de a transforma expresii. Aproape orice soluție începe cu o transformare a expresiei originale. Cu ajutorul regulilor și formulelor, care nu sunt deloc atât de nebunești pe cât crezi.

Adesea spunem „Toate formulele funcționează de la stânga la dreapta și de la dreapta la stânga”. Să spunem (a + b) aproape toată lumea îl scrie ca a + 2ab + b . Dar nu toată lumea (din păcate) realizează că x + 2x + 1 poate fi scris ca (x + 1) . Și iată ce trebuie să știi! Formulele trebuie cunoscute personal! Să le poată recunoaște în expresiile criptate de profesori vicleni, să identifice părți din formule, să le aducă, dacă este cazul, la cele complete.

Conversiile expresiilor sunt supărătoare la început. Necesită forță de muncă. În etapa inițială, este necesar să se verifice, acolo unde este posibil, corectitudinea transformării prin transformare inversă. Factorizat - înmulțiți înapoi și aduceți altele similare. S-a dovedit expresia originală - ura! Găsiți rădăcinile ecuației - înlocuiți în expresia originală. Vezi ce sa întâmplat. Si asa mai departe.

Așadar, vă invit în lumea minunată a matematicii. Și să ne începem călătoria prin a cunoaște fracțiile, deoarece acesta este probabil cel mai vulnerabil loc pentru majoritatea școlarilor.

Mult noroc!

Lectia 1.

Tipuri de fracții. Transformări.

Cine știe fracții, e puternic, e curajos la matematică!

Fracțiile sunt de trei tipuri.

1. Fracții comune , de exemplu: , , , .

Uneori, în loc de linie orizontală, pun o oblică: 1/2, 3/7, 19/5. O linie, atât orizontală (vinculium) cât și oblică (solidus) înseamnă aceeași operație: împărțirea numărului de sus (numărător) la numărul de jos (numitor). Si asta e! În loc de linie, este foarte posibil să puneți un semn de divizare - două puncte. 1/2 = 1:2.

Când împărțirea este posibilă în întregime, trebuie făcută. Deci, în loc de fracția 32/8, este mult mai plăcut să scrieți numărul 4. Adică. 32 se împarte pur și simplu la 8. 32/8 = 32: 8 = 4. Nu mă refer la fracția 4/1, care este și ea egală cu 4. Și dacă nu se împarte complet, o lăsăm ca fracțiune. Uneori trebuie să faci invers. Faceți o fracție dintr-un număr întreg. Dar mai multe despre asta mai târziu.

2. zecimale , de exemplu: 0,5; 3,28; 0,543; 23.32.

3. numere mixte , de exemplu: , , , .

Numerele mixte practic nu sunt folosite în liceu. Pentru a lucra cu ele, acestea trebuie convertite în fracții obișnuite. Dar cu siguranță trebuie să știi cum să o faci! Și apoi un astfel de număr va apărea în sarcină și va bloca ... De la zero. Dar ne amintim de această procedură!

Fracțiile comune sunt cele mai versatile. Să începem cu ei. Apropo, dacă există tot felul de logaritmi, sinusuri și alte litere în fracție, acest lucru nu schimbă nimic. În sensul că toate acțiunile cu expresii fracționale nu sunt diferite de acțiunile cu fracții obișnuite!

Așa că mergeți înainte! Întreaga varietate de transformări de fracții este asigurată de o singură proprietate! Așa se numește proprietatea de baza a fractiei. Amintiți-vă: dacă numărătorul și numitorul unei fracții sunt înmulțite (împărțite) cu același număr, fracția nu se va modifica. Acestea:

Și avem nevoie de ea, toate aceste transformări? - tu intrebi. Si cum! Acum vei vedea singur. În primul rând, să folosim proprietatea de bază a unei fracții pentru a reduce fracțiile. S-ar părea că chestia este elementară. Împărțim numărătorul și numitorul la același număr și gata! Este imposibil să greșești! Dar... omul este o ființă creativă. Poți face greșeli peste tot! Mai ales dacă trebuie să reduceți nu o fracție de forma 5/10, ci o expresie rațională fracțională.

De obicei, elevul nu se gândește să împartă numărătorul și numitorul la același număr (sau expresie)! Pur și simplu taie totul la fel de sus și de jos! Aici pândește o greșeală tipică, o gafă, dacă vrei.

De exemplu, trebuie să simplificați expresia: .

Ce facem? Trimitem factorul a de mai sus și gradul de mai jos! Primim: .

Totul este corect. Dar chiar ai împărtășit întregul numărătorși întregul numitor pe multiplicator a. Dacă sunteți obișnuit să tacheți, atunci, în grabă, puteți tăia litera a din expresie și puteți obține din nou. Ceea ce ar fi categoric greșit: o greșeală de neiertat. Pentru că aici întregul numărător pe o deja nu este împărtășită! Această fracție nu poate fi redusă.

Când reduceți, trebuie să împărțiți întregul numărător și întregul numitor!

Reducerea fracțiilor face viața mult mai ușoară. Veți obține o fracție undeva, de exemplu, 375/1000. Și cum să lucrez cu ea acum? Fara calculator? Înmulțiți, spuneți, adăugați, pătrați!? Și dacă nu ești prea leneș, dar reduce cu grijă cu cinci, și chiar cu cinci, și chiar ... cât timp se reduce. Primim 3/8! Mult mai frumos, nu?

Proprietatea principală a unei fracții vă permite să convertiți fracțiile obișnuite în zecimale și invers fără un calculator! Este important în CT, nu?

E ușor cu zecimale. Cum se aude, așa este scris! Să spunem 0,25. Este punctul zero, douăzeci și cinci de sutimi. Deci scriem: 25/100. Reducem (împărțim numărătorul și numitorul la 25), obținem o fracție obișnuită: 1/4. Tot. Se întâmplă și nimic nu se reduce. De exemplu, 0,3. Aceasta este trei zecimi, adică 3/10.

Ce se întâmplă dacă numerele întregi sunt diferite de zero? E bine. Scriem întreaga fracție fără virgule la numărător, iar la numitor - ceea ce se aude. De exemplu: 3.17. Sunt trei întregi, șaptesprezece sutimi. Scriem la numărător 317 și la numitor 100. Obținem 317/100. Nimic nu este redus, asta înseamnă totul. Acesta este răspunsul. Din toate cele de mai sus, o concluzie utilă: Orice fracție zecimală poate fi convertită într-o fracție comună.

Dar conversia inversă, obișnuită în zecimală, unii nu se pot descurca fără un calculator. Dar tu trebuie! Cum ai de gând să notezi răspunsul? Citim cu atenție și stăpânim acest proces.

Ce este o fracție zecimală? Numitorul ei este întotdeauna 10, sau 100, sau 1000, sau 10.000 și așa mai departe. Dacă fracția ta comună are un astfel de numitor, nu este nicio problemă. De exemplu, 4/10 = 0,4. Sau 7/100 = 0,07. Sau 12/10 = 1,2. Ce se întâmplă dacă rezultatul este 1/2? Și răspunsul trebuie scris cu zecimale...

Ne amintim proprietatea de baza a fractiei! Matematica vă permite în mod favorabil să înmulțiți numărătorul și numitorul cu același număr. Pentru oricine, de altfel! Cu excepția zero, desigur. Să folosim această funcție în avantajul nostru! Cu ce ​​poate fi înmulțit numitorul, adică 2 ca să devină 10, sau 100, sau 1000 (mai mic este mai bine, desigur...)? 5, evident. Simțiți-vă liber să înmulțiți numitorul cu 5. Dar atunci și numărătorul trebuie înmulțit cu 5. Obținem 1/2 = 0,5. Asta e tot.

Cu toate acestea, numitorii pot fi diferiți. De exemplu, fracția 3/16. Apoi puteți împărți pur și simplu 3 la 16. În absența unui calculator, va trebui să împărțiți cu un colț, așa cum se predau în clasele elementare. Primim 0,1875.

Și există niște numitori foarte răi. De exemplu, fracția 1/3 nu poate fi transformată într-o zecimală bună. Și pe calculator, și când împărțim la un colț, obținem 0,3333333 ... De aici încă o concluzie utilă. Nu orice fracție comună se convertește într-o zecimală!

Deci, cu fracțiile ordinare și zecimale sortate. Rămâne să ne ocupăm de numere mixte. Pentru a lucra cu ele, ele trebuie convertite în fracții obișnuite. Cum să o facă? Poți să prinzi un elev de clasa a cincea și să-l întrebi. Dar nu întotdeauna un elev de clasa a cincea va fi în apropiere... Va trebui să o faci singur. Acest lucru nu este dificil. Înmulțiți numitorul părții fracționale cu partea întreagă și adăugați numărătorul părții fracționale. Acesta va fi numărătorul unei fracții comune. Dar numitorul? Numitorul va rămâne același. Sună complicat, dar de fapt este destul de simplu. Să vedem un exemplu.

Să presupunem că în sarcină ați văzut un număr cu groază:

Calm, fără panică, ne certăm. Întreaga parte este 1. Unu. Partea fracționată este 3/7. Prin urmare, numitorul părții fracționale este 7. Acest numitor va fi numitorul fracției ordinare. Luați în considerare: numărător. Înmulțim 7 cu 1 (partea întreagă) și adunăm 3 (numărătorul părții fracționale). Obținem 10. Acesta va fi numărătorul unei fracții obișnuite. Asta e tot. Arată și mai simplu în notație matematică:

Uşor? Atunci asigură-ți succesul! Convertiți aceste numere mixte , , în fracții comune. Ar trebui să obțineți 10/3, 23/10 și 21/4.

Ei bine, aproape totul. Ți-ai amintit tipurile de fracții și ai înțeles cum să le traduci de la un tip la altul. Rămâne întrebarea: de ce să faci asta? Unde și când să aplici această cunoaștere profundă?

Orice exemplu în sine sugerează acțiunile necesare. Dacă în exemplu fracții obișnuite, zecimale și chiar numere mixte sunt amestecate într-un grup, traducem totul în fracții obișnuite. Se poate face oricând. Ei bine, dacă se scrie, de exemplu, 0,8 + 0,3, atunci credem că da, fără nicio traducere. De ce avem nevoie de muncă suplimentară? Alegem modalitatea de rezolvare ceea ce ne este convenabil!

Dacă sarcina este plină de fracții zecimale, dar um... unele înfricoșătoare, mergi la cele obișnuite, încearcă! Poate totul se va rezolva. De exemplu, trebuie să pătrați numărul 0,125. Nu este atât de ușor dacă nu ți-ai pierdut obiceiul calculatorului! Nu numai că trebuie să înmulți numerele într-o coloană, ci și să te gândești unde să inserezi virgula! Cu siguranță nu funcționează în mintea mea! Și dacă te duci la o fracție obișnuită? 0,125 = 125/1000. Reducem cu 5 (asta e pentru inceput). Primim 25/200. Din nou pe 5. Primim 5/40. Încă se micșorează! Înapoi la 5! Primim 1/8. Pătrați cu ușurință (în mintea dvs.!) și obțineți 1/64. Tot!

Să rezumam lecția noastră.

1. Există trei tipuri de fracții: numere ordinare, zecimale și mixte.

2. Decimale și numere mixte pot fi întotdeauna convertite în fracții comune. Transferul invers nu este întotdeauna posibil.

3. Alegerea tipului de fracții pentru lucrul cu sarcina depinde chiar de această sarcină. Dacă într-o singură sarcină există diferite tipuri de fracții, cel mai de încredere este să treceți la fracții obișnuite.

Sfaturi practice:

1. Cel mai important lucru atunci când lucrați cu expresii fracționale este acuratețea și atenția! Acestea nu sunt cuvinte comune, nu sunt urări de bine! Aceasta este o nevoie gravă! Este mai bine să scrieți două rânduri în plus într-o ciornă decât să faceți o greșeală când calculați în cap.

2. În exemple cu diferite tipuri de fracții - mergeți la fracții obișnuite.

3. Reducem toate fracțiile până la oprire.

4. Reducem expresiile fracționale cu mai multe niveluri la cele obișnuite folosind împărțirea prin două puncte (urmăm ordinea împărțirii!).

5. Împărțim unitatea într-o fracție în mintea noastră, pur și simplu răsturnând fracția.

Acum încercați să puneți teoria în practică.

Deci, haideți să o rezolvăm în modul examen! Rezolvăm un exemplu, verificăm, rezolvăm următoarele. Am decis totul - am verificat din nou de la primul până la ultimul exemplu. Și apoi ne uităm la răspunsuri.

Hotărât? Caut răspunsuri care se potrivesc cu ale tale. Răspunsurile sunt scrise în dezordine, departe de ispită, ca să zic așa...

0; 17/22; 3; 1; 3/4; 14; -5/4; 17/12; 1/3; 5; 2/5; 25.

Și acum tragem concluzii. Dacă totul a funcționat - fericit pentru tine! Calculele elementare cu fracții nu sunt problema ta! Poți să faci lucruri mai serioase. Dacă nu... Răbdarea și munca vor macina totul.

Materialul acestui articol este o privire generală asupra transformării expresiilor care conțin fracții. Aici vom lua în considerare transformările de bază care sunt caracteristice expresiilor cu fracții.

Navigare în pagină.

Expresii fracționale și expresii fracționale

Pentru început, să clarificăm cu ce fel de transformare a expresiei ne vom ocupa.

Titlul articolului conține expresia care se explică de la sine „ expresii cu fracții". Adică, mai jos vom vorbi despre transformarea expresiilor numerice și a expresiilor cu variabile, în înregistrarea cărora se află cel puțin o fracție.

Observăm imediat că, după publicarea articolului „Transformarea fracțiilor: o viziune generală”Nu mai suntem interesați de fracții individuale. Astfel, în continuare vom lua în considerare sumele, diferențele, produsele, expresiile parțiale și mai complexe cu rădăcini, puteri, logaritmi, care sunt unite doar prin prezența a cel puțin unei fracții.

Și să vorbim despre expresii fracționale. Aceasta nu este același lucru cu expresiile cu fracții. Expresiile fracționale sunt un concept mai general. Nu orice expresie cu fracții este o expresie fracțională. De exemplu, expresia nu este o expresie fracțională, deși conține o fracție, este o expresie rațională întreagă. Deci nu numiți o expresie cu fracții expresie fracțională fără a fi complet sigur că este.

Transformări identice de bază ale expresiilor cu fracții

Exemplu.

Simplificați expresia .

Soluţie.

În acest caz, puteți deschide parantezele, care vor da expresia , care conține termeni similari și , precum și −3 și 3 . După reducerea lor, obținem o fracție.

Să arătăm o scurtă formă de scriere a soluției:

Răspuns:

.

Lucrul cu fracții individuale

Expresiile despre care vorbim transformare diferă de alte expresii în principal prin prezența fracțiilor. Și prezența fracțiilor necesită instrumente pentru a lucra cu ele. În acest paragraf vom discuta despre transformarea fracțiilor individuale incluse în înregistrarea acestei expresii, iar în paragraful următor se va proceda la efectuarea operațiilor cu fracțiile care alcătuiesc expresia inițială.

Cu orice fracție care este o componentă a expresiei originale, puteți efectua oricare dintre transformările indicate în articolul Conversia fracțiilor. Adică, puteți lua o fracție separată, puteți lucra cu numărătorul și numitorul ei, să o reduceți, să o aduceți la un nou numitor etc. Este clar că odată cu această transformare, fracția selectată va fi înlocuită cu o fracție identic egală cu aceasta, iar expresia inițială va fi înlocuită cu o expresie identic egală cu aceasta. Să ne uităm la un exemplu.

Exemplu.

Convertiți expresia cu fracție la o formă mai simplă.

Soluţie.

Să începem transformarea lucrând cu o fracție. Mai întâi, deschideți parantezele și dați termeni similari în numărătorul fracției: . Acum se impune punerea în paranteze a factorului comun x în numărător și reducerea ulterioară a fracției algebrice: . Rămâne doar să înlocuim rezultatul obținut în locul unei fracții în expresia originală, care dă .

Răspuns:

.

Efectuarea de acțiuni cu fracții

O parte a procesului de conversie a expresiilor cu fracții este adesea de făcut acțiuni cu fracții. Acestea se desfășoară în conformitate cu procedura acceptată pentru efectuarea acțiunilor. De asemenea, merită să rețineți că orice număr sau expresie poate fi întotdeauna reprezentat ca o fracție cu numitorul 1.

Exemplu.

Simplificați expresia .

Soluţie.

Problema poate fi abordată din diferite unghiuri. În contextul subiectului luat în considerare, vom trece prin efectuarea de acțiuni cu fracții. Să începem prin înmulțirea fracțiilor:

Acum scriem produsul ca fracție cu numitorul 1, după care scădem fracțiile:

Dacă se dorește și este necesar, se mai poate scăpa de iraționalitatea din numitor , pe care puteți finaliza transformarea.

Răspuns:

Aplicarea proprietăților rădăcinilor, puterilor, logaritmilor etc.

Clasa de expresii cu fracții este foarte largă. Astfel de expresii, pe lângă fracțiile reale, pot conține rădăcini, grade cu exponenți diferiți, module, logaritmi, funcții trigonometrice etc. Desigur, atunci când sunt convertite, se aplică proprietățile corespunzătoare.

Aplicabil fracțiilor, este de evidențiat proprietatea rădăcinii fracției, proprietatea fracției la grad, proprietatea modulului coeficientului și proprietatea logaritmului diferenței .

Pentru claritate, dăm câteva exemple. De exemplu, în expresia Poate fi util, pe baza proprietăților gradului, să înlocuim prima fracție cu un grad, ceea ce ne permite în continuare să reprezentăm expresia ca un pătrat de diferență. La conversia unei expresii logaritmice este posibil să înlocuim logaritmul unei fracții cu diferența de logaritmi, ceea ce ne permite în continuare să aducem termeni similari și prin urmare să simplificăm expresia: . Conversia expresiilor trigonometrice poate necesita înlocuirea raportului dintre sinus și cosinus al aceluiași unghi cu o tangentă. De asemenea, este posibil să trebuiască să treceți de la jumătatea argumentului folosind formulele adecvate la întregul argument, scăpând astfel de argumentul fracțiunii, de exemplu, .

Aplicarea proprietăților rădăcinilor, gradelor etc. la transformarea expresiilor este tratată mai detaliat în articolele:

• Transformarea expresiilor iraționale folosind proprietățile rădăcinilor,
• Transformarea expresiilor folosind proprietățile puterilor,
• Conversia expresiilor logaritmice folosind proprietățile logaritmilor,
• Conversia expresiilor trigonometrice.

numere zecimale, cum ar fi 0,2; 1,05; 3.017 etc. precum sunt auzite, așa sunt scrise. Punctul zero doi, obținem o fracție. O întreagă cinci sutimi, obținem o fracțiune. Trei șaptesprezece miimi întregi, obținem o fracțiune. Cifrele dinaintea punctului zecimal într-un număr zecimal sunt partea întreagă a fracției. Numărul de după virgulă este numărătorul fracției viitoare. Dacă există un număr cu o cifră după virgulă, numitorul va fi 10, dacă este format din două cifre - 100, trei cifre - 1000 etc. Unele dintre fracțiile rezultate pot fi reduse. În exemplele noastre

Transformarea unei fracții într-un număr zecimal

Acesta este inversul transformării anterioare. Ce este o fracție zecimală? Numitorul ei este întotdeauna 10, sau 100, sau 1000, sau 10.000 și așa mai departe. Dacă fracția ta obișnuită are un astfel de numitor, nu este nicio problemă. De exemplu, sau

Dacă o fracție, de exemplu . În acest caz, trebuie să utilizați proprietatea de bază a fracției și să convertiți numitorul la 10 sau 100 sau 1000 ... În exemplul nostru, dacă înmulțim numărătorul și numitorul cu 4, obținem o fracție care poate fi scrisă ca număr zecimal 0,12.

Unele fracții sunt mai ușor de împărțit decât de transformat numitorul. De exemplu,

Unele fracții nu pot fi convertite în numere zecimale!
De exemplu,

Transformarea unei fracții mixte într-o fracție improprie

O fracție mixtă, cum ar fi , este ușor convertită într-o fracție improprie. Pentru a face acest lucru, trebuie să înmulțiți partea întreagă cu numitorul (jos) și să o adăugați la numărător (sus), lăsând numitorul (jos) neschimbat. Acesta este

Când convertiți o fracție mixtă într-una necorespunzătoare, vă puteți aminti că puteți utiliza adăugarea de fracții

Transformarea unei fracții improprie într-una mixtă (evidențiind întreaga parte)

O fracție necorespunzătoare poate fi convertită într-o fracție mixtă prin evidențierea întregii părți. Luați în considerare un exemplu, . Determinați de câte ori întregi „3” se potrivesc în „23”. Sau împărțim 23 la 3 pe calculator, numărul întreg până la virgulă zecimală este cel dorit. Acesta este „7”. În continuare, determinăm numărătorul fracției viitoare: înmulțim „7” rezultat cu numitorul „3” și scădem rezultatul de la numărătorul „23”. Cum am găsi excesul care rămâne de la numărătorul „23”, dacă eliminăm numărul maxim de „3”. Numitorul rămâne neschimbat. Totul este făcut, notează rezultatul

Fracții

Atenţie!
Sunt suplimentare
material în secțiunea specială 555.
Pentru cei care puternic „nu foarte...”
Și pentru cei care „foarte mult...”)

Fracțiile din liceu nu sunt foarte enervante. Deocamdată. Până când dai peste exponenți cu exponenți raționali și logaritmi. Și acolo…. Apăsați, apăsați pe calculator și acesta arată întreg tabloul de bord al unor numere. Trebuie să gândești cu capul, ca în clasa a treia.

Să ne ocupăm de fracții, în sfârșit! Ei bine, cât de mult te poți încurca în ele!? În plus, totul este simplu și logic. Asa de, ce sunt fractiile?

Tipuri de fracții. Transformări.

Fracțiile sunt de trei tipuri.

1. Fracții comune , de exemplu:

Uneori, în loc de linie orizontală, pun o oblică: 1/2, 3/4, 19/5, bine, și așa mai departe. Aici vom folosi adesea această ortografie. Numărul de sus este numit numărător, inferior - numitor. Dacă confundați în mod constant aceste nume (se întâmplă ...), spuneți-vă expresia cu expresia: " Zzzzz tine minte! Zzzzz numitor – afară zzzz u!" Uite, totul va fi amintit.)

O liniuță, care este orizontală, care este oblică, înseamnă Divizia număr de sus (numărător) până la numărul de jos (numitor). Si asta e! În loc de liniuță, este foarte posibil să puneți un semn de divizare - două puncte.

Când împărțirea este posibilă în întregime, trebuie făcută. Deci, în locul fracției „32/8” este mult mai plăcut să scrieți numărul „4”. Acestea. 32 este pur și simplu împărțit la 8.

32/8 = 32: 8 = 4

Nu vorbesc despre fracția „4/1”. Care este, de asemenea, doar „4”. Și dacă nu se împarte complet, îl lăsăm ca o fracție. Uneori trebuie să faci invers. Faceți o fracție dintr-un număr întreg. Dar mai multe despre asta mai târziu.

2. zecimale , de exemplu:

În această formă va fi necesar să scrieți răspunsurile la sarcinile „B”.

3. numere mixte , de exemplu:

Numerele mixte practic nu sunt folosite în liceu. Pentru a lucra cu ele, acestea trebuie convertite în fracții obișnuite. Dar cu siguranță trebuie să știi cum să o faci! Și apoi un astfel de număr va apărea în puzzle și va agăța... De la zero. Dar ne amintim de această procedură! Puțin mai jos.

Cel mai versatil fracții comune. Să începem cu ei. Apropo, dacă există tot felul de logaritmi, sinusuri și alte litere în fracție, acest lucru nu schimbă nimic. În sensul că totul acțiunile cu expresii fracționale nu sunt diferite de acțiunile cu fracții obișnuite!

Proprietatea de bază a fracției.

Deci să mergem! În primul rând, o să vă surprind. Întreaga varietate de transformări de fracții este asigurată de o singură proprietate! Așa se numește proprietatea de baza a fractiei. Tine minte: Dacă numărătorul și numitorul unei fracții sunt înmulțite (împărțite) cu același număr, fracția nu se va modifica. Acestea:

E clar că poți scrie mai departe, până ești albastru la față. Nu lăsați sinusurile și logaritmii să vă încurce, ne vom ocupa de ele în continuare. Principalul lucru de înțeles este că toate aceste expresii variate sunt aceeași fracție . 2/3.

Și avem nevoie de ea, toate aceste transformări? Si cum! Acum vei vedea singur. În primul rând, să folosim proprietatea de bază a unei fracții pentru abrevieri de fracțiuni. S-ar părea că chestia este elementară. Împărțim numărătorul și numitorul la același număr și gata! Este imposibil să greșești! Dar... omul este o ființă creativă. Poți face greșeli peste tot! Mai ales dacă trebuie să reduceți nu o fracție ca 5/10, ci o expresie fracțională cu tot felul de litere.

Cum să reduceți fracțiile corect și rapid fără a face lucrări inutile poate fi găsit în Secțiunea specială 555.

Un elev normal nu se deranjează să împartă numărătorul și numitorul la același număr (sau expresie)! Pur și simplu taie totul la fel de sus și de jos! Aici pândește o greșeală tipică, o gafă, dacă vrei.

De exemplu, trebuie să simplificați expresia:

Nu e nimic de gândit, tăiem litera „a” de sus și zeul de jos! Primim:

Totul este corect. Dar chiar ai împărtășit întregul numărător și întregul numitor „a”. Dacă sunteți obișnuit să bifați, atunci, în grabă, puteți tăia „a” din expresie

si ia din nou

Ceea ce ar fi categoric gresit. Pentru că aici întregul numărător pe „a” deja nu este împărtășită! Această fracție nu poate fi redusă. Apropo, o astfel de abreviere este, um... o serioasă provocare pentru profesor. Acest lucru nu este iertat! Tine minte? La reducere, este necesar să se împartă întregul numărător și întregul numitor!

Reducerea fracțiilor face viața mult mai ușoară. Veți obține o fracție undeva, de exemplu 375/1000. Și cum să lucrez cu ea acum? Fara calculator? Înmulțiți, spuneți, adăugați, pătrați!? Și dacă nu ești prea leneș, dar reduce cu grijă cu cinci, și chiar cu cinci, și chiar... cât timp se reduce, pe scurt. Primim 3/8! Mult mai frumos, nu?

Proprietatea de bază a unei fracții vă permite să convertiți fracțiile obișnuite în zecimale și invers fara calculator! Acest lucru este important pentru examen, nu?

Cum se transformă fracțiile dintr-o formă în alta.

E ușor cu zecimale. Cum se aude, așa este scris! Să spunem 0,25. Este punctul zero, douăzeci și cinci de sutimi. Deci scriem: 25/100. Reducem (împărțim numărătorul și numitorul la 25), obținem fracția obișnuită: 1/4. Tot. Se întâmplă și nimic nu se reduce. Ca 0,3. Aceasta este trei zecimi, adică 3/10.

Ce se întâmplă dacă numerele întregi sunt diferite de zero? E bine. Notează întreaga fracție fara nicio virgula la numărător, iar la numitor - ceea ce se aude. De exemplu: 3.17. Sunt trei întregi, șaptesprezece sutimi. Scriem la numărător 317 și la numitor 100. Obținem 317/100. Nimic nu este redus, asta înseamnă totul. Acesta este răspunsul. Primar Watson! Din toate cele de mai sus, o concluzie utilă: orice fracție zecimală poate fi convertită într-o fracție comună .

Dar conversia inversă, obișnuită în zecimală, unii nu se pot descurca fără un calculator. Dar tu trebuie! Cum vei nota răspunsul la examen!? Citim cu atenție și stăpânim acest proces.

Ce este o fracție zecimală? Ea are la numitor mereu valorează 10 sau 100 sau 1000 sau 10000 și așa mai departe. Dacă fracția ta obișnuită are un astfel de numitor, nu este nicio problemă. De exemplu, 4/10 = 0,4. Sau 7/100 = 0,07. Sau 12/10 = 1,2. Și dacă în răspunsul la sarcina secțiunii „B” sa dovedit 1/2? Ce vom scrie ca răspuns? Sunt necesare zecimale...

Ne amintim proprietatea de baza a fractiei ! Matematica vă permite în mod favorabil să înmulțiți numărătorul și numitorul cu același număr. Pentru oricine, de altfel! Cu excepția zero, desigur. Să folosim această funcție în avantajul nostru! Cu ce ​​poate fi înmulțit numitorul, adică 2 ca să devină 10, sau 100, sau 1000 (mai mic este mai bine, desigur...)? 5, evident. Simțiți-vă liber să înmulțiți numitorul (acesta este ne necesar) cu 5. Dar, atunci și numărătorul trebuie înmulțit cu 5. Aceasta este deja matematica cereri! Obținem 1/2 \u003d 1x5 / 2x5 \u003d 5/10 \u003d 0,5. Asta e tot.

Cu toate acestea, se întâlnesc tot felul de numitori. De exemplu, fracția 3/16 va scădea. Încercați, aflați cu ce să înmulțiți 16 pentru a obține 100 sau 1000... Nu funcționează? Apoi puteți împărți pur și simplu 3 la 16. În lipsa unui calculator, va trebui să împărțiți într-un colț, pe o foaie de hârtie, așa cum se predau în clasele elementare. Primim 0,1875.

Și există niște numitori foarte răi. De exemplu, fracția 1/3 nu poate fi transformată într-o zecimală bună. Atât pe un calculator, cât și pe o bucată de hârtie, obținem 0,3333333 ... Aceasta înseamnă că 1/3 într-o fracție zecimală exactă nu se traduce. La fel ca 1/7, 5/6 și așa mai departe. Multe dintre ele sunt intraductibile. De aici o altă concluzie utilă. Nu orice fracție comună se convertește într-o zecimală. !

Apropo, acestea sunt informații utile pentru autoexaminare. În secțiunea „B” ca răspuns, trebuie să scrieți o fracție zecimală. Și ai primit, de exemplu, 4/3. Această fracție nu este convertită în zecimală. Asta înseamnă că undeva pe parcurs ai făcut o greșeală! Revino, verifică soluția.

Deci, cu fracțiile ordinare și zecimale sortate. Rămâne să ne ocupăm de numere mixte. Pentru a lucra cu ele, toate trebuie convertite în fracții obișnuite. Cum să o facă? Poți să prinzi un elev de clasa a șasea și să-l întrebi. Dar nu întotdeauna un elev de clasa a șasea va fi la îndemână... Va trebui să o facem singuri. Acest lucru nu este dificil. Înmulțiți numitorul părții fracționale cu partea întreagă și adăugați numărătorul părții fracționale. Acesta va fi numărătorul unei fracții comune. Dar numitorul? Numitorul va rămâne același. Sună complicat, dar de fapt este destul de simplu. Să vedem un exemplu.

Lăsați problema pe care ați văzut-o cu groază numărul:

Calm, fără panică, înțelegem. Întreaga parte este 1. Unu. Partea fracționată este 3/7. Prin urmare, numitorul părții fracționale este 7. Acest numitor va fi numitorul fracției ordinare. Numărăm numărătorul. Înmulțim 7 cu 1 (partea întreagă) și adunăm 3 (numărătorul părții fracționale). Obținem 10. Acesta va fi numărătorul unei fracții obișnuite. Asta e tot. Arată și mai simplu în notație matematică:

Clar? Atunci asigură-ți succesul! Convertiți în fracții comune. Ar trebui să obțineți 10/7, 7/2, 23/10 și 21/4.

Operația inversă - conversia unei fracții improprii într-un număr mixt - este rareori necesară în liceu. Ei bine, dacă... Și dacă tu - nu în liceu - poți să te uiți la Secțiunea specială 555. În același loc, apropo, veți învăța despre fracțiile improprii.

Ei bine, aproape totul. Ți-ai amintit tipurile de fracții și ai înțeles Cum convertiți-le dintr-un tip în altul. Intrebarea ramane: De ce Fă-o? Unde și când să aplici această cunoaștere profundă?

Raspund. Orice exemplu în sine sugerează acțiunile necesare. Dacă în exemplu fracții obișnuite, zecimale și chiar numere mixte sunt amestecate într-un grup, traducem totul în fracții obișnuite. Se poate face oricând. Ei bine, dacă se scrie ceva de genul 0,8 + 0,3, atunci credem că da, fără nicio traducere. De ce avem nevoie de muncă suplimentară? Alegem soluția care este convenabilă ne !

Dacă sarcina este plină de fracții zecimale, dar um... un fel de diabolice, du-te la cele obișnuite, încearcă! Uite, totul va fi bine. De exemplu, trebuie să pătrați numărul 0,125. Nu este atât de ușor dacă nu ți-ai pierdut obiceiul calculatorului! Nu numai că trebuie să înmulți numerele într-o coloană, ci și să te gândești unde să inserezi virgula! Cu siguranță nu funcționează în mintea mea! Și dacă te duci la o fracție obișnuită?

0,125 = 125/1000. Reducem cu 5 (asta e pentru inceput). Primim 25/200. Din nou pe 5. Primim 5/40. Oh, se micșorează! Înapoi la 5! Primim 1/8. Pătrați cu ușurință (în mintea dvs.!) și obțineți 1/64. Tot!

Să rezumam această lecție.

1. Există trei tipuri de fracții. Numere ordinare, zecimale și mixte.

2. Decimale și numere mixte mereu pot fi convertite în fracții comune. Traducere inversă nu intotdeauna disponibil.

3. Alegerea tipului de fracții pentru lucrul cu sarcina depinde chiar de această sarcină. Dacă într-o singură sarcină există diferite tipuri de fracții, cel mai de încredere este să treceți la fracții obișnuite.

Acum poți exersa. Mai întâi, convertiți aceste fracții zecimale în fracții obișnuite:

3,8; 0,75; 0,15; 1,4; 0,725; 0,012

Ar trebui să obțineți răspunsuri ca acesta (în mizerie!):

Pe asta vom termina. În această lecție, am analizat punctele cheie ale fracțiilor. Se întâmplă, totuși, că nu există nimic special de reîmprospătat...) Dacă cineva a uitat complet sau nu a stăpânit încă... Aceștia pot merge la o secțiune specială 555. Toate elementele de bază sunt detaliate acolo. Mulți dintr-o dată intelege totulîncep. Și rezolvă fracții din mers).

Daca va place acest site...

Apropo, mai am câteva site-uri interesante pentru tine.)

Puteți exersa rezolvarea exemplelor și puteți afla nivelul dvs. Testare cu verificare instantanee. Învățarea - cu interes!)

vă puteți familiariza cu funcțiile și derivatele.

Simplificarea expresiilor algebrice este una dintre cheile învățării algebrei și o abilitate extrem de utilă pentru toți matematicienii. Simplificarea vă permite să reduceți o expresie complexă sau lungă la o expresie simplă cu care este ușor de lucrat. Abilitățile de bază de simplificare sunt bune chiar și pentru cei care nu sunt entuziaști de matematică. Urmând câteva reguli simple, multe dintre cele mai comune tipuri de expresii algebrice pot fi simplificate fără cunoștințe matematice speciale.

Pași

Definiții importante

1. Membri similari . Aceștia sunt membri cu o variabilă de aceeași ordine, membri cu aceleași variabile sau membri liberi (membri care nu conțin o variabilă). Cu alte cuvinte, termeni similari includ o variabilă în aceeași măsură, includ mai multe variabile identice sau nu includ deloc o variabilă. Ordinea termenilor din expresie nu contează.

   • De exemplu, 3x 2 și 4x 2 sunt termeni asemănători deoarece conțin variabila „x” de ordinul doi (în a doua putere). Cu toate acestea, x și x 2 nu sunt membri similari, deoarece conțin variabila „x” de ordine diferite (primul și al doilea). În mod similar, -3yx și 5xz nu sunt membri similari, deoarece conțin variabile diferite.

2. Factorizarea . Aceasta înseamnă găsirea unor astfel de numere, al căror produs duce la numărul inițial. Orice număr original poate avea mai mulți factori. De exemplu, numărul 12 poate fi descompus în următoarea serie de factori: 1 × 12, 2 × 6 și 3 × 4, deci putem spune că numerele 1, 2, 3, 4, 6 și 12 sunt factori ai numărul 12. Factorii sunt la fel ca divizorii , adică numerele cu care numărul inițial este divizibil.

   • De exemplu, dacă doriți să factorizați numărul 20, scrieți-l astfel: 4×5.
   • Rețineți că la factorizare, variabila este luată în considerare. De exemplu, 20x = 4(5x).
   • Numerele prime nu pot fi factorizate, deoarece sunt divizibile doar cu ele însele și cu 1.

3. Amintiți-vă și urmați ordinea operațiunilor pentru a evita greșelile.

   • Paranteze
   • grad
   • Multiplicare
   • Divizia
   • Plus
   • Scădere

   Casting Like Members

   1. Notează expresia. Cele mai simple expresii algebrice (care nu conțin fracții, rădăcini și așa mai departe) pot fi rezolvate (simplificate) în doar câțiva pași.

      • De exemplu, simplificați expresia 1 + 2x - 3 + 4x.

   2. Definiți membri similari (membri cu o variabilă de aceeași ordine, membri cu aceleași variabile sau membri liberi).

      • Găsiți termeni similari în această expresie. Termenii 2x și 4x conțin o variabilă de același ordin (primul). De asemenea, 1 și -3 sunt membri liberi (nu conțin o variabilă). Astfel, în această expresie, termenii 2x și 4x sunt similare, iar membrii 1 și -3 sunt de asemenea asemănătoare.

   3. Oferă membri similari. Aceasta înseamnă adăugarea sau scăderea lor și simplificarea expresiei.

      • 2x+4x= 6x
      • 1 - 3 = -2

   4. Rescrieți expresia ținând cont de membrii dați. Veți obține o expresie simplă cu mai puțini termeni. Noua expresie este egală cu cea originală.

      • În exemplul nostru: 1 + 2x - 3 + 4x = 6x - 2, adică expresia originală este simplificată și mai ușor de lucrat.

   5. Observați ordinea în care sunt efectuate operațiunile atunci când turnați termeni similari.În exemplul nostru, a fost ușor să aducem termeni similari. Cu toate acestea, în cazul expresiilor complexe în care membrii sunt încadrați între paranteze și sunt prezente fracții și rădăcini, nu este atât de ușor să aduceți astfel de termeni. În aceste cazuri, urmați ordinea operațiunilor.

      • De exemplu, luați în considerare expresia 5(3x - 1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x. Aici ar fi o greșeală să definiți imediat 3x și 2x ca termeni similari și să îi citați, deoarece mai întâi trebuie să extindeți parantezele. Prin urmare, efectuați operațiunile în ordinea lor.
        • 5(3x-1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x
        • 15x - 5 + x(x) + 8 - 3x
        • 15x - 5 + x 2 + 8 - 3x. Acum, când expresia conține numai operații de adunare și scădere, puteți arunca termeni similari.
        • x 2 + (15x - 3x) + (8 - 5)
        • x 2 + 12x + 3

   Parantezărea multiplicatorului

   1. Găsi cel mai mare divizor comun(GCD) a tuturor coeficienților expresiei. GCD este cel mai mare număr cu care toți coeficienții expresiei sunt divizibili.

      • De exemplu, luați în considerare ecuația 9x 2 + 27x - 3. În acest caz, mcd=3, deoarece orice coeficient al acestei expresii este divizibil cu 3.

   2. Împărțiți fiecare termen al expresiei la mcd. Termenii rezultați vor conține coeficienți mai mici decât în ​​expresia originală.

      • În exemplul nostru, împărțiți fiecare termen de expresie la 3.
        • 9x2/3=3x2
        • 27x/3=9x
        • -3/3 = -1
        • Sa dovedit expresia 3x2 + 9x-1. Nu este egal cu expresia originală.

   3. Scrieți expresia originală ca fiind egală cu produsul mcd înmulțit cu expresia rezultată. Adică, includeți expresia rezultată între paranteze și scoateți GCD-ul dintre paranteze.

      • În exemplul nostru: 9x 2 + 27x - 3 = 3(3x 2 + 9x - 1)

   4. Simplificarea expresiilor fracționale prin scoaterea multiplicatorului din paranteze. De ce pur și simplu scoateți multiplicatorul din paranteze, așa cum sa făcut mai devreme? Apoi, pentru a învăța cum să simplificați expresii complexe, cum ar fi expresiile fracționale. În acest caz, scoaterea factorului dintre paranteze poate ajuta la eliminarea fracției (de la numitor).

      • De exemplu, luați în considerare expresia fracțională (9x 2 + 27x - 3)/3. Utilizați paranteze pentru a simplifica această expresie.
        • Factorizați factorul 3 (cum ați făcut înainte): (3(3x 2 + 9x - 1))/3
        • Rețineți că atât numărătorul, cât și numitorul au acum numărul 3. Acesta poate fi redus și obțineți expresia: (3x 2 + 9x - 1) / 1
        • Deoarece orice fracție care are numărul 1 la numitor este doar egală cu numărătorul, expresia fracțională inițială este simplificată la: 3x2 + 9x-1.

   Tehnici suplimentare de simplificare

   1. Simplificarea expresiilor fracționale. După cum sa menționat mai sus, dacă atât numărătorul, cât și numitorul conțin aceiași termeni (sau chiar aceleași expresii), atunci pot fi reduse. Pentru a face acest lucru, trebuie să eliminați factorul comun al numărătorului sau al numitorului sau atât al numărătorului, cât și al numitorului. Sau puteți împărți fiecare termen al numărătorului la numitor și astfel simplificați expresia.

      • De exemplu, luați în considerare expresia fracțională (5x 2 + 10x + 20)/10. Aici, pur și simplu împărțiți fiecare termen al numărătorului la numitorul (10). Dar rețineți că termenul 5x2 nu este nici măcar divizibil cu 10 (pentru că 5 este mai mic decât 10).
        • Deci, scrieți expresia simplificată astfel: ((5x 2)/10) + x + 2 = (1/2)x 2 + x + 2.

   2. Simplificarea expresiilor radicale. Expresiile sub semnul radical sunt numite expresii radicale. Ele pot fi simplificate prin descompunerea lor în factori corespunzători și eliminarea ulterioară a unui factor de sub rădăcină.

      • Luați în considerare un exemplu simplu: √(90). Numărul 90 poate fi descompus în următorii factori: 9 și 10, iar din 9, se ia rădăcina pătrată (3) și se scoate 3 de sub rădăcină.
        • √(90)
        • √(9×10)
        • √(9)×√(10)
        • 3×√(10)
        • 3√(10)

   3. Simplificarea expresiilor cu puteri.În unele expresii, există operații de înmulțire sau împărțire a termenilor cu grad. În cazul înmulțirii termenilor cu o singură bază, se adună gradele acestora; în cazul împărțirii termenilor cu aceeași bază, se scad gradele acestora.

      • De exemplu, luați în considerare expresia 6x 3 × 8x 4 + (x 17 / x 15). În cazul înmulțirii, se adună exponenții, iar în cazul împărțirii, se scad.
        • 6x 3 × 8x 4 + (x 17 / x 15)
        • (6 × 8)x 3 + 4 + (x 17 - 15)
        • 48x7+x2
      • Mai jos este o explicație a regulii de înmulțire și împărțire a termenilor cu un grad.
        • Înmulțirea termenilor cu puteri este echivalentă cu înmulțirea termenilor prin ei înșiși. De exemplu, deoarece x 3 = x × x × x și x 5 = x × x × x × x × x, atunci x 3 × x 5 = (x × x × x) × (x × x × x × x × x), sau x8.
        • În mod similar, împărțirea termenilor cu puteri este echivalentă cu împărțirea termenilor la ei înșiși. x 5 /x 3 \u003d (x × x × x × x × x) / (x × x × x). Deoarece termeni similari care sunt atât în ​​numărător, cât și în numitor pot fi reduceți, produsul a doi „x”, sau x 2, rămâne în numărător.