formula Bernoulli- o formulă în teoria probabilității care vă permite să aflați probabilitatea ca un eveniment să se producă A (\displaystyle A)în teste independente. Formula Bernoulli vă permite să scăpați de un număr mare de calcule - adunarea și multiplicarea probabilităților - cu un număr suficient de mare de teste. Numit după remarcabilul matematician elvețian Jacob Bernoulli, care a derivat această formulă.
YouTube enciclopedic
1 / 3
✪ Teoria probabilității. 22. Formula Bernoulli. Rezolvarea problemelor
✪ Formula Bernoulli
✪ 20 de teste repetate Formula Bernoulli
Subtitrări
Cuvântare
Teorema. Dacă probabilitatea p (\displaystyle p) eveniment A (\displaystyle A) este constantă în fiecare încercare, apoi probabilitatea P k , n (\displaystyle P_(k,n)) că evenimentul A (\displaystyle A) vine exact k (\displaystyle k) odata n (\displaystyle n) teste independente este egal cu: P k , n = C n k ⋅ p k ⋅ q n - k (\displaystyle P_(k,n)=C_(n)^(k)\cdot p^(k)\cdot q^(n-k)), Unde q = 1 - p (\displaystyle q=1-p).
Dovada
Să se țină n (\displaystyle n) teste independente și se știe că în urma fiecărui test, un eveniment A (\displaystyle A) vine cu o probabilitate P (A) = p (\displaystyle P\left(A\right)=p)și prin urmare nu are loc cu probabilitate P (A ¯) = 1 − p = q (\displaystyle P\left((\bar (A))\right)=1-p=q). Să fie, de asemenea, în cursul testelor de probabilitate p (\displaystyle p)și q (\displaystyle q) ramane neschimbat. Care este probabilitatea ca ca urmare n (\displaystyle n) test independent, eveniment A (\displaystyle A) vine exact k (\displaystyle k) o singura data?
Se pare că este posibil să se calculeze cu exactitate numărul de combinații „reușite” de rezultate ale testului pentru care evenimentul A (\displaystyle A) vine k (\displaystyle k) odata n (\displaystyle n) studii independente, este exact numărul combinațiilor de n (\displaystyle n) pe k (\displaystyle k) :
C n (k) = n! k! (n − k) ! (\displaystyle C_(n)(k)=(\frac (n{k!\left(n-k\right)!}}} !}.
În același timp, deoarece toate studiile sunt independente și rezultatele lor sunt incompatibile (eveniment A (\displaystyle A) fie apare, fie nu), atunci probabilitatea de a obține o combinație „reușită” este exact: .
În fine, pentru a găsi probabilitatea ca n (\displaystyle n) eveniment de testare independent A (\displaystyle A) vine exact k (\displaystyle k) ori, trebuie să adunați probabilitățile de a obține toate combinațiile „reușite”. Probabilitățile de a obține toate combinațiile „de succes” sunt aceleași și egale p k ⋅ q n - k (\displaystyle p^(k)\cdot q^(n-k)), numărul de combinații „reușite” este C n (k) (\displaystyle C_(n)(k)), așa că în sfârșit obținem:
P k , n = C n k ⋅ p k ⋅ q n - k = C n k ⋅ p k ⋅ (1 - p) n - k (\displaystyle P_(k,n)=C_(n)^(k)\cdot p^( k)\cdot q^(n-k)=C_(n)^(k)\cdot p^(k)\cdot (1-p)^(n-k)).
Ultima expresie nu este altceva decât Formula Bernoulli. De asemenea, este util să rețineți că, datorită completității grupului de evenimente, va fi adevărat:
∑ k = 0 n (P k , n) = 1 (\displaystyle \sum _(k=0)^(n)(P_(k,n))=1).
În aplicarea practică a teoriei probabilității, se întâlnesc adesea probleme în care același experiment sau experimente similare se repetă de mai multe ori. Ca rezultat al fiecărei experiențe, un eveniment poate să apară sau nu. DAR, și nu ne interesează rezultatul fiecărui experiment individual, dar total apariții evoluții DAR ca urmare a unei serii de experimente. De exemplu, dacă un grup de lovituri sunt trase la aceeași țintă, nu ne interesează rezultatul fiecărei lovituri, ci numărul total de lovituri. Astfel de probleme sunt rezolvate destul de simplu dacă experimentele sunt independent.
Definiție. Încercările care sunt independente de evenimentul A sunt acelea în care probabilitatea evenimentului A în fiecare studiu este independentă de rezultatele altor studii.
Exemplu. Mai multe extrageri succesive ale unei cărți din pachet sunt experimente independente, cu condiția ca cartea extrasă să fie returnată în pachet de fiecare dată și cărțile să fie amestecate; altfel, sunt experiențe dependente.
Exemplu. Mai multe lovituri sunt experimente independente numai dacă țintirea se face din nou înainte de fiecare lovitură; în cazul în care țintirea este efectuată o dată înaintea întregului tragere sau este efectuată continuu în timpul tragerii (tragere în rafală, bombardare în serie), împușcăturile sunt experimente dependente.
Testele independente pot fi efectuate în aceleași condiții sau în condiții diferite. În primul caz, probabilitatea evenimentului DARîn toate experimentele la fel, în al doilea caz probabilitatea evenimentului DAR variază de la experiență la experiență. Primul caz este legat de multe probleme de teoria fiabilității, teoria împușcăturii și duce la așa-numita Schema Bernoulli, care este după cum urmează:
1) se realizează succesiunea nîncercări independente, în fiecare dintre ele un eveniment DAR poate apărea sau nu;
2) probabilitatea producerii unui eveniment DARîn fiecare test este constantă și egală cu , precum și probabilitatea neapariției sale 
.
Formula lui Bernoulli pentru a afla probabilitatea ca un eveniment să se producă A k odata nîncercări independente, în fiecare dintre ele un eveniment DAR apare cu o probabilitate p:
. (1)
Observație 1. Odata cu cresterea nși k aplicarea formulei Bernoulli este asociată cu dificultăți de calcul, deci formula (1) este utilizată în principal dacă k nu depăşeşte 5 şi n nu grozav.
Observația 2. Datorită faptului că probabilitățile în formă sunt membre ale expansiunii binomului, distribuția de probabilitate a formei (1) se numește binom distributie.
Exemplu. Probabilitatea de a lovi ținta cu o lovitură este de 0,8. Găsiți probabilitatea de cinci lovituri cu șase lovituri.
Soluţie. De atunci 
, pe lângă și . Folosind formula Bernoulli, obținem:
Exemplu. Patru focuri independente sunt trase către aceeași țintă de la distanțe diferite. Probabilitățile de lovire pentru aceste lovituri sunt, respectiv:
Găsiți probabilitățile de niciun, unul, doi, trei și patru lovituri:
Soluţie. Compunem funcția generatoare:
Exemplu. Cinci focuri independente sunt trase către o țintă cu o probabilitate de lovire de 0,2. Trei lovituri sunt suficiente pentru a distruge ținta. Găsiți probabilitatea ca ținta să fie distrusă.
Soluţie. Probabilitatea de distrugere a țintei este calculată prin formula:
Exemplu. Zece focuri independente sunt trase în țintă, probabilitatea de a o lovi cu o singură lovitură este de 0,1. O lovitură este suficientă pentru a lovi ținta. Găsiți probabilitatea de a lovi ținta.
Soluţie. Probabilitatea de a avea cel puțin o lovitură este calculată prin formula:
3. Teorema locală Moivre-Laplace
În aplicații, este adesea necesar să se calculeze probabilitățile diferitelor evenimente legate de numărul de apariții ale evenimentului în n teste ale schemei Bernoulli la valori mari n. În acest caz, calculele prin formula (1) devin dificile. Dificultățile cresc atunci când trebuie să adunăm aceste probabilități. Dificultăți în calcule apar și pentru valori mici p sau q.
Laplace a obținut o formulă aproximativă importantă pentru probabilitatea producerii unui eveniment DAR exact m ori, dacă este un număr suficient de mare, adică atunci când .
Teorema locală de Moivre–Laplace. Dacă probabilitatea p de apariție a evenimentului A în fiecare încercare este constantă și diferită de zero și unu, , valoarea este mărginită uniform în m și n, atunci probabilitatea de apariție a evenimentului A exact de m ori în n încercări independente este aproximativ egală cu
Să fie efectuate n încercări cu privire la evenimentul A. Să introducem următoarele evenimente: Аk -- evenimentul А a fost realizat în timpul testului k-lea, $ k=1,2,\dots , n$. Atunci $\bar(A)_(k) $ este evenimentul opus (evenimentul A nu a avut loc în timpul testului k-lea, $k=1,2,\dots , n$).
Ce sunt studiile de la egal la egal și independente
Definiție
Testele sunt numite de același tip față de evenimentul A dacă probabilitățile evenimentelor $A1, A2, \dots , An$ sunt aceleași: $P(A1)=P(A2)= \dots =P(An) $ (adică probabilitatea de apariție a evenimentului A într-o singură încercare este constantă în toate încercările).
Evident, în acest caz, probabilitățile de evenimente opuse coincid și ele: $P(\bar(A)_(1))=P(\bar(A)_(2))=...=P(\bar( A) _(n))$.
Definiție
Încercările sunt numite independente față de evenimentul A dacă evenimentele $A1, A2, \dots , An$ sunt independente.
În acest caz
În acest caz, egalitatea este păstrată atunci când orice eveniment Ak este înlocuit cu $\bar(A)_(k) $.
Să fie efectuate o serie de n încercări independente similare cu privire la evenimentul A. Purtam notatia: p - probabilitatea evenimentului A intr-un test; q este probabilitatea evenimentului opus. Astfel P(Ak)=p, $P(\bar(A)_(k))=q$ pentru orice k și p+q=1.
Probabilitatea ca într-o serie de n încercări evenimentul A să apară exact de k ori (0 ≤ k ≤ n) se calculează prin formula:
$P_(n) (k)=C_(n)^(k) p^(k) q^(n-k) $ (1)
Egalitatea (1) se numește formula Bernoulli.
Probabilitatea ca într-o serie de n încercări independente de același tip evenimentul A să apară de cel puțin k1 ori și de cel mult k2 ori se calculează prin formula:
$P_(n) (k_(1) \le k\le k_(2))=\sum \limits _(k=k_(1) )^(k_(2) )C_(n)^(k) p ^(k) q^(n-k) $ (2)
Aplicarea formulei Bernoulli pentru valori mari ale lui n duce la calcule greoaie, așa că în aceste cazuri este mai bine să folosiți alte formule - asimptotice.
Generalizarea schemei Bernoulli
Luați în considerare o generalizare a schemei Bernoulli. Dacă într-o serie de n încercări independente, fiecare dintre ele are m rezultate incompatibile în perechi și posibile Ak cu probabilități corespunzătoare Рk= рk(Аk). Atunci formula de distribuție polinomială este valabilă:
Exemplul 1
Probabilitatea de a face gripă în timpul unei epidemii este de 0,4. Aflați probabilitatea ca din 6 angajați ai companiei să se îmbolnăvească
- exact 4 angajati;
- nu mai mult de 4 angajati.
Soluţie. 1) Evident, pentru a rezolva această problemă se aplică formula Bernoulli, unde n=6; k=4; p=0,4; q=1-p=0,6. Aplicând formula (1), obținem: $P_(6) (4)=C_(6)^(4) \cdot 0.4^(4) \cdot 0.6^(2) \aprox 0.138$.
Pentru a rezolva această problemă se aplică formula (2), unde k1=0 și k2=4. Avem:
\[\begin(array)(l) (P_(6) (0\le k\le 4)=\sum \limits _(k=0)^(4)C_(6)^(k) p^( k) q^(6-k) =C_(6)^(0) \cdot 0,4^(0) \cdot 0,6^(6) +C_(6)^(1) \cdot 0,4 ^(1) \cdot 0,6^(5) +C_(6)^(2) \cdot 0,4^(2) \cdot 0,6^(4) +) \\ (+C_(6) ^(3) \cdot 0,4^(3) \ cdot 0,6^(3) +C_(6)^(4) \cdot 0,4^(4) \cdot 0,6^(2) \ aproximativ 0,959.) \end(array)\]
Trebuie menționat că această sarcină este mai ușor de rezolvat folosind evenimentul opus - mai mult de 4 angajați s-au îmbolnăvit. Apoi, ținând cont de formula (7) privind probabilitățile de evenimente opuse, obținem:
Răspuns: $\ 0,959 $.
Exemplul 2
O urnă conține 20 de bile albe și 10 de bile negre. Se scot 4 bile, iar fiecare bilă scoasă este returnată în urnă înainte ca următoarea să fie extrasă și bilele din urnă sunt amestecate. Găsiți probabilitatea ca din cele patru bile extrase să fie 2 bile albe în Figura 1.
Poza 1.
Soluţie. Fie evenimentul A că -- este extrasă o bilă albă. Atunci probabilitățile $D (A)=\frac(2)(3) ,\, \, D (\overline(A))=1-\frac(2)(3) =\frac(1)(3) $ .
Conform formulei Bernoulli, probabilitatea necesară este $D_(4) (2)=N_(4)^(2) \left(\frac(2)(3) \right)^(2) \left(\frac (1)( 3) \right)^(2) =\frac(8)(27) $.
Răspuns: $\frac(8)(27) $.
Exemplul 3
Determinați probabilitatea ca o familie cu 5 copii să nu aibă mai mult de 3 fete. Se presupune că probabilitățile de a avea un băiat și o fată sunt aceleași.
Soluţie. Probabilitatea de a avea o fată $\partial =\frac(1)(2) ,\, q=\frac(1)(2) $-probabilitatea de a avea un băiat. Nu există mai mult de trei fete într-o familie, ceea ce înseamnă că s-au născut fie una, fie două, sau trei fete, fie toți băieții din familie.
Găsiți probabilitățile ca în familie să nu existe fete, s-au născut una, două sau trei fete: $D_(5) (0)=q^(5) =\frac(1)(32) $,
\ \ \
Prin urmare, probabilitatea necesară este $D =D_(5) (0)+D_(5) (1)+D_(5) (2)+D_(5) (3)=\frac(13)(16) $ .
Răspuns: $\frac(13)(16)$.
Exemplul 4
Primul trăgător cu o singură lovitură poate lovi primii zece cu o probabilitate de 0,6, pe cei nouă cu o probabilitate de 0,3, iar cei opt cu o probabilitate de 0,1. Care este probabilitatea ca, cu 10 lovituri, să lovească de zece șase ori, nouă de trei ori și opt de opt ori?
n experimente sunt efectuate conform schemei Bernoulli cu probabilitate de succes p. Fie X numărul de succese. Variabila aleatoare X are intervalul (0,1,2,...,n). Probabilitățile acestor valori pot fi găsite prin formula: , unde C m n este numărul de combinații de la n la m . 
Seria de distribuție are forma:
| X | 0 | 1 | ... | m | n |
| p | (1-p)n | np(1-p) n-1 | ... | C m n p m (1-p) n-m | p n |
Atribuirea serviciului. Pentru a reprezenta un grafic se folosește un calculator online serie de distribuție binomialăși calculul tuturor caracteristicilor seriei: așteptări matematice, varianță și abatere standard. Se întocmește un raport cu o decizie în format Word (exemplu).
Instrucțiuni video
Schema de testare Bernoulli
Caracteristicile numerice ale unei variabile aleatoare distribuite conform legii binomiale
Așteptarea matematică a unei variabile aleatoare X, distribuită conform legii binomiale.M[X]=np
Dispersia unei variabile aleatoare X, distribuită conform legii binomiale.
D[X]=npq
Exemplul #1. Produsul poate fi defect cu o probabilitate p = 0,3 fiecare. Trei articole sunt selectate dintr-un lot. X este numărul de piese defecte dintre cele selectate. Găsiți (introduceți toate răspunsurile sub formă de fracții zecimale): a) seria de distribuție X; b) funcţia de distribuţie F(x) .
Soluţie. Variabila aleatoare X are un interval (0,1,2,3).
Să găsim seria de distribuție X.
P 3 (0) = (1-p) n = (1-0,3) 3 = 0,34
P 3 (1) = np(1-p) n-1 = 3(1-0,3) 3-1 = 0,44
P 3 (3) = p n = 0,3 3 = 0,027
| x i | 0 | 1 | 2 | 3 |
| pi | 0.34 | 0.44 | 0.19 | 0.027 |
Așteptările matematice se găsesc prin formula M[X]= np = 3*0,3 = 0,9
Examinare: m = ∑ x i p i .
Așteptări matematice M[X].
M[x] = 0*0,34 + 1*0,44 + 2*0,19 + 3*0,027 = 0,9
Dispersia se găsește prin formula D[X]=npq = 3*0,3*(1-0,3) = 0,63
Examinare: d = ∑x 2 i p i - M[x] 2 .
Dispersia D[X].
D[X] = 0 2 *0,34 + 1 2 *0,44 + 2 2 *0,19 + 3 2 *0,027 - 0,9 2 = 0,63
Abaterea standard σ(x).
Funcția de distribuție F(X).
F(xF(0F(1F(2F(x>3)) = 1
- Probabilitatea ca un eveniment să apară într-o singură încercare este de 0,6. Se fac 5 teste. Alcătuiți legea de distribuție a unei variabile aleatoare X - numărul de apariții ale unui eveniment.
- Alcătuiți legea de distribuție a variabilei aleatoare X a numărului de lovituri cu patru lovituri, dacă probabilitatea de a lovi ținta cu o lovitură este 0,8.
- O monedă este aruncată de 7 ori. Găsiți așteptarea și varianța matematică a numărului de apariții ale stemei. Notă: aici probabilitatea apariției stemei este p = 1/2 (deoarece moneda are două fețe).
Exemplul #2. Probabilitatea ca un eveniment să apară într-o singură încercare este de 0,6. Aplicând teorema lui Bernoulli, determinați numărul de încercări independente, pornind de la care probabilitatea de abatere a frecvenței unui eveniment de la probabilitatea lui în valoare absolută este mai mică de 0,1 , mai mare de 0,97 . (Răspuns: 801)
Exemplul #3. Elevii efectuează teste la ora de informatică. Lucrarea constă din trei sarcini. Pentru a obține o notă bună, trebuie să găsiți răspunsurile corecte la cel puțin două probleme. Fiecare problemă are 5 răspunsuri, dintre care doar unul este corect. Elevul alege un răspuns la întâmplare. Care este probabilitatea ca el să ia o notă bună?
Soluţie. Probabilitatea de a răspunde corect la întrebare: p=1/5=0,2; n=3.
Aceste date trebuie introduse în calculator. Vezi P(2)+P(3) pentru răspuns.
Exemplul #4. Probabilitatea ca trăgătorul să lovească ținta cu o singură lovitură este (m+n)/(m+n+2) . se trag n + 4 focuri. Găsiți probabilitatea ca el să rateze de cel mult două ori.
Notă. Probabilitatea ca el să rateze de cel mult două ori include următoarele evenimente: nu ratează niciodată P(4), ratează o dată P(3), ratează de două ori P(2).
Exemplul numărul 5. Determinați distribuția de probabilitate a numărului de avioane eșuate dacă zboară 4 aeronave. Probabilitatea de funcționare fără eșec a aeronavei Р=0,99. Numărul de aeronave care au eșuat în fiecare ieșire este distribuit conform legii binomului.
Dacă sunt efectuate mai multe încercări, iar probabilitatea evenimentului A în fiecare încercare nu depinde de rezultatele altor studii, atunci astfel de încercări se numesc independent față de evenimentul A .
În diferite încercări independente, evenimentul A poate avea fie probabilități diferite, fie aceeași probabilitate. Vom lua în considerare în continuare doar astfel de încercări independente în care evenimentul A are aceeași probabilitate.
Mai jos folosim conceptul complex evenimente, înțelegând prin ea combinație de mai multe evenimente separate, care sunt numite simplu .
Lasă-l să fie produs n studii independente, în fiecare caz A poate sau nu să apară. Să fim de acord să presupunem că probabilitatea evenimentului A în fiecare încercare este aceeași, și anume, este egală cu R . Prin urmare, probabilitatea de neapariție a evenimentului A în fiecare încercare este, de asemenea, constantă și egală cu q = 1 - p .
Să ne punem sarcina de a calcula probabilitatea ca n teste, evenimentul A va avea loc exact k ori și, prin urmare, nu se vor realiza n-k o singura data. Este important de subliniat că nu este necesar ca evenimentul A să se repete exact k ori într-o anumită succesiune.
De exemplu, dacă vorbim despre apariția unui eveniment DAR de trei ori în patru încercări, sunt posibile următoarele evenimente complexe: AAA, AAA, AAA, AAA. Înregistrare AAAînseamnă că în primul, al doilea și al treilea proces evenimentul DAR a venit, dar la a patra probă nu a apărut, adică. s-a întâmplat contrariul DAR; alte intrări au un sens corespunzător.
Indicați probabilitatea dorită R p (k) . De exemplu, simbolul R 5 (3) înseamnă probabilitatea ca în cinci încercări evenimentul să se producă exact de 3 ori și, prin urmare, să nu aibă loc de 2 ori.
Problema poate fi rezolvată folosind așa-numita formulă Bernoulli.
Derivarea formulei Bernoulli. Probabilitatea unui eveniment compus constând în faptul că în P eveniment de testare DAR va veni k odată și nu va veni n - k ori, conform teoremei înmulțirii probabilităților evenimentelor independente este egală cu p k q n - k . Pot exista atâtea evenimente complexe câte combinații există P elemente prin k elemente, adică C n k .
De la aceste evenimente complexe incompatibil, apoi conform teoremei de adunare a probabilităţilor de evenimente incompatibile probabilitatea dorită este egală cu suma probabilităților tuturor evenimentelor complexe posibile. Deoarece probabilitățile tuturor acestor evenimente complexe sunt aceleași, probabilitatea dorită (a apariției k orele evenimentului DAR în P teste) este egală cu probabilitatea unui eveniment complex, înmulțită cu numărul lor:
Formula rezultată se numește formula Bernoulli .
Exemplul 1. Probabilitatea ca consumul de energie electrică pe parcursul unei zile să nu depășească norma stabilită este egală cu p = 0,75 . Aflați probabilitatea ca în următoarele 6 zile consumul de energie electrică pentru 4 zile să nu depășească norma.
Soluţie. Probabilitatea consumului normal de energie electrică în fiecare dintre cele 6 zile este constantă și egală cu p = 0,75 . Prin urmare, probabilitatea de supracheltuire a energiei electrice în fiecare zi este, de asemenea, constantă și egală cu q \u003d 1 - p \u003d 1 - 0,75 \u003d 0,25.
Probabilitatea dorită conform formulei Bernoulli este egală cu:
