Matrici de transpunere

Transpunerea matricei se numește înlocuirea rândurilor unei matrice cu coloanele sale menținând ordinea acestora (sau, ceea ce este la fel, înlocuirea coloanelor unei matrice cu rândurile sale).

Să fie dată matricea originală A:

Apoi, prin definiție, matricea transpusă A" are forma:

O formă scurtă de notație pentru operația de transpunere a unei matrice: O matrice transpusă este adesea desemnată

Exemplul 3. Să fie date matrice A și B:

Atunci matricele transpuse corespunzătoare au forma:

Este ușor de observat două modele ale operației de transpunere a matricei.

1. O matrice transpusă de două ori este egală cu matricea originală:

2. La transpunerea matricelor pătrate, elementele situate pe diagonala principală nu își schimbă pozițiile, adică. Diagonala principală a unei matrice pătrate nu se schimbă atunci când este transpusă.

Înmulțirea matricei

Înmulțirea matriceală este o operație specifică care formează baza algebrei matriceale. Rândurile și coloanele de matrice pot fi considerate ca vectori rând și coloană de dimensiuni adecvate; cu alte cuvinte, orice matrice poate fi interpretată ca o colecție de vectori rând sau vectori coloană.

Să fie date două matrice: A- mărimea T X PȘi ÎN- mărimea p x k. Vom lua în considerare matricea A ca totalitate T vectori rând A) dimensiuni P fiecare și matricea IN - ca totalitate La vectori coloană b Jt conţinând fiecare P coordoneaza fiecare:

Vectori rând matrice Ași vectori coloană matrice ÎN sunt prezentate în notația acestor matrici (2.7). Lungimea rândului matricei A egală cu înălțimea coloanei matricei ÎN, și, prin urmare, produsul scalar al acestor vectori are sens.

Definiția 3. Produsul matricelor AȘi ÎN se numeşte matrice C ale cărei elemente Su sunt egale cu produsele scalare ale vectorilor rând A ( matrici Aîn vectori coloană B j matrici ÎN:

Produsul matricelor AȘi ÎN- matricea C - are dimensiunea T X La, deoarece lungimea l a vectorilor rând și a vectorilor coloană dispare la însumarea produselor coordonatelor acestor vectori în produsele lor scalare, așa cum se arată în formulele (2.8). Astfel, pentru a calcula elementele primului rând al matricei C, este necesar să se obțină secvențial produsele scalare ale primului rând al matricei A la toate coloanele matricei ÎN al doilea rând al matricei C se obține ca produs scalar al vectorului al doilea rând al matricei A la toți vectorii coloană ai matricei ÎN, și așa mai departe. Pentru comoditatea amintirii mărimii produsului matricelor, trebuie să împărțiți produsele dimensiunilor matricelor factorilor: - , atunci numerele rămase în relație dau dimensiunea produsului La

dsnia, t.s. dimensiunea matricei C este egală cu T X La.

Operația de înmulțire a matricelor are o trăsătură caracteristică: produsul matricelor AȘi ÎN are sens dacă numărul de coloane din A egal cu numărul de linii în ÎN. Atunci dacă A și B - matrici dreptunghiulare, apoi produsul ÎNȘi A nu va mai avea sens, deoarece produsele scalare care formează elementele matricei corespunzătoare trebuie să implice vectori cu același număr de coordonate.

Dacă matrice AȘi ÎN pătrat, dimensiunea l x l, are sens ca produs de matrici AB,și produsul matricelor VA, iar dimensiunea acestor matrici este aceeași cu cea a factorilor inițiali. În acest caz, în cazul general al înmulțirii matriceale, nu se respectă regula permutării (comutativității), adică. AB * VA.

Să ne uităm la exemple de înmulțire a matricei.

Deoarece numărul coloanelor matricei A egal cu numărul de rânduri ale matricei ÎN, produs de matrici AB are sensul. Folosind formulele (2.8), obținem o matrice de dimensiune 3x2 în produs:

Muncă VA nu are sens, deoarece numărul de coloane de matrice ÎN nu se potrivește cu numărul de rânduri ale matricei A.

Aici găsim produsele matricei ABȘi VA:

După cum se poate observa din rezultate, matricea produsului depinde de ordinea matricelor din produs. În ambele cazuri, produsele matricei au aceeași dimensiune ca și factorii originali: 2x2.

În acest caz matricea ÎN este un vector coloană, adică o matrice cu trei rânduri și o coloană. În general, vectorii sunt cazuri speciale de matrice: un vector rând de lungime P este o matrice cu un rând și P coloane și vectorul coloană înălțime P- matrice cu P rânduri și o coloană. Dimensiunile matricelor date sunt respectiv 2 x 3 și 3 x I, deci produsul acestor matrici este definit. Avem

Produsul produce o matrice de dimensiune 2 x 1 sau un vector coloană de înălțime 2.

Înmulțind secvențial matricele găsim:

Proprietățile produsului matricelor. Lăsa A, Bși C sunt matrici de dimensiuni adecvate (astfel încât produsele matriceale să poată fi determinate), iar a este un număr real. Atunci sunt valabile următoarele proprietăți ale produsului matricelor:

• 1) (AB)C = A(BC);
• 2) C A + B)C = AC + BC
• 3) A (B+ C) = AB + AC;
• 4) a (AB) = (aA)B = A(aB).

Conceptul de matrice de identitate E a fost introdus în clauza 2.1.1. Este ușor de observat că în algebra matriceală joacă rolul de unitate, adică. Mai putem observa două proprietăți asociate înmulțirii cu această matrice în stânga și în dreapta:

• 5 )AE=A;
• 6) EA = A.

Cu alte cuvinte, produsul oricărei matrice prin matricea de identitate, dacă are sens, nu schimbă matricea originală.

Când lucrați cu matrici, uneori trebuie să le transpuneți, adică, în cuvinte simple, să le întoarceți. Desigur, puteți introduce datele manual, dar Excel oferă mai multe modalități de a face acest lucru mai ușor și mai rapid. Să le privim în detaliu.

Transpunerea matricei este procesul de schimbare a coloanelor și a rândurilor. Excel are două opțiuni de transpunere: utilizarea funcției TRANSSPși folosind instrumentul special de inserare. Să ne uităm la fiecare dintre aceste opțiuni mai detaliat.

Metoda 1: operatorul TRANSPOSE

Funcţie TRANSSP aparţine categoriei operatorilor „Legături și matrice”. Particularitatea este că, ca și alte funcții care funcționează cu matrice, rezultatul de ieșire nu este conținutul celulei, ci o întreagă matrice de date. Sintaxa funcției este destul de simplă și arată astfel:

TRANSP(matrice)

Adică, singurul argument al acestui operator este o referință la tabloul, în cazul nostru matricea, care ar trebui convertită.

Să vedem cum poate fi aplicată această funcție folosind un exemplu cu o matrice reală.

1. Selectăm o celulă goală pe foaie, pe care intenționăm să o facem celula din stânga sus a matricei transformate. Apoi, faceți clic pe pictogramă „Inserare funcție”, care se află lângă bara de formule.



2. Lansare în curs Vrăjitorii de funcții. Deschide categoria din ea „Legături și matrice” sau „Lista alfabetică completă”. După ce a găsit numele „TRANS”, selectați-l și faceți clic pe butonul Bine.



3. Se deschide fereastra cu argumente ale funcției TRANSSP. Singurul argument al acestui operator corespunde câmpului „Matrice”. Trebuie să introduceți coordonatele matricei care trebuie răsturnată. Pentru a face acest lucru, plasați cursorul în câmp și, ținând apăsat butonul stâng al mouse-ului, selectați întreaga gamă a matricei de pe foaie. După ce adresa zonei este afișată în fereastra de argumente, faceți clic pe butonul Bine.



4. Dar, după cum vedem, în celula care este destinată să afișeze rezultatul, este afișată o valoare incorectă sub forma unei erori "#VALOARE!". Acest lucru se datorează modului în care lucrează operatorii de matrice. Pentru a corecta această eroare, selectați un interval de celule în care numărul de rânduri ar trebui să fie egal cu numărul de coloane din matricea originală, iar numărul de coloane să fie egal cu numărul de rânduri. O astfel de corespondență este foarte importantă pentru ca rezultatul să fie afișat corect. În acest caz, celula care conține expresia "#VALOARE!" ar trebui să fie celula din stânga sus a matricei selectate și din această celulă ar trebui să înceapă procedura de selecție ținând apăsat butonul stâng al mouse-ului. După ce ați făcut selecția, plasați cursorul în bara de formule imediat după expresia operatorului TRANSSP, care ar trebui să apară în el. După aceasta, pentru a efectua calculul, trebuie să apăsați butonul introduce, așa cum este obișnuit în formulele convenționale, și formați combinația Ctrl+Shift+Enter.



5. După aceste acțiuni, matricea a fost afișată așa cum aveam nevoie, adică sub formă transpusă. Dar mai este o problemă. Faptul este că acum noua matrice este o matrice legată de o formulă care nu poate fi schimbată. Când încercați să faceți orice modificare a conținutului matricei, va apărea o eroare. Unii utilizatori sunt destul de mulțumiți de această stare de fapt, deoarece nu intenționează să facă modificări ale matricei, dar alții au nevoie de o matrice cu care să poată lucra pe deplin.

   Pentru a rezolva această problemă, selectăm întregul interval transpus. Trecerea la fila "Acasă" faceți clic pe pictogramă "Copie", care se află pe panglica din grup „Clipboard”. În loc de acțiunea specificată, după selectare, puteți seta o comandă rapidă standard de la tastatură pentru copiere Ctrl+C.



6. Apoi, fără a elimina selecția din intervalul transpus, faceți clic dreapta pe ea. În meniul contextual din grup „Insert Options” faceți clic pe pictogramă "Valori", care arată ca o pictogramă care înfățișează numere.

   

   În continuare, formula matricei TRANSSP va fi ștearsă și în celule va rămâne o singură valoare, cu care se poate lucra în același mod ca și cu matricea originală.

Metoda 2: Transpunerea matricei folosind Paste Special

În plus, matricea poate fi transpusă folosind un element de meniu contextual numit „Inserați special”.

După acești pași, doar matricea transformată va rămâne pe foaie.

Cu aceleași două metode discutate mai sus, puteți transpune nu numai matrice, ci și tabele cu drepturi depline în Excel. Procedura va fi aproape identică.

Așadar, am aflat că în Excel matricea poate fi transpusă, adică răsturnată prin schimbarea coloanelor și rândurilor, în două moduri. Prima opțiune implică utilizarea funcției TRANSSP, iar al doilea este Paste Special Tools. În general, rezultatul final obținut atunci când se utilizează ambele metode nu este diferit. Ambele metode funcționează în aproape orice situație. Deci, atunci când alegeți o opțiune de conversie, preferințele personale ale unui anumit utilizator ies în prim-plan. Adică, care dintre aceste metode este mai convenabilă pentru tine personal, folosește-o pe aceea.

Pentru a transpune o matrice, trebuie să scrieți rândurile matricei în coloane.

Dacă , atunci matricea transpusă

Daca atunci

Exercitiul 1. Găsi

1. Determinanții matricilor pătrate.

Pentru matricele pătrate se introduce un număr numit determinant.

Pentru matrice de ordinul doi (dimensiunea ) determinantul este dat de formula:

De exemplu, pentru o matrice determinantul ei este

Exemplu . Calculați determinanții matricilor.

Pentru matricele pătrate de ordinul al treilea (dimensiunea ) există o regulă „triunghi”: în figură, linia punctată înseamnă înmulțirea numerelor prin care trece linia punctată. Primele trei numere trebuie adăugate, următoarele trei numere trebuie scăzute.

Exemplu. Calculați determinantul.

Pentru a da o definiție generală a unui determinant, este necesar să se introducă conceptul de minor și complement algebric.

Minor elementul matricei se numește determinant obținut prin tăierea - acel rând și - acea coloană.

Exemplu. Să găsim câteva minore ale matricei A.

Complement algebric elementul se numește număr.

Aceasta înseamnă că, dacă suma indicilor este pară, atunci ei nu sunt diferiți. Dacă suma indicilor este impară, atunci ei diferă doar prin semn.

Pentru exemplul anterior.

Determinant de matrice este suma produselor elementelor unui anumit șir

(coloana) la complementele lor algebrice. Să luăm în considerare această definiție pe o matrice de ordinul trei.

Prima intrare se numește extinderea determinantului din primul rând, a doua este expansiunea din a doua coloană, iar ultima este expansiunea din al treilea rând. În total, astfel de extinderi pot fi scrise de șase ori.

Exemplu. Calculați determinantul folosind regula „triunghi” și extinzându-l de-a lungul primului rând, apoi de-a lungul celei de-a treia coloane, apoi de-a lungul celui de-al doilea rând.

Să extindem determinantul de-a lungul primei linii:

Să extindem determinantul din a treia coloană:

Să extindem determinantul de-a lungul celei de-a doua linii:

Rețineți că cu cât sunt mai multe zerouri, cu atât calculele sunt mai simple. De exemplu, extinzând cu prima coloană, obținem

Printre proprietățile determinanților există o proprietate care vă permite să primiți zerouri și anume:

Dacă adăugați elemente dintr-un alt rând (coloană) la elementele unui anumit rând (coloană), înmulțite cu un număr diferit de zero, atunci determinantul nu se va schimba.

Să luăm același determinant și să obținem zerouri, de exemplu, în prima linie.

Determinanții ordinelor superioare sunt calculați în același mod.

Sarcina 2. Calculați determinantul de ordinul al patrulea:

1) răspândirea pe orice rând sau orice coloană

2) primind anterior zerouri

Primim un zero suplimentar, de exemplu, în a doua coloană. Pentru a face acest lucru, înmulțiți elementele din a doua linie cu -1 și adăugați-le la a patra linie:

1. Rezolvarea sistemelor de ecuații algebrice liniare folosind metoda lui Cramer.

Vom arăta soluția unui sistem de ecuații algebrice liniare folosind metoda lui Cramer.

Sarcina 2. Rezolvați sistemul de ecuații.

Trebuie să calculăm patru determinanți. Primul se numește principal și constă din coeficienți pentru necunoscute:

Rețineți că dacă , sistemul nu poate fi rezolvat prin metoda lui Cramer.

Cei trei determinanți rămași sunt notați cu , , și se obțin prin înlocuirea coloanei corespunzătoare cu o coloană de laturi din dreapta.

Găsim. Pentru a face acest lucru, schimbați prima coloană din determinantul principal într-o coloană cu părțile din dreapta:

Găsim. Pentru a face acest lucru, schimbați a doua coloană din determinantul principal într-o coloană cu părțile din dreapta:

Găsim. Pentru a face acest lucru, schimbați a treia coloană din determinantul principal într-o coloană cu părțile din dreapta:

Găsim soluția sistemului folosind formulele lui Cramer: , ,

Astfel, soluția sistemului este , ,

Să facem o verificare; pentru a face acest lucru, vom înlocui soluția găsită în toate ecuațiile sistemului.

1. Rezolvarea sistemelor de ecuații algebrice liniare folosind metoda matricei.

Dacă o matrice pătrată are un determinant diferit de zero, există o matrice inversă astfel încât . Matricea se numește matrice de identitate și are forma

Matricea inversă se găsește prin formula:

Exemplu. Aflați inversul unei matrice

Mai întâi calculăm determinantul.

Găsirea complementelor algebrice:

Scriem matricea inversă:

Pentru a verifica calculele, trebuie să vă asigurați că .

Să fie dat un sistem de ecuații liniare:

Să notăm

Atunci sistemul de ecuații poate fi scris sub formă de matrice ca și, prin urmare, . Formula rezultată se numește metoda matriceală de rezolvare a sistemului.

Sarcina 3. Rezolvați sistemul folosind metoda matricei.

Este necesar să scrieți matricea sistemului, să găsiți inversul acesteia și apoi să o înmulțiți cu coloana laturilor din dreapta.

Am găsit deja matricea inversă în exemplul anterior, ceea ce înseamnă că putem găsi o soluție:

1. Rezolvarea sistemelor de ecuații algebrice liniare folosind metoda Gauss.

Metoda lui Cramer și metoda matricei sunt utilizate numai pentru sisteme pătratice (numărul de ecuații este egal cu numărul de necunoscute), iar determinantul nu trebuie să fie egal cu zero. Dacă numărul de ecuații nu este egal cu numărul de necunoscute, sau determinantul sistemului este zero, se folosește metoda Gauss. Metoda Gaussiană poate fi folosită pentru a rezolva orice sistem.

Și să o înlocuim în prima ecuație:

Sarcina 5. Rezolvați un sistem de ecuații folosind metoda Gauss.

Pe baza matricei rezultate, restabilim sistemul:

Găsim o soluție:

În matematica superioară, este studiat un astfel de concept ca o matrice transpusă. Trebuie remarcat: mulți oameni cred că acesta este un subiect destul de complex, care este imposibil de stăpânit. Cu toate acestea, nu este. Pentru a înțelege exact cum se realizează o operație atât de ușoară, trebuie doar să vă familiarizați puțin cu conceptul de bază - matricea. Orice student poate înțelege subiectul dacă își ia timp să îl studieze.

Ce este o matrice?

Matricele sunt destul de comune în matematică. De remarcat că acestea se găsesc și în informatică. Datorită lor și cu ajutorul lor, este ușor să programați și să creați software.

Ce este o matrice? Acesta este un tabel în care sunt plasate elementele. Trebuie să aibă un aspect dreptunghiular. În termeni cei mai simpli, o matrice este un tabel de numere. Este desemnat folosind câteva litere latine majuscule. Poate fi dreptunghiular sau pătrat. Există, de asemenea, rânduri și coloane separate, care se numesc vectori. Astfel de matrici primesc doar o singură linie de numere. Pentru a înțelege cât de mare este un tabel, trebuie să fiți atenți la numărul de rânduri și coloane. Primul este notat cu litera m, iar al doilea cu n.

Ar trebui să înțelegeți cu siguranță ce este o diagonală matriceală. Există o parte și una principală. A doua este acea fâșie de numere care merge de la stânga la dreapta de la primul până la ultimul element. În acest caz, linia laterală va fi de la dreapta la stânga.

Cu matrice puteți face aproape toate cele mai simple operații aritmetice, adică adunați, scădeți, înmulțiți între ele și separat prin număr. Ele pot fi și transpuse.

Procesul de transpunere

O matrice transpusă este o matrice în care rândurile și coloanele sunt schimbate. Acest lucru se face cât mai ușor. Notat ca A cu indicele T (AT). În principiu, trebuie spus că la matematica superioară aceasta este una dintre cele mai simple operații pe matrice. Dimensiunea mesei este menținută. O astfel de matrice se numește transpusă.

Proprietățile matricelor transpuse

Pentru a efectua corect procesul de transpunere, este necesar să înțelegem ce proprietăți există ale acestei operații.

• Trebuie să existe o matrice originală pentru orice tabel transpus. Determinanții lor trebuie să fie egali între ei.
• Dacă există o unitate scalară, atunci când se efectuează această operație, aceasta poate fi scoasă.
• Când o matrice este dublu transpusă, aceasta va fi egală cu cea originală.
• Dacă comparați două tabele pliate cu coloane și rânduri schimbate cu suma elementelor pe care a fost efectuată această operație, acestea vor fi aceleași.
• Ultima proprietate este că dacă transpuneți tabele înmulțite între ele, atunci valoarea trebuie să fie egală cu rezultatele obținute prin înmulțirea matricelor transpuse împreună în ordine inversă.

De ce a transpune?

O matrice la matematică este necesară pentru a rezolva anumite probleme cu ea. Unele dintre ele vă cer să calculați tabelul invers. Pentru a face acest lucru, trebuie să găsiți un determinant. Apoi se calculează elementele viitoarei matrice, apoi se transpun. Tot ce rămâne este să găsiți tabelul direct invers. Putem spune că în astfel de probleme trebuie să găsiți X, iar acest lucru este destul de ușor de realizat cu ajutorul cunoștințelor de bază ale teoriei ecuațiilor.

Rezultate

Acest articol a examinat ce este o matrice transpusă. Acest subiect va fi util viitorilor ingineri care trebuie să fie capabili să calculeze corect structuri complexe. Uneori, matricea nu este atât de ușor de rezolvat, trebuie să-ți strângi creierul. Cu toate acestea, în cursul matematicii elevilor, această operație se realizează cât mai ușor și fără niciun efort.

Aceste operații pe matrice nu sunt liniare.

DEFINIȚIE. Transpus matrice pentru matrice mărimea
numită matricea mărimii
, obtinut de la înlocuind toate rândurile sale cu coloane cu aceleași numere de serie.

Adică dacă =
, Acea
,=1,2,…,
,=1,2,…,.

EXEMPLU.

=

; ==

3x2 2x3 3x3 3x3

DEFINIȚIE. Dacă =, apoi matricea A numit simetric.

Toate matricele diagonale sunt simetrice, deoarece elementele lor sunt egale, simetrice față de diagonala principală.

Evident, sunt valabile următoarele proprietăți ale operației de transpunere:

DEFINIȚIE. Lăsa =
– matricea dimensiunilor
,=
– matricea dimensiunilor
. Produsul acestor matrici
- matrice =
mărimea
, ale căror elemente sunt calculate prin formula:

, =1,2,…,
,=1,2,…,,

adică elementul a linia și coloana a matricei egală cu suma produselor elementelor corespunzătoare al-lea rând al matricei Și coloana a matricei .

EXEMPLU.

=
, =

2x3 3x1 2x3 3x1 2x1

Muncă
- nu exista.

PROPRIETĂȚI ALE OPERAȚIUNII MULTIPLICĂRII MATRICE

1.
, chiar dacă ambele produse sunt definite.

EXEMPLU.
,

, Cu toate că

DEFINIȚIE. Matrici Și sunt numite permutabil, Dacă
, in caz contrar Și sunt numite nepermutabil.

Din definiție rezultă că numai matricele pătrate de aceeași dimensiune pot fi permutabile.

EXEMPLU.

matrici Și permutabil.

Acesta este
,

Mijloace, Și – matrici de permutare.

În general, matricea de identitate comută cu orice matrice pătrată de același ordin și pentru orice matrice
. Aceasta este o proprietate a matricei explică de ce se numește unitate: la înmulțirea numerelor, numărul 1 are această proprietate.

Dacă sunt definite produsele corespunzătoare, atunci:

5.

EXEMPLU.

,

2x2 2x1 2x1 1x2

COMETARIU. Elementele matricei pot fi nu numai numere, ci și funcții. O astfel de matrice se numește funcţional.

EXEMPLU.

Determinanți și proprietățile lor

Fiecare matrice pătrată poate fi asociată, după anumite reguli, unui anumit număr, care se numește determinant.

Luați în considerare o matrice pătrată de ordinul doi:

Determinantul său este un număr care se scrie și se calculează după cum urmează:

(1.1)

Un astfel de determinant se numește determinant de ordinul doi si poate

fi desemnat diferit:
sau
.

Determinant de ordinul trei este numărul corespunzător unei matrice pătrate
, care se calculează conform regulii:

Această regulă pentru calcularea determinantului de ordinul trei se numește regula triunghiului și poate fi reprezentată schematic după cum urmează:

EXEMPLU.
;

Dacă atribuim prima și apoi a doua coloană în dreapta determinantului, atunci regula triunghiului poate fi modificată:

Mai întâi se înmulțesc numerele de pe diagonala principală și două diagonale paralele cu ea, apoi se înmulțesc numerele de pe cealaltă diagonală (laterală) și cele paralele cu ea. Suma produselor rămase se scade din suma primelor trei produse.

Grupând termenii din (1.2) și folosind (1.1), observăm că

(1.3)

Adică, atunci când se calculează determinantul de ordinul trei, se folosesc determinanți de ordinul doi și
este determinantul matricei obținut din prin tăierea unui element (mai precis, primul rând și prima coloană, la intersecția cărora se află ),
– prin tăierea unui element ,
- element .

DEFINIȚIE. Minor suplimentar
element matrice pătrată este determinantul matricei obtinute din prin tăiere -a linia și a coloana.

EXEMPLU.

DEFINIȚIE. Complement algebric element matrice pătrată număr numit
.

EXEMPLU.

Pentru matrice :

Pentru matrice :
și așa mai departe.

Deci, ținând cont de definițiile formulate, (1.3) poate fi rescrisă ca: .

Să trecem acum la cazul general.

DEFINIȚIE. Determinant matrice pătrată Ordin este un număr care se scrie și se calculează după cum urmează:

(1.4)

Egalitatea (1.4) se numește extinderea determinantului în elementele primului linii. În această formulă, complementele algebrice sunt calculate ca determinanți
-a ordine. Astfel, atunci când se calculează determinantul de ordinul 4 folosind formula (1.4), este necesar, în general, să se calculeze 4 determinanți de ordinul 3; la calcularea unui determinant de ordinul 5 - 5 determinanți de ordinul 4 etc. Totuși, dacă, de exemplu, în determinantul de ordinul al 4-lea prima linie conține 3 elemente zero, atunci în formula (1.4) va rămâne un singur termen diferit de zero.

EXEMPLU.

Să luăm în considerare (fără dovezi) proprietățile determinanților:

Determinantul poate fi extins în elementele primei coloane:

EXEMPLU.

COMETARIU. Exemplele luate în considerare ne permit să concluzionam: determinantul unei matrice triunghiulare este egal cu produsul elementelor diagonalei principale.

Rezultă că rândurile și coloanele determinantului sunt egale.

De aici, în special, rezultă că factor comun al oricărui șir (coloana) poate fi scoasă dincolo de semnul determinantului. De asemenea, un determinant care are un rând zero sau o coloană zero este egal cu zero.

Egalitatea (1.6) se numește a linia.

Egalitatea (1.7) se numește extinderea determinantului în elemente a coloana.

Suma produselor tuturor elementelor unui anumit rând (coloană) prin

complemente algebrice ale elementelor corespondente dintr-un alt rând

(coloana) este egală cu zero, adică când
Și
la
.

EXEMPLU.
, întrucât elementele primului și celui de-al doilea rând ale acestui determinant sunt, respectiv, proporționale (proprietatea 6).

Proprietatea 9 este folosită mai ales la calcularea determinanților, deoarece permite oricărui determinant să obțină un rând sau o coloană în care toate elementele, cu excepția unuia, sunt egale cu zero.

EXEMPLU.